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对于一个实际系统是否可将其按线性系统处理，
不仅需要考虑系统本身的因素，而且也需要考虑研 究问题方面的因素，只有从这两个方面考虑，才能 确定是否把一个实际系统看成线性系统。
一、SISO与MIMO系统 设系统的输入--输出描述如下：
u1
y1
系统
up
yq
输入列向量 u [u1,u2,...up ]T p 1 维；
对前面引入的状态空间模型的意义，有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性,
‒ 其决定系统状态变量的动态变化。
输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关 系。
系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,
‒ 它主要决定系统的动态特性。
输入矩阵B又称为控制矩阵,
‒ 它表示输入对状态变量的影响。
x& A(t)x B(t)u
y
C(t
)
x
D(t)u
矩阵 A(t),的B(各t),C个(t元), D素(t如) 果都与时间无关，则称
这种系统是线性定常系统 。
x& Ax Bu 式中的各个系数矩
y
Cx
Du
阵为常数矩阵
为简便，线性定常系统的状态空间模型亦可简记为
(A,B,C,D)。
是变量 x1，…， xn和u1，…， up的线性函数，则相应 的系统为线性系统。
向量方程 X& f x,u,t Y gx,u,t 至少包括一
个元是变量 x1，…， xn和u1，…， up的非线性函数， 则相应的系统为非线性系统。
一、线性系统的状态空间描述
若向量方程中 x& f (x,u,t) y g(x的,u所,t)有组成元
输出向量=(方块所示矩阵)×(输入向量)
D(t)
+
u
+ B(t)
x' ∫
x C(t)
y
u1
y1
u2 M
x1, x2 ,L xn
y2 M
up
yq
系统输入：环境对系统的作用。u1 u2 L up
系统输出：系统对环境的作用。 y1 y2 L yq
统称为系统的外部变量
内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。
x1,x2,…,xn ，体现了系统的行为。
数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变 换关系。
不变系统。 若用 Qα 代表一个位移算子（ Q u(t) u(t ) ，α 为任何数），则定义等
价为
HQ u Q Hu
这个公式的物理含义是：对于时不变系统来说，将输入信号延迟一个α ， 等于将输出信号延迟同样的时间。
1.1 系统的状态空间描述
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和 控制器等组成。
k 0,1, 2,L
四、确定性系统和随机系统
确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变 化的，其各个输入变量（包括控制和扰动）也是按 确定的规律而变化的。
不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定 的规律来描述，或者作用于系统的输入（包括控制 和扰动）是随机变化，或者两者兼而有之。
x2
x k kx
(a) 积分器
(b) 加法器
(c) 比例器
图1-2 系统结构图中的三种基本元件
例 线性时变系统
x A(t) x B(t)u
y
C(t)
x
D(t)u
的结构图如图1-3所示。值得注意的是：图中的信号
传输线一般是表示列向量，方框中的字母代表矩阵，
每一方框的输入输出关系规定为：
惯性系统，所以，它们的动态方程为
x& Ax Bu
y
Cx
三、离散系统的状态空间描述
当系统的各个变量只在离散的时刻取值时，这种系 统称为离散时间系统简称离散系统。其状态空间描述 只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系。 如用 k 0,1, 2,L 来表示离散的时刻，那么离散系统状 态空间描述的最一般形式为：
【例1-1】确定图1－1所示电路的状态变量。
图1－1 RLC电路
由电路理论知道，要唯一地确定t时刻电路的运 动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流 过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC (t0) ， 或者说uC (t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电 路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC (t)和i(t) 是该电路的状态变量。
x& A(t)x B(t)u
y
C(t)x
D(t)u
外部描述
外部描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响 应，显然这种描述把系统当成一个“黑匣”，认为 系统的内部结构和内部信息全然不知（或不去关 心），系统描述直接反映了输出变量与输入变量间 的动态因果关系。
内部描述
内部描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型， 能够完全反映系统的所有动力学特性。
都是变量
和
x1, x的2 ,L线, 性xn 函数，u1,则u2,L称,相up 应
的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表
示为如下形式：
x& A(t)x B(t)u
y
C(t)x
D(t)u
式中，各个系数矩阵的维数分别为
x为n维的状态向量; u为p维的输入向量; y为q维的输出向量; A为nn维的系统矩阵; B为np维的输入矩阵; C为qn维的输出矩阵; D为qp维的直联矩阵(前馈矩阵，直接转移矩 阵)。
1.1.2状态的基本概念
(1) 状态 状态是完整地描述动态系统运动状况的信息，
系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运 动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为 状态。 (2)状态变量
定义完全表征动态系统时间域运动行为的信 息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号 x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量 的数目最小）。
x(k 1) f (x(k),u(k), k),
y(k)
g
(
x(k
),
u(k),
k),
k 0,1, 2,L
对于线性离散时间系统，则上述状态空间描述还
可进一步化为如下形式 ：
x(k 1) G(k)x(k) H (k)u(k),
y(k
)
C(k)x(k)
D(k)u(k),
y Hu
（1-1）
其中 H 是某一算子，通过它由系统的输入 u 唯一地规定了系统的输出 y 。
上式也可等价写成：
y(t) Hu(, )
对于所有t (, )
定义 1-2 一个松弛系统称为线性系统，当且仅当对于任何
输入 u1 和 u2 以及任何实数1 和2 ，有
H (1u 12u2 ) 1Hu1 2Hu2 成立，否则称为非线性系统。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法：
输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、 传递函数矩阵等。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结 构，是对系统的一种完整的描述。
控制u
执行器
被控过程 x
被控对象
传感器
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
观测y 反馈控制
1.1.1动态过程数学描述的两种基本类型 一个系统可用下图来表征。
(5)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量
间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶 差分方程组（离散系统），称为状态方程。
x& Ax Bu
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
(6)状态空间表达式
状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统 完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。
第1章线性系统的状态空间描述
本章主要讲述的内容： 线性系统的基本概念 状态空间描述 由系统框图建立状态空间描述 由系统机理建立状态空间描述 由输人输出建立状态空间描述及标准型实现 由状态空间描述求传递函数 状态空间的线性变换 组合系统的状态空间描述
线性系统的基本概念（补充）
线性系统是一类最简单且研究得最多的动态系统， 线性系统满足叠加原理，使得它在数学处理上非常简 便，可以采用比较成熟的数学工具，如用数学变换和 线性代数等来研究它的规律。
其中： ai和bj 为实常数。i,j=0,1,2, …,n-1；
假定初始条件为零，两边取拉氏变换。 即为复频率域描述，即传递函数。
G(s)
y) (s) u) (s)
sn
bn-1sn-1 L an-1sn-1 L
b1s b0 a1s
a0
系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。 两个数学方程组成： 状态方程：微分方程或差分方程。 内部变量组和输入变量组间的因果关系。 输出方程：代数方程。 内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换 关系。其矩阵形式如下：
输出列向量 y [y1, y2,...yq ]T q 1 维。
定义1-1 当且仅当
p q 1 时，系统称为单变量系统（SISO）。否则称为多变量系统（ MIMO）。
二、初始松弛的概念
一个系统称作 t0 时刻是松弛的，当且仅当输出 y[t0, ] 仅由输入u[t0 , ] 产生。
我们称t0 时刻松弛的系统为初始松弛系统或简称为松弛系统。 对于一个松弛系统，有
x& A(t)x B(t)u
y
C(t)x
D(t)u
1.1.3 系统的状态空间表达式的分类
系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。 各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它 们的状态空间描述在类型上的不同。
