函数背景下几何图形的分类讨论

例谈如何解数学中的分类讨论题摘要数学教育家波利亚说过：“掌握数学意味着解题”。

解题教学作为教师数学教学的重要组成部分和手段，是培养学生通过解题来掌握巩固知识，提高能力的主要途径，不仅如此，解题教学俨然是一门艺术。

低级的解题教学就题论题，解完即止，我们不禁追问：解题的思路方法够简洁吗？方法的产生够自然吗？更换本题的背景条件，目前的思路还适用吗？能否放之四海而皆知？作为教师，我们在自身解题能力的保证下，在对学生现有解题能力的准确评判下，如何指导学生用常规、自然、普通的知识，简短、明了地呈现解题过程。

关键词数学公式分类讨论题知识在初中数学中，分类讨论是贯穿于各种题型的一种重要的思想方法。

由于学生对于分类的原因和标准模糊不清，有的在解题中往往以偏概全、漏解，有的甚至无从下手。

以下就对某节课上处理分类讨论问题的片段做一分析。

一、由数学概念引起的分类讨论当涉及某些特定的数学概念时，必须分多种情况解答。

例1.若分析：学生根据正负3的绝对值都是3，不难得出x-2的值为3或-3两种情况。

二、由数学公式引起的分类讨论有些公式有不同的形式或者有不同的适用范围，学生在应用时往往会忽视其中一点造成解答不全。

例2．若x2+(m-1)x+4是一个关于x的完全平方式，则m=___________分析：完全平方公式是初中数学中两个重要的公式，事实上，学生对于一次项前是加号的完全平方式更为熟悉。

原因在于在七年级学习负数中，将数的正负以及正负符号之间划上了等号。

三、由字母取值的任意性引起的分类讨论式子中字母取值的不同决定了不同的性质或者图形位置，尤其体现在函数解析式中含有的字母对于函数图像以及性质的决定作用。

例3.在同一坐标系中，正比例函数y=-3x与反比例函数y=■的图象的交点的个数是_______分析：只需要学生对k决定反比例函数所在象限这一基本知识点掌握，通过画出两个函数的草图，本题就可迎刃而解。

四、几何中图形位置的不确定引起的分类讨论某些几何图形，在题设条件下有几种图形，这时候需要对每一种图形都进行讨论解答。

浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用1. 引言1.1 分类讨论思想在数学教学中的重要性在高中数学教学中，分类讨论思想是一种非常重要的教学方法。

分类讨论思想可以帮助学生建立起系统的思维结构，培养学生的逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和创新能力。

通过分类讨论思想，学生可以将知识点整理成一种有机的体系，更加深入地理解和掌握数学知识。

分类讨论思想还可以帮助学生发现知识之间的联系和规律，从而激发学生对数学的兴趣，提高学习的积极性和主动性。

在高中数学教学中，引导学生采用分类讨论思想是非常必要的。

通过分类讨论思想的应用，可以使教学更加系统化、深入化，提高教学的效果和质量，培养学生全面发展的数学素养，使他们具备扎实的数学基础和优秀的数学思维能力。

分类讨论思想不仅是教师教学的方法，更是促进学生全面发展的重要途径，它在高中数学教学中具有不可替代的重要作用。

2. 正文2.1 分类讨论思想在高中数学教学中的基本概念分类讨论思想在高中数学教学中的基本概念涉及到对问题或者知识点进行分类，然后在每一个类别里进行讨论和分析的方法。

这种思想贯穿于数学教学的各个环节，可以帮助学生更深入地理解数学知识，提高他们的逻辑思维能力。

在高中数学教学中，分类讨论思想可以应用在各种数学问题中。

比如在解题过程中，通过将问题分解成几个小问题，然后分别讨论和解决，可以使学生更加清晰地理解问题的结构和解题思路。

分类讨论思想也可以帮助学生在实验教学中更好地总结实验数据，分析实验现象，从而加深对数学原理的理解。

分类讨论思想还可以在数学知识点梳理和素养培养中发挥重要作用。

通过将数学知识点按照特定的规则分类，可以帮助学生系统地掌握知识结构，提高记忆和理解效果。

而在素养培养方面，分类讨论思想可以培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，使他们具备独立思考和解决问题的能力。

2.2 分类讨论思想在高中数学解题中的实际运用分类讨论思想在高中数学解题中的实际运用是非常重要的。

函数背景下的三角形综合问题探究摘要：函数与几何相结合的综合问题主要有两类，一类是以函数知识为背景，考查几何相关知识；另一类是利用几何图形的直观性、几何图形的性质，建立几何图形中各元素之间的函数关系式，建构数量间的函数模型。

三角形是最基本的几何图形，是研究几何问题的关键，特别是等腰三角形和直角三角形。

关键词：函数背景；综合问题；方程思想在初中学习阶段，函数与几何相结合的综合问题主要有两类，一类是以函数知识为背景，考查几何相关知识；另一类是利用几何图形的直观性，几何图形的性质建立几何图形中各元素之间的函数关系式，建构数量间的函数模型。

而三角形是最基本的几何图形，是研究初中几何问题的关键，特别是等腰三角形和直角三角形。

函数背景中的几何问题，常常用到数形结合、分类讨论、方程思想等数学思想方法，在具体问题中要渗透这些思想方法，有助于我们解决这类问题。

一、平面直角坐标系中的三角形问题例1.在平面直角坐标系中，已知点a（2,1）,若点b在坐标轴上，且△oab为等腰三角形，则点b坐标为___.分析：在本题中，最重要的信息是“△oab为等腰三角形”，而等腰三角形的条件往往需要我们用分类的思想进行研究，找出符合条件的点b.1.若ob=oa=■时，如图1-1，以原点为圆心，oa长为半径画圆，圆与坐标轴的交点就是我们要找的点b，而且可以直观的得出b1（0,■）,b2（-■,0）,b3（0,-■）,b4（■,0）;2.若ab=ao=■时，如图1-2，以a点为圆心，oa长为半径画圆，圆与坐标轴的交点就是我们要找的点b，再根据等腰三角形的对称性可直接得出b5（0,2），b6（4,0）；3.若bo=ba时,此时，点b一定在线段oa的垂直平分线上，过oa中点c（1，0.5）作oa的垂线与坐标轴的交点就是我们要找的点b（如图1-3），再作ad⊥y轴于点d（0，1），可知△dao∽△cb7o,设b7（0，a），由相似可得：■=■,即：■=■■=,a=2.5，所以b7（0，2.5），同理可得b8（1.25，0）。

