中考数学专题复习：角与角平分线,平行线

中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 三线八角：同位角，内错角，同旁内角。

2. 平行线定义：两条永不相交的直线的位置关系是平行线。

3. 平行线性质：①两直线平行，同位角相等。

②两直线平行，内错角相等。

③两直线平行，同旁内角互补。

④同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

⑤平行于同一直线的两直线平行。

即c b b a ∥，∥，则c a ∥。

4. 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角相等，两直线平行。

④垂直于同一直线的两直线平行。

即若c a b a ⊥⊥，，则c a ∥。

⑤平行于同一直线的两直线平行。

即若c b b a ∥，∥，则c a ∥。

5. 平行线间的距离：平行线间的距离处处相等。

练习题9．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．10．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；B、∠1和∠3是同位角，故B正确；C、∠2和∠3是内错角，故C错误；D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．故选：B．11．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．65°【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．【解答】解：如图：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故选：B．12．（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，∴∠2＝∠ACB，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，故选：B．13．（2022•襄阳）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．【解答】解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，故选：B．14．（2022•锦州）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．50°【分析】根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝110°，则有∠4＝70°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝110°，∴∠3＝∠1＝110°，∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，∵∠B＝30°∴∠2＝∠4﹣∠B＝40°；故选：C．15．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（）A．137°B．53°C．47°D．43°【分析】根据平行线的性质，得∠2＝∠1＝43°．【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．16．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．57.5°D．65°【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故选：B．17．（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC ⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A．32°B．38°C．48°D．52°【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故选：B．18．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠4，∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3＝∠4+∠2，∵∠3＝80°，∴∠1+∠2＝80°，∵∠1﹣∠2＝20°，∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，∴∠1＝50°，故选：C．19．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A．46°B．90°C．96°D．134°【分析】根据平行线的性质定理求解即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．20．（2022•兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52°B．45°C．38°D．26°【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝52°，根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠ABC＝52°，∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，故选：C．21．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（）A．55°B．70°C．60°D．35°【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，∴∠OBC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，故选：A．22．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（）A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，∴∠2＝∠1＝40°10'，∵∠1+∠2+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，∵入射光线l与出射光线m平行，∴∠6＝∠5＝99°40'．故选：C．23．（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据∠A＝∠B＝30°，得出AC∥DB，即可得出∠D＝∠C＝50°．【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，∴AC∥DB，又∵∠C＝50°，∴∠D＝∠C＝50°，故选：D．24．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．110°【分析】由两直线平行，同位角相等可知∠2＝∠1．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1＝70°．故选：C．25．（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（）A．60°B．120°C．30°D．15°【分析】本题要注意到∠1的对顶角与∠2同旁内角，并且两边互相平行，可以考虑平行线的性质及对顶角相等．【解答】解：∵∠1＝120°，∴它的对顶角是120°，∵a∥b，∴∠2＝60°．故选：A．26．（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝70°，∵AB∥ED，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：D．27．（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（）A．120°B．122°C．132°D．148°【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠C＝∠1＝58°，∵BC∥EF，∴∠CGF＝∠C＝58°，∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，故选：B．28．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．29．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90°B．∠3＝90°C．∠4＝90°D．∠5＝90°【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．30．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180°C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．。

三角形的角平分线1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 62. 如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB等于( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 75°3. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE垂直平分AB，垂足为E，若BD＝6cm，则CD等于( )A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 5cm5. 如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3.若△ABC 的周长是22，则△ABC的面积是( )A. 28B. 30C. 32D. 336. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°8. 如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠CO F D．AD＝AE 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE ＝DF，则∠ADC的度数为____．10. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC=12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则BD的长为____cm.13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，且AB＝6cm，则△BED的周长是____ cm.14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝____．15. 在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为 cm， cm， cm 16. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝____．17. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为18. 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.19. 如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上，PM⊥AD 于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM＝PN.20. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．参考答案：11 1---8 BACCD DCB9. 137°10. 211. 312. 613. 614. 815. 2 2 216. 2 17. 318. 解：在△BDF 和△CDE 中，∠BFD ＝∠CED ＝90°，∠FDB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△BDF ≌△CDE(AAS)，∴DF ＝DE ，又∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC19. 解：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD(SAS)，∴∠ADB ＝∠CDB ，又∵∠ADB ＋∠ADP ＝∠CDB ＋∠CDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠CDP ，∴DP 平分∠ADC ，又∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN20. 解：过点D 作DF⊥AC，∵AD 是∠BAC 平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∵S △ABD ＝4×22＝4，∴S △ACD ＝7－4＝3， ∴2AC 2＝3，即AC ＝3。

专题01 角平分线的五种模型模型一、角平分线垂两边例1.如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定【答案】A【详解】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，又AB：AC=3：2，∴S△ABD：S△ACD=（12AB•DE）：（12AC•DF）=AB：AC=3：2．故选A．例2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___．【答案】2【详解】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PC//OA，∴∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP＋∠CPO ＝30°，在直角三角形CEP 中，∠ECP ＝30°，PC ＝4，∴PE ＝12PC ＝2，则PD ＝PE ＝2．故答案为：2． 【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交A D ，AC 于点E 、F ，则BFEF的值是___________.11221BCBC BC ==--【详解】解：如图，作FG ⊥AB 于点G ，∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF =BGAGAC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又BF 平分∠ABC ，∴FG =FC 在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BFCF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BGAC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB =2BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴====- 【变式训练2】如图，BD 平分ABC 的外角∠ABP ，DA =DC ，DE ⊥BP 于点E ，若AB =5，BC =3，求BE 的长．【答案】1【详解】解：过点D 作BA 的垂线交AB 于点H ，∵BD平分△ABC的外角∠ABP，DH⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△DEB和Rt△DHB中，DE DHDB DB=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DHB（HL），∴BE＝BH，在Rt△DEC和Rt△DHA中，DE DHDC DA=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEC≌Rt△DHA（HL），∴AH＝CE，由图易知：AH＝AB−BH，CE＝BE＋BC，∴AB−BH＝BE＋BC，∴BE＋BH＝AB−BC＝5−3＝2，而BE＝BH，∴2BE＝2，故BE＝1．【变式训练3，的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为.【答案】【解析】延长FE交AB于点D G H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分CE平分，四边形BDEG是正，，设，则，，，解得，，即，解得，.模型二、角平分线垂中间例．如图，已知，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线，且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE =． 【答案】见解析【详解】证明：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，∵90,90EBF F ACF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴EBF ACF ∠=∠，在ABD △和ACF 中，EBF ACF AB AC BAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD ACF ASA △≌△，∴BD CF =，∵BD 是ABC ∠的平分线，∴EBC EBF ∠=∠．在BCE ∆和BFE ∆中，EBC EBF BE BE CEB FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BCE BFE ASA ≌△△， ∴CE EF =，∴2CF CE =， ∴2BD CF CE ==．【变式训练1】如图，已知△ABC ，∠BAC ＝45°，在△ABC 的高BD 上取点E ，使AE ＝BC ． （1）求证：CD ＝DE ；（2）试判断AE 与BC 的位置关系？请说明理由；【答案】（1）见解析；（2）AE BC ⊥，理由见解析；（3）【详解】（1）证明：∵BD AC ⊥，45BAC ∠=︒，∴90,45EDA BDC ABD BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴AD BD =，在Rt ADE △和Rt BDC 中，∵AD BDAE BC =⎧⎨=⎩ ∴()Rt ADE Rt BDC HL ≅，∴CD ＝DE ； （2）AE BC ⊥，理由如下：如图，延长AE ，交BC 于点F ， 由（1）得,90EAD EBF EAD AED ∠=∠∠+∠=︒，∵AED AEF ∠=∠，∴90BEF EBF ∠+∠=︒，∴90EFB =︒，即AE BC ⊥；【变式训练2】如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【答案】3【解答】解：如图，延长CE ，AB 交于点F .AE 平分∠BAC ，AE ⊥EC ，∴∠F AE =∠CAE ，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中，EAF EAC AE AE AEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴△AFE ≌ACE （ASA ），∴AF =AC =16，EF =EC ，∴B F =6又D 是BC 的中点，∴BD =CD ，∴DE 是△CBF 的中位线，∴DE =12BF =3，故答案为：3. 【变式训练3】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.【答案】见解析【解答】证明：延长AD 交BC 于点F .CD 平分ACF ∠, ACD FCD ∴∠=∠.又,,AD CD CD CD ⊥=ADC ∴∆≌FDC ∆,AD FD ∴=. 又DE ∥BC ,EA EB ∴=.模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形例.如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【答案】12【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC ，∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM ，∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ，∴EQ =2CQ由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=【变式训练1】如图，平分于点C ，，求OC 的长？【解析】如图所示：过点D 作交OA 于点E ，则，平分，，中，，.【变式训练2C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC=．【解析】过点E于G，连接CF，如图所示：分别是，CF是的平分线，，，由勾股定理可得.模型四、利用角平分线作对称例.平分.【答案】见解析【解析】证明：在AB上截取，连接DE，如图所示：.【变式训练】AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．【答案】（1）203；（2）253【详解】解：（1）如图1，作DF⊥AC于F，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×AB ×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝AB ＝203； （2）如图2，作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×5×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝253． 模型五、内外模型例.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠AC E 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为（ ）A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°【答案】A4321DA【解析】∵∠ABC与∠AC E的平分线相交于点D，∴∠DCE=∠DCA，∠CBD=∠ABD，即.的外角的平分线CP与内角BP交于点P，若，则.【解析】平分平分又，过点P的延长线，垂足分别为点E、F、G，如图所示：由角平分线的性质可得，AP是.课后训练1．如图，BD是ABC的外角∠ABP的角平分线，DA＝DC，DE⊥BP于点E，若AB＝5，BC＝3，则BE 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．0【答案】C【详解】解：如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABP ∠的角平分线，DF AB ⊥，DE ⊥BP ，DE DF ∴=，在Rt BDE 和Rt BDF 中，BD BDDE DF =⎧⎨=⎩，()Rt BDE Rt BDF HL ∴△≌△，BE BF ∴=，在Rt ADF 和Rt CDE △中，DA DCDE DF=⎧⎨=⎩，()Rt ADF Rt CDE HL ∴△≌△，AF CE ∴=，AF AB BF =-，CE BC BE =+，AB BF BC BE ∴-=+，2BE AB BC ∴=-，5AB =，3BC =，2532BE ∴=-=，解得：1BE =．故选：C ．2．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，32=DE ，5AB =，则AC 的长为（ ）A ．133B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】∵AD 是ABC ∆中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，∴32DF DE ==． 又∵ABCABD ACDSSS=+，5AB =，∴1313752222AC =⨯⨯+⨯⨯，∴133AC =．故选：A ． 3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（ ）A．1B．2C．2.5D【答案】B【详解】解：作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH=DC=2，∵Q为AB上一动点，∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．故选：B．4．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD 的面积是______．【答案】30【详解】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC=4，∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝12×BC×CD＋12×AB×DE＝12×9×4＋12×6×4＝30，故答案为：30．5．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则△ABC的面积为______．【答案】8【详解】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∴△ABC的面积=12×5×2+12×3×2=8，故答案侍：8．6．在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝_____︒【答案】25【详解】解：如图示：过点E ，分别作EF BD ⊥交BD 于点E ，EG AC ⊥交AC 于点G ，EH AB ⊥，交AB 延长线于点H ， ∵BE 平分ABC ∠，CE 平分ACD ∠，∴EH EF =，EG EF =，∴EH EG =，∴AE 平分HAC ∠， ∵62ABC ∠=︒，50∠=°ACB ，∴6250112HAC ABC ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴111125622EAO HAC ∠=∠=⨯︒=︒， ∵BE 平分ABC ∠，62ABC ∠=︒∴11623122EBC ABC ∠=∠=⨯︒=︒ 在AOE △和BOC 中，OBC OCB OAE AEB ∠+∠=∠+∠∴31505625AEB OBC OCB OAE ∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒=︒，故答案是：25． 7．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD =CD ，BE =CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ：（2）已知AC =18，BE =4，求AB 的长． 【答案】（1）见解析；（2）10AB =．【详解】（1）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，90E DFC ∴∠=∠=︒，在Rt BED 和Rt CFD △中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt BED Rt CFD ≅()HL ，DE DF ∴=，DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，AD ∴平分BAC ∠；（2）解：DE DF =，AD AD =，Rt ADE Rt ADF ∴≅()HL ，AE AF ∴=，AB AE BE AF BE AC CF BE =-=-=--，184410AB ∴=--=．8．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A （-4，0），B （0，4），AD ⊥BC 交BC 于D 点，交y 轴正半轴于点E （0，t ）（1）当t=1时，点C 的坐标为 ； （2）如图2，求∠ADO 的度数；（3）如图3，已知点P （0，3），若PQ ⊥PC ，PQ=PC ，求Q 的坐标（用含t 的式子表示）． 【答案】（1）点C 坐标（1，0）；（2）∠ADO =45°；（3）Q （-3，3-t ）． 【详解】（1）如图1，当t =1时，点E （0，1）， ∵AD ⊥BC ， ∴∠EAO +∠BCO =90°， ∵∠CBO +∠BCO =90°，∴∠EAO =∠CBO ，在△AOE 和△BOC 中，∵90EAO CBOAO BO AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩＝，∴△AOE ≌△BOC （ASA ），∴OE =OC =1，∴点C 坐标（1，0）． 故答案为：（1，0）；（2）如图2，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ， ∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ，∴OD 平分∠ADC ；AD ⊥BC ，90ADC ∴∠=︒∴∠ADO =1452ADC ∠=︒；（3）如图3，过P 作GH ∥x 轴，过C 作CG ⊥GH 于G ，过Q 作QH ⊥GH 于H ，交x 轴于F ，∵P （0，3），C （t ，0），∴CG =FH =3，PG =OC =t ， ∵∠QPC =90°，∴∠CPG +∠QPH =90°， ∵∠QPH +∠HQP =90°，∴∠CPG =∠HQP ，∵∠QHP=∠G=90°，PQ=PC，∴△PCG≌△QPH，∴CG=PH=3，PG=QH=t，∴Q（-3，3-t）．。

