下载文档原格式
硕士研究生入学统一考试《数学分析》科目大纲
(科目代码：620)
学院名称(盖章)：数学与统计学院学院负责人(签字)：
编制时间： 2014年 8 月 30 日
《数学分析》科目大纲
(科目代码：620)
一、考核要求
数学分析是数学与应用数学专业的专业基础核心课程，是学生学习分析学系列课程及数学专业其它后继课程的重要基础，也为高观点下深入理解中学数学教学内容所必需。
数学分析的主要内容有：极限理论、微分学、积分学及级数理论。
数学分析中的极限思想十分重要，它几乎贯穿了数学分析及其它与分析相关的自然学科的始终。
数学分析课程的考核，以其基本理论和方法为主，考核学生对从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法的掌握情况，考核学生对基础知识的掌握情况，考核学生是否具有严密的逻辑推理能力，考核学生应用所学知识解决某些实际问题的能力。
二、考核评价目标
数学分析课程重点考核学生对理论基础知识掌握的情况及分析解决某些实际问题能力。
通过考核，选拔出具有较好的数学功底的学生来攻读数学学科的硕士研究生。
考核评价目标应使录取的研究生具有较扎实与系统的从事基础数学、应用数学以及计算数学等的进一步学习及科研工作所需的数学分析知识。
三、考核内容
第一章极限
第一节实数集与函数
考核不等式、集合、映射、函数、初等函数、领域、上确界、下确界的定义，会进行集合运算和函数的各种表示，能分析函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性，熟悉确界原理。
第二节数列极限
考核数列、数列极限的定义、无穷小数列，收敛数列的性质，数列极限的四则运算，单调数列及单。
西北师范大学数学分析 （2000.）
一，（40分，每题10分）计算题
（1） 求极限∑=∞→+-n k n n n n n k k 12/))1((lim
（2） 利用代换y x y x μηλξ+=+=,变换方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂y
z y x z x z 并确定λ和μ，使变换后的方程不含有二阶偏导数22ξ∂∂z 和22η
∂∂z 。
（3）设函数f 在区间[a,b]上连续，m dx x f b
a =⎰)(计算二重积分
⎰⎰D
dxdy y f x f )()(，其中D 是由直线y=a 和y=x,x=b 所围区域
(4) 求数项级数∑∞
=+++++1)!2()!1(!2n n n n n 的和. 二．（60分，每题15分）证明题
（5）设函数f 在有限区间(a,b)内连续，试证明：f 在(a,b)内一致连续的充分必要条件是
函数|f|在(a,b)内一致连续
(6)设函数f 在区间I 上可微，D 和H 是数集合D={},,|)()({,|)('21212
121x x I x x x x x f x f H I x x f ≠∈--=∈ 试证明：supD=supH
（7）设函数f 在区间[0,1]上连续且f(x)0 ，试证明不等式
⎰⎰≤⎰≤1
0)(ln 1
0)()(111
0dx x f e dx x f dx x f （8）证明含参量非正常积分dy y xy ⎰+∞
sin 在),[+∞δ上一致连续，（其中0>δ），但在（+∞,0）内不一致收敛。
（-）左、右连续: lim /(x) = /(x0)一、基本概念与主要结果（-）函数连续性定义函数/在心点连续,等价定义有:lim/(x) = /(x0)1、f ；2 V^>0 3^>0 Fx. 1兀一兀0 lv/=>l/'(x)— /(xo)lv£.lim Ay = 03、"TO ・；lim /(x) = lim f(x) = /(x0)4、兀f巾xw3 .5、W>0,羽>O=> /[U(%，6] <= t/(/(x0),£)；6、对任意数列心，兀H忆有密ng)（三）间断点类型:lim /O）存在--- nJ去间断点XT心< /（v）> /«）3但不等一一第一类间断点f （兀「）、f（吋）中至少一个不存在第二类间断点间断点（不连续点）（四）一致连续概念：/（尢）,兀6,Vg>o m》= j(g)〉O 使得el \X{-X2\<3 =>l f{x x) - /(x2) l< £第四章连续函数习题课1、/⑴在闭区间［°上］上一致连续o i&£［Q，®；2、/⑴在开区间@劝上一致连续o/w£@,b）且/⑺）、/財）存在;3、不一致连续日％〉°, V5〉0, , %2 丘，，虽I 旺 _ 花k / 但I J（兀】）—/ （兀2）£（）（五）初等函数在其定义域上连续二、连续函数的性质（-）局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算法则、复合函数的连续性.（-）整体性质:1、闭区间上连续函数必有界；（有界性）2、闭区间上连续函数必取到最大值、最小值；（最值性）3>介值性、零点存在定理；4、反函数的连续性定理；5、/w£［d，So/ 在S,b］上一致连续.三、例题和讨论例1若/在点“0连续，则I门、厂也在点％连续，反之如何?证明I门在点儿连续易证•现证了2在点兀。
S F 01（数）Ch 9 不定积分计划课时：16 时P 85—1002001．11．25.Ch 9 不定积分 （ 16时 ）§ 1 概念 基本公式 初等化简求积分（ 2时 ）引入： 微分问题的反问题，运算的反运算.一. 不定积分的定义:1． 原函数：例1 填空: 211) (x+=' ; ( x cos 2)-=' ; 2) (x dx d =; x e dxdx sin ) (-=; xdx d =)(; arctgx =') (. ⎪⎭⎫ ⎝⎛='+-.])1ln(21[2arctgx x xarctgx定义. 注意)(x f 是)(x f '的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法.原函数的个数:Th 若)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数, 则对c ∀— Const ，c x F +)(都是)(x f 在区间I 上的原函数；若)(x G 也是)(x f 在区间I 上的原函数， 则必有c x F x G +=)()(. ( 证 )可见，若)(x f 有原函数)(x F ，则)(x f 的全体原函数所成集合为 {c x F +)(│∈c Ｒ}.原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ).可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若)(x f 在区间I 上有原函数, 则)(x f 在区间I 上有介值性.例2 已知)(x F 为)(x f x 2=的一个原函数, )2(F =5 . 求)(x F .2. 不定积分—— 原函数族：: 定义, 不定积分的记法, 几何意义.例3 ⎰+=+c arctgx x dx 21 ; ⎰+=c x dx x 3231 .3. 不定积分的基本性质: 以下设)(x f 和)(x g 有原函数. ⑴ ()⎰⎰=='dx x f dx x f d x f dx x f )()( ),( )( . (先积后导, 形式不变).⑵ ⎰⎰+=+='c x f x df c x f dx x f )()( ,)()(. (先导后积, 多个常数)⑶0≠α时， ⎰⎰=.)()(dx x f dx x f αα⑷ ⎰⎰⎰±=±.)()())()((dx x g dx x f dx x g x f由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对R , ∈∀βα, 有⎰⎰⎰+=+.)()())()((dx x g dx x f dx x g x f βαβα( 当0==βα时,上式右端应理解为任意常数. ) 例4 ⎰++=-c x x dx x f 331)12(. 求 ) 1 (f . () 1 (f =2 ).二. 不定积分基本公式: 基本积分表. [1]P240—242 公式1—14.例5⎰.3xxdx.三．利用初等化简计算不定积分: 参阅[4]P181.例6 n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( . 求⎰dx x P )(.例7 ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++-=++.)121( 112224dx x x dx x x .例8 ⎰+221xdxx . 例9 ⎰++dx x x x )1()1(22. 例10 ⑴ ⎰--dx x x 2)1010(; ⑵ ⎰+-.2132dx e x x例11 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-= dx x x dx x x222sin sin 21 sin 2cos . 例12⎰θθθ22sin cos d .Ex [1]P244 2，3，4 ⑴―⒁；[4]P247—254 1—3，5，6，72 ⑴―⑸⑻⑼.§ 2 换元积分法与分部积分法 （1 0 时 ）一. 