2020届高三数学12月月考试题 必做题部分(160分)

2020届河南省郑州市第一中学高三上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()UP Q ⋃=A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5} 【答案】C【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．2．在复平面内，复数12iz i+=对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题意可得：2z i =-，据此确定复数所在的象限即可. 【详解】由题意可得：22122221i i i i z i i i ++-====--，则复数z 对应的点为()2,1-，位于第四象限. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知向量(,1)m a =-，(21,3)n b =-(0,0)a b >>，若m n ，则21a b+的最小值为（ ）A ．12B ．8+C ．15D ．10+【答案】B【解析】由m ∥n 可得3a +2b ＝1，然后根据21a b +=（21a b+）（3a +2b ），利用基本不等式可得结果． 【详解】解：∵m =（a ，﹣1），n =（2b ﹣1，3）（a ＞0，b ＞0），m ∥n ， ∴3a +2b ﹣1＝0，即3a +2b ＝1，∴21a b +=（21a b +）（3a +2b ） ＝843b aa b++≥8+＝8+ 当且仅当43b a a b =，即a 36-=，b 14=，时取等号， ∴21a b+的最小值为：8+． 故选：B ． 【点睛】本题考查了向量平行的坐标运算和“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．4．已知,x y 满足208020,x x y y -≥+-≤⎧-≥⎨⎩时, ()0z ax by a b =+≥>的最大值为2,则直线10ax by +-=过定点（ ）A ．()3,1B ．()1,3-C ．()1,3D ．()3,1-【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a b ， 的关系，再代入直线ax by 10+-=由直线系方程得答案．详解：由z ax by(a b 0)=+≥>，得a z a y x 1b b b ⎛⎫=-+-≤- ⎪⎝⎭，画出可行域，如图所示，数形结合可知在点()B 6,2处取得最大值，6a 2b 2+=，即： 3a b 1+=，直线ax by 10+-=过定点()3,1. 故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于6的面的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题可知其立体图形C-DEFG ：6的有,,CFGCFECDGSSS6．已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“函数()f x x x a b =++是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先判断0ab =和函数()f x x x a b =++是奇函数成立的条件，然后判断充分性和必要性. 【详解】由0ab =,a b ⇒中至少有一个为零；由函数()f x x x a b =++是奇函数，()0()x x a b x x a b x x a b x x a b a b f x f x --++=-+-⇒--=++⇒⇒-⇒===-，显然由,a b 中至少有一个为零，不一定能推出0ab ，但由0a b ，一定能推出0ab =，故“0ab =”是“函数()f x x x a b =++是奇函数”的必要不充分条件，故本题选B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，由函数()f x x x a b =++是奇函数，推出0a b 是解题的关键.7．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有 A ．168种B ．156种C ．172种D ．180种【答案】B 【解析】分类：（1）小李和小王去甲、乙两个展区，共222242A C C 12=种安排方案； （2）小王、小李一人去甲、乙展区，共1112222442C C C C C 96=种安排方案； （3）小王、小李均没有去甲、乙展区，共2424A A 48=种安排方案，故一共N 129648156=++=种安排方案，选B ．8．已知数列：()12,,,11kk N k k *⋅⋅⋅∈-，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{}n a ：1212381,,,,,,,213219⋅⋅⋅则首次出现时为数列{}n a 的A ．第44项B ．第76项C ．第128项D ．第144项【答案】C【解析】从分子分母的特点入手，找到89出现前的所有项，然后确定89的项数. 【详解】观察分子分母的和出现的规律：2,3,4,5，把数列重新分组：11212312(),(,),(,,),(,,,)12132111k k k -， 可看出89第一次出现在第16组，因为12315120++++=，所以前15组一共有120项；第16组的项为1278(,,,,)1615109，所以89是这一组中的第8项，故89第一次出现在数列的第128项，故选C. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养. 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3AB =，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，1CC 棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，则1BB P 面积最小值为（ ）A ．3 B ．1 C ．3 D ．12【答案】A【解析】找出平面EFG 与长方体的截面，然后再找出过D 1与平面EFG 平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD 上的位置． 【详解】 解：如图，补全截面EFG 为截面EFGHQR ，易知平面ACD 1∥平面EFGHQR ，设BR ⊥AC 于点R ， ∵直线D 1P ∥平面EFG ，∴P ∈AC ，且当P 与R 重合时，BP ＝BR 最短，此时△PBB 1的面积最小， 由等积法：12BR ×AC 12=BA ×BC 得BR 32=，又BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥BP ，△PBB 1为直角三角形， 故112BB PS=×BB 1×BP 3= 故选：A ． 【点睛】本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用，考查空间想象能力与转化能力．10．已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象过点(0,1)B -，且在区间,183ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调.又()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ） A 3B 2C ．1D ．-1【答案】D【解析】由题意求得φ、ω的值，写出函数f （x ）的解析式，求图象的对称轴，得x 1+x 2的值，再求f （x 1+x 2）的值． 【详解】解：由函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）的图象过点B （0，﹣1）， ∴2sinφ＝﹣1，解得sinφ12=-， 又|φ|2π＜，∴φ6π=-，∴f （x ）＝2sin （ωx 6π-）； 又f （x ）的图象向左平移π个单位之后为 g （x ）＝2sin[ω（x +π）6π-]＝2sin （ωx +ωπ6π-）， 由两函数图象完全重合知ωπ＝2k π，∴ω＝2k ，k ∈Z ； 又3182T πππω-≤=， ∴ω185≤，∴ω＝2；∴f （x ）＝2sin （2x 6π-），其图象的对称轴为x 23k ππ=+，k ∈Z ； 当x 1，x 2∈（1712π-，23π-），其对称轴为x ＝﹣37236πππ⨯+=-，∴x 1+x 2＝2×（76π-）73π=-，∴f （x 1+x 2）＝f （73π-）＝2sin[2×（73π-）6π-]＝2sin （296π-）＝﹣2sin 296π＝﹣2sin 56π=-1． 应选：D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11．如图，设抛物线22y px =的焦点为F ，过x 轴上一定点(2,0)D 作斜率为2的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，记BCF ∆面积为1S ，ACF ∆面积为2S ，若1214SS=，则抛物线的标准方程为A．22y x=B．28y x=C．24y x=D．2y x=【答案】C【解析】根据斜率与定点，求得直线方程，联立抛物线方程，并解得直线与抛物线的两个交点横坐标；根据三角形面积比值，转化为两个交点的横坐标比值，进而求得参数p 的值。

高三数学12月联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，则A. B.C. 2，4，D. 2，3，4，2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则的最小值为A. 12B.C. 15D.4.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.已知a，，则“”是“函数是奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种8.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项9.在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为A. B. 1 C. D.10.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则A. B. C. 1 D.11.如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，的面积为，若，则抛物线的标准方程为A.B.C.D.12.已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．14.已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则______15.已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点包括边界，，则的取值范围为______．16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为______．三、解答题（本大题共7小题）17.数列的前n项和为，已知，2，3，Ⅰ证明：数列是等比数列；Ⅱ求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为等边三角形．当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过焦点F斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．20.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：组别频数 5 30 40 50 45 20 10若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；21.已知函数e为自然对数的底数，是的导函数．Ⅰ当时，求证；Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出曲线C的普通方程；若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围．23.已知函数，．若，求a的取值范围；若，对，，都有不等式恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．先求出，再得出，由集合运算的定义直接求解．【解答】解：由全集2，3，4，5，，集合3，，得4，，又2，，则4，，2，，2，4，．故选C．2.【答案】D【解析】解：所对应的点为，该点位于第四象限故选：D．根据将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量平行和“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．根据已知条件，，，得出，继而可得等式，再求解等式即可．【解答】解：，，，，即，，当且仅当，即，，时取等号，的最小值为：．故选B．4.【答案】A【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．5.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：，，，该几何体的各个面中，面积小于的个数是3个．故选：C．6.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，若函数为奇函数，则，当时，，若为奇函数，则，即，，即函数为奇函数的充要条件是，，或，“”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数”“”；则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．故选：B．根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“”或；由充分必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法种数，先在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有种，则小李和小王不在一起排法有种；故选：B．本题考查排列，组合的应用，涉及分步计数原理的应用，是中档题．根据题意，用间接法分析，先求小李和小王不受限制的排法种数，再减去其中小李和小王在一起的排法种数即可．8.【答案】C【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，，分子，分母之和为16的有15项，分子，分母之和为17的有16项，排列顺序为，，，，，，其中为分子，分母之和为17的第8项，故共有项．故选：C．观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求出的位次．本题考查数列的应用，涉及数列求和公式和分数知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：如图，补全截面EFG为截面EFGHQR，易知平面平面EFGHQR，设于点R，直线平面EFG，，且当P与R重合时，最短，此时的面积最小，由等积法：得，又平面ABCD，，为直角三角形，故，故选：A．找出平面EFG与长方体的截面，然后再找出过与平面EFG平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD上的位置．本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用．10.【答案】B【解析】解：由函数的图象过点，，解得，又，，；又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，，；又，，；，其图象的对称轴为，；当，，其对称轴为，，．故选：B．由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值．本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，过x轴上一定点作斜率为2的直线l的方程为，联立抛物线方程可得，设，，可得，，设F到AB的距离为d，可得，即，联立可得，，．则抛物线的标准方程为．故选：C．求得直线l的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，结合两个三角形同高可得面积之比为底边之比，联立方程组，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程．本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：令，则，函数．由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当时，，此时，对应的x值只有一个，不满足条件，故a的取值范围是，故选C．令，则，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系，属于中档题．由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设，，，则，，可得，，，该双曲线的离心率．故答案为：．14.【答案】216【解析】【分析】本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础题．由，可知周期，结合已知函数代入即可求解．【解答】解：，，即周期，则，当时，，．，故答案为：216．15.【答案】【解析】解：，分别以边AB，AD所在的直线为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：，，，，，设，则，由得，，，，设，则表示斜率为的一族平行直线，在y轴上的截距为a，当截距最大时最大，当截距最小时最小，由图可看出，当直线经过点时截距最小为1，当直线经过点时截距最大为，的取值范围为．故答案为：．根据题意可分别以边AB，AD所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，从而得出，，，，设，从而根据可得出，从而得出，并设，从而根据线性规划的知识求出直线截距的最小值和最大值，即得出的最小值和最大值，从而得出的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规划的知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，又因为，，由余弦定理可得：，取BC的中点O，则，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，设，因为，所以，所以，从而，故所求概率为：，故答案为：．由三角函数的余弦定理得：，由两直线垂直得：，所以，从而，由几何概型中的面积型得：，得解．本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题．17.