函数连续性
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大学高数第五节 函数的连续性
定义1.9 (函数在区间连续 函数在区间连续) 定义 函数在区间连续 在区间上每一点都连续的函数, 在区间上每一点都连续的函数 称该区间上的 连续函数, 或称函数在该区间上连续. 连续函数 或称函数在该区间上连续. continuous
f ( x ) 在开区间 (a , b )内连续 f ( x ) ∈ C (a , b)
− x, 例6 讨论 f ( x ) = 1 + x ,
解
x≤0 在 x = 0处的连续性 . x>0
y
f ( 0 − 0) = 0, f ( 0 + 0) = 1,
Q f ( 0 − 0) ≠ f ( 0 + 0)
所以, 为函数的跳跃间断点. 所以 x = 0 为函数的跳跃间断点
o
x
2 x , 0 ≤ x < 1 x =1 例7 讨论函数 f ( x ) = 1, 1 + x , x > 1
lim sin e x − 1 . 例3 求
x →1
解
原式 = sin e 1 − 1 = sin e − 1.
2
1+ x −1 . 例4 求 lim x→ x →0 x
解 原式 = lim
( 1 + x 2 − 1)( 1 + x 2 + 1) x ( 1 + x 2 + 1)
x →0
0 = lim = =0 x →0 1 x 2 + +1 2
(1) f ( x )在点 x 0 处有定义 ;
( 2) lim f ( x ) 存在;
x→ x0 →
( 3) lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
函数的连续性
结论： 设（1）设函数 f (x) 在点x0连续，函数 g (x)在点x0不连续；（2）函数 f (x)和 g (x) 在点x0 都不连续. 问函数 f (x) + g (x)， f (x) g (x) 分别在(1), (2)情况下，在点 x0是否连续？ x4 e 1 补例3. 求 lim x 0 1 cos( x 1 cos x )
有函数的增量
函数连续性的等价定义 对自变量x0的增量 函数
在点 x0 连续有下列等价命题:
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim y 0
左连续
lim f ( x0 x) f ( x0 ) x 0 y y f ( x)
y
f ( x0 0) f ( x0 ) f ( x0 0)
注意：对于非连续函数，极限符号与函数符号不 一定可以交换.
x 0 x 0
x x0
二、 函数的间断点
在点 的某空心邻域内有定义 , 则下列 设 情形之一函数 f (x) 在点 不连续 : (1) 函数 在 无定义 ; (2) 函数 在 虽有定义，但 不存在; (3) 函数 在 虽有定义 , 且 存在 , 但
若函数 f (x)在开区间(a, b)内每一点都连续 , 而且在 点 x =a 右连续，在点 x =b 左连续 , 则称函数 f (x)在闭 区间[a, b]上连续. 或称它为[a, b]上的连续函数 . 由 f ( x) 在 x0 连续知
f ( lim x)
这说明，对于连续函数，极限符号与函数符号可 以交换. 例如 lim cos x cos(lim x) cos 0 1
x t a 1, 则 x log a (1 t ) , 解: 令
函数的连续性(106)
分段连续
总结词
如果函数在其定义域内由若干个连续的子函 数组成，且每个子函数的定义域都是整个定 义域的一个子集，则称该函数为分段连续函 数。
详细描述
分段连续函数在其定义域内由若干个连续的 子函数组成，每个子函数的定义域都是整个 定义域的一个子集。这些子函数在各自的定 义域内连续，但在定义域的边界处可能不连 续。分段连续函数在处理分段定义的数学问 题时非常有用，例如分段线性插值、分段拟
详细描述
零点定理可以表述为，如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) cdot f(b) < 0$，则存在至少一个$c in (a, b)$，使得 $f(c) = 0$。这个定理在解决方程根的问题时非常有用。
中值定理
总结词
中值定理是连续函数的一个重要性质， 它表明如果函数在区间两端取值相等， 则该区间内必存在至少一个中值点。
函数在区间上的连续性
总结词
函数在区间上的连续性是指函数在区间内的每一点都连续。
详细描述
如果一个函数在区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$上连续。 这意味着对于区间内的任意一点$x$，都有$f(x)$存在且等于$f(x)$在该点的极限值。
连续函数的基本性质
总结词
连续函数具有一些基本的性质，如可导性、可积性等。
函数的连续性
目 录
• 连续性的定义 • 连续性的性质 • 连续性的应用 • 连续性的分类 • 连续性的判定方法
01 连续性的定义
函数在某点的连续性
总结词
函数在某点的连续性是指函数在该点的极限值等于函数值。
详细描述
如果一个函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。具体来说，如果对于任意给定的 正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使得当$x$满足$0 < |x - x_0| < delta$时，有$|f(x) - f(x_0)| < epsilon$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。
第六节 函数的连续性
如果函数 f ( x )在开区间 (a , b)内连续 , 且在 左端点x a处右连续 , 在右端点 x b处左连续 , 则称函数f ( x )在闭区间 [a, b]上连续 .
