均值不等式的应用(新版教材)

易
错
教
易
学
误
教
辨
法
析
分
析
当
堂
双
课
基
前 自
第 2 课时 均值不等式的应用
达 标
主
导
课
学
后
知
能
课
检
堂
测
互
动
教
探
师
究
备
课
资
源
●三维目标 1．知识与技能 巩固均值不等式的简单应用． 2．过程与方法 能灵活构造均值不等式求最值成立的三个条件． 3．情感、态度与价值观 通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态 度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
【防范措施】 在运用均值不等式时，要特别注意等号成立 的条件，尤其是一个题目中多次使用均值不等式，等号成立的条 件必须相同，否则会造成错误．
【正解】 (x＋y)1x＋4y＝1＋4·xy＋yx＋4＝5＋4yx＋yx≥5＋2 4yx·yx＝9，
当且仅当 4·xy＝yx，即 y＝2x 时等号成立．
1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、 三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定 值，和有最小值．
【自主解答】
f(x)＝
xx2＋2＋43＋1＝
x2＋3＋1 x2＋3
＋
1＝
x2＋3＋
x21＋3＋1， 令 t＝ x2＋3(t≥ 3)，
则原函数变形为 y＝t＋1t ＋1，易证函数在区间[ 3，＋∞)上 是增函数．
所以当 t＝ 3时，y＝t＋1t ＋1 取得最小值433＋1. 所以当 t＝ 3，即 x＝0 时，f(x)＝ xx2＋2＋43＋1 取得最小值433＋
当 x＜0 时，x＋1x≤－2， ∴－12≤x＋1 1x＜0， ∴－1≤y＜0， 当且仅当 x＝1x(x<0)，即 x＝－1 时取等号； 当 x＝0 时，y＝0. 综上，可得函数 y＝x22＋x 1的值域为{y|－1≤y≤1}.

x∈（-1，3）时，一1<x<3，因此1+x>0，3-x>0.
（1 x)(3 x) 1 x 3 x 2 2
从而（1+x）（3-x）≤4，即y≤4.
当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立. 从而x=1时，y取得最大值4.
典型例题
例5 已知a，b是实数，求证： a2+b2≥2ab.
而且，等号成立时，当且仅当（ a b）2 0 ，即a=b.
值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们 可以代入任意满足条件的数或式子，比如
6 7 42
2
一定是正确的.
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为 零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均 值.那么，均值不等式有什么几何意义呢？
a
1
2
b
1
4
1
3
1
从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们 的几何平均值.一般地，我们有如下结论. 均值不等式 如果a，b都是正数，那么
a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
证明 即
因为a，b都是正数，所以
ab
ab a b 2
ab
（
a
b）2 0,
2
2
2
a b ab 2
典型例题
例6 已知a，b∈R，求证： （1）(a+b)2≥4ab； （2）2(a2+b2)≥(a+b)2.
典型例题
例2 已知ab>0，求证b： a 2 ，并推导出
等号成立的条件
ab
典型例题
例3（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为 多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

及－ ≤x
＜0上均为减函数，在x≥ 及x≤－ 上都是增函数．求此
函数的最值时，若所给的范围含± 时，可用均值不等
式，不包含± 时，可用函数的单调性求解(后面第三章
3.2函数的基本性质中学习).
跟踪训练
3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一
栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建

跟踪训练
1
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求

1

法一
1
+

1
＝(

2
＝1＋

1
+


＋

)·1＝
1
(

＋2＝3＋
1
+

2

+
1
的最小值．

)·(a＋2b)

＋

≥3＋2
2


⋅ ＝3＋2

2，
= 2−1
即ቐ
2 时等号成立．
=1−
+ 2 = 1
2
2
当且仅当൝
1

1
达使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、
转化、分离常数等变形手段，创设一个合适应用均值不
等式的情境．
本课小结
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，
均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，
一定要注意等号能否取到.
通过本节课，
你学会了什么？
4
小
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最_____值2

第二章等式与不等式第2课时均值不等式的应用第二章等式与不等式考点证明不等式学习目标会利用均值不等式证明不等式问题核心素养逻辑推理会利用均值不等式解决与函解决实际问题b数关的实际问题数学建模解决恒成立问题会将不等式的恒成立问题,过分离参数转化为均值不等式问题求解逻辑推理、数学运算讲练互动已知a, b9 cW(O, +°°),且a+b+c = l・求证：~~1yr 丿探究点利用均值不等式证明不等式解惑•探究•突破OO【证明】因为a, b, cG(O, +°°), a+b+c = l9所以1=同理A* A*上述三个不等式两边均为正，分别相乘,得当且仅当a=b=c=^f等号成立.互动探究在本例条件下，求证：:+£+*$9.证明：因为 a, b, cG(O, + °°),且 “+方+c = l, 所以++出。

