一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半 C C C O 化 归 B A 化 O 归 A O A 分类讨论 B 完全归纳法 B 圆周角定理 演示课件 C 1、已知∠AOB=75°,求: C ∠ACB O O 2、已知∠AOB=120°, A 求: ∠ACB B A B 3、已知∠ACD=30°,求: ∠AOB C 4、已知∠AOB=110°,求: O B ∠ACB 圆的基本性质 演示课件 圆的确定 1. 圆 圆心 确定位置 半径 确定大小 2.不在同一直线上的三个 点确定一个圆。 演示课件 点与圆的位置关系 • 你发现点与圆的位置关系是由什么 来决定的呢? 如果圆的半径为r, 点到圆心的距离为d,则: 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 点在圆外 d>r 演示课件 点与圆的位置确定 每一份的圆心角是1°的角。1°的圆心 角所对的弧叫做1°的弧。 n°弧 C 一般地,n°的圆 D 心角对着n°的弧。 n°圆心角 圆心角的度数 OBaidu Nhomakorabea A 1°圆心角 B 1°弧 和它所对的弧 的度数相等。 演示课件 圆周角 演示课件 C C O O B A B B A A C O 圆周角:顶点在圆上,并且两 边都和圆相交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角. 演示课件 的两条弧。 A C O ED B 演示课件 判断下列图形,能否使用垂径定理? B B B O O C DC DC A A O O E DC D A 注意:定理中的两个条件 (直径,垂直于弦)缺一不 可! 演示课件 若圆心到弦的距离用d 表示,半径用r表示, 弦长用a表示,这三者 之间有怎样的关系? A r2 d 2 a 2 2 演示课件 O E B 变式1:AC、BD有什么关系? 所性在质的A弧:OA直=圆DB线=O是都弧=轴CB是O对C=它=D称弧O的A图,对C形称,轴任。B何一条A直径 =弧BD。 C D O 观察右图,有什么等量关垂系直?于B 弦的直A AO=BO=CO=DO,弧 径 AD=弧BD,弧AC= C O ED 弧BC, AE=BE 。演示课件 B 垂径定理 垂直于弦的直径平 分这条弦,并且平分弦所对 P 点P在圆外 PD D P O ∠BPC<∠BAC A 点P在圆内 ∠BPC>∠BAC B C 点P在圆上 ∠演示课件BPC=∠BAC 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形 的外心外接,三圆角,形外叫接圆做的圆的圆心内叫接三做角三C形角CC 。形的 问圆题?如1:何如找何三作角三形角的形A外AA 的心外?接OOO C B B B AC O D 变式2:AC=BD依然成 B 立吗? 变式3:EA=_F_B__, EC=__F_D__。 A C E O F D B AC DB O 变式4:_O_A_=_O_B_ AC=BD. 变式5:_O_C_=_O_D_ AC=BD. A C DB O 演示课件 • 如图,P为⊙O的弦BA延长线上 一点,PA=AB=2,PO=5, O B D A 演示课件 A C • 定理:一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。 • 也可以理解为:一条弧所对的圆心角 是它所对的圆周角的二倍;圆周角的 度数等于它所对的弧的度数的一半。 推论 • 弧相等,圆周角是否相等?反过来呢? • 什么时候圆周角是直角?反过来呢? • 直角三角形斜边中线有什么性质?反过 来呢? 问题2:三角形的外心一定 在三角形内吗?▲▲AABAB∠CCC是是=钝锐9角0角°三三O角角形形 B 演示课件 垂直于弦的直径 及其推 论 演示课件 圆的对称性 圆是轴对称图形,每一条 直径所在的都直是线它的对称轴. 圆是中心对称图形, 圆还具有旋转不变性. 演示课件 A 两想侧一半A弧=想O圆弧A:=D会BB将=DO有。弧=一C什BO个C么=,圆D关O弧沿,系A着C?任C一条直O 径对D 折, 演示课件 C 如∠A图D同,B弧周、比所角∠较A相对∠EA等的BC的圆B大、小 D A E O B E A O F 如等图,弧如所果对弧A的B圆=弧周C角D,相那等么;在 ∠E同和圆∠F中是什,么相关等系?的反圆过周来角呢?所对 B D 的弧也相等 C E 如图,⊙O1和⊙O2 是等等圆圆,也如果成弧立AB O1 A O2 F =弧CD,那么∠E和 O B A' C' 演示课件 B' 题设 结论 () 前 提 在 同( 圆条 或件 等) 圆 中 圆 心 角 圆心角所对的弧相等, 心角所对的弦相等, 圆 角所对弦的弦心距相等。 相 等推论在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等,那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。 演示课件 把顶点在圆心的周角等分成360份时, D ∠F是什么关系?反 演示课件 C B 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的 弧相思1、等考“:。同圆或等圆”的条件能否去掉? 2、判断正误:在同圆或等圆中,如果两个 • 圆还具有旋转不变性,即圆绕圆 心旋转任意一个角度α,都能与 原来的图形重合。 演示课件 如图,∠AOB=∠A`OB`,OC⊥AB, OC`⊥A`B`。 猜想:弧AB与弧A`B`,AB与A`B`, OC与OC`之间的关系,并证明你的猜想。 定理 在同圆或等圆中, A 相等的圆心角所对的 C 弧相等,所对的弦相 等,所对的弦的弦心 距相等。 想结换①③一论,③ ④想中情:的况如会5个果怎条② ④ ⑤将样① ② ⑤件题?适设②③当③⑤和互 ①① ④② ⑤④ ①④④ ⑤ ② ③ ⑤① ② ③ ② ④ ① C ③ ⑤ 演示课件 A E O D B (1)平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径, 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧A 。 求关⊙于O弦的的问半题径,常。 B M A 常需要过圆心作弦 P 的垂线段,这是一 O 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦长构成直 角三角形,便将问 题转化为直角三角 演示课件 画图叙述垂径定理,并说出定理的题设和结论 题设 ①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB 结论 ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB E C O D 演示课件 B 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 如图,CD为⊙O的直径,AB⊥CD, EF⊥CD,你能得到什么结论? E A 弧AE=弧BF C O D 演示课件 B F 圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系 演示课件 圆的性质 • 圆是轴对称图形,每一条直径所 在的直线都是对称轴。 • 圆是以圆心为对称中心的中心对 称图形。