专题14图形中的等腰三⾓形分类讨论（解析版）专题14 图形中的等腰三⾓形分类讨论教学重难点1.理解等腰三⾓形的性质和判定定理；2.能⽤等腰三⾓形的判定定理进⾏相关计算和证明；3.初步体会等腰三⾓形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三⾓形；5.培养学⽣进⾏独⽴思考，提⾼独⽴解决问题的能⼒。

【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学⽣回顾学过的等腰三⾓形的性质，可以在⿊板上举例让学⽣画图；2再根据第2个图引导学⽣总结出题⽬中经常出现的⼀些等腰三⾓形的题型；3.和学⽣⼀起分析⼆次函数背景下等腰三⾓形的基本考点，为后⾯的例题讲解做好铺垫。

建议时间5分钟左右。

等腰三⾓形的性质：等腰三⾓形常见题型分类：函数背景下的等腰三⾓形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进⾏等腰三⾓形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两⼤类；4.根据点的位置和形成的等腰三⾓形⽴等式求解。

【备注】：1.以下每题教法建议，请⽼师根据学⽣实际情况参考；2.在讲解时：不宜采⽤灌输的⽅法，应采⽤启发、诱导的策略，并在读题时引导学⽣发现⼀些题⽬中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学⽣在复杂的背景下⾃⼰发现、领悟题⽬的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学⽣逐步解题，并采⽤讲练结合；注意边讲解边让学⽣计算，加强师⽣之间的互动性，让学⽣参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学⽣分析题⽬，边讲边让学⽣书写，每个问题后⾯有答案提⽰；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类⽐式引导等等；6.部分例题可以先让学⽣⾃⼰试⼀试，之后再结合学⽣做的情况讲评；7.每个题⽬的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间⾜够的情况下讲解。

1.（2019青浦⼆模）如图1，已知扇形MON的半径为，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂⾜为点D，C为线段OD上⼀点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三⾓形时，求x的值.整体分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进⽽判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；（2）先判断出BD=DM，进⽽得出，进⽽得出AE=，再判断出，即可得出结论；（3）分三种情况利⽤勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，∴AC=AM．（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．∵DE∥AB，∴，∴AE=EM．∵OM=，∴AE=．∵DE∥AB，∴，∴．（）（3）（i）当OA=OC时．∵．在Rt△ODM中，．∵．解得，或（舍）．（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC为等腰三⾓形时，x的值为．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三⾓形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三⾓形的性质，建⽴y关于x 的函数关系式是解答本题的关键．图形背景下等腰三⾓形分类讨论的解题⽅法和策略：1.先寻找题⽬中的条件：相等的⾓、相等的边、相似的三⾓形等；2.根据题⽬中的条件求解相关线段的长度；3.等腰三⾓形讨论中，分三步⾛：分类、画图、计算；4.等腰讨论中，当不能直接利⽤边长相等求解时，⼀般情况下通过“画底边上的⾼”辅助线结合三⾓⽐计算求解；5.注意点的位置取舍答案；6.根据题⽬条件，注意快速、正确画图，⽤好数形结合思想；7.利⽤⼏何定理和性质或者代数⽅法建⽴⽅程求解都是常⽤⽅法。

高中数学分类讨论专题
高中数学的分类讨论专题可以包括以下几个方面：
1. 几何图形的性质：例如平面图形的性质研究，如线段、角、三角形、四边形的性质等。

2. 几何变换：研究平移、旋转、对称、相似变换等，以及其应用于几何图形的理论和实际问题。

3. 解析几何：研究平面和空间的坐标系，以及直线、圆、曲线的性质和方程，通过代数方法解决几何问题。

4. 数列和数列极限：研究等差数列、等比数列、等差数列等各类数列的性质和求和公式，以及数列极限的概念、性质和计算方法。

5. 函数及其性质：研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，以及函数的图像、图像的变换和应用。

