2014年江西省高考文科数学试卷及答案解析(word版)

2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．25．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C．智商D．阅读量8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．119．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln上点P处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P的坐标是．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||= ．13．（5分）在等差数列{an }中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（5分），y ∈R ，若||+|y|+|﹣1|+|y ﹣1|≤2，则+y 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f （）=（a+2cos 2）cos （2+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a ∈R ，θ∈（0，π）．（1）求a ，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin （α+）的值． 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．（13分）如图，已知抛物线C：2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．2014年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出，可得||．【解答】解：∵复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），∴===1+i，∴||==，故选：C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩【分析】根据补集的定义求得∁RB）．（∁RB={|【解答】解：∵集合A={|2﹣9＜0}={|﹣3＜＜3}，B={|﹣1＜≤5}，∴∁R≤﹣1，或＞5}，B）={|﹣3＜≤﹣1}，则A∩（∁R故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：B．【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【分析】根据条件代入计算即可．【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“a2+b+c≥0”对于任意的恒成立时，则有：①当a=0时，要使a2+b+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使a2+b+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“a2+b+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac ≤0”是“a2+b+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意∈R，有2≥0”的否定应该是“存在∈R，有2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C ．智商D ．阅读量 【分析】根据表中数据，利用公式，求出2，即可得出结论．【解答】解：表1：2=≈0.009；表2：2=≈1.769； 表3：2=≈1.3；表4：2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D ．【分析】讨论a 的值，当a=0时，知D 可能，当a ≠0时，求出函数a 2﹣+的对称轴=，利用求导函数求出函数y=a 23﹣2a 2++a 的极值点为=与=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．【解答】解：当a=0时，函数y=a 2﹣+的图象是第二，四象限的角平分线， 而函数y=a 23﹣2a 2++a 的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求； 当a ≠0时，函数y=a 2﹣+图象的对称轴方程为直线=， 由y=a 23﹣2a 2++a 可得：y ′=3a 22﹣4a+1，令y ′=0，则1=，2=，即1=和2=为函数y=a 23﹣2a 2++a 的两个极值点，对称轴=介于1=和2=两个极值点之间， 故A 、C 符合要求，B 不符合，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P 的坐标是 （e ，e ） ．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f ′（）=ln+=1+ln ，直线2﹣y+1=0的斜率=2，∵曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，∴f ′（）=1+ln=2，即ln=1，解得=e ，此时y=elne=e ，故点P 的坐标是（e ，e ），故答案为：（e ，e ）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cos α=，若向量=3﹣2，则||= 3 ．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值． 【解答】解：=9=9， ∴||=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．13．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 （﹣1，﹣） ．【分析】根据题意当且仅当n=8时S n 取得最大值，得到S 7＜S 8，S 9＜S 8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．【解答】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，∴，即，解得：，综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．【分析】根据条件分别求出A ，B ，D 的坐标，利用AD ⊥F 1B ，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF 1，∵OD ∥AB ，O 为F 1F 2的中点，∴D 为BF 1的中点，又AD ⊥BF 1，∴|AF 1|=|AB|．∴|AF 1|=2|AF 2|．设|AF2|=n ，则|AF 1|=2n ，|F 1F 2|=n ，∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．（5分），y∈R，若||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，则+y的取值范围为[0，2] ．【分析】根据绝对值的意义，||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，从而求得+y 的范围．【解答】解：根据绝对值的意义可得||+|﹣1|表示数轴上的对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．再根据||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，∴0≤+y≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（）=（a+2cos2）cos（2+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．【分析】（1）把=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos α，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：（1）f （）=﹣（a+1）sin θ=0， ∵θ∈（0，π）．∴sin θ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f （）为奇函数，∴f （0）=（a+2）cos θ=0，∴cos θ=0，θ=．（2）由（1）知f （）=（﹣1+2cos 2）cos （2+）=cos2•（﹣sin2）=﹣， ∴f （）=﹣sin α=﹣，∴sin α=， ∵α∈（，π）， ∴cos α==﹣， ∴sin （α+）=sin αcos +cos αsin =．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【分析】（1）利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1；当n=1时，a 1=S 1”即可得出；（2）对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：∵S n =，n ∈N *． ∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=3n ﹣2，（*）当n=1时，a 1=S 1==1． 因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{a n }的通项公式a n =3n ﹣2．（2）证明：对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 则，∴（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），化为m=3n 2﹣4n+2，∵n ＞1，∴m=3n 2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n ＞1，都存在m=3n 2﹣4n+2∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f （）的单调递增区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（）=（42+4a+a2），∴f（）=（42﹣16+16），∴f′（）=（8﹣16）+（42﹣16+16）=2（）=，∵f′（）＞0，≥0，∴52﹣12+4＞0，解得，0≤＜，或＞2，∴当a=﹣4时，f（）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；（2）∵f（）=（42+4a+a2），∴；令f′（）=0．解得，当f′（）＞0时，∈（0，）或，此时f（）单调递增，当f′（）＜0时，∈（），此时f（）单调递减，①当≥4，即a≤﹣40，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（）在区间[1，4]为减函数，由f （4）=8，解得a=﹣10，④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，⑤当，即﹣8＜a＜﹣2时，由f（）=8，无解．综上所述，a=﹣10．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．【分析】（1）通过证明直线CC 1与平面BA 1C 垂直，即可证明A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，说明∠AA 1O=90°，设A 1A=h ，求出A 1O 的表达式，以及三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ，∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC ∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ，∴AO=，设A 1A=h ，A 1O==， ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大， 最大值为：．【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．20．（13分）如图，已知抛物线C ：2=4y ，过点M （0，2）任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含轴），与直线y=2相交于点N 1，与（1）中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值，并求此定值．【分析】（1）设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，整理得2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，由直线AO 的方程y=与BD 的方程=2联立即可求得交点D 的坐标为，利用12=﹣8，即可求得D 点在定直线y=﹣2（≠0）上；（2）依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y ，由△=0化简整理得b=﹣a 2，故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），从而可证|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【解答】（1）证明：依题意，可设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，得2=4（+2），即2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，直线AO 的方程为y=；BD 的方程为=2．解得交点D 的坐标为．注意到12=﹣8及=4y 1，则有y===﹣2，因此D 点在定直线y=﹣2（≠0）上．（2）证明：依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y 得2=4（a+b ），即2﹣4a ﹣4b=0，由△=0得（4a ）2+16b=0，化简整理得b=﹣a 2．故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），则|MN 2|2﹣|MN 1|2=+42﹣=8，即|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为P（100）=；（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108，当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，F（n）=；（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，当n=10+b（1≤≤9，0≤b≤9，∈N*，b∈N*）时，g（n）=：当n=100时，g（n）=11，即g（n）=，同理有f（n）=，由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；当n=9时，P（9）=0，当n=90时，P（90）==，当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，p（n）===，由y=关于单调递增，故当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，P（n）的最大值为P（89）=，又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为．【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理．。

