2017年中国东南地区数学奥林匹克试题及参考答案

目录2004年东南数学奥林匹克 (2)2005年东南数学奥林匹克 (4)2006年东南数学奥林匹克 (6)2007年东南数学奥林匹克 (9)2008年东南数学奥林匹克 (11)2009年东南数学奥林匹克 (14)2010年东南数学奥林匹克 (16)2011年东南数学奥林匹克 (18)2012年东南数学奥林匹克 (20)2004年东南数学奥林匹克1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3−a+9−b+27−c≥1.2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN.3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立，求a的取值范围.6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，球n的值.注：A、B两队在A方场地矩形的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛.8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.2005年东南数学奥林匹克1.(1)设a∈R.求证：抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点，且顶点都落在一条抛物线上.(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝供题）2.⊙O与直线l相离，作OO⊥l，P为垂足.设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作⊙O的两条切线QA、QB，A、B为切点，AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB，ON⊥QA，M、N为垂足.求证：直线MN平分线段KP.（裘宗沪供题）3.设n(n≥3)是正整数，集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.（张鹏程供题）4.试求满足a2+b2+c2=2005，且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).（陶平生供题）5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P，点A与⊙O在直线l的，且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2)，从点A作⊙O的两条切线，分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.（冷岗松司林供题）6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集，且P(B)=P(A)，则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.（陶平生供题）7.(1) 讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数；(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列，且|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.求项数n的最大值.（林常供题）8.设0<α、β、γ<π2，且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.（李胜宏供题）2006年东南数学奥林匹克1. 设a >b >0，f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .证明：存在唯一的正数x ，使得f (x )=�a 13+b 132�3. （李胜宏 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 、G 是边CA 上的亮点，连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎，垂足分别为E 、F ，连结CF .若BE =EE ，求证：∠ABG =∠DEC .图13. 一副纸牌共52张，其中，“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张，标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌，并且A 与2也算同花顺牌（即A 可以当成1使用）.试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含同花顺取牌方法数.（陶平生 供题）4. 对任意正整数n ，设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证： (1) a n+1>a n ;(2) ∑1(s+1)a i n s=1<a n .（李胜宏 供题）5. 如图2，在△ABC 中，∠A =60°，△ABC 的内切圆⊙I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G .证明：EG =12BC .图2 6. 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a 、b 、c ，都有m (a 3+b 3+c 3)≥6(a 2+c 2+c 2)+1. （熊 斌 供题）7. (1) 求不定方程mn +nn +mn =2(m +n +n )的正整数解(m ,n ,n )的组数； (2) 对于给定的整数k (k >1)，证明：不定方程mn +nn +mn =k (m +n +n )至少有3k +1组正整数解(m ,n ,n ). （吴伟朝 供题） 8. 对于周长为n (n ∈N +)的圆，称满足如下条件的最小的正整数p n 个点A 1,A 2,⋯,A p n ，对于1,2,⋯,n −1中的每一个整数m ，都存在两个点A s 、A j (1≤s 、j ≤p n ).