【答案】解：Ⅰ证明：，2，3，，可得，可得，可得，则数列是首项为1，公比为2的等比数列；Ⅱ，即，可得前n项和，，相减可得，，化简可得．【解析】Ⅰ运用数列的递推式，化简变形，结合等比数列的定义，即可得证；Ⅱ，即，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：当时，平面平面ABCD，证明如下：在中，因为，所以，又，，AD，平面PAD，所以平面PAD，又平面ABCD，所以平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为为等边三角形，O为AD的中点，所以，O，E为AD，BC的中点，所以，又，所以，故为二面角的平面角，所以，如图，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，，所以，0，，2，，1，．可得，，设y，为平面PBC的一个法向量，则有，即，令，可得，设AB与平面PBC所成角为，则有所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】当时，推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，推导出，，由，得，从而为二面角的平面角，进而，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．本题考查满足面面垂直的线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ依题设，，则，．由，得：，解得，又，所以．所以椭圆C的方程为；Ⅱ椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．依题直线l的方程为．联立，得：．在椭圆内，则恒成立，设，，弦AB的中点为，则，，所以，，所以．则直线MD的方程为，令，得，则．若四边形ADBE为菱形，则，所以．，所以．所以．若点E在椭圆C上，则．即整理得，解得．所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．此时点E到y轴的距离为．【解析】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目．Ⅰ题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出的值，结合隐含条件求出的值，则椭圆方程可求；Ⅱ由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出的值，则E点到y轴的距离可求．20.【答案】解：由已知频数表得：，，由，则，而，所以，则，；显然，所以有Y的取值为15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列为：Y15 30 45 60P所以，需要的总金额为．【解析】根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而，根据原则，计算即可；列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．21.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则，令，则，令，得，故在时取得最小值，0'/>，在上为增函数，；Ⅱ，由，得对一切恒成立，当时，可得，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2．下面证明当时，不等式恒成立，设，则，由Ⅰ，，当时，；当时， 0'/>，即在上是减函数，在上是增函数，，当时，不等式恒成立，所以a的最大值是2．【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值；Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：由得，将，代入上式中，得曲线C的普通方程为：；将l的参数方程为参数代入C的方程中，整理得，因为直线l与曲线C有两个不同的交点，所以，化简得．又，所以，且，．设方程的两根为，，则，，所以，，所以．由，得，所以，从而，即的取值范围是．【解析】本题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，是中档题．由得由此能求出曲线C的普通方程将l的参数方程为参数代入C的方程，得由直线l与曲线C有两个不同的交点，得设方程的两根为，，则，，从而，，由此能求出的取值范围．23.【答案】解：，若，则，得，即时恒成立，若，则，得，即，若，则，得，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，因为，所以当时，，即，解得，结合，所以a的取值范围是．【解析】利用，通过，，，分别求解即可．要使得不等式恒成立，只需，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。

江苏省海安高级中学2020届高三12月月考数学试题 Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．锥体的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集U ={1，2，3，4，5}．若U A =ð{1，2，5}，则集合A = ▲ ． 2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是 ▲ ．3. 已知样本数据1234a a a a ，，，的方差为2，则数据123421212121a a a a ++++，，，的方差为 ▲ ． 4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为 ▲ ．7. 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 的值为 ▲ ．8. 设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ▲ ．9. 在锐角三角形ABC 中，若3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ▲ ．10. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和．若S n ＝na n －3n (n －1)（n ∈N *），且211a =，则S 20的值为 ▲ ．11. 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ▲ ．（第4题）正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②()4x ∃∈-∞-，，()()0f x g x ⋅<，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC 的面积为()18AC AB CB ?=u u u r u u u ru u u r，向量(tan tan sin 2)A B C =+,m 和(1cos cos )A B =,n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ．（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本题满分14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B处修建一游客休息区．（第12题）（第16题）AOBPQMN（第17题）（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，r =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数k ＞0），112n n n n k a a a a -+-+=（n ≥3，*n ∈N ）．数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（*n ∈N ）． （1）求b 1，b 2的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数? 若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；（2）若a ＜0，且函数f (x )在区间()22e e -，内有两个极值点，求实数a 的取值范围； （3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的x ∈(t ，t ＋a )， f (x )＜a －1．数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 【答案】{3，5}2. 【答案】33. 【答案】84. 【答案】10115. 【答案】356. 【答案】y ＝±3x7. 【答案】48. 【答案】（1，2）9. 【答案】79 10. 【答案】1 24011. 1 12. 【答案】9 13．【答案】4514．【答案】()42--，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， ……2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. ……4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = ……6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，于是AC 32=. ……8分因为△ABC 的面积为93193sin 2CA CB C ?， 即1π9332sin 23CB 鬃，解得6 2.CB = …… 11分 在△ABC 中，由余弦定理得()(2222212cos 32622326254.2AB CA CB CA CB C=+-?+-创所以3 6.AB = …… 14分16．（本题满分14分）证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， 因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12C D ． ……2分又因为E 为AB 中点，所以AE //CD ，且AE ＝12C D ． ……4分所以AE //FG ，AE ＝FG ．故四边形AEFG 为平行四边形． 所以EF //AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF //平面PA D ． ……6分（2）设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点得AG CG ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以AC ＝3，AG ＝13AC ＝33．所以AG AE ＝AB AC ＝23，又∠BAD 为公共角，所以△GAE ∽△BA C ． 所以∠AGE ＝∠ABC ＝90︒，即DE ⊥A C ． ……10分 又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，所以DE ⊥平面PA C ． ……12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……14分17．（本题满分14分）解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则由题设得：A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，． 03361010x +03x =，所以()3 3Q ，． ……2分 故直线AQ 的方程为()6y x =--，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故()2236992AB =--+= …… 5分答：水上旅游线AB 的长为92． ……6分 （2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )．若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， ……10分 当t ＝0时，上式成立，当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t－6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分18．解：（1）设椭圆焦距为2c ，所以223121 2 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=； ……4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， ……8分 所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，， ()22002200488488y y y y --=+=++． ……10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，()02020208822828PB y y k y y y +==----+，由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02y y x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． ……16分 19．（本题满分16分）解：（1）由已知得，41a k =+， 所以1312=2a a b a +=，2423121a a k k kb a k k ++++===． ……2分 （2）由条件可知：()1213n n n n a a k a a n +--=+≥，①所以()21+12n n n n a a k a a n +-=+≥.② ……4分①－②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+． 因此：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=， ……6分故()23n n b b n -=≥，又因为12b =，221k b k+=，所以221n n b k n k⎧⎪=⎨+⎪⎩，为奇数，为偶数． ……8分（3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数． ……10分由（2）知21221222122(123)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩L ，，③ 由162Z 4Z a k a k k=∈=++∈，，所以k =1或2， ……12分检验：当1k =时，312=+kk 为整数， 利用123Z a a a ∈，，结合③，{a n }各项均为整数； ……14分 当2k =时③变为21221222122(123)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩L ，， 消去2121n n a a +-，得：222223(2)n n n a a a n +-=-≥ 由24Z a a ∈，，所以偶数项均为整数，而2221252n n n a a a ++=-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}12，. ……16分 20．（本题满分16分）解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f ’(x )＝ln x ，令f ’(x )＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f ’(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (3)分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f ’(x )＝ln x －a x，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e，列表分析x(0，1e )1e (1e，＋∞) g ’(x ) － 0 ＋ g (x ) 单调递减单调递增g (x )min ＝g (1e)＝－1e－a ， ……5分而f ’(1e )＝ln 1e－a e ＝－1－a e ，()2e f -'＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f ’(e 2)＝2－a e2＝1e2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f ’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在()22e e -，内没有极值点，舍；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f ’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f ’(x )在()22e e -，有两个零点，设为1x ，2x ，所以当()21e x x -∈，时，f (x )单调递增，当()12x x x ∈，时，f (x )单调递减， 当()22e x x ∈，时，f (x )单调递增，此时f (x )在()22e e -，内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f ’(1e )＝ln 1e－a e ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f ’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f ’(x )在()22e e -，有一个零点，f (x )在()22e e -，内有一个极值点；综上所述，实数a 的取值范围为(－1e ，－2e 2)． ……10分（3）存在1t =：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……11分 证明如下：由（2）得g (x )在(1e，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由x (1，x 0) x 0(x 0，1＋a )f ’(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． ……13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)， 所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)． 即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a－1． ……15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增． 所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x－1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ． 