+方+0+"+心+心+。

+〃+(a rM3+2+2+2=9・当且仅当a=〃=c=f 时，等号成立.b=3+件辺0113圈利用均值不等式证明不等式的思路利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题时要时刻注意等号能否取到.1.已知a, b都是正实数，且ab=2f求证：（l+2a）（l+〃）M9. 证明：因为a, 〃都是正实数，且ab=2f所以寸而=4,所以（l+2«）（l+〃） = l+2a+方+2ab=5+2a+〃M5+4=9・即（1+勿）（1+方）$9・护方2 c22.已知a, b, c>0,求证：牛+7+［纹+方+c.2证明：因为a, b, c>0,所以利用均值不等式可得,+心2a,12 2 2 12 2—+cM2b, —+aM2c,所以〒+—+—+a+〃+cM2«+2方+2c, c a u c d2>22故彳+7+》Ma+b+c,当且仅当a=b=c时，等号成立.探究点酉利用均值不等式解实际应用题每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均某食品厂定期购买面粉, 已知该厂每天需用面粉6吨,每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少?【解】 设该厂每兀天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知,面粉的保管费等其他费用为3X[6x+6(x-l)+6(x-2) + -+6Xl]=9x(x+l)(元).设平均每天所支付的总费用为y 元，则 J = ~[9x(x + 1) + 900] + 6X1 800 = 9兀 +型+ 10 809M故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用 最少.也+10 809=10 989(元),当且仅当％=響即x = 10时，等号成立.利用均值不等式解决实际问题的思路利用均值不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说, 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型ax^~^2\[ab(a>09 b>09兀>0)上靠拢•1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润刃单位：万元)与机器运转时间班单位: -X 2 + 18X -25(X EN*),则当每台机器运转解析：每台机器运转x 年的年平均利润为^=18—兀+丁，且 X \ X ) x>0,故［W18-2何=8,当且仅当x=5时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为8万元.答案：5 8年时，年平均利润最大，最大值是 万元•年)的关系为y =25、2・用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长.宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：设矩形菜园的长为x m＞宽为ym, 则2(x+j)=36, x+j = 18, 矩形菜园的面积为xjm2.可得巧W81,当且仅当x=j,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9: 面积为81 m2.m时，菜园的面积最大，最大2働［3）不等式9x +1（常数a>0）,对一切正实数x 成立, 求。

习题课 均值不等式的应用
知识点拨
提示:一正二定三相等,即:①a,b均为正数;②a+b和ab中有一个为定 值;③不等式中的等号必须能取到.
探究一
探究二
探究三
“常数代换法”求最值
素养形成
当堂检测
答案:4
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 在利用均值不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换, 其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用均 值不等式为止.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3(2020北京高一月考)党的十九大报告指出,建设生态文明 是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态 文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物 清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的 农村“厕所革命”,对改善农村居住环境等方面,起到立竿见影的效果. 为了积极响应国家推行的号召,某农户准备建造一个深为2米,容积 为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池 壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3 000元,问怎样设 计沼气池能使总造价最低?最低总造价是多少元?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
一题多解
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析要求x+y的最小值,根据均值不等式,应构建某个积为定值.这需 要对条件进行必要的变形,可进行“1”的代换,也可以“消元”等.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三

一次等号成立的字母取值存在且一致.
微思考
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?
提示 应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项
或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
微练习
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
答案
.
1
16
解析 因为 x,y>0,且 x+4y=1,
(2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范
围不同).
(3)证明的方法都是作差比较法.
(4)都可以用来求最值.
微练习
(1)设 a>0,b>0.若
1
a+b=1,则
A.8
B.4
C.1
1
D.
4
答案 B
解析 若 a+b=1,∵a>0,b>0,
+
1
1
∴ ≤
= ⇒ab≤ .
2 + 2
(2)
(a,b∈R),当且仅当
≥ 2
2
a=b 时,等号成立.
这两个变形体现了两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系.
当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.
3.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的异同
4.均值不等式的变形
(1)ab≤

(2)

+ 2
(a>0,b>0),当且仅当
所以
1
1
xy=4x·4y≤4
所以 xy
×
1
2 1
(x+4y)
=
,当且仅当

换法 解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表
达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商
二、提升新知·注重综合
题型二
利用均值不等式求最值
变式训练
1．[直接利用均值不等式求最值]已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值
为
A．16
( B )
B．25
C．9
解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝8，



++
++
++
(2) + + =
+
+

=+





+

+



+



+


+



⩾ + + + = ，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
二、提升新知·注重综合
题型一
用均值不等式证明不等式
方法总结
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等
1．判断正误
(1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立． ( × )




(2)若a，b同号，则 + ≥2.
(3)若a>0，b>0，则ab≤
+
恒成立．

(4)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 .
( √ )
( × )

教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 必修5
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
析
学 方 案
用．(重点) 课标 2.熟练掌握利用均值不等式求函
当 堂 双
设 计
解读 数的最值问题．(重点)
基 达
课
3.会用均值不等式求解实际应用
标
前
题．(难点)
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
应用均值不等式求最值
易
分
误
析
辨
析
教
【问题导思】
教
学
易
教
错
法
易