第二部分图形与几何19.线段、角、相交线与平行线知识过关1.直线、射线、线段(1)直线上一点和它____的部分叫做射线；直线上两点和它们____的部分叫做线段，这两点叫做线段的_______.(2)两点_____一条直线，两点之间线段最短，两点之间_____的长度，叫做两点间的距离.(3)线段的中点把线段_______等分.2.角(1)角：有_____端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条_____绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)余角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为余角._____或等角的余角相等.(3)补角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为补角._____或等角的补角相等.(4)一条射线把一个角分成两个______的角，这条射线叫做这个角的平分线.3.相交线(1)对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的_____延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角______.(2)垂直：在同一平面内，两条直线相交成90，叫做两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线.(3)垂直的性质：同一平面内，过一点_____一条直线与已知直线垂直，直线外一点和直线上所有点的连接中，_______最短.(4)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的_____的长度，叫做点到直线的距离.4.平行线(1)平行线：平面内，_______的两条直线叫做平行线.(2)平面内两条直线的位置关系:_________和_________.(3)平行公理：过直线外一点，有且______一条直线与已知直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相______.(4)平行线的性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，_____相等，同旁内角_______.(5)平行线的判定：如果同位角相等，或______或______互补，那么两直线平行.5.命题的概念(1)命题：______的语句叫做命题.(2)命题的组成：命题由______和______两部分组成.(3)命题的形成：命题可以写成“如果.......,那么.......”的形式，以如果开头的部分是_____,以那么开头的部分是________.(4)命题的真假：_______的命题叫做真命题,______的命题叫做假命题.6.尺规作图(1)在几何里，把用没有刻度的____和____这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.(2)常见的五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；①作一个角等于已知角；①作一个角的平分线；①过一个点作已知直线的垂线；①作线段的垂直平分线.➢考点过关考点1 线段长度的有关计算例1已知线段AB＝10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，并且BC＝2cm，则线段DC＝．考点2对顶角、邻补角的相关计算如图，点O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠BOE，若∠AOC＝α，则∠COE 的度数为（）A．3αB．120°−43αC．90°D．120°−13α考点3平行线的性质例3如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝54°，则∠2等于（）A．108°B．117°C．126°D．54°考点4平行线的判定与性质综合例4如图1，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，点C是直线GE上一点，点B是直线HD、GE之间的一点．（1）过点B作BF∥GE，试说明：∠ABC＝∠HAB+∠BCG；（2）如图2，RC平分∠BCG，BM∥CR，BN平分∠ABC，当∠HAB＝40°时，点C在直线AB右侧运动的过程中，∠NBM的度数是否不变，若是，求出该度数；若不是，请说明理由．考点5命题的真假例5下列结论中，正确的有①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③面积相等的两个三角形全等；④有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部．（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点6尺规作图例6如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．➢真题演练1.如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（）A．50°B．75°C．60°D．55°2．如图，OC、OD为∠AOB内的两条射线，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠COD，若∠COD ＝10°，则∠AOB的度数是（）A．30°B．40°C．60°D．80°3．如图，已知ON，OM分别平分∠AOC和∠BON．若∠MON＝20°，∠AOM＝35°，则∠AOB的度数为（）A．15°B．35°C．40°D．55°4．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中不正确的是（）A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED=12CD•OE5．下列说法正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．内错角相等C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．一个角的补角一定是钝角6．下列说法错误的是（）A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线7.如图所示，C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA＝6cm，DB＝4cm，则CD的长度为______cm．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．9．如图，C是线段AB上一点，D，E分别是线段AC，BC的中点，若AB＝10，则DE＝．10．如图，C，D为线段AB上两点，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝cm．11．（1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED；（2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．拓展提升：如图3，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度数．12．如图，AB∥CD，点P为平面内一点．（1）如图①，当点P在AB与CD之间时，若∠A＝20°，∠C＝45°，则∠P＝°；（2）如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）（3）如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，则∠G+∠P＝°．➢课后练习1．如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（）A．22°B．33°C．44°D．55°2．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝135°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（）A．30°B．35°C．36°D．40°3．如图，已知a∥b，则∠ACD的度数是（）A．45°B．60°C．73°D．90°4．如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（）A．61°B．60°C．59°D．58°5．下列说法正确的是（）A．延长射线AB到CB．若AM＝BM，则M是线段AB的中点C ．两点确定一条直线D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行6．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法中错误的是（ ）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．两条直线相交，有且只有一个交点D ．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直8．下列说法正确的是（ ）A ．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．不相交的两条直线叫做平行线C ．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行9．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．若△CDB 的面积为12，△ADE 的面积为9，则四边形EDBC 的面积为（ ）A ．15B ．16C ．18D ．2010．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD ＝∠DAB 的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS11．如图，点A 、B 、C 在同一条直线上，点D 为BC 的中点，点P 为AC 延长线上一动点（AD ≠DP ），点E 为AP 的中点，则AC−BP DE 的值是 ．12．如图，点D是线段AB上一点，点C是线段BD的中点，AB＝8，CD＝3，则线段AD长为．13.如图1，已知∠BOC＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？（2）如图2，若角平分线OE的位置在射线OB和射线OF之间（包括重合），请说明∠AOC的度数应控制在什么范围．14．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．（1）求证：AC∥DF；（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．15．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．➢冲击A+在半径为5的⊙O中，AB是直径，点C是直径AB上方半圆上一动点，连接AC、BC．（1）如图1，则△ABC面积的最大值是；（2）如图2，如果AC＝8，①则BC＝；②作∠ACB的平分线CP交⊙O于点P，求长CP的长．（3）如图3，连接AP并保持CP平分∠ACB，D为线段BC的中点，过点D作DH⊥AP，在C点运动过程中，请直接写出DH长的最大值．。

专题11 角平分线的一个结论及其推广【专题综述】角平分线的意义及性质是三角形中的重要解题应用性质之一，也是中考题型常出现的重要性质之一，本文将三角形角平分线定理作一推广,并探讨其解平面几何题上的一些应用。

【方法解读】一、双内角平分线例1 如图，△ABC 中，∠ABC 、∠AC B 的平分线相交于点I.你能归纳出∠BIC 和∠A 的关系吗？ICBA【举一反三】（2016春•东台市月考）如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点I ，爱动脑筋的小明同学在写作业时，发现了如下规律：（1）若∠A=50°，则∠BIC=115°=90°+250︒； （2）若∠A=90°，则∠BIC=135°=90°+290︒；（3）若∠A=130°，则∠BIC=155°=90°+2130︒；（4）根据上述规律，或∠A=150°，则∠BIC= ． （5）请你用数学表达式归纳出∠BIC 与∠A 的关系： ． （6）请证明你的结论．二、双外角平分线例2 如图，点 O 是△ABC 的外角∠DBC 和∠BCE 的平分线的交点，试判断∠BOC 和∠A 有何关系？O EDIC BA【举一反三】（2015秋•津南区校级期中）（1）如图a，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，①若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC的度数为；②若∠A=76°，则∠BOC的度数为；③你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？注明理由．（2）如图b，点O是△ABC的两外角平分线BO，CO的交点，那么∠BOC与∠A有怎样的数量关系？注明理由．三、内外角平分线例3 如图，点D是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，试探究∠D与∠A有何关系？【举一反三】已知如图1，∠ABC，∠ACB的平分线交于I，根据下列条件分别求出∠BIC的度数；你能发现∠BIC与∠A的关系吗？并说明理由．（1）变式一：如图2，点P是△ABC的中外两角∠DBC与∠ECB平分线的交点，试探索∠BPC与∠A的数量关系，并说明理由．（2）变式二：如图3，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于D，试探索∠A与∠D的数量关系，并说明理由．【强化训练】1.（探索题）如图△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠BOC；（2）你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？2.（2017秋•抚顺县期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．（1）如图1，∠A=90°，则∠BOC=；（2）如图2，∠A=80°，求∠BOC的度数；（3）从上述计算中，你能发现∠BOC与∠A的关系吗？请直接写出∠B0C与∠A的关系．3.如图1，在△ABC中，∠A=72°，∠ABC与∠ACB的平分线交于I．（1）求∠BIC的度数；（2）如图2，如果∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，求∠BDC和∠BEC的度数；（3）设想一下，如果∠ABC和∠ACB的n等分线相交，你能求出它们所成钝角的度数吗？4.（2016•内江）问题引入：（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=（用α表示）；如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，则∠BOC=（用α表示）拓展研究：（2）如图③，∠CBO=∠DBC ，∠BCO=∠ECB ，∠A=α，请猜想∠BOC= （用α表示），并说明理由． 类比研究：（3）BO 、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC 、∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO=n1∠DBC ，∠BCO=n1∠ECB ，∠A=α，请猜想∠BOC= ．5.（2017春•雨城区校级期中）如图，BI ，CI 分别平分△ABC 的外角∠DBC 和∠ECB ， （1）若∠ABC=40°，∠ACB=36°，求∠BIC 的大小； （2）若∠A=96°，试求∠BIC ；（3）根据前面问题的求解，请归纳∠BIC 和∠A 的数量关系并进行证明．6.已知：如图，O 是△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点． （1）若∠A=46°，求∠BOC ；（2）若∠A=n°，用n 的代数式表示∠BOC 的度数．7.（2015秋•德州校级月考）如图1，在△ABC 中，∠A=40°，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ， （1）∠BPC= 度；（2）猜想∠A 与∠P 之间有什么关系？并证明你的猜想；（3）如图2，若点P为∠ABC与外角∠ACE的角平分线的交点，试猜想并证明∠A与∠P的关系．8.（2015秋•舟山校级月考）如图，已知∠A=n°，若P1点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，P2点是∠P1BC和外角∠P1CE的角平分线的交点，P3点是∠P2BC和外角∠P2CE的交点…依此类推，则∠P n=（）A． B． C．D．9.（2012春•相城区期中）（1）如图1，BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC与∠A的关系是（直接写出结论）；（2）如图2，BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，则∠BOC与∠A的关系是，请证明你的结论．（3）如图3，BO、CO分别是△ABC一个内角和一个外角的平分线，则∠BOC与∠A的关系是，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：∠DOF=90°，点A、B分别是射线OF、OD上的动点，△ABO的外角∠OBE的平分线与内角∠OAB的平分线相交于点P，猜想∠P的大小是否变化？请证明你的猜想．10.（2016春•雅安校级期中）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（4）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）．（5）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=度．。

