2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中的一线三等角模型

一线三等角中点相似模型证明在初中数学学习中，一线三等角中点相似模型是一个重要的知识点。

它不仅是数学学科中的基础概念，也是日常生活中的实用知识型模型。

一线三等角中点相似模型包含了三个关键要素，即一线、三等角和中点相似。

其中，一线指在一个三角形中连接两个角的线段，三等角指三角形中三个角的度数相等，中点相似则是指两个图形中对应线段的长度相等。

理解这个模型需要我们首先了解一些基础概念。

在三角形中，连接一个角的两边的线段称为这个角的平分线，平分线的中点称为这个角的顶点角平分线中点。

而三角形中线则是一条连接两个角的中点的线段。

在一个三角形中，三个顶点连成一条线段即为三角形的一条边。

有了这些基础概念之后，我们可以开始理解一线三等角中点相似模型的证明过程。

在证明这个模型时，我们需要使用到的基本公式是：在一个三角形中，连接一个角的两边的长度的比等于另外一个角的两边的长度的比，那么这个角的平分线上任意一点到两边的距离之比等于这两边的长度之比。

首先，证明一线三等角中点相似模型的前提是三角形ABC和DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

我们需要构造中线DG与CB、EH与AC的交点K，LK为EF的平行线，并证明LK=AB/BG=AC/CH。

我们先考虑LK=AB/BG的证明。

因为LK∥EF，我们可以通过小学奥数中的对应角相等的定理，得出∠LBL～∠ABC，∠LKF～∠ACB。

由于LK是EF的平行线，所以LK=EF×BL/AC=AB/BG，得证。

接下来，我们需要证明LK=AC/CH。

由于AC是三角形ABC的中线，所以AC=2CH。

而LK=EF×BL/AC，因为∠LBL～∠ABC，所以BL=AC/AB。

代入LK中得LK=EF/AB×AC/CH=AC/CH，得证。

综上可知，LK=AB/BG=AC/CH，所以三角形ABC与DEF是相似的。

由于ABC与DEF相似，因此它们的相应线段比例相等。

因为CB与EF平行且有相同比例，在DG与EH交于K的情况下，由于ABC与DEF相似，所以三角形ABE与CDG也相似。

相似三角形重要模型-一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1 图2 图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，A B C为等边三角形，点D，E分别在边B C，A B上，60A D E∠=︒，若4B D D C=， 2.4D E=，则A D的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.2例2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，,C A ADE D A D⊥⊥，点B是线段A D上的一点，且C B B E⊥．已知8,6,4A B A C D E===．(1)证明：A B C D E B∽△△．(2)求线段B D的长．例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，A BA C＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：B DA E＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，A BA C＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，A BA E ＝A CA G＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．例4．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，A B A C=，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有B D AA E CB AC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设C P Qβ∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在A B C中，90A C B ∠=︒，A C B C=，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：A D C C E B△≌△．（1）探究问题：如果A CB C≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；A D CC E B△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线C D 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3ta n 2α=，请你求出直线C D 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形A B C D 中，3A B=，5B C=，点E为B C 边上—个动点，连接A E ，将线段A E 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形A B C D外部时，连接P C ，P D ．若D P C △为直角三角形时，请你探究并直接写出B E 的长．Rt ABD中，上一动点，连接折叠得H E F，延长②B E M H E M≅；③当M2B，则正确的有（九年级校考阶段练习）已知A B C是等边三角形，E F和B D F∠，将B C E沿B则A F=P C D△；九年级校考阶段练习）如图，在A B C中，12．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P，Q，（1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是______________，与N R Q∠相等的角是_____(2)问题探究直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF 和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果A C kC E=，试探究TE与TH=，C D kC H之间的数量关系，并证明你的结论.将．A B P沿着这样的点P，使得点问题解决（3）15．（2023春·四川广安·九年级校考阶段练习）如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．（1）求证：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，则点B的坐标为；若m=﹣3，则点B的坐标为；（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．16．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形A B C D E、不重，是B C边上一动点（与B C 合），连结A E G，是B C延长线上的点，过点E作A E的垂线交D C G∠的角平分线于点F，若F G B G⊥．（1）求证：A B E E G FE C=，求C E F△△；（2）若2∽△的△的面积；（3）请直接写出E C为何值时，C E F面积最大．的何位置时有B E H B A E∽？B C。

“一线三等角”相似模型“一线三等角”相似模型(一)情景再现问题1:如图,在等腰△ABC中,AB=AC ∠BAC=120°,点P为BC边上的点,过点P作∠MPN=30°,将∠MPN绕点P旋转,∠MPN的两边分别交AB、AC于点E、F时,问:△BPE与△PCF是否相似?证明你的结论。

问题2:如图,在等边△ABC中,边长为6,点D是BC上的动点,∠MDN=60°,当BD=1,NC=3时,求BM的长。

问题3:如图,在正方形ABCD中,边长为1,点E在线段BC 上,BE=,∠AEF=90°,边EF交DC于F,求EF的长。

（二）抽象模型1、模型定义所谓“一线三等角模型”，即两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角”型相似三角形.(通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般会存在相似三角形)2、基本图形：（1）点P在线段AB上（2）点P在线段AB延长线上三、载体(1)等腰或等边三角形底边上的“一线三等角”模型(2) 矩形或正方形中的“一线三等角”模型(“K”字型)（3）平面直角坐标系中的“一线三等角”模型（三）问题探究问题:如图16,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D、E分别在BC、AC上,连接AD、DE,使∠1=∠B 求线段CE的最大值变式1:(2017年无锡中考副卷第28题改编)如图1，在矩形ABCD 中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放于P处，三角板的两直角边分别与AB、BC边相交于点E、F，连接EF。

（1）如图2，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长（2）将三角板从图1中点的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，∠PEF的大小是否发生变化?变式2:（1）在平面直角坐标系中，如图，直线l1:y=-2x+4与x 轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB沿l1翻折，求O的对称点P 的坐标（2）直线l2过点P,且与直线l1的夹角是45°,求两直线l1、l2的交点的坐标。

第一部分、相似三角形判定的基本模型认识相似三角形模型分析（一）A字型、反A字型（斜A字型）C（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（平行）（三）母子型（蝴蝶型）（四）一线三等角型:（五）一线三直角型:（六）双垂型:、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到■ ■■■■■■.■8字型拓展共享性一线三等角的变形一线三直角的变形母子型相似三角形例1 :如图，梯形ABCD中，AD // BC,对角线AC、BD交于点O, BE// CD交CA延长线于E.求证：OC 2=OA OE .例2 :已知：如图，△ ABC中，点E在中线AD 上, ■ DEB= ■ ABC .求证：(1) DB2=DE DA ; (2) . DCE=/DAC .求证：BE2= EF EG .相关练习:21、如图，已知AD ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线•求证：FD -FB FC .第二部分相似三角形典型例题讲解例3:已知：如图，等腰△ABC 中，AB = AC, AD丄BC 于D , CG// AB,BG分别交AD、AC于E、F .AD2、已知：AD是Rt △ ABC中∠ A的平分线，∠ C=90°, EF是AD的垂直平分线交AD于M EF、BC的延长线交于一点M求证：⑴△ AME^△ NMD; (2)ND 2=NC∙ NB3、已知：如图，在△ ABC中，∠ ACB=90 , CDL AB于D, E是AC上一点，CF⊥ BE于F。

求证：EB∙ DF=AE∙ DB44. 在MBC中，AB=AC高AD与BE交于H, EF丄BC ,垂足为F,延长AD到G使DG=EF M是AH的中点。

5. (本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)已知：如图，在Rt △ ABC中，∠ 0=90°, BG=2, AG=4, P是斜边AB上的一个动点, PDL AB 交边AC 于点(点D与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且∠ EP[=∠ A.设A P两点的距离为x,A BEP的面积为y.(1)求证：AE=2Pξ(2)求y关于X的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当厶BEP与厶ABC相似时，求△ BEP的面积.DE=6 2 ,求：点B 到直线AC 的距离。