=5,当且仅当x=1,y=1 时取等号,故3x+4y的最小值是5.
2
类型二 利用均值不等式证明不等式(逻辑推理)
【典例】已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a ＋c＋a－b ＋a＋b－c ≥3.
a
b
c
【思路导引】将表达式各项拆分,之后利用均值不等式求解.
【解题策略】利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理, 经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”, 逐步推向“未知”. (2)注意事项: ①多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用; ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,形成均值不等式模型,再使用.
【补偿训练】

若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 ( )
A. 24
B. 28
C.5
D.6
5
5
【解析】选C.由x+3y=5xy可得1 ＋ 3=1,
5y 5x
所以3x+4y=(3x+4y)(·1 3 )＝9＋4＋3x ＋12y 13＋2 3x 12y＝13＋12
5y 5x 5 5 5y 5x 5 5y 5x 5 5
3.将a+b变形为 ( 1 1 ) (a+1+b)-1,展开,利用均值不等式求解.
a 1 b
【解题策略】 常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为: (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式. (4)利用均值不等式求最值.

2．2.4 均值不等式及其应用第1课时均值不等式1.均值不等式(基本不等式)(1)算术平均值与几何平均值．前提给定两个正数a，b结论数a＋b2称为a，b的算术平均值数ab 称为a，b的几何平均值(2)均值不等式前提a，b都是正数，结论a＋b2≥ab ，等号成立的条件当且仅当a＝b时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．(3)本质：算数平均值的本质就是数a ，b 在数轴上对应点的中点坐标．几何平均值的本质就是a ，b 乘积的开方．均值不等式就是在正数的前提下其算数平均值大于等于其几何平均值． (4)应用：应用均值不等式求最值．(1)均值不等式中的a ，b 只能是具体的某个数吗？ 提示：Xa ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式．(2)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4）2 ≥（－3）×（－4） 是不成立的． 2．均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？ 提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”“二定”“三相等”．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2 ≥ab 成立的条件是相同的．( )提示：×．不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b2 ≥ab成立的条件是a >0，b >0.(2)当a >0，b >0时a ＋b ≥2ab .( ) 提示：√．均值不等式的变形公式．(3)当a >0，b >0时ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2.( ) 提示：√．均值不等式的变形公式． (4)函数y ＝x －1＋1x －1的最小值是2.( )提示：×．当x －1<0，即x ＜1时，x －1＋1x －1 是负数．2．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．22 C ．2 D ．4【解析】选A.当a ，b 为正实数时，由ab ≤a ＋b 2 ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22 2＝1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为1. 3．(教材例题改编)已知x >1，y ＝x ＋1x －1 ，则y 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选C.因为x >1，则x －1>0，由基本不等式得y ＝x －1＋1x －1＋1≥2（x －1）·1x －1＋1＝3，当且仅当x ＝2时，等号成立，因此，y 的最小值是3.类型一 对均值不等式的理解(数学抽象)1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0.其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选C.由均值不等式的前提需“一正、二定、三相等”，即当ba ，ab 均为正数时，可得b a ＋ab ≥2，此时只需a ，b 同号即可，所以①③④均满足要求．2．不等式a ＋1≥2 a (a >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝12 C ．a ＝1 D ．a ＝2【解析】选C.因为a >0，根据均值不等式ab ≤a ＋b2 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋1≥2 a 中等号成立当且仅当a ＝1. 3．若a >0，b >0，且M ＝a ＋b2 ，G ＝ab ，H ＝a 2＋b 22 ，则M ，G ，H 的大小关系为________．【解析】因为a >0，b >0，所以有a ＋b2 ≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，因此有M ≥G .a 2＋b 2≥2ab ⇒a 2＋b 2＋a 2＋b 2≥2ab ＋a 2＋b 2⇒a 2＋b 2≥（a ＋b ）22 ⇒a 2＋b 22 ≥（a ＋b ）24(当且仅当a ＝b 时取等号)，因为a >0，b >0，所以有a 2＋b 22 ≥a ＋b2 ，因此有H ≥M . 答案：H ≥M ≥G均值不等式使用的条件利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).【补偿训练】设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a<b<ab <a ＋b 2 B ．a<ab <a ＋b2 <b C ．a<ab <b<a ＋b 2 D ．ab <a<a ＋b2 <b【解析】选B .因为0<a<b ，所以0< a < b ，所以a<ab ，同样由0<a<b 得a 2 <b 2 ，所以a ＋b 2 <b ，由均值不等式可得，ab <a ＋b 2 ，综上，a<ab <a ＋b2 <b.类型二 利用均值不等式求最值(数学运算)【典例】当x>1时，求x 2＋8x －1 的最小值．