以A s 和A j 为端点的一条弧长等于m ，圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列T n =�a 1,a 2,⋯,a p n �称为“圆剖分序列”.列入，当n =13，圆剖分数为p 13=4，图3中所标数字为相B邻两点之间的弧长，圆剖分序列为T 13=(1,3,2,7), (1,2,6,4)，求p 21和p 31，并给出一个相应的圆剖分序列.图3（陶平生 供题）73112007年东南数学奥林匹克1. 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程x 3=ax +a +1都有满足|x |<1000的偶数根.2. 如图1所示，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意两点，过点B 作⊙O 的切线交直线CD 于P ，直线PO 于直线CA ，AD 分别交于点E 、F .证明：OE =OF .图13. 设a s =msn �k +s k �k ∈N ∗�，试求S n 2=[a 1]+[a 2]+⋯+[a n 2]的值.4. 试求最小的正整数n ，使得对于满足条件∑a s n s=1=2007的任一个具有n 项的正整数数列a 1,a 2,⋯,a n ，其中必有连续若干项之和等于30. 5. 设函数f (x )满足：f (x +1)−f (x )=2x +1(x ∈R )，且当x ∈[0,1]时有|f (x )|≤1，证明：当x ∈R 时，有|f (x )|≤2+x 2.6. 如图，在直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，PB ⊥AB ，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E .证明：∠DBN =∠BCE .7. 试求满足下列条件的三元数组(a ,b ,c )：E(1) a<b<c，且当a,b,c为质数；(2) a+1,b+1,c+1构成等比数列.8.设正实数a,b,c满足：abc=1，求证：对于整数k≥2，有a k a+b+b k b+c+c k c+a≥32.2008年东南数学奥林匹克1.已知集合S={1,2,⋯,3n}，n是正整数，T是S的子集，满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同），都有x+y+z∉T.求所有这种集合T的元素个数的最大值.（李胜宏供题）2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n(1+2n)(n=1,2,⋯).试求通项a n的表达式.（吴伟朝供题）3.在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于点D，AQ⊥BO，垂足为Q，M是边AC的中点，E是边BC的中点.若△PQM的外接圆⊙O与AC的另一个交点为H.求证：O、H、E、M四点共圆.（郑仲义供题）4.设正整数m、n≥2，对于任一个n元整数集A=�a1,a2,⋯,a n�，取每一对不同的数a s、a j(j>s)，作差a j−a s.由这C n2个差按从小到大.衍生数列顺序排成的一个数列，称为集合A的“衍生数列”，记为A生A生中能被m整除的数的个数记为A生(m).5.证明：对于任一正整数m(m≥2)，n圆整数集A=�a1,a2,⋯,a n�及B={1,2,⋯,n}所对应的A生及B生，满足不等式A生(m)≥B生(m)（陶平生供题）6.求出最大的正数λ，使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x、y、z成立不等式|λxy+yz|≤√52. （张正杰供题）7. 如图1，△ABC 的内切圆⊙I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是针线EF 于BI 的交点.证明：M 、N 、D 三点共线.图1（张鹏程 供题） 8. 杰克(Jack )船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6，其中A s (s =1,2,⋯,6)内有金币a s 枚（诸a s 互不相等）.海盗们设计了一种箱子的布局图（如图2），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜.问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜?图2 （孙文先 供题）9. 设n 为正整数，f (n )表示满足以下条件的n 位数（称为波形数）a 1a 2⋯a n �������������的个数：a 1a 2 a 3 a 4a 6 a 5i.每一位数码a s∈{1,2,3,4}，且a s≠a s+1(s=1,2,⋯);ii.当n≥3时，a s−a s+1与a s+1−a s+2(s=1,2,⋯)的符号相反.(1)求f(10)的值；(2)确定f(2008)被13除得的余数.（陶平生供题）2009年东南数学奥林匹克1.试求满足方程x2−2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).（张鹏程供题）2.在凸五边形ABCDE中，已知AB=DE，BC=EA，AB≠EA，且B、C、D、E四点共圆.证明：A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD.（熊斌供题）3.设x,y,z∈R+，√a=x(y−z)2，√b=y(z−x)2,√c=z(x−y)2；求证：a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). （唐立华供题）4.在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为顶点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边.（陶平生供题）5.设1,2,⋯,9的所有排列X=�x1,x2,⋯,x9�的集合为A；∀X∈A,记f(X)=x1+2x2+3x3+⋯+9x9，P={f(X)|X∈A}；求|P|. （其中|P|表示集合M的元素个数）.6.已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆；证明：过⊙O上的任意一点D，都可作一个△DEF，使得⊙O、⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.