中考数学专题复习题：角平分线一、单项选择题（共7小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧交于点P，2作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（）A．12B．24C．36D．48第1题图第2题图第3题图2．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若AD=2，BC=6，则△DBC的面积是（）A．12B．8C．6D．23．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点D作DE⊥BC于点E．已知DE=1，△ABC的周长为14，则△ABC的面积为（）A．7B．14C．8D．164．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧交于点P，2连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④BD=2CD．A．4B．3C．2D．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于1MN的长为半2径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点，若AB=5,BC=3，则线段CD的长为（）A．32B．53C．43D．85第5题图第6题图第7题图6．如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，△ABD与△ACD的面积比是5:4，AB=10，AC=8，∠BAC=50°，则∠BAD的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，若BC=18，DE=8，则△BCE的面积等于（）A．36B．54C．63D．72二、填空题（共5小题）8．已知：如图，在ΔABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=9cm，BD=6cm，那么AB的长是________．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝12，则△DEC的周长为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于12FG的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E，若AE=3，BC=7，则△BEC的面积为________．第10题图第11题图11．如图所示，已知△ABC的周长是30，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是________．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是________．三、解答题（共513．如图，请在△ABC内确定一点O，使得点O到△ABC的两边AB，AC的距离相等，且点O到A、B两点的距离相等．14．如图所示，在△ABC外作△ABD和△ACE，使AD=AB，AE=AC，且∠DAB=∠EAC=α，连接BE，CD相交于P点．（1）求证：△ADC≌△ABE．（2）∠DPB=________（用含α的代数式表示）．（3）求证：点A在∠DPE的平分线上．15．如图，BD//GE，∠AFG=∠1=50°，AQ平分∠FAC，交BD的延长线于点Q，交DE于点H，∠Q=15°，求∠CAQ的度数．16．如图所示，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝120°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数．（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之变化？若变化，请找出规律；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出∠OEC度数；若不存在，请说明理由．17．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明∠CAD=∠DAB的依据是△AFD≌△AED，这两个三角形全等的判定条件是________．【问题探究】（2）①构距离，造全等如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°,∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交于边BC 上一点E．过点E作EF⊥AD于点F．若BC=12cm，则EF=________cm．②巧翻折，造全等如图3，在△ABC中，AB<AC,AD是△ABC的角平分线，请说明∠B>∠C；小明在AC上截取AE=AB．连接DE，则△ABD≌△AED(SAS)．请继续完成小明的解答．【问题解决】（3）如图4，在△ABC中，∠A=60°,BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P．请判断PE与PF之间的数量关系，并说明理由．。

微专题六与角平分线有关的问题模型一：过角平分线上一点向角两边作垂线模型特点过角平分线上的一点向角的两个边作垂线段，得到垂线段相等模型示例解题思路及结论如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM 于点A，PB⊥ON于点B，∴PB＝PA，∴Rt △AOP≌Rt △BOP.1．(2019·湖州中考)如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(B)A．24 B．30 C．36 D．422．(2021·铜仁中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：步骤1：以点A 为圆心，小于AC 的长为半径作弧分别交AC ，AB 于点D ，E.步骤2：分别以点D ，E 为圆心，大于12 DE 的长为半径作弧，两弧交于点M.步骤3：作射线AM 交BC 于点F.则AF 的长为(B)A ．6B ．3 5C ．4 3D ．6 2模型二：利用角平分线，构造对称图形模型特点在角的平分线的两边上截长补短，构造全等三角形模型示例解题思路及结论如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB ＝OA ，连接PB ，则△OPB ≌△OPA.1．(2021·临沂模拟)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C ＝2∠B ， 求证：AB ＝AC ＋CD.【证明】在AB 上取点E ，使得AE ＝AC ，连接DE ，在△AED 和△ACD 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AC ∠1＝∠2AD ＝AD，∴△AED ≌△ACD(SAS)，∴∠AED ＝∠C ，ED ＝CD ，∵∠C ＝2∠B ，且∠AED ＝∠B ＋∠BDE ，∴∠B ＝∠BDE ，∴BE ＝DE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋DE ＝AC ＋CD.2．(2021·齐齐哈尔质检)阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B ＝2∠C.求证：AB ＋BD ＝AC.”李老师给出了如下简要分析：要证AB ＋BD ＝AC ，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE ＝AB ，连接DE ，只要证BD ＝__EC__即可，这就将证明线段和差问题__转化__为证明线段相等问题，只要证出△__ABD__≌△__AED__，得出∠B ＝∠AED 及BD ＝__DE__，再证出∠__EDC__＝__∠C__，进而得出ED ＝EC ，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分∠BAC ，将△ABD 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF ＝BD.只要证AF ＝AC 即可，此时先证∠__F__＝∠C ，再证出△__AFD__≌△__ACD__，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．模型三：作角平分线的垂线构造等腰三角形模型特点从角一边上的一点作角平分线的垂线，构造等腰三角形，利用“三线合一”解题模型示例解题思路及结论如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B，Rt△AOP≌Rt△BOP，△AOB是等腰三角形1. (2021·深圳质检)如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝9，BC＝5，则CD的长为(C)A．214 B．4C．21 D．52．(2021·武汉质检)如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠CAB 的平分线AD交BC于点D，过B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD＝2BE.【证明】延长BE 和AC 相交于点M ，如图所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，又∵AD 是∠CAB 的平分线，∴∠MAE ＝∠BAE ，又∵BE ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠AEM ＝90°，在△AME 和△BAE 中⎩⎪⎨⎪⎧∠MAE ＝∠BAE AE ＝AE∠AEM ＝∠AEB ，∴△AME ≌△ABE(ASA)，∴BE ＝ME ，∴BM ＝2BE ，又∵∠ACB ＝90°，∴∠ADC ＋∠DAC ＝90°，又∵∠BDE ＋∠DBE ＝90°，∠ADC ＝∠BDE ，∴∠DAC ＝∠MBC ，在△ACD 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACD ＝∠BCM ＝90°AC ＝BC∠DAC ＝∠MBC，∴△ACD ≌△BCM(ASA)∴AD ＝BM ∴AD ＝2BE.模型四：过角平分线上一点作角一边的平行线构造等腰三角形模型特点过角平分线上的一点作角一边的平行线，从而构造等腰三角形模型示例解题思路及结论如图，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，则△QOP为等腰三角形1．(2021·高邮质检)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝3.5，DE＝6，则线段EC的长为(D)A．3 B．4 C．2 D．2.52．(2021·广安模拟)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝__2__．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；(2)求证：FB＝FE.【解析】(1)∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ，∵∠C ＝36°，∴∠ABC ＝36°，∵BD ＝CD ，AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝90°－36°＝54°.(2)∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ， ∵EF ∥BC ，∴∠FEB ＝∠CBE ，∴∠FBE ＝∠FEB ，∴FB ＝FE.模型五：两内角平分线交角模型特点 三角形的两内角平分线相交模型示例解题思 路及结论 如图，若点P 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，则∠P＝90°＋12∠A(2021·巴中模拟)如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB.若∠BOC ＝110°，则∠A ＝__40°__．模型六：两外角平分线交角模型特点三角形的两外角平分线相交模型示例解题思路及结论如图，若点P是外角∠CBF和∠BCE平分线的交点，则∠P＝90°－12∠A(2021·江阴质检)如图，AD，CD是△ABC两个外角的角平分线，若∠BAC ＝60°，∠BCA＝80°，则∠B＝__40__°，∠D＝__70__°.模型七：一内角一外角平分线交角模型特点三角形的内角平分线与外角平分线相交模型示例解题思路及结论如图，若点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，则∠P＝12∠A1．(2019·大庆中考)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是(B)A.15°B．30°C．45°D．60°2．(2021·绍兴模拟)如图，点A，B分别在射线OM，ON上运动(不与点O 重合).(1)如图1，若∠MON＝90°，∠OBA，∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB ＝__________°；(2)如图2，若∠MON＝n°，∠OBA，∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；(3)如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN与∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；(4)如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E.试问：随着点A，B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．【解析】(1)∵∠MON＝90°，∴∠OBA＋∠OAB＝90°，∵∠OBA，∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC ＋∠BAC ＝12 ×90°＝45°，∴∠ACB ＝180°－45°＝135°；答案：135(2)在△AOB 中，∠OBA ＋∠OAB ＝180°－∠AOB＝180°－n°，∵∠OBA ，∠OAB 的平分线交于点C ， ∴∠ABC ＋∠BAC ＝12 (∠OBA ＋∠OAB)＝12 (180°－n°)，即∠ABC ＋∠BAC ＝90°－12 n°，∴∠ACB ＝180°－(∠ABC ＋∠BAC)＝180°－⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－12n° ＝90°＋12 n°；(3)∵BC ，BD 分别是∠OBA 和∠NBA 的角平分线， ∴∠ABC ＝12 ∠OBA ，∠ABD ＝12 ∠NBA ，∴∠ABC ＋∠ABD ＝12 ∠OBA ＋12 ∠NBA ＝12 (∠OBA ＋∠NBA)＝90°，即∠CBD ＝90°，同理：∠CAD ＝90°，∵四边形内角和等于360°，∴∠ACB ＋∠ADB ＝360°－90°－90°＝180°， 由(2)知：∠ACB ＝90°＋12 n°，∴∠ADB ＝180°－⎝ ⎛⎭⎪⎫90°＋12n° ＝90°－12 n°，∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°，∠ADB ＝90°－12 n°.(4)∠E 的度数不变，∠E ＝40°；理由如下：∵∠NBA ＝∠AOB ＋∠OAB ，∴∠OAB ＝∠NBA －∠AOB ，∵AE ，BC 分别是∠OAB 和∠NBA 的角平分线， ∴∠BAE ＝12 ∠OAB ，∠CBA ＝12 ∠NBA ，∵∠CBA ＝∠E ＋∠BAE ，即12 ∠NBA ＝∠E ＋12 ∠OAB ，∴12 ∠NBA ＝∠E ＋12 (∠NBA －80°)＝∠E ＋12 ∠NBA －40°，∴∠E ＝40°.。