20##普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔文科〕第Ⅰ卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求． 〔1〕[20####,文1,5分]若复数z 满足(1i)2i z +=〔i 为虚数单位〕,则||z =〔〕〔A 〕1〔B 〕2〔C D [答案]C[解析]解法一：∵若复数z 满足(1i)2i z +=,∴()()()21i 2i 1i 1i 1i 1i i z -===+++-,∴z ==故选C ． 解法二：设i z a b =+,则()()i 1i 2i a b ++=,()()i 2i a b a b -++=,0a b -=,2a b +=,解得1a =,1b =,1i z =+,1i z =+=故选C ．[点评]本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i 的幂运算性质,求复数的模,属于基础题． 〔2〕[20####,文2,5分]设全集为R ,集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤,则()R A C B =〔〕〔A 〕(3,0)-〔B 〕(3,1)--〔C 〕(]3,1--〔D 〕(3,3)- [答案]C[解析]{|33},{|15}A x x B x x =-<<=-<≤,所以{}()31R A C B x x =-<<-,故选C ．[点评]本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题． 〔3〕[20####,文3,5分]掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于〔〕〔A 〕118〔B 〕19〔C 〕16〔D 〕112[答案]B[解析]点数之和为5的基本事件有：()1,4,()4,1,()2,3,()3,2,所以概率为41369=,故选B ．[点评]本题是一个古典概率模型问题,解题的关键是理解事件"抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5〞,由列举法计算出事件所包含的基本事件数,判断出概率模型,理解求解公式nN是本题的重点,正确求出事件"抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5〞所包含的基本事件数是本题的难点．〔4〕[20####,文4,5分]已知函数2,0()()2,0x xa x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩,若[(1)]1f f -=,则a =〔〕 〔A 〕14〔B 〕12〔C 〕1〔D 〕2 [答案]A[解析](1)2f -=,(2)4f a =,所以[(1)]41f f a -==,解得14a =,故选A ． [点评]本题主要考查了求函数值的问题,关键是分清需要代入到那一个解析式中,属于基础题．〔5〕[20####,文5,5分]在ABC ∆中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,若32a b =,则2222sin sin sin B AA-的值为〔〕〔A 〕19-〔B 〕13〔C 〕1〔D 〕72[答案]D[解析]222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D ． [点评]本题主要考查正弦定理的应用,比较基础．〔6〕[20####,文6,5分]下列叙述中正确的是〔〕〔A 〕若,,a b c R ∈,则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤〔B 〕若,,a b c R ∈,则22""ab cb >的充要条件是""a c >〔C 〕命题"对任意x R ∈,有20x ≥〞的否定是"存在x R ∈,有20x ≥〞 〔D 〕l 是一条直线,,αβ是两个不同的平面,若,l l αβ⊥⊥,则//αβ [答案]D[解析]〔1〕对于选项A ：若,,a b c R ∈,当2"0"ax bx c ++≥对于任意的x 恒成立时,则有：①当0a =时,0b =,0c ≥,此时240b ac -≤成立；②当0a >时,240b ac -≤．∴2"0"ax bx c ++≥ 是2"40"b ac -≤充分不必要条件,2"40"b ac -≤是2"0"ax bx c ++≥必要不充分条件．故A 不正确． 〔2〕对于选项B ：当22""ab cb >时,20b ≠,且a c >,∴22""ab cb >是""a c >的充分条件．反之,当a c >时,若0b =,则22ab cb =,不等式22ab cb >不成立．∴""a c >是22""ab cb >的必要不充分条件． 故B 不正确．〔3〕对于选项C ：结论要否定,注意考虑到全称量词"任意〞,命题"对任意x R ∈,有20x ≥〞的否定应该是"存在x R ∈,有20x <〞．故选项C 不正确．〔4〕对于选项D ：命题"l 是一条直线,,αβ是两个不同的平面,若,l l αβ⊥⊥,则//αβ．〞是两个平面平行的一个判定定理,故选D ．[点评]本题考查独立性检验的应用,考查学生的计算能力,属于中档题．〔7〕[20####,文7,5分]某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系, 随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是〔〕 〔A 〕成绩〔B 〕视力〔C 〕智商〔D 〕阅读量 [答案]D[解析]表1：()225262210140.00916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表2：()22524201216 1.76916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表3：()2252824812 1.316362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表4：()22521430616223.4816362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,∴阅读量与性别有关联的可能性最大,故选D ．[点评]本题考查独立性检验的应用,考查学生的计算能力,属于中档题．〔8〕[20####,文8,5分]阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为〔〕〔A 〕7 〔B 〕9 〔C 〕10 〔D 〕11 [答案]B[解析]由程序框图知：135i 0lg lg lg lg 357i 2S =++++++的值,∵1371lg lg lg lg 13599S =+++=>-,而1391lg lg lg lg 1351111S =+++=<-,∴跳出循环的i 值为9,∴输出i 9=,故选B ．[点评]本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．〔9〕[20####,文9,5分]过双曲线22221x y C a b-=：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点〔O 为坐标原点〕,则双曲线C 的方程为〔〕〔A 〕221412x y -=〔B 〕22179x y -=〔C 〕22188x y -=〔D 〕221124x y -=[答案]A[解析]以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过坐标原点O ,则4c =．且4CA =．设右顶点为(),0B a ,(),C a b ,ABC ∆为Rt ∆222BA BC AC ∴+=,()22416a b ∴-+=,又22216a b c +==．得1680a -=,2a =,24a =,212b =,所以双曲线方程221412x y -=,故选A ．[点评]本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于基础题．〔10〕[20####,文10,5分]在同一直角坐标系中,函数22ay ax x =-+与()2322y a x ax x a a =-++∈R 的图像不可能的是〔〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕[答案]B[解析]当0a =时,函数22ay ax x =-+的图象是第二,四象限的角平分线,而函数2322y a x ax x a =-++的图象是第一,三象限的角平分线,故D 符合要求；当0a ≠时,函数22a y ax x =-+图象的对称轴方程为直线12x a =,由2322y a x ax x a =-++可得：22341y a x ax '=-+,令0y '=,则113x a =,21x a=,即113x a =和21x a =为函数2322y a x ax x a =-++的两个极值点,对称轴12x a =介于113x a =和21x a =两个极值点之间,故A 、C 符合要求,B 不符合,故选B ．[点评]本题考查的知识点是函数的图象,其中熟练掌握二次函数的图象和性质,三次函数的极值点等知识点是解答的关键． 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．〔11〕[20####,文11,5分]若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=,则点P 的坐标是． [答案](),e e[解析]11ln ln 1y x x x x=⨯+⨯=+,切线斜率2k =,则0ln 12x +=,0ln 1x =,0x e ∴=()0f x e ∴=,所以(),P e e ． [点评]本题主要考查导数的几何意义,以与直线平行的性质,要求熟练掌握导数的几何意义．〔12〕[20####,文12,5分]已知单位向量12,e e 的夹角为α,且1cos 3α=,若向量1232a e e =-,则||a =．[答案]3[解析]()()()222221212123232129412cos 9a a e e e e e e α==-=+-⋅=+-=,解得3a =． [点评]本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题． 〔13〕[20####,文13,5分]在等差数列{}n a 中,17a =,公差为d ,前n 项和为n S ,当且仅当8n =时n S 取最大值,则d 的取值X 围．[答案]71,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭[解析]因为170a =>,当且仅当8n =时n S 取最大值,可知0d <且同时满足890,0a a ><,所以,89770780a d a d =+>⎧⎨=+<⎩,易得718d -<<-．[点评]本题主要考查等差数列的前n 项和公式,解不等式方程组,属于中档题．〔14〕[20####,文14,5分]设椭圆()2222:10x y Ca b a b+=>>的左右焦点为12F F ，,作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B，两点,1F B 与y 轴交于点D ,若1AD F B ⊥,则椭圆C 的离心率等于．[答案 [解析]因为AB 为椭圆的通径,所以22b AB a=,则由椭圆的定义可知：212b AF a=-,又因为1AD F B ⊥,则1AF AB =,即2222b b a a a =-,得2223b a =,又离心率c e a=,结合222a b c =+,得到：e =． [点评]本题主要考查椭圆离心率的求解,根据条件求出对应点的坐标,利用直线垂直于斜率之间的关系是解决本题的关键,运算量较大．为了方便,可以先确定一个参数的值．〔15〕[20####,文15,5分],x y R ∈,若112x y x y ++-+-≤,则x y +的取值X 围为． [答案][]0,2[解析] 11x x +-≥,11y y +-≥,要使112x x y y +-++-≤,只能112x x y y +-++-=,11x x +-=,11y y +-=,∴01x ≤≤,01y ≤≤,∴02x y ≤+≤．[点评]本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于中档题．三、解答题：本大题共6题,共75分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．〔16〕[20####,文16,12分]已知函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数,且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中a ∈R ,()0,θπ∈．〔1〕求,a θ的值；〔2〕若245f α⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．解：〔1〕()()1cos 1sin 042f a a ππθθ⎛⎫⎛⎫=++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0θπ∈，,∴sin 0θ≠,∴10,1a a +=∴=-………2分函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数()()02cos cos 0f a θθ∴=+==……………4分2πθ∴=．……………5分〔2〕有〔1〕得()()2112cos cos 2cos 2sin 2sin 422f x x x x x x π⎛⎫=-++=-=- ⎪⎝⎭……………7分 12sin425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴4sin 5α=………8分2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,3cos 5α∴=-……………10分413sin sin cos cos sin 333525πππααα⎛⎫∴+=+=⨯-= ⎪⎝⎭……………12分 [点评]本题主要考查了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．〔17〕[20####,文17,12分]已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=,*n N ∈． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕证明：对任意1n >,都有*m N ∈,使得1a ,n a ,m a 成等比数列．解：〔1〕当1n =时111a S ==,当2n ≥时,()22131133222n n n n n n n a S S n ---+-=-=-=-检验,当1n =时11a =,32n a n ∴=-．〔2〕使1a ,n a ,m a 成等比数列．则21n m a a a =,()23232n m ∴--=,即满足()2233229126m n n n =-+=-+,所以2342m n n =-+,所以对任意1n >,都有m N *∈,使得1n m a a a ，，成等比数列． [点评]本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了恒成立问题的等价转化方法,考查了反证法,考查了推理能力和计算能力,属于难题．〔18〕[20####,文18,12分]已知函数22()(44f x x ax a =++其中0a <．〔1〕当4a =-时,求()f x 的单调递增区间；〔2〕若()f x 在区间[1,4]上的最小值为8,求a 的值．解：〔1〕当4a =-时,()()()222422f x x x =-=-()f x 的定义域为[)0,+∞,()(2'242x fx x-=-,令()'0f x >得20,25x x ≤<>,所以当4a =-时,()f x 的单调递增区间为()20,2+5⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭和，．