S F 01（数）
Ch 14 幂级数
计划课时： 1 0 时
P 171 —189
2002. 05.08 .
Ch 14 幂级数 （ 1 0 时 ）
§ 1 幂级数（ 4 时 ）
幂级数的一般概念. 型如
∑∞
=-0
0)(n n
n
x x a
和 ∑∞
=0
n n n x a 的幂级数 . 幂级数由系数
数列}{n a 唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如
∑∞
=0
n n n
x a
的幂级数.
幂级数是最简单的函数项级数之一.
一. 幂级数的收敛域:
1.
收敛半径 、收敛区间和收敛域：
Th 1 （ Abel ） 若幂级数
∑n n x a 在点0≠=x x 收敛 ， 则对满足不等式
|| ||x x <的任何x ，幂级数∑n n x a 收敛而且绝对收敛 ；若在点x x =发散 ，则对满足
不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数
∑n
n x
a 发散.
证
∑n
n x a 收敛, {n
n x a }有界. 设|n
n x a |≤M , 有
|n n n
n n
n Mr x x x a x a ≤⋅=||
|||, 其中 1 ||<=x
x
r . ∑+∞<,n
Mr
⇒ ∑∞+< ||n n x a .
定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数
∑n
n
x
a 和
∑-n n
x x a
)(0的收敛域的结构.
定义幂级数的收敛半径 R.
收敛半径 R 的求法.
Th 2 对于幂级数
∑n
n
x
a , 若∞
→n lim
ρ=n
n a ||, 则
ⅰ> +∞<<ρ0时, R ρ
1
=
; ⅱ> ρ=0时+∞=R ; ⅲ> ρ=∞+时0=R .
证 ∞
→n lim =n
n n x a ||∞
→n lim
||||||x x a n
n ρ=, ( 强调开方次数与x 的次数是一致
的). ⇒ ……
由于∞
→n lim
, |
||
|1⇒=+ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径.
幂级数∑n n
x a 的收敛区间: ) , (R R - .
幂级数∑n
n
x
a 的收敛域: 一般来说 , 收敛区间⊂收敛域. 幂级数
∑n
n
x
a 的收敛
域
是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一.
例1 求幂级数∑2n x n
的收敛域 . (] 1 , 1 [-
) 例2 求幂级数 ++++n
x x x n
22的收敛域 . () 1 , 1 [- )
例3 求下列幂级数的收敛域:
⑴ ∑∞
=0!n n n x ; ⑵ ∑∞
=0
!n n
x n .
2. 复合幂级数
∑)(x a n n ϕ: 令)(x t ϕ=, 则化为幂级数∑n
n t a .设该幂级数的
收敛区间为) , (R R -，则级数∑)(x a n
n
ϕ
的收敛区间由不等式 R x R )( <<-ϕ确定.
可相应考虑收敛域.
特称幂级数
∑k x
a kn
n
( 为正整数)为缺项幂级数 .其中k x x =)(ϕ. 应注意n a 为第
kn 项的系数 . 并应注意缺项幂级数 ∑k
n n x a 并不是复合幂级数 , 该级数中, n a 为第
k n 项的系数 .
例4 求幂级数
++++7453323
4
333231x x x x 的收敛域 . 解 ++++7
4533234333231x x x x ∑∞
=++=0213
1n n n x n x 是缺项幂级数 .
∞
→n lim
, 3
1
||||1⇒=+n n a a 3=R . 收敛区间为) 3 , 3 (-. 3±=x 时, 通项0→/. 因此 , 该幂级数的收敛域为) 3 , 3 (-. 例5 求级数
∑∞
=-0
)
1(2
1
n n
n x 的收敛域 . 解 令11-=x t , 所论级数成为幂级数∑∑∞=∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛=0022n n n
n n t t .由几何级数的敛散性结果,
当且仅当22<<-t 时级数∑∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛02n n
t 收敛. 因此当且仅当2112<-<-x ,
即21 |1|>-x 时级数
∑∞
=-0)
1(21n n
n x 收敛. 所以所论级数的收敛域为) , 23
() 21 , (∞+⋃∞-. 例6 求幂级数∑2
3n n x 的收敛半径 .
解 ∞
→n lim =2
3n n ∞
→n lim
1 , 13=⇒=R n
.
Ex [1]P 64—65 1，7；
[4]P 309—312 15—19， 39⑴⑷⑸，40⑶—⑹⑻，41⑵.
二． 幂级数的一致收敛性：
Th 3 若幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ) 0 (>，则该幂级数在区间) , (R R -内
闭一致收敛 .