初中数学复习几何模型专题讲解专题29 平行线中和角平分线有关的图形一、单选题1．在钝角△ABC中，延长BA到D，AE是∠DAC的平分线，AE//BC，则与∠B相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】依据角平分线的性质和平行线的性质即可求解．【详解】解析：依据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠B =∠DAE=∠CAE=∠C故选C．【点睛】此题主要考查角平分线的性质与平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质．2．如图，点A、C为∠FBE边上的两点，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠F AD＝45°，则∠ACE＝（）A．45°B．67.5°C．112.5°D．135°【答案】C【分析】先根据平角的定义求出∠BAD，根据角平分线的性质求出∠DAC，再利用平行线的性质，得到∠ACB的度数．最后通过平角求出∠ACE．【详解】解：∵∠F AD＝45°，∴∠BAD＝180°-45°＝135°．∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝12BAD∠＝67.5°．∵AD∥BE，∴∠ACB＝∠DAC＝67.5°．∴∠ACE＝180°-67.5°＝112.5°．故选：C．【点睛】本题考查平行的性质和角平分线的性质，解题关键是运用题目中的条件去求解角的度数，能够从角平分线和平行这两个条件想到图中存在等腰三角形．3．如图，已知BM平分∠ABC，且BM//AD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．70°【答案】B【分析】先根据角平分线的性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数．【详解】解：∵BM平分∠ABC，∴∠MBA＝12∠ABC＝35°．∵BM∥AD，∴∠A＝∠MBA＝35°．故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．二、解答题4．如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE 的平分线相交于点K．（1）求∠EKF的度数；（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．（3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数．【答案】（1）∠EKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，证明见解析；（3）∠K4＝5.625°．【分析】（1）过K作KG∥AB，交EF于G，根据平行于同一条直线的两直线平行可得AB∥KG∥CD，从而得出∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，然后根据角平分线的定义即可求出∠BEK+∠DFK＝90°，从而得出结论；（2）根据角平分线的定义可得∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，结合（1）的结论可得∠BEK1+∠DFK1＝45°，从而求出∠K1，即可得出结论；（3）根据（2）中的规律即可得出结论．【详解】（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G，∵AB∥CD，∴AB∥KG∥CD，∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，∴2（∠BEK+∠DFK）＝180°，∴∠BEK+∠DFK＝90°，则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，理由为：∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，同（1）得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，则∠K＝2∠K1；（3）如图（3），根据（2）中的规律和推导方法可得：∠K2＝12∠K1＝22.5°，∠K3＝12∠K2＝11.25°，∠K4＝12∠K3＝5.625°．【点睛】此题考查的是平行线的性质及判定，掌握平行线的各个性质定理是解题关键．5．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）①∠ABN的度数是；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠；（2）求∠CBD的度数；（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是．【答案】（1）①116,︒②CBN；（2）58︒；（3）不变，:2:1APB ADB∠∠=，理由见解析；（4）29.︒【分析】（1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；（2）由角平分线的定义可以证明∠CBD＝12∠ABN，即可求出结果；（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；（4）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．【详解】解：（1）①∵AM//BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案为：116°；②∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，故答案为：CBN；（2）∵AM//BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，∵AM//BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（4）∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD ＝∠CBD+∠DBN∴∠ABC ＝∠DBN ，由（1）∠ABN ＝116°，∴∠CBD ＝58°，∴∠ABC+∠DBN ＝58°，∴∠ABC ＝29°，故答案为：29°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等．6．如图1，在平面直角坐标系中，(,0),(,2)A a C b ，且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB x ⊥轴于B ．（1）求ABC ∆的面积．（2）若过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且,AE DE 分别平分,CAB ODB ∠∠，如图2，求AED ∠的度数．（3）在y 轴上存在点P 使得ABC ∆和ACP ∆的面积相等，请直接写出P 点坐标．【答案】（1）4；（2）45︒；（2）(0,3)P 或(0,1)-．【分析】（1）根据非负数的性质易得2a =-，2b =，然后根据三角形面积公式计算； （2）过E 作//EF AC ，根据平行线性质得////BD AC EF ，且1312CAB ∠=∠=∠，1422ODB ∠=∠=∠，所以112()2AED CAB ODB ∠=∠+∠=∠+∠；然后把90CAB ODB ∠+∠=︒ 代入计算即可；（3）分类讨论：设(0,)P t ，当P 在y 轴正半轴上时，过P 作//MN x 轴，//AN y 轴，//BM y 轴，利用4APC ANP CMP MNAC S S S S ∆∆∆=--=梯形可得到关于t 的方程，再解方程求出t ； 当P 在y 轴负半轴上时，运用同样方法可计算出t ．【详解】解：（1）2(2)20a b ++-=，20a ∴+=，20b -=，2a ∴=-，2b =，CB AB ⊥(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(2,2)C ，ABC ∆∴的面积12442=⨯⨯=； （2）解：//CB y 轴，//BD AC ，5CAB ∴∠=∠，又∵590ODB ∠+∠=︒，∴90CAB ODB ∠+∠=︒，过E 作//EF AC ，如图①，//BD AC ， ////BD AC EF ∴， 31∴∠=∠，42∠=∠ AE ∵，DE 分别平分CAB ∠，ODB ∠，即：132CAB ∠=∠，142ODB ∠=∠， 112()452AED CAB ODB ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒；（3）(0,1)P -或(0,3)． 解：①当P 在y 轴正半轴上时，如图②，设(0,)P t ， 过P 作//MN x 轴，//AN y 轴，//BM y 轴，4APC ANP CMP MNAC S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴4(2)(2)42t t t t -+---=，解得3t =， ②当P 在y 轴负半轴上时，如图③4APC ANP CMP MNAC S S S S ∆∆∆=--=梯形 ∴4(2)(2)42t t t t -+-+--=，解得1t =-，综上所述：(0,3)P 或(0,1)-．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．构造矩形求三角形面积是解题关键．7．阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ． 求证：∠BED ＝∠B +∠D ．彤彤是这样做的：过点E 作EF //AB ，则有∠BEF ＝∠B ．∵AB //CD ，∴EF//CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D．请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．已知：直线a//b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．【答案】（1）65°；（2）11 18022αβ︒-+【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．【详解】（1）如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF=∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．即∠BED=∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=12∠ABC=30°，∠EDC=12∠ADC=35°，∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．答：∠BED的度数为65°；（2）如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA=180°．∴∠BEF=180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∴∠EBA =12∠ABC =12α，∠EDC =12∠ADC =12β， ∴∠BED =180°﹣∠EBA +∠EDC =180°﹣12α +12β． 答：∠BED 的度数为180°﹣12α +12β． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．8．如图，已知//AM BN ，60A ∠=︒，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC ，BD 分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点C ，D ．（1）求CBD ∠的度数（2）当点P 运动时，:APB ADB ∠∠的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P 运动到某处时，ACB ABD =∠∠，求此时ABC ∠的度数．【答案】（1）60°；（2）不变，∠APB ：∠ADB=2：1；（3）30°【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD=12∠ABN 即可； （2）不变．可以证明∠APB=∠PBN ，∠ADB=∠DBN=12∠PBN ． （3）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN 即可解决问题；【详解】解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN=180°-∠A=120°，又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12（∠ABP+∠PBN）=12∠ABN=60°，（2）不变．理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠ADB=∠DBN=12∠PBN=12∠APB，∴∠APB：∠ADB=2：1．（3）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，又∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，∴∠ABC=14∠ABN=30°，【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于点D，∠CDE=160°，求∠C的度数【答案】140°【分析】先根据邻补角的定义求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质及角平分线的定义得出∠ADB及∠ABC的度数，由平行线的性质可得出∠C的度数．【详解】解：∵∠CDE=160°，∴∠CDB=180°-∠CDE=180°-160°=20°，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB=20°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=2×20°=40°，∴∠C=180°-∠ABC=180°-40°=140°．【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义及邻补角的性质，熟知平行线的性质是解答此题的关键．10．如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD平分∠BAC，求证：∠1=∠E．下面是部分推理过程，请你填空或填写理由证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC (已知)，∴∠ADC=∠EGC=90∘（），∴AD∥EG（），∴∠2=______，( )∠3=______(两直线平行，同位角相等) ．又∵AD平分∠BAC（），∴∠2=∠3（），∴∠1=∠E（）【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，内错角相等；∠E；已知；角平分线的定义；等量代换【分析】根据平行线的性质和判定以及角平分线的定义证明即可．【详解】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC (已知)，∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），∴AD//EG（同位角相等，两直线平行），∴∠2=1，(两直线平行，内错角相等)∠3=∠E(两直线平行，同位角相等) ．又∵AD平分∠BAC（已知），∴∠2=∠3（角平分线的定义），∴∠1=∠E（等量代换）．【点睛】本题主要考查平行线的性质及判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质及判定是解题的关键．AB CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，11．已知直线//CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB =36°，求∠MCD的度数；（2）如图2，点G在CH上时，试说明：2∠MCD+∠GAB=90°．【答案】（1）63°；（2）见解析【分析】（1）依据AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；（2）结合（1）得ACD+∠CAH=180°，再依据角平分线的定义，即可得2∠MCD+∠GAB=90°．【详解】（1）∵AG⊥AC，∠GAB=36°，∴∠CAH=90°-36°=54°，∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAH=180°，∴∠ACD=126°，∵CM是∠ACD的平分线，∴∠ACH=∠DCM=63°；（2）∵∠ACH=∠DCM，∴∠ACD=2∠MCD，由（1）得ACD+∠CAH=180°，∵AG⊥AC，∴∠CAG=90°，∴2∠MCD+90°+∠GAB=180°，∴2∠MCD+∠GAB=90°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，利用两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．12．阅读理解：我们知道“三角形三个内角的和为180°”，在学习平行线的性质之后，可以对这一结论进行推理论证．请阅读下面的推理过程：如图①，过点A作DE//BC∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C=180°即：三角形三个内角的和为180°．阅读反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系．方法运用：如图②，已知AB//DE，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF//AB）深化拓展：如图③，已知AB//CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，点B在点A的左侧，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，且点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．【答案】方法运用：360°；深度拓展：65°【分析】方法运用：过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；深化拓展：过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，再利用角平分线的定义和等量代换即可求∠BED的度数．【详解】方法运用：解：过点C作CF∥AB∴∠B=∠BCF∵CF∥AB且AB∥DE∴CF∥DE∴∠D=∠DCF∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°∴∠B+∠BCD+∠D=360°深化拓展：过点E作EF∥AB∴∠BEF=∠ABE又∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°∴∠BEF=∠ABE=12∠ABC=30°∵EF∥AB，AB∥CD∴EF∥CD∴∠DEF=∠EDC又∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°∴∠DEF=∠EDC=12∠ADC=35°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，能够作出平行线是解题的关键．13．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．操作发现（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B 重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；结论应用（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．【答案】（1）75°；（2）见解析；（3）∠2＝3∠3【分析】（1）利用三角板的度数，求出∠DBC的度数，再利用平行线的性质得到∠BDN的度数，由此得到∠1的度数；（2）过B点作BG∥直线m，利用平行线的性质可得到∠3＝DBG和∠LAB＝∠ABG，再利用等量代换得到∠3+∠LAB＝75°，利用余角性质得到∠LAB＝90°-∠2，由此证明结论；（3）结论：∠2＝3∠3．利用（2）中结论，结合平行线的性质得到∠2和∠3的度数由此证明结论．【详解】（1）∵直线n∥直线l，∴∠DBC＝∠BDN，又∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣30°＝15°，∴∠BDN＝15°，∴∠1＝90°﹣15°＝75°．（2）如图所示，过B点作BG∥直线m，∵BG∥m，l∥m，∴BG∥l（平行于同一直线的两直线互相平行），∵BG∥m，∴∠3＝DBG，又∵BG∥l，∴∠LAB＝∠ABG，∴∠3+∠LAB＝∠DBA＝30°+45°＝75°，又∵∠2和∠LAB互为余角，∴∠LAB ＝90°﹣∠2，∴∠3+90°﹣∠2＝75°，∴∠2﹣∠3＝15°．（3）结论：∠2＝3∠3．理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，又∵CN 平分∠BCA ，∴∠BCN ＝∠CAN ＝22.5°，又∵直线n ∥直线l ，∴∠2＝22.5°，∴∠3＝7.5°，∴∠2＝3∠3．【点睛】考查平行线的性质并结合了三角板中的特殊角度，学生需要作辅助线利用平行线的传递性将特殊的角的关系联系起来，熟悉掌握平行线之间角的关系是解题的关键． 14．如图，AB CD ∥，点E 、F 分别在直线AB 、CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，100EOF ∠=︒．（1）求BEO DFO ∠+∠的值；（2）如图2，直线MN 交BEO ∠、CFO ∠的角平分线分别于点M 、N ，求EMN FNM∠-∠的值；（3）如图3，EG 在AEO ∠内，AEG n OEG ∠=∠，FK 在DFO ∠内，DFK n OFK ∠=∠．直线MN 交FK 、EG 分别于点M 、N ，若50FMN ENM ∠-∠=︒，则n 的值是__________．【答案】（1）260° ；（2）40°；（3）53【分析】（1）如下图，过点O 作OG AB ，可得出AB OG CD ，然后利用平行的性质进行角度转换可得出答案；（2）如图，过点M 作MK AB ，过点N 作NH CD ∥，然后设BEM OEM x ∠=∠=，CFN OFN y ∠=∠=，利用方程思想进行角度推导，可得出答案；（3）如下图，过点O 作AB 的平行线OQ ，同样利用方程思想进行推导转化，可得出n 的值．