6. 三角函数：研究正弦、余弦、正切等三角函数的性质，以及三角恒等式、三角方程的求解等问题。

7. 解方程与方程组：研究一元二次方程、一元高次方程、一元不等式、二元一次方程组、二元二次方程组等的解法和应用。

8. 概率与统计：研究随机事件的概率、频数分布和统计指标的计算方法，以及概率和统计在实际问题中的应用。

以上是一些高中数学的分类讨论专题，不同学校和不同课程设置可能会有所不同，具体的内容可以根据学校的教材和教学大纲进行细化。

学习指导２０２３年８月下半月㊀㊀㊀分类讨论思想在初中数学解题中的应用◉江苏省昆山开发区青阳港学校㊀沈俊杰㊀㊀摘要:近年来,分类讨论的问题已经成为各地中考压轴试题的热门考点,这类问题学生在解答中极易出现漏解．本文中就分类讨论思想在初中数学各个专题中的应用浅谈应用策略．关键词:分类讨论;初中数学;解题;应用㊀㊀在初中数学教学过程中发现,大多数学生对分类讨论思想了解不够深入,把握不够牢固,分析问题比较片面,导致问题解决不彻底．本文中笔者根据自身教学实践,就分类讨论思想在初中数学各个专题中的应用进行探讨研究．１分类讨论思想在绝对值问题中的运用由绝对值的概念可知,绝对值可用来表示数轴上两点之间的距离,但无法明确这两点的具体位置,对此类问题,我们就需要进行分类讨论后再确定相应的值．例１㊀解决下面的问题:(１)如果|x ＋１|＝２,求x 的值;(２)若数轴上表示数a 的点位于－３与５之间,求|a ＋３|＋|a －５|的值;(３)当a ＝㊀㊀㊀时,|a －１|＋|a ＋５|＋|a －４|的值最小,最小值是㊀㊀㊀㊀．点拨:显然,例１中的每一个问题都涉及到了绝对值,由于绝对值里的式子不知是正还是负,因此需要进行分类讨论．(１)由|x ＋１|＝２,可得x ＋１＝２,或x ＋１＝－２,解得x ＝１,或x ＝－３．(２)中因为已经明确表示数a 的点位于－３与５之间,故可以判断a ＋３和a －５的正负,则不需要进行分类讨论,可直接根据正负情况去掉绝对值进行解答．(３)中没有明确数a 的具体大小,无法直接判断a －１,a ＋５,a －４的正负,这就需要利用三个零点从四个方面进行分类讨论,再根据具体的取值分析最小值即可．从例１的分析可知,在遇到数轴上点的位置不明确时,就需要考虑使用分类讨论思想进行解答,从而将绝对值符号去掉并轻松解题[１]．２分类讨论思想在二次根式中的运用在涉及有关二次根式的计算与化简问题时,常常会遇到形如a ２的式子,如何对这类式子进行化简,则需要进行分类讨论．例２㊀若代数式(２－a )２＋(a －４)２＝２,求a 的值．点拨:若对代数式进行化简,则要去掉根号,根据a ２＝a ,将问题转化为含有绝对值的问题来处理,结合例１的分析可考虑利用分类讨论思想解题．(２－a )２＋(a －４)２＝|２－a |＋|a －４|,再分别从a ＜２,２ɤa ＜４,a ȡ４三个方面进行分类讨论,进而化简求值．在解决与二次根式有关的求数的平方根或者化简二次根式等问题都要注意分类讨论思想的运用．３分类讨论思想在方程中的运用在一些与方程有关的问题中,若方程含有字母参数,根据题干我们无法直接判断参数的情况,从而无法判断方程的类型,对下一步的问题解答造成麻烦,这个时候就需要进行分类讨论[２]．例３㊀已知关于x 的方程(m ＋１)x ２－(m －２)x ＋m ４＝０．(１)若方程有实数根,求m 的取值范围;(２)已知x １,x ２为方程的两个实数根,且x ２１－x ２２＝０,求m 的值．点拨:第(１)问只是说明这是关于x 的方程,从方程式可以看出未知数的最高次数是２次,但由于二次项系数m ＋１有可能为０,因此可以从m ＋１ʂ０和m ＋１＝０两方面判断该方程是一元二次方程或者一元一次方程．根据方程特点,可整理分析得２５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀到Δȡ０或m ＋１＝０两种情况,再解不等式或方程求出m 的取值范围即可．此类题型主要问题是概念指代不清,存在类似问题的还有函数是一次函数还是二次函数,都需要考虑分类讨论．４分类讨论思想在不等式中的运用在解决不等式的有关问题时,也常常遇到由a b ＞０或a b ＜０来判断a ,b 符号的问题,根据同号为正㊁异号为负的法则,需要我们针对具体情况进行分类讨论,如当a b ＞０时,有a ＞０,b ＞０,{或a ＜０,b ＜０．{两种情况．例４㊀解一元二次不等式:x ２－４＞０．点拨:将x ２－４分解因式,得x ２－４＝(x ＋２)(x －２),则原不等式转化(x ＋２)(x －２)＞０即可．根据有理数的乘法法则 两数相乘,同号得正 ,进行分类讨论,则有x ＋２＞０,x －２＞０,{或x ＋２＜０,x －２＜０,{进而解得一元二次不等式x ２－４＞０的解集为x ＞２或x ＜－２．在计算过程中出现同号为正㊁异号为负的情况时,都需要从两个方面进行计算,此时要关注分类讨论思想的体现,以防漏解或缺解．５分类讨论思想在几何图形中的应用几何图形中常见的分类讨论往往集中在等腰三角形的判定㊁相似三角形的判定㊁与圆相关的图形位置判断等方面．涉及几何图形的分类讨论问题往往融合在函数中,故处理相关问题时也要注意分类讨论[３]．例５㊀已知øA O B ＝８０．５ʎ,øA O D ＝１２øA O C ,øB O D ＝３øB O C (øB O C ＜５０ʎ),求øB O C 的度数．点拨:根据题干叙述,无法直接判断O C ,O D 的位置,从而无法进行计算,因此本题需要根据题干情况进行分类讨论．根据题意分析,可以得到符合要求的有三种情况,针对存在的三种情况,画出相应的图形,然后进行计算,即可得到øB O C 的度数[４]．图１例６㊀如图１,在直角梯形A B C D 中,A D ʊB C ,øC ＝９０ʎ,B C ＝１６,A D ＝２１,D C ＝１２,动点P 从点D 出发,沿线段D A 方向以每秒２个单位长度的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段C B 以每秒１个单位长度的速度向点B 运动．点P ,Q 分别从点D ,C 同时出发,当点P 运动到点A 时,点Q 随之停止运动,设运动时间为t s ．(１)设әB P Q 的面积为S ,求S 和t 之间的函数关系式;(２)当t 为何值时,以B ,P ,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形?点拨:显然,第(２)问中以B ,P ,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形,需要分三种情况讨论:①P Q ＝B Q ;②B P ＝B Q ;③P B ＝P Q ．根据勾股定理最终求得t ＝７２或t ＝１６３时,以B ,P ,Q 三点为顶点三角形是等腰三角形．图２例７㊀如图２,四边形A B C D 中,A D ʊB C ,øB ＝９０ʎ,A B ＝８,B C ＝２０,A D ＝１８,Q 为B C 的中点,动点P 在线段A D边上以每秒２个单位长度的速度由点A 向点D 运动,设动点P 的运动时间为t s ．在A D 边上是否存在一点R ,使得以B ,Q ,R ,P 四点为顶点的四边形是菱形若存在,请直接写出t 的值;若不存在,请说明理由．点拨:题目中要求探究的点R 在什么位置,我们一下子搞不清,故考虑分类讨论,可分为两种情况．一是点P 在点R 的左侧,四边形B Q R P 是菱形,此时B P ＝B Q ＝１０,根据勾股定理求得A P ＝６,则D P ＝１２,再列方程求出此时的t 值即可;二是点R 在点P 的左侧,四边形B Q P R 是菱形,此时B R ＝B Q ＝１０,A P ＝６＋１０＝１６,再列方程求出t 值．结合上述五个方面的研究发现,在解答数学问题的过程中遇到一些点或线位置不明确㊁图形不固定的情况时,要考虑分类讨论,让问题解答更加全面．总之,在初中数学问题研究中,充分运用分类讨论思想更能深刻挖掘学生的生活体验,引导他们从多个角度感知㊁分析问题情境,更多地激励学生开动脑筋,运用新思想新方法,拓展思维,从而培养学生多角度全方位的解题习惯,全面提升数学核心素养．参考文献:[１]顾宣峰．分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J ]．高中数理化,２０２１(S １):２０．[２]任建平．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J ]．数理天地(初中版),２０２３(１３):３７Ｇ３８．[３]王珍．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J ]．中学数学,２０２３(１２):７３Ｇ７４．[４]孙高传．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J ]．第二课堂(D ),２０２２(２):３８Ｇ３９．Z ３５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

