高三数学函数的概念与表示

湖北高三数学知识点大汇总一、函数与方程1. 函数的概念及性质函数是自变量和因变量之间的一种特殊关系，通常表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f表示函数关系。

函数有定义域、值域、奇偶性、周期性等性质。

2. 一次函数与二次函数一次函数的表达式为y=kx+b，其中k为斜率，b为常数，表示一条直线。

二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，其中a≠0，表示一条抛物线。

掌握函数图像、最值、对称轴等基本特性。

3. 指数函数与对数函数指数函数的表达式为y=a^x，其中a>0且a≠1，表示递增或递减的曲线。

对数函数的表达式为y=logₐx，其中a>0且a≠1，表示指数函数的反函数。

熟练掌握指数与对数之间的基本关系。

4. 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，熟练掌握其定义、性质、图像、周期性等。

掌握三角函数的基本变换、和差化积、倍角公式等。

二、数列与数列求和1. 数列概念与性质数列是按照一定的规律排列的一组数，包括等差数列、等比数列等。

了解数列的首项、公差、通项公式等基本概念。

2. 等差数列等差数列是指相邻两项之间的差固定的数列。

掌握等差数列的通项公式、前n项和公式等。

3. 等比数列等比数列是指相邻两项之间的比固定的数列。

掌握等比数列的通项公式、前n项和公式等。

4. 数列求和掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，熟练运用求和公式解决数列求和问题。

同时理解求和符号∑的意义与用法。

三、平面向量1. 平面向量的概念及运算平面向量由大小和方向确定，能够进行向量加法、减法、数量乘法以及向量的数量积和向量积等运算。

2. 平面向量的表示法包括坐标表示法和分量表示法，熟练转换和运用。

3. 平面向量的共线与垂直理解平面向量共线与垂直的几何意义，掌握判断条件。

4. 平面向量的数量积了解平面向量数量积的定义、计算方法以及几何意义。

掌握数量积的性质与应用，如判断两向量的夹角、判断正交、共线等。

四、空间几何1. 点、直线、平面的位置关系了解点、直线、平面的基本性质及其相互关系。

数学函数知识点高三在高三数学学习中，函数是一个重要的知识点。

函数的概念和性质是数学学习的基础，它不仅在高考中占有重要比重，同时也是数学研究领域的核心内容。

本文将为大家全面介绍高三数学的函数知识点，并通过具体的例子和应用，帮助大家更好地理解和掌握。

一、函数的概念和基本性质函数是一种数学关系，它将一个自变量的取值映射到一个或多个因变量的取值。

具体而言，一个函数包括定义域、值域和对应关系。

定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围，对应关系描述了自变量和因变量之间的映射关系。

函数的基本性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。

奇函数是指满足$f(-x)=-f(x)$的函数，图像以原点对称；偶函数是指满足$f(-x)=f(x)$的函数，图像以y轴为对称轴。

单调性是指函数的增减趋势，分为递增和递减。

周期性是指函数的图像以一定的间隔重复出现，可以用$f(x+a)=f(x)$来表示。

对称性包括轴对称和中心对称，轴对称是指函数的图像以某条直线为对称轴，中心对称是指函数的图像以某个点为对称中心。

二、常见函数类型与图像高三数学中，常见的函数类型包括常函数、线性函数、二次函数、立方函数、指数函数和对数函数等。

下面我们分别介绍这些函数的特点和图像。

1. 常函数：常函数的定义域为全体实数，值域是一个确定的常数。

图像平行于x轴。

2. 线性函数：线性函数的定义域为全体实数，值域也是全体实数。

图像为一条直线，具有不同的斜率和截距。

3. 二次函数：二次函数的定义域为全体实数，值域取决于二次函数的开口方向。

图像为一条开口向上或向下的抛物线。

4. 立方函数：立方函数的定义域为全体实数，值域也是全体实数。

图像为一条平滑曲线，上下具有对称性。

5. 指数函数：指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数。

图像呈指数增长或指数衰减的形式。

6. 对数函数：对数函数的定义域为正实数，值域为全体实数。

图像为一条平滑曲线，上下具有对称性。

三、函数的运算与复合函数之间可以进行加减乘除等基本运算，并且可以进行函数的复合运算。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第6讲函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．➢考点1 函数的概念[名师点睛]（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同1．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（3）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足. 故选：C.2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，()f x ，()g x 是同一函数的是（ ）A ．()2f x x =，()4g x x =B ．()2log a f x x =，()2log a g x x =C ．()4121x x f x -=-，()21x g x =+D ．()11f x x x --()11g x x x --【答案】D 【解析】解：对于A 选项，()2f x x =的定义域为R ，()4g x x =的定义域为[)0,∞+，故不满足；对于B 选项，()2log a f x x =的定义域为{}0x x ≠，()2log a g x x =的定义域为()0,∞+，故不满足；对于C 选项，()4121x x f x -=-的定义域为{}0x x ≠，()21xg x =+的定义域为R ，故不满足；对于D 选项，()f x ，()g x 的定义域均为{}1，对应关系均为0y =，故是同一函数.故选：D [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点个数（ ） A ．至少1个B ．至多1个C ．仅有1个D ．有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若1不在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =没有交点， 若1在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =有1个交点， 故选：B.2．（2022·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =x -1和y =211x x -+B ．y =x 0和y =1C ．f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2D ．f (xg (x 【答案】D 【解析】对于A ，函数y =x -1定义域是R ，函数y =211x x -+定义域是(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，A 不是；对于B ，0y x =定义域是(,0)(0,)-∞+∞，函数y =1定义域是R ，B 不是；对于C ，()2f x x =和()2(1)g x x =+对应法则不同，C 不是；对于D ，f (x和g (x (0,)+∞，并且对应法则相同，D 是.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y =与0y x =B ．y x =与2y =C ．22log y x =与22log y x =D ．