探求解书写表达令t＝x2＋8x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2，①因为x－1＞0，所以t≥2（x－1）·9x－1＋2＝8，当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时，t的最小值为8.②注意书写的规范性：①为了表达式的完整性，可以将表达式记为t＝x2＋8x－1②步骤中不能省略验证等号成立的条件题后反思表达式的恒等变形是解题的关键，ax2＋bx＋cdx＋e(ad≠0)形式的表达式通常分母不变，将分子化为m(dx＋e)2＋n(dx＋e)＋q的形式(m，n，q为常数)并展开，再利用均值不等式求解，均值不等式的应用必须一正、二定、三相等，三者缺一不可利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点(1)两种类型：①若a＋b＝p(两个正数a，b的和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值p24，可以用均值不等式ab ≤a＋b2求得．②若ab＝S(两个正数的积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2S ，可以用均值不等式a＋b≥2ab 求得．(2)一个关注点：不论哪种情况都要注意等号取得的条件．(2021·潍坊高一检测)规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝ab ＋a ＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时函数y＝k⊙xx的最小值为________．【解析】由题意得1⊙k＝k ＋1＋k＝3，即k＋k －2＝0，所以k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k＝1.y＝k⊙xx ＝x＋x＋1x＝1＋x ＋1x≥1＋2x×1x＝3，当且仅当x ＝1x，即x＝1时，等号成立．答案：1 3【拓展延伸】1.一次式除以二次式形式的表达式的最值的求法(1)分子一次形式不变，将分母的二次形式改写为分子一次形式的平方或者一次形式的几倍或者常数形式．(2)分子分母同除以分子后利用均值不等式求解．2．利用均值不等式求解整式形式的最值(1)判断所求表达式中未知量的正负．(2)直接使用均值不等式求解，特别注意最后要进行等号成立时的未知量的检验．【拓展训练】对任意x>0，xx 2＋3x ＋1的最大值为________．【解析】由题意，对任意x>0，有x x 2＋3x ＋1 ＝1x 2＋3x ＋1x ＝1x ＋1x ＋3≤12x·1x ＋3 ＝15 ，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立， 即x x 2＋3x ＋1 的最大值为15 . 答案：15总结：本题主要考查了均值不等式的应用，解答中对xx 2＋3x ＋1 进行等价转化求得最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．类型三 间接利用均值不等式求最值“不正”问题【典例】已知x<0，则3x ＋12x 的最大值为________． 【思路导引】变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值． 【解析】因为x<0，所以－x>0.则3x ＋12x ＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－x ＋（－3x ） ≤－212（－x ）·（－3x ） ＝－12，当且仅当12－x＝－3x ，即x ＝－2时，3x ＋12x 取得最大值为－12. 答案：－12若条件改为“x<1”，结论改为“则3(x －1)＋12x －1 的最大值为________．”如何求解？【解析】因为x<1，所以x －1<0，故－(x －1)>0，所以3(x －1)＋12x －1 ＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3（x －1）＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x －1 ≤ －2－3（x －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x －1 ＝－12，当且仅当－3(x －1)＝－12x －1 ，即x ＝－1时，3(x －1)＋12x －1 取得最大值－12.答案：－12“不定”问题【典例】(1)已知x>2，求x ＋1x －2的最小值．【思路导引】先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值． 【解析】(1)因为x>2，所以x －2>0，所以x ＋1x －2 ＝x －2＋1x －2 ＋2≥2（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －2 ＋2＝4，所以当且仅当x －2＝1x －2 (x>2)，即x ＝3时，x ＋1x －2 的最小值为4.(2)已知0<x<4，求x(8－2x)的最大值．【解析】因为0<x<4，所以8－2x>0，所以x(8－2x)＝12 ×2x(8－2x)≤12 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋8－2x 2 2 ＝8， 所以当且仅当2x ＝8－2x ()0<x<4 ， 即x ＝2时有最大值，x(8－2x)的最大值为8.若把本例(1)改为：已知x<54 ， 试求4x －2＋14x －5的最大值．【解析】因为x<54 ，所以4x －5<0，5－4x>0. 所以4x －5＋3＋14x －5 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x 时等号成立，又5－4x>0，所以5－4x ＝1，x ＝1时，4x －2＋14x －5的最大值是1.1．负数在均值不等式中的应用当所给式子均小于0时，也可以利用均值不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化．2．通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．1．(2021·宜春高一检测)已知两个正数a ，b 满足3a ＋2b ＝1，则3a ＋2b 的最小值是( )A ．23B ．24C ．25D ．26【解析】选C .根据题意，正数a ，b 满足3a ＋2b ＝1， 则3a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫6a b ＋6b a≥13＋26a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝15 时等号成立． 即3a ＋2b 的最小值是25.2．不等式9x －2 ＋(x －2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( )A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5【解析】选C .