（陶平生供题）7.设f(x,y,z)=x(2y−z)1+x+3y+y(2z−x)1+y+3z+z(2x−y)1+z+3x，其中x,y,z≥0，且x+y+z=1.求f(x,y,z)的最大值和最小值.（李胜宏供题）8.在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T型五方连块？（孙文先供题）2010年东南数学奥林匹克1. 设a 、b 、c ∈{0,1,⋯9}.若二次方程ax 2+bx +c =0有有理根，证明：三位数abc�����不是质数. （张鹏程 供题）2. 对于集合A ={a 1,a 2,⋯,a m }，记O (A )=a 1a 2⋯a m .设A 1,A 2,⋯A n (n =C 201099)是集合{1,2,⋯,2010}的所有99元子集.求证：2011|∑O (A s )n s=1. （叶永南 供题）3. 如图1，已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边AB 、BC 切于点F 、D ，之心啊AD 、CF 分别于⊙I 交于另一点H 、K.求证：FD⋅HK FH⋅DK =3.图1 （熊 斌 供题）4. 设正整数a 、b 满足1≤a <b ≤100.若存在正整数k ，使得ab |a k +b k ，则称数对(a ,b )是“好数对”.求所有好数对的个数.（熊 斌 供题）5. 如图2，△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，M 1、M 2为△ABC 内任意两点，M 为线段M 1M 2的中点，直线BM 1、BM 2、BM 与AC 分别交于点N 1、N 2、N.求证：M 1N 1BM 1M 2N 2BM 22MN BM .图2 （裘宗沪 供题）6. 设Z +为正整数集合，定义：a 1=2,a n+1=msn �λ�∑1a i n s=1+1λ<1,λ∈Z +�(n =1,2,⋯). 求证：a n+1=a n 2−a n +1. （李胜宏 供题）7. 设n 是一个正整数，实数a 1,a 2,⋯,a n 和n 1,n 2,⋯,n n 满足：a 1≤a 2≤⋯≤a n 和n 1≤r 2≤⋯≤n n .求证：∑∑==≥n i nj j i j i r r a a 110),min(（朱华伟 供题）8. 在一个圆周上给定8个点A 1,A 2,⋯,A 8.求最小的正整数n ，使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形.（陶平生 供题）21B2011年东南数学奥林匹克1.已知min x∈R ax2+b√x2+1=3.（1）求b的取值范围；（2）对给定的b，求a.2.已知a、b、c为两两互质的正整数，且a2|(b3+c3),b2|(a3+ c3),c2|(a3+b3)求a、b、c的值.3.设集合P={1,2,3,⋯,50}，正整数n满足：M的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素a,b,使a+b=n或a−b=n.求出所有这样的n.4.如图1，过△ABC的外心O任作一直线，分别与边AB,AC相交于M,N，E,F分别是BN,CM的中点.证明：∠EOE=∠A.图15. 如图2，设AA0,BB0,CC0是△ABC的三条角平分线，自A0作A0A1∥BB0,A0A2∥CC0,A1,A2分别在AC,AB上，直线A1A2∩BC=A3;类似得到点B3,C3．证明：A3,B3,C3三点共线．图26．设O 1,O 2,⋯,O n 为平面上n 个定点，M 是该平面内线段AB 上任一点，记|O s P |为点O s 与M 的距离，s =1,2,3,⋯,n ，证明：≤∑∑∑===ni i ni i n i i B P A P M P 111,max . 7．设数列{a n }满足：a 1=a 2=1,a n =7a n−1−a n−2,n >3．证明：对于每个n ∈N ∗,a n +a n+1+2皆为完全平方数．8．将时钟盘面上标有数字1,2,⋯,12的十二个点，分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点，现以这些点为顶点构造n 个凸四边形，使其满足：(1) 每个四边形的四个顶点四色都有；(2) 任何三个四边形，都存在某一色，该色的三个顶点所标数字各不相同．求n 的最大值．32012年东南数学奥林匹克1. 求一个三元整数组(l ,m ,n )(1<l <m <n )，使得∑k l k=1，∑k m k=l+1，∑k n k=m+1依次成等比数列.2. 如图1，△ABC 的内切圆I 在边AB ，BC ，CA 上的切点分别是D ，E ，F ，直线EF 与直线AI ，BI ，DI 分别相交于点M ，N ，K .证明：DP ⋅KE =DN ⋅KE .图1 3. 对于合数n ,记f (n )为其最小的三个正约数之和，g (n )为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数n ，使得g (n )等于f (n )的某个正整数次幂.4. 已知实数a ，b ，c ，d 满足：对任意实数x ，均有acccx +bccc 2x +cccc 3x +dccc 4x ≤1， 求a +b -c +d 的最大值.当a +b -c +d 取最大值时，求实数a ，b ，c ，d 的值.5. 如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数，则称m 为“六合数”.求小于2012的非负整数中“六合数”的个数.6. 求正整数n 的最小值，使得A东南数学奥林匹克�n−20112012−�n−20122011<�n−201320113−�n−201120133.7.如图2，△ABC中，D为边AC上一点且∠ABD=∠C，点E在边AB上且BE=DE，设M为CD重点，AA⊥DE于点H.已知AA=2−√3，AB=1，求∠APE的度数.图2设m是正整数，n=2m−1，O n={1,2,⋯,n}为数轴上n个点所成的集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点.求m的最大值，使对任意x,y∈O n，从点x跳2012步到点y的跳法种数为偶数（允许中途经过点x，y）.。