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
6
例3 证明函数y sinx在区间 (,)内连续 .
证 x (,),
x 0 x 0
f ( x ) lim f ( x ) f ( x ).
故 f ( x)在（ ， ）上连续 .
12
例5 设f ( x )在（ 0， ）上连续，且满足x (0, ), f ( x ) f ( x ). 证明 f ( x )在 (0, ) 上为常数.
1 当 x 0 时， lim f ( x ) 2, l i m f ( x ) f (0). x 0 x 0 a 1 所以当 a 时 ，f ( x )在 （ ， ） 内 是 连 续 的 ; 2 1 当a 时 ，f ( x )在 （ ， 0） （0， ） 内 连 续 2 23 且x 0 是 第 一 类 跳 跃 型 间 断.点
y sin 1 x
1 解 因 为 f ( x )在x 0 处 没 定 义 , 且limsin 不 存 在 ， x 0 x 所以 x 0 为第二类间断点 .
这种情形称为振荡型间断点.
19
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
lim f [ ( x )] f [ lim ( x )] f [ ( x0 )] f ( u0 ).
高等数学：第一讲 函数的连续性
y
y f (x)
f (x0 )
0
x0
x
2.函数在一点的连续性同极限一样，都是函数的局部性质.
3. 判别函数y=f (x)在点x0连续的步骤：
(1) y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义， y = f (x0) 存在;
(2) 极限
存在；
(3) 函数在 x0 处极限值等于函数值，即
例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性．
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处左连续.
设函数y = f (x) 在[x0, x0+ ) 有定义，
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处右连续.
定理1
函数 y f ( x)在点 x0处连续的充要条件
是函数 y f ( x)在点 x0处既左连续又右连续，即
定义 2 设函数y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如
果x→x0时，相应的函数值f(x)→f(x0)
，即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f (x)的连续点．
说明：
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义：函数图形在x0不断开， 图像是连续不断的.
函数的连续性
函数的连续性
1、函数y=f (x) 在点 x0处的连续性
定义1 设y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果当x在
x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f (x0+ x)- f(x0)也
y f (x)
f (x0 )
0
x0
x
2.函数在一点的连续性同极限一样，都是函数的局部性质.
3. 判别函数y=f (x)在点x0连续的步骤：
(1) y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义， y = f (x0) 存在;
(2) 极限
存在；
(3) 函数在 x0 处极限值等于函数值，即
例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性．
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处左连续.
设函数y = f (x) 在[x0, x0+ ) 有定义，
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处右连续.
定理1
函数 y f ( x)在点 x0处连续的充要条件
是函数 y f ( x)在点 x0处既左连续又右连续，即
定义 2 设函数y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如
果x→x0时，相应的函数值f(x)→f(x0)
，即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f (x)的连续点．
说明：
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义：函数图形在x0不断开， 图像是连续不断的.