由均值不等式知等号成立的条件为9x －2 ＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去).3．已知x<0，则x ＋94x 的最大值是________．【解析】已知x<0，则x ＋94x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋9－4x ≤－294 ＝－3，当－x ＝9－4x，即x ＝－32 时，等号成立．答案：－3【补偿训练】(2020·潍坊高一检测)设a>b>0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选D .因为a>b>0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a(a －b)＋1a （a －b ） ≥2＋2＝4，(当且仅当ab ＝1且a(a －b)＝1即a ＝ 2 ，b ＝22 时，取“＝”号)，故应选D .备选类型 “不等”问题【典例】下列命题中，正确的是( ) A ．x ＋4x 的最小值是4B ．x 2＋4 ＋1x 2＋4的最小值是2C ．如果a>b ，c>d ，那么a －c>b －dD ．如果ac 2>bc 2，那么a>b【思路导引】利用均值不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案．【解析】选D .选项A 中，若x<0，则无最小值，所以错误；选项B 中，t ＝x 2＋4 ≥2，则函数y ＝x 2＋4 ＋1x 2＋4转化为函数y ＝t ＋1t ，在[2，＋∞)上单调递增，所以最小值为52 ，所以错误； 选项C 中，若a ＝c ，b ＝d ，则a －c ＝b －d ，所以错误； 选项D 中，如果ac 2>bc 2，则c≠0，所以c 2>0，所以可得a>b.运用均值不等式解“不等”问题(1)观察运用均值不等式求最值的表达式是否满足一正二定； (2)使用均值不等式，检验等号是否成立，成立即运用均值不等式，否则结合单调性加以求解．下列各式中，最小值是2的为( )A ．(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1B ．(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2C ．(x 2＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1 D ．x 2＋3 ＋1x 2＋3【解析】选C .选项A ，只有当x ＋1>0，即x ＞－1时，才有(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1≥2（x ＋1）·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 ＝2(当且仅当x ＝0时取等号)成立，此时(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 的最小值为2，当x ＋1<0，即x<－1时，(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 没有最小值，因此选项A 是错误的；选项B ，只有当x ＋2>0，即x ＞－2时，才有(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 ≥2（x ＋2）·1（x ＋2）＝2(当且仅当x ＝－1时取等号)成立，此时(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 的最小值为2，当x ＋2<0，即x ＜－2时，(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 没有最小值，因此选项B 是错误的；选项C ，因为x 2＋1>0，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 ≥ 2⎝⎛⎭⎫x 2＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 ＝2(当且仅当x ＝0时取等号)，因此⎝⎛⎭⎫x 2＋1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 的最小值为2，所以本选项是正确的； 选项D ，因为x 2＋3 >0，所以x 2＋3 ＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，x 2＋3 ＝1x 2＋3⇒x 2＋3＝1⇒x 2＝－2方程无实数根，故不等式取不到等号，因此本选项是错误的．1．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．4【解析】选C.xy ≤x 2＋y 22 ＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．2．(2021·烟台高一检测)已知a >0，b >0，若不等式4a ＋1b ≥ma ＋b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．10B ．12C ．16D ．9【解析】选D.由已知a >0，b >0，若不等式4a ＋1b ≥ma ＋b恒成立，所以m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )恒成立，转化成求y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )的最小值，y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝5＋4b a ＋ab ≥5＋24b a ·ab ＝9，当且仅当a ＝2b 时等号成立，所以m ≤9.3．(教材练习改编)已知x>3，y ＝x 2－3x ＋1x －3 ，则y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】选D .因为x>3，所以x －3>0，则y ＝x 2－3x ＋1x －3＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2（x －3）×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时取等号． 4．已知0<x<4，则4x ＋14－x 的最小值为________，此时x ＝________．【解析】因为x ＋4－x4 ＝1，且0<x<4，所以4x ＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋14－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4＋4－x 4 ＝54 ＋x 4（4－x ） ＋4－x x ≥54 ＋2x 4（4－x ）·4－x x ＝94 ，当且仅当x ＝83 时等号成立．答案：94 835．若a>0，b>0且2a ＋1b ＝3，则ab 的最大值为________． 【解析】因为a>0，b>0，所以2a ＋1b ＝3≥22a b ，当且仅当2a ＝1b ，即a ＝34 ，b ＝23 时，等号成立，所以a b ≤98 . 答案：98。

∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.
方法点睛 本题给出了两种方法,都用到了均值不等式,且都对式子进行了
变形,配凑出满足均值不等式的条件,这是应用均值不等式解决问题的常用
方法.在应用均值不等式解决问题时,要学会观察,学会变形.另外,方法二通
过消元,化二元问题为一元问题时,要注意根据被代换的变量的范围对另一
(2)已知 a>0,b>0,且
1
a+b=2,证明:
+
1
≥2.

证明 (1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以 ab+cd≥2 ,ac+bd≥2 ,于是
(ab+cd)(ac+bd)≥2 ·2 =4abcd.
当且仅当 ab=cd,且 ac=bd 时等号成立.
故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
16
x= ,即
x=4 时,等号成立.所以当沼气池的底面是边长为 4 米的正方形时,沼气池的总
造价最低,最低总造价是 9 240 元.
素养形成
一题多解
典例已知
1
x>0,y>0,且
+
9
=1,求

x+y 的最小值.
分析要求x+y的最小值,根据均值不等式,应构建某个积为定值.这需要对条
件进行必要的变形,可进行“1”的代换,也可以“消元”等.
分析(1)先确定每套丛书定价为100元时的销售量,从而可得每套供货价格,根据
销售每套丛书的利润=售价-供货价格,可求得书商能获得的总利润;(2)先确定每
套丛书售价范围,再确定单套丛书利润,利用均值不等式,可求单套丛书的利润最

4 +44 +1

≥
2 44 4 +1

=
42 2 +1

2 = 2 2
1 时取等号
当且仅当ቐ
=
2
= 4 +
1

≥ 2 4 ⋅
1

=4
题型探究
题型四 利用均值不等式解应用题
例5
某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利
用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45
A．1 个
B．2 个
C．3 个Biblioteka D．4 个课前预习
任务二：简单题型通关
4．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( D )
A．a2＋b2>2ab ×
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0
1

1

C. + >
2
×
a<0，b<0时不成立
B．a＋b≥2 ×
a<0，b<0时不成立
=
1
6
2 ⋅ 3 ≤
1 2+3 2
6
2
2x＋3y＝6
≤
3
2
3
2
当且仅当2x＝3y，即x＝ ，y＝1时，xy取到最大值
3
2
题型探究
1

9

例4 (3)已知x＞0，y＞0， + = 1，求x＋y的最小值．
1
9

9




x＋y＝(x＋y)·( + )== +

激趣诱思
微练习
知识点拨
答案:B
激趣诱思
知识点拨
(2)已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab( )
A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值 C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0 解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2, 所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2. 答案:A
2.2.4 均值不等式及其应用
激趣诱思
知识点拨
某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准 确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各 称一次,得到两个不同的重量a和b,然后就把两次称得的重量的算 术平均数 作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性 提出了质疑,那么这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大 了还是小了呢?你能用学过的知识帮助他解决这个问题吗?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
技巧二:添项 分析当求和的最小值时,尽可能凑定积,本题需添6,再减6.
探究一
探究二
探究三
素养形成
技巧三:放入根号内或两边平方
当堂检测
分析求积的最值(因式中含根号),把变量都放在同一条件下的根号 里或者将两边平方去根号,整合结构形式,凑成定和,是解决本题的 关键所在.
知识点拨
微练习
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为 .
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
对均值不等式的理解
例1(1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )

•
问题1 四边形ABCD特殊吗？
• 系吗？
问题2 四边形的面积与四个直角三角形之间有关
•
问题3 每个直角三角形的两直角边分别用a,b表示，
你能用ab来表示四边形
与直角三角形的面积吗？
•
问题4 中间的小正方形可以消失吗 ？
•
问题5 此时与系永远成立吗？你能用代数法证明吗 ？
2.2.4 均值不等式及其应用（第一课时）
1.学习目标 2.探究均值不等式 3.题型探究 4.课堂小结
1.学习目标
• 学习目标
• 1.能够掌握均值不等式的内容以及证明过程. • 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单 的最大值或最小值问题．
2.探究均值不等式
国•际数学家大会是由国际数学联盟 （IMU）主办，首届大会于1897年在 瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之 后每四年举行一次，它已经成为最高 水平的全球性数学科学学术会议.第24 届国际数学家大会会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的 明暗使它看上去像一个风车，代表中 国人民热情好客.
• 什么？
问题7 特别的，当代替a、b时，上述表达式变为
• 均值定理
• 如果a，b∈R＋，那么
a＋_b ≥__
2
a.b当且仅当a＝b时，
等号成立，以上结论通常称为___均值__定理，又叫均
值不等式.
• 均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等 于它的几何平均值.
3.题型探究
• 例1 已知x，y都是正数.求证 y x 2
• 问题：（1） 已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、 宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
• （2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为 多少时，它的面积最大？最大面积是多少？