首届中国东南地区数学奥林匹克第一天一、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥ 二、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。

如果DE=DF ， 求证：DM=DN三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。

如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。

求棋盘中“优格”个数的最大值。

第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州）五、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。

六、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。

求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。

但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。

如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。

注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。

首届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）1、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥2、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。

如果DE=DF ，求证：DM=DN3、（1）是否存在正整数的无穷数列{}na ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n aa a ++≥。

（2）是否存在正无理数的无穷数列{}na ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

4、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。

如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。

求棋盘中“优格”个数的最大值。

B首届中国东南地区数学奥林匹克第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 5、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。

6、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。

求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅7、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。

但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。

如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。

第一天〔2011年7月27日上午8：00—12：00〕宁波·北仑()()()卢兴江供题，求对给定的的取值范围求一、已知.2131min 22a b b xb ax R x =++∈()()()()杨晓鸣供题的值。

、、求两两互质，且、、二、已知正整数c b a b a c c a b c b a c b a ,,,332332332+++ {}()李胜宏供题或，使得、不同元素元子集，至少存在两个的任意一个，，，，，使得集三、求所有正整数.3550321n b a n b a b a M n =-=+⋯=()陶平生供题证明：中点，、分别为、。

若于交、于交任作直线外心四、如图，过EOF A CM BN F E N AC M AB MN O ABC ∠=∠∆其次天〔2011年7月28日上午8：00—12：00〕宁波·北仑()陶平生供题。

三点共线、、。

证明：、类似地得到设、类似得到上、分别在、，作。

自、、于、、别交是其三条角平分线，分、、中，五、△ 3333332121210200100000000.,//,//C B A C B A BC A A B B AB AC A A CC A A BB A A A C B A AB CA BC CC BB AA ABC = ()()∑∑∑===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=n i n i n i i i ii B P A P M P B A AB AB M n n i P 111.,max ,...,2,1金蒙伟供题证明：两点之间的距离。

、为平面上上任一点，记为此平面内线段个顶点，为平面上六、设{}()()陶平生供题皆为完全平方数。

，证明：。

满足：七、设数列12121237,1+*--++∈∀≥-===n n n n n n a a N n n a a a a a a()()()陶平生供题最大值试求互不相同。

点所标数字使得染有该颜色的三个，都存在某一种颜色，对其中任意三个四边形颜色各不相同。

系∕总分要1．在实数范围内方程x+y-1+z-2=(x+y+z)的解为（b2（x1+x2+……+x1999），BC、AC于H、K.则DEBC+CA+AB=内2．在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，且AC=1，∠ACD=60°，则S四边形的值为（dx姓∕封A、32D、2D、校∕赛∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕绝密★启用前注意事项：世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛初赛试卷A、1-2B、3-3C、5-3D、2-2二、填空题。