第一类换元法 ——凑微法：由,2cos 2sin 10)2(sin 2sin 52sin 2sin 52sin 4445xdx x dx x x x xd x d ='==⇒⎰⎰⎰='=x xd dx x x xdx x 2sin 2sin 5)2(sin 2sin 52cos 2sin 10444xu 2sin ======⎰+=+=.2sin 5554c x c u du u引出凑微公式.Th 若⎰+=,)()(c x F dx x f )(x φ连续可导, 则⎰+='.)]([)()]([c t F dt t t f φφφ该定理即为： 若函数)(t g 能分解为),()]([)(t t f t g φφ'=就有⎰⎰⎰='=)()]([)()]([)(t d t f dt t t f dt t g φφφφ)(t x φ===== ⎰+=+=c t F c x F dx x f )]([)()(φ.例1 0 , 1 ,)(≠-≠+⎰a m dx b ax m .例2 ⎰-dx x )35(sec 2. 例3 ⎰⎰=+=dx x x xdx x )5cos (cos 212cos 3cos 常见微分凑法：[4]P183—190.凑法1 .)(1)()(1)(du u f a b ax d b ax f a dx b ax f =++=+ 例4 ⎰⎰+-==-=.)2sin 21(21)cos 1(21sin 2c x x dx x xdx例5⎰+==+.22222c x arctg x dx 例6⎰⎰++==++=++.2122)1(23222c x arctg x dx x x dx 例7⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+--=-+=-+dx x x x x dx x x dx 311141)1)(3(322.31ln 41c x x ++-== 由例4—7可见，常可用初等化简把被积函数化为)(b ax f +型，然后用凑法1.例8 ⑴ ⎰+21x xdx. ⑵ ⎰⎰==+=+ 1051010144)(514x x d x x dx x c x arctg x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=225155.凑法2 du u f kx d x f k dx x f x k k k k )(1)()(1)(1==- . 特别地, 有 .du u f x d x f xdx x f )(21)()(21)(222==和 ()x dx f dx xx f 2)(=.例9 ⎰dx x x 2sin .例10⎰.sin dx x x例11⎰=-)1(x x dx()⎰+=-c x x xd arcsin 2122.例12 ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-====+=+=+=du u u x x x d x x xdx x x dx x u 11121)1()(21)1()1(2222222=c x x c u u ++=++1ln 211ln2122. 凑法3 ;)(sin )(sin cos )(sin du u f x d x f xdx x f == ;)(cos )(cos sin )(cos du u f x d x f xdx x f -=-= .)()(sec )(2du u f dtgx tgx f xdx tgx f ==例13 ⑴⎰.cos sin 3xdx x ⑵ ⎰.sin 3xdx例14⎰+-+==.sin 1sin 1ln 21sec c xxxdx [1]P247 E6 例15 ()⎰⎰=+= dtgx x tg xdx 2261sec . 例16()⎰⎰⎰=-==.sec sec 1sec sec sec sec 2222435 x d x x d x tg xdx x tg 凑法4 .)()()(du u f de e f dx e e f xxxx==.例17 ⎰--.2t e dt 凑法5 .)(ln )(ln )(ln du u f x d x f xdxx f ==例18⎰+.)ln 21(x x dx凑法6;)(arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2du u f x d x f dx xx f ==-du u f darctgx arctgx f dx xarctgx f )()(1)(2==+. 例19⎰⎰⎰=+=====+=+=dt t arctgtx d x x arctg dx x x xarctg x t 21212)1( ⎰+=+==c x arctg c arctgt tgt arctgtdarc 22)()(2.其他凑法举例:例20 c e e ee e e d dx e e e e xx x x x x x xx x ++=++=+------⎰⎰)ln()(. 例21⎰⎰==+ 22)ln ()ln ()ln (1ln x x x x d dx x x x例22 ⎰⎰⎰=++=++=dx tgxx xtgxx dx tgx x tgx x x xdx sec sec sec sec )(sec sec sec 2 ⎰++=++=c tgx x tgx x tgx xd |sec |ln sec )(sec .例23⎰-+dx xx xx 5cos sin sin cos . [4]P191 E28例24⎰++dx x x xx cos sin sin 5cos . [4]P191 E28例25 ⎰⎰⎰=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++ 21111111222242x x x x d dx x x x dx x x 例26 ⎰++-dx x x x 2252.Ex [1]P253—254 1⑴—(24)；[4] 254—256 74—81.二. 第二类换元法 —— 拆微法：[2]P192从积分⎰tdt 2cos 出发，从两个方向用凑微法计算，即⎰⎰-====-=t d t dx x tx sin sin 112sin 2= tdt ⎰2cos ==⎰++=+,2sin 4121)2cos 1(21c t t dt t 引出拆微原理.Th2 设)(t x ϕ=是单调的可微函数,并且;0)(≠'t ϕ又 )()]([t t f ϕϕ'具有原函数. 则有换元公式⎰⎰-='=.])()]([[)()(1x t dt t t f dx x f ϕϕϕ (证)参[2]P192.常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1. 三角代换: [4]P194.⑴ 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如22x a -)0(>a 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令)0( ,sin >=a t a x , 则,cos 22t a x a =- ,cos tdt a dx = .arcsin axt =例27⎰-,22xa dx ).0(>a解法一 直接积分; 解法二 用弦换. 例28⎰⎰+=+=======-=c x c t dt tt tt x x dx tx arcsin 22cos sin cos sin 2)1(2sin .（ 参阅例11 ）例29⎰⎰⎰=-======-=====--=-+ut x t dt t dx x dx x x sin 321223)1(322⎰+-+---==++==c x x x x c u u udu 22222131arcsin 232sin 4323cos 3 . ⑵ 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如22x a +)0(>a 的根式施行 的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式,1sec 22=-t tg t 即,sec 122t t tg =+ 令 ,atgt x = tdt a dx 2sec =. 此时有 ,sec 22t a x a =+ .axarctg t = 变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.例30⎰+22xdx .解 令 ,2tgt x =有tdt dx 2sec 2=. 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有⎰=tdt I sec =c x x c tgt t '+++='++222lnsec ln 2=().2ln ,2ln 2-'=+++c c c x x例31.0 ,)(222>+⎰a a x dx[1]P249—250 E11⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如22a x - )0(>a 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式,1sec 22t tg t =- 令,sec t a x = 有,22atgt a x =- .sec tgtdt t x dx ⋅= 变量还愿时, 常用辅助三角形法.