第二课时 均值不等式的应用课标要求 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b >0).结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.素养要求 通过学习均值不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.1.思考 由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？提示 最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法错误.要利用均值不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用.2.填空 均值不等式与最大(小)值(1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(2)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .温馨提醒 (1)在21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22中，会根据定值情况，合理地选择不等式.(2)应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形.3.做一做 判断正误(1)对于实数a ，b ，若a ＋b 为定值，则ab 有最大值.(×) 提示 a ，b 不一定为正实数.(2)对于实数a ，b ，若ab 为定值，则a ＋b 有最小值.(×) 提示 a ，b 不一定为正实数. (3)若x >2，则x ＋1x 的最小值为2.(×)提示 当x >0时，当且仅当x ＝1时不等式取得最小值2，故x >2时，取不到最小值2.(4)已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为0.(√)题型一 均值不等式的简单应用 角度1 “常数代换法”求最值例1 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值. 解 ∵1x ＋9y ＝1，且x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ·9xy ＝10＋6＝16.当且仅当y x ＝9x y .又1x ＋9y ＝1， 即x ＝4，y ＝12，故当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.思维升华 若题中不存在满足均值不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，灵活运用“1”的代换.在不等式解题过程中，常常将不等式乘“1”、除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替.角度2 “减元代换法”求最值例2 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________.答案 8解析 ∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12， ∴x ＝3y ＋3，∴0<3y ＋3<12， 解得y >3.则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2（y －3）·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4，x ＝37时取等号.思维升华 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用均值不等式求解. 训练1 (1)已知x ，y 是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B.94 C.2D.3(2)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________. 答案 (1)B (2)18解析 (1)由x ＋y ＝1得(x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 即14[(x ＋2)＋(y ＋1)]＝1，∴4x ＋2＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1·14[(x ＋2)＋(y ＋1)]＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4＋1＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1 ≥14(5＋4)＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时“＝”成立，故选B.(2)由条件得2x ＋6＝(x －1)y .由x >0，y >0知x >1，所以y ＝2x ＋6x －1，所以xy ＝x ×2x ＋6x －1＝2x 2＋6x x －1＝2（x －1）2＋10（x －1）＋8x －1＝2(x －1)＋8x －1＋10≥22（x －1）×8x －1＋10＝18， 当且仅当2(x －1)＝8x －1，即x ＝3时取等号，此时y ＝6.故(xy )min ＝18. 题型二 建立目标不等式求最值例3 (1)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＋3＝xy ，则x ＋y 的最小值为________. (2)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________. 答案 (1)6 (2)2 2解析 (1)由题意知x ＋y ＋3＝xy ≤（x ＋y ）24，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，所以(x ＋y －6)(x ＋y ＋2)≥0， 所以x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)，所以x ＋y 的最小值为6，当且仅当x ＝y ＝3时取等号. (2)由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0， 所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ， 即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.思维升华 利用均值不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值.训练2 已知a >0，b >0，且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则a ＋b 的取值范围是( ) A.[1，4] B.[2，＋∞) C.(1，4)D.(4，＋∞)答案 A解析 ∵a ＋b ＋1a ＋1b ＝5， ∴a ＋b ＋a ＋bab ＝5.∵a >0，b >0，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴1ab ≥4（a ＋b ）2， ∴a ＋b ＋a ＋b ab ≥a ＋b ＋4a ＋b ，∴a ＋b ＋4a ＋b ≤5，即(a ＋b )2－5(a ＋b )＋4≤0， ∴(a ＋b －4)(a ＋b －1)≤0， 即1≤a ＋b ≤4，当a ＝b ＝12时，左边等号成立， 当a ＝b ＝2时，右边等号成立，故选A. 题型三 利用均值不等式解决实际应用问题例4 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对山东乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x 万元之间的函数关系为Q ＝x ＋12(其中推广促销费不能超过3万元).已知加工此批农产品还要投入成本2⎝ ⎛⎭⎪⎫Q ＋1Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋20Q 元/件. 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解 设该批产品的利润为y ，由题意知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋20Q ·Q －2⎝ ⎛⎭⎪⎫Q ＋1Q －x ＝2Q ＋20－2Q －2Q －x ＝20－2Q －x＝20－4x ＋1－x ＝21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋（x ＋1），0≤x ≤3. ∵21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋（x ＋1）≤21－24＝17， 当且仅当x ＝1时，上式取“＝”， ∴当x ＝1时，y max ＝17.答：当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元. 思维升华 解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.训练3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？⎝ ⎛⎭⎪⎫注：1＋2＋3＋…＋x ＝x （x ＋1）2解 设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. [课堂小结]1.利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件.2.在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的.一、基础达标1.若x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 处取得最小值，则t ＝( )A.1＋ 2B.2C.3D.4答案 B 解析 ∵x >1，∴x 2－x ＋1x －1＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1， 即x ＝2时，等号成立， ∴t ＝2.2.已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( ) A.18 B.16 C.8 D.10答案 A解析 ∵x >0，y >0且8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝xy ，即x ＝12，y ＝3时，等号成立.3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处答案 A解析 设仓库与车站的距离为d ，则y 1＝k 1d ，y 2＝k 2d ，由题意知2＝k 110，8＝10k 2， ∴k 1＝20，k 2＝0.8.