〔2〕()()22f x x a x =+,()()()()()2'22102222x a x a x a f x x a x xx+++=++=,令()'0f x =,得12,210a ax x =-=-,0a <,120x x ∴>>,所以,在区间,,,102a a ⎛⎫⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0上,()'0f x >,)(x f 的单调递增；在区间,102aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上,()'0f x <,)(x f 的单调递减；又易知()()220f x x a x =+≥,且02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．①当12a-≤时,即20a -≤<时,)(x f 在区间]4,1[上的最小值为()1f ,由()21448f a a =++=,得222a =-±,均不符合题意．②当142a<-≤时,即82a -≤<-时,)(x f 在区间]4,1[上的最小值为02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,不符合题意．③当42a->时,即8a <-时,)(x f 在区间]4,1[上的最小值可能为1x =或4x =处取到,而()18f ≠,()242(6416)8f a a =++=,得10a =-或6a =-〔舍去〕,当10a =-时,()f x 在区间[1,4]上单调递减,()f x 在区间[1,4]上的最小值()48f =符合题意．综上,10a =-．[点评]本题考查的是导数知识,重点是利用导数判断函数的单调性,难点是分类讨论．对学生的能力要求较高,属于难题．〔19〕[20####,文19,12分]如图,三棱柱111ABC A B C -中,111,AA BC A B BB ⊥⊥．〔1〕求证：111AC CC ⊥；〔2〕若2,3,7AB AC BC ===,问1AA 为何值时,三棱柱111ABC A B C -体积最大,并求此最大值． 解：〔1〕三棱柱111ABC A B C -中,1AA BC ⊥,1BB BC ∴⊥,又11BB A B ⊥且1BC A B C =,11BB BCA ∴⊥面,11BB CC ∥11CC BCA ∴⊥面,又11AC BCA ∴⊂面,11AC CC ⊥．〔4分〕〔2〕设1AA x =,在Rt △11Rt A BB ∆中,22111=-=4AB A B BB x -,同理,2221111C=3A AC CC x -=-,在1ABC ∆中 1cos BAC ∠=22221122112(4)(3)A B A C BC x A B A C x x +-=---，2122127sin (4)(3)x BA C x x -∠=--,〔6分〕 所以121111127sin BA C 22A BCx S A B AC -=∠=△,〔7分〕从而三棱柱111ABC A B C -的体积 1211272A BC x x V S l S AA -=⋅=⋅=△〔8分〕,因22422636127127777x x x x x -=-=--+（）〔10分〕故当42=7x 时,即142AA =7时,体积V 取到最大值377． [点评]本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用,几何体的体积的最值的求法,考查转化思想以与空间想象能力．〔20〕[20####,文20,13分]如图,已知抛物线2:4C x y =,过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D 〔O 为坐标原点〕． 〔1〕证明：动点D 在定直线上；〔2〕作C 的任意一条切线l 〔不含x 轴〕与直线2y =相交于点1N ,与〔1〕中的定直线相交于点2N ,证明：2221||||MN MN -为定值,并求此定值解：〔1〕根据题意可设AB 方程为2y kx =+,代入2=4x y ,得()242x kx =+,即2480x kx --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则有：128x x =-,〔2分〕直线AO 的方程为11y y x x =；BD 的方程为2x x =,解得交点D 的 坐标为2121x x y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩〔4分〕,注意到128x x =-与211=4x y ,则有1121211824y x x y y x y -===-,〔5分〕 因此D 点在定直线y=-2上〔2x ≠〕〔6分〕．〔2〕依据题设,切线l 的斜率存在且不等于0,设切线l 的方程为()0y ax b a =+≠,代入2=4x y 得2=4+x ax b （）,即2440x ax b --=,由0∆=得216160a b +=,化简整理得2b a =-〔8分〕 故切线l 的可写为2y ax a =-．令2y =、2y =-得12,N N 坐标为12(,2)N a a +,22(,2)N a a-+-〔11分〕则222222122()4()8MN MN a a a a-=-+-+=,即2221MN MN -为定值8．〔13分〕[点评]本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想,属于难题．〔21〕[20####,文21,14分]将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ,()F n 为这个数的位数〔如12n =时,此数为123456789101112,共有15个数字,(12)15f =〕,现从这个数中随机取一个数字,()p n 为恰好取到0的概率． 〔1〕求(100)p ；〔2〕当2014n ≤时,求()F n 的表达式．〔3〕令()g n 为这个数字0的个数,()f n 为这个数中数字9的个数,()()()h n f n g n =-,{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈,求当n S ∈时()p n 的最大值．解：〔1〕当100n =时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为()11100192p =．〔2分〕 〔2〕当19n ≤≤时,这个数有1位数组成,()9F n =,当1099n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,9n -个两位数组成,则()29F n n =-,当100999n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,90个两位数组成,99n -个三位数组成,()3108F n n =-, 当10002014n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,90个两位数组成,900个三位数组成,999n -个四位数组成,()41107F n n =-,所以,1929,1099()3108,10099941107,10002014n n n n F n n n n n ≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩〔5分〕〔3〕当n b =〔+19N b b ≤≤∈，〕,()0g n =；当()1019,09,,n k b k b k N b N +=+≤≤≤≤∈∈时,()g n k =；100n =时()11g n =,即,0,19,(),n 10,19,09,,11,n 100n g n k k b k b k N b N +⎧≤≤⎪==+≤≤≤≤∈∈⎨⎪=⎩〔8分〕同理有,0,18,,n 10,19,09,,()80,8998,20,n 99,100n k k b k b k N b N f n n n +≤≤⎧⎪=+≤≤≤≤∈∈⎪=⎨-≤≤⎪⎪=⎩〔10分〕由()()()1h n f n g n =-=h,可知9,19,29,49,59,69,79,89,90n =,所以当n 100≤时,}{9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =〔11分〕当9n =时,()90p =,当90n =,()()()901909019g p F ==,当()10918,n k k k N +=+≤≤∈时, ()()()29209g n k k p n F n n k ===-+〔13分〕由209ky k =+关于k 单调递增,故当109n k =+〔18k ≤≤,k N +∈〕时,()p n 的最大值为()889169p =,又8116919<,所以最大植为119．〔14分〕 [点评]本题为信息题,也是本卷的压轴题,考查学生认识问题、分析问题、解决问题的能力,本题的命题新颖,对学生能力要求较高,难度较大,解决本题的关键首先在于审清题意,搞清楚()F n 、()p n 的含义,这样就可以解决前两问,同时为第三问做好铺垫,第三问在前两问的基础上再加以深入,考查学生综合分 析问题的能力．本题由易到难,层层深入,是一道难得的好题．。

2014年全国普通高等学校招生统一考试文科（江西卷）数学答案解析1、【答案】C【解析】试题分析：因为，所以因此考点：复数的模2、【答案】C【解析】试题分析：因为所以考点：集合的运算3、【答案】B【解析】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B.考点：古典概型概率4、【答案】A【解析】试题分析：因为所以考点：分段函数5、【答案】D【解析】试题分析：由正弦定理得：，又，所以选D.考点：正弦定理6、【答案】D【解析】试题分析：当时，推不出，错，当时，推不出，错，命题“对任意，有”的否定是“存在，有”，C错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D正确.考点：充要关系7、【答案】D【解析】试题分析：根据公式分别计算得：A.， B. C. D. ，选项D的值最大，所以与性别有关联的可能性最大为D.考点：关联判断8、【答案】B【解析】试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：结束循环，输出选B.考点：循环结构流程图9、【答案】A【解析】试题分析：因为的渐近线为，所以或因此OA=c=4,从而三角形OAC为正三角形，即双曲线的方程为.考点：双曲线的渐近线10、【答案】B【解析】试题分析：当时，两函数图像为D所示，当时，由得：或，的对称轴为.当时，由知B不对. 当时，由知A,C正确.考点：利用导数研究函数图像11、【答案】【解析】试题分析：因为，设切点，则又考点：利用导数求切点12、【答案】3【解析】试题分析：因为所以考点：向量数量积13、【答案】【解析】试题分析：由题意得：，所以，即考点：等差数列性质14、【答案】【解析】试题分析：因为平行于，所以为中点，又，所以设则因此考点：椭圆的离心率15、【答案】【解析】试题分析：因为，当且仅当取等号，所以，又，所以，因此的取值范围为.考点：含绝对值不等式的性质16、【答案】(1),(2)【解析】试题分析：(1)根据奇偶性定义，可得等量关系：即，因为所以又所以因为，所以(2)由（1）得：所以由，得又，所以因此试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以即，因为所以又所以因为，所以（2）由（1）得：所以由，得又，所以因此考点：函数奇偶性，同角三角函数关系，二倍角公式17、【答案】（1）（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由和项求通项，主要根据进行求解. 因为所以当时又时，所以（2）证明存在性问题，实质是确定要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.试题解析：（1）因为所以当时又时，所以（2）要使得成等比数列，只需要，即.而此时，且所以对任意，都有，使得成等比数列.考点：由和项求通项，等比数列18、【答案】（1）和，（2）【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，首先确定定义域：然后对函数求导，在定义域内求导函数的零点：，当时，，由得或，列表分析得单调增区间：和，（2）已知函数最值，求参数，解题思路还是从求最值出发.由（1）知，，所以导函数的零点为或，列表分析可得：函数增区间为和，减区间为.由于所以，当时，，（舍），当时，由于所以且解得或(舍)，当时，在上单调递减，满足题意，综上.试题解析：（1）定义域：而，当时，，由得或，列表：所以单调增区间为：和，（2）由（1）知，，所以导函数的零点为或，列表分析可得：函数增区间为和，减区间为.由于所以，当时，，（舍），当时，由于所以且解得或(舍)，当时，在上单调递减，满足题意，综上.考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值19、【答案】（1）详见解析，（2）时，体积取到最大值【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定及性质定理进行多次转化证明. 由知,又,故平面即,又，所以（2）研究三棱柱体积，关键明确底面上的高，本题由（1）知：平面因此将三棱柱体积转化为等高同底的三棱锥体积（三倍关系），而三棱锥体积又等于三棱锥体积，三棱锥体积等于，设不难计算三棱柱的体积为，故当时，即时，体积取到最大值试题解析：（1）证明：由知,又,故平面即,又，所以（2）设在中同理在中,，所以从而三棱柱的体积为因故当时，即时，体积取到最大值考点：线面垂直判定与性质定理，三棱柱的体积20、【答案】（1）详见解析，（2）8.【解析】试题分析：（1）证明动点在定直线上，实质是求动点的轨迹方程，本题解题思路为根据条件求出动点的坐标，进而探求动点轨迹：依题意可设AB方程为，代入，得，即.设，则有：，直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点D的坐标为，注意到及，则有，因此D 点在定直线上.（2）本题以算代征，从切线方程出发，分别表示出的坐标，再化简.设切线的方程为，代入得，即，由得，化简整理得，故切线的方程可写为，分别令得的坐标为，则，即为定值8.试题解析：（1）解：依题意可设AB方程为，代入，得，即.设，则有：，直线AO的方程为；BD的方程为；解得交点D的坐标为，注意到及，则有，因此D点在定直线上.（2）依题设，切线的斜率存在且不等于零，设切线的方程为，代入得，即，由得，化简整理得，故切线的方程可写为，分别令得的坐标为，则，即为定值8.考点：曲线的交点，曲线的切线方程21、【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）解概率应用题，关键要正确理解事件. 当时，这个数中有9个一位数，90个二位数，一个三位数，总共有192个数字，其中数字0的个数为9+2=11，所以恰好取到0的概率为（2）按（1）的思路，可分类写出的表达式：，（3）同（1）的思路，分一位数，二位数，三位数进行讨论即可，当当当即同理有由可知，当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为试题解析：（1）解：当时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为（2）（3）当当当即同理有由可知所以当时，,当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为考点：古典概型概率。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位）,则||z =( )A .1B .2CD2.设全集为R ,集合2{|90}A x x =-＜,{|15}B x x =-＜≤,则R ()A B =I ð( )A .(3,0)-B .(3,1)--C .(3,1]--D .(3,3)- 3.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( )A .118B .19C .16 D .1124.