例32⎰-,22ax dx ).0(>a解⎰-22a x dxta x sec ======⎰⎰='++==c tgt t tdt atgtttgtdta sec ln sec sec,ln ln 2222c a x x c a a x ax+-+='+-+= ||ln a c c -'=. 例33⎰-122x xdx.解法一 （ 用割换 ） ⎰⎰+-=+==⋅⋅======.11sin cos sec sec 22sec c x xc t tdt dt tgt t tgt t I tx 解法二 （ 凑微 ） 参阅[1]P250 E12.2. 无理代换: [4]P192.若被积函数是k nn n x x x , , , 21的有理式时, 设n 为)1(k i n i ≤≤的最小公倍数,作代换nx t =, 有dt nt dx t x n n 1 ,-==. 可化被积函数为 t 的有理函数.例34⎰dx xex. 例35⎰⎰⎰⎰==-++-=-=====-= t dt dt t t dt t xx dxxt 16)1(6162326 c x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=6361ln 216.若被积函数中只有一种根式n b ax +或,necx bax ++可试作代换n b ax t +=或 .n ecx bax t ++=. 从中解出x 来.例36⎰++321x dx.例37⎰+.11dx x xx例38⎰.sin dx xx (给出两种解法)例39⎰⎰⎰=⋅+======-=--=tdt t t x d x x dx x xx t 2)1(21)( 121121222232⎰+-+-=++=+=c x x c t t dt t t 2322523524)1(31)1(5135)(.本题还可用割换计算, 但较繁.3. 双曲代换: 利用双曲函数恒等式 122=-x sh x ch , 令 asht x =, 可去掉型如22x a +的根式. achtdt dx =. 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如: .22 ),12(21),12(2122shtcht t sh t ch t sh t ch t ch =-=+=).1ln(21++=-x x x sh :参阅复旦大学 (陈传璋等)编, 数学分析, 上册P24.例40⎰⎰⎰==⋅=====+=tdt ch a achtdt acht dx x a ashtx 2222='++=-=⎰c t a t sh a dt t ch a 224)12(2222c x a x a x a x +++++=)ln(2222222. 本题可用切换计算,但归结为积分⎰tdt 3sec , 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例3.例41⎰+.22xdx ( 例30曾用切换计算过该题. 现用曲换计算 ).解 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++='+=========122ln 2222x xc t dt dt cht cht I shtx c '+ 2ln .)2ln( 2-'=+++=c c c x x .例42⎰-22ax dx . ( 例32曾用割换计算过该题. 现用曲换计算 ).解 ='+-+='+======⎰⎰=c ax a x c t dt dt asht asht I achtx 1 ln 22.||ln .|| ln 22a c c c a x x -'=+-+=4. 倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换.1,12dt tdx t x -==例43⎰⎰⎰>=======+====+=+01224222421)(212tu x u uu u dux x x x d x x xdx ⎰⎰++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=+-=+-c x x c x c t t dt tt t dt t ||111)1(12111112122122122. 5. 万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261). 令2x tgt =， 就有 22122sec222cos 2sin 2sin t t x xtgx x x +===，,11cos 22t t x +-= 212tttgx -= ， ,122t dtdx +=.2arctgt x = 例44 ⎰+xdxcos 1.解法一 ( 用万能代换 ) ⎰⎰+=+==+-++======c x tg c t dt dt t t t I x tgt 2111122222. 解法二 ( 用初等化简 ) c xtg x d x x dx I +===⎰⎰2)2(2sec 2cos 2122. 解法三 ( 用初等化简, 并凑微 )⎰⎰⎰=-=--=x x d xdx dx x x I 222sin sin csc cos 1cos 1 .2csc sin 1c xtg c ctgx x c x ctgx +=+-=++-=例45 .cos sin 1⎰++θθθd [2]P198E35解 ⎰⎰++=+=+⋅+-+++======c t t dtdt tt t t t I x tgt |1|ln 11211121122222= c xtg ++=|12|ln .代换法是一种很灵活的方法, 参阅[4]P204 例49.Ex [1]P245 1(25)(27)(28)—(32); [4]P256 82—84.三. 分部积分法: 导出分部积分公式. 介绍使用分部积分公式的一般原则.1. 幂 ⨯ X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂X ⋅”型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“X ”求导以使其成为代数函数.例46⎰.ln xdx x (幂对搭配) 例47 ⎰.cos xdx x (幂三搭配)例48 ⎰.dx xe x (幂指搭配) 例49 ⎰.2dx e x x (幂指搭配)例50 ⎰.dx ex例51 ⎰.xarctgxdx (幂反搭配) 例52 ⎰.arccos xdx2建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来.例53⎰.sin xdx e x例54 求⎰=bxdx e I ax cos 1 和). 0 ( ,sin 2≠=⎰a bxdx e I ax解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.sin 1,cos 11221I a b bx e a I I a b bx e a I ax ax 解得 .cos sin ,cos sin 222221c e ba bxb bx a Ic e ba bx a bxb I ax ax ++-=+++=例55⎰>+).0 ( ,22a dx x a解 ⎰+⋅-+=dx xa x x x a x I 2222==⎰⎰++++-+dx xa a dx xa x a x a x 222222222=,)ln(122222c x a x a I x a x ++++-+= （参阅例41）解得 .)ln(2222222c x a x a x a x I +++++= 例56⎰⎰⎰+==xdx x x x xd xdx 22sin sin cos sin cos cos =⎰-+=xdx x x x 2cos sin cos ，解得⎰++=c x x xdx 2sin 412cos 2. 例57⎰⎰⎰⎰-==⋅=xtgxdx tgx xtgx xdtgx xdx x xdx sec sec sec sec sec sec 23 =⎰⎰⎰=+-=--xdx xdx xtgx xdx x xtgx sec sec sec sec )1(sec sec 32=⎰-++xdx tgx x xtgx 3sec |sec |ln sec ,解得 ⎰=xdx 3sec c tgx x xtgx +++|sec |ln 21sec 21.Ex [1]P254 2⑴―⑼; [4]P256—257 85—88.§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分简介( 2时 )一. 有理函数的积分:1. 代数知识: [1]P256例1 [1]P256 E12. 部分分式的积分: [1]P258例2 [1]P259 E2.例3 [1]P260 E3.二. 三角函数有理式的积分: [1]P261 万能代换.例4—5 [1]P261—262 E4—5.三. 某些无理函数的积分: 留为阅读.四. 一些不能用初等函数有限表达的积分: [1]P267.以及,2⎰-dx e x⎰.sin dx x x⎰,ln x dx⎰+41xdx 等.Ex [1]p268 1 ⑴ ⑵， 2 ⑴―⑷ ⑻ ⑽ ⑾. 