专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，2AB AC ==，分别求出线段BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFCS △． 【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆= 【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒， 即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出225AC AE CE =+=，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF=，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△2sin 212AD BD AB DAB ==⨯∠=⨯=，2sin 212AE CE AC EAC ==⨯∠=⨯=，△2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：225AC AE CE =+=，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为()1,3，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．【答案】①△BDF ；②△CFD ；③3；（2）(31)-，（3）2cm【分析】①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED △△BDF ；②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE △△CFD ；③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE △△BCF ，由全等三角形的性质即可求得EF 的长；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，根据正方形的性质及和角关系，可得△COE △△OAD ，从而可求得OE 、CE 的长，进而得到点C 的坐标；（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明△BCE △△CAD ，由全等三角形的性质即可求得BE 的长．【详解】①△△ABC 是等腰直角三角形，△C =90゜△△A =△B =45゜△△BDF +△BFD =180゜−△B =135゜△△EDF =45゜△△ADE +△BDF =180゜−△EDF =135゜△△ADE =△BFD在△AED 和△BDF 中A B ADE BFD AEBD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AED △△BDF (AAS ) 答案为：△BDF ； ②△△ABC 是等边三角形△△B =△C =60゜△△BDE +△BED =180゜−△B =120゜△△EDF =60゜△△BDE +△CDF =180゜−△EDF =120゜△△BED =△CDF在△BDE 和△CFD 中B C BED CDF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BDE △△CFD (AAS )故答案为：△CFD ； ③△四边形ABCD 是正方形△△ABC =90゜，AB =BC△△ABE +△CBF =180゜−△ABC =90゜△AE △l ，CF △l △△AEB =△CFB =90゜△△ABE +△EAB =90゜△△EAB =△CBF在△ABE 和△BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABE △△BCF (AAS ) △AE =BF =1，BE =CF =2△EF =BE +BF =2+1=3 故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示△四边形OABC 是正方形△△AOC =90゜，AO =OC△△COE +△AOD =180゜−△ACO =90゜△AD △x 轴，CE △x 轴△△CEO =△ADO =90゜△△ECO +△COE =90゜△△ECO =△AOD在△COE 和△OAD 中CEO ADO ECO AOD OC AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△COE △△OAD (AAS )△CE =OD ，OE =AD △(1,3)A △OD =1，3AD =△CE =1，3OE =△点C 在第二象限△点C 的坐标为(31)-，故答案为：(31)-，； （3）△△ACB =90゜△△BCE +△ACD =90゜△BE △CE ，AD △CE △△CEB =△ADC =90゜△△BCE +△CBE =90゜ △△CBE =△ACD在△BCE 和△CAD 中CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BCE △△CAD (AAS ) △BE =CD ，CE =AD =6cm △BE =CD =CE －DE =6－4=2(cm)【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ； ②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝ ，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．【答案】(1)2，45° (2)成立，理由见解析(3)N 点运动的路径长为6，CN 的最小值为3【分析】（1）证明△AMN 是等腰直角三角形，可得结论．（2）结论不变．连接AM ，AN ，证明△BAD △△MAN ，可得结论．（3）利用三角形中位线定理，垂线段最短解决问题即可．(1)解：如图1中，当点D 是BC 的中点时，△AB =AC ，△AD △BC ，AD 平分△BAC ，△△CAD =△ADE =45°，△AC △DE ，△AC 平分DE ，△点N 落在AC 上，△BM =AM =2MN ，△NMC =45°，△BD MN=2，故答案为：2，45°． (2)解：如图2中，连接AM ，AN ．△AB =AC ，△BAC =90°，BM =CM ，△AM △MC ，AM =BM =CM ，△AB =2AM ，同法可证AD =2AN ，△△BAM =△DAN =45°，△△BAD =△MAN ，△AB AM =AD AN ，△△BAD △△MAN ，△BD MN =AB AM=2，△ABD =△AMN =45°．(3)解：如图3中，当D 在线段BC 上，从B 运动到C 时，由（2）问可知，△AMN =45°，所以点N 的运动路径是图3中的线段MN ，MN =12BE =6．当CN △MN 时，CN 的值最小，最小值=12AC =3．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，22AB =，45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5CD =【分析】（1）由△DPC =△A =B =90°，可得△ADP ＝△BPC ，即可证到△ADP ∽△BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由△DPC ＝△A ＝△B ＝α，可得△ADP =△BPC ，即可证到△ADP∽△BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD ∽△DFE ，求出DF =4，再证△EFC ∽△DEC ，可求FC ＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，△△DPC =△A =△B =90°，△△ADP ＋△APD =90°，△BPC ＋△APD = 90°，△△ADP = △BPC ，△△ADP ∽△BPC ，AD AP BP BC∴=，△AD ⋅BC = AP ⋅BP ， （2）结论仍然成立，理由如下，BPD DPC BPC ∠=∠+∠，又BPD A ADP ∠=∠+∠，DPC BPC A ADP ∴∠+∠=∠+∠，DPC A ∠=∠，设DPC A α∠=∠=，BPC ADP ∴∠=∠，ADP BPC ∴∽△△，AD AP BP BC ∴=，△AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（3）45EFD ∠=︒，45B ADE ∴∠=∠=︒，BAD EDF ∴∠=∠，ABD DFE ∴∽，AB AD DF DE∴=，ADE 是等腰直角三角形，2DE AD ∴=，22AB =，4DF ∴=，45,45EFD ADE ∠=︒∠=︒，135EFC DEC ∴∠=∠=︒，EFC DEC ∴∽，FC EC EC CD ∴=， 5EC =,4CD DF FC FC =+=+，()245EC FC CD FC FC ∴=⋅=⋅+=，1FC ∴=，5CD ∴=． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②35DE =+或35DE =-【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342xx =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒．△EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>， 当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，225AM AB BM =+=．△AGGM+的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，△CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AG MN GM=， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =． （求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．△MHG MBA ∽△△．△GM GH MH AM AB MB ==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =． 由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC． 设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得35y =+或35-． △0356<+<，0356<-<，△35DE =+或35DE =-．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT=，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =．（1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒，△MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC 和CEK △中，BAC KCE B EKCAC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CEK ≌△△，△EK BC =， △四边形CDGH 是正方形，△CD CH =，90DCH ∠=︒△HL BC ⊥，△90B CLH ∠=∠=︒，△90DCB LCK LCK CHL ∠+∠=∠+∠=︒，△DCB CHL ∠=∠，在DCB 和CHL △中，B CLH BCD CHL CD CH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△DCB CHL ≌△△，△BC HL =，EK LH =， （3）解：过E 作EM BC ⊥与M ，过H 作HN BC ⊥与N ，△四边形ACEF 是矩形，△90ACE ∠=︒，△90BAC ACB ACB ECM ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECM ∠=∠，△ACB ECM ∽△△，△BC AC k EM CE==，△BC kEM =， 同理：BCD NHC ∽△△，△BC CD k HN CH==，△BC kHN =，△EM HN =， 在NHT △和EMT △中，HNT EMT NTH MTE HN EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△NHT EMT ≌△△，△ET HT =． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，矩形的性质，余角的性质，（3）证明ACB ECM ∽△△，BCD NHC ∽△△是解题的关键．3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC △△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC △△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+ 【分析】（1）由同角的余角相等可得△BCE =△DAC ，且△ADC =△BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON △OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME △x 轴NF △x 轴，由（1）的结论可得： △NFO △△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO== ，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，△△ACB ＝90°，△△ACD +△BCE ＝90°，又△△ADC ＝90°，△△ACD +△DAC ＝90°，△△BCE ＝△DAC ，且△ADC ＝△BEC ＝90°，△△ADC △△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON △OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME △x 轴，NF △x 轴，由（1）可得：△NFO △△OEM ，△NF OF NO OE ME MO==，△点M （2，1），△OE ＝2，ME ＝1， △tanα＝ON OM ＝32，△3212NF OF ==，△NF ＝3，OF ＝32 ，△点N （32-，3）， △设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，△12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩△47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩△直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157； (3)解：当△CDP ＝90°时，如图，过点P 作PH △BC ，交BC 延长线于点H ，△△ADC +△CDP ＝180°，△点A ，点D ，点P 三点共线，△△BAP ＝△B ＝△H ＝90°，△四边形ABHP 是矩形，△AB ＝PH ＝4，△将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，△AE ＝EP ，△AEP ＝90°，△△AEB +△PEH ＝90°，且△BAE +△AEB ＝90°，△△BAE ＝△PEH ，且△B ＝△H ＝90°，AE ＝EP ，△△ABE △△EHP （AAS ），△BE ＝PH ＝4，当△CPD ＝90°时，如图，过点P 作PH △BC ，交BC 延长线于点H ，延长HP 交AD 的延长线于N ，则四边形CDNH 是矩形，△CD ＝NH ＝4，DN ＝CH ，设BE ＝x ，则EC ＝5-x ，△将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，△AE ＝EP ，△AEP ＝90°，△△AEB +△PEH ＝90°，且△BAE +△AEB ＝90°，△△BAE ＝△PEH ，且△B ＝△EHP ＝90°，AE ＝EP ，△△ABE △△EHP （AAS ），△PH ＝BE ＝x ，AB ＝EH ＝4，△PN ＝4-x ，CH ＝4-（5-x ）＝x -1＝DN ，△△DPC ＝90°，△△DPN +△CPH ＝90°，且△CPH +△PCH ＝90°，△△PCH ＝△DPN ，且△N ＝△CHP ＝90°，△△CPH △△PDN ，△DN NP PH CH =，△1x x -=41x x --△x ＝372± △点P 在矩形ABCD 外部，△x ＝372+，△BE ＝372+， 综上所述：当BE 的长为4或372+时，△DPC 为直角三角形． 【点睛】本题是考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（203，0）【分析】（1）先判断出△ACB=△ADC，再判断出△CAD=△BCE，进而判断出△ACD△△CBE，即可得出结论；（2）过点M作MF△y轴，垂足为F，过点N作NG△MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方程组求解，即可得出结论；（3）过点Q作QS△PQ，交PR于S，过点S 作SH△x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论．【详解】（1）证明：△△ACB＝90°，AD△l，△△ACB＝△ADC．△△ACE＝△ADC+△CAD，△ACE＝△ACB+△BCE，△△CAD＝△BCE，△△ADC＝△CEB＝90°，AC＝BC．△△ACD△△CBE，△CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF△y轴，垂足为F，过点N作NG△MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且△OMN＝90°，△由（1）得△OFM△△MGN，△MF＝NG，OF＝MG，设M（m，n），△MF＝m，OF＝n，△MG＝n，NG＝m，△点N的坐标为（4，2）△42m n n m +=⎧⎨-=⎩解得13m n =⎧⎨=⎩△点M 的坐标为（1，3）； （3）如图3，过点Q 作QS △PQ ，交PR 于S ，过点S 作SH △x 轴于H ，对于直线y ＝﹣4x +4，由x ＝0得y ＝4，△P （0，4），△OP ＝4，由y ＝0得x ＝1，△Q （1，0），OQ ＝1，△△QPR ＝45°，△△PSQ ＝45°＝△QPS ．△PQ ＝SQ ．△由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP ． △OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝4+1＝5，SH ＝OQ ＝1．△S （5，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则451b k b =⎧⎨+=⎩，解得435b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩．△直线PR 为y ＝35x +4．由y ＝0得，x ＝203，△R （203，0）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，△ACB =90°，CB =CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD △ED 于D ，过B 作BE △ED 于E ．求证：△BEC △△CDA ；（2）模型应用：①已知直线AB 与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，sin△ABO =35，OB =4，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y =2x -5上的一点，若△APD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）见解析；（2）①137y x =-+；②D （3，1）或1923,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】（1）解：由题意可得， 90ACB ADC BEC ∠∠∠===︒ ，△90EBC BCE BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒ ，△EBC ACD ∠=∠ ，在BEC △和CDA 中EBC ACD E D BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△BEC CDAAAS ∆∆≌（） ， （2）解：①如图，过点C 作 CD x ⊥ 轴于点D ，在Rt △ABO 中 sin△ABO 35=，OB =4， △设AO =3m ，AB =5m ，△OB =4m =4，△m =1，△AO =3，同（1）可证得CDB BOA ∆∆≌，△4CD BO == ，3BD AO ==，△437OD =+=，△74C -（，），△03A （，），设直线AC 解析式为 3y kx =+ ，把C 点坐标代入可得734k -+=，解得 17k =- ， △直线AC 解析式为137y x =-+； ②设D 坐标为（x ，2x -5）,当D 在AB 的下方时，过D 作DE △y 轴于E ，交BC 于F ,同（1）可证得△ADE △△DPF ，△DF =AE =6-（2x -5）=11-2x ，DE =x,△11-2x +x =8,△x =3，△D （3，1），当D 在AB 的上方时，如图，过D 作DE △y 轴于E ，交BC 的延长线于F , 同（1）可证得ADE DPF △△≌，△DF =AE =（2x -5）-6=2x -11，DE =x ，△2x -11+x =8，△193x =，△1923,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上述D （3，1）或1923,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法一次函数的解析式、正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的判定和性质及方程思想，作辅助线构造模型是解本题的关键． 3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =， △直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠， 在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△ △CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠， 在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△ △CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ； （2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积， △2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别是D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α，补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝ 180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在。