选修4－2：矩阵与变换【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩， ……5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……10分B ．解：因为A ( 1，π3 )，B ( 9，π3)，所以线段AB 的中点坐标为(5，π3)， ……2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， (6)分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)． …… 8分 所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． (10)分C ．证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2)≤4(|a |＋2)． ……10分22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， (2)分（1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2， 0)， 则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD→|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515， 解得λ＝2； …… 5分（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0， 即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)， 故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……10分 23．(本小题满分10分)解：（1）S 1＝C 11a 1＝1，S 2＝C 12a 1＋C 22a 2＝3． ……2分 （2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑ni ＝1C i n (αi －βi)＝15∑ni ＝0C i n (αi －βi)＝15(∑ni ＝0C in αi－∑ni ＝0C in βi) ＝15[(1＋α)n －(1＋β)n]＝15[(3＋52)n －(3－52)n ]． (6)分因为(3＋52)×(3－52)＝1．PAB D （第22题）xy z故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n－(3－52)n]}＝3S n ＋1－S n ．所以存在=3λ，使得213n n n S S S +++=恒成立． ……10分。

O FED C BA2019-2020年高三上学期12月月考试题数学含答案第I卷(必做题共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．已知复数，则z的实部为＿＿▲＿＿．2．如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是______▲_______(填，，)3．命题是▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．若长方体相邻三个侧面的面积分别是，，，则该长方体的体积是▲．5．已知圆：，若直线与圆相切，且切点在第四象限，则＿▲＿＿＿．6．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线斜率为▲ ．7．函数的图像可由函数的图像至少向右平移___▲______个单位长度得到．8．已知直线平面且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是_____▲_____________．9．已知点满足则点构成的图形的面积为＿＿▲＿＿．10．以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 ___▲___．11．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为▲．12．对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则＿▲＿＿＿＿．13．若实数，满足，则当取得最大值时，的值为▲．14．已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则___▲___.二、解答题：(本大题6小题，共90分)15．(本题满分14分)在锐角中,角、、所对的边长分别为、、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面积为,,求的值.16．(本题满分14分)在四棱锥中，底面是正方形，为的中点．(1)求证：∥平面；(2)若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．17．(本题满分14分)如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。

2020届江苏省扬州中学高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【答案】1【解析】对A 中元素逐个检验后可得A B 中元素的个数.【详解】A 中仅有1B -∈，故A B 中元素的个数为1，填1 .【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.2．命题“若1x ≥，则0x ≥”的否命题为______. 【答案】若1x <，则0x <【解析】根据否命题的形式，即可得出结论. 【详解】命题“若1x ≥，则0x ≥”的否命题为“若1x <，则0x <”. 故答案为：若1x <，则0x <. 【点睛】本题考查一个命题的否命题的求解，熟练掌握四种命题之间的关系，是解题的关键，属于基础题. 3．函数1tan 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T =______.【答案】2π【解析】根据正切型函数的周期公式，即可求出结论. 【详解】函数1tan 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T=212ππ=.故答案为:2π 【点睛】本题考查正切型函数的周期，要注意与正弦或余弦函数周期的区别，属于基础题. 4．若复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z z+=______.【答案】3122i + 【解析】根据复数的除法求出1z，再由复数的加法，即可求解. 【详解】11111,122z i i z i =+∴==-+，13122z i z +=+.故答案为:3122i +. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.5．执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值__________．【答案】4【解析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i ，a 的值，当i ＝3时，不满足条件退出循环，输出a 的值即可． 【详解】模拟执行程序代码，可得i ＝1，a ＝2满足条件i 2≤ ，执行循环体，a ＝1⨯2，i ＝2 满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯22⨯，i ＝3 不满足条件i 2≤，退出循环，输出a 的值为4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a 的值是解题的关键，属于基础题．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中1名女生1名男生的概率为____．【答案】3 5【解析】分别求出“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数，以及“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数，基本事件个数之比即是所求概率.【详解】因为“从5名学生中任选2名学生去参加活动”所包含的基本事件个数为2510C=；“恰好选中一名男生和一名女生”所包含的基本事件个数为11236C C=；所以恰好选中一名男生和一名女生的概率为63 P105 ==.故答案为3 5【点睛】本题主要考查古典概型的问题，只需分别计算出基本事件总数以及满足条件的基本事件数，即可求解，属于基础题型.7．用分层抽样的方法从某校高一、高二、高三学生中抽取一个容量为50的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽15人.若该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为______.【答案】1000人【解析】根据分层抽样每个个体被抽取的概率相等，求出高二学生被抽取的人数，即可求出结论.【详解】依题意，高二学生抽取的人数为50201515--=，高二年级共有学生300人，设该校学生总数为n，则15300,100050nn=∴=人.故答案为:1000人.【点睛】本题考查分层抽样，理解分层抽样抽取样本依据是解题的关键，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者知二求一，属于基础题.8．在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.【答案】【解析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积． 【详解】∵在正四棱锥S ﹣ABCD 中，侧棱SA=2，高SO=2， ∴底面中心到顶点的距离AO==2因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB 2=16该棱锥的体积为V=S ABCD •SO=×16×2=． 故答案为． 【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积．着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题． 9．已知tan 2θ=，则2sin 23cos θθ-=______. 【答案】15【解析】利用二倍角正弦，结合sin ,cos θθ的平方关系，将所求式子化为关于sin ,cos θθ的齐二次分式，化弦为切，即可求出结论.【详解】222222sin cos 3cos sin 23cos 2sin cos 3cos sin cos θθθθθθθθθθ--=-=+ 22tan 31tan 15θθ-==+,故答案为:15.【点睛】本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，熟练掌握公式及三角函数关系是解题关键，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24【解析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值. 【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键.11．在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅的最小值为 . 【答案】－5【解析】试题分析：以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则(3,0)B -，(3,0)C ，设(2,)A m ，则2(5,)(1,)5AB AC m m m ⋅=--⋅-=-，所以当0m =时AB AC ⋅取得最小值－5.【考点】平面向量的数量积.12．已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，且与双曲线右支相交于点B ，若13FA FB =，则双曲线的离心率为______.【解析】设双曲线的右焦点为F '，由条件可得||1,|3|,cos ,3FA FB FB b b FA b BFF c '====∠，由双曲线定义可得||32BF b a '=-，在BFF '中根据余弦定理，建立,,a b c 关系，再结合222c a b =+，即可求解. 【详解】设双曲线的右焦点为F '，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，,||,||,||OA FA OA a OF c FA b ∴⊥==∴=，1,cos ||33,FA FB FB b b BFF c '==∠=，||32F B b a '=-，在BFF '中，222||||||2||||cos F B FB FF FB FF BFF ''''=+-∠，222(32)94232bb a bc b c c-=+-⨯⨯⨯，整理得332,,22b a b e a =∴===.故答案为:2. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质、圆的切线性质、余弦定理，注意双曲线定义在解题中的应用，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.13．当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是__________． 【答案】[]4,8-【解析】先对不等式进行整理，得到2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立，设24t x x=+，利用导数求出t 的值域，然后根据一次函数保号性得到关于,a b 的不等式组，通过配凑系数，得到答案. 【详解】因为322044ax bx a x ≤++≤对[]1,4x ∈恒成立， 两边同除以2x 得2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立， 故令24t x x =+，[]1,4x ∈，不等式转化为40at b ≤+≤， 381t x '=-，令0t '=得2x =， 所以()1,2x ∈，0t '<，t 单调递减，()2,4x ∈，0t '>，t 单调递增， 所以2x =时，t 取最小值为3， 当1x =时，5t =；当4x =时，174t =； 所以t 的值域为[]3,5， 根据一次函数保号性可知034054a b a b ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩令()()357m a b n a b a b +++=+，得3571m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，所以784a b ≤+≤-， 故答案为：[]4,8- 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题. 14．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 2222cos a ab C b c -+=,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足229x xy y ++=,2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=_______.【答案】【解析】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=，设OA x =，OB y =，OC z =，利用余弦定理得出ABC ∆的三边长，由此计算出ABC ∆的面积，再利用ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++可得出xy yz zx ++的值.【详解】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=， 设OA x =，OB y =，OC z =，由余弦定理得222222cos 9c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=，3c ∴=， 同理可得4a =，5b =，222a c b ∴+=，则90ABC ∠=，ABC ∆的面积为162ABC S ac ∆==，另一方面121212sin sin sin 232323ABC AOB AOC BOC S S S S xy yz zx πππ∆∆∆∆=++=++)64xy yz zx =++=，解得xy yz zx ++=【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面PDC ,点E 为棱PD 的中点，求证： （1）//PB 平面EAC ； （2）平面PAD ⊥平面ABCD .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行论证，即从线线平行出发，而线线平行的证明一般从平面几何条件寻求，本题利用中位线性质得//PB OE ．（2）面面垂直的证明，一般利用线面垂直给予证明，即需证明CD ⊥平面PAD ．而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定及性质定理进行转化论证．试题解析：（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连结OE ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点． 因为E 为棱PD 中点，所以//PB OE ． 因为PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ， 所以直线//PB 平面EAC ．（2）因为PA ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以PA CD ⊥． 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥．因为PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ． 因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．16．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin cos a B A =.（1）求角B ；（2）若AD 是边BC 的中线，AD =，1AB =，求边AC 的长.