1ln 1xy x+=-与()()ln 1ln 1y x x =+-- 【答案】D 【解析】对于A ：1y =定义域为R ，0y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确；对于B ：y x =定义域为R ，2y =的定义域为{}|0x x ≥，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确；对于C ：22log y x =的定义域为{}|0x x >，22log y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确； 对于D ：由101xx +>-可得()()110x x +-<，解得：11x -<<，所以1ln 1x y x+=-的定义域为{}|11x x -<<，由1010x x +>⎧⎨->⎩可得11x -<<，所以函数()()ln 1ln 1y x x =+--的定义域为{}|11x x -<<且()()1ln 1ln 1ln1xy x x x+=+--=-，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确， 故选：D.➢考点2 函数的定义域[典例]1．（2022·北京·模拟预测）函数()()=-的定义域是_______．lg2f x x【答案】1[,2)2- 【解析】 由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤<则函数()()lg 2f x x =-的定义域是1[,2)2- 故答案为：1[,2)2-2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[0,8]，则函数()g x =义域是（ ）A ．(1,32)B ．(1,2)C ．(1,32]D ．(1,2] 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =的定义域是[0,8]， 所以04802,,12101x x x x x ≤≤≤≤⎧⎧∴∴<≤⎨⎨->>⎩⎩.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（ ）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题设，若1t x =+，则(1,1)t ∈-，∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-，故其定义域为(0,1). 故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(12,0)-B ．(12,0]-C ．1(,)3+∞D ．1(,]3-∞ 【答案】B 【解析】∵()f x =的定义域为R ，∴只需分母不为0即可，即230ax ax +-≠恒成立， （1）当0a =时，30恒成立，满足题意，（2）当0a ≠时，24(3)0a a ∆=-⨯-<，解得120a -<<， 综上可得120a -<≤. 故选：B. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =13x -的定义域为（ ） A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3，＋∞)D ．(3，＋∞)【答案】C 【解析】要使函数y =13x -有意义，则 所以x x -≥-≠⎧⎨⎩23030，解得32x ≥且3x ≠，所以函数y =13x -的定义域为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪(3，＋∞). 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）函数y 22x ππ-≤≤)的定义域是（ ）A ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,26ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．,02π⎡-⎫⎪⎢⎣⎭D ．,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A由题意，得512sin 0log (12sin )022x x x ππ⎧⎪->⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，则1sin 212sin 122x x x ππ⎧<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，即sin 022x x ππ≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，∴[,0]2x π∈-.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)=-y f x 的定义域为[]1,3，则函数()3log y f x =的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．[]1,9C ．[]0,2D ．[]0,9 【答案】B 【解析】由[]1,3x ∈，得[]10,2x -∈， 所以[]3log 0,2x ∈，所以[]1,9x ∈． 故选：B ．4．（2022·全国·高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数()Jzzx x 定义域为[211,985]，则函数 ()shuangyiliu x (2018)(2021)Jzzx x Jzzx x =+的定义域为（ ）A ．211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211985,20212018⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．211985,20182018⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．211985,20212021⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由抽象函数的定义域可知，21120189852112021985x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得21198520182021x， 所以所求函数的定义域为211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -<<B ．12m -<≤C ．12m -≤≤D ．12m -≤< 【答案】C 【解析】由题意得：()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立.10m +=即1m =-时，()f x =10m +≠时，只需()()2101310m m m +>⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩， 解得：12m -<≤， 综上：1,2m ，故选：C .6．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【解析】解：由1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，所以0x ≤，所以函数的定义域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞7．（2022·全国·高三专题练习）函数y =的定义域是R ，则a 的取值范围是_________． 【答案】[)0,4【解析】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立． ①当0a =时，则10>恒成立，0a ∴=符合题意；②当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<，∴实数a 的取值范围为[)0,4． 故答案为：[)0,4.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则a的范围是________． 【答案】[1,5) 【解析】当1a =时，()1f x =，即定义域为R ；当1a ≠，要使()f x 的定义域为R ，则2()(1)(1)10g x a x a x =-+-+>在x ∈R 上恒成立，∴()()210{1410a a a ->∆=---<，解得15a <<， 综上，有15a ≤<， 故答案为：[1,5)➢考点3 函数解析式[典例]1.(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________________．(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．