一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇A同侧锐角直角钝角P异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1902BOC BAC ∠=︒+∠这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。

一线三等角相似三角形判定的基本模型A字型X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型AD B C E一线三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例△1】如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°A（△1）求证：BDE∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BEE FB D C【例△2】如图，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，求证：△BDE∽△DFEAFEB D C【例△3】如图，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM 交AC于点M，使∠APM=∠B；（△1）求证：ABP∽△PCM；A（2）设BP=x，CM=y．求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．（△3）当APM为等腰三角形时，求PB的长．MB P C【例4】（1）在∆ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线C B、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC.A①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；BQP C（2）正方形ABCD的边长为5（如图12），点P、Q分别在直线C B、DC上．．（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90︒.当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.AB C备用图A DB C图12点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型【例1】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．求证：DE BD CE=+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC=，D，A，E三点都在直线l上，并且有BDA AEC BACα∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE=+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若7AEGS=△，则AEIS=△______．【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从点B向点C运动时，∠BDA 逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【例3】在正方形ABCD 中，点E 在射线CB 上（不与点B ，C 重合），连接DB ，DE ，过点E 作EF DE ⊥，并截取EF DE =（点D ，F 在BC 同侧），连接BF ．（1）如图1，点E 在BC 边上．①依题意补全图1；②用等式表示线段BD ，BE ，BF 之间的数量关系，并证明；（2）如图2，点E 在CB 边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段BD ，BE ，BF 之间的数量关系．【例4】（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；（2）模型应用：△ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为AB 边上一点，F 为射线AC 上一点，将△AEF 沿EF 翻折，使A 点落在射线CB 上的点D 处，且BD ＝2．①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF 的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求△BDE 与△CFD 的周长之比．【例5】．如图，已知等边△ABC 的边长为6，点D 是边BC 上的一个动点，折叠△ABC ，使得点A 恰好与边BC 上的点D 重合，折痕为EF （点E 、F 分别在边AB 、AC 上）．（l ）当AE ：AF ＝5：4时，求BD 的长；（2）当ED ⊥BC 时，求EB 的值；（3）当以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似时，求BE的长．【例6】在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠P AC=2√55，求tan C的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC=35，ADAC=25，直接写出tan∠CEB的值．1．如图1，AB＝12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝8．点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动．它们的运动时间为t（s）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝2时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图2，将图1中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为每秒x 个单位，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x ，t 的值；若不存在，请说明理由．2．如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝120°，AB ＝AC =√3．现将△ABC 和△DEF 按如图所示的方式叠放在一起，△ABC 保持不动，△DEF 运动，且满足：点E 在边BC 上运动（不与点B ，C 重合），且边DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于点M ．（1）求证：∠BAE ＝∠MEC ；（2）当E 在BC 中点时，请求出ME ：MF 的值；（3）在△DEF 的运动过程中，△AEM 能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的BE 的长；若不能，则请说明理由．3．如图，在△ACB 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动（点E 不与点B ，C 重合），满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．（1）求证：△BDE ∽△CEF ；（2）当点E 移动到BC 的中点时，且BD ＝3，CF ＝2，则DE EF 的值为 √62．4．在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰ABC 纸片中，5CA CB ==，120ACB ∠=︒，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒，30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段BA 上滑动（点P 不与A ，B 重合），三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当100BPC ∠=︒时，α=______°；（2）当AP 等于何值时，APD BCP ≌△△？请说明理由； （3）在点P 的滑动过程中，存在PCD 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角α的大小；若不存在，请说明理由．5．已知直线l 1：y ＝﹣x +b 与x 轴交于点A ，直线l 2：y ＝43x ﹣163与x 轴交于点B ，直线l 1、l 2交于点C ，且C 点的横坐标为1．（1）求直线l 1的解析式和点A 的坐标．（2）直线l 1与y 轴交于点D ，将l 1向上平移9个单位得l 3，l 3与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点P 为l 3上一动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，求△ABP 的周长和点P 的坐标． （3）将l 1绕点C 逆时针旋转，使旋转后的直线l 4过点G （﹣2，0），过点C 作l 5平行于x 轴，点M 、N 分别为直线l 4、l 5上两个动点，是否存在点M 、点N ，使△BMN 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，等腰直角△ABC 中，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B 坐标。

初中数学几何模型（五）一线三等角模型一线三等角模型：指有三个相等角的顶点在同一直线上构成的相似或全等（相等角所对的边相等）图形，相等的角可以是锐角，也可以是直角或钝角。

（一）全等1、相等的三个角和全等三角形在直线同侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD≌△BEC。

证明：∵∠BCD=∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。

2、相等的三个角和全等三角形在直线异侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD ≌△BEC。

证明：∵∠2=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠2=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠2=∠1，∴∠DAC=∠CBE，∵CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。

一线三等角结论1：当等角所对边相等时，则两个三角形全等。

（二）相似1、相等的三个角和相似三角形在直线同侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。

证明：∵∠BCD+∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴△ACD∽△BEC。

2、相等的三个角和相似三角形在直线异侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。

证明：∵∠1=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE，∴△ACD∽△BEC。

一线三等角结论2：一线三等角两个三角形相似。

（三）一线三等角变式：中点型如图，点C在相等AB上，且AC=BC，∠1=∠2=∠3。

求证：△ACD∽△BEC∽△CED证明：∵∠1=∠2=∠3，∴△ACD ∽△BEC ，∴AD BC =CD CE ， ∵AC=BC ，∴AD AC =CD CE ，∵∠1=∠3，∴△ACD ∽△CED ，∴△ACD ∽△BEC ∽△CED ，∴∠4=∠5=∠8，∠9=∠6=∠7。