已知函数2,0,()2,0,x x a x f x x -⎧=⎨⎩g ≥＜()a ∈R ,若[(1)]1f f -=,则a =( ) A .14 B .12C .1D .2 5.在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若32a b =,则2222sin sin sin B AA-的值为( )A .19- B .13C .1D .726.下列叙述中正确的是( )A .若a ,b ,c ∈R ,则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B .若a ,b ,c ∈R ,则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C .命题“对任意x ∈R ,有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ,有20x ≥”D .l 是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l α⊥,l β⊥,则αβP7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是 ( )A .成绩B .视力C .智商D .阅读量8.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 ( )A .7B .9C .10D .119.过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A .若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点（O 为坐标原点）,则双曲线C 的方程为( )A .221412x y -=B .22179x y -= C .22188x y -=D .221124x y -= 10.在同一直角坐标系中,函数22ay ax x =-+与2322y a x ax x a =-++()a ∈R 的图象不可．．能．的是( )A .B .C .D .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效-------------姓名________________ 准考证号_____________第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=，则点P 的坐标是 .12.已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且1cos 3α=,若向量a 3=e 12-e 2,则|a |= .13.在等差数列{}n a 中,17a =,公差为d ,前n 项和为n S ,当且仅当8n =时n S 取得最大值,则d 的取值范围为 .14.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ,2F ,过2F 作x 轴的垂线与C 相交于A B ，两点,1F B 与y 轴相交于点D ,若1AD F B ⊥,则椭圆C 的离心率等于 .15.x ,y ∈R ,若|||||1||1|2x y x y ++-+-≤,则x y +的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数2()(2cos )cos(2)f x a x x θ=++为奇函数,且π()04f =,其中a ∈R ,()0πθ∈，.（Ⅰ）求a ,θ的值； （Ⅱ）若2()45f α=-,π(π)2α∈，,求πsin()3α+的值.17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=,*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意1n >,都有m *∈N ,使得1a ,n a ,m a 成等比数列.18.（本小题满分12分）已知函数22()(44f x x ax a =++其中0a <. （Ⅰ）当4a =-时,求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[1,4]上的最小值为8,求a 的值.19.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,1AA BC ⊥,11A B BB ⊥. （Ⅰ）求证：111AC CC ⊥；（Ⅱ）若2AB =,AC =BC =问1AA 为何值时,三棱柱111ABC A B C -体积最大,并求此最大值.20.（本小题满分13分）如图,已知抛物线C ：24x y =,过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于A ,B 两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （Ⅰ）证明：动点D 在定直线上；（Ⅱ）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）,与直线2y =相交于点1N ,与（Ⅰ）中的定直线相交于点2N .证明：2221||||MN MN -为定值,并求此定值.21.（本小题满分14分）将连续正整数1,2,⋅⋅⋅,n *()n ∈N 从小到大排列构成一个数123n L ,()F n 为这个数的位数（如12n =时,此数为123456789101112,共有15个数字,(12)15f =）,现从这个数中随机取一个数字,()p n 为恰好取到0的概率. （Ⅰ）求(100)p ；（Ⅱ）当2014n ≤时,求()F n 的表达式.（Ⅲ）令()g n 为这个数中数字0的个数,()f n 为这个数中数字9的个数,()()h n f n =()g n -,*{|()1,100,}S n h n n n ==∈N ≤,求当n S ∈时()p n 的最大值.。

2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．25．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C．智商D．阅读量8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．119．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln上点P处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P的坐标是．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||= ．13．（5分）在等差数列{an }中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（5分），y ∈R ，若||+|y|+|﹣1|+|y ﹣1|≤2，则+y 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f （）=（a+2cos 2）cos （2+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a ∈R ，θ∈（0，π）．（1）求a ，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin （α+）的值． 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．（13分）如图，已知抛物线C：2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．2014年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出，可得||．【解答】解：∵复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），∴===1+i，∴||==，故选：C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）【分析】根据补集的定义求得∁B，再根据两个集合的交集的定义，求得ARB）．∩（∁RB={|【解答】解：∵集合A={|2﹣9＜0}={|﹣3＜＜3}，B={|﹣1＜≤5}，∴∁R≤﹣1，或＞5}，则A∩（∁B）={|﹣3＜≤﹣1}，R故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：B．【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【分析】根据条件代入计算即可．【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“a2+b+c≥0”对于任意的恒成立时，则有：①当a=0时，要使a2+b+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使a2+b+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“a2+b+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac ≤0”是“a2+b+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意∈R，有2≥0”的否定应该是“存在∈R，有2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C．智商D．阅读量【分析】根据表中数据，利用公式，求出2，即可得出结论．【解答】解：表1：2=≈0.009；表2：2=≈1.769；表3：2=≈1.3；表4：2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A．B．C．D ．【分析】讨论a 的值，当a=0时，知D 可能，当a ≠0时，求出函数a 2﹣+的对称轴=，利用求导函数求出函数y=a 23﹣2a 2++a 的极值点为=与=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．【解答】解：当a=0时，函数y=a 2﹣+的图象是第二，四象限的角平分线， 而函数y=a 23﹣2a 2++a 的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求； 当a ≠0时，函数y=a 2﹣+图象的对称轴方程为直线=， 由y=a 23﹣2a 2++a 可得：y ′=3a 22﹣4a+1，令y ′=0，则1=，2=，即1=和2=为函数y=a 23﹣2a 2++a 的两个极值点，对称轴=介于1=和2=两个极值点之间， 故A 、C 符合要求，B 不符合，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P 的坐标是 （e ，e ） ．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f ′（）=ln+=1+ln ，直线2﹣y+1=0的斜率=2，∵曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，∴f ′（）=1+ln=2，即ln=1，解得=e ，此时y=elne=e ，故点P 的坐标是（e ，e ），故答案为：（e ，e ）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cos α=，若向量=3﹣2，则||= 3 ．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值． 【解答】解：=9=9， ∴||=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．13．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 （﹣1，﹣） ．【分析】根据题意当且仅当n=8时S n 取得最大值，得到S 7＜S 8，S 9＜S 8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．【解答】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，∴，即，解得：，综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．【分析】根据条件分别求出A ，B ，D 的坐标，利用AD ⊥F 1B ，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF 1，∵OD ∥AB ，O 为F 1F 2的中点，∴D 为BF 1的中点，又AD ⊥BF 1，∴|AF 1|=|AB|．∴|AF 1|=2|AF 2|．设|AF2|=n ，则|AF 1|=2n ，|F 1F 2|=n ，∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．（5分），y∈R，若||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，则+y的取值范围为[0，2] ．【分析】根据绝对值的意义，||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，从而求得+y 的范围．【解答】解：根据绝对值的意义可得||+|﹣1|表示数轴上的对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．再根据||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，∴0≤+y≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（）=（a+2cos2）cos（2+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．【分析】（1）把=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f （）=﹣和函数的解析式可求得sin ，进而求得cos ，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos α，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：（1）f （）=﹣（a+1）sin θ=0， ∵θ∈（0，π）．∴sin θ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f （）为奇函数，∴f （0）=（a+2）cos θ=0，∴cos θ=0，θ=．（2）由（1）知f （）=（﹣1+2cos 2）cos （2+）=cos2•（﹣sin2）=﹣， ∴f （）=﹣sin α=﹣，∴sin α=， ∵α∈（，π）， ∴cos α==﹣， ∴sin （α+）=sin αcos +cos αsin =．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【分析】（1）利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1；当n=1时，a 1=S 1”即可得出；（2）对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：∵S n =，n ∈N *． ∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=3n ﹣2，（*） 当n=1时，a 1=S 1==1． 因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{a n }的通项公式a n =3n ﹣2．