【详解】（1）证明：过点O 作OG AB∵AB CD ∥∴AB OG CD∴180BEO EOG ∠+∠=︒，180DFO FOG ∠+∠=︒∴360BEO EOG DFO FOG ︒∠+∠+∠+∠=即360BEO EOF DFO ∠+∠+∠=︒∵100EOF ∠=︒∴260BEO DFO ︒∠+∠=（2）解：过点M 作MK AB ，过点N 作NH CD ∥，∵EM 平分BEO ∠，FN 平分CFO ∠设BEM OEM x ∠=∠=，CFN OFN y ∠=∠=∵260BEO DFO ︒∠+∠=∴21802260BEO DFO x y ︒︒∠+∠=+-=∴40x y -=︒∵MK AB ，NH CD ∥，AB CD ∥ ∴AB MK NH CD∴EMK BEM x ∠=∠=，HNF CFN y ∠=∠=，KMN HNM ∠=∠∴()EMN FNM EMK KMN HNM HNF ∠∠=∠+∠-∠+∠-x KMN HNM y =+∠-∠-40x y ︒=-=（3）如下图，过点O 作AB 的平行线OQ设∠NEO=x ，则∠AEN=nx设∠OFM=y，则∠MFD=ny∵AB∥CD，AB∥OQ∴AB∥OQ∥CD∴∠EOQ=∠AEO=(n+1)x，∠QOF=180°－(n+1)y∵∠EOF=100°∴∠EOQ+∠QOF=100°，化简得：(n+1)(y－x)=80°在△NPE中，∠ENP=180°－x－∠NPE在四边形POFM中，∠PMF=360°－y－100°－∠OPM∵∠PMF－∠ENP=50°∴∠PMF－∠ENP=50=360°－y－100°－∠OPM－(180°－x－∠NPE) ∵∠NPE=∠OPM∴∠PMF－∠ENP化简后得：150°+(y－x)=180°∴y－x=30°∵(n+1)(y－x)=80°∴解得：n=53．【点睛】本题考查平行线的综合应用，解题关键是构造平行线，然后利用方程思想进行角度转化求解．15．如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．（1）猜想DOP是三角形；（2）补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB∴＝∵DN∥EM∴＝∴＝∴＝【答案】等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD，见解析【分析】（1）三角形的种类有多种，从边和角的关系上看常见的有：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、观察此三角形即可大体猜想出三角形的类型；（2）根据角平分线的性质和平行线的性质，求得∠DOP＝∠DPO，即可判断三角形的形状．【详解】解：（1）我们猜想△DOP是等腰三角形；（2）补全下面证明过程：∵OC平分∠AOB，∴∠DOP ＝∠BOP ，∵DN ∥EM ，∴∠DPO ＝∠BOP ，∴∠DOP ＝∠DPO ，∴OD ＝PD ．故答案为：等腰，∠DOP ，∠BOP ，∠DPO ，∠BOP ，∠DOP ，∠DPO ，OD ，PD ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质及等腰三角形，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理，找到相等的角．16．在小学认识三角形的基础上我们来继续学习三角形．三角形可用符号“”表示． 例：如图1中的三角形可记作“ABC ”；在一个三角形中，如果有两个角相等，我们新定义这个三角形为等角三角形．（1）如图1，ABC ∠的角平分线交AC 于D ，//DE BC 交AB 于E ，①请在图1中依题意补全图形；②判断EBD △是不是等角三角形；(直接写出结论即可)．（2）如图2，AF 是GAC ∠的角平分线，//BC AF ．判断ABC 是不是等角三角形，并说明理由．（3）如图3，BM ，CM 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．【答案】（1）①见解析；②△EBD 是等角三角形；（2）△ABC 是等角三角形，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②根据角平分线定义可得∠ABD ＝∠DBC ，根据平行线的性质可得∠EDB ＝∠DBC ，进而可得∠EBD ＝∠EDB ，从而可得△EBD 是等角三角形；（2）根据平行线的性质可得∠1＝∠B ，∠2＝∠C ，再根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，进而可得结论；（3）过点M 作GH ∥BC ，交AB 于点G ，交AC 于点H ，利用平行线的性质和角平分线定义解答即可．【详解】解：（1）①补全图形如图4所示．②△EBD是等角三角形．理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形．理由如下：如图5，∵AF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵AF是∠GAC的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等角三角形．（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，如图6，出现两个等角三角形分别是：△GBM和△HMC．下面说明△GBM是等角三角形．理由：∵GH∥BC，∴∠1＝∠2，∵BM是∠ABC角平分线，∴∠GBM＝∠2，∴∠1＝∠GBM，所以△GBM是等角三角形．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．17．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E 2，第三次操作，分别作∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，…，第n 次操作，分别作∠ABE n ﹣1和∠DCE n ﹣1的平分线，交点为E n ．（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = °；（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE 1C 的度数；（3）猜想：若∠BEC ＝α度，则∠BE n C = °．【答案】（1）75；（2）70°；（3）2n α⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）先过E 作EF ∥AB ，根据AB ∥CD ，得出AB ∥EF ∥CD ，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；（2）先根据∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E 1，运用（1）中的结论，得出∠BE 1C=∠ABE 1+∠DCE 1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC ； （3）根据∠ABE 1和∠DCE 1的平分线，交点为E 2，得出∠BE 2C=14∠BEC ；根据∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，得出∠BE 3C=18∠BEC ；…据此得到规律∠E n =12n ∠BEC ，最后求得∠BE n C 的度数．【详解】解：（1）如图①，过E 作EF ∥AB ，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；故答案为：75；（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴由（1）可得，∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC；∵∠BEC=140°，∴∠BE1C=70°；（3）如图2，∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴由（1）可得，∠BE 2C=∠ABE 2+∠DCE 2=12∠ABE 1+12∠DCE 1=12∠CE 1B=14∠BEC ； ∵∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，∴∠BE 3C=∠ABE 3+∠DCE 3=12∠ABE 2+12∠DCE 2=12∠CE 2B=18∠BEC ； …以此类推，∠E n =12n ∠BEC ， ∴当∠BEC=α度时，∠BE n C 等于2n α⎛⎫ ⎪⎝⎭°． 故答案为：2n α⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．18．完成下面的证明．如图：BAP ∠与APD ∠互补，BAE CPF ∠=∠，求证：E F ∠=∠．对于本题小明是这样证明的，请你将他的证明过程补充完整．证明：BAP ∠与APD ∠互补，（已知）//AB CD ∴．( )BAP ∴∠= ．(两直线平行，内错角相等)BAE CPF ∠=∠，（已知）BAP BAE APC CPF ∴∠-∠=∠-∠，（等量代换）即EAP ∠= ．∴ ．(内错角相等，两直线平行)E F ∴∠=∠．( )19．如图，//AB CD ，点C 在点D 的右侧，ABC ∠，ADC ∠的平分线交于点E （不与B ，D 点重合），70ADC ∠=︒．设BED n ∠=︒．（1）若点B 在点A 的左侧，求ABC ∠的度数（用含n 的代数式表示）（2）将（1）中的线段BC 沿DC 方向平移，当点B 移动到点A 右侧时，请画出图形并判断ABC ∠的度数是否改变．若改变，请求出ABC ∠的度数（用含n 的代数式表示）；若不变，请说明理由．【答案】同旁内角互补，两直线平行；APC ∠；APF ∠；//AE FP ；两直线平行，内错角相等．【分析】已知∠BAP 与∠APD 互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得AB ∥CD ，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案．【详解】证明：BAP ∠与APD ∠互补，（已知）//AB CD ∴（同旁内角互补，两直线平行）．BAP ∴∠=APC ∠（两直线平行，内错角相等）， BAE CPF ∠=∠，（已知）BAP BAE APC CPF ∴∠-∠=∠-∠，即EAP ∠=APF ∠，//AE FP ∴（内错角相等，两直线平行），E F ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；APC ∠；APF ∠；//AE FP ；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质和等式的性质，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质．20．如图，AC ∥DE ，BD 平分∠ABC 交AC 于F ，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D ，∠A 的度数．【答案】95,60D A ∠=︒∠=︒【分析】根据BD 平分∠ABC ，∠ABC=70°得出1352ABF DBC ABC ∠=∠=∠=︒,再根据//,50AC CE E ∠=︒得出50∠=°ACB ,从而计算,D A ∠∠．【详解】∵根据BD 平分∠ABC 交AC 于F ，∠ABC=70° ∴1352ABF DBC ABC ∠=∠=∠=︒ 又∵//,50AC CE E ∠=︒∴50∠=°ACB∴180705060A ∠=︒-︒-︒=︒180355095BFC ∠=︒-︒-︒=︒∴95D BFC ∠=∠=︒综上所述：95,60D A ∠=︒∠=︒【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，转化相关的角度是解题关键． 21．直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点A 、C ，CM 是ACD ∠的平分线，CM 交AB 于点N ．（1）如图①，过点A 作AC 的垂线交CM 于点M ，若55MCD ∠=，求MAN ∠的度数； （2）如图②，点G 是CD 上的一点，连接MA 、MG ，180MGD EAB ∠+∠=，MC 平分AMG ∠．①AMG ∠和EAB ∠满足怎么样的数量关系时EC AM ⊥？②若36AMG ∠=，求ACD ∠的度数．【答案】（1）20°；（2）①当AMG ∠＋EAB ∠=180°时，EC AM ⊥；②108°【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACD ，然后根据平行线的性质可得∠EAB=∠ACD=110°，然后根据垂直的定义求出∠MAE=90°，即可求出结论；（2）①当AMG ∠＋EAB ∠=180°时，根据平行线的性质可推出∠AMG ＋∠ACD=180°，然后根据角平分线的定义可得出∠ACM ＋∠AMC=90°，利用三角形的内角和即可求出∠MAC=90°，从而得出EC AM ⊥；②设∠ACD=x ，根据角平分线的定义可得∠GCM=12ACD ∠=12x ，∠GMC=12∠AMG =18°，根据平行线的性质可得∠EAB=∠ACD=x ，从而得出∠MGD=180°－x ，然后根据三角形外角的性质列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）∵CM 是ACD ∠的平分线，55∠=︒MCD∴∠ACD=2∠MCD=110°∵AB ∥CD ，∴∠EAB=∠ACD=110°∵MA ⊥AC∴∠MAE=90°∴∠MAN=∠EAB －∠MAE=20°（2）①当AMG ∠＋EAB ∠=180°时，EC AM ⊥ ∵AB ∥CD ，∴∠EAB=∠ACD∴∠AMG ＋∠ACD=180°∵CM 是ACD ∠的平分线，MC 平分AMG ∠∴∠ACM=12ACD ∠，∠AMC=12∠AMG ∴∠ACM ＋∠AMC=12ACD ∠＋12∠AMG =()12∠∠+ACD AMG =90° ∴∠MAC=180°－（∠ACM ＋∠AMC ）=90° ∴EC AM ⊥；②设∠ACD=x∵CM 是ACD ∠的平分线，MC 平分AMG ∠，36∠=︒AMG∴∠GCM=12ACD ∠=12x ，∠GMC=12∠AMG =18° ∵AB ∥CD ，∴∠EAB=∠ACD=x∵180MGD EAB ∠+∠=∴∠MGD=180°－x∵∠MGD=∠GCM ＋∠GMC即180－x=12x ＋18 解得：x=108即∠ACD=108°【点睛】此题考查的是平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理和三角形外角的性质是解决此题的关键．22．已知AB//CD，点E是平行线之间一点．（测量发现）连结EA，EC，分别做∠EAB与ECD的角平分线交于点F，通过测量我们发现∠AEC=2∠AFC．（探索新知）如图，若∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，试探索∠AFC与∠AEC之间的关系，请说明理由．（合理猜想）若∠EAF=1n∠EAB，∠ECF=1n∠ECD，请猜想∠AFC与∠AEC之间的关系，不必说明理由．【答案】∠AFC=34∠AEC，理由见解析；∠AFC=1nn∠AEC【分析】探索新知：过点F作FH//AB，先证∠BAE+∠DCE=∠AEC，再根据∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD即可证明；合理猜想：过点F作FH//AB，先证∠BAE+∠DCE=∠AEC，再根据∠EAF=1n∠EAB，∠ECF=1n∠ECD，即可证明.【详解】探索新知：过点F作FH//AB，∵AB//CD，∴FH//CD，∴∠AFH=∠FAB，∠CFH=∠FCD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠BAE+∠DCE=∠AEC，∵∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，∴∠FAB+∠FCD=34∠AEC，∴∠AFC=34∠AEC；合理猜想：过点F作FH//AB，∵AB//CD，∴FH//CD，∴∠AFH=∠FAB，∠CFH=∠FCD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠BAE+∠DCE=∠AEC，∵∠EAF=1n∠EAB，∠ECF=1n∠ECD，∴∠FAB+∠FCD=1nn-∠AEC，∴∠AFC=1nn-∠AEC．【点睛】本题是对平行线性质的考查，熟练掌握平行线的性质定理是解决本题的关键．23．AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E．∠ADC＝70°．（1）求∠EDC 的度数；（2）若∠ABC＝30°，求∠BED 的度数；（3）将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC ＝n°，请直接写出∠BED 的度数（用含n的代数式表示）．【答案】（1）35︒（2）50︒（3）12152n ︒-︒ 【分析】（1）根据角平分线定义即可得到答案；（2）过点E 作//EF AB ，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解；（3）过点E 作//EF AB ，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解．【详解】解：（1）∵DE 平分ADC ∠，70ADC ∠=︒ ∴1352EDC ADC ∠=∠=︒； （2）过点E 作//EF AB ，如图：∵DE 平分ADC ∠，70ADC ∠=︒；BE 平分ABC ∠，30ABC ∠=︒ ∴1352EDC ADC ∠=∠=︒，1152ABE ABC ∠=∠=︒ ∵//AB CD ，//EF AB∴////AB EF CD∴35FED CDE ∠=∠=︒，15FEB ABE ∠=∠=︒∴50BED FED FEB ∠=∠+∠=︒；（3）过点E 作//EF AB ，如图：∵DE 平分ADC ∠，70ADC ∠=︒；BE 平分ABC ∠，ABC n ∠=︒ ∴1352EDC ADC ∠=∠=︒，1122ABE ABC n ∠=∠=︒ ∵//AB CD ，//EF AB∴////AB EF CD∴35FED CDE ∠=∠=︒，11801802FEB ABE n ∠=︒-∠=︒-︒ ∴113518021522BED FED FEB n n ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒-︒． 故答案是：（1）35︒（2）50︒（3）12152n ︒-︒ 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差，解答本题的关键是作出辅助线，要求同学们掌握平行线的性质，难度中等．24．如图①，BE 、DF 分别平分四边形ABCD 的外角MBC ∠和NDC ∠，设BAD ∠=α，BCD β∠=．（1）若110αβ+=︒，则MBC NDC ∠+∠= ︒；（2）若BE 与DF 相交于点G ，且25BGD ∠=︒，求α、β所满足的等量关系式，并说明理由；（3）如图②，若αβ=，试判断BE 、DF 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）110；（2）50βα-=︒，理由见解析；（3）BE DF ∥，理由见解析【分析】（1）根据四边形的内角和与邻补角的性质即可求解；（2）连接BD ，先得到1()2CBG CDG αβ∠+∠=+，再根据三角形的内角和得到角度的关系即可求解；（3）由（1）有，∠MBC ＋∠NDC ＝αβ+，BE 、DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和∠NDC ，则∠CBE ＋∠CDH ＝12（αβ+），∠CBE ＋β−∠DHB ＝12（αβ+），根据α＝β，则有∠CBE ＋β−∠DHB ＝12（β＋β）＝β，得到∠CBE ＝∠DHB ，故可得到BE ∥DF ．【详解】解：（1）∵∠ABC ＋∠ADC ＝360°−（αβ+）＝250°，∴∠MBC ＋∠NDC ＝180°−∠ABC ＋180°−∠ADC ＝360°-（∠ABC ＋∠ADC ）=αβ+＝110°．故答案为：110；（2）50βα-=︒．理由如下：如解图①，连接BD ，由（1）知，MBC NDC αβ∠+∠=+， BE 、DF 分别平分四边形ABCD 的外角MBC ∠和NDC ∠， ∴12CBG MBC ∠=∠，12CDG NDC ∠= ()1111()2222CBG CDG MBC NDC MBC NDC αβ∴∠+∠=∠+=∠+=+． 在△BCD 中，∠BDC ＋∠CBD ＝180°−∠BCD ＝180°−β， 在△BDG 中，∠GBD ＋∠GDB ＋∠BGD ＝180°，∴∠CBG ＋∠CBD ＋∠CDG ＋∠BDC ＋∠BGD ＝180°，∴（∠CBG ＋∠CDG ）＋（∠BDC ＋∠CBD ）＋∠BGD ＝180°， ∴12（αβ+）＋180°−β＋25°＝180°， 整理得50βα-=︒；（3）BE DF ∥．理由如下，如解图②所示，延长BC 交DF 于点H ，由（1）、（2）可知，MBC NDC αβ∠+∠=+，1()2CBE CDH αβ∠+∠=+．BCD CDH DHC ∠=∠+∠，CDH BCD DHC DHC β∴∠=∠-∠=-∠，1()2CBE DHC βαβ∴∠+-∠=+． αβ=，1()2CBE DHB ββββ∴∠+-∠=+=， CBE DHB ∴∠=∠，BE DF ∴∥．【点睛】此题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，利用多边形的内角和公式倒角为解题关键．25．已知AM ∥CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B（1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系；（2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD=∠C ；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E.F 在DM 上，连接BE.BF.CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB+∠NCF=180°，∠ABF=2∠ABE ，求∠EBC 的度数.【答案】(1)90°；(2)详见解析;(3)105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）可得∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，②由①②联立方程组，解得α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.。