重难点专项突破：相似三角形中的“一线三等角”模型【知识梳理】一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”【考点剖析】例1.如图，直角梯形ABCD 中，AB // CD ，90ABC ∠=︒，点E 在边BC 上，且34AB BE EC CD ==， AD = 10，求AED ∆的面积．【答案】24．【解析】90ABC ∠=，//AB CD ， ∴90DCB ABC ∠=∠=．又34AB BE EC CD ==， ABE ECD ∴∆∆∽．∴AEB EDC ∠=∠． ∴34AE AB ED EC ==．90EDC DEC ∠+∠=，∴90AEB DEC ∠+∠=． ∴90AED ∠=．在Rt AED ∆中，10AD =，68AE ED ∴==，． 24AED S ∆∴=．【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．例2.已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE ＝60°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）如果AB ＝3，EC ＝，求DC 的长．【分析】（1）△ABC 是等边三角形，得到∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，推出∠BAD ＝∠CDE ，得到△ABD∽△A B C DEDCE ；（2）由△ABD ∽△DCE ，得到＝，然后代入数值求得结果．【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，∵∠B+∠BAD ＝∠ADE+∠CDE ，∠B ＝∠ADE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CDE∴△ABD ∽△DCE ；（2）解：由（1）证得△ABD ∽△DCE ，∴＝，设CD ＝x ，则BD ＝3﹣x ，∴＝，∴x ＝1或x ＝2，∴DC ＝1或DC ＝2．【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用． 例3.已知，在等腰ABC ∆中，AB = AC = 10，以BC 的中点D 为顶点作EDF B ∠=∠， 分别交AB 、AC 于点E 、F ，AE = 6，AF = 4，求底边BC 的长．【答案】46．【解析】EDC B BED ∠=∠+∠，而EDC EDF FDC ∠=∠+∠，∴B BED EDF FDC ∠+∠=∠+∠． 又EDF B ∠=∠，∴BED FDC ∠=∠．AB C D EFAB AC=，∴B C∠=∠．EDB DCF∴∆∆∽．BE BDDC CF∴=．106104BDDC−∴=−，24DC BD∴=．又12CD DB BC==，BC∴=【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．例4.已知：如图，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．（1）当AP = AD时，求线段PC的长；（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．满分解答：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD // BC，∴∠ABC =∠AEC =∠PDC = 90°，CE = AB = 3．∵AD // BC，∴∠A +∠ABC = 180°．即得∠A = 90°．又∵∠ADC =∠DCE +∠DEC，∠ADC =∠ADP +∠PDC，∴∠ADP =∠DCE．又由∠A =∠DEC = 90°，得△APD∽△DCE．∴AD APCE DE=．于是，由AP = AD = 2，得DE = CE = 3．…………………………（2分）在Rt△APD和Rt△DCE中，得PD=，CD=1分）AB CDPAB CD（备用图）于是，在Rt △PDC 中，得 PC = （1分）（2）在Rt △APD 中，由 AD = 2，AP = x ，得 PD 1分）∵ △APD ∽△DCE ，∴AD PD CE CD =．∴ 32CD PD ==1分）在Rt △PCD 中，22113332224PCD S PD CD x ∆=⋅⋅=⨯=+．∴ 所求函数解析式为2334y x =+．…………………………………（2分） 函数的定义域为 0 < x ≤ 3．…………………………………………（1分）（3）当△APD ∽△DPC 时，即得 △APD ∽△DPC ∽△DCE ．…………（1分）根据题意，当△APD ∽△DPC 时，有下列两种情况：（ⅰ）当点P 与点B 不重合时，可知 ∠APD =∠DPC ．由 △APD ∽△DCE ，得 AP PD DE DC =．即得AP DE PD CD =． 由 △APD ∽△DPC ，得AP AD PD DC =． ∴AD DE CD CD =．即得 DE = AD = 2． ∴ AE = 4．易证得四边形ABCE 是矩形，∴ BC = AE = 4．…………………（2分）（ⅱ）当点P 与点B 重合时，可知 ∠ABD =∠DBC ．在Rt △ABD 中，由 AD = 2，AB = 3，得 BD =．由 △ABD ∽△DBC ，得AD BD BD BC =．即得 =． 解得 132BC =．………………………………………………………（2分）∴ △APD ∽△DPC 时，线段BC 的长分别为4或132．方法总结本题重点在于：过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．(构造一线三角，出现相似三角形，进行求解) 例5.在梯形ABCD 中,AD ∥BC ，︒=∠===90,2,1A BC AB AD .（如图1）(1)试求C ∠的度数；(2)若E 、F 分别为边AD 、CD 上的两个动点(不与端点A 、D 、C 重合),且始终保持︒=∠45EBF ,BD 与EF交于点P .（如图2）①求证:BDE ∆∽BCF ∆；②试判断BEF ∆的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；③设y DP x AE ==,,试求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.答案：（1）作BC DH ⊥，垂足为H ，在四边形ABHD 中，AD ∥BC ，︒=∠==90,1A AB AD ，则四边形ABHD 为正方形又在CDH ∆中，1,1,90=−====∠︒BH BC CH AB DH DHC ， ∴︒︒=∠−=∠452180DHC C .（2）①∵四边形ABHD 为正方形，∴︒=∠45CBD ,︒=∠45ADB ，又∵︒=∠45EBF ，∴CBF DBE ∠=∠又∵︒=∠=∠45C BDE ,∴BDE ∆∽BCF ∆.②BEF ∆是等腰直角三角形，∵BDE ∆∽BCF ∆， ∴CB FB BD BE =,又∵︒=∠=∠45DBC EBF ,∴EBF ∆∽DBC ∆，又在DBC ∆中，︒=∠=∠45C DBC ,为等腰直角三角形，∴BEF ∆是等腰直角三角形. ③x x x x x x y +−=+−⨯=1221222，（0<x <1）.方法总结 第三问方法提示：过点P 作AD 的垂线于点H ，构造一线三直角相似，进行求解，很简单。