（每题6分，共30分）1．方程x2-ax+4a=0仅有整数根的所有正实数a为16、18、25（6分）∕〇∕：∕式∕方∕∕联〇∕班∕∕∕级∕年线〇订〇装〇1、考生按要求用黑色、蓝色圆珠笔或钢笔在密封线内填好考生的相关信息。

2、考试时间90分钟。

3、本试卷共4页，满分100分。

4、不得在答卷上做任何标记。

5、考生超出答题区域答题将不得分。

阅卷人6、考生在考试期间不得作弊，否则试卷记零分处理。

初中九年级试题题答一、选择题。

（把相应答案的序号填在括号里，每题5分，共25分）1）。

（5分）2不A.x=1，y=1，z=3B.x=1，y=2，z=3C.x=2，y=1，z=2D.x=2，y=2，z=3）ABCD12．已知实数x，，……x，满足x-1+x-1+……+x-1=121999121999则x1+2x2+……+1999x1999的值为3998000。

（6分）3．△过ABC内一点P，作DE//BC交AB、AC于D、E，作GF//AC交AB、BC于G、F。

作HK//AB交FG KH2。

（6分）4．设x、y是实数。

且x2+xy+y²=3，那么x2-xy+y²的取值范围是1≤x2-xy+y²≤9（6分）5．现有一养鱼池，河水以固定的流量不停的向池塘里流水。

现池塘有一定深度的水，若用一台抽水机则一小时后能把鱼池里的水抽干；若用两台抽水机则20分钟正好能把水池的水抽完；若用三台抽水机，那么抽完池中的水用时12分钟。

第十届东南数学奥林匹克解答第一天(2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭1. 实数,a b 使得方程320x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331a ab ab -++的最小值．（杨晓鸣提供）解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==，故0,0a b >>．由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥． 又由3312312333a x x x x x x a =++≥=知：33a ≥．因此32331a ab a b -++23(3)31a a b a a b -++=+33233393113a a a aa ab ++≥≥=≥++， 当33,9a b ==，即方程三个根均为3时等号成立．综上所述，所求的最小值为93．2. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠． （张鹏程提供）证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交于点G ，则,IT AT TG AI ⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ⋅==⋅，所以,,,I G E D 四点共圆．又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆．所以90IGP IEP ∠=∠=，即IG PG ⊥，从而,,P S T 三点共线．直线PST 截ABC ∆，由梅涅劳斯定理知，1AS CP BT SC PB TA⋅⋅=， 又,,AS AT CS CD BT BD ===，所以有1PC BDPB CD⋅=． ① 设BN 的延长线交PE 于点H ，直线BFH 截PDE ∆，由梅涅劳斯定理知，1PH EF DBHE FD BP⋅⋅=． 因为CF 平行于BE ，所以EF PCFD CD=，从而有 1PH PC DBHE CD BP⋅⋅=．② 由①、②知，PH HE =，故22PH HE HM HN ==⋅，所以PH HNHM PH=，PHN ∆∽MHP ∆，HPN HMP NEQ ∠=∠=∠， 又PEN EQN ∠=∠，所以ENP ENQ ∠=∠．证法2 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T ，则由PI AD ⊥知2222222PA PD IA ID IA IT AT -=-=-=，所以2222222PA AT PD IP ID IP IT -==-=-，从而AI PT ⊥．又AI ST ⊥，所以,,P S T 三点共线．以下同证法1．3. 数列{}n a 满足：21211(1)1,2,(2,3,)nn n n a a a a n a +-+-====．证明：该数列任意两个相邻项的平方和仍是该数列中的一个项．（陶平生提供）证 由211(1)n n n n a a a +-+-=得211(1)(2,3,,)n n n na a a n +-=+-=，于是2222112n n n n n n n n a a a a a a a a --------=2121212(1)n n n n n a a a a -----+--=211312n n n n n a a aa a ------=132n n n a a a ----==3122a a a -==，故122(3)n n n a a a n --=+≥．