函数的连续性
函数的连续性
1、函数y=f (x) 在点 x0处的连续性
定义1 设y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果当x在
x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f (x0+ x)- f(x0)也
函数的连续性知识点及例题解析
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
数学知识点：函数的连续性_知识点总结
数学知识点：函数的连续性_知识点总结
（1）如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，并且满足，则称函数y=f（x）在点x=x0处连续；否则称y=f（x）在点x=x0处不连续，或间断点。
（2）如果函数f（x）在某一开区间（a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，对于闭区间[a，b]上的函数f（x）,高考语文，如果在开区间（a，b）内连续，在左端点x=a处有，在右端点x=b处有，就说函数f（x）在闭区间[a，b]上连续。
3、如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。
函数的连续性的特点：
（1）f（x）在x0处有定义；
（2）f（x）在x0处的极限存在；
（3）f（x）在点x0处的极限等于函数值。
三大特点，缺一不可。
常用结论：
如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。
函数的连续性
函数的连续性函数的连续性是数学中重要的一个概念，它描述了函数在某个点附近的表现。
连续性可以用来刻画函数的光滑程度和连贯性，对于分析和解决实际问题具有重要的意义。
本文将详细介绍函数的连续性以及相关的性质和定理。
1. 连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每一个点都具有连续性的函数。
具体而言，若函数f(x)在某一点x=a处的极限存在且与f(a)的函数值相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
连续函数具有以下重要性质：- 连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数；- 有界闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。
2. 初等函数的连续性初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等通过有限次的代数运算与函数复合得到的函数。
初等函数在其定义域上都是连续函数。
初等函数的连续性可以通过初等函数的定义和性质来证明。
以指数函数为例，指数函数f(x) = exp(x)在整个实数域上都是连续函数，因为它是由幂函数与以基数e为底的指数函数复合得到的。
3. 间断点与连续点函数可以在某些点上具有间断现象，这些点称为间断点。
间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
相应地，函数在某些点上具有连续性，这些点称为连续点。
可去间断点是指在该点处存在左极限和右极限，但极限值不相等。
通过修正函数在该点处的定义可以使其连续。
跳跃间断点是指在该点处左右极限存在且不相等，函数在该点处无法修正。
4. 连续函数的中值定理中值定理是连续函数的重要定理之一，它刻画了连续函数在某个区间上的平均增长率等于其两个端点处斜率之间某个值的关系。
根据中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且可导于开区间(a,b)内，则存在一个点c∈(a,b)，满足f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
这个定理在微积分和实际问题的分析中有广泛的应用。
5. 连续函数的一致连续性一致连续性是连续函数的另一个重要性质，它描述了函数在整个定义域上的连续性。
函数连续的三个条件
函数连续的三个条件1.定义域上的连续性：函数f(x)在定义域上的每一点都有定义。
这意味着函数在定义域上没有断点或间断点。
如果函数在其中一点x=a处的定义域有间断点，则称函数在该点处不连续。
2.函数极限的连续性：函数f(x)在定义域上的每一点x=a处的左极限等于右极限，并且极限值等于函数在该点处的函数值f(a)。
这意味着函数在定义域上的每一点都具有极限，而且极限与函数值相等。
3.实数域上的连续性：函数f(x)在定义域上的每一点x=a处的左极限等于右极限，而且极限等于函数在该点处的函数值f(a)。
这意味着函数在定义域上的每一点都满足实数域上的连续性，而且在任意点x=a的邻域内，函数值的变化可以任意小。
详细解释如下：1.定义域上的连续性定义域是函数f(x)在x轴上的取值范围。
如果函数在定义域上每一点都有定义，那么函数在这个定义域上是连续的。
例如，函数f(x)=1/x在定义域(-∞,0)U(0,+∞)上连续，因为它在这个定义域上每一点都有定义。
2.函数极限的连续性在实数域上，函数在其中一点x=a的函数值可以用左极限lim(x→a-)和右极限lim(x→a+)来表示。
函数f(x)在定义域上的每一点x=a处的左极限等于右极限lim(x→a-)=lim(x→a+)=lim(x→a)，并且极限值lim(x→a)等于函数在该点处的函数值f(a)。
这意味着函数在定义域上的每一点都具有极限，而且极限与函数值相等。
如果函数在其中一点x=a的左极限、右极限或函数值不等于函数在该点处的函数值，那么函数在该点处是不连续的。
例如，函数f(x)=，x，在x=0处不连续，因为左极限lim(x→0-)=l im(x→0-)=0，而函数值f(0)=，0，=0。
左极限、右极限和函数值相等，所以在x=0处是连续的。
3.实数域上的连续性实数域上的连续性是函数在定义域上的每一点都满足的特性。
在任意点x=a的邻域内，函数值的变化可以任意小。
具体来说，在一个ε-δ定义的邻域内，函数f(x)的函数值f(a)与任意给定的极限值lim(x→a)都能保持足够接近，也就是存在一个δ>0，使得只要，x-a，<δ，就有，f(x)-f(a)，<ε。
2.7函数的连续性
函数f(x)在点x0处连续,应该满足下列三点： (1) f(x)在点x0及其某邻域U(x0)内有定义;
( 2 ) lim f ( x )=a 存在; x® x0
(3) a=f(x0).
lim
x x0
f
x
f
x0 ,
例1 证明函数f(x)=3x2-1在x=1处连续.
