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第九讲 联合平稳随机过程的互功率谱密度

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随机信号的功率谱

随机信号的功率谱

单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX (ω) 是偶函数， 实平稳过程的谱密度 是偶函数， 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
2 1 T − iω t lim 2 T → ∞ E ∫0 X ( t ) e d t , ω ≥ 0 T G X (ω ) = ω<0 0 ,
平均功率： 平均功率： (2)
P = R X (0) = a 2 2
a2 a2 E [ X 2 (t )] = E [ a 2 cos 2 (ω 0 t + Θ )] = − sin( 2ω 0 t ) 2 π X (t) 是非平稳过程
平均功率： 平均功率：
1 P = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
+∞ S X (ω ) = ∑ RX (m) e − jω m m = −∞ R (m) = 1 π S (ω ) e jω m d ω ∫−π X X 2π
常见的平稳过程的 相关函数及相应的谱密度 参见表7.1（P150） 参见表 （ ）
例2
已知平稳过程的相关函数为 R X (τ ) = e − a τ cos(ω 0τ ) ， 为常数， 其中 a > 0, ω0 为常数，求谱密度 SX (ω) . [解]
3 随机信号的带宽
随机信号的带宽——随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的带宽 随机信号的功率谱所占据的频带宽度 3dB带宽 3dB带宽 半功率带宽） （半功率带宽）
S(ω) ω
1 0.5
绝对带宽
S(ω) ω
1
等效噪声带宽

平稳过程的功率谱密度

平稳过程的功率谱密度

●
频率域分析方法的重要工具是 Fouier变换, • 能量 • 功率
几个物理概念
它可以确定时域与频域的转换关系.
●
为了在频域上描述平稳过程的统计特征，需要 研究相关函数的谱分析。为此要引入谱密度. 谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. 数学上 它是相关函数的Fouier变换,它的物理
意义是功率谱密度.
2013/11/15
2 帕塞瓦尔等式
总能量的谱表示式
2
Fourier变换的性质
● 线性性质 ● 位移性质
F [ f1 (t ) f 2 (t )] F [ f1 (t )] F [ f 2 (t )]



[ x(t )] dt x(t )

1 2


E x 2 (t ) dt.
2013/11/15
功率信号： 0 lim
T

T
T
x 2 (t )dt
t2
E

t1

x 2 (t ) dt 称为x(t )在( - , +) 上的总能量。
5
显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一 个功率信号具有无限大能量。
2013/11/15 6
信号能量的解释：对于电信号，通常是电压或电流， 电压和电流在己知区间 (t1, t2) 内消耗在电阻R上的能 量为 2 t 2 U (t ) t2 E dt ; E RI 2 (t )dt. t1 t1 R
p
1 t2 2 x (t )dt t2 t1 t1
1 2T
R 1 时，上述两式具有相同形式。
1 2



Fx ( ) d

平稳随机过程的功率谱密度-精品文档

平稳随机过程的功率谱密度-精品文档

二、谱密度的性质
性质2
i 即 S ( ) R ( ) e d , X X
性质1 S ( )是 的实的、非负的偶函 . X
S ( ) 和自相关函数 R ( ) 是一傅里叶 . X
1 i R ( ) S ( ) e d . X X 2 π
在 x ( t ) 和 F ( ) 之间成立有帕塞 ( Parsev ) x
等式:
2 1 2 x ( t ) d t F ( ) d , x 2 π
x ( t )在 ( , ) 上的总能量
称为x(t)的能量谱密度 帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平稳过程的平均功率
1T 2 2 该过程的 lim E [ X ( t )] d t x T T 2 T 均方值

2 X
1 1 2 lim { E F (, T ) } d . X T 2 π 2 T

S ( ) 或 S ( ) . 平稳过程 X(t) 的功率谱密度, 记为 XX X
1 T 2 将 lim E X( t) d t 定义为平稳过 T T 2 T
X(t)的平均功率 .
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意
到平稳过程的均方值是常数, 于是
1 T 2 lim E X ( t ) d t T T 2 T
它们统称为维纳-辛钦(hine)公式.
说明
1. 平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下, 维纳-辛钦公式成立.
2 . S ( ) 和 R ( ) 都是偶函数, 所以维纳-辛钦 X
公式还可以写成如下的形式:

