三角函数公式大全及其推导三角函数的定义1.
Figure I
由此，我们定义：ΔABC中如Figure I, 在对边b??(?sin?) 的正弦值：斜边c邻边a??)?(?的余弦值：cos斜边c对边b??)?的正切值：tan?(邻边a邻边11a??)?(?的余切值：cot??b?对边tanb a斜边11c???的正割值：sec???()a?邻边acos c斜边1c1???的余割值：?csc??() b?对边sinb c备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表tan。、示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin、cos额外的定义2.22??)(sinsin?22??)(cos?cos22??)?tan(tan
简便计算公式3.b???)sin??cosA?cos(90?c
c??)??A?cossin(90??sin b11b1?????tan
a?)??tanaAtan(90
b22??1?cossin?证明：90ABC???ABC中,在
222c???ab
22ba1???
??1?sincos??证完b?sinb c???tan?a?cosa
22cc21??sinAB?sin22
c22??1cossin2????1tan?222???coscoscos任意三角形的面积公式4.
Figure II
,
如Figure II．
1ahS?ABC?21?absinC21?acsinB (两边和其夹角正弦的乘积)25.余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。
证明：
如Figure II,
222h?db?22)B(cccosB)sin??(a?22222B?cccossin?aB?2accosB?
2222)sin(cosBB?=aac?2cosB?c22?2acacos?cB?222222bca?b??ac??cosB??
?2ac2ac证完
海伦公式6.
证明：,
Figure 如II1absinC?S ABC?212C?cos?ab12
2222??1ca?b??ab?1??ab22??
444222222c??2?ba?c2?2acbb1a?ab1?22b24a
22444222222c2c?2abb?14a?b?a2?bc?a?ab
22ba24
??
22444222222c??2a?ab?2?cc?2aba14bb22?ab?22b4a4
222422244cbc?2b?2a?2ac?a?b?122?ab?22b4a4
????????c????????abcabcbcaab
?16． ????????c?b?b?c2acc?2?a?b?c?2baa?a?b??2?2?22?
c?b??c?2aa?2ca?bc?2ba?b?a?bc?????2222
cb?b?ca???b?cab?ca?a??????cb??a????????2222??????c?a?b=设：s2
??????css?a?s?bS?s ABC?正弦定理7.
Figure III
,
Figure如III,
外接圆的直径c为ΔABC a?Asin c
a的外接圆半径）ABC r2 （r为???c?Asin同理：cb c, c??CsinsinB cabr??2??
CAsinsinsinB
加法定理8.
两角差的余弦(1)
Figure IV
, Figure IV如???AOC?????BOC??????AOB?AO=BO=r
令?cos?rx A的横坐标为点A?sin?ry的纵坐标为A点A?cos?rx的横坐标为点
B B?sinry?点B的纵坐标为
????????cos??rsinr?rsincosr?2222222222????????cossincosr?rs B22????2xxy?AB??y?BBAA22
incos??r2rsinrsin??r2cos???22222????????cossin????r2sinsincossin?cos2cos???22222?? ??????cos?cos??sin??r2sinsin2cos?cossin??2????cos?inscossin??r1?12??????2????c os?r2?2sincossin???????2????cos2?r1?sinsin?cos????
由余弦公式可得：
??22???cos?2r??rr?r??22????2rrcos?2
222?2AC?BCACcos?BC?ABACB?
??2???2r?2cos???????2???1r?cos?2???????????? sin综上得：coscossin?cos??(2)两
角和的余弦
??????????coscos????????????????sin?sincos?cos
????cossin?cos??sin????sin?cos?cossin两角和的正弦(3)???????????90??cossin?????????90??cos?????
????????cossin?cos?sin?90??90?????cos?cos?sinsin(4)两角差的正弦 ?????????sin?sin?????????????????cossinsin?cos
????cossin?sin??cos????sin?cos?sincos两角和的正切(5)?????sin??????tan
?????cos????coscos?sinsin?
????sincossincos?????cossinsin?cos??coscos?
????sin?cossincos
??coscos??sinsin???coscos???sinsin1?
??coscos??tantan????tan1?tan
(6)两角差的正切
?????????tan?tan????????????tantan??????tantan1???tan?tan?
??tantan1?9.两倍角公式
????????2?sinsin????coscossin?sin???cos2sin?????????coscos?2????sin??cossincos22??
sin??cos22????2sin2cos1??1???2sin????2tan???2cos??cos2sin?
22??sin?cos??cos2sin2?cos?
22??sincos?2?cos?2sin?cos?2?sin?1
2?cos?tan2?2?nta1?10.积化和差公式
1??????cossin?cos2sin21??????????sinsin??sincossin?coscos?cos 21??????????sin?sin?????2
1??????coscos?cos2cos21??????????sincos???sincossincossin?cos 21??????????cos?cos?????21??????sinsin?sin2sin