习 题 课 ( 2时 )一. 积分举例 :例1 ⎰++-dx e e xx 1)1ln(. [4]P204 E48. 例2 dx e arctg e x x ⎰-+11. [4]P203 E47. 例3.)12(100dx x x ⎰-例4 已知⎰+-=,1)(2c x xdx x f 求 ⎰'.)(dx x f x例5 ,)(xxe x f = 求⎰.)(2dx x xf 例6 设0)(>x f 且具有连续导函数. 计算积分⎰'.)(ln )()(dx x f x f x f例7⎰+=c e dx x f x)(, 求积分 [].1)1ln(22dx xx xf ⎰++ 二. 含有二次三项式的积分: 例8⎰⎰⎰++-+++=++-1251122112222x x dxdx x x x dx x x x = ⎰⎰+++-++++=222)21(43)21(251)1(21x x d x x x x d =c x x x x x +++++-++=)121ln(25122.例9=+-+⎰dx x x x 52)1(2=dx x x x d x x ⎰⎰+-++-+-4)1(2)52(5221222 = c x x x x x x x x ++-+-++--++-=)521ln(452)1()52(3122232.Ex [1]P 254—255 3，4，5； [4]P257 90，91.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
西北师范大学数学与应用数学专业专业选修课程教学大纲数学物理方程一、说明（一）课程性质数学物理方程主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程，它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系。
连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。
数学物理方程是纯粹数学的许多分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）和自然科学各部门及工程技术领域之间的一个重要桥梁。
数学物理方程是数学与应用数学专业的一门重要的本科专业课程, 在第7学期开设。
（二）教学目的掌握偏微分方程的基本概念和三种典型类型方程的求解方法、基本理论以及利用Fourier变换求解偏微分方程；学会运用所学知识解决某些实际问题，提高学生的科学素养。
通过本课程学习，为从事本领域的后续课程的学习奠定坚实基础。
（三）教学内容分7部分。
（1）方程的导出及定解问题的提法，包括基本概念、几个经典方程的导出、定解问题等内容；（2）一阶偏微分方程，包括基本概念、线性齐次偏微分方程、拟线性偏微分方程等内容；（3）特征理论与方程的分类，包括二阶方程的特征和二阶方程的分类等内容；（4）双曲型方程，包括Duhamel原理、一维波动方程、高维波动方程、分离变量法、能量积分、惟一性和稳定性等内容；（5）抛物型方程，包括热传导方程的Cauchy问题、热传导方程的混合问题、极值原理、最大模估计、惟一性和稳定性等内容；（6）椭圆型方程，包括调和函数, Green函数和球上的Dirichlet问题等；（7）Fourier变换及其应用。
（四）教学时数72学时。
（五）教学方式讲授法，同时注重数学物理方程基本理论和数学物理问题的密切结合。
二、本文第一章方程的导出及定解问题的提法教学要点偏微分方程的一些基本概念，判断线性偏微分方程、非线性偏微分方程的方法；从物理现象导出弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯（Laplace）方程；定解问题，三类典型的边界条件和适定性的基本概念，各种定解问题的提法。
西北师范大学数学与应用数学专业课程教学大纲数学分析Ⅰ一、说明（一）课程性质本课程是专业核心课程,以一元微积分学为基本内容，是学生学习分析学系列课程及数学专业其它后继课程的重要基础，也为高观点下深入理解中学教学内容所必需。
（二）教学目的通过本课程的学习，使学生掌握一元函数微分学和积分学的部分内容,为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ及分析学系列课程(复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等)及数学专业其它后继课程打好基础,并自然地渗透了对学生进行逻辑和数学抽象思维的特殊训练。
（三）教学内容集合与映射、实数系的连续性、数列极限、函数极限与连续函数,微分、微分中值定理及其应用、不定积分。
（四）教学时数108学时（五）教学方式讲授与课堂讨论法相结合二、本文第一章集合与映射教学要点通过本章学习，使学生掌握集合、映射与函数的概念,熟练掌握一元函数的定义表示及初等函数的定义，掌握函数的简单特性。
教学时数10学时教学内容第一节集合（4学时)集合的概念、运算、有限集、无限集、可列集、乘积集合第二节映射与函数（6学时）映射、一元实函数、初等函数、基本初等函数、函数的表示、函数的有界、单调、。
考核要求领会集合、映射、函数、初等函数定义，会进行集合运算和函数的各种表示，能分析函数的有界性、单调性和。
第二章数列极限教学要点本章为整个课程的基础,学生应理解实数系的连续性理论,了解连续性、完备性、紧性、列紧性在实数系中的一致性,理解实数理论的基本定理,掌握数列极限的定义、性质、四则运算,无穷大量,无穷小量、待定型，能使用确界原理，单调有界原理和区间套定理进行一般基本的分析和应用教学时数２0学时教学内容第一节实数系的连续性（2学时)实数系、确界与下确界、确界存在定理-—实数系连续性定理第二节数列极限（8学时)数列、数列极限的定义、无穷小量，数列极限和性质,数列极限的四则运算第三节无穷大量 (2学时）无穷大量的意义、穷大量与无穷小量的关系、待定型、调数列、定理第四节收敛准则（8学时)单调有界收敛定量、闭区间套定理、子列、收敛子列定理、基本列、收敛定理实数系的连续性和完备性等价考核要点领会实数基本定理,能用数列极限的定义进行分析、证明.应用确界定理，单调有界定理，区间套定理进行证明,应用收敛子列定理和收敛定理进行基本证明第三章函数极限与连续函数教学要点本章内容应熟练掌握函数极限的定义，性质、四则运算、与数列极限的关系,单侧极限收敛原理、连续函数的定义、连续函数的四则运算、不连续点的类型、反函数的连续性、复合函数的连续性，无穷小量与无穷大量的阶、闭区间上连续函数的性质、理解一致连续的概念和闭区间上连续函数性质的证明教学时数２0学时教学内容第一节函数极限(8学时）ε-定义、函数极限的性质――唯一性、局部保序性、局部有界性、夹函数极限δ性、函数极限的四则运算、函数极限与数列极限的关系――定理、单侧极限、函数极限定义的推广、收敛原理第二节连续函数（4学时)连续函数的定义、单侧连续、连续函数的四则运算、不连续函数类型、反函数连续性定理、复合函数的连续性第三节无穷小量与无穷大量的阶 (4学时)无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量、无穷大量和比较、高阶、同阶、等价无穷大理、等价量、等价量的代换第四节闭区间上的连续函数（４学时）闭区间连续函数的有界性定义、最值性定理、零点存在定理、中间值定理、一致连续的概念、闭区间上连续函数的一致连续性――考核要点充分领会函数极限、连续的定义、领会函数极限与数列极限的关系和收敛原理、一致连续的概念,能应用函数极限、连续的定义分析、论证，能用无穷小量对极限进行分析，区别无穷小量能否进行代换的条件,区分不连续点的类型第四章微分教学要点熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用,一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则,会应用公式、理解和掌握复合函数求高阶导数的链式法则教学时数２０学时教学内容第一节微分和导数（２学时）微分导出背景、微分的定义、导数的定义和微分的关系第二节 导数的意义和性质 (4学时)导数产生的背景、几何意义、单侧导数第三节 导数的四则运算和反函数求导法则 （４学时）用定义求导数、求导的四则运算、反函数求导法则、基本求导公式第四节 复合函数求导法则及其应用 (5学时）复合函数求导法则—-链式法则、一阶微分形式的不变性、隐函数、参数形式的函数求导第五节 高阶导数和高阶微分 （5学时)高阶导数的定义、运算、公式、参数方程所确定函数的高阶导数、高阶微分的概念 考核要点会应用导数的定义、四则运算法则、反函数的求导法则和复合函数求导法则求导数和高阶导数,能综合应用各种方法求函数的导数第五章 微分中值定理及其应用教学要点使学生掌握微分中值定理、公式及其应用，熟练掌握'L 法则和应用,了解插值多项式和数学建模及函数方程的近似求解，会进行函数作图教学时数２６学时教学内容第一节 微分中值定理 （6学时)极值、引理、定理、中值定理、凸函数、二阶导数与凸函数的关系、中值定理第二节 'L 法则 (4学时)待定型极限、'L 法则、00、型∞∞型、∞-∞型、∞⋅0型、0∞型、∞1型、00型的极限第三节 插值多项式和公式 （3学时）插值多项式和余项、插值多项式、公式及其型余项、 型余项第四节 函数的及其应用 （５学时）公式、公式的应用、近似计算、求极限、求曲线的渐进线方程第五节 应用举例 (6学时）函数作图、最值问题、数学建模第六节函数方程的近似求解（2学时)解析方法、数值方法、迭代法考核要求领会微分中值定理、公式的深刻意义,能用微分中值定理进行分析、论证，能将函数展开成多项式和其余项之和,能综合使用'L法则公式求函数及数列的极限，会进行函数作图，领会数学建模的意义和函数方程的近似求解第六章不定积分教学要点理解不定积分的概念、性质、运算和换元积分法、分部积分法,熟练掌握不定积分的基本公式，分部积分法和换元积分法、有理函数积分的计算、区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型教学时数12学时教学内容第一节不定积分和概念和运算法则（3学时)原函数、不定积分的定义、不定积分线性性质、不定积分的基本公式第二节换元积分法和分部积分法（5学时）换元积分法--第一类换元积分法、第二类换元积分法,分部积分法、基本积分表第三节有理函数的不定积分及其应用（4学时)有理函数、有理函数的积分、可化为有理函数不定积分的情况考核要求综合应用各种方法,（包括定义、基本公式、线性性质、换元积分法、分部积分法）能计算出一般函数的不定积分三、参考书目1、陈纪修於崇华金路著《数学分析》200２年第１版(第５次印刷)2、华师范大学数学系编《数学分析》１99６年第二版3、陈传璋金福临朱学炎欧阳光中编《数学分析》 1９90年第2版。
西北师大数学分析和高等代数总分
不同的学校对于其数学系考研基础课程数学分析和高等代数的
总分是不一样的。
对于现在的大部分学校来讲单科满分都是150分的。
对于西北师大和复旦的分数有一定的变化，西北师大之前满分是100分，现在只看到了12年试题但是没有总分计算（由于数学分析
是11个题目所以总分估计应在是150），而对于西北师大的高等代数还是要考察解析几何的所以内容上相对多一些总分也是150.
对于复旦，之前的情况是分析和高代都是在同一张卷子上的满分是150分其中高等代数占45分，数学分析占105分。
现在复旦大学
考察内容增加了，分析内容除了考察数学分析以外还会有常微分方程和实变函数，其中分析分析比重变为90，其余是30+30。
而代数方面除了考察高等代数外还有抽象代数部分内容（占45分）。
以上是中国数学最好的学校。
其他高校内容都是分析和高代没有其他分数也都是150，中科院的试卷同样如此，内容和其他高校相同。
S F 01（数）Ch 14 幂级数计划课时： 1 0 时P 171 —1892002. 05.08 .Ch 14 幂级数 （ 1 0 时 ）§ 1 幂级数（ 4 时 ）幂级数的一般概念. 型如∑∞=-00)(n nnx x a和 ∑∞=0n n n x a 的幂级数 . 幂级数由系数数列}{n a 唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如∑∞=0n n nx a的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:1.收敛半径 、收敛区间和收敛域：Th 1 （ Abel ） 若幂级数∑n n x a 在点0≠=x x 收敛 ， 则对满足不等式|| ||x x <的任何x ，幂级数∑n n x a 收敛而且绝对收敛 ；若在点x x =发散 ，则对满足不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数∑nn xa 发散.证∑nn x a 收敛, {nn x a }有界. 设|nn x a |≤M , 有|n n nn nn Mr x x x a x a ≤⋅=|||||, 其中 1 ||<=xxr . ∑+∞<,nMr⇒ ∑∞+< ||n n x a .定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数∑nnxa 和∑-n nx x a)(0的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径 R.收敛半径 R 的求法.Th 2 对于幂级数∑nnxa , 若∞→n limρ=nn a ||, 则ⅰ> +∞<<ρ0时, R ρ1=; ⅱ> ρ=0时+∞=R ; ⅲ> ρ=∞+时0=R .证 ∞→n lim =nn n x a ||∞→n lim||||||x x a nn ρ=, ( 强调开方次数与x 的次数是一致的). ⇒ ……由于∞→n lim, ||||1⇒=+ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数∑n nx a 的收敛区间: ) , (R R - .幂级数∑nnxa 的收敛域: 一般来说 , 收敛区间⊂收敛域. 幂级数∑nnxa 的收敛域是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一.例1 求幂级数∑2n x n的收敛域 . (] 1 , 1 [-) 例2 求幂级数 ++++nx x x n22的收敛域 . () 1 , 1 [- )例3 求下列幂级数的收敛域:⑴ ∑∞=0!n n n x ; ⑵ ∑∞=0!n nx n .2. 复合幂级数∑)(x a n n ϕ: 令)(x t ϕ=, 则化为幂级数∑nn t a .设该幂级数的收敛区间为) , (R R -，则级数∑)(x a nnϕ的收敛区间由不等式 R x R )( <<-ϕ确定.可相应考虑收敛域.特称幂级数∑k xa knn( 为正整数)为缺项幂级数 .其中k x x =)(ϕ. 应注意n a 为第kn 项的系数 . 并应注意缺项幂级数 ∑kn n x a 并不是复合幂级数 , 该级数中, n a 为第k n 项的系数 .例4 求幂级数++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 解 ++++74533234333231x x x x ∑∞=++=02131n n n x n x 是缺项幂级数 .∞→n lim, 31||||1⇒=+n n a a 3=R . 收敛区间为) 3 , 3 (-. 3±=x 时, 通项0→/. 因此 , 该幂级数的收敛域为) 3 , 3 (-. 例5 求级数∑∞=-0)1(21n nn x 的收敛域 . 解 令11-=x t , 所论级数成为幂级数∑∑∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛=0022n n nn n t t .由几何级数的敛散性结果,当且仅当22<<-t 时级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02n nt 收敛. 因此当且仅当2112<-<-x ,即21 |1|>-x 时级数∑∞=-0)1(21n nn x 收敛. 所以所论级数的收敛域为) , 23() 21 , (∞+⋃∞-. 例6 求幂级数∑23n n x 的收敛半径 .解 ∞→n lim =23n n ∞→n lim1 , 13=⇒=R n.Ex [1]P 64—65 1，7；[4]P 309—312 15—19， 39⑴⑷⑸，40⑶—⑹⑻，41⑵.二． 幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ) 0 (>，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收敛 .证 ∀] , [b a ⊂) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈∀x ] , [b a , 有|| ||n n n n x a x a ≤, 级数∑nn x a 绝对收敛, 由优级数判别法, ⇒ 幂级数∑n n x a在] , [b a 上一致收敛. 因此 , 幂级数∑nnxa 在区间) , (R R -内闭一致收敛.Th 4 设幂级数∑nnxa 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛,则幂级数∑nnxa 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 .证 nnn n n R x R a x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=. ∑n n R a 收敛 , 函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n R x 在区间] , 0 [R 上递减且一致有界 , 由Abel 判别法, 幂级数∑nn x a 在区间] , 0 [R 上一致收敛 .易见 , 当幂级数∑nnxa 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时 , 该幂级数即在区间] , [R R -上一致收敛 .三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设∑∞=='1)(n nn x a ∑∞=-11n n n xna , *)∑⎰∞==1n xnn dt t a *)*11,1∑∞=++n n n x n a*) 和 **)仍为幂级数. 