【答案】(1)23B π=；(2)AC =【解析】（1）根据题意，结合正弦定理，以及两角和的正弦公式，得到sin =B B ，进而可求出结果；（2）先由正弦定理，求出6BDA π∠=，得到6BAD π∠=，1,2==BD BC ，再由余弦定理，即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos A B B A C =，又()C A B π=-+，sin sin cos )A B B A A B ∴=+，即sin sin cos cos cos sin )A B B A A B A B =-+， 又(0,)A π∈，sin 0A ∴≠，sin ∴=B B ，即tan B =，所以23B π=. （2）根据正弦定理：1sin2BDA ∠==， 所以6BDA π∠=，故6BAD π∠=，得12BD BC =⇒=，由余弦定理得：2222cos AC BA BC BA BC B =+-⋅⋅11421272⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AC =【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过两点1,2P ⎛ ⎝⎭，()Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），若3AB FE ⋅=，求直线l 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【解析】（1）将点,P Q 两点坐标代入椭圆方程，可得椭圆方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，依题意直线l 斜率不为0，设其方程为1x my =+，求出以线段FP 为直径的圆的圆心到直线l的距离，根据半径、圆心距、弦长关系，求出||2EF =，设1122(,),(,)A x y B x y ，可得12||23AB FE y y ⋅=-=，联立直线方程和椭圆方程，根据根与系数关系，建立关于m 的方程，即可求解. 【详解】（1）1,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()Q 代入椭圆方程可得 222111221a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，依题意直线l 斜率不为0， 设其方程为1x my =+，以线段FP 为直径的圆的圆心为(1,)4C，半径为4， 圆心C 到直线l距离为||m d =||2EF ∴===联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得22(2)210m y my ++-=， 22244(2)8(1)0m m m ∆=++=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 112222|1221|22||AB FE m y y y y m ⋅=+-⋅=-⨯+ 2121222212()432222y y y y m m +==++-=， 整理得4222210,(21)(1)0m m m m --=+-=，21,1m m ∴=∴=±，直线l 的斜率为11m=±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系、直线与圆的位置关系，要熟练掌握求直线与曲线相交弦长方法，考查数学计算、逻辑推理能力，属于中档题.18．如图，在宽为14m 的路边安装路灯，灯柱OA 高为8m ，灯杆PA 是半径为m r 的圆C 的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P 到路面的距离为10m ，到灯柱所在直线的距离为2m ．设Q 为灯罩轴线与路面的交点，圆心C 在线段PQ 上．（1）当r 为何值时，点Q 恰好在路面中线上?（2）记圆心C 在路面上的射影为H ，且H 在线段OQ 上，求HQ 的最大值． 【答案】(1)当r 为5Q 在路面中线上；（2）124 5.-【解析】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出PQ 的方程，设C （a ，b ），根据CA ＝CP ＝r 列方程组可得出a ，b 的值，从而求出r 的值； （2）用a 表示出直线PQ 的斜率，得出PQ 的方程，求出Q 的坐标，从而可得出|HQ|关于a 的函数，根据a 的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值． 【详解】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，8），P （2，10），Q （7，0），∴直线PQ 的方程为2x+y ﹣14＝0．设C （a ，b ），则222222(2)(10)(8)a b r a b r⎧-+-=⎨+-=⎩， 两式相减得：a+b ﹣10＝0，又2a+b ﹣14＝0，解得a ＝4，b ＝6，∴224(68)25r =+-=．∴当25r =时，点Q 恰好在路面中线上． （2）由（1）知a+b ﹣10＝0，当a ＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x ＝2，此时HQ ＝0． 当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y ﹣10＝2aa --（x ﹣2）， 令y ＝0可得x ＝12﹣20a ，即Q （12﹣20a，0）， ∵H 在线段OQ 上，∴12﹣20a≥a ，解得2≤a≤10．∴|HQ|＝12﹣20a ﹣a ＝12﹣（20a +a ）≤12﹣220＝12﹣45， 当且仅当20a＝a 即a ＝25时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣45）m ．【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．19．已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围； （3）设()()(),[1,]H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1e e -；（2）(,][1,)e e -∞-⋃-+∞；（3）10a e <<或112a e<<. 【解析】试题分析：（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a 的范围．（3）由题意得()2ln ln x H x x ax ex ex a x =-⋅=-，令()[]ln ,1,xt x a x e x=-∈，然后对实数a 的取值进行分类讨论，并根据()t x 的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数()H x 的单调性，进而得到函数()H x 有极值时实数a 的取值范围． 试题解析：（1）设切点()00,P x y ，则()0000000ln ,,ln y x ax y ex x a e x =-==+（） 又()1,f x a x='- ()001,f x a e x ∴=-=' 01x a e∴=+，代入（）得0ln 1,x = 0,x e ∴=1a e e∴=-．（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+≥， 当()h x 单调递增时， 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时， 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≤1a e ∴≤-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞．（3）()2ln ln xH x x ax ex ex a x=-⋅=-， 令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=， 当[]1,x e ∈时，()0t x '≥，()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时，()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增， ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时，()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时，()0H x ''≥，()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增， 又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-=-=-''()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴在[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时，()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得， ()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时， ()t x 在[]1,e 递增，()01,x e ∴∃∈使得0ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时，()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时，()0t x ≥，()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩，()()()00,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧-≤<⎪∴=⎨+-<≤'⎪⎩，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '≤，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+≤+≤， 又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< minln 12x x e +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即证1a e≤，所以结论成立，即()0k x '≤， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴在[)01,x 递减，(]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e <<时，()H x 在[]1,e 上有极值点． 点睛：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．20．给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a +=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n ++=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．【答案】（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）详见解析. 【解析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）利用a 112=，a n ＝2a n a n +1+3a n +1（n ∈N ），说明数列{1n a +1}是等比数列，然后证明数列{1na +1}为“指数型数列”； （3）利用反证法，结合n 为偶数以及奇数进行证明即可． 【详解】解：（1）数列{}n a ，444n mn m n m n m a a a ++==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列”（2）数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”11111311232131n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331m n n m n n n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列” （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：11112nn n mn m n n n a a a a a a a a a a +++⎛⎫=⇒=⇒== ⎪+⎝⎭假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<则2t s u a a a =+，得：11122222t s ut s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：2(1)(2)(2)(1)t su s u s u s a a a a ----++=+++（）若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（）不成立； 若a 为奇数时，右边为偶数，(2)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（）不成立；所以，对任意的*a ∈N ，（）式不成立． 【点睛】本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．21．已知矩阵251A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵13b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值.【答案】1290,2λλ==【解析】由11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，建立方程组，求出a ，确定A 的特征多项式，即可求出矩阵A 的特征值. 【详解】12536525101301b c b d AA a c d ac b ad ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,6355,3562c a c ∴===⨯=，15225A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦∴， 则A 的特征多项式为22559()(2)()552212f λλλλλλλ-==---=--令()0f λ=解得矩阵A 的特征值1290,2λλ==. 【点睛】本题考查逆矩阵与矩阵关系、矩阵特征值，属于基础题.22．在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离. 【答案】5【解析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论. 【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为224x y +=表示圆，1sin 3,sin cos 332πρθρθθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，60y -+=，圆C 上点P 到直线l25+=.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23．袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）求随机变量ξ的分布列和期望. 【答案】（1）23；（2）ξ的分布列见解析；期望是8521【解析】（1）先计算出一次取出的3个小球上有两个数字相同的概率，然后用1减去这个概率，求得取出的3个小球上的数字互不相同的概率.（2）ξ所有可能的取值为：2，3，4，5，根据分类加法计数原理和古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】解:（1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A 则A 为一次取出的3个小球上有两个数字相同∴()114739281843C C P A C ===()12133P A ⇒=-= （2）由题意可知ξ所有可能的取值为：2，3，4，5()21122222394128421C C C C P C ξ+====；()211242423916438421C C C C P C ξ+====； ()21126262393634847C C C C P C ξ+====；()28392815843C P C ξ==== ∴ξ的分布列为：则()143185234521217321E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 答：随机变量ξ的期望是8521【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查利用对立事件的方法计算概率，考查分类加法计数原理，考查离散型随机变量分布列和期望的求法，属于中档题.24．已知数列{}n a 满足123012323222n n n n nC C C a C +++=++++…*2n n nn C n ++∈N ，．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．【答案】(1)122,?4,a a == 38,a = (2)见解析 【解析】试题分析：（１）利用等式，求出1a ，2a ，3a 的值；（２）归纳猜想，利用数学归纳法加以证明.试题解析：（1）1=2a ，2=4a ，3=8a ． （2）猜想：=2nn a ．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； ②假设n k =时结论成立，则有12301232322222k k k k k k k k kk C C C C a C ++++=++++⋯+=．则1n k =+时，123+101112+13+1+11123+12222k k k k k k k k k C C C C a C++++++++=++++⋯+． 由111k k kn n n C C C +++=+得1021320112233123222k k k k k k k kC C C C C C a C ++++++++++=++++⋯ -1+1+++1+1+122k k k k k k k k k k k C C C ++++ 0121+1123+1+123+1222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++=++++⋯++， 121+1023+1+1111211222222k k kk k k k k k k k k k C C C C a C -++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭121+10231-1+1+11121+1222222k k k kk k k k k k k kk k k C C C C C C -+++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭．又()()()()()()()()()()+1+1+1+11121!2221!21!112=!1!1!1!1!1!2k k k kk k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++===+++++ 121+10231-1+1+111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -++++++++-+⎛⎫=++++⋯+++ ⎪⎝⎭，于是11122kk k a a ++=+． 所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，=2nn a *n N ∈，．。