【答案】(1)f(x)＝x2－1(x≥1)(2)f(x)＝x2－x＋3(3)f(x)＝2x【解析】(1)方法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. 所以⎩⎨⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .2．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f (x )的解析式． （1）f (x )是一次函数，且满足f (f (x ))=4x －3；（2）已知f (x )满足2f (x )+f (1x)=3x ，求f (x )的函数解析式．（3）已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)． 【解】（1）因为f (x )是一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()2f f x k kx b b k x kb b =++=++，又因为f (f (x ))=4x －3，所以243k x kb b x ++=-，故243k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩或23k b =-⎧⎨=⎩，所以()21f x x =-或()23f x x =-+；（2）将1x 代入()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此()()123132fx f x x ff x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得()()120f x x x x=-≠. (3)令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y=()()21y y -+-+，所以f (y )＝y 2＋y ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()()2211x f x x x =≠-+B ．()()2211xf x x x =-≠-+ C ．()()211x f x x x =≠-+D ．()()211x f x x x =-≠-+ 【答案】A 【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+ ，所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 所以()()2211xf x x x =≠-+，故选：A. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ﹣1）＝x 2+2x ﹣3，则f （x ）＝（ ） A ．x 2+4x B ．x 2+4C ．x 2+4x ﹣6D ．x 2﹣4x ﹣1 【答案】A【解析】()()()22123141f x x x x x -=+-=-+-，所以()24f x x x =+.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且2()2()f x f x x x +-=-，则()f x =（ ）A ．223x x +B ．223x x +C ．2223x x+D ．23x x +【答案】D【解析】令x 为x -，则2()2()f x f x x x -+=+， 与2()2()f x f x x x +-=-联立可解得，2()3x f x x =+．故选：D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是一次函数，满足()()98f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =- C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 【答案】AD 设()f x kx b =+，由题意可知()()()298f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以298k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得32k b =⎧⎨=⎩或34k b =-⎧⎨=-⎩，所以()32f x x =+或()34f x x =--. 故选：AD.5．（2022·山东济南·二模）已知函数2()23f x x x =--+，则(1)f x +=______． 【答案】24x x -- 【解析】解：因为2()23f x x x =--+，所以()()22(+1)+12+143f x x x x x =--+-=-，(1)f x +=24x x --.故答案为：24x x --.6．（2022·全国·高三专题练习）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x =_________【答案】23x +或29x --. 【解析】因为()f x 为一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()()21f f x f kx b k kx b b k x b k =+=++=++⎡⎤⎣⎦， 因为()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，所以()2149k x b k x ++=+恒成立， 所以()2419k b k ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：23k b =⎧⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩，所以()23f x x =+或()29f x x =--， 故答案为：23x +或29x --.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数)25f x =+，则()f x 的解析式为_______【答案】()()212f x x x =+≥【解析】2t +=，则2t ≥，且()22x t =-， 所以()()()2224251f t t t t =-+-+=+，()2t ≥所以()()212f x x x =+≥，故答案为：()()212f x x x =+≥.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数f (x )对x ≠0的一切实数都有f (x )＋2f (2020x)＝3x ，则f (x )＝_________. 【答案】4040()f x x x=- 【解析】 因为()202023f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得()2020232020x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()()2020232020232020f x f x x x f f x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得4040()f x x x=-. 故答案为：4040()f x x x=-. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()323f x f x x --=，则()f x =___________.【答案】3x【解析】因为()()323f x f x x --=，所以()()323f x f x x --=-，同除以2得()()31322f x f x x --=-，两式相加可得()33322f x x =，即()3f x x =.故答案为：3x .10．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，求()f x ；（2）已知1()2(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x .【解】（1）∵f （x ）为二次函数，∴f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵f （0）＝c ＝2，∵f （x +1）﹣f （x ）＝x ﹣1，∴2ax +a +b ＝x ﹣1，∴a 12=，b 32=-， ∴f （x ）12=x 232-x +2． （2）∵()12f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①，∴f （1x ）+2f （x ）1x=，② ①-②×2得：﹣3f （x ）＝x 2x-， ∴2()(0)33xf x x x =-≠➢考点4 分段函数1．