我们有命题1 *) 和 **)与∑n n x a 有相同的收敛半径 . ( 简证 )值得注意的是，*) 和 **)与∑nn xa 虽有相同的收敛半径（ 因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域 ， 例如级数∑∞=1n nn x .2. 幂级数的运算性质:定义 两个幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数. 命题2∑∞=0n nnx a=∑∞=0n n n x b ,) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n .(由以下命题4系2)命题 3 设幂级数∑∞=0n nnxa和∑∞=0n nn xb 的收敛半径分别为a R 和b R ,},min{b a R R R =, 则ⅰ>∑∑=n n nnx a xa λλ, λ , ||a R x <— Const ， 0≠λ.ⅱ>∑∞=0n nnx a+∑∞=0n nn x b =n n n n x b a )(0+∑∞=, R x ||<.ⅲ> (∑∞=0n nnx a)(∑∞=0n nn x b )=nn n x c ∑∞=0, ∑=-=nk k n k n b a c 0, R x ||<.3. 和函数的性质:命题4 设在) , (R R -(R ) 0>内∑∞=0n n nx a=)(x f . 则ⅰ> )(x f 在) , (R R -内连续; ⅱ> 若级数∑n nR a (或∑-nnR a ) ()收敛, 则)(x f 在点R x =( 或 R x -=)是左( 或右 )连续的;ⅲ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在点x 可微且有 )(x f '=∑∞=-11n n n x na ; ⅳ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在区间 ] , 0 [x 上可积, 且⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a .(当级数∑∞=++011n n n R n a 收敛时, 无论级数∑∞=0n n n x a 在点R x =收敛与否,均有⎰=Rdt t f 0)(∑∞=++011n n n R n a . 这是因为: 由级数∑∞=++011n n n R n a 收敛, 得函数⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a在点R x =左连续, 因此有⎰=R dt t f 0)(∑∞=++011n n nR n a .)系1 和函数)(x f 在区间) , (R R -内任意次可导, 且有)(x f '= ++++-1212n n x na x a a , ……+++=+x a n a n x fn n n 1)()!1(!)(.由系1可见, )(x f 是幂级数的和函数的必要条件是)(x f 任意次可导.系2 若∑∞=0n n nx a=)(x f , 则有,!)0( , ,!2)0( ,1)0( ),0()(210n f a f a f a f a n n =''='== 例7 验证函数∑∞==0!2)(n nn n x x f 满足微分方程 R ∈=-'-''x y y y ,02.验证 所给幂级数的收敛域为) , (∞+∞-.=')(x f ∑∞=-=-11)!1(2n n n n x ∑∞=+=01!2n n n n x ∑∞==0)(2!22n nn x f n x . ⇒ )(4)(2)(x f x f x f ='='', 代入, ⇒ 02=-'-''y y y .Ex [1]P 65 3 ( 提示 ) , 4 , 6 .§ 2 函数的幂级数展开（ 4 时 ）一. 函数的幂级数展开:1. Taylor 级数: 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.Taylor 公式和Maclaurin 公式 . Taylor 公式： ∑==+-=nk n k k x R x x k x f x f 000)()()(!)()( n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+= +)(x R n .余项)(x R n 的形式:Peano 型余项: )(x R n ()n x x )(0-= ,（ 只要求在点0x 的某邻域内有1-n 阶导数 ， )(0)(x fn 存在 ）Lagrange 型余项: )(x R n ξξ ,)()!1()(10)1(++-+=n n x x n f 在x 与0x 之间. 或 )(x R n ()0 ,)()!1()(1000)1(++-+-+=n n x x n x x x fθ1<<θ.积分型余项: 当函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数时, 有 )(x R n ⎰-=+x x nn dt t x t f n 0))((!1)1(.Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项)(x R n ()10 ,)()1()(!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n .特别地，0x 0=时，Cauchy 余项为 )(x R n ξξξ ,))((!1)1(x x f n n n -=+在0与x 之间.Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得=+-++-''+-'+ n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f, 称此级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数. 只要函数)(x f 在点0x 无限次可导, 就可 写出其Taylor 级数. 称0x =0时的Taylor 级数为Maclaurin 级数, 即级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f. 自然会有以下问题: 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 在)(x f 的定义域内或在 点0x 的某邻域内, 函数)(x f 和其Taylor 级数是否相等呢 ?2． 函数与其Taylor 级数的关系： 例1 函数)(x f x-=11在点0=x 无限次可微 . 求得,)1(!)(1)(+-=n n x n x f !)0( ), 1 ()(n fx n =≠ . 其Taylor 级数为=+++++ nx x x 21∑∞=0n nx.该幂级数的收敛域为) 1 , 1 (-. 仅在区间) 1 , 1 (-内有)(x f =∑∞=0n nx . 而在其他点并不 相等, 因为级数发散.那么, 在Taylor 级数的收敛点, 是否必有)(x f 和其Taylor 级数相等呢 ? 回答也是否定的 .例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-. 0, 0, 0 , )(21x x e x f x在点0=x 无限次可导且有.0)0()(=n f( 参阅Ch 5 习题课例6 ），因此其Taylor 级数0≡，在) , (∞+∞-内处处收敛 . 但除了点0=x 外, 函数)(x f 和其Taylor 级数并不相等.另一方面, 由本章§1命题4系2（和函数的性质）知：在点0x 的某邻域内倘有)(x f =∑∞=-00)(n nn x x a , 则)(x f 在点0x 无限次可导且级数∑∞=-00)(n n n x x a 必为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.综上 , 我们有如下结论:⑴ 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 其Taylor 级数可能除点=x 0x 外均发散,( 参阅 复旦大学编《数学分析》下册P 90第9题 ) ; 即便在点0x 的某邻域内其Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是)(x f . 由此可见, 不同的函数可能会有完全相同的Taylor级数.⑵ 若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在点0x 的某邻域内收敛于函数)(x f , 则该幂级数就是函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.于是 , 为把函数)(x f 在点0x 的某邻域内表示为关于)(0x x -的幂级数，我们只能 考虑其Taylor 级数.3． 函数的Taylor 展开式：若在点0x 的某邻域内函数)(x f 的Taylor 级数收敛且和恰为)(x f ，则称函数)(x f 在点0x 可展开成Taylor 级数(自然要附带展开区间. 