数 学（正卷）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．） 1.已知，，则 ▲ ．2.若复数，则复数的模= ▲ ．3.某市有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么= ▲ ．4.函数的定义域是 ▲ ．5.如右图所示的流程图的运行结果是▲ ．6.高三（5）班演讲兴趣小组有女生3人，男生2人，现 从中任选 2 名学生去参加校演讲比赛 ,则参赛学生恰好为1名男生和1名女生的概率是▲ ．7.在平面直角坐标系中，直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为▲ ．8.已知，，则的值为▲ ．9.设公比不为1的等比数列满足,且成等差数列，则数列的前4项和为▲ ． 10.曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数的值为▲ ．11. 已知20a b >>，且1a b +=，则242a b b+-的最小值为▲ ．12.已知直线与圆心为C 的圆相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数＝▲ ．13.已知平面向量a ，b ，c 满足，，a ，b 的夹角等于，且()()0-⋅-=a c b c ，则c 的取值范围是▲ ． 14.关于x 的方程1|ln |2x a x +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15. （本小题满分14分）在三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3s i n 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．16. （本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中， 11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形， 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ． （1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；17．（本小题满分14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>P ．右焦点为F ． CBC 1B 1A 1A（1）求椭圆E 的方程；（2）设过右焦点为F 的直线与椭圆交于 AB 两点，且，求直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10和20，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=o ． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？19. （本小题满分16分）已知数列{n a }、{n b }满足：1121141n n n n n b a a b b a +=+==-，，. （1）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．ABDCP β α20. （本小题满分16分） 已知函数()ln xf x x=． （1）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为2x y a +=，求0x 的值； （2）当1x >时，求证：()ln f x x >；（3）设函数()()ln F x f x b x =-，其中b 为实常数，试讨论函数()F x 的零点个数，并证明你的结论．2020届高三12月联合调研测试数 学（加试）每小题10分，计40分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41b aA ，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13,属于特征值5的一个特征向量为α2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22.在极坐标系() (02π)ρθθ<≤, 中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标．23.在三棱锥S —ABC 中,底面是边长为的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点,侧棱SA 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SA 上一点，当为何值时，BD⊥AC；(2) 求二面角S —AC —B 的余弦值大小．24.已知230123(1)(1)(1)(1)...(1),n nn x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-（其中*n N ∈）⑴当6n =时，计算0a 及135a a a ++； ⑵记，试比较n S 与2(2)22nn n -+的大小，并说明理由．数 学（正卷）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1. 2.3.404.5.126.7.8. 9. 10.11.14+.413. 14.11ln 22a -<<二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）15.解：（1）因为角C 为钝角，3sin 5A =，所以4cos 5A ==，……2分 又1tan()3AB -=，所以02A B π<-<， 且sin())A B A B -=-= ………………………4分 所以sin sin[()]sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---…………6分3455=-= ………………………8分（2）因为sin sin 5a Ab B ==，且5b =，所以a =10分 又cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+=，……………12分则2222cos 902525(169c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以13c =． ……………………14分16.证明：在菱形11BB C C 中，//BC . ………………………2分因为平面11AB C ，平面11AB C ，所以 //BC 平面11AB C ． ……………6分（2）连接．在正方形中，．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．………………………8分因为平面，所以．……10分在菱形中，．因为平面，平面，，所以平面．………12分因为平面，所以．………14分17．（1）解：因为2e=，所以a=，b=c，…………2分设椭圆E的方程为222212x yb b+=．将点P的坐标代入得：213144b=+=，………………………4分所以，椭圆E的方程为2212xy+=．…………………………6分（2）因为右焦点为F（1,0），设直线AB的方程为：1x my=+，代入椭圆中并化简得：22(2)210m y my++-=，…………………………8分设1122(,),(,)A x yB x y，因为3AF FB=uuu r uu r，所以1122(1,)3(1,)x y x y--=-，即123y y=-，……………………10分所以1222222my y ym+=-=-+，21222132y y ym⋅=-=-+，即22213()22mm m=++，解得21m=，所以1m=±，…………………………12分所以直线AB的方程为：10x y+-=或10x y--=．…………………14分18．解：（1）作AE⊥CD，垂足为E，则10CE=，10DE=，设BC x=，则22tantan tan(2)1tanCAECAD CAECAE∠∠=∠=-∠2201001xx==-，………………2分CBC1B1A1A2200x --=，解之得，x =x =（舍）…………6分答：BC的长度为． ………………………………8分（2）设BP t =，则(0CP t t =<<，tan()1+t αβ==-………………………10分设()f t =()f t '=， 令()0f t '=，因为0t <<t =12分当t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数；当t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当t =()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，………………………14分因为22000+t --<恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+，因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当t =αβ+取得最小值．答：当BP为t =cm 时，αβ+取得最小值．………………16分19.解：（1）∵11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===---＋，…………………2分∴11112n n b b +-=-- ∴12111111n n n n b b b b +-==-+---． ∴数列{11n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列．……………………4分 ∴14(1)31n n n b =---=--- ， ∴12133n n b n n +=-=++． ………………………6分（2）∵113n n a b n =-=+． ……………………8分 ∴12231111114556(3)(4)444(4)n n n n S a a a a a a n n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=⨯⨯++++ ………………………10分∴22(1)(36)8443(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++． ………12分 由条件可知2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可满足条件， 设2()(1)3(2)8f n a n a n =-+--，当1a =时，()380f n n =--<恒成立, …………………………13分 当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立．…………………………14分 当1a <时，对称轴3231(1)02121a a a --⋅=--<--，f (n )在[1,)+∞为单调递减函数．(1)(1)(36)84150f a a a =-+--=-<，∴154a <，∴a <1时4n aS b <恒成立． ………………………………15分 综上知：1a ≤时，4n aS b <恒成立． …………………………16分20．（1）解：2ln 1'()ln x f x x-=． ………………………………2分 所以过点00(,())x f x 的切线方程为2x y a +=，所以02ln 12ln x x -=-，解得0x =或01x e=． ………………………………4分 （2）证明：即证2ln x x >，因为1x >ln x >，设()ln (1)g x x x =>，则12'()2g x x x==． 令'()0g x =，解得4x =． ………………………………6分所以 当4x =时，()g x 取得最小值2ln 40->． ………………………8分所以当1x >时， ()ln f x x >． …………………………9分（3）解：()0F x =等价于()ln 0f x b x -=，等价于21ln xb x=，0x >且1x ≠．………………………10分令2ln ()x H x x =，则222ln ln ()x xH x x-'=． 令222ln ln ()0x x H x x-'==，得1x =或2x e =，……………………11分（I ）当0b ≤时， ()0H x >，所以()H x 无零点，即F(x)定义域内无零点………………………13分（II ）当214b e >即204e b <<时，若(0,1)x ∈，因为1(1)0H b=<，21ln 11(e H ebbe==⋅>，所以在(0,1)只有一个零点， 而当1x >时，241()H x e b≤<，所以F(x) 只有一个零点；……………………14分 （Ⅲ）当214b e =即24e b =时，由（II ）知在(0,1)只有一个零点，且当2x e =时，2241()H e e b==，所以F(x)恰好有两个零点； ………………………………15分 （Ⅳ）当2140b e <<即24e b >时，由（II ）、（Ⅲ）知在(0,1)只有一个零点，在2(1,)e 只有一个零点，在2(,)e +∞时，因为223222ln 14()b bbb e b H e e b e==⋅， 只要比较2b e 与34b 的大小，即只要比较2b 与ln 43ln b +的大小， 令()2ln 43ln T b b b =--，因为3()2T b b '=-，因为2140b e<<，所以223212()20e T b b e -'=->>，所以2222()()ln 43ln 62ln 404242e e e e T b T >=--=-+>， 即2b e >34b ，所以322141()bb b H e b e b =⋅<，即在2(,)e +∞也只有一解， 所以F(x)有三个零点； ………………………………16分综上所述：当0b ≤时，函数F(x)的零点个数为0； 当2e 04b <<时，函数F(x)的零点个数为1；当2e 4b =时，函数F(x)的零点个数为2；当2e 4b >时，函数F(x)的零点个数为3． 数 学（加试）21.解：由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13可得， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡41b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13，即33=-b a ； ………3分 由矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡41b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝5⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 即5=+b a ， ………………………………6分解得⎩⎨⎧==32b a 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4312， …………………………8分 A 的逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎣⎡-52535154 …………………………10分 22.将直线cos 1ρθ=与圆2sin ρθ=分别化为普通方程得，直线1x =与圆22(1)1x y +-=， ………………………………4分易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，， ………………………………6分 所以交点Q 的极坐标是)π4，． ………………………………10分23.以O 点为原点,OC 为x 轴,OA 为y 轴,OS 为z 轴建立空间直角坐标系．因为ABC ∆是边长为32的正三角形，又SO 与底面所成角为︒45，所以∠︒=45SAO ，所以3==AO SO ．所以O (0,0,0)，C，A (0,3,0)，S (0,0,3)，B (．…………2分（1）设AD =a ，则D (0,3)，所以,3)，,－3,0)．若BD ⊥AC ，则=3－3(3)=0，解得a ，而AS ，所以SD ，所以12SD DA ==．………………………5分(2)因为=(0,－3,3)，设平面ACS 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则令z =1，则x ，y =1，所以n 1分 而平面ABC 的法向量为n 2=(0,0,1), ………………………………………8分所以cos<n 1,n 2=分 24.解：（1）当6n =时，取1x =，得60264a ==，取2x =时，得601263a a a a ++++=，‥‥‥‥① 取0x =时，得012561a a a a a -+--+=，‥‥‥‥②将①-②得：61352()31a a a ++=-， 所以6135313642a a a -++==． ………………………………4分 （2）由（1）可知1232n n n n S a a a =+++=-L L ，要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，只要比较32n n -与2(2)22n n n -+， 只要比较32n n +与222n n n ⋅+， ………………………………5分当1n =时，左边=5，右边=4，所以左边>右边；当2n =时，左边=13，右边=16，所以左边<右边；当3n =时，左边=35，右边=42，所以左边<右边；当4n =时，左边=97，右边=96，所以左边>右边； ……………………………6分 猜想当4n ≥时，左边>右边，即32n n +>222n n n ⋅+．下面用数学归纳法证明：① 当4n =时已证； ………………………………7分②假设当(4)n k k =≥时32k k +>222k k k ⋅+成立，则当1n k =+时，左边111323(32)322k k k k k k +++=+=+-⋅+23(22)2k k k k >⋅+-， ………………………………8分 因为21223(22)2(1)22(1)232442k k k k k k k k k k k k +⋅+--+⋅-+=⋅-⋅+--224420k k k >+-->，所以11232(1)22(1)k k k k k +++>+⋅-+，即当1n k =+时不等式也成立． 所以32n n +>222n n n ⋅+对4n ≥的一切正整数都成立．………………………9分综上所述：当2n =或3n =时，n S <2(2)22n n n -+，当1n =或4n ≥时n S >2(2)22n n n -+．………………………………10分。