证 因为f(1)=3×1-1=2,
则有 lim f [(x)] f (a) f [ lim (x)].
x x0
x x0
例9 求 lim ln(1 x) .
x0
x
1
解 原式 lim ln(1 x)x
x0
1
ln[lim(1 x)x ] x0
ln e 1.
例10 求 lim e x 1 . x0 x
解 令 e x 1 y, 则 x ln(1 y),
连续函数的几何意义:
若函数y= f(x)在(a,b)内连续,则y= f(x)在(a,b)上的函数图 形是一条连续而不间断的曲线,反之也对.
下面给出函数连续性的等价定义:
1.函数的增量 Increment of a function
设函数 f (x)在U (x0, )内有定义, x U (x0, ), 记
由定义1知 函数 f ( x)在 x 0处连续.
例3
讨论函数
f (x)
x
x
2, 2,
x 0, 在 x 0处的 x 0,
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
函数连续性的定义
函数连续性
函数的连续性，描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。
确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。
从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图像是连绵不断的曲线。
在函数的连续中主要有两大类：函数在一点的连续性和在区间上的连续性。
函数在一点的极限等于该点的函数值，那么函数在该点是连续的，如果该点是定义在定义域内任意一点，则函数就是连续的。
二者的不同之处：函数在一点的连续性只能保证在该点是连续的，在其定义域内其他点的连续性是无法确定的，而函数在区间上的连续性是指在整个区间上的任意一点都是连续的。
1.函数连续性的定义:
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
2.函数连续必须同时满足三个条件：
（1）函数在x0 处有定义；
（2）x-> x0时，limf(x)存在；
（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。
则初等函数在其定义域内是连续的。
高等数学第八节函数的连续性
设函数 f (x) 在 U(x0)
内有定义, xU(x0) , 则称
y
x = x x0 为自变量 x 在
x0 点处的增量. 此时, x = x0 + x , 相应地, 函数在点 x0 点处
O
y = f (x)
y x x0
x
x
有增量 y
y = f (x) f (x0 ) = f (x0 + x) f (x0 )
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义)
(2) lim f ( x) a 存在 ；( x x0 时, f ( x ) 有极限 )
讨论 y = | x |, x() 在点 x = 0 处 的连续性.
y
解
lim | x | 0
x0
y=|x|
y x 0 | x | x 0 0
O
x
y = | x | 在点 x = 0 处连续.
例3
讨论函数 f (x) =
x2,
x 1,
x + 1, x >1,
在 x = 1 处的连续性.
x x0
(3) a f ( x0 ) . (极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
例1
解
函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ? y = x 2 在 U(0) 内有定义,
又 且
lim x 0
高等数学 第6节 函数的连续性
因为
，所以此函数不连续.
定义4 设在x0的任何邻域内总有异于x0而属于函数
f (x)的定义域的点，而 f (x) 在x0处不连续，
则称x0是函数
f (x)
的一个间断点.
• 若 lim f ( x) 存在，且 lim f ( x) A ，而函数 y f (x) 在点 x 0 x x x x 处无定义，或者虽然有定义，但 f ( x0 ) A，则点x 0 是函数 y f (x)的一个间断点，称此类间断点为函数
一切初等函数 在定义区间内 连续
例如,
y 1 x 的连续区间为
2
(端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为
而 y
cos x 1 的定义域为
因此它无连续点
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例7. 设
x 1 x, ( x) x 4 , x 1
讨论复合函数 解:
例1. 证明函数
在
内连续 .
证: x ( , )
y sin( x x) sin x
y 2 sin
x 2
cos( x
x 2
)
x
x 0
0
即 这说明 在 在
机动
内连续 .
同样可证: 函数
内连续 .
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例2. 设函数
y
又如,
1
o
1
x
y
也无最大值和最小值
2
1
o
1
2
x
机动
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结束
有界性: 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
函数的连续性
基本初等函数在其定义域内都是连续的.
初等函数在其有定义的区间内都是连续的.