称此时的Taylor 级数为函数)(x f在点0x 的Taylor 展开式或幂级数展开式. 简称函数)(x f 在点0x 可展为幂级数. 当0x = 0 时, 称Taylor 展开式为Maclaurin 展开式. 通常多考虑的是Maclaurin 展开式.4.可展条件:Th 1 ( 必要条件 ) 函数)(x f 在点0x 可展 , ⇒ )(x f 在点0x 有任意阶导数 . Th 2 ( 充要条件 ) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数 . 则)(x f 在区间) 0 ( ) , (00>+-r r x r x 内等于其Taylor 级数( 即可展 )的充要条件是: 对) , (0r x x ∈∀, 有0)(lim =∞→x R n n . 其中)(x R n 是Taylor 公式中的余项.证 把函数)(x f 展开为n 阶Taylor 公式, 有, |)(||)()(|x R x S x f n n =- ⇒ )(x f ),(lim ⇔=∞→x S n n 0)(lim =∞→x R n n .Th 3 ( 充分条件 ) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数 , 且导函数所成函数列)}({)(x f n 一致有界, 则函数)(x f 可展.证 利用Lagrange 型余项 , 设 M x fn ≤|)(|)(, 则有) ( , 0)!1(||)()!1()(|)(|1010)1(∞→→+-⋅≤-+=+++n n x x M x x n f x R n n n n ξ.例3 展开函数)(x f ,3223++-=x x x ⅰ> 按x 幂; ⅱ> 按) 1 (+x 幂. 解 ; 1) 1 ( , 3) 0 ( , 32)0()0(23)0(-=-=++-=f f x x x f, 1432+-='x x f ; 8) 1 ( , 1) 0 (=-'='f f46-=''x f , ; 10) 1 ( , 4) 0 (-=-''-=''f f 6='''f , ;6) 1 ( , 6) 0 (=-'''='''f f0)()4(==== n ff.所以 , ⅰ> 323223!3)0(!2)0()0()0()(x x x x f x f x f f x f +-+='''+''+'+=. 可见 , x 的多项式)(x P n 的Maclaurin 展开式就是其本身. ⅱ> =+-'''++-''++-'+-=32)1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(x f x f x f f x f 32)1()1(5)1(81+++-++-=x x x . Ex [1]P 73—74 1， 3⑴.二. 初等函数的幂级数展开式:初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.为得到初等函数的幂级数展开式 , 或直接展开, 或间接展开. 1. =xe ∑∞=0,!n nn x ) , (∞+∞-∈x . ( 验证对∈∀x R ，x n e x f =)()(在区间] , 0 [x ( 或] 0 , [x )上有界, 得一致有界. 因此可展 ).=xa ∑∞==0ln ,!ln n n n ax n a x a∞+< ||x .2. =x sin ∑∞=++-012)!12() 1 (n n nn x , ) , (∞+∞-∈x .=x cos ∑∞=-02)!2() 1 (n nnn x , ) , (∞+∞-∈x .可展是因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a n x x fn πsin )()(在) , (∞+∞-内一致有界.3. 二项式 mx )1(+的展开式:m 为正整数时, mx )1(+为多项式, 展开式为其自身;m 为不是正整数时, 可在区间) 1 , 1 (-内展开为m x )1(+ ++---++-++=nx n n m m m m x m m mx !)1()2)(1(!2)1(12 对余项的讨论可利用Cauchy 余项. 具体讨论参阅[1]P 88.进一步地讨论可知 ( 参阅Г.М.Фихтенгольц 《 微积分学教程》Vol 2第二分册.):1-≤m 时, 收敛域为) 1 , 1 (-; 01<<-m 时, 收敛域为] 1 , 1 (-; 0>m 时, 收敛域为] 1 , 1 [-.利用二项式 mx )1(+的展开式 , 可得到很多函数的展开式. 例如取1-=m ,得+-+-+-=+1n n x x x x) 1 (112， ) 1 , 1 (-∈x . 21-=m 时,+⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+-=+32642531423121111x x x x, ] 1 , 1 (-∈x .间接展开: 利用已知展开式 , 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式. 利用微积运算时, 要求一致收敛. 幂级数在其收敛区间内闭一致收敛 ,总可保证这些运算畅通无阻.4. +-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x .] 1 , 1 (-∈x .事实上 , 利用上述x+11的展开式, 两端积分 , 就有 ⎰=+=+xt dtx 01)1ln( ∑⎰∞==-00) 1 (n x n n dt t ∑∞=++-011) 1 (n n nn x ∑∞=--=11) 1 (n n n n x , ) 1 , 1 (-∈x . 验证知展开式在点1=x 收敛, 因此 , 在区间] 1 , 1 (-上该展开式成立.5. =+-+-= 753753x x x x arctgx ∑∞=++-012,12) 1 (n n nn x ] 1 , 1 [-∈x . 由=+211x ∑∞=∈-02 ,) 1 (n n n x x ) 1 , 1 (-. 两端积分,有 ⎰⎰∑⎰∑∞=∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=xx n x n n n n n dt t dt t t dt arctgx 00002022)1()1(1 =∑∞=++-012,12) 1 (n n nn x 验证知上述展开式在点1±=x 收敛, 因此该展开式在区间] 1 , 1 [-上成立.(这里应用了习题中第2题的结果, 参阅[1]P 65 )例4 展开函数1431)(2+-=x x x f .解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛---=∑∑∞=∞=+0013211131321)(n n n n n x x x x x f ∑∞=+<-=0131 || , ) 13 (21n nn x x .例5 展开函数xe x xf )1()(+=.解 =+=xxxe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nn x n n n x ∑∞==++=1!11n n x n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n nx x n n . Ex [1]P 74 2 ⑴―⑷⑹―⑼, 3⑵(提示) P 79 1 , 2 ⑴⑶ .习 题 课 ( 2 时 )一. 求收敛区间或收敛域:例1 求幂级数∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+023)21(1n n n x n n 的收敛区间 .例2 求幂级数∑∑∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛111n nn i x i 的收敛域.解 设∑==ni n i a 11, 注意到+∞=∞→nn a lim , 有) ( , 11111∞→→++=+n a n a a nn n .1±=x 时, ,011→/⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=nn i x i ⇒ 收敛域为) 1 , 1 (-.二. 函数展开:例3 把函数2xx e e shx --=展开成x 的幂级数 .解 =xe ++++++!!3!2132n x x x x n, ∞+< ||x ,=-xe+-++-+-!) 1(!3!2132n x x x x nn , ∞+< ||x ; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=-+- )!12(!5!3 21253n x x x x ee n xx ; 2xx e e shx --==∑∞=++012)!12(n n n x , ) , ( ∞+∞-∈x .(与x sin 的展开式=x sin ∑∞=++-012)!12() 1 (n n nn x 比较.)例4 展开函数)(x f =x 2cos .