平稳过程的功率谱密度

平稳过程的功率谱密度


T
T
X t dt 1 2
2



1 E F , T 2 d lim X T 2T
等式左边称为平稳过程 X t 的平均功率 lim E 1 T 2T

T
T
X t dt lim 1 T 2T
由例1
2a 2a 1 2 2 2 a 2 2 a 0 0

1 1 a 2 2 2 2 a 0 a 0
。
2 4 例3：已知谱密度为： S X 4 ，求平稳过程 X t 2 10 9
1 =t1 t 2 2 =t 2 t1

T
T T
X t1 e
i t1
dt1
T
T
X t 2 e i t2 dt 2
i t 2 t1


T T
T
T T
E X t1 X t 2 e R X t 2 t1 e
f ( z ) dz 2 i Re s[ f ( z ), z
C k 1 z z0
n
k
]
Res( f, z 0 ) lim ( z z 0 ) f(z), 当 z 0为一阶极点 d k 1 (z z 0 )k f(z) 1 , 当 z 为 k 阶极点 Res( f, z 0 ) lim 0 ( k 1)! z z 0 dz k 1 形如
明信号的总能量等于各谐分量能量的叠加。在频率域中， x 2 f F
2

2
表示

平稳过程4-平稳过程的功率谱密度

平稳过程4-平稳过程的功率谱密度
5.4 平稳过程的功率谱密度
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
平稳过程的谱密度
●
相关函数在时域上描述了平稳过程的统计特征.
•许多物理和工程领域中问题, 还要研究其在频域 内的特征, 即频域分析法. •谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. •Fouier变换可以实现时域与频域的转换. • 时域分析法与频域分析法相互联系, 且各有优 点, 构成了研究平稳过程的两个重要分支.
1 S X (ω ) = lim E T →+∞ 2T
+∞
∫
T
−T
e − jωt X t dt
2
= ∫ e − jωt RX (τ )dt
1 证明 因为 E 2T
−∞
∫
T
−T
e
− jωt
2
X t dt
T T 1 − jω s = E[ ∫ e X s ds ∫ e − jωt X t dt ] −T −T 2T
2
即信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分. 上式也称为总能量的谱表达式.
2. 功率型信号：若信号的总能量是无限的. x(t)不满足绝对可
积的条件， 通常研究x(t)的平均功率，即
1 T 2 lim x (t )dt ∫ T →∞ 2T −T 为信号x(t )在(-∞,+∞)上的平均功率.
能否给出平均功率的的谱表达式？ 为此构造一个截尾函数:
1 RX (0) = 2π
平均功率
∫
+∞
−∞
S（ dω X ω）
T 1 1 2 即 lim E ∫ X t dt = lim −T T →+∞ 2T T →+∞ 2T

第九讲 联合平稳随机过程的互功率谱密度

第九讲 联合平稳随机过程的互功率谱密度


Re[S XY ( )] RXY ( ) cosd



RXY ( ) cosd （令

）
Re[S XY ()]
同理可证 Re[SYX ()] Re[SYX ()]
2016/12/2 11
性质3 Im[S XY ()] Im[S XY ()] 奇函数
1 2



S XY ( )d RXY (0) E[ X (t )Y (t )]
若X(t)为通过一负载的电流， Y(t)为加在该 负荷两端的电压，则此式等于消耗在该负载 上的平均功率。
2016/12/2 8
三
互谱密度的性质
互功率谱密度和功率谱密度是不同的，它不具 有频率的非负、实的偶函数，但它具有自己相应的 性质。
t T t T
y (t ) yT (t ) 0
t T t T
因为样本函数满足绝对可积的条件，所以它们的 傅里叶变换存在。
xT ( x) X x (, T )
yT ( x) X y (, T )
利用帕斯瓦尔等式，以及实随机过程，可得 1 * xT (t ) yT (t )dt 2 X x (, T )Yy (, T )d T 1 * x (t ) yT (t )dt X x ( , T )Yy ( , T )d 即 T T 2 2016/12/2
QYX 1 2
则



SYX ( )d
如果X(t)和Y(t)均是实随机过程，则 QXY QYX
2016/12/2 5
二
互谱密度和互相关函数的关系 自相关函数 互相关函数 功率谱密度 互功率谱密度