即若 f ( x ) 是一初等函数,它在 [a , b] 上有定义,则对任何
x0 (a, b), 有
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ).
例9 求下列极限:
x 2 ln(4 3 x ) (1) lim ; x 1 arctan x
x 1, x 0 1 例5 讨论函数 f ( x ) , x 0,在 x0 0处的连续性. 2 sin x , x 0
左、右极限均存在但不相等的函数的间断点称为跳跃 间断点. 函数的跳跃间断点和可去间断点统称为函数的第一类 间断点.
定义5 若 x0 为函数 f ( x ) 的一个间断点,且 lim f ( x ) 与
x x0
lim f ( ( x )) f ( ( x0 )).
推论 若 lim ( x ) A,且 y f ( u) 在 u A 处连续,则
lim f ( ( x )) f (lim ( x )).
即若函数 y f ( u) 连续,则极限符号可以拿到连续函数 符号里边去.
无穷型间断点
1 sin , x 0, x 例7 讨论函数 f ( x ) 在点 x0 0 处的连续 0, x 0
性. 振荡型间断点
三、连续函数的基本性质
定理2 若 f ( x ), g( x ) 在点 x0 处连续,则
(1) f ( x ) g( x ) 在点 x0 处连续,其中 , 为常数; (2) f ( x ) g( x ) 在点 x0处连续;
1 x 例8 求 lim sin(1 ) . x x
初等函数在其有定义的区间内都是连续的.
即若 f ( x ) 是一初等函数,它在 [a , b] 上有定义,则对任何
x0 (a, b), 有
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ).
例9 求下列极限:
x 2 ln(4 3 x ) (1) lim ; x 1 arctan x
x 1, x 0 1 例5 讨论函数 f ( x ) , x 0,在 x0 0处的连续性. 2 sin x , x 0
左、右极限均存在但不相等的函数的间断点称为跳跃 间断点. 函数的跳跃间断点和可去间断点统称为函数的第一类 间断点.
定义5 若 x0 为函数 f ( x ) 的一个间断点,且 lim f ( x ) 与
x x0
lim f ( ( x )) f ( ( x0 )).
推论 若 lim ( x ) A,且 y f ( u) 在 u A 处连续,则
lim f ( ( x )) f (lim ( x )).
即若函数 y f ( u) 连续,则极限符号可以拿到连续函数 符号里边去.
无穷型间断点
1 sin , x 0, x 例7 讨论函数 f ( x ) 在点 x0 0 处的连续 0, x 0
性. 振荡型间断点
三、连续函数的基本性质
定理2 若 f ( x ), g( x ) 在点 x0 处连续,则
(1) f ( x ) g( x ) 在点 x0 处连续,其中 , 为常数; (2) f ( x ) g( x ) 在点 x0处连续;
1 x 例8 求 lim sin(1 ) . x x
1-07_函数的连续性
x x0 x x0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
2.变量代换( u ( x ))的理论依据.
故| f ( x ) |、 f ( x ) 在 x0 都连续.
2
但反之不成立.
1, x 0 例 f ( x) x0 1,
在 x0 0 不连续
但 | f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x0 0 连续
练 习 题
一、填空题：
x2 1 1、指出 y 2 在 x 1 是第_______类间 x 3x 2 断点；在 x 2 是第_____类间断点 . x2 x 2、指出 y 在 x 0 是第________类间 2 x ( x 1) 断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1 是第_____类间断点 . x, x 1 二、研究函数 f ( x ) 的连续性，并画出函数 1, x 1 的图形 .
这种情况称为无穷间断点.
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
yபைடு நூலகம்
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
思考题
若 f ( x ) 在 x 0 连续，则| f ( x ) | 、 f ( x ) 在 x 0 是
2
| f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x 0 连续， f ( x ) 在 否连续？又若 x 0 是否连续？
抽刀断水水更流
子在川上曰：“逝者如斯夫！不舍昼夜。”
一棵小树在茁壮成长，越长越高
••• •••
— 到处可见的连续性
意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
2.变量代换( u ( x ))的理论依据.
故| f ( x ) |、 f ( x ) 在 x0 都连续.
2
但反之不成立.