2020届高三12月月考数学试卷(理科)说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的 （ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ）A ．35B ．45C 32D 225．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是 （ ）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 （ ） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为 （ ） A ．22B ．4C ．52D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B ．13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．30,2π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________； 14．已知数列{}n a的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L ；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2B f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角． （l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率2e=．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m=+：与椭圆G交于A B，两点，直线2212l y kx m m m=+≠：（）与椭圆G交于C D，两点，且AB CD=，如图所示．①证明：120m m+=；②求四边形ABCD的面积S的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0xx xf x xax ax xe⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数．()1求实数a的值；()2若函数()()g x f x kx=-有三个零点，求实数k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点()1,0P-，直线l和曲线C交于,A B两点，求||||PA PB+的值．23．已知函数()()210f x x a x a=++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.（数学理）1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4 317【解析】（1）233()cos2cos2sin2cos23sin23223f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，令222,232k x k k Zπππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Zππππ-+∈剟∴故函数()f x的递增区间为5,()1212k k kππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z.（2）313sin,sin2332Bf B Bππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，20,,,333366B B B Bπππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q即，由正弦定理得：13sin sinsin6aA Cπ==，3sin2C∴=，0Cπ<<Q，3Cπ∴=或23π.当3cπ=时，2Aπ=：当23Cπ=时，6Aπ=（不合题意，舍）所以,63B Cππ==.18．如图，在PBE△中，AB PE⊥，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且5AC=，122AB AP AE===，将PBAV沿AB折起使得二面角P AB E--是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析.（2）13.【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥， 所以22222425BE AB AE =+=+=，又因为152AC BE ==， 所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ， 设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin 10PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ． 故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13．19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．【答案】(1) 2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =．（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+， 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532． （2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦． 令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+： 与椭圆G 交于 A B ， 两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ， 两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值． （1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0 ，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x xx e xe x f x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立，当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立，当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e ≤恒成立， 则12a e =，即12a e=． ()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件． 故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点， 故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x xkx e e e+-=，(0)x >， 则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根， 即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增，由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点， 则ln22k e =或11k e≥-， 即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||t t -==. 23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.。

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷12月月考理数试题创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂本一创作单位： 雅礼明智德学校本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分） 一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21110,24,2x M x x N x x Z +⎧⎫=-≤=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =( )A.{}1B.{}1,0-C.{}1,0,1-D.∅2.抛物线24y x =的焦点到准线的距离为( )A.14 B.12C.2D.43.已知命题:p 对任意x R ∈，有cos 1x ≤，则( ) A.:p ⌝存在x R ∈，使cos 1x > B.:p ⌝对任意x R ∈，有cos 1x > C.:p ⌝存在x R ∈，使cos 1x ≥D.:p ⌝对任意x R ∈，有cos 1x ≥4.若()2,1P 为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( ) A.10x y --= B.230x y --= C.30x y +-=D.250x y +-=5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =( ) A.7B.8C.15D.166.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数ϕ=( ) A.56π B.23π C.3πD.6π 7.已知(),P x y 为区域22400y x x a ⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为2时，2z x y =+的最大值是( )）A.5B.0C.2D.228.已知抛物线C 的顶点是椭圆22143x y +=的中心，焦点与该椭圆的右焦点2F 重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为1F ，则1PF =( ) A.23B.73C.53D.29.已知函数()ln tan 0,2f x x παα⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的导函数为()'f x ，若使得()()00'30f x f x -=成立的01x <，则实数α的取值范围为( )A.,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭10.正三角形ABC 内一点M 满足,45CM mCA nCB MCA =+∠=，则mn的值为( ) A.31-B.31+C.312+ D.312- 11.已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的左.右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，若1PQ PF ⊥，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =( )A.21+B.221+C.522+D.522-12.已知数列{}n a 满足：1263,3,9138n n n n n n a a a a a ++=-≤-≥⋅，则2015a =( )A.20153322+B.201538C.20153382+D.201532第II 卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相对应位置上.13.已知向量()()1,1,2,1a x x b =-+=-，若//a b ，则实数x =.14.若实数,x y 满足0,0x y >>，且440x y +=，则lg lg x y +的最大值为.15.已知()sin 2cos f x x x =+，若函数()()g x f x m =-在()0,x π∈上有两个不同零点α.β，则()cos αβ+=.16.设点()()1122,,,A x y B x y 是椭圆2214x y +=上两点，若过点,A B 且斜率分别为1212,44x x y y 的两直线交于点P ，且直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，()6,0E，则PE 的最小值为.三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3416a a +=，763S =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <. 18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知角A .B .C 的对边分别为,,a b c ，且1tan tan 12cos cos A C A C=+.（1）求B 的大小；（2）若212BA BC b ⋅=，试判断ABC ∆的形状.19.（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y pxp =>的焦点为()1,0F ，抛物线2:2E x py =的焦点为M .（1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； （2）若直线MF 与抛物线C 交于A .B 两点，求OAB ∆的面积. 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左.右焦点分别是1F ，2F ，点P 为椭圆C 上任意一点，且12PF F ∆面积最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆于A .B 两点（点A 在第一象限），M .N 是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若MAB NAB ∠=∠，求证：直线MN 的斜率为定值. 21.（本小题满分12分）已知函数()(),ln x f x e g x x m ==+. （1）当1m =-时，求函数()()()f x F x x g x x=+⋅在()0,+∞上的极值；（2）若2m =，求证：当()0,x ∈+∞时，()()310f xg x >+. （参考数据：ln20.693,ln3 1.099,ln5 1.609,ln7 1.946====）请考生在第22.23.24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知ABC ∆中，,AB AC D =为ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点A .C 重合），延长BD E 至，延长AC BC 交的延长线于F .（1）求证：CDF EDF ∠=∠；（2）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线12cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），28cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）将12,C C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数为2πα=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x x =+. （1）解不等式()41f x x <--；（2）已知()21,0m n m n +=>，若()()1230x a f x a m n--≤+>恒成立，求实数a 的取值范围.。

2020届江苏省苏州市五校高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．已知{}1,0,1,2A =-，{}|02B x R x =∈≤<，则A B =I ______. 【答案】{}0,1【解析】根据两个集合直接求交集. 【详解】由已知可知{}0,1A B =I . 故答案为：{}0,1 【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.2．若复数()341i z -=（i 为虚数），则复数z 的模z =______. 【答案】15【解析】首先求复数134z i=-，再化简求模. 【详解】()()1343434343425i iz i i i ++===--+，341255i z +===.故答案为：15【点睛】本题考查复数的化简和求模，意在考查转化和化简计算，属于基础题型.3．某市有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为n 的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么n =______. 【答案】40 【解析】由题意可知12240800n=，计算结果. 【详解】由题意可知12240800n=，解得：40n =. 故答案为：40 【点睛】本题考查分层抽样，意在考查基本公式和基本计算能力，属于简单题型. 4．函数2y x =-的定义域是______.【答案】{}2|x x ≤【解析】根据具体函数的形式，直接求定义域. 【详解】由题意可知20x -≥ 解得：2x ≤，∴函数的定义域是{}2|x x ≤.故答案为：{}2|x x ≤ 【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于简单题型. 5． 如图所示的流程图的运行结果是______．【答案】20【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，结束循环，输出【考点】循环结构流程图6．高三（5）班演讲兴趣小组有女生3人，男生2人，现从中任选2 名学生去参加校演讲比赛，则参赛学生恰好为1名男生和1名女生的概率是______. 【答案】35【解析】首先求任选2人的方法种数，然后求满足条件的方法，最后用古典概型求概率. 【详解】从5人中任选2名学生参加演讲比赛的有2510C =种方法，其中恰好为1名男生和1名女生的方法有11326C C =种方法， 则恰好为1名男生和1名女生的概率63105P ==. 故答案为：35【点睛】本题考查组合数和古典概型的计算方法，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______.【解析】由已知可知12b a =，再表示c e a ==【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程是by x a=±若直线20x y +=是双曲线的一条渐近线， 则12b a -=- ，即12b a =，离心率2c a =====.【点睛】本题考查双曲线基本性质，属于简单题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程. 8．