」、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反 A 字型（斜A 字型）（二） 8字型、反8字型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（六）双垂型: A（平行）（不平行）△B（平行） （三）母子型（蝴蝶型）相似三角形判定的变化模型一线三直角的2AB=AC ADL BC 于 D, CG// AB BG 分别交 AD AC 于 E 、F .求证：BE=EF? EG2 .如图，在△ ABC 中，AB=AC=10 BC=16点D 是边BC 上（不与 B, C 重合）一动点，/ ADE=Z B=a, DE 交 AC 于点E .下列结论：①AD 2=AE? A B ② 3.6 W AE V 10;③当 AD=2 i 时，△ ABD^A DCE ④厶DCE 为直角三角形时， BD 为8或12.5 . 其中正确的结论是 _____________ .（把你认为正确结论的序号都填上）3.已知：如图，△ ABC 中，点 E 在中线 AD 上，/ DEB=/ ABC 求证：(1) DB=DE? D A(2 )Z DCE=/ DACAD// BC,对角线 AG BD 交于点O, BE// CD 交CA 延长线于 E.求证:OC=OA?OE6.已知：如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, BC=2 AC=4 P 是斜边 AB 上的一个动点， PD 丄AB 交边 AC 于点 D (点D 与点A C 都不重合)，E 是射线DC 上一点，且/ EPD=/ A.设A P 两点的距离为 x ,A BEP 的面积为 (1)求证：AE=2PE(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域;8.如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 D B C E 在同一条直线上，且/ DAE=120 (1) 图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；9.(已知：如图，在 Rt △ ABC 中，AB=AC / DAE=45 .求证:BC=2DE10.如图，在等边厶 ABC 中，边长为 6, D 是BC 边上的动点，/ EDF=60 (1) 求证：△ BD 0A CFD②若BP=x CQ=y 求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 正方形ABCD 勺边长为5 (如图)，点P 、Q 分别在直线CB DC 上 (点P 不与点C 点B 重合)，且保持 / APQ=90度.当CQ=1时，写出线段BP 的长(不需要计算过程，请直接写出结果)13 .已知梯形 ABCD 中, AD// BC,且 AD< BC, AD=5, AB=DC=2 (1) 如图，P 为AD 上的一点，满足/ BPC=ZA ,求AP 的长；(2) 如果点P 在AD 边上移动(点 P 与点A D 不重合)，且满足/ BPE=Z A, PE 交直线BC 于点E ,同时交直 线DC 于点Q.①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设 AP=x CQ=y 求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；求BE 的长.11. (1)在厶ABC 中，AB=AC=5 BC=8点P 、Q 分别在射线 CB AC 上(点P 不与点 C 点B 重合)，且保持 / APQ 2 ABC14.如图，在梯形ABCD中, AD// BC, AB=CD=BC=,6 AD=3.点M为边BC的中点，以M为顶点作/ EMF M B, 射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,连接EF.(1)求证：△ ME®A BEM(2)若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；(3 )若EF丄CD求BE的长.15 .已知在梯形ABCD中, AD// BC AD< BC 且BC=6 AB=DC=4 点E 是AB 的中点.(1) 如图，P为BC上的一点，且BP=2.求证：△ BEP^A CPD(2) 如果点P在BC边上移动(点P与点B C不重合)，且满足/ EPF=Z C, PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x, DF=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；16.如图所示，已知边长为3的等边△ ABC点F在边BC上, CF=1,点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边厶EFG直线EG FG交直线AC于点M, N,(1)写出图中与△ BEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相似；(3)设BE=x , MN=y求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(4)若AE=1，试求△ GMN勺面积.丄CP 交直线AB 于点E ,设PD=x AE=y,(1)写出y 与x 的函数解析式，并指出自变量的取值范围; (2)如果△ PCD 的面积是△ AEP 面积的4倍，求CE 的长;(3) 是否存在点 卩，使厶APE 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上？证明你的结论.18. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, AB=5,工匸-=，点D 是BC 的中点，点 E 是AB 边上的动点, 交射线AC 于点F .(1 )求AC 和BC 的长；(2) 当 EF// BC 时，求 BE 的长；(3) 连接EF ,当厶DEF 和△ ABC 相似时，求 BE 的长.(备用图)19. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, AC=BC D 是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点(与点 重合)，DF 丄DE DF 与射线BC 相交于点F .(1) 如图2,如果点 D 是边AB 的中点，求证：DE=DF (2) 如果 AD: DB=m 求DE DF 的值；17.如图所示，已知矩形 ABCD 中, CD=2 AD=3,点P 是AD 上的一个动点(与 A 、D 不重合)，过点 P 作PEDF 丄DEA 、C 不(3)如果AC=BC=6 AD DB=1: 2,设AE=x BF=y,①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)如果以线段BC 为直径的圆与以线段 AE 为直径的圆相切，求线段 BE 的长;421. 如图，在梯形 ABCD 中, AB// CD AB=2 AD=4, tanC=^，/ ADC M DAB=90 , P 是腰 BC 上一个动点(不J含点B C ),作PQLAP 交CD 于点Q.(图1) (1 )求BC 的长与梯形 ABCD 勺面积；(2)当PQ=DQ 寸，求BP 的长；(图2)20. 如图，在厶ABC 中，/ C=90° EF 交射线BC 于点F .设BE=x , (1 )求y 关于x 的函数关系式, ,AC=6 •斗_彳,D 是BC 边的中点, △ BED 的面积为y .并写出自变量 x 的取值范围； E 为AB 边上的一个动点, 作/ DEF=90 ,②以CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切？若可能，求出此时 x 的值；若不可能，请说明理由.BED 相似，求△ BED 的面积.(2)••• AD 是中线,• CD=BD • C D=AD? DE,又/ ADC N CDE DEC^A DCA :丄 DCE N DAC证明：连接CE 如右图所示，•/ AB=AC AD L BC, • AD 是/ BAC 的角平分线，• BE=CE •••/ EBC=z ECB 又•••/ ABC=Z ACBABC- / EBC 2 ACB-Z ECB1. 解 答：2. 解 答： 证明：••• AD// BC4，又 BE// CD •••丄』，二二丄，即 OC=OA? OEOC OBOB OE OC OE解：①••• AB=ACB=Z C ,又•••/ ADE=Z B.••/ ADE N C ,「.A ADE^A ACD •••4 仝，.•• AE J =AE ? AB,AE AD故①正确，②易证得厶 CDE^A BAD T BC=16 设 BD=y, CE=x •••魁=—,•1° 工，整理得: CD CE 16-y x2即(y - 8) =64 - 10x , • O v x < 6.4 ,•/ AE=AC- CE=10- x , • 3.6 < AE< 10.故②正确. 2y - 16y+64=64 - 10x ,3.解 答： ③作AGL BC 于G •/ AB=AC=10 / ADE 玄 B=a ,COS a_4•/ BC=1Q • AG=6 •/ AD=2 I ，• DG=2 • CD=8 • AB=CD •△ ABD-与^ DCE 全等；故③正确; ④当/ AED=90 时，由①可知：△ ADE^A ACD •/ ADC=Z AED •••/ AED=90 , ADC=90 , 即 AD L BC, •/ AB=AC • BD=CD ADE 玄 B=a 且 COS a = , AB=10, BD=8/ B=a 且 COS a J. AB=10, ••• cosB=二 •• BD 」.故④正确5 BD 5 2当/ CDE=90 时，易厶 CDE^A BAD •••/ CDE=90 , BAD=90 ,故答案为：①②④.B U G C证明：（1）在厶BDE 和A DAB 中•••/ DEB=/ ABC / BDE=/ ADB BDE^A ADBD£__BD • BE J =AD ? DE4.解 答：.CD 二 AD'DE _CD实用文档即/ ABEK ACE又••• CGI AB,：/ ABEh CGF :丄 CGF 2 FCE 又/ FEC=/ CEGCEF^A GEC 二 CE EF=EG CE 即 C^=EF? EG 又 CE=BE ••• BU=EF? EG又 EF 为 AD 的垂直平分线,• AF=FD / DAF=/ ADF, DAC / CAF=/ B+/ BAD•••/ CAF=/ B ,•// AFC 玄 AFC •△ ACF^A BAF,即丄仝,• AF "=CF? BF ,即 F[J=CF? BF.AF B?ripr r>ri i •// EPD=/ A, /PED=/ AER EPD^A EAR •定义域是 0< x v 一-—5得 「二_二= 21寸PEAP 2 (2)由厶 EPD^A EAR6.解 答：PD BC 1AP AC 2• PE=2DE • AE=2PE=4DE 作EHL AB,垂足为点H,•/ AP=x •- PD 二x , •/ PD// HE2又AB=2 ■ , y =—•-上J 亠- 'PD AD 3.(2 _ "；- x)? —x ,即 y=-3^ • HE ：x .3X 2+二' 3x .另解：由厶EPD^A EAR 得DE PD 1 PE• PE=2DE • AE=2PE=4DE • AE --S AAB =—X y x ——X X 2=1 x , • ABx .定义域是 0< x < —'.厂丄• PE 二x? • HE AC ，当厶BEP-与^ ABC 相似时，只有两种情形：/(3)由厶 PEH ^A BAC 得x .32BEP=/ C=90° 或/ EBP=/ C=90°.• △ ADP ^A ABC • A=/ A ,X2 x,2SAABE 2 1…y= - — x2 37.解 答：8.解 答：证明：••• BD CE 分别是AC 与AB 边上的高，•/ BEC 2 BDC• B 、C D E 四点共圆，•/ AED=/ ACB 而/ A=Z A, • △ AED^A ACB •- -丄； BC AR•/ BD 丄AC,且/ A=60°,A Z ABD=30 , AD=迅，• BC=2DE•/△ ABC 是等边三角形•/ ABC=/ ACB 玄 BAC=60 . •/ D+Z DAB=60 , •••/ DAE=120，•/ DAB+Z EAC=60 . •/ D=Z CAE / E=Z DAB •••/ D=Z D,Z E=Z E ,「.A DAE^A DBA^A ACE(2)•••△ DBA^A ACE •- DB: AC=AB CE•/ AB=AC=BC DB=2 CE=6i BC ?=DB? CE=12 •/ BO0, • BC=2,/ £.Z E+Z CAE=60 .9.解证明：(1)在Rt △ ABC 中， 答： •/ AB=AC •/ B=Z C=45.•••/ BAE=/ BAD+Z DAE Z DAE=45，•/ BAE=/ BAD+45 . 而/ ADC Z BAD+Z B=Z BAD+45 , • Z BAE=/ CDA • △ ABE^A DCA(2)由厶 ABE^^ DCA 得翌• BE? CD=AB AC.AB CD2 2 2 2 2 2而 AB=AC BC=AB+AC ,「. BC=2AB . • BC=2BE? CD10.解(1)证明：•••△ ABC 为等边三角形，•/ B=Z C=60°, 答： vZ EDF=60，•/ BED+Z EDB 玄 EDB+Z FDC=120 ,• Z BED Z FDC •△ BD 0A CFD(2)解：由(1 )知厶 BDE^A CFDBE =BD CD =CF(i )当/ BEP=90时，旦县，•••罗》=丄.解得x 型迈.PB 起药厂V5 4• y=-二x X_X 5+''X …亠.31&3 4 16(ii )当/ EBP=90时，同理可得 x=邑匹,y=J .24•/ BC=6 BD=1,「. CD=B G BD=5, •••翌=丄，解得 BE 壬.5 3 3解解：(1)①•••/ APQ+Z CPQ 2 B+Z BAP, / APQ 2 ABC BAP=Z CQP又••• AB=AC •••/ B=Z C.