1, x 0 例 f ( x) x0 1,
在 x0 0 不连续
但 | f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x0 0 连续
练 习 题
一、填空题：
x2 1 1、指出 y 2 在 x 1 是第_______类间 x 3x 2 断点；在 x 2 是第_____类间断点 . x2 x 2、指出 y 在 x 0 是第________类间 2 x ( x 1) 断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1 是第_____类间断点 . x, x 1 二、研究函数 f ( x ) 的连续性，并画出函数 1, x 1 的图形 .
这种情况称为无穷间断点.
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
yபைடு நூலகம்
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
思考题
若 f ( x ) 在 x 0 连续，则| f ( x ) | 、 f ( x ) 在 x 0 是
2
| f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x 0 连续， f ( x ) 在 否连续？又若 x 0 是否连续？
抽刀断水水更流
子在川上曰：“逝者如斯夫！不舍昼夜。”
一棵小树在茁壮成长，越长越高
••• •••
— 到处可见的连续性
函数连续性的定义
x x0 x x0
对自变量的增量 函数
x x0
有函数的增量 连续有下列等价命题:
x 0
在点
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim f ( x0 x) f ( x0 )
lim y 0
y y f ( x)
y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
y
1 2
1
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0
o
1
x
y
1
o
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
x 为其无穷间断点 . 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
o 1 2 , x 1
第八节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在
的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续.
可见 , 函数 (1) (2) 极限
(3) 在点
在点 x0 连续必须具备下列条件: 有定义 , 即 存在 ;
对自变量的增量 函数
x x0
有函数的增量 连续有下列等价命题:
x 0
在点
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim f ( x0 x) f ( x0 )
lim y 0
y y f ( x)
y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
y
1 2
1
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0
o
1
x
y
1
o
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
x 为其无穷间断点 . 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
o 1 2 , x 1
第八节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在
的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续.
可见 , 函数 (1) (2) 极限
(3) 在点
在点 x0 连续必须具备下列条件: 有定义 , 即 存在 ;
函数的连续性(112)
介值定理
总结词
介值定理是连续函数的另一个重要性质，它表明如果在闭区间上连续的函数在两端取值 分别为正和负，则该区间内必存在至少一个值，使得函数取该值。
详细描述
介值定理指出，如果函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，且$f(a) cdot f(b) < 0$，则 存在至少一个$c in (a, b)$使得$f(c) = 0$。此外，如果函数在区间两端取值分别为正 和负，则存在至少一个值$d in [a, b]$，使得$f(d) = c$，其中$c$为介于两端取值之间
极限的定义
01
连续性是定义极限的基础，函数在某点的连续性决定了该点处
的极限行为。
导数与连续性
02
导数与函数的连续性密切相关，一个函数在某点的导数存在意
味着该点处函数是连续的。
一致连续与积分
03
一致连续的函数在区间上的积分值是一致的，这为定积分的计
算提供了基础。
在实数理论中的应用
实数完备性
连续性是实数完备性的一个重要组成部分，它确保实数具有大小 关系和四则运算的完备性。
的任意数。
一致连续性定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结词
一致连续性定理是关于函数连续性的一 种更严格的性质，它要求函数在给定区 间上的一致连续性。
VS
详细描述
一致连续性定理指出，如果函数$f(x)$在闭 区间$[a, b]$上一致连续，则对于任意给定 的$epsilon > 0$，存在$delta > 0$，使 得当$|x_1 - x_2| < delta$时，有$|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。这意味着函数在区间 上的每一点附近的变化都非常小，从而在 整个区间上都是连续的。
函数的连续性及极限与连续性的关系
函数的连续性及极限与连续性的关系函数在数学中扮演着重要的角色，而函数的连续性以及极限则是函数理论中的基础概念。
本文将探讨函数的连续性及其与极限之间的关系，并对其进行详细讨论。