2.3.2 功率谱密度的性质

2.3.2 功率谱密度的性质
11
实随机过程X(t) Y(t)的互谱密度的性质 实随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度的性质 X(t)和
1 XY (ω) = SYX (ω) = SYX (ω) = SXY (ω) 、S
1 SXY (ω) = lim E[ XT (ω)YT (ω)] T →∞ 2 T 1 SYX (ω) = lim E[YT (ω) XT (ω)] T →∞ 2 T
7
16 例 : 平稳过程 X (t )的功率谱密度为 S X (ω ) = 4 ω + 13ω 2 + 36 求其自相关函数和均方 值.
16 RX (τ ) = FT [ S X (ω )] = FT [ 4 ] 2 ω + 13ω + 36
1 1
16 5 16 5 RX (τ ) = FT [ 2 2 ] ω +4 ω +9
RX (∞) ≠ 0, 且 振 形 , 也 引 δ 函 解 呈 荡 式 可 入 数 决
1 S X (ω ) = FT [ R X (τ )] = FT [ (1 + cos ω 0τ )] 2 1 1 = FT [ ] + FT [ cos ω 0τ ] 2 2 1 1 = 2πδ (ω ) + π [δ (ω + ω0 ) + δ (ω ω0 )] 2 2
αt
9 S XY (ω ) = 3 + jω
9e 3τ 方法一 RYX (τ ) = RXY (τ ) = 0
τ ≤0 τ >0
14
例 : 设两个随机过程X (t )和Y (t )联合平稳, 其互相关函数为 9e 3τ RXY (τ ) = 0
τ ≥0 求互谱密度S XY (ω )和SYX (ω ). τ <0

第九讲互功率谱、性质,相干函数白噪声图文

第九讲互功率谱、性质,相干函数白噪声图文
第十讲 1、互功率谱密度 2、自功率谱、互谱的应用 3、白噪声
1
四、联合平稳的随机信号的互功率谱
1、样本函数的互功率谱
互功率谱：
GXYLeabharlann (, )lim T
1 2T
XT
(,)YT*(, )
GYX
(,
)
lim T
1 2T
YT
(,
) XT*
(,
)
若 X (及t) 为Y (实t) 函数
XT () XT () YT() YT ()
x(n)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
100
200
300
400
500
12
B. 数学上有很好的运算性质 把信号与白噪声一起分析，运算非常方便 C. 可以作为重要噪声的模型 自然界许多重要的噪声过程，具有近似均匀的谱密度， 如通信系统的热噪声 D. 可以代替实际应用中的宽带噪声 只要噪声在比有用信号的频带宽的多的范围内 具有近似平坦的功率谱，都可看作白噪声
5
五、功率谱的应用
1、自谱应用 •周期性检测 •语音频谱分析
国际音标a：的时域波形与功率谱
6
五、功率谱的应用
•脑电图分析
左右脑电信号的相干函数
•衡量滤波器的特性 衡量系统的噪声系数
Si F Ni
So No
7
2、互谱的应用 若两个信号分别是一个线性系统的输入和输出信号： •估计线性系统频响函数（系统辨识）
H () GXY () H () e j(w) GX ()
•滞后时间的测量：
(w) 代表了系统对频率 的相位延迟，本
质上是系统的滞后时间
(w) /

2.3 平稳随机过程的功率谱

2.3 平稳随机过程的功率谱
X T ( ) X T ( ) X T ( ), 故S X ( ) S X ( )
2
16
例 : 下列函数哪些是功率谱密度的正确表达式? 为什么?
2 cos(3 ) (1) ; (2) ; (3) exp[ ( 1) 2 ] 6 3 2 3 1 2

1 2
1 2 1 d
10

1 1 2 例2.3 2 已知随机电报信号的自相关函数RX ( ) (1 e ) 4 4 求其功率谱密度.
RX () 0, 不满足条件, 可引入函数解决
1 1 2 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ e ] 4 16
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
X T ( ) 0, 故S X ( ) 0
2
2、 若X (t )实平稳, 则S X ()是偶函数,即: S X () S X ()
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
x(t ), w和X T ()取决于试验的结果, 都带有一定的随机性.
4
样本函数x(t)的平均功率：
1 w lim T 2T