• △ CPQ^A BAP若点P 在线段CB 的延长线上，如图.•••/ APQ M APB 亡 CPQ/ ABC 玄 APB+Z PAB /APQ M ABC •••/ CPQ MPAB又 T Z ABP=180 -Z ABC Z PCQ=180 -Z ACB Z ABC Z ACB • Z ABP=/ PCQ11. 答:BP AB•/ AB=AC=5 BC=8 BP=6 CP=8- 6=2 , • CQ CP•/ BP=x, BC=8,「. CP=BC- BP=8- x , ，即丁 _ 7 y5②若点P 在线段CB 上，由（1 ）知又••• CQ=y AB=5 •工E _ 1X 5故所求的函数关系式为CQ 2» 12 6 3CQ 飞CQ PC ■/ BP=x CP=BC+BP=8+, AB=5, CQ=y实用文档QCP^ PBA 里/:.实用文档圉①(2)①当点P 在线段BC 上,•••/ APQ=90，•/ APB+Z QPC=90 , •••/ PAB 亡 APB=90，•/ PAB=/ QPC•••/ B=/ C=90°.・.A ABP^A PCQ • AB: PC=BP CQ-J ： 或. | -②当点P 在线段BC 的延长线上，则点 Q 在线段 同理可得：△ ABN A PCQ • AB: PC=BP CQ即 5: ( 5 - BP ) =BP 1,解得:2DC 的延长线上,••• 5: (BP- 5) =BP: 1，解得: BP=— ③当点P 在线段CB 的延长线上，则点 Q 在线段 同理可得：△ ABN A PCQ • AB: PC=BP CQ • 5: (BP+5) =BP 1,解得：E _ . DC 的延长线上, A=Z D 13.解 解：(1)v ABCD 是梯形，AD// BC AB=DC 「./ •••/ ABP+/ APB+/ A=180°,Z APB-/ DPC / BPC=180 , / BPC 玄 A 解得：AP=1 或 AP=4.答: •••/ ABPK DPC ABN A DPC. AP 民即. AP 2 CD FD 2 ~5-AP 14. 答: (2)①由(1) •；」即:DQ~PD②当CE=1时，富二22fy~ 5-i•/△ PDQ^A ECQ • CE_CQPD~DQ ，:,解得：AP=2或(舍去).G怙 ■ 4. 『-t * -i;\Fi/i解证明：(1)在梯形ABCD 中,•/ AD// BC, AB=CD 「・/ B=/ C ,•••/ BMF / EMB / EMF / C+/ MFC又•••/ EMF=/ B, •/ EMB / MFC •△ EMB^A MFC •- _L "一EM ~MF ' •/ MC=M , • 一 UL關—和，又丄即匕B’iEi B EM(2)解：若△ BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，则有两种情况:① BM=ME 那么根据厶 ME &A BEM .•.二1="- ,•. £=也，即 EF=MFHE 01 ME EF根据第(1)问中已证厶BM 0A MFC ■ ■, 即 MF=FC •••/ FMC 2 C,HE FC又•••/ B=Z C,.Z FMC M B ,. MF// AB延长BA 和CD 相交于点 G 又点M 是BC 的中点， • MF >^ GBC 的中位线，• MF=GB2!又••• AD// BC,GAD^A GBC • 塑=型=丄4 ,•.塑=1, 即 AG=AB=6GB BC 6 2 AG• GB=12 • MF=EF=6② BM=BE=3 .•点E 是AB 的中点,又厶 MEF^A BEM.•.型=世=1,即MF=ME • EF 是梯形 ABCD 勺中位线，• EF 丄(AD+BC — ( 3+6)戈;Bg ME 2 2 2(3 )T EF ± CD• / BEP=/ FPC •△ BEP^A CPF , • ^^^-4 (2< x v 4)•②当点F 在线段CD 的延长线上时，•••/ FDM Z C=Z B, / BEP=/ FPCK FMD •△ BEP^A DMF DF 3 y.T , • x - 3x+8=0 , △< 0.•此方程无实数根..•尸gF - 3K +4 .2 ____________、,15. 答:• / EFC=90 , △ MEF^A BEM / MFE / MFC / BME=45 ,解一：过点E 作EH! BC,则可得△ EHM 等腰直角三角形， EH=MH 」 故 EH=MH 设 BE=x 贝U BH 丄•-, 4解二：过点M 作MN L DC MC=3由厶 MEF^A MFCt • T ,即 P 旳TCI 5 4NIC 』.M43弓&亏"解 (1)证明：•••在梯形 ABCD 中 , AD// BC, AB=DC=FN FC= i i ： - - 2BE —— 丨.• / B=Z C.BE=2, BP=2, CP=4 CD=4 •••里=!!?.•••△ BEP^A CPDCP CD(2)解：①•••/ B=Z C=Z EPF• 180 —/ B=180-Z EPF=/ BEP+Z BPE=Z BPE+Z CPFHE 閏.•crP 2 si 6-iSZ1DJIF^43ABEP, … DF BP"3 y 八. △ BEP^A CPF , • EB BPl • 1 2 xCP '"cr£ - 工 4 _ y.、/9•当 £ADMF ^^ABEP，得 2故当点F 在线段CD 的延长线上时，不存在点 P 使SADMF =-|SABEP ； 当点F 在线段 CD 上时，同理△ BEP^A DMF• x - 9x+8=0 ,解得X1=1 , X2=8.由于X2=8 不合题意舍去.• x=1 ,即BP=1. 时，BP的长为1.实用文档16.解解：（BE&A AM 0A CFW A GMN 答：证明：（2）在厶BEF 与厶AME 中,•••/ B=Z A=60°,「./ AEM 社 AME=120 ,•/△ BEF^A AME •- BE: AM=BF AE ,同理可证厶 BEF ^A CFN • BE: CF=BF CN即：x ： 1=2： CN •- CN 丄,即: x ： AM=2 （3- x ） , • AM=•••/ GEF=60 ,•••/ AEM # BEF=120BEF=Z AME :, △ BEF ^A AME备用图一备甲图二解：(3) (i )当点E 在线段AB 上，点M N 在线段AC 上时，如图,实用文档(ii )当点E 在线段AB 上，点6在厶ABC 内时，如备用图一，同上可得：AM= 丁 i ；, C N L ,2x•/ AC=AM+CN MN ••• 3= _ /+%+上—yy=— J %*民 一 4 ( o v x < 1 )；2 x2x(iii )当点E 在线段BA 的延长线上时，如备用图二，AM= -------- 二,CN=,2 £ •/ AC=MN+C Z AM • 3=y+Z - ' _ 刃，• y=J 一 彳&张—° ( x > 3);± 2 2x综上所述：y= -£-娄细竺( o v x < 1),或y=^-3,十6豪 -4( x > 1)； 2x 2x(4) (i )当AE=1时，△ GMN 是边长为1等边三角形，S MM =_X 1 X 二=丄；(1 分)::(ii )当 AE=1 时，△ GMN1 有一个角为 30° 的 Rt △, ••• x=4,. y= 「一，一丄,NG=FG FN=4X ；- 1 X ・；=；, 2X4 2 222• s =1X22 2 g17. 答: 解(1)解：T PEI CP,.可得：△ y 3 _ Xx" 2(2)解：当△ PCD 的面积是厶AEP 面积的4倍, 则：相似比为2： 1 , •又••• CD=2 AD=3 设 PD=x, AE=y,.・.AF PAEAP^^ PDC ••亠-PD CD• y = — 1 2 卫 ，…y = - r ,0v x v 3;................... .AE AP_1'PD"CD"2，_•/ CD=2 • AP=1, PD=2 • PE= - , PC=2 :■: , • EC= 111. (3 )不存在.作AF 丄PE,交PE 于O, BC 于 F ,连接EFT AF 丄 PE, CP 丄 PE/. AF=CP= , •, PE=：：,-.',(3-7~2 •/△ CDP^A POA=£2 23x —6x+4=0,OA=PA PC (3- x)x =l 2△ =6 — 4 X 4 X 3= — 12 x 无解因此，不存在.实用文档y—， •••设 AC=3k, BC=4k, /• AB=5k=5,「. k=1,「. AC=3 BC=4 BC 4| (2)过点E 作EH! BC,垂足为 H.易得△ EHB^A ACB 设 EH=CF=3k BH=4k, BE=5k ; •/ EF// BC ••/ EFD=/ FDC•••/ FDE 玄 C=90°A ^ EFD^^ FDC ・ —F D=EF? CD,即 9k 2+4=2 (4 -4k )化简，得 9k 2+8k - 4=0（负值舍去），•••二_■丨 ';19.解(1)证明：如图2,连接DC答： •••/ ACB=90 , AC=BC A=Z B=45° ,•••点 D 是 AB 中点，BCD 2 ACD=45 , CD=BD ACD=/ B=45°•/ ED ! DF , CD!AB,•••/ EDC 丄 CDF=90 , / CDF+Z FDB=90 , EDC M FDB•••△ CED^A BFD (ASA ) , • DE=DF(2) 解：如图1,作DP ! AC, DQL BC,垂足分别为点 Q, P.•••/ B=Z A , / APD=/ BQD=90 , ADP^A BDQ• DP DQ=AD DB=m•••/ CPD / CQD=90 , / C=90°, •/ QDP=90 , •/ DF 丄 DE, •/ EDF=90 , •/ QDF / PDE•••/ DQF / DPE=90 , DQF^A DPE• DE DF=DP DQ • DE DF=DP DQ=AD DB=m(3) 解：①如备用图1,作EGL AB, FH! AB,垂足分别为点 G H. 在 Rt △ ABC 中，/ C=90° , AC=BC=6 •- AB= ■:,18. 答: E 作EH! BC,垂足为H.易得△ BE=5k(3)过点 设 EH=3k, •••/ HED 丄 HDE=90 / FDC+ZHDE=90EHB^A ACB•••/ EHD 2 C=90°•••△ EHD^A DCF•••/ HED=/FDC • I 方五，当厶DEF 和△ ABC 相似时，有两种情况:1°CD~4,即.解得••-丄,24 K 厲 DE BC 4 综合1°、2 ° , 2° 2，•呼5匸卫 • 即亠CD -3 2 "3 当厶DEF 和△ ABCt 目似时，BE 的长为上或丄 2 g 解得w ，—丄.FD _CD解 解：（1）在 Rt △ ABC 中，/C=90°实用文档20. 答:•/ AD DB=1: 2,：. AD三•：, DB= 「由/ AGE M BHF=90，/ A=Z B=45°可得AG=EG= 一.，BH=FH2 K 2易证△ DG0A FHD ：• DG GE匸」「，GD= —_ .,<2 V2----- 資 ----- V2 2rW2②如备用图2,取CE的中点0,作OM L AB于M.可得CE=6- x, A0=-十二,HD=：'7,0M=]：「_±,.AB相切，贝U —2 _ 2 2若以CE为直径的圆与直线解得.•:当八时，以，•: y=8 -2x,CE为直径的圆与直线AB相切.备冒图1 备用图』解解: (1)T在厶ABC中，/ C=90°, AC=6 t述斗，•：BC=8 AB=10,定义域是•: CD=DB=4过点E作EH! CB于H.则可求得EH丄x.54 x '■ x= x (0 V x <5 5-'或5V x w 10).(2)取AE OGL BC于G 连接OD则x10+y32 '(10+x), GD=C- CG=4-I (10-x)4 2-- T •251 2 2两圆外切，则可得*BC1；AE=OD：.( BC+AE =4OD,2 Q 2+——x ]25•: 0D=2：•( 8+10- x) =4[ (10+x)100若两圆内切，得|-；BC--；AEFOD,解得4实用文档•••( BC — AE ) 2=4OD ,.・.(8 - 10+x )2=4[— ( 10+x )100解得x=-二J (舍去)，所以两圆内切不存在•所以，线段7(3)由题意知/ BEF M 90°,故可以分两种情况. ①当/ BEF 为锐角时，由已知以 B E 、F 为顶点的三角形与△ BED 相似，又知/ EBF=Z DBE / BEF <Z BED 所以/ BEF=Z BDE过点D 作DM L BA 于M 过E 作EH L BC 于H. 根据等角的余角相等，可证得/ MDE N HDE • EM=EH21.解解：(1)作BHLCD ,垂足为H,则四边形 ABHD 为矩形；答： • BH=DA=4 DH=AB=2在 Rt △ BCH 中，上皿二寻• 6冷讣■=$，(1 分)BC 討E H '+CH~5； 又 CD=CH+DH=5 • S 梯形 ABCI ^ (血+CD) AD =14;2(2)连接AQ由 DQ=PQ 可知△ APQ AP=AD=4 作PE! AB 交AB 的延长线于点 E , (1分)在 Rt △ BPE 中，二工_；二上--口一-二,令 BE=3k PE=4k. 则在Rt △ APE 中, AF ^A W+P E ,2224A /21 - &即 4=(2+3k ) + (4k ),解得：2+—x 2]25BE 的长为二丄3又 EM=M — EB — - x ,5由(1)知：EH 士 x ,「亍冗兀②当/ BEF 为钝角时，同理可求得 x - ,• x=2.•16 =3x=8.「. y=§X 8=坐 5 512或 48 55x ,•所以，△ BED 的面积是实用文档•『'i ：■ - ' | ：厂-「- -(3)作PF丄CD交CD于点F,由/ AEF=/ EFD=/ APQ=90 , 可得：△ AEP^A PFQaQF _屮芹H• OF EPPF~AE，化简得：QF二一16 卫二"SO+ISX5 50+15X3010•….定义域为(0v x v 5).。