已知cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______.【答案】10-【解析】首先根据角的范围求sin 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，然后化简为3sin 2sin 2444ππθθπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，代入求值.【详解】0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，3,444ππθπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭又cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q ，sin 4πθ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，4sin 22sin cos 2444555πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，23cos 22cos 1445ππθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 4444444ππππθθπθπθπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=43525210⎛⎫⎛⎫⨯---⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：10- 【点睛】本题考查三角恒等变换，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.9．设公比不为1的等比数列{}n a 满足1231a a a =-，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为______. 【答案】54【解析】由已知可知312321a a a a ==-，且4232a a a =+，求首项和公差，再求4S .【详解】由等比数列的性质可知312321a a a a ==-21a ∴=-，243,,a a a Q 成等差数列，4232a a a ∴=+，22222a q a a q =+， 2210q q ∴--= ，解得：1q =（舍）或12q =-， 212a a q∴== ， ()4414121121112a q S q⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭54=.故答案为：54【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，意在考查基本公式，属于基础题型. 10．曲线()1f x =在点()4,3处的切线与直线10ax y -+=互相垂直，则实数a的值为______. 【答案】-4【解析】首先求()4f '，由题意可知()41f a '⋅=-，求实数a 的值. 【详解】()f x '=，当4x =时，()144f '=， 由题意可知，114a =- ，解得：4a =-. 故答案为：4- 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于简单题型，当求曲线在某点()00,x y 处的切线时，切线方程是()()000y y f x x x '-=-. 11．已知20a b >>，且1a b +=，则242a b b+-的最小值为______.【答案】14+【解析】由题意变形为()231a b a b b +=-+=，再变形为()242122122322323a b b a b b a b b a b b ⎛⎫+=+=+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】()242122122322323a b b a b b a b b a b b ⎛⎫+=+=+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭()1226212141423a b b a b b -=+++≥+=+- 当()122623a b ba b b-=-时等号成立， 且1a b += ，变形为2151220b b -+= ，20a b >>Q，615b -∴=，915a +=. 故答案为：14+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型， 本题的关键是根据1a b +=，对原式进行变形()242122122322323a b b a b b a b b a b b ⎛⎫+=+=+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，然后再求最值. 12．已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a =________． 【答案】4【解析】试题分析：由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，根据直线与圆相交，所得弦长公式为AB =d=，221,13d r ==-=3=，解得4a =±【考点】直线与圆的位置关系，解三角形．【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式AB =.由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式d =.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.13．已知平面向量a r ，b r ，c r满足a =r 2b =r ，a r ，b r 的夹角等于6π，且()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则c r的取值范围是______.【答案】⎣⎦【解析】首先由数量积公式变形为2cos cos 06a b c a b c πθ-++=r r r r r r，并且整理为2cos 30c θ+=r23c cθ+=r r ，利用三角函数的有界性，求得c r的取值范围. 【详解】()()()2a cbc a b c a b c -⋅-=⋅-⋅++r r r r r r r r r r ，2cos cos 06a b c a b c πθ=-++=r r r r r r ，a r Q ，2b =r ，a r ，b r 的夹角等于6π，cos 36a b a b π∴⋅==r r r r ，a b +===r r2cos 30c θ∴+=r，23c cθ+=r rcos 1θ≤Q，23c c+∴≤r r整理为：230c +≤r ，解得：1122c ≤≤r.故答案为：11,22⎤⎥⎣⎦【点睛】本题考查数量积的运算公式的综合应用，意在考查转化与化简和计算能力，属于中档题型，当变形为2cos 30c θ+=r23c cθ+=r r ，利用三角函数的有界性求模的范围. 14．关于x 的方程1ln 2x a x +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______. 【答案】11ln 22a -<<【解析】首先方程变形为1ln 2x x a =-，将方程有3个不同的实数解转化为函数ln y x =与12y x a =-有3个不同交点，利用数形结合求a 的取值范围. 【详解】原式变形为1ln 2x x a =-， 当函数ln y x =与12y x a =-有3个不同交点时，如图，满足条件的直线夹在如图的两条直线之间，一条是过()1,0的直线，此时12a =，此时与y 轴的交点是10,2⎛⎫-⎪⎝⎭， 另外一条是相切的直线，设切点()00,ln x x ， 则0112x =，解得：02x =， 则切点是()2,ln 2，则1ln 222a =⨯-，解得1ln 2a =-，，此时与y 轴的交点是()0,ln 21-，1ln 212a ∴-<-<- 11ln 22a ∴-<<.故答案为：11ln 22a -<< 【点睛】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.二、解答题15．在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.【答案】（1）{}101B ＝－，， （2）13c =【解析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a A b B=得到 310a =用余弦定理解出13c =。

江苏省盐城中学高三年级综合测试数学试题（12月）(总分160分,考试时间120分钟)填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上。

1.已知集合{}Zx x x x A ∈≤-=,042，(){}A x x y y B ∈+==,1log 2，则=B A I .2.复数iiz -=12，其共轭复数为z ，则=+-1z z z ． 3.在平面直角坐标系中，从五个点：(0,0),(2,0),(1,1),(2,2),(3,3)A B C D E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 ．（结果用分数表示）4.在棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中，四面体11CD AB 的体积为 ．5.已知函数()cos ,(0,2)f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ，且方程()f x m =有两个不同的实根34,x x ，若把这四个数按从小到大顺序排列恰好构成等差数列，则实数m 的值为___________．6.已知双曲线22221x y a b-=（0,0>>b a ）的两条渐近线均和圆:C 22650x y x +-+=相切且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ． 7.已知锐角,A B 满足tan()2tan A B A +=，则tan B 的最大值为 ． 8.过直线x y l 2:=上一点P 作圆()()221M 345x y -+-=：的两条切线21,l l ，,A B 为切点，若直线21,l l 关于直线l 对称，则APB ∠= .9.已知ABC ∆是等腰直角三角形，090A ∠=，且AB a b =+u u u r r r ，AC a b =-u u u r r r，若(cos ,sin ),a R θθθ=∈r，则ABC ∆的面积为 ．10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线22(0)y px p =>有相同的焦点F ，,P Q 是椭圆与抛物线的的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为 ____ .11．已知数列{}n a 的通项公式为|13|n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=L 的正整数k = .12．在平面直角坐标系中，若点,A B 同时满足：①点,A B 都在函数)(x f y =图象上；②点,A B 关于原点对称.则称点对(),A B 是函数)(x f y =的一个“姐妹点对”，当函数a x a x g x --=)(，(0,1)a a >≠有“姐妹点对”时，a 的取值范围是 .13．已知等比数列{}n a 的首项81=a ，令n n a b 2log =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，若3S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则{}n a 的公比q 的取值范围是 .14．设,m k 为整数，方程2220mx kx -+=在区间(0,1)内有两个不同的根，则m k +的最小值为 ．一、 解答题：本大题共6小题, 第15,16,17题各14分，第18,19,20题各16分,共计90分. 15.在ABC ∆中，三个内角分别为,,A B C ，且sin()2cos 6B B π+=．（1）若cos 3C =,3AC =,求AB ． （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．16．如图，E 、F 分别为直角三角形ABC 的直角边AC 和斜边AB 的中点，沿EF 将AEF ∆折起到'A EF ∆的位置，连结'A B 、'A C ，P 为'A C 的中点． （1）求证：//EP 平面'A FB ． （2）求证：平面'A EC ⊥平面'A BC ．A17. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现1个单位剂量的药物在血液内的浓度与 时间的关系因使用方式的不同而不同。

2020届河北省辛集中学 高三12月月考数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．复数z=3−2i 31+i的虚部为A ．−12 B ．﹣1 C ．52 D ．122．已知集合A ={x |x ∈R |x 2−2x −3＜0 }，B ={x |x ∈R |−1＜x ＜m }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为A ．(3,+∞)B ．(−1,3)C ．[3,+∞)D ．(−1,3]3．已知点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，P 3(x 3,y 3)，P 4(x 4,y 4)，P 5(x 5,y 5)，P 6(x 6,y 6)是抛物线C ：y 2=2px (p ＞0)上的点，F 是抛物线C 的焦点，若|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |+|P 4F |+|P 5F |+|P 6F |=36，且x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6=24，则抛物线C 的方程为A ．y 2=4x B ．y 2=8x C ．y 2=12x D ．y 2=16x4．已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点离心率为√3．若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为√3，则C 的方程为A ．x 24−y 28=1 B ．y 24−x 28=1 C ．x 2−y 22=1 D ．y 2−x 22=15．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )=[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )=lnx −2x 的零点，则g (x 0)等于A ．1B ．2C ．3D ．46．已知四棱锥P −ABCD 的三视图如图所示，则此四棱锥的表面积为A ．7+2√2+√52 B ．3+2√2+√62 C ．7+2√2+62 D ．3+2√2+√527．已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0|x |−y −1≤0，则z =2x +y 的最大值为A ．4B ．6C ．8D ．108．已知点M(√5,0)及抛物线x 2=8y 上一动点P (x 0,y 0)，则y 0+|PM |的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．若α,β均为锐角且cosα=17，cos (α+β)=−1114，则sin (32π+2β)=A ．−12B ．12 C ．−√32 D ．√3210．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，以右焦点F 为圆心，|OF |为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N （异于原点O ），若|MN |=2√3a ，则双曲线C 的离心率是A ．√2B ．√3C ．2D ．√3+1 11．已知M 是椭圆x 225+y 216=1上一点，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，点I 是ΔMF 1F 2的内心，延长MI 交线段F 1F 2于N ，则|MI ||IN |的值为A ．53 B ．35 C ．43 D ．3412．已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且2f (x )+2f ′(x )＞3，f (1)=1，则不等式2f (x )−3+1e x−1＞0的解集为A ．(1,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,1)D ．(−∞,2)此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号二、解答题13．已知函数f(x)=2cosx(sinx−cosx)+1,x∈R．（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）将函数y=f(x)的图象向左平移π4个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的最大值及取得最大值时的x的集合．14．在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为{x=2+ty=1+2t（t为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ−12=0．（1）求⊙C的参数方程；（2）求直线I被⊙C截得的弦长．15．已知数列{a n}满足a1=56，a n+1−a n=1n(n+1)(n∈N∗)．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=na n，求|b1|+|b2|+⋯+|b12|．16．如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直，∠BDA=π3．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若二面角A−EF−C为直二面角时，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．17．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率是√22，短轴的一个端点到右焦点的距离为√2，直线y=x+m与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当实数m变化时，求|AB|的最大值；（3）求ΔABO面积的最大值．18．已知抛物线x2=2py(p＞0)的焦点到直线I：x−y−2=0的距离为3√22．（1）求抛物线的标准方程；（2）设点C是抛物线上的动点，若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4，求证：圆C恒过定点．三、填空题19．各项为正数的等比数列{a n}中，a2与a9的等比中项为2√2，则log4a3+log4a4+⋯+log4a8=_____．20．在面积为2的等腰直角ΔABC中，E,F分别为直角边AB，AC的中点，点P在线段EF上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为_____．21．在三棱锥A−BCD中，AC=CD=√2,AB=AD=BD=BC=1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是_____．22．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(32−x)=f(x)，f(−2)=−3，S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n+n，则f(a5)+f(a6)=_____．2019届河北省辛集中学 高三12月月考数学试题数学 答 案参考答案 1．A 【解析】 Z =(3+2i)（1-i ）2=52-i 2的虚部为-12 .2．A 【解析】试题分析：因为A ={x ∈R|x 2−2x −3<0}=(−1,3),又A ⊂≠B ,所以m >3，选A.考点：集合包含关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3．B 【解析】从点P i (i =1,2,3,4,5,6) 向抛物线的准线l 作P i P i ′⊥l 于点P i ′，由抛物线的定义有：∑x i 6i=1+p2×6=∑|P i P i ′|6i=1，即：24+3p =36⇒p =4, 则抛物线C 的方程为y 2=8x . 本题选择B 选项. 4．C 【解析】∵MF 1⊥MF 2,∴由直角三角形的性质可得MO =F 1O =√3=c ，又∵ca =√3, ∴a =1,b 2=3−1=2，∴C 的方程为x 2−y 22=1，故选C.5．B 【解析】 略 6．A 【解析】 【分析】根据三视图可判断该几何体是底面是矩形，有一条侧棱与底面垂直的一个四棱锥，由三视图的信息可以求得各面的边长，从而解决问题。