（2022·广东梅州·二模）设函数()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，则()()22log 6f f -+=（ ） A ．2B ．6C ．8D ．10 【答案】B 【解析】 解：因为()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，所以()()2log 61222log 83,log 623f f --====，所以()()22log 66f f -+=. 故选：B.2．（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()8f =（ ）A ．10B ．9C ．7D ．6【答案】C 【解析】因为()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()()()()()()()812913107f f f f f f f =====.故选：C.3．（2022·浙江省江山中学高三期中）已知[]1,1∈-a ，函数()()()22sin 2, 21,π⎧⎡⎤-≤⎪⎣⎦=⎨-++>⎪⎩x a x a f x x a x a x a 若()() 1=f f a ，则=a _______.【答案】1-或34【解析】()()()01f f a f ==,当01a ≤≤时，()()0sin 21π=-=f a ，得14a k =--，故34a =；当10a -≤<时，()201f a ==，故1a =-.故答案为：34a =或1a =-.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知0a >，且1a ≠，函数()()2log 21,0,0a xx x f x a x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()12f f -=，则=a ___________，()4f x ≤的解集为___________.【答案】∞⎛- ⎝⎦【解析】①由题可知，()()()()121log 212a f f f a a ---==+=，则2221a a -=+，即4220a a --=，解得22a =，故a =②当0x 时，())2214f x x=+，解得602x；当0x <时，()4x f x =恒成立.故不等式的解集为∞⎛- ⎝⎦.∞⎛- ⎝⎦. [举一反三]1．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）已知函数()()21,13,1xx f x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()9f =（ ） A ．2B ．9C ．65D ．513 【答案】A 【解析】()09(93)(6)(3)(0)212f f f f f =-====+=,故选：A2．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()()1,221,2xx f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则()2log 12f =（ ）A ．13B ．6-C ．16D ．3- 【答案】A 【解析】因为()2log 31,2∈，则()22log 122log 33,4=+∈，所以()()()()22log 31log 322211log 122log 3log 3223f f f -⎛⎫=+==== ⎪⎝⎭，故选：A.3．（2022·安徽安庆·二模）已知函数()()()lg ,10R 10,01axx x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩且()12f =，则()41log 310f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（ ） A．1-．1-．1．1【答案】A【解析】∵()1102a f ==，∴lg 2a =,由()()()lg ,10R 10,01ax x x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩，知()()lg ,102,01x x x f x x ⎧--≤<=⎨≤≤⎩. 于是()241log 3log log 32411log 3lg 2121211010f f ⎛⎫--=-=--=--=- ⎪⎝⎭故选:A4．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦___________. 【答案】-2【解析】因为()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()()22323log 32f f f ---===-⎡⎤⎣⎦ 故答案为：-25．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增， ()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<，又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立； ③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-； ()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-， ()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 6．（2022·浙江省临安中学模拟预测）设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则=a __________，1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】146 【解析】 若01a <<，则112a <+<，由()()1f a f a =+，得()211a a =+-，即24a a =， 解得：0a =（舍去）或14a =；若1a ≥，由()()1f a f a =+，得()()21211a a -=+-，该方程无解.综上可知，14a =，()()142416f f a =⎛⎫ =⎪-⎝=⎭ 故答案为：14； 67．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知函数，则()()1f f =___________；方程()1f x =的解集为___________． 【答案】 1 {1,e}【解析】()()()()11e e,1e lne 1f f f f =====，()1,1e 10x x f x x ≤=⇒=⇒=， ()1,1ln 1e x f x x x >=⇒=⇒=， {}0,e .x ∴∈故答案为：1；{}0,e .8．（2022·浙江·高三专题练习）已知()23log ,1,,1,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()(2)f f -=______；若()1f x <，则x 的取值范围是______.【答案】 3 ()1,2-【解析】因为()32(2)8f -=--=， ()()()328l g 8o 3f f f ∴-===，当1x <时，()31f x x =-<，得11x -<<，当1≥x 时，()2log 1f x x =<，得12x ≤<， 故x 的取值范围是()1,2-故答案为：3；()1,2-.9．（2022·浙江浙江·二模）设a ∈R ，函数33(0)()log (0)ax x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．则(9)f =________；若1273f f ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 2 [)3,∞-+【解析】3(9)log 92f ==， 311log 133f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由()31132733a f f f -⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a -≤，所以3a ≥- 故答案为：2；[)3,∞-+。