（2）证明：对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 则，∴（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），化为m=3n 2﹣4n+2，∵n ＞1，∴m=3n 2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n ＞1，都存在m=3n 2﹣4n+2∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f （）的单调递增区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（）=（42+4a+a2），∴f（）=（42﹣16+16），∴f′（）=（8﹣16）+（42﹣16+16）=2（）=，∵f′（）＞0，≥0，∴52﹣12+4＞0，解得，0≤＜，或＞2，∴当a=﹣4时，f（）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；（2）∵f（）=（42+4a+a2），∴；令f′（）=0．解得，当f′（）＞0时，∈（0，）或，此时f（）单调递增，当f′（）＜0时，∈（），此时f（）单调递减，①当≥4，即a≤﹣40，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（）在区间[1，4]为减函数，由f （4）=8，解得a=﹣10，④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，⑤当，即﹣8＜a ＜﹣2时，由f （）=8，无解．综上所述，a=﹣10．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．【分析】（1）通过证明直线CC 1与平面BA 1C 垂直，即可证明A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，说明∠AA 1O=90°，设A 1A=h ，求出A 1O 的表达式，以及三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ，∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC ∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ， ∴AO=，设A 1A=h ，A 1O==， ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大， 最大值为：．【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．20．（13分）如图，已知抛物线C ：2=4y ，过点M （0，2）任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含轴），与直线y=2相交于点N 1，与（1）中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值，并求此定值．【分析】（1）设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，整理得2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，由直线AO 的方程y=与BD 的方程=2联立即可求得交点D 的坐标为，利用12=﹣8，即可求得D 点在定直线y=﹣2（≠0）上；（2）依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y ，由△=0化简整理得b=﹣a 2，故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），从而可证|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【解答】（1）证明：依题意，可设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，得2=4（+2），即2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，直线AO 的方程为y=；BD 的方程为=2．解得交点D 的坐标为．注意到12=﹣8及=4y 1，则有y===﹣2，因此D 点在定直线y=﹣2（≠0）上．（2）证明：依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y 得2=4（a+b ），即2﹣4a ﹣4b=0，由△=0得（4a ）2+16b=0，化简整理得b=﹣a 2．故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），则|MN 2|2﹣|MN 1|2=+42﹣=8，即|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为P（100）=；（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108，当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，F（n）=；（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，当n=10+b（1≤≤9，0≤b≤9，∈N*，b∈N*）时，g（n）=：当n=100时，g（n）=11，即g（n）=，同理有f（n）=，由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；当n=9时，P（9）=0，当n=90时，P（90）==，当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，p（n）===，由y=关于单调递增，故当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，P（n）的最大值为P（89）=，又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为．【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z =（ ）.1A .2B C D 2.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D4. 已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a （ ）1.4A 1.2B .1C .2D 5.在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若35a b =，则2222sin sin sin B AA -的值为（ ） 1.9A -1.3B .1C 7.2D6.下列叙述中正确的是（ ）.A 若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤ .B 若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”.D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7.某人研究中学生的性别与成绩、学科 网视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）A.成绩B.视力C.智商D.阅读量8.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.9C.10D.119.过双曲线12222=-by a x C ：的右定点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A ，则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y xB.19722=-y xC.18822=-y xD.141222=-y x 10.在同意直角坐标系中，函数)(22222R a a x ax x a y ax ax y ∈++-=+-=与的图像不可能的是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标是_______.12.已知单位向量=-==||,23,31cos ,,2121a e e a e e则若向量且的夹角为αα_______.13. 在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________.14. 设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C交于B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________.15. R y x ∈，，若211≤-+-++y x y x ，则y x +的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，学 科网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a .（1）求θ，a 的值； （2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列.18.（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a . （1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间; （2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值。

2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5分）若复数z 满足z （1+i ） =2i （i 为虚数单位），贝l]|z|=（ ）A. 1B. 2C. >/2D.而2. （5 分）设全集为 R,集合 A=（x|x 2 - 9<0）, B={x| - 1V x W5},则 AC （[r B ）=（ ）A. （ - 3, 0） B, （ - 3, - 1） C. （ - 3, - 1] D. （ - 3, 3）3. （5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）42A.B. XC.1_ D.189*6124. (5 分)已知函数f （X ）=<(a£R),若 f[f ( - 1) ]=1,则 a=.2"，x<0()A. LB. 1C.1D. 25. （5分）在^ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c,若3a=2b,则2sin2B-sin2A 的值为（）si n 2 AA. - LB. -LC. 1D. L9 326. （5分）下列叙述中正确的是（ ）A. 若 a, b, cCR,贝U"ax2+bx+cN0”的充分条件是W - 4acW0”B. 若 a, b, cGR,贝!!,,ab 2>cb 2w 的充要条件是"a>c ”C. 命题“对任意xCR,有x 2^0"的否定是“存在x£R,有x2N0”D. I 是一条直线，a, B 是两个不同的平面，若ILa, l±p,则a〃87. （5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了 52名中学生，得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2表3视力性别好差总计男41620女122032总计163652表4智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计1636528. (5分)阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A. 7B. 9C. 10D. 112 29.（5分）过双曲线C ： &-的右顶点做x 轴的垂线，与C 的一条渐近线2 1 2a b相交于点A,若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），2i 2i(1i)==1i 1i (1i)(1i)z -=+++-∴||z =∴(){|R A B x =-【提示】根据补集的定义求得RB ，再根据两个集合的交集的定义，求得()R A B .1=.ilgi 2+++【解析】由题意，4c =，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，令x a =，则y b =，即(,)A a b ，∵右焦点(4,0)F ，||4FA =，22(4)16a b -+=∴，2216a b +=∵，2a b ==，∴∴双曲线C 的方程为221x y -=.【解析】当0a =时，函数22ay ax x -=+的图象是第二，四象限的角平分线，而函数2322y a x ax x a -=++的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求；当0a ≠时，函数22ay ax x -=+图象的对称轴方程为直线12x a =，由2322y a x a x x a -=++可得：22341y a x ax -'=+，令0y '=，则113x a =，21x a=，即113x a =和21x a =为函数2322y a x ax x a -=++的两个极值点，对称轴12x a =介于113x a =和21x a=两个极值点之间，第Ⅱ卷【答案】3【解析】22211229124912a e e e e =-+=-||3a =【提示】由条件利用两个向量的数量积的定义求出2a 的值，从而得到||a 的值11AD F B k =-，即22b c c-=---，解得33c -⨯==(0,π)θ∈∵，sin 0θ≠∴1a +∴=0，即1a =-.()f x ∵为奇函数，(0)(2)cos 0f a θ=+=∴，πcos 02θθ==∴， （Ⅱ）由（Ⅰ）知2π1()(2cos )cos(2)cos2(sin 2)sin 422f x x x x x x =++=-=--1，12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴，45α=∴sin ， π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵，3cos 5α==-∴，πππsin sin cos cos sin 333ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴【提示】（Ⅰ）把π4x =代入函数解析式可求得a 的值，进而根据函数为奇函数推断出(0)0f =，进而求得cosθ，则θ的值可得.（Ⅱ）利用245f α⎛⎫=- ⎪⎝⎭和函数的解析式可求得sin 2α，进而求得cos 2α，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos所以对任意1n >，都有m N *∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列.【提示】（Ⅰ）利用“当2n ≥时，1n n n a S S -=-；当1n =时，11a S =”即可得出；（Ⅱ）对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列，利用等比数列的定义可得21n m a a a =，即()23232n m --=，解出m 为正整数即可4a =-()f x1BCA B C =1BCA ⊥面1CC ∥11AC BC B AC -=117sin 2x B AC BAC -∠， 111ABC A B C -的体积11122A BCx S l S AA -==△2636)+77-90，设的表达式，利用二次函数的最值，求最大值【提示】（Ⅰ）设AB 的方程为2y kx =+，代入2=4y x ，整理得24-8=0x kx -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有：128x x =-，直线AO 的方程为11y y x x =与BD 的方程为2x x =，联立即可求得交点D 的坐标为2121=x x y x y x =⎧⎪⎨⎪⎩，利用128x x =-，即可求得D 点在定直线2y =-上；（Ⅱ）当19n ≤≤时，这个数有1位数组成，()9F n =，当1099n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，9n﹣个两位数组成，则()29F n n =-， 当100999n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，99n﹣个三位数组成，()3108F n n =-， 当10002014n ≤≤时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，999n -个四位数()41107F n n =-【提示】（Ⅰ）根据题意，首先分析100n =时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（Ⅱ）分19109910099910002014n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤，，，，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得 ()F n ；（3）根据题意，分情况求出当n S ∈时()P n 的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案． 【考点】排列、组合的实际应用。