从而12345671,2,5,12,29,70,169,a a a a a a a =======，可见2222221232353475,29,169a a a a a a a a a +==+==+==，故猜想22121n n n a a a +++=．令22121()n n n f n a a a ++=+-，于是(1)()f n f n +-22221223121n n n n n n a a a a a a +++++=+---+222321()()()n n n n n n a a a a a a ++++=-+--12222()2n n n n a a a a +++=+-2()g n =， ①其中1222()()n n n n g n a a a a +++=+-．进一步有(1)()g n g n +-231241222()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+--++ 231232n n n n n a a a a a ++++=--22112123(2)(2)2n n n n n n n a a a a a a a +++++++=+---2221232222(1)n n n a a a f n +++=+-=+．② 由①、②知4(1)2(1)2()f n g n g n +=+-(2)(1)(1)()f n f n f n f n =+-+-++，即(2)6(1)()f n f n f n +=+-．由于(1)(2)0f f ==，根据递推式可知()0f n =，即22121n n n a a a +++=．证毕．4. 十二个杂技演员编号分别为1,2,,12，将他们按适当方式分别围成,A B 两个圈，每圈6人，其中B 圈的每个演员分别站在A 圈相邻两个演员的肩膀上．如果B 圈中每个演员的编号分别等于他脚下两个演员的编号之和，就称这样搭配成的结构为一个“塔”，问总共能搭配成多少个结构不相同的“塔”？ （注：旋转或对称后的塔属于同一种结构．以8个人的情况为例，画一个圆，将底层演员编号填在圈内，上层演员编号填在圈外，那么以下三个图均是“塔”，但后两个图分别可由第一个图经旋转或对称而得，故它们属于同一种结构．） （陶平生提供）解 将组,A B 中的元素和分别记为,x y ，则有2y x =，所以3121278x x y =+=+++=，26x =．显然有1,2A ∈，11,12B ∈，设{}1,2,,,,A a b c d =，其中a b c d <<<，则12345678123456781234567823a b c d +++=，且3,810a d ≥≤≤（若7d ≤，则456722a b c d +++≤+++=，矛盾）．(1) 如果8d =，则{}1,2,,,,8,7,15A a b c c a b c =≤++=，于是(,,)a b c(3,5,7)=或(4,5,6)，即{}1,2,3,5,7,8A =或{}1,2,4,5,6,8A =．若{}1,2,3,5,7,8A =，则{}4,6,9,10,11,12B =，由于B 中含4,6,11,12，故A 中必须1、3邻接，1、5邻接，5、7邻接，8、3邻接，这时只有唯一的排法，由此得到一个塔：若{}1,2,4,5,6,8A =，则{}3,7,9,10,11,12B =，类似知A 中必须1、2邻接，5、6邻接，4、8邻接，这时有两种排法，得到两个塔：(2) 如果9d =，则{}1,2,,,,9,8,14A a b c c a b c =≤++=，这时(,,)a b c(3,5,6)=或(3,4,7)，即{}1,2,3,5,6,9A =或{}1,2,3,4,7,9A =．若{}1,2,3,5,6,9A =，则{}4,7,8,10,11,12B =，为得到B 中的4,10,12，A 中必须1、3、9两两邻接，这不可能；若{}1,2,3,4,7,9A =，则{}5,6,8,10,11,12B =，为得到B 中的6,8,12，A 中必须2、4邻接，1、7邻接，9、3邻接，于是有两种排法，得到两个塔：(3) 如果10d =，则{}1,2,,,,10,9,13A a b c c a b c =≤++=，这时，(,,)(3,4,6)a b c =，即{}1,2,3,4,6,10A =，{}5,7,8,9,11,12B =，为得到B中8,9,11,12， A 中必须6、2邻接，6、3邻接，10、1邻接，10、2邻接，只有唯一排法，得到一个塔：因此，结构不相同的“塔”共有6个．125648371110129912101173846521125648371110129125648371110129125648371110129125648371110129第十届东南数学奥林匹克解答第二天(2013年7月28日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭1. 设()1!2!2013!x x x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，[]x 表示不超过x 的最大整数．对整 数n ，若关于x 的方程()f x n =有实数解，则称n 为好数．