职高高三数学函数知识点数学函数是高中数学的重要内容之一，对于职高高三学生来说，掌握数学函数的知识点是非常关键的。

在本文中，我们将介绍职高高三数学函数的知识点，帮助学生们更好地理解和应用这些知识。

一、函数的定义和表示方法函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个变量之间的关系。

函数通常用符号f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数的定义可以简单地理解为一个规则，根据规则可以得到x 和f(x)之间的对应关系。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。

在确定函数的定义域和值域时，需要注意约束条件和排除非法值。

2. 单调性：函数的单调性描述了函数值的变化趋势，可以分为递增和递减两种情况。

通过导数或者函数的图像可以确定函数的单调性。

3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数的对称性，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

4. 周期性：周期函数具有周期性，即函数在一个周期内的取值重复出现。

三、常见的数学函数1. 线性函数：线性函数是最简单的函数之一，它的图像是一条直线。

线性函数的表达式为f(x)=kx+b，其中k称为斜率，b称为截距。

2. 幂函数：幂函数的表达式为f(x)=ax^m，其中a和m为常数。

幂函数的图像通常是一条曲线，形状取决于a和m的值。

3. 指数函数：指数函数的表达式为f(x)=a^x，其中a为常数。

指数函数的图像通常是一个递增（a>1）或递减（0<a<1）的曲线。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，其表达式为f(x)=loga(x)，其中a为常数，x为正实数。

对数函数的图像通常是一条递增的曲线。

四、函数的运算1. 函数的加减运算：两个函数可以进行加减运算，得到的函数称为和函数或差函数。

加法运算表示为(f+g)(x)=f(x)+g(x)，减法运算表示为(f-g)(x)=f(x)-g(x)。

2. 函数的乘法运算：两个函数可以进行乘法运算，得到的函数称为积函数。

高三数学新教材知识点归纳总结一、函数与方程1. 函数的基本概念函数是一个或多个自变量和因变量之间的对应关系，通常表示为y=f(x)。

函数的定义域、值域和图像为常见的函数性质。

2. 基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

学习基本初等函数的性质和图像，掌握其函数图像的平移、翻折、伸缩等变换规律。

3. 方程与不等式解方程和不等式的基本方法，包括二次方程、一次方程、分式方程等。

通过应用数学工具解决实际问题。

二、数列与数学归纳法1. 数列的概念与表示数列是按照一定规律排列的一组数字。

常见的数列有等差数列和等比数列。

2. 数列的通项与前n项和掌握求等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式。

3. 数学归纳法数学归纳法是证明数学命题的常用方法，通过证明基准情形成立和归纳假设成立，推导出待证情形成立。

三、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本概念与性质掌握正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义和基本性质，能够利用三角函数解决实际问题。