一、函数的连续性函数的连续性是指在某一定义域内，函数的各点之间没有突变或间断，并且在每个点上存在极限。
连续性是函数理论中的重要概念，用于描述函数图像的平滑性和连贯性。
在函数的定义中，我们可以说一个函数f(x)在点x=a连续，如果以下三个条件同时满足：1. f(a)存在，即函数在点a处有定义；2. lim┬(x→a) f(x)存在，即函数在点a处的极限存在；3. lim┬(x→a) f(x)=f(a)，即函数在点a处的极限等于函数在该点的函数值。
二、极限的概念极限是函数理论中一个重要的概念，用于描述函数在某一点附近的趋势。
函数的极限可以分为左极限和右极限两种。
1. 左极限：当x从左侧趋近于某一点a时，函数f(x)的极限称为左极限，用lim┬(x→a-) f(x)表示。
2. 右极限：当x从右侧趋近于某一点a时，函数f(x)的极限称为右极限，用lim┬(x→a+) f(x)表示。
在函数连续性的定义中，我们提到了函数在某一点的极限与函数在该点的函数值相等。
这可以理解为函数在该点附近没有突变或断裂，而是平滑过渡。
三、连续性与极限的关系连续性与极限有着密切的关系。
事实上，连续性是极限存在的前提条件。
对于函数f(x)在某一点a的连续性，如果以下条件之一不满足，那么函数f(x)在点a处不连续：1. 函数f(x)在点a处的函数值f(a)不存在；2. 函数f(x)在点a处的极限lim┬(x→a) f(x)不存在；3. 函数f(x)在点a处的极限lim┬(x→a) f(x)存在，但不等于函数值f(a)。
这意味着函数在某一点处的连续性要求函数值和极限同时存在且相等。
四、连续函数与极限连续函数是指在其定义域上处处连续的函数。
具体来说，如果函数f(x)在其定义域上的每一个点处都连续，则称其为连续函数。
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第四章 函数的连续性
§1 连续性概念
Ⅰ. 教学目的与要求
理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. Ⅱ. 教学重点与难点:
重点: 函数连续性的概念. 难点: 函数连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容
连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数． 从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性． 一 函数在一点的连续性
定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0
lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续．
例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为
2
lim →x ()x f =2
lim →x ()()2512f x ==+
又如，函数()x f ⎩⎨⎧=0
,00,1sin =≠x x x
x ,在点0=x 连续，因为 ()()001
sin lim lim 00f x
x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=∆，称为自变量x (在点
0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为:
()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-∆+=-=∆
注 自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可以是正数，也可以是0或负数．引进了增
量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0
=∆→∆y x .
由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用δε-方式来叙述，即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有
()()ε<-0x f x f (2) 则称函数f 在点0x 连续．
由上述定义，我们可得出函数f 在点0x 有极限与f 与0x 连续这两个概念之间的联系．首先，f 在点0x 有极限是f 在0x 连续的必要条件；进一步说，“f 在点0x 连续”不仅要求，f 在点0x 有极限，而且其极限值应等于f 在0x 的函数值()0x f ．其次，在讨论极限时，我们假定f 在点0x 的某空心邻域()0x U 内有定义(f 在点0x 可以没有定义)，而“f 在点0x 连续”则要求f 在某()0x U 内(包括点0x )有定义，此时由于(2)式当0x x =时总是成立的，所以在极限定义中的“δ<-<00x x ”换成了在连续定义中的“δ<-0x x ”．最后，
(1)式又可表示为: ()⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=→→0
lim lim x x x x x f x f .可见“f 在点0x 连续”意味着极限运算0
lim x x →与对
应法则f 的可交换性．
例1 证明函数()()x xD x f =)在点0=x 连续，其中()x D 为狄利克雷函数． 证 由()00=f 及()1||≤x D ，对任给的0>ε，为使 ()()()ε<≤=-x x xD f x f 0
只要取εδ=，即可按δε-定义推得f 在0=x 连续．相应于f 在点0x 的左、右极限的概念，我们给出左、右连续的定义如下： 定义
2
设函数
f
在某()()()
00x U x U -+内有定义．若
()()()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-+→→000lim lim x f x f x f x f x x x x ,则称f 在点0x 右(左)连续． 根据上述定义1与定义2，不难推出如下定理．
定理4．1 函数f 在点0x 连续的充要条件是：f 在点0x 既是右连续又是左连续．
例2 讨论函数 ()⎩⎨
⎧<-≥+=0
,22
,2x x x x x f 在点0=x 的连续性.