【中考专项复习】角平分线模型【回归概念】（一）定理：角平分线定义（Angle bisector definition）从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。

三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。

（定义）2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

（二）与角平分线相关的模型1.角平分线+平行线—等腰三角形（见下图1）2.过角平分线上的点作角两边的垂线（见下图2）3.角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形（见下图3）4.过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形（见下图4）【规律探寻】1.两个内角平分线的夹角：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和。

2.一个内角平分线和一个外角平分线的夹角三角形一内角与另外一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半。

3.两个外角平分线的夹角三角形两个外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差。

【典例解析】例题1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？【点拨】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.【解析】解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.【例题2】已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.【达标检测】1. （2018·湖南省常德·3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3，故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．2. （2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选：C．3. （2019•广西北部湾经济区•3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】C【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．【解析】解：由作法得CG⊥AB，∵AB=AC，∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，∵∠ACB=180°-40°-40°=100°，∴∠BCG=∠ACB=50°．故选：C．4. （2018•山东枣庄•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．5. （2018•广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= 2 ．【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：作EH⊥OA于H，∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°，∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2，故答案为：2．6. （2018•德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为．【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．【解答】解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF，∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3，故答案为：3．7. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D 到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．8. 如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O 作OM⊥AC,若OM＝4.(2)若△ABC的面积为32，求△ABC的周长.解：连接OC1112221()21432642ABC AOC BOC AOBS S S S AB OE BC ON AB OM OM AB BC OM ∆∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++=⨯⨯=9. （2018•宜昌）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E ． （1）求∠CBE 的度数；（2）过点D 作DF ∥BE ，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．10. 如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．分析：（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP，根据勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．解：连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR=OQ，OR=OP，∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，∴AR=AQ，同理BR=BP，CQ=CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，则x=3，y=5，z=4，∴BP=3，CQ=5，AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，∵O在∠A的平分线，∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，∵∠A=60°，∴∠NOM=120°，∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，∴∠FON=∠EOM，在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM，∴OE=OF．。

中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 线段【命题规律】主要考查：①两点之间线段最短；②两点确定一条直线这两个基本事实．【命题预测】与图形的变换中立体图形的侧面展开结合，求两点之间的最短距离，另外也会与对称性结合，考查两线段和的最小值．1. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )A. 垂线段最短B. 经过一点有无数条直线C. 经过两点，有且仅有一条直线D. 两点之间，线段最短1. D第1题图第2题图2. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D.则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条2. D【解析】AD是点A到直线BC的距离；BA是点B到直线AC的距离；BD是点B到直线AD的距离；CA是点C到直线AB的距离；CD是点C到直线AD的距离，共5条，故答案为D.命题点2 角、余角、补角及角平分线【命题规律】主要考查：①角度的计算(度分秒之间的互化)；②余角、补角的计算；③角平分线的性质．【命题预测】角、余角、补角及角平分线等基本概念是图形认识的基础，应给予重视．3. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( )3. B4. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．4. 3【解析】如解图，过点P作PD⊥OA于点D，∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，∴PD＝PC，∵PC＝3，∴PD＝3，即点P到点OA的距离为3.5. 1.45°＝________′.5. 87【解析】∵1°＝60′，∴0.45°＝27′，∴1.45°＝87′.6. 已知∠A＝100°，那么∠A的补角为________度．6. 80【解析】用180度减去已知角，就得这个角的补角．即∠A的补角为：180°－100°＝80°.命题点3 相交线与平行线【命题规律】考查形式：①三线八角中同位角、内错角、同旁内角的识别或计算，有时综合对顶角、邻补角求角度；②综合角平分线、垂线求角度；③综合三角形的相关知识求角度；④根据角的关系判断两直线的关系．【命题预测】平行线性质是认识图形的基础知识，也是全国命题的潮流和方向．7. 如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是( )A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 对顶角7. B【解析】根据相交线的性质及角的定义可知∠1与∠2的位置关系为内错角，故选B.第7题图第8题图第9题图8. 如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1＝110°，则∠2等于( )A. 50°B. 70°C. 90°D. 110°8. B【解析】如解图，∵a∥b，∴∠3＋∠4＝180°，∵c∥d，∴∠2＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠2＝180°－∠1＝70°，故本题选B.9. 如图，在下列条件中，不能．．判定直线a与b平行的是( )A. ∠1＝∠2B. ∠2＝∠3C. ∠3＝∠5D. ∠3＋∠4＝180°9. C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A∵∠1＝∠2，即同位角相等，两直线平行，∴a∥b √B∵∠2＝∠3，即内错角相等，两直线平行，∴a∥b √∵∠3、∠5既不是a与b被第三直线所截的同位角，也不是内错角，×C∴∠3＝∠5，不能够判定a与b平行D∵∠3＋∠4＝180°，即同旁内角互补，两直线平行，∴a∥b √10. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝50°，那么∠2的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°10. B 【解析】如解图，∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝90°－∠1＝90°－50°＝40°，由平行线性质得∠2＝∠3＝40°.11. 如图所示，AB ∥CD ，EF ⊥BD ，垂足为E ，∠1＝50°，则∠2的度数为( )A . 50°B . 40°C . 45°D . 25°11. B 【解析】∵EF ⊥BD ，∠1＝50°，∴∠D ＝90°－50°＝40°，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠D ＝40°.第10题图 第11题图 第12题图 第13题图12. 如图，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，过点N 的直线GH 与AB 交于点P ，则下列结论错误的是( )A . ∠EMB ＝∠END B . ∠BMN ＝∠MNC C . ∠CNH ＝∠BPGD . ∠DNG ＝∠AME12. D 【解析】A.两直线平行，同位角相等，∴∠EMB ＝∠END ；B.两直线平行，内错角相等，∴∠BMN ＝∠MNC ；C.两直线平行，同位角相等，∴∠CNH ＝∠APH ，又∠BPG ＝∠APH ，∴∠CNH ＝∠BPG ；D.∠DNG 和∠AME 无法推导数量关系，故不一定相等，答案为D.13. 如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝________°.13. 75 【解析】如解图，过点P 作PH ∥a ∥b ，∴∠FPH ＝∠1，∠EPH ＝∠2，又∵∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠EPF ＝∠EPH ＋∠HPF ＝30°＋45°＝75°.命题点4 命 题【命题概况】命题考查的知识点比较多，一般几个知识点结合考查，考查形式有：①下面说法错误(正确)的是；②写出命题…的逆命题；③能说明…是假命题的反例．【命题趋势】命题为新课标新增内容，考查知识比较综合，是全国命题点之一．14. (2016宁波)能说明命题“对于任何实数a ，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是( )A . a ＝－2B . a ＝13C . a ＝1D . a ＝ 214. A 【解析】由于一个正数的绝对值是它本身，它的相反数是一个负数，所以当a ＝13，1，2时，|a |>－a 总是成立，当a ＝－2时，|－2|＝2＝－(－2)，此时|a |＝－a ，故本题选A.15. 写出命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b”的逆命题．．．：________________________． 15. 如果3a ＝3b ，那么a ＝b 【解析】命题由条件和结论构成，则其逆命题只需将原来命题的条件和结论互换即可，即将结论作为条件，将条件作为结论. ∵命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ，”中条件为“如果a ＝b ”，结论为“那么3a ＝3b ”，∴其逆命题为“如果3a ＝3b ，那么a ＝b ”．中考冲刺集训一、选择题1. 如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC＝35°，则∠1的度数为( )A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°第1题图第2题图第3题图2. 如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED＝( )A. 65°B. 115°C. 125°D. 130°3. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( )A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′二、填空题4. 如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝50°，则∠A＝________.第4题图第5题图第6题图5. 如图，直线CD∥EF，直线AB与CD、EF分别相交于点M、N，若∠1＝30°，则∠2＝________．6. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放．若∠EMB＝75°，则∠PNM等于________度．7. 如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD.若∠1＝54°，则∠2＝________°.第7题图第8题图第9题图8. 如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝________．9.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝________．答案与解析：1. B【解析】∵DA⊥AC，∠ADC＝35°，∴∠ACD＝90°－∠ADC＝90°－35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝55°，故选B.2. B【解析】∵AB∥CD，∴∠C＋∠CAB＝180°，∵∠C＝50°，∴∠CAB＝130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝12∠CAB＝65°.又∵AB∥CD，∴∠AED＋∠EAB＝180°，∴∠AED＝180°－∠EAB＝180°－65°＝115°.3. B【解析】根据平面镜反射原理可知，∠ADC＝∠ODE，∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOE，∴∠ODE＝∠AOE＝37°36′，∴∠DEB＝∠ODE＋∠AOE＝37°36′＋37°36′＝75°12′，故选B.4. 50°5. 30°6. 307. 72【解析】∵CD∥AB，∴∠CBA＝∠1＝54°，∠ABD＋∠CDB＝180°，∵CB平分∠ABD，∴∠DBC＝∠CBA＝54°，∴∠CDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠2＝∠CDB＝72°.8. 15°【解析】由两直线平行，内错角相等，可得∠A＝∠AFE＝30°，∠C＝∠CFE，由∠AFC＝15°，可得∠CFE＝∠C＝∠AFE－∠AFC＝15°.第9题解图9. 2【解析】如解图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OP平分∠AOB，∴PD＝PE，∠AOB＝2∠AOP＝30°，∵PC∥OA，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，∴PE＝12PC＝2，∴PD＝PE＝2.。