2008高考数学专题复习分类讨论的思想一、考点回顾分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。

2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。

专题01二次函数背景下的等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．【模型解读】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．34C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：5AC ，5BC =（3）分类讨论：根据55AC BC ==，（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．【模型实例】1．如图，已知两直线1l ，2l 分别经过点(1,0)A ，点(3,0)B -，且两条直线相交于y 轴的正半轴上的点C ，当点C 的坐标为时，恰好有12l l ⊥，经过点A 、B 、C 的抛物线的对称轴与1l 、2l 、x 轴分别交于点G 、E 、F ，D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG 与DE 的数量关系？并说明理由；（3）若直线2l 绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，当MCG ∆为等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标．2．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线223y ax x =+-与x 轴交于A 、B 两点，且(1,0)B （1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）如图，已知直线2439y x =-分别与x 轴、y 轴交于C 、F 两点，点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点，过点Q 作y 轴的平行线，交直线CF 于点D ，点E 在线段CD 的延长线上，连接QE ．问：以QD 为腰的等腰QDE ∆的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点(0,2)C-，点A的坐标是(2,0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD x⊥轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线1x=-．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且14PE OD=，求PBE∆的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使BDM∆是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线23y ax bx =++过点(1,0)A -，点(3,0)B ，顶点为C ．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若DAC ∆是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；6．如图，在ABC ∆中，AB AC =，且点A 的坐标为(3,0)-，点C 坐标为，点B 在y 轴的负半轴上，抛物线23y x bx c =-++经过点A 和点C （1）求b ，c 的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得ACQ ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由7．如图，开口向上的抛物线与x 轴交于1(A x ，0)、2(B x ，0)两点，与y 轴交于点C ，且AC BC ⊥，其中1x ，2x 是方程2340x x +-=的两个根．（1）求点C 的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段BC 的直线l 交x 轴于点D ，交线段BC 于点E ，连接CD ，求CDE ∆的面积的最大值及此时点D 的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PDE ∆是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点(4,0)A -、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E -，连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线211242y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ACM ∆是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．专题02二次函数背景下的直角三角形存在性问题【模型解读】【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，12C C 、求法相同，以2C 为例：【构造三垂直】34C C 、求法相同，以3C 为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下1C 待求，不妨来求下1C ：（1）表示点：设1C 坐标为（m ，0），又A （1，1）、B （5，3）；（2）表示线段：25AB =，()22111AC m =-+，()22153BC m =-+（3）分类讨论：当1BAC ∠为直角时，22211AB AC BC +=；（4）代入得方程：()()2222201153m m +-+=-+，解得：32m =．还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线1AC 与AB 互相垂直，11AC AB k k ⋅=-，可得：12AC k =-，又直线1AC 过点A （1,1），可得解析式为：y =-2x +3，所以与x 轴交点坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，即1C 坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A 、B 、C 坐标；（2）表示线段AB 、AC 、BC ；（3）分类讨论①AB ²+AC ²=BC ²、②AB ²+BC ²=AC ²、③AC ²+BC ²=AB ²；（4）代入列方程，求解．如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．【模型实例】1．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当PM AM 最大时，求点P 的坐标及PM AM的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使BCD ∆是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，直线210y x =-+分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点C 为OB 的中点，抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为抛物线上一点，若APB ∆是以AB 为直角边的直角三角形，求点P 到抛物线的对称轴的距离．3．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A ，(1,0)B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM ∆为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．4．已知直线3y x =+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++经过A 、B 两点，点M 在线段OA 上，从O 点出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 个单位的速度匀速运动，连接MN ，设运动时间为t 秒（1）求抛物线解析式；（2）当t 为何值时，AMN ∆为直角三角形；5．如图，抛物线22y ax x c =++与x 轴交于(4,0)A -，(1,0)B 两点，过点B 的直线23y kx =+分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PDC ∆为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；6．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，顶点为D ，点B 的坐标为(3,0)．（1）填空：点A 的坐标为，点D 的坐标为，抛物线的解析式为；（2）P 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P ，使PAC ∆是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．抛物线22(0)y ax bx b a =-+≠与y 轴相交于点(0,3)C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF ∆是等腰直角三角形，求DEF ∆的面积；8．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为(1,4)-．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN ∆为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为(3,0)，B 点坐标为(1,0)-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值．（2）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ ∆是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线21264:()515F y a x =-+与x 轴交于点6(5A -，0)和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线1F 的表达式；（2）如图2，将抛物线1F 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线2F ，若抛物线1F 与抛物线2F 相交于点D ，连接BD ，CD ，BC ．①求点D 的坐标；②判断BCD ∆的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线2F 上是否存在点P ，使得BDP ∆为等腰直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．专题03二次函数背景下的相似三角形存在性问题【模型解读】在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．【模型实例】1．如图，直线1322y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，过点A 的抛物线2y x bx c =-++与x 轴的另一交点为C ，与y 轴交于点(0,3)D ，抛物线的对称轴l 交AD 于点E ，连接OE 交AB 于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OE AB ⊥；（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M ，是否存在这样的点P ，使以A ，O ，M 为顶点的三角形与ACD ∆相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2:(0)C y ax bx c a =++≠经过点(1,1)和(4,1)．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ．①求抛物线1C 的解析式．②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC ∆相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q 在射线ED 上，若以点P 、Q 、E 为顶点的三角形与BOC ∆相似，请直接写出点P 的坐标．4．