均值不等式的应用
类型 用均值不等式证明不等式 ┃┃典例剖析__■
1．无附加条件的不等式的证明
典例1 已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥a ＋b ＋c .
思路探究：由条件中a ，b ，c >0及待证不等式的结构特征知，先用均值不等式证a 2
b ＋b ≥2a ，
b 2
c ＋c ≥2b ，c 2
a
＋a ≥2c ，再进行证明即可． 解析：∵a ，b ，c >0，∴利用均值不等式可得a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋
c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2
a ≥a ＋
b ＋
c ，
当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
归纳提升：利用均值不等式证明不等式的注意点： (1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．
(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件． 2．有附加条件的不等式的证明
典例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1
b
)≥9.
思路探究：本题的关键是把分子的“1”换成a ＋b ，由均值不等式即可证明． 解析：方法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b
a .
同理1＋1b ＝2＋a
b
.
故(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2(b a ＋a
b )≥5＋4＝9.
所以(1＋1a )(1＋1b )≥9，当且仅当a ＝b ＝1
2
时取等号．
方法二：(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2
ab ，
因为a ，b 为正数，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝1
4
，
所以1ab ≥4，2
ab
≥8.
因此(1＋1a )(1＋1
b )≥1＋8＝9，
当且仅当a ＝b ＝1
2
时等号成立．
归纳提升：利用均值不等式证明不等式的两种题型
(1)无附加条件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．
(2)有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形． ┃┃对点训练__■
1．已知x >0，y >0，z >0，求证：(y x ＋z x )(x y ＋z y )(x z ＋y
z )≥8.
证明：∵x >0，y >0，z >0， ∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0， x z ＋y z ≥2xy z
>0， 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号同时成立． ∴(y x ＋z x )(x y ＋z y )(x z ＋y z )≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 类型 利用均值不等式解决实际问题 ┃┃典例剖析__■
典例3 如图所示，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原来的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有36 m 长的钢筋网，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
思路探究：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则问题(1)是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最
大值；而问题(2)是在xy ＝24的前提下求4x ＋6y 的最小值，因此可用均值不等式来解决． 解析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，每间虎笼的面积为S m 2. (1)由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，S ＝xy . 方法一：由2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 得26xy ≤18，解得xy ≤272，S ≤27
2，
当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝92，y ＝3.
故每间虎笼长为9
2 m ，宽为
3 m 时，可使每间虎笼面积最大．
方法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－3
2y .
∵x >0，∴0 S ＝xy ＝(9－32y )y ＝3 2(6－y )·y . ∵0 2 . 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大． (2)由条件知S ＝xy ＝24. 设钢筋网总长为l m ，则l ＝4x ＋6y . 方法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅2x ＝3y 时等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小． 方法二：由xy ＝24，得x ＝ 24 y . ∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6(16 y ＋y )≥6×2 16 y ·y ＝48.
