一、实数的分类：
0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪
⎪⎪⎪
⎧⎨⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩
正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 二、有理数的性质：
⑴有理数的定义：可以写成两个整数p 与q （0q ≠）的比值的数.
故所有的有理数都可以化成分数p
q
（0q ≠）的形式.
⑵有理数进行加、减、乘、除四则运算的结果仍是有理数.即有理数集对于加减乘除四则运算具有封闭性.
三、平方根和开平方：
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数. 开平方与平方互为逆运算.
在实数范围内，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.
正数a 的两个平方根可以用“
a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号
a ”；a 的负平方根，读作“负根号a ”
.
=.
,00,0
,0a a a a a a >⎧⎪
===⎨⎪-<⎩
四、立方根和开立方：
如果一个数的立方等于a
，那么这个数叫做a a ”，
其中a 叫做被开方数，“3
”叫做根指数.
2
”
第九讲
实数的概念及运算
a ”
a ”. 求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.
在实数范围内，任何一个数都有且只有一个立方根.
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.
实数的概念
【例题1】 将下列各数填入适当的括号内：
22
0,0.23,,0.37377377737
π∙∙---
⑴整 数：{ }；⑵非负数：{ }； ⑶有理数：{ }；⑷无理数：{ } ⑸正实数：{ }；⑹负实数：{ }
【例题2】 平方根等于它本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它
本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .
①196的平方根是_____；②2( 2.5)-的平方根是 ；③2(的平方根是 ；
______的相反数是 ；⑥的立方根是 .
【例题3】 求下列各式的值：
（1_______= （2）________=
（3）________= （4________=
（5）________= （6）________=
【例题4】 求下列各式的值：
（1_______= （2）________=
（3）________= （4________=
（5________= （6________=
实数的性质
【例题5】 （1）已知a ，b ，c ，d 是有理数，a c +=+a c =，b d =.
（2）已知x ，y 是有理数，且11()()402332
x y ππ
π+++--=，求x y -的值.
（3）已知x ，y 是有理数，且11 2.25034x y ⎛⎛+--- ⎝⎭⎝⎭
，求x ，y 的值．
【例题6】 （1）若a 为自然数，b 为整数，且满足2()7a =-a = ，b = .
（2，求a ，b 的值.
【例题7】 （12(2)0ab -=，求
111
(1)(1)
(2009)(2009)
ab a b a b +++
++++的值.
（2）已知x ，y ，z 满足24402
x y z z -+-++=，求()x y z +的值.
【例题8】 （1）已知关于x 1a =有三个整数解，求a 的值.
（2）若m =试确定m 的值.
【例题9】 （1a ，小数部分是b ，求22
a b a b
-+的值.
（2b ，求4321237620b b b b +++-的值.
【例题10】 （1）求最小的正整数m 是一个自然数。
（2）若23a +和6a +是一个正数的平方根，则这个正数是多少？
（3）一个数的平方根是31a +和9a -，则这个数是多少？
实数的运算
一、实数的运算法则：
1.
0a
a a ⎧⎪
==⎨⎪-⎩ ()()()
000a a a >=<
2. 2
a = ()0a ≥
3.
= ()0,0a b ≥≥
4.
= ()0,0a b ≥>
二、分数指数幂：
表示为幂的形式？
2m
=
，则
()
3
3
2m =，322m
=，31m =，13
m =
1
32=。
由此，我们可以把指数的取值范围扩大到分数，规定如下：
m n
a = ()0a ≥
()0a > （其中m 、n 为正整数，n>1）
上面规定中的m n
a ，m n
a - 叫做分数指数幂，a 是底数。
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂。
【例题11】 （1）将下列各式化成幂的形式：
2
3a a =
=①②
m n
a
-
=