已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC ∆'与POB ∆相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和(3,0)B -两点，与y 轴交于(0,3)C -，对称轴为直线1x =-，直线2y x m =-+经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．（1）求抛物线的解析式和m 的值；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与AOD ∆相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点．（1）求证：90ACB ∠=︒；（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ,点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG ∆相似，求点D 的坐标．7．如图，抛物线22(0)y ax x c a =-+≠与x 轴交于A 、(3,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与BCD ∆相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为(0,4)，以点A为顶点的抛物线解析式为2=-+．(2)y x（1）求一次函数的解析式；（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为1-时，求抛物线的解析式及D点的坐标；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与AOB∆相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于(1,0)A ，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，直线122y x =-+经过B ，C 两点．（1）直接写出二次函数的解析式；（2）平移直线BC ，当直线BC 与抛物线有唯一公共点Q 时，求此时点Q 的坐标；（3）过（2）中的点Q 作//QE y 轴，交x 轴于点E ．若点M 是抛物线上一个动点，点N 是x 轴上一个动点，是否存在以E ，M ，N 三点为顶点的直角三角形（其中M 为直角顶点）与BOC ∆相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M 的个数和其中一个符合条件的点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，抛物线236y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，33BO AO ==，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC =．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当ABD ∆与BPQ ∆相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．11．如图，抛物线22y ax bx=++与x轴交于A，B两点，且2OA OB=，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线12x=，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE OA⊥于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与BOC∆相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y ax bx c =++经过(3,0)A -，(1,0)B ，(0,3)C 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与ABC ∆相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接AC ，BC ，过点O 作直线//l BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∆∆∽？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．专题04二次函数背景下的平行四边形存在性问题【例题讲解】如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx +4，得到，解得，∴y ＝﹣x 2+3x +4；（2）在y ＝﹣x 2+3x +4中，令x ＝0，则y ＝4，∴C （0，4），设BC 的解析式为y ＝kx +b ，∵B （4，0），C （0，4），∴，∴，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +4．（3）如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，对于抛物线y＝﹣x2+3x+4，当y＝4时，x2﹣3x＝0，解得x＝0或3，∴N1（3，4）．当y＝﹣4时，x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝，∴N2（，﹣4），N3（，﹣4），综上所述，满足条件的点N的坐标为（3，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．【模型解读】求证平行四边形存在，先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：A B D C AB DC x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：2222A CB D AC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，可以理解为AC 的中点也是BD的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D B A B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩，2222A CB D AC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩．当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得：（1）BC 为对角线时，531352m n +=+⎧⎨+=+⎩，可得()17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得()21,4D -；（3）AB 为对角线时，153235m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得()33,0D ．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：1=D B C A +-，2=D A C B +-，3D A B C =+-．（此处特指点的横纵坐标相加减）2．两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）．（1）当AB 为对角线时，130120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式：A C B D AC BD x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．【真题实例】1．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，AC =，3OB OC OA ==．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBAC 的面积最大，求出点P 的坐标；（3）在（2）的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ，使点P 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线314y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，C ，经过点C 的抛物线214y x bx c =++与直线314y x =+的另一个交点为点D ，点D 的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M 为抛物线上的动点，N 为x 轴上一点.3．如图，抛物线22(0)y ax x c a =-+≠与x 轴交于A 、(3,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴上，若以点P 、Q 、B 、C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P 、Q 的坐标；4．如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B 0)，平行于y 轴的直线EF与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为3，四边形BDEF 为平行四边形．（1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(1,0)A ，(3,0)B ，(0,6)C 三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P 为抛物线上的一动点，Q 为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P ，使A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，过点A 的直线l 交抛物线于点(2,)C m ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是线段AC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，求线段PE 最大时点P 的坐标．（3）点F 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点D ，使得以点A ，C ，D ，F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(0,5)．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．专题05二次函数背景下的矩形存在性问题【例题讲解】如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B -，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为4m +．点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E ，点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形．【解答】解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0），点B （﹣3，0）∴设交点式y ＝a （x +1）（x +3）∵OC ＝OB ＝3，点C 在y 轴负半轴∴C （0，﹣3）把点C 代入抛物线解析式得：3a ＝﹣3∴a ＝﹣1∴抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）（x +3）＝﹣x 2﹣4x ﹣3（2）如图，∵D 、F 关于点E 对称，∴DE ＝EF∵四边形MDNF 是矩形∴MN ＝DF ，且MN 与DF 互相平分∴DE ＝MN ，E 为MN 中点∴x D ＝x E ＝＝m +2由①得当d ＝m +2时，DE ＝4∴MN ＝2DE ＝8∴（m +4﹣m ）2+[﹣m 2﹣12m ﹣35﹣（﹣m 2﹣4m ﹣3）]2＝82解得：m 1＝﹣4﹣，m 2＝﹣4+∴m 的值为﹣4﹣或﹣4+时，四边形MDNF 为矩形．【模型解读】矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：()()()()2222A CB D AC BD A C A C B D B D x x x x y y y y x x y y x x y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩（AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在平面中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．。