2014年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．25．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C．智商D．阅读量8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．119．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln上点P处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P的坐标是．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||= ．13．（5分）在等差数列{an }中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（5分），y ∈R ，若||+|y|+|﹣1|+|y ﹣1|≤2，则+y 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f （）=（a+2cos 2）cos （2+θ）为奇函数，且f （）=0，其中a ∈R ，θ∈（0，π）．（1）求a ，θ的值；（2）若f （）=﹣，α∈（，π），求sin （α+）的值． 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．（13分）如图，已知抛物线C：2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．2014年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则||=（）A．1 B．2 C．D．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出，可得||．【解答】解：∵复数满足（1+i）=2i（i为虚数单位），∴===1+i，∴||==，故选：C．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．B）2．（5分）设全集为R，集合A={|2﹣9＜0}，B={|﹣1＜≤5}，则A∩（∁R=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩【分析】根据补集的定义求得∁RB）．（∁RB={|【解答】解：∵集合A={|2﹣9＜0}={|﹣3＜＜3}，B={|﹣1＜≤5}，∴∁R≤﹣1，或＞5}，B）={|﹣3＜≤﹣1}，则A∩（∁R故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A．B．C．D．【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选：B．【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．4．（5分）已知函数f（）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【分析】根据条件代入计算即可．【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．6．（5分）下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“a2+b+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意∈R，有2≥0”的否定是“存在∈R，有2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“a2+b+c≥0”对于任意的恒成立时，则有：①当a=0时，要使a2+b+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使a2+b+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“a2+b+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac ≤0”是“a2+b+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意∈R，有2≥0”的否定应该是“存在∈R，有2＜0”．故C错误；D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1C ．智商D ．阅读量 【分析】根据表中数据，利用公式，求出2，即可得出结论．【解答】解：表1：2=≈0.009；表2：2=≈1.769； 表3：2=≈1.3；表4：2=≈23.48，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=a2﹣+与y=a23﹣2a2++a（a∈R）的图象不可能的是（）A． B．C．D ．【分析】讨论a 的值，当a=0时，知D 可能，当a ≠0时，求出函数a 2﹣+的对称轴=，利用求导函数求出函数y=a 23﹣2a 2++a 的极值点为=与=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．【解答】解：当a=0时，函数y=a 2﹣+的图象是第二，四象限的角平分线， 而函数y=a 23﹣2a 2++a 的图象是第一，三象限的角平分线，故D 符合要求； 当a ≠0时，函数y=a 2﹣+图象的对称轴方程为直线=， 由y=a 23﹣2a 2++a 可得：y ′=3a 22﹣4a+1，令y ′=0，则1=，2=，即1=和2=为函数y=a 23﹣2a 2++a 的两个极值点，对称轴=介于1=和2=两个极值点之间， 故A 、C 符合要求，B 不符合，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）若曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，则点P 的坐标是 （e ，e ） ．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f ′（）=ln+=1+ln ，直线2﹣y+1=0的斜率=2，∵曲线y=ln 上点P 处的切线平行与直线2﹣y+1=0，∴f ′（）=1+ln=2，即ln=1，解得=e ，此时y=elne=e ，故点P 的坐标是（e ，e ），故答案为：（e ，e ）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cos α=，若向量=3﹣2，则||= 3 ．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值． 【解答】解：=9=9， ∴||=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．13．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 （﹣1，﹣） ．【分析】根据题意当且仅当n=8时S n 取得最大值，得到S 7＜S 8，S 9＜S 8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．【解答】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，∴，即，解得：，综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．14．（5分）设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ．【分析】根据条件分别求出A ，B ，D 的坐标，利用AD ⊥F 1B ，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF 1，∵OD ∥AB ，O 为F 1F 2的中点，∴D 为BF 1的中点，又AD ⊥BF 1，∴|AF 1|=|AB|．∴|AF 1|=2|AF 2|．设|AF2|=n ，则|AF 1|=2n ，|F 1F 2|=n ， ∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15．（5分），y∈R，若||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，则+y的取值范围为[0，2] ．【分析】根据绝对值的意义，||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，从而求得+y 的范围．【解答】解：根据绝对值的意义可得||+|﹣1|表示数轴上的对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．再根据||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有||+|y|+|﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤≤1，0≤y≤1，∴0≤+y≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（）=（a+2cos2）cos（2+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．【分析】（1）把=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos α，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：（1）f （）=﹣（a+1）sin θ=0， ∵θ∈（0，π）．∴sin θ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f （）为奇函数，∴f （0）=（a+2）cos θ=0，∴cos θ=0，θ=．（2）由（1）知f （）=（﹣1+2cos 2）cos （2+）=cos2•（﹣sin2）=﹣， ∴f （）=﹣sin α=﹣，∴sin α=， ∵α∈（，π）， ∴cos α==﹣， ∴sin （α+）=sin αcos +cos αsin =．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n =，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【分析】（1）利用“当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1；当n=1时，a 1=S 1”即可得出；（2）对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：∵S n =，n ∈N *． ∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣=3n ﹣2，（*）当n=1时，a 1=S 1==1． 因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{a n }的通项公式a n =3n ﹣2．（2）证明：对任意的n ＞1，假设都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 则，∴（3n ﹣2）2=1×（3m ﹣2），化为m=3n 2﹣4n+2，∵n ＞1，∴m=3n 2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n ＞1，都存在m=3n 2﹣4n+2∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）已知函数f （）=（42+4a+a 2），其中a ＜0．（1）当a=﹣4时，求f （）的单调递增区间；（2）若f （）在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f （）的单调递增区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（）=（42+4a+a2），∴f（）=（42﹣16+16），∴f′（）=（8﹣16）+（42﹣16+16）=2（）=，∵f′（）＞0，≥0，∴52﹣12+4＞0，解得，0≤＜，或＞2，∴当a=﹣4时，f（）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；（2）∵f（）=（42+4a+a2），∴；令f′（）=0．解得，当f′（）＞0时，∈（0，）或，此时f（）单调递增，当f′（）＜0时，∈（），此时f（）单调递减，①当≥4，即a≤﹣40，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（）在区间[1，4]为减函数，由f （4）=8，解得a=﹣10，④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，⑤当，即﹣8＜a＜﹣2时，由f（）=8，无解．综上所述，a=﹣10．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，（1）求证：A 1C ⊥CC 1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA 1为何值时，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．【分析】（1）通过证明直线CC 1与平面BA 1C 垂直，即可证明A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，说明∠AA 1O=90°，设A 1A=h ，求出A 1O 的表达式，以及三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ，∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC ∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥BC 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ，∴AO=，设A 1A=h ，A 1O==， ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大， 最大值为：．【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．20．