一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题一线三等角概念1“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。

类型一：三垂直模型1(雅礼)如图，点A是双曲线y=8xx<0上一动点，连接OA，作OB⊥OA，使OA=2OB，当点A 在双曲线y=8xx<0上运动时，点B在双曲线y=kx上移动，则k的值为.【解答】解：过A作AC⊥y轴于点C，过B作BD⊥y轴于点D，∵点A是反比例函数y=8x(x<0)上的一个动点，点B在双曲线y=kx上移动，∴S△AOC=12×|-8|=4，S△BOD=12|k|，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OA=2OB，∴S△BODS △AOC=(OBOA)2=14，∴12|k|4=14，∴|k|=2．∴k<0，∴k=-2，故答案为：-2．2(青竹湖)如图，∠AOB=90°，反比例函数y=−4xx<0的图象过点A−1,a，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象过点B，且AB⎳x轴，过点B作MN⎳OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y=kx于另一点，则ΔOBC的面积为.【解答】解：∵反比例函数y=−4xx<0的图象过点A(-1，a)，∴a=-4-1=4，∴A(-1，4)，过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE=4，OE=1，∵AB∥x轴，∴BF=4，∵∠AOB=90°，∴∠EAO+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，∴∠EAO=∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴AEOF=OEBF，∴OF=16，∴B(16，4)，∴k=16×4=64，∵直线OA过A(-1，4)，∴直线AO的解析式为y=-4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y=-4x+b，∴4=-4×16+b，∴b=68，∴直线MN的解析式为y=-4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，∴M(17，0)，N(0，68)，解y=-4x+68y=64x得，x=1y=64或x=16y=4，∴C(1，64)，∴△OBC的面积=S△OMN-S△OCN-S△OBM=12×17×68-12×17×4-12×68×1=510，故答案为510．3(广益)如图，点A ，B 在反比例函数y =kx(k >0)的图象上，点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为1，OA ⊥AB ，则k 的值为．【解答】解：过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥AM 于N ，∵∠OAB =90°，∴∠OAM +∠BAN =90°，∵∠AOM +∠OAM =90°，∴∠BAN =∠AOM ，∴△AOM ∽△BAN ，∴AM BN =OMAN，∵点A ，B 在反比例函数y =k x (k >0)的图象上，点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为1，∴A (2，k2)，B (k ，1)，∴OM =2，AM =k 2，AN =k 2-1，BN =k -2，∴k2k -2=2k 2-1，解得k 1=2(舍去)，k 2=8，∴k 的值为8，故答案为：8．4(长沙中考2020)在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ΔADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．(1)求证：ΔABF ∼ΔFCE(2)若AB =23,AD =4，求EC 的长；(3)若AE -DE =2EC ，记∠BAF =α,∠FAE =β，求tan α+tan β的值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =∠D =90°，∴∠AFB +∠BAF =90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE =∠D =90°，∴∠AFB +∠CFE =90°，∴∠BAF =∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．(2)解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF =AD =4，∴BF =AF 2-AB 2=42-23 2=2，∴CF =BC -BF =AD -BF =2，由(1)得△ABF ∽△FCE ，∴CE BF =CF AB ，∴CE 2=223，∴EC =23 3．(3)解：由(1)得△ABF∽△FCE，∴∠CEF=∠BAF=α，∴tanα+tanβ=BFAB +EFAF=CECF+EFAF，设CE=1，DE=x，∵AE-DE=2EC，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD= AE2-DE2=4x+4∵△ABF∽△FCE，∴ABAF =CFEF，∴x+14x+4=x2-1x，∴x+122x+1=x+1∙x-1x，∴12=x+1x，∴x=2x-1，∴x2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，CF=x2-1=3，EF=x=2，AF=AD=AE2-DE2=4x+4=23，∴tanα+tanβ=CECF +EFAF=13+223=233．5(广益)矩形ABCD中，AB=8，AD=12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．(1)如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图2【解答】解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠BAD=90°，∴∠BPE+∠BEP=90°，由折叠知，∠DPE=∠BAD=90°，∴∠BPE+∠CPD=90°，∴∠BEP=∠CPD，∵∠B=∠C=90°，∴△EBP∽△PCD；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，CD=AB=8，BC=AD=12，由折叠知，PE=AE，DP= AD=12，在Rt△DPC中，CP=DP2-CD2=45，∴BP=BC-CP=12-45，在Rt△PBE中，PE2 -BE2=BP2，∴AE2-(8-AE)2=(12-45)2，∴AE=18-65；(2)如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG=x，则BG=4-x，∵∠A=∠EPD=90°，∠EGP=∠DHP=90°，∴∠EPG+∠DPH=90°，∠DPH+∠PDH=90°，∴∠EPG=∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴EGPH =PGDH=EPPD=412=13，∴PH=3EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，PH2+DH2=PD2，∴(3x)2+(4+x)2=122，解得x=165(负值已经舍弃)，∴BG=4-165=45，在Rt△EGP中，GP=EP2-EG2=125，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴EG EB =GPBF，∴1654=125BF，∴BF=3．6(长郡)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知点Q 是射线OC 上一点，OQ =182，点P 是x 轴正半轴上一点，tan ∠POC =1，连接PQ ，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，与边OC 相交于另一点D ．(1)若圆心A 在x 轴上，求⊙A 的半径；(2)若圆心A 在x 轴的上方，且圆心A 到x 轴的距离为2，求⊙A 的半径；(3)在(2)的条件下，若OP <10，点M 是经过点O ，D ，P 的抛物线上的一个动点，点F 为x 轴上的一个动点，若满足tan ∠OFM =12的点M 共有4个，求点F 的横坐标的取值范围．【解答】解：(1)∵圆心A 在x 轴上，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，∴PQ ⊥x 轴，OP 为直径，∵tan ∠POC =1，OQ =182，∴PQ =OP ，∵在Rt △OPQ 中，OQ =PQ 2+OP 2=2OP =182．∴OP =18．∴⊙A 的半径为9；(2)如图所示，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点Q 作QB ⊥x 轴于B ，连接AP ，∵PQ 是⊙A 的切线，∴AP ⊥PQ ，则∠APQ =90°，∵AM ⊥x 轴，QB ⊥x 轴，∴∠AMP =∠PBC =90°，∴∠PAM =90°-∠APM =∠QPB ，∴△APM ∽△PBQ ，∴AM PB =MPBQ，∵tan ∠POC =1，QB =182，∴OB =QB =18，∵AM =2，设MP =MO =x ，∴PB =18-2x ，∴218-2x =x18，解得x =3或x =6，∴MO =3或MO =x ，∴A (3，2)或A (6，2)，∴AP =32+22=13或AP =32+62=210．∴半径为13或210．(3)∵OP<10，∴BO=3，P(6，0)，∴A(3，2)，∵tan∠POC=1，设D(a，a)，∵AD=13，∴(3-a)2+(2-a)2=13，解得：a=0或a=5，∴D(5，5)，设抛物线解析式为y=ax2+bx，将点P(6，0)，D(5，5)代入得，36a+6b=0 25a+5b=5，解得：a=-1b=6，∴y=-x2+6x，∵点F可能在点O的左边或点P的右边，tan∠OFM=12，则|K FM |=12，设直线MF：y=-12x+b或y=12x+b，联立y=-x2+6xy=-12x+b，y=-x2+6xy=12x+b，得x2-132x+b=0或x2-112x+b=0，当△1=b2-4ac=1694-4b=0或△2=b2-4ac=1214-4b=0，解得：b=16916或12116，∴直线MF：y=12x+16916或y=12x+12116，令y=0，解得：x=1698或x=-1218，∴6<x F<1698或-1218<x F<0．7(麓山国际)有一边是另一边的2倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．(1)已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为2，则该智慧三角形的面积为；(2)如图①，在△ABC中，∠C=105°，∠B=30°，求证：△ABC是智慧三角形；(3)如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A(3，0)，点B，C在函数y=kx上(x>0)的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为2．当△ABC是直角三角形时，求k的值．【解答】解：(1)如图1，设∠A=90°，AC≤AB，S△ABC=12 AC•AB，①若AC=2，i )AB =2AC =2，∴S =12×2×2=2，ii )BC =2AC =2，则AB =BC 2-AC 2=4-2=2，∴S =12×2×2=1，②若AB =2，i )AB =2AC ，即AC =AB 2=1，∴S =12×1×2=22，ii )BC =2AB =2，则AC =BC 2-AB 2=4-2=2∴S =12×2×2=1，③若BC =2，若AB =AC =BC 2=1，∴S =12×1×1=12，若AB =2AC ，AB =233，63，S =12×63×233=23，故答案为：2或1或22或12或23．(2)证明：如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC =∠BDC =90°，在Rt △BCD 中，∠B =30°，∴BC =2CD ，∠BCD =90°-∠B =60°，∵∠ACB =105°，∴∠ACD =∠ACB -∠BCD =45°，∴Rt △ACD 中，AD =CD ，∴AC =AD 2+CD 2=2CD ，∴BC AC =2CD2CD=2，∴△ABC 是智慧三角形．(3)∵△ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，∠B 为智慧角，∴BC =2AB ，∵△ABC 是直角三角形，∴AB 不可能为斜边，即∠ACB ≠90°∴∠ABC =90°或∠BAC =90°①当∠ABC =90°时，过B 作BE ⊥x 轴于E ，过C 作CF ⊥EB 于F ，过C 作CG ⊥x 轴于G ，如图3，∴∠AEB =∠F =∠ABC =90°，∴∠BCF +∠CBF =∠ABE +∠CBF =90°，∴∠BCF =∠ABE ，∴△BCF ∽△ABE ，∴BF AE =CF BE =BCAB=2，设AE =a ，则BF =2AE =2a ，∵A (3，0)，∴OE =OA +AE =3+a ，∵B 的纵坐标为2，即BE =2，∴CF =2BE =2，CG =EF =BE +BF =2+2a ，B (3+a ，2)，∴OG =OE -GE =OE -CF =3+a -2=1+a ，∴C (1+a ，2+2a )，∵点B 、C 在在函数y =kx上(x >0)的图象上，∴2(3+a )=(1+a )(2+2a )=k解得：a 1=-2(舍去)，a 2=1，∴k =42，②当∠BAC =90°时，过C 作CM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，如图4，∴∠CMA =∠ANB =∠BAC =90°，∴∠MCA +∠MAC =∠MAC +∠NAB =90°，∴∠MCA =∠NAB ，∴△MCA ∽△NAB ，∵BC =2AB ，∴2AB 2=BC 2=AB 2+AC 2，∴AC=AB，∴△MCA≌△NAB(AAS)，∴AM=BN=2，∴OM=OA-AM=3-2，设CM=AN=b，则ON=OA+AN=3+b，∴C(3-2，b)，B(3+b，2)，∵点B、C在在函数y=kx上(x>0)的图象上，∴(3-2)b=2(3+b)=k解得：b=92+12，∴k=18+152，综上所述，k的值为42或18+152。