分类讨论思想在数学教学中的应用
分类讨论思想是一种重要的逻辑思维方法，在数学教学中也有广泛的应用。

下面就分
类讨论思想在数学教学中的应用进行分类讨论。

一、几何问题中的分类讨论思想
几何问题中常常要根据几何图形的特征进行分类讨论，以达到解决问题的目的。

例如，初中数学中的“巧妙构造三平方数”问题，就可以利用分类讨论思想，将所有正整数分为
奇数与偶数两类，再利用勾股定理分别证明奇数与偶数的情况，最终得到结论。

这种分类
讨论思想在解决几何问题时尤为常见，不仅可以帮助学生理解几何知识，而且能够锻炼学
生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、概率问题中的分类讨论思想
概率问题中的分类讨论思想同样重要。

在初中数学中，学生学习概率时，常常需要利
用分类讨论思想，将问题中的样本空间进行分类，从而计算出概率值。

例如，求掷骰子两次，点数和为6的概率，就可以将样本空间进行分类讨论，分别讨论两次掷骰子得到什么
点数的情况，最终计算出概率值。

这种分类讨论思想在初中概率学习中应用广泛，不仅帮
助学生掌握概率知识，而且能够提高学生的逻辑推理能力。

综上所述，分类讨论思想在数学教学中应用广泛，不仅可以帮助学生掌握各种数学知识，而且能够提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

因此，在数学教学中应注重培
养学生分类讨论思想的应用，使学生能够灵活运用这一思想方法解决各种数学问题。

数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。

而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。

可以说，函数的研究离不开方程。

列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。

一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。

另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

专题10 几何图形中的分类讨论思想【典例解析】【例1】（2019·江苏崇川期中）△ABC 中，最小内角∠B ＝24°，若△ABC 被一过点A 的直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC 中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC 中的最大内角度数为_____．【变式1-1】（2020·哈尔滨月考）已知等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为BC 边上一点，且ABD △和ACD △都是等腰三角形，则B ∠=______．【变式1-2】（2019·河北邢台模考）我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC ∆中，25,105A ABC ∠=︒∠=︒，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______．（2）已知在ABC ∆中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________．【例2】（2018·南通市期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标； （2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和ABP ∆全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-1】（2020·重庆期末）如图，点C 在线段BD 上，AB BD ⊥于B ，ED BD ⊥于D ，90ACE ∠=︒，且5AC cm =，6CE cm =，点P 以2/cm s 的速度沿A C E →→向终点E 运动，同时点Q 以3/cm s 的速度从E 开始，在线段EC 上往返运动（即沿E C E C →→→…运动），当点P 到达终点时，P ，Q 同时停止运动.过P ，Q 分别作BD 的垂线，垂足为M ，N .设运动时间为 t s ，当以P ，C ，M 为顶点的三角形与QCN △全等时，t 的值为__________．【例3】（2019·四川成都期中）如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ． (1)如果∠A ＝80°，求∠BPC 的度数；(2)如图②，作△ABC 外角∠MBC ，∠NCB 的角平分线交于点Q ，试探索∠Q 、∠A 之间的数量关系． (3)如图③，延长线段BP 、QC 交于点E ，△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A 的度数．【变式3-1】（2020·河南偃师）（1）发现：如图1，ABC ∆的内角ABC ∠的平分线和外角ACD ∠的平分线相交于点O .①当50A ︒∠=时，则BOC ∠=②当A α∠=时，求BOC ∠的度数（用含α的代数式表示）﹔（2）应用：如图2，直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OB 上运动（点B 不与点O 重合），延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线所在的直线相交于E F 、，在AEF ∆中，如果一个角是另一个角的3倍，请直接写出ABO ∠的度数.【变式3-2】（2020·山东崂山期末）直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动，连接AB ．图1 图2 图3 图4 （1）如图1，已知AC ，BC 分别是BAP ∠和ABM ∠角的平分线，①点A ，B 在运动的过程中，ACB ∠的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出ACB ∠的大小．②如图2，将ABC ∆沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，记作点C '，则ABO ∠=_______︒；如图3，将ABC ∆沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，记作点C ''，则ABO ∠=________︒．（2）如图4，延长BA 至G ，已知BAO ∠，OAG ∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线交其延长线交于E ，F ，在AEF ∆中，如果有一个角是另一个角的32倍，求ABO ∠的度数．O A PQNMCO APQN MCO APQN MCQNM C'BBBBEAO F C'【习题专练】1.（2020·河南宛城月考）等腰三角形的底边长为6cm ，一腰上的中线把三角形分成的两部分周长之差为4cm ，则这个等腰三角形周长为_____cm ．2.（2020·重庆月考）如图，//AD BC ，120ADC ∠=︒，3BAD CAD ∠=∠，E 为AC 上一点，且2ABE CBE ∠=∠，在直线AC 上取一点P ，使ABP DCA ∠=∠，则CBP ∠：ABP ∠的值为______．3.（2020·湖北硚口期中）如图，在平面直角坐标系中，点()0,B m ，点(),C n m ，其中0m >，0n <，点A 是x 轴负半轴上一点，点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ON 平分AOP ∠，BN 交ON 于N ，则BPO ∠与BNO ∠之间可满足的数量关系式为______________．4.（2019·乐清市期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.（2020·厦门市）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （3，2），点P （m ，0）（m ＜6），若△POA 是等腰三角形，则m 可取的值最多有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个6.（2020·四川江油月考）在△ABC 中，AB =AC ，AC 上的中线BD 把三角形的周长分为24㎝和30㎝的两个部分，求三角形的三边长．7.（2020·南阳市期末）已知一个等腰三角形的三边长分别为 2x ﹣1、x +1、3x ﹣2，求这个等腰三角形的周长．（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．解：①当 2x ﹣1=x +1 时，解 x 等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）． ②当 2x ﹣1=3x ﹣2 时，解 x 等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）． （2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．8.（2019·宜春市期中）如图，30MON ∠=︒，点A 为射线ON 上一顶点，点B 在射线OM 上移动，当AOB 为等腰三角形时，ABO ∠=_________．9.（2020·安徽淮南月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形的底角的度为______.10.（2020·江苏盱眙一期末）直线MN 与PQ 相互垂直，垂足为点O ，点A 在射线OQ 上运动，点B 在射线OM 上运动，点A 、点B 均不与点O 重合．（1）如图1，AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，若40BAO ∠=︒，求AIB ∠的度数； （2）如图2，AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，BC 的反向延长线交AI 于点D ． ①若40BAO ∠=︒，则ADB =∠______度（直接写出结果，不需说理）；②点A 、B 在运动的过程中，ADB ∠是否发生变化，若不变，试求ADB ∠的度数：若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点E 在BA 的延长线上，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ，在ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出ABO ∠的度数．11.（2020·乐陵市月考） 在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，点P 是一动点，连接PD 、PE ，∠PDB =∠1，∠PEA =∠2，∠DPE =∠α．（1）如图1所示，若点P 在线段AB 上，且∠α=60°，则∠1+∠2= ______ °（答案直接填在题中横线上）； （2）如图2所示，若点P 在边AB 上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；（3）如图3所示，若点P 运动到边AB 的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）12.（2020·江苏东台期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC 和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．13.（2020·四川彭州期末）如图，在ABC 中，3AB AC ==，50B C ∠=∠=︒，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作50ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ． （1）当110BDA ∠=︒时，EDC ∠= °，AED =∠ °，DAE =∠ °； （2）当DC 等于多少时?ABD △≌DCE ，请说明理由．（3）在点D 的运动过程中，请直接写出当ADE 是等腰三角形时BDA ∠的度数．14.（2020·都江堰期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，点D 从点B 出发，沿B →C 方向运动到C （D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE ＝30°，DE 交线段AC 于E ． （1）在点D 的运动过程中，若∠BDA ＝100°，求∠DEC 的大小； （2）在点D 的运动过程中，若AB ＝DC ，请证明△ABD ≌△DCE ；（3）若BC ＝6cm ，点D 的运动速度是1cm /s ，运动时间为t （s ）．在点D 的运动过程中，是否存在这样的t ，使得△ADE 的形状是直角三角形？若存在，请求出符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．15.（2019·湖北房县）在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点A （–a ，0）、点 B （0， b ），且 a 、b 满足a 2+b 2–4a –8b +20=0，点 P 在直线 AB 的右侧，且∠APB ＝45°．（1）a ＝ ；b ＝ ．（2）若点 P 在 x 轴上，请在图中画出图形（BP 为虚线），并写出点 P 的坐标；（3）若点 P 不在 x 轴上，是否存在点P ，使△ABP 为直角三角形？若存在，请求出此时P 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2020·广东宝安期中）如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=︒，BOC α∠=．以OC 为一边作等边三角形OCD ，连接AC 、AD ．（1）若120α=︒，判断OB OD +_______BD (填“>，<或=”) （2）当150α=︒，试判断AOD ∆的形状，并说明理由；（3）探究：当α=______时，AOD ∆是等腰三角形．(请直接写出答案)16.（2020·沙坪坝月考）如图，点C 是线段BE 上一点，6,8BC cm CE cm ==，分别以BC CE 、为边往线段BE 上、下做一个等边ABC ∆和等边CDE ∆，点N 以2/cm s 的速度从点B 开始，沿BE 方向运动，到点E 时停止运动，点G 以4/cm s 的速度从点D 开始，在线段DC 上往返运动(即沿D C D C →→→→…运动），当点N 到达终点时，N G 、同时停止运动，过点N 作//NM DE 交AD 于M ，过点G 作//GH DE 交BE 于H ，设运动时间为ts ，当CMN ∆与CHG ∆全等时，t 的值为__________。