（13分）如图，已知抛物线C ：2=4y ，过点M （0，2）任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含轴），与直线y=2相交于点N 1，与（1）中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值，并求此定值．【分析】（1）设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，整理得2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，由直线AO 的方程y=与BD 的方程=2联立即可求得交点D 的坐标为，利用12=﹣8，即可求得D 点在定直线y=﹣2（≠0）上；（2）依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y ，由△=0化简整理得b=﹣a 2，故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），从而可证|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【解答】（1）证明：依题意，可设AB 的方程为y=+2，代入2=4y ，得2=4（+2），即2﹣4﹣8=0，设A （1，y 1），B （2，y 2），则有：12=﹣8，直线AO 的方程为y=；BD 的方程为=2．解得交点D 的坐标为．注意到12=﹣8及=4y 1，则有y===﹣2，因此D 点在定直线y=﹣2（≠0）上．（2）证明：依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y=a+b （a ≠0），代入2=4y 得2=4（a+b ），即2﹣4a ﹣4b=0，由△=0得（4a ）2+16b=0，化简整理得b=﹣a 2．故切线l 的方程可写成y=a ﹣a 2．分别令y=2、y=﹣2得N 1、N 2的坐标为N 1（+a ，2）、N 2（﹣+a ，﹣2），则|MN 2|2﹣|MN 1|2=+42﹣=8，即|MN 2|2﹣|MN 1|2为定值8．【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．（1）求p（100）；（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h （n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为P（100）=；（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108，当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，F（n）=；（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，当n=10+b（1≤≤9，0≤b≤9，∈N*，b∈N*）时，g（n）=：当n=100时，g（n）=11，即g（n）=，同理有f（n）=，由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；当n=9时，P（9）=0，当n=90时，P（90）==，当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，p（n）===，由y=关于单调递增，故当n=10+9（1≤≤8，∈N*）时，P（n）的最大值为P（89）=，又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为．【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理．。

2014 年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 10 小题，每题5 分，共 50 分．在没小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的1．（5 分）（ 2014?江西）若复数 z 知足 z （1+i ）=2i （i 为虚数单位），则| z| =（ ）A ．1B ．2C ．D ．2．（5 分）（2014?江西）设全集为 ，会合A={ x| x 2﹣ 9＜ 0} ，B={ x| ﹣ 1＜x ≤ 5} ，R则 A ∩（ ?R B ）=（ ）A ．（﹣ 3，0）B ．（﹣ 3，﹣ 1）C ．（﹣ 3，﹣ 1]D ．（﹣3，3）3．（5 分）（ 2014?江西）掷两颗平均的骰子， 则点数之和为 5 的概率等于（）A ．B ．C ．D ．．（ 分）（ 江西）已知函数 （ ） ，（a ∈R ），若 f[ f （﹣ 1）] =1，4 5 2014? f x =， ＜则 a=（ ）A ．B ．C ．1D ．25．（5 分）（2014?江西）在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 3a=2b ，则的值为（）A ．﹣B ．C ．1D ．6．（5 分）（2014?江西）以下表达中正确的选项是（）A ．若B ．若， ， ∈ ，则 “ 2+bx+c ≥0”的充足条件是 “b﹣24ac ≤ 0” a b c R ax22a ，b ，c ∈R ，则 “ ab ＞cb ”的充要条件是 “a＞c ”C ．命题 “对随意 x ∈R ，有 x 2≥0”的否认是 “存在 x ∈R ，有 x 2≥0”D ．l 是一条直线， α， β是两个不一样的平面，若l ⊥α， l ⊥β，则 α∥β7．（5 分）（2014?江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4 个变量的关系，随机抽查了 52 名中学生，获得统计数据如表 1 至表 4，则与性别相关系的可能性最大的变量是（）表 1成绩不及格及格总计性别男61420女102232总计163652表 2视力好差总计性别男41620女122032总计163652表 3智商偏高正常总计性别男81220女82432总计163652表 4阅读量丰富不丰富总计性别男14620女23032总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量8．（5 分）（2014?江西）阅读如图程序框图，运转相应的程序，则程序运转后输出的结果为（）A．7B．9C．10D．119．（5 分）（2014?江西）过双曲线 C：﹣=1 的右极点做的一条渐近线订交于点A，若以 C 的右焦点为圆心、半径为两点（ O 为坐标原点），则双曲线 C 的方程为（）x 轴的垂线，与C 4 的圆经过 A， OA．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=110．（5 分）（ 2014?江西）在同向来角坐标系中，函数 y=ax2﹣ x+ 与 y=a2x3﹣2ax2+x+a （a∈R）的图象不行能的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共 5 小题，每题5分，共 25分11．（ 5分）（2014?江西）若曲线 y=xlnx 上点 P 处的切线平行与直线2x﹣ y+1=0，则点 P 的坐标是．12．（5 分）（ 2014?江西）已知单位向量与的夹角为α，且 cosα=，若向量=3﹣2，则 || =．．（分）（江西）在等差数列{ a n}中，a1 ，公差为，前n项和为 n，13 52014?=7d S当且仅当 n=8 时 S n获得最大值，则 d 的取值范围为．．（分）（江西）设椭圆： +（a ＞＞）的左右焦点为1，F2，14 52014?C=1b0F过 F 作 x 轴的垂线与 C 订交于 A，B 两点，F与y 轴订交于点，若⊥，21B DAD F1 B 则椭圆 C 的离心率等于．15．（ 5 分）（2014?江西） x，y∈R，若 | x|+| y|+|x﹣1|+| y﹣1| ≤2，则 x+y 的取值范围为．三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（ 12 分）（2014?江西）已知函数 f（ x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且 f（） =0，此中 a∈R，θ∈（ 0，π）．（1）求 a，θ的值；（2）若 f （）=﹣，α∈（，π），求 sin（α+ ）的值．．（12分）（江西）已知数列n}的前n项和S n=，n∈N*．172014?{ a（1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）证明：对随意的 n＞1，都存在 m∈ N*，使得 a1， a n，a m成等比数列．18．（ 12 分）（ 2014?江西）已知函数 f （x）=（4x2+4ax+a2），此中a＜0．（1）当 a=﹣4 时，求 f（ x）的单一递加区间；（2）若 f （x）在区间 [ 1，4] 上的最小值为 8，求 a 的值．19．（ 12 分）（ 2014?江西）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中， AA1⊥BC， A1B⊥BB1，（1）求证： A1C⊥ CC1；（2）若 AB=2，AC= ，BC= ，问 AA1为什么值时，三棱柱 ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．20．（ 13 分）（2014?江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点 M（0，2）任作一直线与 C 订交于 A，B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线AO 订交于点 D（ O坐原点）．（1）明：点 D 在定直上；（2）作 C 的随意一条切 l（不含 x ），与直 y=2 订交于点 N1，与（ 1）中的定直订交于点 N2，明： | MN2| 2 | MN 1| 2定，并求此定．21．（ 14 分）（2014?江西）将正整数1，2，⋯，n（n∈N*）从小到大摆列构成一个数，（F n）个数的位数（如 n=12 ，此数，共 15 个数字， F（ 12）=15），从个数中随机取一个数字， p（ n）恰巧取到 0 的概率．（1）求 p（100）；（2）当 n≤2014 ，求 F（n）的表达式；（3）令 g（n）个数中数字 0 的个数， f（n）个数中数字 9 的个数， h （n）=f（n）g（n），S={ n| h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当 n∈S p（ n）的最大．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z =( )A.1B.2 C D 【答案】C【解析】设,z a bi =+则()(1)2()()2a bi i i a b a b i i ++=⇒-++=所以01,112a b a b z i a b -=⎧⇒==⇒=+=⎨+=⎩2．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R AC B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D - 【答案】C【解析】 {|33},{|15}A x x B x x =-<<=-<≤，所以{}()31R A C B x x =-<<-3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )1.18A 1.9B 1.6C 1.12D【答案】B【解析】点数之和为5的基本事件有：（1,4）（4,1）（2,3）（3,2），所以概率为41369=. 4．已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a ( )1.4A 1.2B .1C .2D 【答案】A【解析】(1)2f -=，(2)4f a =，所以[(1)]41f f a -==解得14a =5．在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若35a b =，则2222sin sin sin B AA -的值为( )1.9A -1.3B .1C 7.2D【答案】D【解析】222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．下列叙述中正确的是( ).A 若,,a b c R ∈，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤” .B 若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”.D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ【答案】D【解析】当0a ≠时，A 是正确的；当0b =时，B 是错误的；命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x <”，所以C 是错误的。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z =( ) A ．1 B ．2CD 2．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D - 3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )1.18A 1.9B 1.6C 1.12D4．已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a ( )1.4A 1.2B .1C .2D 5．在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若35a b =，则2222sin sin sin B A A -的值为( )1.9A -1.3B .1C 7.2D6．下列叙述中正确的是( ).A 若,,a b c R ∈，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤” .B 若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥” .D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7．某人研究中学生的性别与成绩．视力．智商．阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2表3 表4A ．成绩B ．视力C 8．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9 C ．10 D ．119．过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A ．若以C 的右焦点为圆心．半径为4的圆经过A ．O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A ．112422=-y x B ．19722=-y x C ．18822=-y x D ．141222=-y x 10．在同一直角坐标系中，函数22322()2ay ax x y a x ax x a a R =-+=-++∈与的图像不可能．．．的是( )二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线210x y -+=，则点P 的坐标是_______．12．已知单位向量=-==||,23,31cos ,,2121a e e a e e则若向量且的夹角为αα_______． 13． 在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．14． 设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．15． R y x ∈，，若112x y x y ++-+-≤，则y x +的取值范围为__________． 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ．（1）求θ，a 的值； （2）若⎪⎭⎫⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值． 17． （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列． 18．（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a ． （1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间； （2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥． （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值．20．（本小题满分13分）如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．AB A 1C1C 1（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值．21．（本小题满分14分）将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率．（1）求(100)p ；（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式； （3）令()g n 为这个数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{|()1,100,*}S n h n n n N ==∈≤，求当n S ∈时()p n 的最大值．参考答案一、选择题 1．C【解析】设,z a bi =+则()(1)2()()2a bi i i a b a b i i ++=⇒-++=所以01,112a b a b z i a b -=⎧⇒==⇒=+=⎨+=⎩2．C【解析】 {|33},{|15}A x x B x x =-<<=-<≤，所以{}()31R A C B x x =-<<-3．B【解析】点数之和为5的基本事件有：（1,4）（4,1）（2,3）（3,2），所以概率为41369=. 4．A【解析】(1)2f -=，(2)4f a =，所以[(1)]41f f a -==解得14a = 5．D【解析】222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．D【解析】当0a ≠时，A 是正确的；当0b =时，B 是错误的；命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x <”，所以C 是错误的。

2014·江西卷(文科数学)1．[2014·江西卷] 若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．1B ．2C.2D. 31．C [解析]因为z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.2．[2014·江西卷] 设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－3，0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3，3)2．C [解析]∵A ＝(－3，3)，∁R B ＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)， ∴A ∩(∁R B )＝(－3，－1]． 3．[2014·江西卷] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118B.19C.16D.1123．B [解析]掷两颗均匀的骰子，一共有36种情况，点数之和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，所以点数之和为5的概率为436＝19.4．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 4．A [解析]因为f (－1)＝21＝2，f (2)＝a ·22＝4a ＝1，所以a ＝14.5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B.13C ．1D.725．D [解析]由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 6．[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β6．D [解析]对于选项A ，a >0，且b 2－4ac ≤0时，才可得到ax 2＋bx ＋c ≥0成立，所以A 错．对于选项B ，a >c ，且b ≠0时，才可得到ab 2>cb 2成立，所以B 错． 对于选项C ，命题的否定为“存在x ∈R ，有x 2<0”， 所以C 错．对于选项D ，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D 正确． 7．[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2表3A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量7．D [解析]通过计算可得，表1中的χ2≈0.009，表2中的χ2≈1.769，表3中的χ2＝1.300，表4中的χ2≈23.481，故选D.8．[2014·江西卷] 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．118．B [解析]初始值，S ＝0，i ＝1，接下来按如下运算进行：第一次循环，S ＝lg 13>－1，再次进入循环，此时i ＝3；第二次循环，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15>－1，再次进入循环，此时i ＝5；第三次循环，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17>－1，再次进入循环，此时i ＝7；第四次循环，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19>－1，再次进入循环，此时i ＝9；第五次循环，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111<－1，退出循环，此时i ＝9.9．[2014·江西卷] 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝19．A [解析]由直线方程x ＝a 和渐近线方程y ＝bax 联立解得A (a ，b )．由以C 的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O 可得c ＝4，即右焦点F (4，0)． 由该圆过A 点可得|F A |2＝(a －4)2＋b 2＝a 2＋b 2－8a ＋16＝c 2－8a ＋16＝c 2，所以8a ＝16，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.10．[2014·江西卷] 在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图像不可能是(AC 10．B [解析]当a ＝0时，为D 选项．当a ≠0时，抛物线的对称轴为直线x ＝12a ，另一个函数的导数y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′＝0，解得该函数的两个极值点分别为x 1＝1a ，x 2＝13a ，12a 一直介于1a 和13a之间，排除法知选B.11．[2014·江西卷] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．11．(e ，e) [解析]由题意知，y ′＝ln x ＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x ＋1＝2，得x ＝e ，所以y ＝elne ＝e ，所以P (e ，e)．12．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________．12．3 [解析]因为|a |2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×13＋4×1＝9，所以|a |＝3.13．[2014·江西卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．13.⎝⎛⎭⎫－1，－78 [解析]由题可知a 8>0且a 9<0，即7＋7d >0且7＋8d <0，所以－1<d <－78. 14．[2014·江西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D .若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．14.33 [解析]由题意A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，F 1(－c ，0)，则直线F 1B 的方程为y －0＝－b 2a2c(x ＋c )． 令x ＝0，得y ＝－b 22a，即D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，则向量DA ＝⎝⎛⎭⎫c ，3b 22a ，F 1B →＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b 2a . 因为AD ⊥F 1B ，所以DA →·F 1B →＝2c 2－3b 42a2＝0，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，整理得(3e －1)(e ＋3)＝0，所以e ＝33(e >0)．故椭圆C 的离心率为33.15．[2014·江西卷] x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________．15．[0，2] [解析]⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|x －1|≥1，|y |＋|y －1|≥1⇒|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2⇒|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|x －1|＝1，|y |＋|y －1|＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1⇒0≤x ＋y ≤2. 16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．17．解：(1)由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *，且m ＞n ，所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)． 故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，25和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x ，a ＜0，所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0. ①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意． 综上有，a ＝－10. 19．、[2014·江西卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1. (1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC -A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．19．解：(1)证明：由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC .又BB 1⊥A 1B ，故BB 1⊥平面BCA 1，所以BB 1⊥A 1C .又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1. (2)方法一：设AA 1＝x .在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2.同理，A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－x 2. 在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C ＝－x 2（4－x 2）（3－x 2），sin ∠BA 1C ＝12－7x 2（4－x 2）（3－x 2），所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367， 所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.(2)方法二：过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，得BC ⊥平面AA 1D ，故BC ⊥AD .又∠BAC ＝90°，所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，得AD ＝2217.设AA 1＝x .在Rt △A 1D ＝AD 2－AA 21S △A 1BC ＝12A 1D ·从而三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367，所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.20．[2014·江西卷] 如图1-2所示，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0，2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上．(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|220．解：(1)依题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，BD 的方程为x ＝x 2，解得交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 1x 2x 1.注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2， 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)． (2)依题意，切线l 的斜率存在且不等于0.设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0. 由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2，得N 1，N 2的坐标为N 1⎝⎛⎭⎫2a ＋a ，2，N 2⎝⎛⎭⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8. 21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．(1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．21．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169.又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119.。