2. 特殊角与通角熟练掌握特殊角的计算和通角的概念，能够灵活运用它们解决问题。

3. 解三角形熟练掌握利用三角函数解三角形的基本思路和方法，包括解任意三角形和解直角三角形。

四、立体几何1. 空间直角坐标系与向量了解空间直角坐标系的定义和性质，熟悉坐标表示点、直线和平面的方法。

掌握向量的定义、加法和数量积的运算。

2. 空间几何体的表示能够根据给定条件，利用空间直角坐标系表示球、圆锥、椭球等几何体。

3. 空间几何体的性质与计算熟悉立体几何体的性质和计算方法，如计算体积、表面积等。

五、导数与微分应用1. 导数的概念与计算掌握导数的定义和基本性质，能够利用求导法则计算导数。

2. 函数的求导与应用了解函数的增减性、极值和曲线的凹凸性等，能够利用导数求解函数相关问题。

3. 微分与线性近似掌握微分的概念与计算方法，能够利用微分求解近似问题，如线性近似、最优化问题等。

六、概率与统计1. 随机事件与概率了解随机事件、样本空间和事件概率的基本概念，掌握概率的计算方法。

高中数学知识点总结——函数_高三数学知识点总结函数是数学中非常重要的一个概念，它是描述一种特定关系的数学工具，可以帮助我们理解和分析各种问题。

在高中数学中，函数是一个非常重要的知识点，下面我将对高中数学中关于函数的知识点进行总结和概括。

一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一一个元素上。

数学上用符号f(x)表示函数，其中x称为自变量，f(x)称为因变量。

函数通常表示为y=f(x)的形式。

二、函数的表示函数可以用图象、公式、文字描述等不同方式来表示。

1. 图象表示：函数的图象是一个平面上的曲线。

2. 公式表示：可以用代数式或方程来表示函数。

比如y=x^2就表示了一种函数关系。

3. 文字描述：有时我们也可以用文字描述来表示函数关系，比如“某数加上3的积”的函数可以表示为f(x) = x + 3。

三、函数的性质1. 定义域：函数的自变量的取值范围，也就是可以通过函数运算的自变量的集合。

2. 值域：函数的因变量的取值范围，也就是通过函数运算后得到的因变量的集合。

3. 奇偶性：函数的奇偶性是指当自变量为正负时，函数值的对称性，即f(-x) =f(x)(偶函数)或者f(-x) = -f(x)(奇函数)。

4. 单调性：函数的单调性是指在定义域上自变量增加时，因变量是增加还是减少。

5. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性。

四、常见的基本函数1. 幂函数：y=x^n (n为整数)2. 开方函数：y=√x3. 指数函数：y=a^x (a>0且a≠1, a为底数)4. 对数函数：y=log_a(x) (a>0且a≠1, a为底数)5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等五、初等函数的性质1. 幂函数的性质：幂函数y=x^n (n为整数)的图像关于y轴对称（n为偶数时）；若n>1，则y=x^n的图像单调递增，若n<1，则y=x^n的图像单调递减。

高三函数知识点道客巴巴高三函数知识点函数是数学中一种重要的概念，是描述变量之间关系的数学工具。

在高三数学学科中，函数是一个重要且复杂的知识点。

本文将介绍高三函数的相关知识点，帮助学生巩固和深入理解。

I. 函数的定义和表示方式函数的定义：函数是一个将每一个自变量对应唯一一个因变量的关系或规律。

通常用f(x)或y来表示函数。

函数的表示方式有多种形式，包括方程、表格、图像等。

其中，方程表示方式是最常见的形式，例如y = f(x)或y = ax^2 + bx + c。

II. 函数的性质和分类1. 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

- 定义域是自变量可能取的值的集合，要使函数有意义，自变量必须在定义域内。

- 值域是因变量可能取的值的集合，通过分析函数的表达式可以确定值域。

- 单调性描述了函数在定义域内的变化趋势，包括增函数和减函数。

- 奇偶性指函数关于y轴的对称性，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

- 周期性表示函数具有重复性，周期函数在一个周期内的函数值相同。

2. 函数的分类函数的分类根据函数的定义域和值域的不同进行划分，常见的函数包括代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

- 代数函数是含有有理数指数的整式函数，例如一次函数、二次函数等。

- 三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，其定义域为实数集合。

- 指数函数是以常数e为底的指数函数，例如自然指数函数。

- 对数函数是指数函数的逆运算，例如自然对数函数。

III. 基本函数的图像和性质1. 一次函数一次函数是函数最简单的形式，表达式为y = kx + b。

其图像为一条直线，具有斜率和截距的性质。

2. 二次函数二次函数是一种重要的函数形式，表达式为y = ax^2 + bx + c。

其图像为一个抛物线，具有顶点、对称轴和开口方向的性质。

3. 三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

什么叫高三数学函数知识点高三数学函数知识点数学函数是高中数学中的重要知识点，对于高中生来说，理解和掌握数学函数相关概念和性质尤为重要。

本文将从数学函数的定义、性质、图像等方面进行详细介绍。

一、数学函数的定义在高中数学中，函数是一种特殊的关系。

函数通常用f(x)表示，其中x称为自变量，f(x)则是因变量。

函数的定义可以简单描述为：对于集合A和集合B之间的一种关系，如果对于集合A中的每个元素a，都能够找到集合B中唯一的元素b和a相关联，则称这种关系是一个函数。

二、数学函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能的取值范围，而值域则是函数在定义域上可能取到的所有值的集合。