Unit 7 Cultural relicsUnit 7 ultural relis&#8226; 重点词汇解析&#8226;1 inlude vt 包括；包含1)inluding为介词，后接名词、代词作宾语。

2)inluded为过去分词充当的形容词，无比较级和最高级，其前常用名词或代词。

3)比较inlude，ntaininlude作“包含”解时，其后的宾语只是整体的一部分。

ntain作此意解时，其后的宾语指的是整体的全部。

2 restre vt1）归还t restre stlen prpert 归还赃物2）恢复；复兴t restre la and rder 恢复法律和秩序3）恢复健康；复原restred after ne’s hlida 假期之后健康恢复了3 rebuild v 再建；重建rebuild a huse after the fire火灾后重建房子。

注意：re-前缀，加在动词或名词前。

“重新”。

如：rerite, repen, revisit, reae, reprint, reread4 burn vi, vt burnt 或burned, burning1) 燃烧The huse is burning 房子烧起了。

2) 发光；照亮a light burning 灯光亮着3) 发热；炙热the burning sand 炙热的沙子4) 热衷She is burning t tell u the nes 她急于要告诉你这消息。

Everbd is burning t n the gd nes大家都急于想知道这则好消息。

) 烧伤；烧坏；烧毁He burnt all his papers 他烧毁了（他）所有的。

n 烧伤burns n her hand 手部的烧伤burn up （因热度过高）烧坏; 快速旅行；赶路t burn up the rad 赶路beaut n1) 美，美貌a fler f great beaut 一朵非常美丽的花2) 美人；美的事物ur daughter is quite a beaut 你的女儿很漂亮。

一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型, 上构成的相似图形，这个角可以是直角, 不同的称呼，“K 形图”， 二•一线三等角的分类 全等篇指的是有三个等角的顶点在同一条直线 也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有 “弦图”三、“一线三等角” 1. 一般情况下，如图2•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等 易得△ AE3A BDE..如图 3-1，若 CE=ED 则厶 AE3A BDE.锐角同侧异侧相似篇 锐角同侧异侧“三垂直”,等，以下称为“一线三等角”。

的性质3-1，由/1 = / 2=7 3,AVABOCff构造模型解题在图3-4造“一线三等角如图3- 4 如图3-3，当/仁/ 2且 BOC 90 4•“中点型一线三等角“的变式（了中点时，△ BD 0A CFS A DFE.阳3-13.中点型“一线三等角”如图3-2，当/仁/ 2=7 3,且 D 是BC^3-3图 3^“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1 90BAC 这是内心的性质，反之未必是内心 .2（右图）中，如果延长 BE 与CF ，交于点P ，则点D 是厶PEF 的旁心-BAC 时，点0是厶ABC 的内心.可以考虑构 25.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明图3-5其实这个第4图，延长DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为 是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进 行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况.a. 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b. 图形中存在“一线二等角”，不上“一等c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题•体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题•2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x 轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造线三等角解决问题更是重要的手段•3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似在DC的延长銭上截取CE= —, CD的延怅:規上藪取DF= —>贝I」mZAEP= t3nZPFB= t3M J»JZAEP= ZPFH= a= ZAPR ,所1^APAlw ABPF .在CP上蔵取CE= —, 1£ DP蒙取DF=—,则tmZAEC= tanZBFD=taDGiWlZAEC= ZBFD= a= ZA?B^^iPAE«iBPF ・坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线I的垂线是必不可少的。