分类讨论思想是根据题目的特点和要求，把所有研究的问题分成若干类，转化成若干个小问题，按不同情况分类，然后再逐一进行讨论、求解的思想.分类讨论思想是解答复杂问题的重要工具，尤其对于一些结论不唯一，表示形式不唯一，含有参数的复杂问题，运用分类讨论思想求解最为有效.运用分类讨论思想解题的步骤可以概括为以下几步：1.明确研究的对象.仔细分析题意，明确哪些变量、参数可直接影响所求的结果，据此确定研究的对象.常见的研究对象有参数、自变量、绝对值内部式子、方程的根，函数的定义域、直线的位置、角度等.2.明确分类标准.在确定了需要讨论的对象后，就可以选择合适的分类标准，按照其特征将所有可能会出现的情况全部罗列出来.常见的分类标准有概念、公式、定理的应用条件，代数式的意义，曲线的范围等.3.逐级讨论.在分类后，原先的复杂、困难的问题已经被分为若干个简单、容易的子问题，把所有子问题逐个逐级进行解答，计算出结果即可.当子问题也无法解答时，需要对子问题进一步分类，并且依然要遵循分类标准统一的原则，分类时要做到不重复、不遗漏任何一种情况.4.得出结论.最后需要将所有子问题的结果进行汇总，得到完整的结论.下面举例说明.例1.已知集合M ={a 2,a +1,-3}，N ={a -3,2a -1,a 2+1}，若M ∩N ={-3}，求a 的值.解：因为M ∩N ={-3}，所以-3∈N ={a -3,2a -1,a 2+1}，（1）若a -3=-3，则a =0,此时M ={1,0,-3},N ={-3,-1,1},M ∩N ={-3,1}，故不满足题意；（2）若2a -1=-3，则a =-1，此时M ={}1,0,-3，N ={}-4,-3,2，M ∩N ={}-3，满足题意；（3）若a 2+1=-3,此方程无实数解；所以a =-1.对于集合中求参数的值和参数的取值范围问题，通常要运用分类讨论思想求解.往往需讨论集合中元素的取值，集合是否为空集，含参方程是否有解.只有明确参数的不同取值会导致哪些不同的结果，找到进行分类讨论的原因，才能确定问题研究的对象和分类原则，合理进行分类.例2.设函数f ()x =a ln x +x -1x +1，其中a 为常数，试讨论函数f ()x 的单调性.解：由题意可知函数f ()x 的定义域为(0,+∞),对其求导可得f ′()x =ax 2+()2a +2x +ax (x +1)2，（1）当a ≥0时，f ′()x ≥0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递增，（2）当a <0时，令g ()x =ax 2+()2a +2x +a ，可得∆=4()2a +1，①当a =-12时，∆=0，f ′()x ≤0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递减，②当a <-12时，∆<0，f ′()x <0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递减，③当-12<a <0时，∆>0，所以f ′()x ≤0，设x 1,x 2()x 1<x 2是函数g ()x 的两个零点，则x 1=-()a +1+2a +1a ，x 2=-()a +1-2a +1a，因为x 1=0，所以x ∈(0,x 1)时，g (x )<0，f ′()x <0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递减;当x ∈(x 1,x 2)时，g (x )>0，f ′()x >0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递增;当x ∈(x 2,+∞)时，g (x )<0，f ′()x <0，则函数f ()x 在(0,+∞)上单调递减.综上可知：当a ≥0时，函数f ()x 在(0,+∞)上单调递增，当a ≤-12时，函数f ()x 在(0,+∞)上单调递减，当-12<a <0时，函数f ()x 在æèççöø÷÷0，-()a +1+2a +1a ，思路探寻46(-()a+1-2a+1a,+∞)上单调递减，在(-()a+1+2a+1a,-()a+1-2a+1a)上单调递增.含参函数问题主要有两种类型，一是由于函数的概念或性质的限制，需要分类讨论参数的取值或取值范围；二是当参数为函数的系数时，需对参数进行分类讨论，此时要根据函数图象及函数对应方程的判别式来确定分类讨论的分界点.对于二次函数y=ax2+bx+c，当二次项的系数a>0时，二次函数图象的开口向上；当a=0时，该函数为一次函数；当a<0时，二次函数图象的开口向下.二次方程ax2+bx+c=0的判别式∆又决定了二次函数的零点的个数，如下表所示.因此，在讨论二次函数的零点时，可以分∆>0、=0、例3.已知函数f()x=ln xx+1+1x，当x>0且x≠1时，f()x>ln xx−1+k x，求k的取值范围.解：f()x-(ln x x-1+k x)=11-x2[2ln x+()k-1()x2-1x]，令h()x=2ln x+()k-1()x2-1x()x>0，则h′()x=()k-1()x2+1+2xx2=k()x2+1-(x-1)2x2，（1）当k≤0时，由h′()x=k()x2+1-(x-1)2x2可知，当x≠1时,h′()x<0,h()1=0，当x∈()0,1时，h()x>0，可得11-x2h()x>0，当x∈()1,+∞时，h′()x<0，可得11-x2h()x>0，所以当x>0且x≠1时，f()x-æèöøln xx-1+k x>0,即f()x>ln xx-1+k x，（2）当0<k<1时，x∈æèöø1,11-k，()k-1(x2+1)+2x>0，所以当x∈æèöø1,11-k时，h()x>0，可得11-x2h()x<0，与题意不相符；（3）当k≥1时，此时h′()x>0，可得11-x2h()x<0，与题意不相符；综上所述，k的取值范围为(-∞,0].解答含参不等式问题，通常需要运用分类讨论思想对不等式的二次项系数以及一元二次不等式对应的方程的根来进行分类讨论.若含参一元二次不等式对应的方程存在两个根，则需要讨论两根的大小关系，进而确定解集.例4.设F1，F2为椭圆x29+y24=1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则PF1|PF2|=________.解：（1）若∠PF2F1=90°，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，又|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=25，解得|PF1|=143，|PF2|=43，可得|PF1||PF2|=72.（2）若∠F1PF2=90°，则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20，又|PF1|>|PF2|，可得|PF1|=4，|PF2|=2，所以|PF1||PF2|=2.综上可知，|PF1||PF2|=72或2.要求|PF1||PF2|，需寻找满足|PF1|>|PF2|的条件，分两种情况讨论Rt△PF1F2的直角所在的位置.解答几何问题，经常要讨论图形中点、直线、曲线的位置，图形的形状、角的取值范围等.总之，对于某些不确定的数量、不确定图形的形状或位置、不确定的结论等，都需运用分类讨论思想，通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.分类讨论思想是解答含参集合问题、含参函数问题、含参不等式问题、含参解析几何问题、含参数列问题的重要工具.同学们要熟练掌握分类讨论思想的应用技巧和步骤，使复杂问题简单化.（作者单位：哈尔滨师范大学教师教育学院）思路探寻47。

