习题1.1-1.2参考答案
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习题参考答案
第1章 数理逻辑
1.1命题
1.解(a )(ⅰ)┐P ∧R →Q (ⅱ)Q →R
(ⅲ)┐P (ⅳ)P ∧┐Q ( b)(ⅰ)我去镇上当且仅当我有时间且天不下雪。 (ⅱ)我有时间并且去镇上。
(ⅲ)如果我去镇上,那么我有时间;如果我有时间,那么我去镇上(或:我去
镇上当且仅当我有时间)。
(ⅳ)说我有时间或我去镇上是不对的。
2.解(a )上海并非处处清洁。
(b )并非每一个自然数都是偶数。
3.解(a )逆命题:如果我不去,那么天下雨。
逆反命题:如果我去,那么天不下雨。 (b )逆命题:如果你去,我将逗留。
逆反命题:如果你不去,我将不逗留。
(c )逆命题:如果方程n
n
n
z y x =+无正整数解,那么n 是大于2的正整数。
逆反命题:如果方程n
n
n
z y x =+有正整数解,那么n 不是大于2的正整数。
(d )逆命题:如果我不能完成这个任务,那么我没有获得更多帮助。 逆反命题:如果我能完成这个任务,那么我获得了更多帮助。
4.给P 和Q 指派真值T ,给R 和S 指派真值F ,求出下列命题的真值: (a )P ∨Q ∧R
(b) P ∨Q ∧R ∨┐((P ∨Q)∧(R ∨S))
(c) (┐(P ∧Q)∨┐R)∨(P ┐∧Q ∨┐R)∧S (d) ┐(P ∧Q)∨┐R ∨((Q ↔┐P)→R ∨┐S) (e) (P ↔R)∧(┐Q →S)
(f) P ∨(Q →R ∧┐P)↔Q ∨┐S
解:做出各个命题的真值表,求出真值。 (a
(b) T(c) T(d) T(e)F (f)T (b) (c) (d) (e) (f) (表略) 5.解:
(b)
6.证明下列公式的真值与他们的变元值无关:
(a)P∧(P→Q)→Q
(b)(P→Q)→(┐P∨Q)
(c)(P→Q)∧(Q→R)→(P→R)
(d)(P↔Q)↔ (P∧Q∨┐P∧┐Q)
证明:做出各个命题的真值表,证明公式的真值与他们的变元值无关
(a)
7.证明
由表可知,P↔Q 在第一,四行上取真值,这时,P→Q ,Q→P也为真;另一方面,在第一,四行上P→Q 和Q→P同时为真,这时P↔Q也为真。于是本题
得证。
8.对P和Q的所有值,证明P→Q与┐P∨Q有同样真值。证明(P→Q)↔(┐P∨Q)总是真
的。
9.解(a)∧、∨、↔是可交换的。
(b)作出P∧Q、Q∧P;P∨Q、Q∨P;P ↔Q、Q ↔P和P→Q、Q→P的真值表,由表得出前三对公式等价,后一对公式不等价(表略)。
10.设*是具有两个运算对象的逻辑运算符,如果(x*y)*z和x*(y*z)逻辑等价,那么运算符*是可结合的。
(a)确定逻辑运算符∧、∨、→、↔那些事可结合的。
(b)用真值表确定你的断言。
解:(a)∧、∨、↔是可结合的。
(b)做出(P∧Q)∧R、P∧(Q∧R);(P∨Q)∨R、P∨(Q∨R);(P↔Q)↔R、P↔ (Q↔R);(P→Q)→R、P→(Q→R)的真值表,由表得出前三对公式等价,后一对公式不等价。
(表略)
11. 解:(b)、(c)不是命题公式,因为它们不能根据命题公式的形成规则而得到。(a)和(d)
是命题公式,它们的构造过程如下:(a)①P是命题公式根据
条款1
②Q是命题公式根据条款1
③(P∧Q)是命题公式根据①、②条款2
④(┐P)是命题公式根据①条款2
⑤((┐P)→(P∧Q))是命题公式根据③、④条款2
⑥R是命题公式根据条款1
⑦((┐P→(P∧Q))∨R)是命题公式根据⑤、⑥条款2
(d)①P是命题公式根据条款1
②Q是命题公式根据条款1
③(P→Q)是命题公式根据①、②条款2
④(Q∧(P→Q))是命题公式根据②、③条款2
⑤(Q∧(P→Q)→P)是命题公式根据①、④条款2
1.2 重言式
1.指出下列命题哪些是重言式、偶然式和矛盾式:
重言式有:a c d e f h i k l
偶然式有:g j m n
矛盾式有:b
2. (a)= P∨Q∨┐R= ┐(┐P∧┐Q∧R)
(b)= P∨┐(┐Q∧R)∨P
= P∨Q∨┐R
= ┐(┐P∧┐Q∧R)
(c)= ┐P∨(┐Q∨R)
= T
(d)= F
(e)=(┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q
= ┐P∧Q
= ┐(P∨┐Q)
(f)= ┐P∧┐Q∧(R∨P)
= ┐P∧┐Q∧R∨┐P∧┐Q∧P
= ┐P∧┐Q∧R∨F
= ┐(P∨Q∨┐R)
3. (a)= ┐(P∧Q)∨P=┐P∨┐Q∨P=T
(b)= ┐(┐(P∨Q)→┐P)
= ┐(P∨Q∨┐P)
= F
(c)= (┐Q∨P)∧(P∨Q)∧T =P
(d)=┐P∧P=F
4.(a)=┐P∨┐Q∨P
= P∨(┐P∨┐Q)
= ┐P→(P→┐Q)
(b)= (┐P∨Q)∧(┐R∨Q)
= (┐P∧┐R)∨Q
= ┐(P∨Q)∨Q
= P∨R→Q
(c)= ┐((P→Q)∧(Q→P)
= ┐((┐P∨Q)∧(┐Q∨P))
= ┐(┐P∨Q)∨┐(P∨┐Q)
= (P∧┐Q)∨(┐P∧Q)
= (P∨┐P)∧(P∨Q)∧(┐Q∨┐P)∧(┐Q∨Q)
= (P∨Q)∧┐(P∧Q)
(d)=┐(┐P∨Q)
= P∧┐Q
5.使用恒等式证明下列各式,并写出与他们对偶的公式。
(a)(┒(┒P∨┒Q)∨┒(┒P∨Q)⇔P
(b)(P∨┒Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨┐Q)⇔┐(┐P∨Q)
(c)Q∨┐((┐P∨Q)∧P)⇔T