T
T
1 x(t ) dt 2
2
1 2 [Tlim 2T X T ( ) ] d

随机过程X(t)的平均功率：
1 1 2 E[ w] E{ [Tlim 2T X T ( ) ] d} 2 1 1 2 Tlim 2T E[ X T ( ) ] d 2 1 T lim E[ X 2 (t )] dt T 2T T
根据功率谱密度的性质来判断

九随机过程的功率谱密度详解演示文稿

九随机过程的功率谱密度详解演示文稿
SX（ Y ） RXY()
第24页，共36页。
高斯过程与白噪声
高斯过程定义6：.7如高果斯对过于任程意与时白刻噪，声随机过程的任意n
维随机变量服从高斯分布，则X(t)就是高斯过程。高斯过程的n 维概率密度函数为：
1
(x m )TC 1(x m )
f(x 1 ,x 2, ,x n;t1 ,t2, ,tn)(2)n2C 12e 2
第26页，共36页。
高斯过程性质
性质1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。
性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时
刻是不相关的，那么也一定是互相独立的 性质3：平稳高斯过程与确定时间信号之和
仍是高斯过程。
第27页，共36页。
高斯过程性质
性质4：若正态随机过程在T上是均方可
积的，则
Y(t) t X()d (a,tT) a
SN ()
1 2
N0
RN ( )
1 2 N0
0
ω
0
第30页，共36页。
带限白噪声
理想利白用噪傅声立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：
RN
()
N0 2
()
白噪声的相关系数
rN()CNN(2)
N0
2 N0
() (0)
1 0
( 0) ( 0)
2
若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常
数，在频带之外为零，则称N(t)为理想带限白噪声。
SX()Tli mEXX2(TT,)2
2、功率谱密度是ω的实函数。 3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω的偶函数，即
SX()＝ SX(－ )
第9页，共36页。
截取函数 x T (为t ) t的实函数，根据傅立叶变换的性质

2[1][1].6 平稳随机过程的功率谱密度

2[1][1].6 平稳随机过程的功率谱密度

2.6 平稳随机过程的功率谱密度2.6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。

设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。

信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。

即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。

能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。

2.6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。

经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。

功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。

可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=2.6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd e S R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。

随机过程的功率谱密度

随机过程的功率谱密度



xyf X Y ( x , t1 , y , t 2 ) d xd y
互协方差函数： K X Y ( t1 , t 2 ) R X Y ( t1 , t 2 ) m X ( t1 ) m Y ( t 2 ) 互相关系数： r ( ) XY 广义联合平稳的定义：
三、互功率谱密度及其性质
G XY ( ) E { lim 1 2T
T
T
X T ( ) YT ( )}
j t

其中： X T ( )

T
xT (t ) e
dt
YT ( )

T
T
yT (t )e
j t
dt
j
若X(t)及Y(t)联合平稳，有
2
1
1
时间平 均功率
功率谱密度：信 1 1 2 号的平均功率按 E[ Tlim 2T X T ( ) d ] 频率分布的情况 2
T
T
2T 2


X T ( ) d
2
E [ lim
1 2T
T

T
x (t ) d t ]
2
1 2 1 2
R XY ( t1 , t 2 ) m X ( t1 ) m Y ( t 2 )
两随机过程的相互关系：
f X Y ( x 1 , , x n , y1 , , y m , t1 , t n , t1 , , t m )
f X ( x 1 , , x n , t1 , t n ) f Y ( y1 , , y m , t1 , , t m )
1 2T
T
X T ( ) YT ( )}

功率谱密度的性质

功率谱密度的性质

( )