初中数学几何题解题技巧
数学几何是初中的一个重要学科，它包括了几何的基本概念、定义、公理、定理、图形等，学习几何最重要的就是理解其中的概念及其公理定理，以便更好地解决几何题目。

几何这一学科的解题有其一定的技巧，只要熟练掌握这些技巧，就可以准确地做好几何题。

下面就来详细讲解一下这些技巧：
首先是分类讨论。

分类讨论主要是根据题目中几何图形的形状或属性，将题目分为几个类别，然后根据具体情况分别解决，因为不同类别的图形有不同的性质，所以分类讨论能够有效地帮助我们解决几何题目。

其次是几何图形的相似性原理。

相似性原理指的是当两个几何图形它们的对应边的比值相等时，它们就是相似的，如果它们的大小不等，那么我们可以使用它们的比值来计算题目。

这种方法不仅可以减少解题的时间，而且可以让解题过程变得更加简单。

此外，还有平面角平分线定理。

平面角平分线定理是指，若一个角被两条相交的直线平分，则这两条直线必然相交于角的垂心。

这个定理不仅可以极大地帮助我们计算几何中的角的大小，而且可以用来计算各个边和角的大小，从而解决几何问题。

最后是三角函数定理。

三角函数定理是指，当两个三角形都有相同的三角函数关系式时，这两个三角形是相似的。

这个定理可以用来求出两个三角形的边长比值，以及计算一个三角形内角的大小等等，从而帮助我们更好地解决几何问题。

通过以上介绍，我们可以看到，解决几何问题需要熟练掌握一些解题技巧，例如分类讨论、相似性原理、平面角平分线定理、三角函数定理等等，这些都是解决几何题目的重要手段。

因此，学习初中数学几何，我们一定要把握好这些解题技巧，才能在数学几何考试中取得良好成绩。