第八届奥林匹克全国数学大赛初二的题题目一：第八届奥林匹克全国数学大赛初二组
一、选择题（共20题，每题4分，共80分）
1. 在一个等差数列中，首项为3，公差为5，第5项为23，则这个等差
数列的前n项和Sn为__________。
2. 已知一组数的平均值是18，如果将其中一个数3改成2，则新的平
均值为____。
3. 若一个正整数除以8余2，除以10余6，求这个数除以40的余数是
多少？
4. 若直线y=3x+2与圆的方程为$x^2+y^2-2x-4y-11=0$，求这个圆与y
轴的交点坐标。
5. 若正方形的边长为a，则其对角线的长度为______。
6. 若两条直线的斜率之和为5，斜率之积为-6，则这两条直线的方程分
别是______。
7. 若甲乙两个数的和是100，乙丙两个数的和是80，乙数比丙数多10，求甲数是多少？
8. 若一个正整数除以5余3，除以6余4，求这个数除以30的余数是多少？
9. 设A、B、C三个整数满足A 10. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则集合A与集合B的并集为______。 二、填空题（共5题，每题6分，共30分） 1. 在一个等差数列中，首项为2，公差为4，若前n项的和为56，则这个等差数列的第n项为______。 2. 设矩形的长是宽的3倍，周长为72，这个矩形的长和宽的分别是 ______。 3. 若$ax^2+bx+c$的图像与x轴两交点均为负数，则a、b、c的关系式为______。 4. 若直线y=2x-7与直线y=kx-2平行，则k的值为______。 5. 设一个正整数的个、十位数字和为12，将该数字的个、十位数字对调后，新数字比原数字增大36，该正整数为______。 三、解答题（共5题，每题10分，共50分） 1. 设$\log_5{x}=a,\log_3{x}=b$，求$\log_{75}{x}$的值。 2. 若正方体三个相邻顶点上的数字之和为15，求该正方体的体积。 3. 判断函数$y=2x^2-3x+1$的单调性，并画出该函数的图像。 4. 已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{5}$，求$\frac{2a+3b}{5a}$的值。 5. 一条长为12米的绳子上有7只蚂蚁在爬行，每只蚂蚁匀速爬行，蚂蚁每次都随机选择一方向爬行的距离，每次爬行的距离在0到12米之间，已知蚂蚁爬行的总距离是有限的，求蚂蚁爬行的总距离可能的最小值和最大值。 四、证明题（共2题，每题15分，共30分） 1. 证明：如果两个整数互质，那么它们的乘积也是它们的最小公倍数。 2. 设由0、1两个数字组成的6位数有多少个？请按照正确的计算步骤 给出计算过程。