2
[ ( 0 ) ( 0 )]
6
单边功率谱GX(w)与双边功率谱SX(w)的关系
只用正频率部分来表示功率谱密度
G X ( ) 2S X ( ) 0 0 0
S ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 1 RX ( ) S X ( ) cos d 0
CXY ( ) RXY ( ) mX mY
RXY ( ) RYX ( ) mX mY
S XY () FT[ RXY ( )] FT[mX mY ] 2mX mY ()
5、 互谱密度的幅度平方满足 : S XY ( ) S X ( ) SY ( )
根据功率谱密度的性质来判断
(1) 该函数非负的实函数且 为偶函数, 故它是功率 谱密度的正确表达式 .
(2) 该函数虽为实偶函数 , 但它可为负数 , 故不可能 成为功率谱密度的正确 表达式.
(3) 该函数虽满足非负的实 函数, 但它不是偶函数 , 故它不能成为功率谱密 度的正确表达式 .
2
2 2 例2.3.1 已知平稳随机过程的功 率谱密度为S X ( ) 4 3 2 2 求自相关函数 RX ( )和平均功率W .
16
如果平稳过程N (t )的数学期望为零, 并在整个频率 N0 范围内的功率谱为常数S N ( ) ( ) 2 则称它是白噪声过程, 简称白噪声.
N0 白噪声的自相关函数为 : RN ( ) ( ) 2
1 0 白噪声的相关系数为 : rN ( ) 0 0
f X ( x1 , x2 , )
1 1 r ( )
2

e

随机信号处理教程 第3章 随机过程的功率谱密度

随机信号处理教程 第3章 随机过程的功率谱密度
343式343告诉我们无论怎样的随机过程它的自相关时间与等效带宽的乘积恒为35联合平稳随机过程的互功率谱密度的傅立叶变换存在所以有为两个随机过程的样本函数在tt内的互功率为353根据巴塞伐定理有354由式353和式354得dtxydtxy35联合平稳随机过程的互功率谱密度为了求出两个随机过程的互功率须将式355扩展为对所有样本取统计平均得356式356两边取极限令t得357式357的左边即是随机过程的互功率358因此定义两个随机过程的互功率谱密度简称为互谱密度为359于是有dtxyxyxy35联合平稳随机过程的互功率谱密度yxxyxyyxxyxyyxyxxyxyyxyx正交则有xyyx36随机过程如果按它的功率谱密度函数的形状来进行分类可以分成白噪声和有色噪声两大类
T T
T T
T
T
x T (t ) Fx ( j , T )
yT (t ) Fy ( j , T )
两个随机过程的样本函数在(-T,T)内的互功率为 1 1 P (T ) x (t ) y (t )dt x (t ) y (t )dt (3.5.3) 2T 2T 根据巴塞伐定理，有 1 x (t ) y (t )dt 2 F ( j , T ) F ( j , T )dt (3.5.4) 由式(3.5.3)和式(3.5.4)得 F ( j , T ) F ( j , T ) 1 1 P (T ) x ( t ) y ( t ) dt dt (3.5.5) 2T 2 2T
随机信号处理教程
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随机信号处理教程
第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程
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1 2



S XY ( )d RXY (0) E[ X (t )Y (t )]
若X(t)为通过一负载的电流， Y(t)为加在该 负荷两端的电压，则此式等于消耗在该负载 上的平均功率。
2016/12/2 8
三
互谱密度的性质
互功率谱密度和功率谱密度是不同的，它不具 有频率的非负、实的偶函数，但它具有自己相应的 性质。

1 R XY ( ) 2



S XY ( )e j d
同理 即
RYX ( ) SYX ()
SYX ( ) RYX ( )e j d

1 RYX ( ) 2
2016/12/2



SYX ( )e j d 合平 稳)的实随机过程，它们的互谱密度与 其互相关函数互为傅里叶变换。 若 0
2
取极限以及交换运算次序，可以得出样本函数 x(t ) 和 y (t ) 的 (时间)互平均功率：
1 T 1 Qxy lim x(t ) y(t )dt T 2T T 2
1 X x (, T ) X y (, T )d Tlim 2T

样本函数 互功率谱密度
S XY ( ) A RXY (t , t ) e


j
d
即 A RXY (t , t )
2016/12/2
S XY ()
6
若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有
RXY ( ) S XY ()