求集合{}1,3,5,,2013中好数的个数． （吴根秀提供）解 先指出两个明显的结论：(a ) 若m 为正整数，x 为实数，则[]x x m m ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(b ) 对任意整数l 与正偶数m ，有212l l m m +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 下面我们求解原问题． 在结论(a )中令!(1,2,,2013)m k k ==并求和，可知2013201311[]()([])!!k k x x f x f x k k ==⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑， 这表明方程()f x n =有实数解当且仅当方程()f x n =有整数解．以下只需考虑x 为整数的情况．由于[][]201321(1)()11!!k x x f x f x x x k k =⎛+⎫⎡⎤⎡⎤+-=+-+-≥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑， ① 所以()()f x x ∈Z 单调递增．下面找整数,a b ，使得(1)0()(1)(1)()2013(1)f a f a f a f b f b f b -<≤<+<<-<≤<+．注意到(1)0(0)f f -<=，所以0a =．又由于611173(1173)1173586195489120122013!k f k =⎡⎤==+++++=≤⎢⎥⎣⎦∑， 611174(1174)1174587195489120142013!k f k =⎡⎤==+++++=>⎢⎥⎣⎦∑， 故1173b =．因此{}1,3,5,,2013中的好数就是{}(0),(1),,(1173)f f f 中的奇数．在①中令2(0,1,,586)x l l ==，由结论(b )知212(22013)!!l l k k k +⎡⎤⎡⎤=≤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 因此20132212(21)(2)11!!k l l f l f l k k =⎛+⎫⎡⎤⎡⎤+-=+-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑， 这说明(2),(21)f l f l +中恰有一个为奇数，从而{}(0),(1),,(1173)f f f 中恰有11745872=个奇数，即集合{}1,3,5,,2013中的好数有587个．2. 设n 为大于1的整数．将前n 个素数从小到大依次记为12,,,n p p p （即12p ，23,p ），令1212n p p p n A p p p ．求所有正整数x ，使得Ax为偶数，且Ax恰有x 个不同的正约数． （何忆捷提供）解 由已知得2|x A ，注意到224n p p n A p p ，故可设1222n n xp p ，其中11,0(2,3,,)ii p in ．此时有 122222n n p p n Ap p x， 故Ax不同的正约数个数为122(3)(1)(1)n np p ．由已知得121222(3)(1)(1)2n nnn p p xp p ． ①下面数学归纳法证明：满足①的数组12(,,,)n必为(1,1,,1)(2)n． (1) 当2n 时，①变为1212(3)(4)23，其中1{0,1}．若10，则223(4)3，无非负整数2满足；若11，则222(4)23，可得21．从而12(,)(1,1)，即2n 时结论成立．(2) 假设1nk 时结论成立（其中3k），则当n k 时，①变为1121221121(3)(1)(1)(1)2k k kk kkk k p p p p p p ． ②若2k，则考虑到 01,011(11)kkk iiik p p p p p i k ，故②的左边不能被k p 整除，但此时②的右边是k p 的倍数，矛盾！若0k，则②变为 1121221121(3)(1)(1)(1)2k kk kk p p p p p ．注意到23,,,k p p p 为奇素数，因此一方面1kp 为偶数，从而上式左边为偶数，而另一方面，右边1221k k p p 为奇数．从而必有11．但此时132，故左边是4的倍数，但右边不是4的倍数，仍矛盾！由上述讨论知，只能1k ，此时②中1k k kk k p p p ，因而 1121221121(3)(1)(1)2k kk k p p p p ．由归纳假设知1211k ．从而1211k k，即当nk 时结论成立． 由(1)、(2)可断定12(,,,)(1,1,,1)n，故所求正整数为 2122nn xp p p p p ．3. 将33正方形任意一个角上的22正方形挖去，剩下的图形称为“角形”（例如，图1就是一个角形）．现于1010方格表（图2）中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合．求正整数k 的最大值，使得无论以何种方式放置了k 个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角形． （何忆捷提供）解 首先有max8k ，这是因为，若按图1的方式放置8个角形，则不能再于方格表中放入另一个角形．下面证明：任意放置7个角形后，仍可再放入一个完整的角形．将1010方格表的第5、6行及第5、6列遮住，留出4个44正方形．