解 )2cos 1(21cos 2x x +=, =x 2cos ∑∞==-02)!2()2() 1 (n n nn x ∑∞=-02)!2(4) 1 (n n n n n x , ) , (∞+∞-∈x . 因此, 2121)!2(4) 1(1 21cos 022+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=∑∞=n n n n n x x ∑∞=-02)!2(4) 1 (n nn nn x = +1 ∑∞=-12)!2(4) 1 (21n nn n n x ， ) , (∞+∞-∈x . 例5 展开函数)(x f =621xx +. 解+-++-+-=+n n x x x x x) 1(11132 , 1 ||<x ; 因此, +-++-+-=++2620148262) 1(1n n x x x x x xx , 1 ||<x . 例6 把函数)(x f =)5ln(x +展开成)2(-x 的幂级数.解 +-+-+-=+-nx x x x x nn 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11)1 (n nn nx , ] 1 , 1 (-∈x . 而 7ln 721ln )27ln()5ln(+⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+=+x x x = =∑∞=-+--117ln 7)2()1(n n nn nx , ] 9 , 5(-∈x .三. 函数展开式应用举例:1. 做近似计算 : 例7 计算积分⎰-=12dx e I x , 精确到0001.0.解 =-2x e∑∞=-02,!) 1(n nnn x ) , (∞+∞-∈x . 因此, ⎰⎰∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞=-11002!) 1(2dx n x dx en n n x ∑⎰∞==-0102!) 1(n n n dx n x ∑∞=+-0!)12(1) 1(n nn n .上式最后是Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使10001!)12(1<+n n ,可取7≥n .故从第0项到第6项这前7 项之和达到要求的精度.于是⎰-=12dx e I x =⋅+⋅-⋅+⋅-⋅+-≈72013112011124916712513117468.000011.000076.000463.002381.010000.033333.01=+-+-+-=.2. 利用展开式求高阶导数: 原理.例8 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0, 1,0 ,sin )(x x x xx f 证明对)0( , )(n f n ∀存在并求其值.[3]P 98 E26解 =x sin ∑∞=++-012)!12() 1 (n n nn x , ) , (∞+∞-∈x .0≠x 时, ==xx x f sin )(∑∞=+=+-021)!12() 1 (n nn n x ∑∞=+-12)!12() 1 (n nnn x , 直接验证可知上式当0=x 时也成立 . 因此在) , (∞+∞-内有=)(x f +1∑∞=+-12)!12() 1 (n nnn x , ) , (∞+∞-∈x .函数)(x f 作为 x 的幂级数的和函数, 对)0( , )(n fn ∀存在 , 且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+-=. 12 , 0, 2 , 1 , 0 ,2 , )!12()!2() 1()0()(m n m m n m m f m n即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+-=. 12 , 0, 2 , 1 , 0,2 , 12) 1()0()(m n m m n m f mn 四. 幂级数求和:原理: 对某些幂级数, 有可能利用初等运算或微积运算以及变量代换化为已知的函数展开式( 特别是化为函数x-11和xe 的展开式 ),借以求和. 例9 求幂级数∑∞=1n n n x 的和函数并求级数∑∞=+1132n n n n 和Leibniz 级数∑∞=+-11) 1(n n n 的和.解 幂级数∑∞=1n nn x 的 收敛域为) 1 , 1[-, 设和函数为)(x S ,则在) 1 , 1 (-内有=')(x S xxn n -=∑∞=-1111, 注意到0)0(=S , 则对∈∀x ) 1 , 1 (-有⎰⎰--=-='=-=xxx tdtdt t S S x S x S 00)1ln(1)()0()()(. 又)(x S 在点1-=x 连续 , 于是在区间) 1 , 1[-内上式成立. 即有∑∞=1n nnx )1ln(x --=, ∈x ) 1 , 1 [-.取32=x , 有∑∞=+1132n n n n 2=∑∞==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛13ln 2322321n nS n .取1-=x , 有∑∞=+-11) 1(n n n -=∑∞==--=-12ln )1() 1(n nS n . 例10 求幂级数∑∞=1n nnx 的和函数. 并利用该幂级数的和函数求幂级数∑∞=+1123n nn nx 的和函数以及数项级数∑∞=-+1121n n n 的和. 解 该幂级数的收敛域为) 1 , 1(-. 在) 1 , 1(-内设=)(x f ∑∞=1n nnx x=)(11x xS nx n n =∑∞=-. 现求)(x S . 对∈∀x ) 1 , 1 (-,有⎰∑∑⎰∞=∞=--===xn n n xn xxx dt ntdt t S 01111)(. 由)(x S 连续 , 有 )(x S 20)1(11)(x x x dt t S x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰.因此, ∑∞=1n n nx 2)1()()(x x x xS x f -=== , 1 ||<x . 作代换32x t =, 有 ∑∞=+1123n n n nx ∑∑∞=∞=-=-⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1223212)3(3)1(3n n n nx x t t x nt x x n x . 3 ||<x .∑∞=-+1121n n n ∑∑∑∞=∞=-∞==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=112116221121221112122122n n nn n n n n . 例11 求幂级数∑∞=+0!1n n x n n 的和函数. 解法一 收敛域为) , (∞+∞-,设和函数为)(x S , 则有 ⎰⎰∑⎰∑∞=∞==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xxn x n n n dt t n n dt t n n dt t S 00000)1(!1!1)(∑∞=+=01!n x n xe n x . 因此, ∑∞=+0!1n n x n n =)(x S =x x x e x xe dt t S )1()()(0+='='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰, ∈x ) , (∞+∞-. 解法二 ∑∞=+0!1n n x n n =∑∞=+0!n n n nx ∑∞==0!n n n x ∑∞=+-1)!1(n x n e n x = ∑∞=+=+=+=0)1(!n x x x x ne x e xe e n x x , ∈x ) , (∞+∞-. 例12 求幂级数∑∞=+-111!2n n n n x 的和函数. 解 ∑∞=+-111!2n n n n x )1(21!)2(220-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞=x n ne x n x x .例13 求数项级数∑∞=+-012) 1 (n nn 的和. 解 该级数为Leibniz 型级数, 因此收敛. 考虑幂级数∑∞=++-01212) 1 (n n n n x , 其收敛域 为] 1 , 1[-. 设和函数为)(x S , 在) 1 , 1(-内有 ∑∑∞=∞=+=-=-='0220211)() 1 ()(n n n n nxx x x S , 1 ||<x . 注意到0)0(=S ,对∈∀x ) 1 , 1 (-有)(x S =)(x S ⎰⎰=+='=-x x arctgx x dt dt t S S 0021)()0(, ∈x ] 1 , 1[-. 于是, ∑∞=+-012) 1 (n n n =41) 1 (π==arctg S .Ex [1]P 65—66 2，10；P 79—80 3⑴⑵⑶，4；[4]P 313 44，46，47，48.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