∴y 1＋y 2＝20d ＋0.8d ≥216＝8，当且仅当20d ＝0.8d ，即d ＝5时，等号成立.选A.4.设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是( ) A.(38－373) m 3 B.16 m 3 C.4 2 m 3 D.14 m 3 答案 B解析 设车厢的长为b m ，高为a m.由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2a a ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设a ＋1＝t >1，则V ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫20－2t －18t ≤2⎝⎛⎭⎪⎫20－22t ·18t ＝16，当且仅当2t ＝18t ，即t ＝3时取“＝”，此时a ＝2.故选B.5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为( )A.10 mB.20 mC.30 mD.40 m答案 B解析 设矩形的另一边长为y .由三角形相似得x 40＝40－y40，其中0<x <40，0<y <40，∴40＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝20时，矩形的面积取得最大值.故选B. 6.设x >－1，则（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值是______.答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝（t ＋4）（t ＋1）t＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，（x ＋5）（x ＋2）x ＋1取得最小值9.7.已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________. 答案 2＋ 3解析 根据题意，3a ＋b ＝2ab ⇒32b ＋12a ＝1， 则a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32b ＋12a (a ＋b )＝2＋3a 2b ＋b 2a ≥2＋23a 2b ·b2a ＝2＋3，当且仅当b ＝3a 即a ＝3＋12，b ＝3＋32时等号成立， 则a ＋b 的最小值为2＋ 3. 8.若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥15解析 因为x >0，所以x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15. 当且仅当x ＝1时，等号成立， 所以x x 2＋3x ＋1的最大值为15.所以a ≥15.9.(1)若x >0，求y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32，求y ＝4x (3－2x )的最大值. 解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x 时， 即x 2＝4，x ＝2时取等号.∴y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ， 即x ＝34时，等号成立. ∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92. 10.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解 设底面的长为x m ，宽为y m ，水池总造价为z 元.根据题意，有z ＝150×4 8003＋120(2×3x ＋2×3y )＝240 000＋720(x ＋y ).由容积为4 800 m 3，可得3xy ＝4 800.因此，xy ＝1 600.故z ＝240 000＋720(x ＋y )≥240 000＋720×2xy ＝240 000＋720×2 1 600 ＝297 600，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝40时，等号成立.所以，将水池的底面设计成边长为40 m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.二、能力提升11.(多选)下列表达式的最小值为2的有( )A.当ab ＝1时，a ＋bB.当ab ＝1时，b a ＋a bC.a 2－2a ＋3D.a 2＋2＋1a 2＋2答案 BC解析 对于A ，当a ，b 均为负值时，a ＋b <0，故最小值不为2；对于B ，因为ab ＝1，所以a ，b 同号，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝±1时取等号，故最小值为2； 对于C ，a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2，当a ＝1时，取最小值2；对于D ，a 2＋2＋1a 2＋2≥ 2a 2＋2·1a 2＋2＝2，当且仅当a 2＋2＝1a 2＋2，即a 2＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2.故选BC.12.已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对任意的x >1恒成立，则实数m 的取值范围为________.答案 (－10，＋∞) 解析 ∵2x ＋m ＋8x －1>0在x >1时恒成立， ∴m >－2x －8x －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1， 又x >1时，x －1>0，x －1＋4x －1＋1≥2（x －1）·4x －1＋1＝5， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立， ∴－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1≤－2×5＝－10. ∴m >－10，∴实数m 的取值范围为(－10，＋∞).13.某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件.(1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元.公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.解 (1)设每件商品的定价为m 元.依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－m －251×0.2m ≥25×8， 整理，得m 2－65m ＋1 000≤0，解得25≤m ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件商品的定价最高为40元.(2)设明年的销售量为a 万件.依题意，当x ＞25时，ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x ，即当x ＞25时，a ≥150x＋16x ＋15，因为150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，所以a ≥10.2.所以当该商品明年的销售量至少为10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元.三、创新拓展14.(多选)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b 有最小值4 B.ab 有最小值12 C.a ＋b 有最大值2D.a 2＋b 2有最小值12 答案 ACD解析 正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，即有1a ＋1b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，即有a ＝b ＝12时，1a ＋1b 取得最小值4，无最大值；ab ≤a ＋b 2＝12，即ab 的最大值为12.由a＋b＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋2×12＝2，可得a＝b＝12时，a＋b取得最大值2；由a2＋b2≥2ab可得2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝1，则a2＋b2≥12，当a＝b＝12时，a2＋b2取得最小值12.综上可得A，C，D均正确.。

法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
利用均值不等式求条件最值 【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1， ∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋1x6y
4．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．
100 [∵x，y∈N*， ∴20＝x＋y≥2 xy， ∴xy≤100.]
合作 探究 释疑 难
利用均值不等式求最值
【例1】 (1)已知x<54，求y＝4x－2＋4x－1 5的最大值；
(2)已知0<x<12，求y＝12x(1－2x)的最大值．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最
小值． (2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.
() ()
(3)当x>1时，函数y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数y的最小值是
x 2 x－1.
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
二定：积或和为定值．积为定值和有最小值；和为定值积有最大 值．为了利用均值不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．例 如：
①当 x＞2 时，x＋x－1 2＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2＋2＝4(当且仅当 x ＝3 时，等号成立).
②当 0＜x＜83时，x(8－3x)＝13(3x)(8－3x)≤ 133x＋28－3x2＝136(当且仅当 x＝43时，等号成立).