1.7 角平分线问题（1）一、角平分线+边的垂线→双垂直思考1 如图，OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，我们可以得到哪些结论？例1 如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,求DE的长. （限时训练第4题）【变式练习1】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y 轴的正半轴上, OA=12,OC=9,连接AC.若CD平分∠ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.二、角平分线+角平分线的垂线→等腰三角形思考2 当题目中有垂直于角平分线的线段PA 时,如图,延长AP 交ON 于点B,你可以得到什么结论？例2 如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 平分∠BAC ,且BD ⊥AD 于点D. 求证:()AB AC DM -=21.（限时训练第5题）【变式练习2】如图,在△ABC 中,∠C=90°, AC=BC,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD,若BD=2,则AE= ___________.三、角平分线+平行线→等腰三角形思考3 如图,OP平分∠MON,PQ∥ON,你可以得到什么结论？例3 如图,AC是正方形ABCD的对角线,∠DCA的平分线交BA的延长线于点E,若AB=3,则AE=___________ .（限时训练第2题）【变式练习3】如图,在△ABC中,AB>AC,E为BC边上的中点,AD为∠BAC的平分线,过点E作AD的平行线,交AB于点F,交CA的延长线于点G.求证:BF=AC+AF.【拓展提升】探究1 如图①，AD为等边△ABC的内角平分线，显然有AC CD AB DB=.探究2 如图②，若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，AC CDAB DB=一定成立吗？证明你的判断.应用：如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24，AB=40，E为AB上一点且AE=15，CE交其内角平分线AD于F. 试求DFFA的值.1.7 角平分线问题（1）限时训练命 制：熊 琦 审 核：罗 熠班级：______ 学号：____ 姓名：__________1.如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若CD=3,则点D 到AB 的距离DE 是( ) A.5 B.4 C.3 D.2第1题 第2题 第3题 2.如图,AC 是正方形ABCD 的对角线,∠DCA 的平分线交BA 的延长线于点E,若AB=3,则AE=___________ .3.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的角平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DE=___________cm.4.如图,在△ABC 中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E,求DE 的长.5.如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 平分∠BAC ,且BD ⊥AD 于点D.求证：()AB AC DM -=21.6．如图所示，CD 为⊙O 的直径，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于点D 、E 、C （AD ＜BC ）．连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OB．若DE•OB＝40，求AD•BC的值.7.探究1 如图①，AD为等边△ABC的内角平分线，显然有AC CD AB DB=.探究2 如图②，若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，AC CDAB DB=一定成立吗？证明你的判断.应用：如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=24，AB=40，E为AB上一点且AE=15，CE交其内角平分线AD于F. 试求DFFA的值.（此部分课堂完成）【变式练习1】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y 轴的正半轴上, OA=12,OC=9,连接AC.若CD平分∠ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.【变式练习2】如图,在△ABC中,∠C=90°, AC=BC,AD平分∠BAC,BD⊥AD,若BD=2,则AE= ___________.【变式练习3】如图,在△ABC中,AB>AC,E为BC边上的中点,AD为∠BAC的平分线,过点E作AD的平行线,交AB于点F,交CA的延长线于点G.求证:BF=AC+AF.。

角平分线模型模型 4 角平分线+平行线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。

结论：△POQ 是等腰三角形。

模型证明∵PQ∥ON∴∠PON=∠OPQ又∵OP 是∠MON 的平分线∴∠POQ=∠PON∴∠POQ=∠OPQ∴△POQ是等腰三角形模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

模型实例解答下列问题：（1）如图①所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系；（2）如图②所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。

（3）如图③所示，BD、CD 分别为外角∠CBM、∠BCN 的平分线，，DE∥BC 交AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？解析：（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF∴EF=ED+DF=BE+CF（2）∵DE∥BC∴∠EDB=∠DBC又BD 平分∠ABC∴∠DBE=∠DBC∴∠EDB=∠DBE∴△EBD为等腰三角形∴BE=ED同理可证：FD=CF∴EF=ED-FD=BE-CF∴EF=BE-CF（3）EF=BE+CF（由模型可轻松证明）模型练习1．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。

若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为。

解析：由模型可得，ME=BM,EN=CN∴MN=ME+EN=BM+CN=92．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC 求证：EF∥AB。

专项训练角平分线常考模型模型一角平分线＋垂直一边方法点拨:若PA⊥OM于点A，如图所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB＝PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线，垂线段相等”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形；注意:题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线，甚至只给一条角平分线，自行添加两条垂线.1.如图所示，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A.3B.4C.5D.62.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD ：S△ACD为（）A.5:4B.5:3C.4:3D.3:43.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠AFD＝90°，AB＝10，DF＝2，则S△ABD＝_________.模型二角平分线＋斜线方法点拨:若点A是射线OM上任意一点，如图，可以在ON上截取OB＝OA，连接PB，构变式模型:采用截长补短法构造全等三角形如图所示，在△ABC中，BC＞BA，BO是∠ABC的平分线.（截长法）在BC上截取线段BE＝BA，连接OE，则△BEO≌△BAO；（补短法）延长BA至点D，使BD＝BC，连接OD，则△BDO≌△BCO.解题通法:遇到角平分线时，通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段（截长或补短）构造全等三角形.4.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证:AB＝AC＋CD.5.如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，∠ABD＝∠DBC.（1）点D到∠ABC的两边BA，BC的距离是否相等？（2）求∠A＋∠C的度数.模型三角平分线＋垂线方法点拨:若AP⊥OP于点P如图所示，可延长AP交ON于点B构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形.6.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°、D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF＝3，则线段BE的长为（）A.3B.2C.3D.237.如图所示，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则CD的长是___________.8.如图所示，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E.（1）若AD＝1，求DC；（2）求证:BD＝2CE.模型四角平分线＋平行线方法点拨:若过点P作PQ∥ON交OM于点Q，如图所示，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线＋平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形很常见，其变式有以下四种:解题通法:遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到等腰三角形.9.如图所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E，若AB＝7cm，AE＝4cm.则DE的长为_________cm.10.如图所示，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝6，DC＝8，DE＝20，则FG＝___________.11.如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由.（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长.模型五角平分线＋对角互补方法点拨:若∠A＋∠C＝180°，BD是∠ABC的平分线，则AD＝CD.12.已知:如图所示，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°,∠B＜90°，求证:DB＝DC.13.感知:如图1所示，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知:DB＝DC.探究:如图2所示，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证:DB＝DC.14.如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD.试说明:（1）△CBE≌△CDF；（2）AB＋DF＝AF.模型六 夹角模型方法点拨:BP ，CP 分别是∠ABC ，∠ACB 的角平分线，则:∠P ＝90°＋21∠A. BP ，CP 分别是∠ABC ，∠ACE 的角平分线，则:∠P ＝21∠A. BP ，CP 分别是∠CBD ，∠BCE 的角平分线，则:∠P ＝90°-21∠A.15.如图所示，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等.若∠A ＝40°，则∠BOC 等于（ ）A.110°B.115°C.125°D.130°16.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AB ＝CB ，BD ＝ED ，若∠ABC ＝54°，则∠E ＝_________.17.如图所示，点O 是△ABC 边AC 上的一个动点，过O 点作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F. （1）求证:OE ＝OF ；（2）若CE ＝8，CF ＝6，求OC 的长.跟踪训练1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则＝（）S△ABDA.56B.28C.14D.122.如图所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，则AB的长为（）A.6B.2＋4C.2＋23D.2＋233.如图所示，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D.若OD＝2，则△ABC的面积是（）A.20B.12C.10D.84.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D.若BD＝5，DC＝3，则AC的长为A.6B.43C.53-2D.85.已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示.若DE＝2，则DF＝__________.6.如图所示，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB边上有一点E，CE，DE分别是∠BCD 和∠ADC的角平分线，如果△CDE的面积是12，CD＝8，那么AB的长度为__________.7.如图所示，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，DE过点I，且DE∥BC.BD＝8cm，CE＝5cm，则DE等于__________.8.如图所示，点E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD交OE于点F，∠AOB＝60°.（1）求证:△OCD是等边三角形；（2）若S＝83，EF＝2，求DF的长.△ODE9.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E. （1）求证:∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长.10.（1）如图①所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于点E，F，试猜想EF，BE，CF之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其他条件不变，请直接写出EF，BE，CF之间的关系____________.11.如图所示，在平行四边形ABCD中，CM平分∠BCD交AD于点M.（1）若CD＝2，求DM的长；（2）若M是AD的中点，连接BM，求证:BM平分∠ABC.参考答案1.D2.B3.104.证明：延长AC 至点E ，使AE ＝AB ，连接 DE ，∵AB ＝AE ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED （SAS ）.∴∠B ＝∠E ，∵∠ACD ＝∠E ＋∠CDE ，∠ACD ＝2∠B ，∴∠ACD ＝2∠E. ∴∠E ＝∠CDE.∴CD ＝CE.∴AB ＝AE ＝AC ＋CE ＝AC ＋CD. 5.解:（1）过D 作出DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F.如图所示.结论:DE ＝DF.理由:∵∠ABD ＝∠DBC ，DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴DE ＝DF.（2）在Rt △DEA 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧，DF ＝DE ，DC ＝AD ∴Rt △DEA ≌Rt △DFC （HL ）∴∠C ＝∠EAD.∵∠BAD ＋∠EAD ＝180°，∴∠BAD ＋∠C ＝180°. 6.C 7.228.解:（1）如图1所示，过点D 作DH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠BCA ＝45°.∴DH ＝CH.（2）证明：如图2所示，延长CE ，BA 相交于点F ，∵∠EBF ＋∠F ＝90°，∠ACF ＋∠＝90°，∴∠EBF ＝∠AC.在△ABD 和△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧，CAF ＝∠BAC ∠AC ＝AB ，ACF ＝∠EBF ∠∴ABD ≌ACF （ASA ）∴BD ＝CF.在△BCE 和△BF 中，⎪⎩⎪⎨⎧，FEB ＝∠CEB ∠，BE ＝BE ，CBF ＝∠EBF ∠∴△BCE ≌△BFE （ASA ）.∴CE ＝EF.∴BD ＝2CE.9.3 10.611.解:（1）△BDO 是等腰三角形∵BO 平分∠ABC ，∴∠DBO ＝∠CBO∵DE ∥BC ，∴∠CBO ＝∠DOB.∴∠DBO ＝∠DOB.∴BD ＝DO.∴△BDO 是等腰三角形；（2）同理△CEO 是等腰三角形，∵BD ＝OD ，CE ＝OE ，∴△ADE 的周长＝AD ＋AE ＋DE ＝AB ＋AC ＝10＋6＝16.12.证明:作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧，DE ＝DF ，B ＝∠FCD ∠，DEB ＝∠F ∠∴△DFC ≌△DEB （AAS ）.∴DC ＝DB.13.证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠F ＝∠DEB ＝90°.∵∠EBD ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠EBD ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧，DE ＝DF ，EBD ＝∠FCD ∠，DEB ＝∠F ∠∴△DFC ≌△DEB （AAS ）.∴DC ＝DB.14.解:（1）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF.∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠EBC ＝180°，∴∠EBC ＝∠D.在△CBE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠，CF ＝CE 90＝CFD ＝CEB ∠，D ＝EBC ∠，∴△CBE ≌△CDF （AAS ）；（2）在Rt △ACE 与Rt △ACF 中，⎩⎨⎧，AC ＝AC CF ＝CE ∴△CE ≌△ACF （HL ）.∴AE ＝AF.∴AB ＋DF ＝AB ＋BE ＝AE ＝AF.15.A 16.27°17.解:（1）证明:∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴EO ＝CO ，FO ＝CO.∴OE ＝OF ；（2）∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE ＝8，CF ＝6，∴EF ＝2268+＝10.∴OC ＝21EF ＝5. 跟踪训练1.B2.D3.C4.A5.46.67.3cm8.解:（1）证明:∵点E 是∠AOB 平分线上的一点， EC ⊥OB ， ED ⊥OA ，∴ED ＝CE.在Rt △ODE 与Rt △OCE 中，⎩⎨⎧，OE ＝OE ，CE ＝ED ∴Rt △ODE ≌Rt △OCE （HL ）.∴OD ＝OC. ∴∠AOB ＝60°，∴△OCD 是等边三角形；（2）∵△OCD 是等边三角形，OF 是∠COD 的平分线，∴OE ⊥DC ，∴∠AOB ＝60°，∴∠AOE ＝∠BOE ＝30°.∵∠ODF ＝60°，ED ⊥OA ，∴∠EDF ＝30°.∴DE ＝2EF ＝4.∵∠AOE ＝30°， DE ⊥AO ，∴OE ＝2DE ＝8.∵S △ODE ＝83＝21×OE ×DF ，∴DF ＝23. 9.解:（1）证明:∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝∠B ＋∠A ＝90°. ∴∠ACD ＝∠B.∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE.∴∠B ＋∴BCE ＝∠ACD ＋∠DCE.即∠AEC ＝∠ACE ；（2）∵∠AEC ＝∠B ＋∠BCE ，∠AEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠BCE.又∵∠ACD ＝∠B ，∠BCE ＝∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ＝∠DCE.又∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝30°，∠B ＝30°.∴Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝2.∴Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝4.∴BD ＝AB-AD ＝4-1＝3.10.解: （1）EF ＝BE ＋CF ，理由: ∵BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCB.∵EF//BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCB.∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO. ∴BE ＝OE ，CF ＝OF.∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF ；（2）EF ＝BE-CF ，理由:∵BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACD ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCD. ∵EF// BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCD.∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO.∴BE ＝OE ，CF ＝OF.∴EF ＝OE-OF ＝BE-CF.故答案为:EF ＝BE-CF.11.解:（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD// BC.∴∠BCM ＝∠DMC.∵CM 平分∠BCD ，∴∠BCM ＝∠DCM.∴∠DMC ＝∠DCM.∴DM ＝DC ＝2；（2）如图，延长BA ， CM ，交于点E ，则∠AME ＝∠DMC ，∵BE// CD ，∴∠D ＝∠EAM ，∠E ＝∠DCM.∵M 是AD 的中点，∴DM ＝AM.∴△CDM ≌△EAM （ASA ）.∴E М＝CM.∵CM平分∠BCD，∴∠BCM＝∠DCM.∴∠E＝∠BCM.∴BE＝BC. ∴BM平分∠ABC.。