2. 单调性：函数的单调性可以分为增函数和减函数两种。

增函数是指在定义域内，随着自变量的增大，函数值也随之增大；减函数则相反。

3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴的对称性。

奇函数在关于原点对称时，函数值的正负与自变量的正负一致；偶函数则在关于y轴的对称时，函数值不受自变量正负的影响。

4. 周期性：周期函数是指存在一个正数T，使得对于函数中的任意x，有f(x+T)=f(x)。

常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。

三、基本数学函数1. 常数函数：f(x) = c，其中c为常数。

常数函数的图像为一条平行于x轴的直线。

2. 一次函数：f(x) = ax + b，其中a和b为常数且a ≠ 0。

一次函数的图像为一条斜率为a的直线。

3. 二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。

二次函数的图像为一条开口朝上或朝下的抛物线。

4. 幂函数：f(x) = x^n，其中n为整数，可以是正整数、负整数或零。

幂函数的图像形状取决于n的正负和奇偶性。

5. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为正实数且a ≠ 1。

指数函数的图像为一条逐渐递增（或递减）的曲线。

6. 对数函数：f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a ≠ 1。

函数及其表示【2013年高考会这样考】1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．【复习指导】掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f ：A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f .双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)解析 ∵3x ＋1＞1，∴f (x )＝log 2(3x ＋1)＞log 21＝0. 答案 A2．(2011·江西)若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析 由log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得－12＜x ＜0.答案 A3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x B ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f (u )＝1＋u1－u，g (v )＝ 1＋v1－vD ．f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2 答案 C4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )． A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.故选B. 答案 B5．函数y ＝f (x )的图象如图所示．那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]考向一 求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域： (1)f (x )＝|x －2|－1log 2x －1；(2)f (x )＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4. [审题视点] 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．解(1)要使函数f (x )有意义，必须且只须⎩⎨⎧|x －2|－1≥0，x －1>0，x －1≠1.解不等式组得x ≥3，因此函数f (x )的定义域为[3，＋∞)． (2)要使函数有意义，必须且只须⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎨⎧x >－1，x ＋4x －1<0，解得：－1<x <1.因此f (x )的定义域为(－1,1)．求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.考向二 求函数的解析式【例2】►(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[审题视点] (1)用代换法求解；(2)构造方程组求解． 解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．【训练2】 (1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．(2)已知f (x )＋2f (1x)＝2x ＋1，求f (x )．解 (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1 ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1 ∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12.因此f (x )＝12x 2＋12x .(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝2x ＋1，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝4＋x －2x 23x.考向三 分段函数【例3】►(2011·辽宁)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞) [审题视点] 对于分段函数应分段求解，最后再求其并集． 解析 f (x )≤2⇔⎩⎨⎧x ≤1，21－x≤2或⎩⎨⎧x ＞1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1或x ＞1，故选D.分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x ≤1和x ＞1时分别解得x 的范围，再求其并集．一、选择题1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45 C ．2 D ．93．定义x ⊗y ＝x 3－y ，则h ⊗(h ⊗h )＝( ) A ．－h B ．0 C ．h D ．h 34．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝( )A ．－13 B.13C ．－23 D.235．(2012·济南模拟)已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝( )A ．8B ．9C ．11D ．10二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ，x ≥22x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．答案：g (x )＝9－2x 三、解答题 8．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2； 由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ， 又因方程有唯一解，∴1－ba ＝0， 解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2x x ＋2. 9．设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3f (x －1)－f (x －2)2(x >0)，试写出y ＝g (x )的表达式，并画出其图象．解：当0<x <1时，x －1<0，x －2<0， ∴g (x )＝3－12＝1； 当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0， ∴g (x )＝6－12＝52； 当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0， ∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(0<x <1)，52，(1≤x <2)，2，(x ≥2).其图象如图学后反思：-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。

高三数学函数知识点大全函数是数学中一个重要的概念，它在高中数学中占据着重要地位。

在高三数学学习中，掌握函数的知识点是至关重要的。

本文将为您提供高三数学函数知识点的详细介绍，帮助您系统地学习和掌握这一内容。

一、函数的概念和性质函数是对应关系的一种特殊情况，它包括定义域、值域、图像等重要概念。

函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等。

1. 函数的定义函数是一个自变量和因变量之间的对应关系。

当自变量的取值在定义域内时，函数有且仅有一个因变量与之对应。

2. 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，而值域是因变量的取值范围。

3. 图像和对称性函数的图像是定义域中所有点的集合，它可以用平面直角坐标系表示。

函数可以具有奇偶对称性或轴对称性。

4. 单调性和极值点函数的单调性可以分为增函数和减函数，通过导数的正负性可以判断。

函数的极值点是函数图像上的最高点和最低点。

5. 周期性周期函数是指具有周期性的函数，可以通过函数图像的重复性进行判断。

常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。

二、常见的数学函数在高三数学中，我们接触到许多常见的数学函数，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

下面将详细介绍这些函数及其性质。

1. 线性函数线性函数是指函数的表达式为f(x) = kx + b的函数，其中k和b 为常数。

线性函数的图像是一条直线，具有单调性和不断增长或不断减少的特点。

2. 二次函数二次函数是指函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线，具有对称轴和最值点。

3. 指数函数指数函数是指函数的表达式为f(x) = a^x的函数，其中a为底数且a > 0且a ≠ 1。

指数函数的图像是以指数为自变量的曲线，具有递增或递减的特点。

4. 对数函数对数函数是指函数的表达式为f(x) = logₐx的函数，其中a为底数且a > 0且a ≠ 1。

高三数学函数的知识点函数是数学中一种重要的概念，它在高三数学中占据着很大的比重。

本文将介绍高三数学函数的知识点，帮助学生们加深对函数概念和相关内容的理解。

一、函数的定义和性质1.1 函数的定义：函数是一种对应关系，将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。

通常用符号表示为：y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。

1.2 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

函数的图像表示了自变量和因变量之间的关系。

1.3 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像关于y轴对称的性质。

如果函数满足f(-x)=-f(x)，则该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，则该函数是偶函数。

1.4 单调性：函数的单调性描述了函数图像的递增或递减特点。

如果对于定义域内的任意x1、x2，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则函数是递增的；当x1<x2时有f(x1)>f(x2)，则函数是递减的。