解 因为()()22lim lim 0
=+=++→→x x f x x ，
()()22lim lim 0
0-=-=+-
→→x x f x x ，
而()20=f ，所以f 在点0=x 右连续，但不左连续，从而它在0=x 不连续(见图 41-). 二 间断点及其分类 定义3 设函数f 在某()00
x U
内有定义．若f 在点0x 无定义，或f
在点0x 有定义而不
连续，则称点0x 为函数f 的间断点或不连续点．
按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的讨论，若0x 为函数f 的间断点，则必出现下列情形之一： （i ）f 在点0x 无定义或极限()x f x x 0
lim →不存在；
（ii ）
f 在点0x 有定义且极限()x f x x 0
lim →存在，但()x f x x 0
lim →()0x f ≠
据此，我们对函数的间断点作如下分类：
1．可去间断点 若 ()x f x x 0
lim →A =而
f 在点0x 无定义，或有定义但()A ≠0x f ，则称
0x 为f 的可去间断点．
例如，对于函数()x x f sgn =因()00=f ，而
()x f x 0
lim →()01f ≠=故0=x 为
()x x f sgn =的可去间断点．又如函数()x
x
x g sin =
，由于()1lim 0=→x g x ，而g 在0=x 无
定义，所以0=x 是函数g 的可去间断点． 设0x 为函数
f 的可去间断点，且()x f x x 0
lim →A =我们按如下方法定义一个 函数^
f ：
当0x x ≠时，()()x f x f =^
；当0x x =时，()A =0^
x f ；易见，对于函数^
f ，0x 是它的连
续点．例如，对上述的()x x x g sin =，定义: ∧g )(x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,10,sin x x x x 则∧
g 在0=x 连续．
2．跳跃间断点 若函数f 在点0x 的左、右极限都存在，但 ()()x f x f x x x x -+
→→≠0
lim lim 则
称点0x 为函数
f 的跳跃间断点．
例如，对函数()[]x x f = (图1—8)，当n x = (n 为整数)时有
[]1lim -=-
→n x n x ，[]n x n
x =+→lim ，
所以在整数点上函数f 的左、右极限不相等，从而整数点都是函数()[]x x f =的跳跃间断点．又如符号函数x sgn 工在点0=x 处的左、右极限分别为1-和1故0=x 是x sgn 的跳跃间断点(图1—3)．
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点．第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在．
3．函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为
第二类间断点．
例如，函数x y 1=
，当0→x 时，不存在有限的极限，故0=x 是x
y 1
=的第二类间断点．函数x 1sin 在点0=x 处左、右极限都不存在，故0=x 是x
1
sin 的第二类间断点．又如，
对于狄利克雷函数()x D ，其定义域R 上每一点x 都是第二类间断点． 三 区间上的连续函数
若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续．
例如，函数x y x y c y sin ,,===和x y cos =都是R 上的连续函数．又如函数
21x y -=在)1,1(-每一点处都连续，在1=x 为左连续，在1-=x 为右连续，因而它在
[]1,1-上连续．
若函数f 在区间[]b a ,上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[]b a ,上分段连续．例如，函数[]x y =和[]x x y -=]在区间[]3,3-上是分段连续的．
在§3中我们将证明任何初等函数在其定义区间上为连续函数．同时，也存在着在其定
义区间上每一点处都不连续的函数，如前面已提到的狄利克雷函数． 例3 证明：黎曼函数
()()⎪⎩⎪⎨⎧===）内无理数，及（，当，
为既约真分数为正整数，
，当10100,1
x q p q p q
p x q x R 在），（10内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续． 证 设)1,0(∈ξ为无理数．任给0>ε (不妨设2
1
<
ε)，满足ε≥q 1的正整数q 显然只
有有限个(但至少有一个，如2=q )，从而使()ε≥x R 的有理数)1,0(∈x 只有有限个(至少有一个，如
2
1
)，设为n x x ,1取()ξξξξδ---=1,,,min 1n x x ，则对任何()()()1,0;⊂∈δξU x ，当x 为有理数时有()ε<x R ，当x 为无理数时()0=x R 于是，对任
何()δξ;U x ∈，总有 ()()()εξ<=-x R R x R ||. 所以()x R 在无理点ξ处连续．
现设
q p 为 )1,0(内任一有理数，取q
210=ε，对于任何正数δ（无论多么小），在
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛δ;q p U 内总可以取到无理数())1,0(∈x ，使得()01ε>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-q q p R x R 所以 ()x R 在任何有理点处都不连续．
Ⅳ 小结与提问:本节要求理解函数连续性的概念， 会利用概念判别间断点的类型. Ⅴ 课外作业: 78P 3、4、5 、6、8、9.。