第四章 数列
§4.1等差数列的通项与求和
一、知识导学
1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.
2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.
5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.
7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2
b
a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析
1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相
同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨
⎧≥-==-).
2(),1(1
1
n S S n S a n n n 若a 1适合
a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .
4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为
n d a n d S n )2(212-+=
，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2
d
，则n S ＝An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.
错解：（1）a n =3n+7;
(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n 项之和.错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a 1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）a n =3n －2;
(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.
[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12
++=n n S n
求数列{}n a 的通项公式。
错解： ① 34)1()1(222
2-=-+---=n n n n n a n ② n
n n n n a n 21)1()1(12
2=-----++=错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n-1与的关系，没注意a 1=S 1.正解： ①当1=n 时，1
11==S a 当2≥n 时，3
4)1()1(222
2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，3
11==S a 当2≥n 时，n
n n n n a n 21)1()1(12
2=-----++= ∴ ⎩⎨⎧=n a n 23
)
2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
错解：S 30= S 10·2d. ∴ d ＝30， ∴ S 40= S 30+d =100.
错因：将等差数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等差数列.
正解：由题意：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+70
2293030102
9101011d a d a 得152,521=
=d a 代入得S 40 ＝120402
39
40401=⨯⨯+
d a 。[例4]等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若
),(27417+∈++=N n n n T S n n 求7
7b a ；错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;b n =4n+27.
11
10277417777=+⨯+⨯=∴
b a 错因：误认为
=n n T S n
n
b a 正解：79
922713411371313777777=+⨯+⨯==++=∴
T S b b a a b a [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；错解：由a n ≥0得n ≤5
∴ {}n a 前5项为非负，从第6项起为负，
∴ S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=50(n ≤5)
当n ≥6时，S n =｜a 6｜+｜a 7｜+｜a 8｜+…+｜a n ｜＝
2
)
5)(520(--n n ∴ S n =⎪⎩
⎪
⎨⎧≥--≤6,2)
5)(520(5,50
n n n n 错因：一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.
正解： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2
)
545(n n n n n n
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
由此可以确定求其前n 项和的公式吗？
解：理由如下：由题设： 31010=S 1220
20=S 得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩⎨
⎧==⇒6
41d a ∴ n n n n n S n +=⨯-+
=2362
)
1(4[例7]已知：n
n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最
大？（2）前多少项之和的绝对值最小？
解：（1） ⎩⎨
⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241
n a n a n n 3403340112lg 1024
2lg 1024<<⇒+≤<⇒n n ∴3402
=n