当放置7个角形后，由于每个角形不能与两个上述44正方形相交，故根据抽屉原理知，必存在一个44的正方形S ，使得与S 相交的角形至多1个，而角形可被33正方形所包含，故正方形S 被角形所占据的部分必包含于它的某个角上的33正方形．如图2所示，我们可以在S 除去一个角上33正方形后剩余的部分放置一个新的角形．因此7k时符合题意．综上所述，有max 7k ．4. 设整数3n ≥，,,(0,1)αβγ∈，,,0(1,2,,)k k k a b c k n ≥=满足1()nkk k aαα=+≤∑，1()n k k k b ββ=+≤∑，1()nk k k c γγ=+≤∑．若对任意满足上述条件的,,(1,2,,)k k k a b c k n =，均有1()nk k k k k a b c λλ=+≤∑，求λ的最小值．（李胜宏提供）解 令111,,111a b c αβγαβγ===+++，,,0(2,3,,)i i i a b c i n ==，此时条 件成立，故λ须满足(1)111αβγλλαβγ+⋅⋅≤+++，解得 (1)(1)(1)αβγλαβγαβγ≥+++-．记0(1)(1)(1)αβγλαβγαβγ=+++-．下面证明，对任意满足条件的,,k k k a b c ， 1,2,,k n =，有01()nk k kk k a b cλλ=+≤∑． ①由题目条件知131nk k k k k k k a b c αβγαβγ=⎛⎫+++⋅⋅⎪⎝⎭∑ 111333111nnnk k k k k k k k k a b c αβγαβγ===⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫≤⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1≤，这里用到了结论：当,,0(1,2,,)i i i x y z i n ≥=时，有33331111n n n n i i i i i i i i i i x y z x y z ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑． ② （为完整起见，我们将②的证明过程附在最后．）因此，为证①，只需证明对1,2,,k n =，有13k k k k k k k k k k a b c a b c λαβγλαβγ+⎛⎫+++≤⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即()1233()()()k k k k k k k a b c λαβγλαβγ+⎛⎫+++≤ ⎪⎝⎭．③ 事实上，01()()αβγλαβγαββγγα=++++++2()()k k αβγαβγαββγγα≥++++++ ()()()k k k k αβγαβγαβγ=+++-， 因此()()()k k k k λαβγλαβγ++++≤． ④又由于(),(),()k k k k a k b k c ααββγγ+≤+≤+≤，故()2233()()()k k k a b c k k k αβγαβγ⎛⎫≤ ⎪+++⎝⎭．⑤ 由④、⑤可知③成立，从而①成立．综上所述，min 0(1)(1)(1)αβγλλαβγαβγ==+++-．注 ②可以直接用H?lder 来证明，亦可由Cauchy 不等式进行如下推理：233111n n n i i i i i x y ===⎛⎫⎛⎫⎛≥ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝∑∑；23111n n n i i i i i i i z x y z ===⎛⎫⎛⎫⎛≥ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝∑∑；221111n nn n i i i i i i i x y z ====⎛⎛⎛⎫≥= ⎪⎝⎝⎝⎭∑．由以上三式知2231133311111n n n n nni i i i i i i i n i i i i i i ii x y z x y z x y z =======⎛⎛ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭≥≥⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑．。

第2届中国东南地区数学奥林匹克试题解答
吴伟朝
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2005(000)012
【摘要】试题刊干本刊2005年第10期第35页
【总页数】2页(P35-36)
【作者】吴伟朝
【作者单位】广州大学数学与信息科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.2006年中国数学奥林匹克（第21届全国中学生数学冬令营）试题解答 [J],
2.2004年中国数学奥林匹克冬令营试题解答 [J], 陶平生
3.第16届中国东南地区数学奥林匹克 [J],
4.1995年中国数学奥林匹克试题解答 [J], 常庚哲;苏淳
5.1994中国数学奥林匹克试题解答 [J],
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。