二、函数的基本类型2.1 常数函数：常数函数是指对任意的x值，函数的输出恒为一个常数。

例如，f(x)=3就是一个常数函数，其图像为一条水平线段。

2.2 一次函数：一次函数是指函数的表达式中只有x的一次幂，没有其他次数的幂。

例如，f(x)=2x+1就是一个一次函数，其图像为一条直线。

2.3 二次函数：二次函数是指函数的表达式中含有x的二次幂，并且没有其他次数的幂。

例如，f(x)=x^2+3就是一个二次函数，其图像为一个开口朝上的抛物线。

2.4 指数函数：指数函数是以常数为底数的x的幂函数。

例如，f(x)=2^x就是一个指数函数，其图像为递增的曲线。

2.5 对数函数：对数函数是指以常数为底数的对数函数。

例如，f(x)=log2(x)就是一个对数函数，其图像为递增而缓慢的曲线。

三、函数的运算和性质3.1 四则运算：函数之间可以进行加减乘除的四则运算。

例如，对于函数f(x)=2x和g(x)=x+1，可以进行f+g、f-g、f*g和f/g的运算。

高三函数基础知识点总结函数是高中数学中的重要概念，也是高三数学学习中的重点内容之一。

在高三学习阶段，函数的基础知识点掌握至关重要，下面将对高三函数基础知识点进行总结。

一、函数的定义与表示方法函数是一种关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的唯一元素上。

函数可以用各种方式表示，常用的表示方法有显式表示法、隐式表示法和参数表示法。

显式表示法是将函数定义为关于自变量的一个表达式，例如：$y=f(x)=2x+1$。

隐式表示法是将函数定义为一个方程，例如：$x^2+y^2=25$。

参数表示法是将函数定义为一个参数方程，例如：$\begin{cases}x=t\\ y=2t+1\end{cases}$。

二、函数的定义域与值域函数的定义域是指函数自变量的取值范围，是一个集合。

函数的值域是指函数因变量的所有可能取值构成的集合。

对于显式表示的函数，求解定义域时需要考虑自变量的取值限制，例如：$f(x)=\sqrt{x}$，则定义域为$x\geq 0$。

对于隐式表示的函数，求解定义域时需要根据方程的解析解得到定义域。

对于参数表示的函数，定义域由参数的取值范围确定。

值域可以通过函数的图像来确定，也可以通过解方程来求解。

三、函数的基本性质1. 奇偶性：若对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数；若对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数。

2. 单调性：若对于定义域内的任意$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数为增函数；若对于定义域内的任意$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时有$f(x_1)>f(x_2)$，则函数为减函数。

3. 零点：函数的零点是指函数取零值的自变量值，可以通过求解方程$f(x)=0$得到。

4. 最值：函数的最大值是指函数在定义域内取得的最大值，最小值是指函数在定义域内取得的最小值，可以通过求导数或者利用函数的性质来确定。

高中数学知识点总结——函数_高三数学知识点总结函数是高中数学中的重点内容，它是描述两个数集之间的关系的一种数学工具。

在学习函数时，我们需要掌握的知识点有：1. 函数的定义函数是从一个数集到另一个数集的映射。

通常情况下，我们可以把函数记作y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数值。

函数的定义域为所有可以作为自变量x的实数集，而值域则是函数所有可能的输出值。

2. 基本函数在数学中，有一些基本函数在解决问题时尤其有用。

高中数学中的基本函数主要包括：（1）常函数：y=c，其中c是常数。

（2）一次函数：y=kx+b，其中k和b为常数，k代表斜率，b代表截距。

（3）二次函数：y=ax²+bx+c，其中a,b,c为常数，a≠0。

（6）三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

函数具有一些重要的性质，包括：（1）奇偶性：若f(-x)=-f(x)则f(x)为奇函数；若f(-x)=f(x)则f(x)为偶函数。

（2）单调性：若函数值随着自变量的增加而增加，则该函数为增函数；若函数值随着自变量的减小而减小，则该函数为减函数。

（3）周期性：若存在常数T>0，使得对于任意的x值，有f(x+T)=f(x)，则f(x)具有周期性。

函数经过平移、伸缩、反转等变换可以得到新的函数，常用的变换有：（1）水平平移：y=f(x-a)，表示将函数f(x)左移a个单位。

（3）水平伸缩：y=f(kx)，其中k>0，k表示水平伸缩因子。

5. 应用题函数的应用广泛，特别是在数学、物理、工程等领域。

常见的函数应用题有：（1）求解函数的零点、最值、极值等；（2）研究函数的单调性、奇偶性、周期性等性质；（3）利用函数模型解决实际问题，如求解物理问题、经济问题、生物问题等。