即
S XY ( ) RXY ( )e j d

SYX ( )
2016/12/2 10
性质2 Re[S XY ()] Re[S XY ()] 偶函数 Re[SYX ()] Re[SYX ()]
证明 S XY ( ) RXY ( )e j d
RXY ( )[cos j sin( )]d
性质7
| SYX () | S X ()SY () 互谱不等式
2
2016/12/2
14
例
设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相 关函数 RXY ( )为: 9e 3 0 R XY ( ) 0 0 SYX ( )。 求互谱密度 S XY ( ) ，
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解
S XY ( ) RXY ( )e
0

j
d 9e3 e j d
0

9 e (3 j ) d 9 3 j
9 SYX ( ) S ( ) 3 j
* XY
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实际中，考虑多个联合平稳随机过程之和的频 率特性时，就要应用互谱密度。 设Z(t)=X(t)+Y(t)，其中X(t)和Y(t)是联合平稳 实随机过程，则的Z(t)自相关函数： RZ (t , t ) E [ X (t ) Y (t )][ X (t ) Y (t )]
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性质5 若X(t)与Y(t)不相关的平稳过程，X(t)和 Y(t)分别具有常数均值 m X 和 mY ，有
RXY ( ) RYX ( ) E[ X (t )Y (t )] mX mY
则 S XY () SYX () 2 mX mY ()
QYX 1 2
则



SYX ( )d
如果X(t)和Y(t)均是实随机过程，则 QXY QYX
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二
互谱密度和互相关函数的关系 自相关函数 互相关函数 功率谱密度 互功率谱密度
对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互 谱密度 S XY ( ) 与互相关函数 RXY ( t , t ) 之间 的关系为：
随机过程 互功率谱密度
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互功率谱密度（互谱密度或互功率谱）：
1 * S XY ( ) lim E[ X X ( , T ) X Y ( , T )] T 2T
则 同理
Q XY
1 2



S XY ( )d
1 * SYX ( ) lim E[ X Y ( , T ) X X ( , T )] T 2T
RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( ) RZ ( )
对上式求傅里叶变换，可知的功率谱密度：
S Z ( ) S X ( ) SY ( ) S XY ( ) SYX ( )
S X ( ) SY ( ) S XY ( ) S XY ( )


Re[S XY ( )] RXY ( ) cosd



RXY ( ) cosd （令

）
Re[S XY ()]
同理可证 Re[SYX ()] Re[SYX ()]
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性质3 Im[S XY ()] Im[S XY ()] 奇函数
t T t T
y (t ) yT (t ) 0
t T t T
因为样本函数满足绝对可积的条件，所以它们的 傅里叶变换存在。
xT ( x) X x (, T )
yT ( x) X y (, T )
利用帕斯瓦尔等式，以及实随机过程，可得 1 * xT (t ) yT (t )dt 2 X x (, T )Yy (, T )d T 1 * x (t ) yT (t )dt X x ( , T )Yy ( , T )d 即 T T 2 2016/12/2
2.2 联合平稳随机过程的互谱密度
实际应用中，经常需要研究两个或两 个以上的随机过程及其性质。
两个随机过程中样本函数的互功率谱密度
考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本函 yT (t ) 为： 数分别为 x ( t ) 和 y( t ) ，定义两个截断函数 xT (t ) 、
x(t ) xT (t ) 0
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S X ( ) SY ( ) 2 Re[ S XY ( )]
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性质1 证明
* SXY ( ) SYX ( ) SYX ( ) 共轭性
S XY ( ) RXY ( )e


j
d d （令 ）
RYX ( )e
* SYX ( )
j
RYX ( )e j d RYX ( )e j ( ) d
证明 因为X(t)与Y(t)不相关，所以
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
S XY ( ) RXY ( )e
j
d
mX mY e

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j
d
2 mX mY ( ) （1 2 ( )）
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性质6
A RXY (t , t ) S XY ( ) A RYX (t , t ) SYX ( )
Im[SYX ()] Im[SYX ()]
性质4 若平稳过程X(t)与Y(t)正交，则有
SYX () 0, S XY () 0
证明 若X(t)与Y(t)正交，则
RXY ( ) RYX ( ) E[ X (t )Y (t )] 0
所以 S XY () SYX () 0
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两个随机过程的互功率谱密度
推广到随机过程中，并取集合平均（数学期望），可 以得出两个随机过程X(t)，Y(t)的互平均功率：
1 T 1 1 QXY E[lim X (t )Y (t )dt ] lim E[ X X (, T ) X Y (, T )]d T 2T T 2 T 2T

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