专题02双角平分线模型一、基础知识回顾角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

已知OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB二、双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。

模型一：两角有公共部分（作和）已知OC 是∠AOB 内的一条射线，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON证明：∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC∴∠MOC=21∠AOC,∠CON=21∠BOC∴∠MON=∠MOC+∠CON=21∠AOC+21∠BOC=21∠AOB文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半模型二：两角有公共部分（作差）已知OC 是∠AOB 外的一条射线，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON证明：∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC∴∠MOC=21∠AOC,∠CON=21∠BOC∴∠MON=∠MOC-∠CON=21∠AOC-21∠BOC=21∠AOB文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半。

图解：【基础过关练】1．如图所示，OB 是AOC 的平分线，OD 是COE 的平分线，若70,40AOC COE ，那么BOD （）．A ．50B ．55C ．60D ．652．如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，则∠MON 的度数为（）A ．30B ．45C ．60D ．75【答案】B 【分析】根据题意计算出∠AOC ，∠MOC ，∠NOC 的度数，再根据MON MOC NOC 计算即可．【详解】解：∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，3．若110AOC ，OB 在AOC 内部，OM 、ON 分别平分AOC 和AOB ，若23MON ，则AOB 度数为（）．A ．43.5B ．46C ．64D ．874．如图，AOB 是平角，30AOC ，60BOD ，,OM ON 分别是,AO C BO D 的平分线，则MON 的度数为()A．90ºB．135ºC．150ºD．120º5．如图，OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，∠AOB＝84°.(1)∠MON=_____；(2)当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值____改变．(填“会”或“不会”)【答案】42°不会【分析】根据角平分线的定义求解即可．【详解】①∵OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线,∠AOB=84°，∴∠MON=(∠AOC+∠BOC)÷2=84°÷2=42°.②当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值不会改变.故答案为42°、不会.【点睛】本题较为简单，主要考查了角平分线的定义，牢牢掌握角平分线的定义是解答本题的关键.6．如图，OB 在AOC 的内部，已知OM 是AOC 的平分线，ON 平分BOC ，若120AOC ，4036BOC ，则MON ______．7．如图，已知90AOB ，OE 平分∠AOB ，60EOF ，OF 平分∠BOC ．求∠BOC 和∠AOC 的度数．∴230BOC BOF ，3090120AOC BOC AOB ．即∠BOC 和∠AOC 的度数分别为30 ，120 ．【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确应用角平分线的定义是解题关键．8．如图，OC 在AOB 外部，OM 和ON 分别是AOC 和BOC 的平分线．若100,60AOB BOC ，求MON 的度数．【答案】50【分析】利用角平分线平分角，以及大角等于小角加小角，小角等于大角减小角，进行角度的转化计算即可．【详解】解：∵100,60AOB BOC ．∴160AOC AOB BOC ．∵OM 平分,AOC ON 平分BOC ，∴80,30COM CON ，∴50MON COM CON ．【点睛】本题考查角度的计算．熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键．9．如图，已知∠AOB ＝90°，∠EOF ＝60°，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，求∠AOC 和∠COB 的度数．【答案】120°，30°【分析】先根据角平分线，求得 BOE 的度数，再根据角的和差关系，求得BOF 的度数，最后根据角平分线，求得BOC 、AOC 的度数．【详解】解：∵OE 平分∠AOB ，∠AOB =90°，∴∠BOE =∠AOB =45°，又∵∠EOF =60°，∴∠BOF =∠EOF －∠BOE =15°，又∵OF 平分∠BOC ，∴∠BOC =2∠BOF =30°，∴∠AOC =∠AOB ＋∠BOC =120°，故∠AOC =120°，∠COB =30°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键，注意：也可以根据AOC 的度数是EOF 度数的2倍进行求解．10．如图所示，∠AOB =100°，OC 是∠AOB 内部的一条射线，射线OM 平分∠AOC ，射线ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．解：因为射线，分别平分∠和∠，所以∠NOB =∠NOC =∠BOC ，∠AOM =∠COM =∠AOC ，所以∠MON =∠+∠===°【提高测试】1．如图，,, , AOB BOC OM ON 分别平分AOB , COB OH ，平分AOC ，下列结论:①MON HOC ；②2MOH AOH BOH ；③2MON AOC BOH ；④2.NOH COH BOH 其中正确的个数有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图所示，OM 平分AOB ，ON 平分COD ，=m MON ，=n BOC ，则AOD 的度数为（）A ． m nB ． 2m nC ． 2m nD ． 2m n【答案】C【分析】由∠MON−∠BOC 求出∠CON ＋∠BOM 的度数，根据OM ，ON 分别为角平分线，得到两对角相等，进而确定出∠COD ＋∠AOB 度数，根据∠COD ＋∠BOC ＋∠AOB 即可求出∠AOD 的度数．【详解】解：∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，∴∠CON ＝∠DON ，∠BOM ＝∠AOM ，∵∠CON ＋∠BOM ＝∠MON−∠BOC ＝（m−n ）°，∴∠COD ＋∠AOB ＝2（∠CON ＋∠BOM ）＝2（m−n ）°，则∠AOD ＝∠COD ＋∠AOB ＋∠BOC ＝（2m−2n ＋n ）°＝（2m−n ）°．故选C ．【点睛】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．3．如图，∠AOC 和∠BOC 互补，∠AOB ＝α，OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，∠MON 的度数是（）A ．1802αB ．12aC ．1902aD ．1902a o4．已知20AOB ，70AOC ，OD 平分∠AOB ，OM 平分∠AOC ，则∠MOD 的度数是______．【答案】45 或25 (25°或45°)故答案为：45 或25 ．【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，正确分两种情况讨论是解题关键．5．已知40AOB ，过O 作射线OC ，使60COB ，若射线OD 是COA 的平分线，则DOA 的度数是________．故答案为：50°或10°．【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，理解题意，分类讨论是解题的关键．6．如图，已知射线OC 在AOB 内部，OD 平分AOC ，OE 平分BOC ，OF 平分AOB ，现给出以下4个结论：①DOE AOF ；②2DOF AOF COF ；③AOD BOC ；④ 12EOF COF BOF 其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）______．7．（1）如图，已知2AD DB ，E 是BC 的中点，3cm 5BE AC ．①BC ______；②求DE 的长．（2）如图，O 为直线AB 上的一点，48,AOC OD 平分,90AOC DOE ．①BOD ______°；②OE 是BOC 的平分线吗？为什么？∴3=4 ，即OE 是BOC 的平分线．【点睛】本题主要考查了线段的和与差，有关角平分线的计算，邻补角的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．8．已知OD 、OE 分别是AOB 、AOC 的角平分线.(1)如图1，OC 是AOB 外部的一条射线，若40AOC ，130BOE ，求AOD 的度数；(2)如图2，OC 是AOB 内部的一条射线，若20DOC ，25AOE ，求BOC 的度数.∴2140AOB AOD ，∴1405090BOC AOB AOC ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，注意数形结合．9．如图，OB 是AOC 的平分线，OD 是EOC 的平分线．(1)如果76AOD ，18BOC ，则DOE 的度数为；(2)如果54BOD ，求AOE 的度数．【答案】(1)40(2)108【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；（2）利用角平分线的定义易求2AOE BOD ．【详解】（1）解：76AOD ∵，18BOC ，761858DOC AOB ，OB Q 是AOC 的平分线，18BOC AOB ，581840DOC ，OD ∵是EOC 平分线，40DOE COD ，故答案为：40 ；（2）OB Q 平分AOC ，OD 平分EOC ，2AOC BOC ，2COE COD ，54BOC COD BOD ∵，AOE AOC COE ∵，22108AOE BOC COD BOD ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题时，实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．10．己知90AOB ，(1)如图1，OE 平分AOB ，OD 平分BOC ，若56EOD ，则DOC 是__________°；(2)如图2，OE 、OD 分别平分AOC 和BOC ，若30DOC ，求EOD 的度数．(3)若OE 、OD 分别平分AOC 和BOC ， 0180DOC ，则EOD 的度数是__________（直接填空）．则EOD EOC 1122AOC 1(2AOB BOC ②若OE 和OD 都在 则1(2EOD AOC1(360)2AOB1(36090)211．如图，已知点A 、O 、B 在一条直线上，∠COD ＝90°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，求∠EOF 的度数．12．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠BOC ，∠2：∠1＝4：1．(1)求∠AOF 的度数．(2)判断OE 与OF 的位置关系并说明理由．【答案】(1)108°(2)OE OF ，理由见解析【分析】（1）设∠1=x °，则∠2=4x °，求出212BOD x ，228BOC x ，根据∠BOC +∠BOD =180°，求出x =18，代入∠AOF =∠AOC +∠COF 求出即可．（2）根据（1）的结论得出 18012=90EOF ，即可求解．（1）解：设∠1=x °，则∠2=4x °，∵OE 平分∠BOD ，OF 平分∠BOC ，∴212BOD x ，228BOC x ∵∠BOC +∠BOD =180°，∴8x +2x =180，∴x =18，∴∠AOC =∠DOB =2x =36°，∠1=18°，∠2=72°，∴∠AOF =∠AOC +∠2=36°+72°=108°．（2）由（1）可得∠1=18°，∠2=72°，∴ 18012=90EOF ,∴OE OF ．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．。