2020-2021学年广东省高三（上）月考数学试卷（12月份）1.已知集合A={x|x2≤4}，B={x|2x<1}，则A∩B等于()A. [−2,1)B. [−2,0)C. (1,2]D. [−2,+∞)2.已知z=1−3i1+i，则|z|=()A. √2B. 2C. √5D. 33.已知奇函数f(x)在R上是增函数，若a=−f(log215)，b=f(log265)，c=f(20.8)，则a、b、c的大小关系为()A. b<c<aB. b<a<cC. c<b<aD. c<a<b4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13=13π4，则sin(a5+a9)=()A. 1B. 32C. 52D. 25.张老师、孙老师与三位学生共五人在清华大学数学系楼前排成一排照相，两位老师相邻且都不在两端的排法数是()A. 12B. 24C. 36D. 486.设a>0，b>0，且(ax+bx2)5展开式中各项的系数和为32，则1a+4b的最小值为()A. 4B. √2C. 2√2D. 927.椭圆x29+y24=1的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是()A. (−√55,√55) B. (−2√55,2√55) C. (−3√55,3√55) D. (−6√55,6√55)8.已知函数f(x)=2x3lnx−(m−x)e m x−1，当x≥e时，f(x)≥0恒成立，则实数m的取值范围为()A. (−∞,4e]B. (−∞,3e]C. (−∞,2e]D. (−∞,3e2]9.已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是()A. 若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥βB. 若m⊥α，n//α，则m⊥nC. 若m⊂α，m//β，则α//βD. m//n，α//β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等10. 下列说法正确的是( )A. x +1x 的最小值为2B. sinx +4sinx 的最小值为4，x ∈(0,π) C. x 2+1的最小值为2x D. 4x(1−x)的最大值为111. 已知函数g(x)的图象是由函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移π4个单位长度得到的，则下列说法正确的是( )A. g(x)是奇函数B. g(x)的单调递增区间为[kπ−π8,kπ+3π8](k ∈Z) C. g(x)的图象的一条对称轴方程为x =3π8D. g(x)的图象的一个对称中心为(7π8,0)12. 在等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d ≠0，前n 项和为S n (n ∈N ∗).有下列命题：①若S 3=S 15，则S 18=0；②若S 3=S 15，则S 9是S n 中的最小项； ③若S 3=S 15，则a 9+a 10=0； ④若S 9>S 10，则S 10>S 11． 其中正确命题有( )A. ①B. ②C. ③D. ④13. 已知向量a ⃗ =(m,−3)，b ⃗ =(√3,−1)，若向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则实数m =______ 14. 已知α∈(0,π2)，且2sin 2α−sinαcosα−3cos 2α=0，则sin(α+π4)sin2α+cos2α+1=______．15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术⋅商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术⋅商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA =AC =1，BC =√2，则四面体P −ABC 的外接球的表面积为______ ．16. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px 上一点A 到焦点F 的距离为4，若点M为抛物线C 准线上的动点，给出以下命题：①当△MAF 为正三角形时，p 的值为2；②存在M 点，使得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；③若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p 等于3；④|OM|+|MA|的最小值为2√13，则p 等于4或12． 其中正确的是______． 17. 在①ba =√3sinA，②2bsinA =atanB ，③(a −c)sinA +csin(A +B)=bsinB 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足______． (1)求角B ；(2)若a +c =2b ，且△ABC 外接圆的直径为2，求△ABC 的面积．18. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2，{b n }是等差数列，且a n =b n +b n+1．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n =1b n+1⋅b n+2，T n =c 1+c 2+⋯+c n ，求使T n <1519成立的最大正整数n ．19. 甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，甲答对每道题的概率为23，乙答对每道题的概率为12，且各人是否答对每道题互不影响．(1)用X 表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)设A 为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A 发生的概率．20.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠BAD=90°，CD=2AB=2，PA⊥平面ABCD，PA= AD=√2，M为PC中点．(1)求证：平面PBC⊥平面BMD；(2)求三棱锥D−BMP的体积．21.椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1)，B(−√22,√32)．(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，则直线AP与AQ的斜率之和是否为定值？如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由．22.已知函数f(x)=lnx−mx．(1)设g(x)=f(e x)，求函数g(x)的单调区间；(2)若x1，x2为方程f(x)+2=0的两个不相等的实数根，求证：x1x2>1．e2答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|−2≤x≤2}，B={x|x<0}，∴A∩B=[−2,0)．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：z=1−3i1+i =(1−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−2i，则|z|=√5．故选：C．根据复数的基本运算法则进行化简即可．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)为奇函数，所以a=−f(log215)=f(−log215)=f(log25)，因为0<log265<1，2<log25<3，1<20.8<2，所以log265<20.8<log25，又函数f(x)在R上是增函数，所以f(log265)<f(20.8)<f(log25)，即b<c<a．故选：A．由已知结合对数的性质及函数的单调性及奇偶性即可比较大小．本题主要考查函数值大小的比较，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，则S13=13a1+13×122d=13(a1+6d)=13π4，所以a1+6d=π4．所以a5+a9=(a1+4d)+(a1+8d)=2a1+12d=2(a1+6d)=π2，故sin(a5+a9)=sinπ2=1．故选：A．利用求和公式得首项a1与公差d的关系a1+6d=π4，把a1+6d看成整体求出a5+a9的值．本题考查等差数列的求和公式与通项公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：把2位老师捆绑在一起看做一个复合元素，插入到3位同学所成的2个空中(不含两端)，故有A22A33A21=24种，故选：B．用插空法来解决问题，将所有学生先排列，再将两位老师插入空中，根据分步计数原理得到结果．本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于此类的问题，一般采用插空法来解．6.【答案】D【解析】解：设a>0，b>0，且(ax+bx2)5展开式中各项的系数和为(a+b)5=32，∴a+b=2，则1a +4b=a+b2⋅(1a+4b)=12+b2a+2ab+2≥52+2√b2a⋅2ab=92，当且仅当b=2a时，等号成立．则1a +4b 的最小值为92， 故选：D ．由题意求出a +b =2，再把1a +4b 变形，利用基本不等式求得1a +4b 的最小值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，基本不等式的应用，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：如图，设P(x,y)，则F 1(−√5,0)，F 2(√5,0)， 且∠F 1PF 2是钝角⇔PF 12+PF 22<|F 1F 2|2⇔(x +√5)2+y 2+(x −√5)2+y 2<20⇔x 2+5+y 2<10 ⇔x 2+4(1−x 29)<5⇔x 2<95.所以−3√55<x <3√55．故选：C ．设P(x,y)，根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F 1PF 2是钝角推断出PF 12+PF 22<F 1F 22代入P 坐标求得x 和y 的不等式关系，求得x 的范围． 本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式．属基础题．8.【答案】B【解析】解：当x ≥e 时，f(x)≥0恒成立，即2x 3lnx −(m −x)e mx −1≥0恒成立， 当m ≤0时，显然成立； 当m >0时，即2x 2lnx −(mx−1)em x−1≥0恒成立，即x 2lnx 2−(mx −1)e mx −1≥0恒成立，即x 2lnx 2≥(mx −1)e mx −1，令g(x)=xe x ，则g(lnx 2)≥g(mx −1)，g′(x)=(x +1)e x ，当x <−1时，g′(x)<0，当x >−1时，g′(x)>0，∴g(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，由m>0知，mx−1>−1，∴由g(lnx2)≥g(mx −1)，可得lnx2≥mx−1，即m≤2xlnx+x，令ℎ(x)=2xlnx+x，x>e，ℎ′(x)=3+2lnx>0，即ℎ(x)在x∈(e,+∞)上为增函数，ℎ(x)min=ℎ(e)=3e，∴0<m≤3e．综上，实数m的取值范围为(−∞,3e]．故选：B．求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，从而确定m的范围即可．本题主要考查导数的应用，利用导数求函数的最值，考查分类讨论与转化思想的应用，属于难题．9.【答案】AC【解析】解：若m⊥n，m⊥α，n//β，可得α//β，或α，β相交，故A错误；若m⊥α，n//α，由线面平行和线面垂直的性质可得m⊥n，故B正确；若m⊂α，m//β，可得α//β，或α，β相交，故C错误；由m//n，α//β，由线面角的定义和面面平行的性质，可得m与α所成的角和n与β所成的角相等，故D正确．故选：AC．由线面垂直和平行的性质，以及面面的位置关系，可判断A；由线面平行和线面垂直的性质，可判断B；由线面平行的性质和面面的位置关系，可判断C；由线面角的定义和面面平行的性质，可判断D．本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，考查推理能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查基本不等式，问题的关键在于对代数式进行配凑，属于中等题．利用基本不等式或函数的基本性质来得出各代数式的最值，利用基本不等式时需注意“一正、二定、三相等”这三个条件要满足．【解答】解：对于A选项，当x<0时，x+1x<0，A选项不符合题意；对于B选项，当x∈(0,π)时，0<sinx≤1，由基本不等式可得sinx+4sinx≥2√sinx⋅4sinx =4，当且仅当sinx=4sinx，即当sinx=2时，等号成立，这与0<sinx≤1矛盾；对于C选项，∵x2≥0，x2+1≥1，所以，x2+1的最小值为1，C选项不合乎题意；对于D选项，由基本不等式可得4x(1−x)≤4⋅(x+1−x2)2=1，当且仅当x=1−x时，即当x=12时，等号成立，D选项正确，故选：D．11.【答案】BC【解析】解：∵把函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=2sin(2x−π4)的图象，故函数g(x)=2sin(2x−π4)，显然它不是奇函数，故排除A；令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，求得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，可得g(x)的增区间为[kπ−π8,kπ+3π8]，k∈Z，故B正确；令x=3π8，求得g(x)=2，为最大值，故g(x)的图象的一条对称轴方程为x=3π8，故C正确；令x=7π8，求得g(x)=−2，为最小值，故g(x)的图象不关于(7π8,0)对称，故排除D，故选：BC．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：由{a n}是等差数列，S3=S15，得S15−S3=0，即a4+a5+⋯+a15=0，所以122(a4+a15)=0，即a4+a15=0，所以S18=182(a1+a18)=9(a4+a15)=9(a9+a10)=0，故命题①③正确；∵a1>0，S3=S15，∴等差数列{a n}的公差d<0，又a9+a10=0，∴a9>0，a10<0，S9是S n中的最大项，命题②错误；若S9>S10，则d<0，所以从第十项起为负数，故S10>S11，故命题④正确．故选：ACD．根据等差数列的性质对四个命题逐项判断即可．本题考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．13.【答案】0【解析】解：∵|a⃗|=√m2+9,|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =√3m+3，且<a⃗,b⃗ >=π3，∴√3m+32√m2+9=12，解得m=−3√3或0，m=−3√3时，a⃗⋅b⃗ <0，不满足√3m+32√m2+9=12，应舍去，∴m=0．故答案为：0．根据向量夹角的余弦公式可得出√3m+32√m2+9=12，求出m的值，并验证是否满足√3m+32√m2+9=12即可．本题考查了向量夹角的余弦公式，向量坐标的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】√268【解析】解：α∈(0,π2)，且2sin 2α−sinαcosα−3cos 2α=0， 所以2tan 2α−tanα−3=0，解得tanα=32，tanα=−12(舍去)cosα=√cos 2αsin 2α+cos 2α=√1tan 2α+1=√413sin(α+π4)sin2α+cos2α+1=√22(sinα+cosα)2sinαcosα+2cos 2α=√24cosα=√24×2√13=√268． 故答案为：√268．利用已知条件求出tanα的值，然后求解所求表达式的值．本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．15.【答案】4π【解析】解：解法一、由题意知∠ACB =90°，取PB 的中点为O ，可得OA =OB =OP =OC ，即O 为球心，所以球的半径为R =12PB =12√PA 2+AB 2=12√PA 2+AC 2+BC 2=12√12+(√2)2+12=1，所以球的表面积为S =4πR 2=4π×12=4π．解法二、把三棱锥补成长、宽、高分别为1、√2、1的长方体，则长方体的对角线为外接球的直径，所以(2R)2=PA 2+AC 2+BC 2=12+(√2)2+12=4； 所以三棱锥外接球的表面积为S =4πR 2=4π．解法一、由题意知∠ACB =90°，取PB 的中点为O ，可得O 为球心，求出球的半径R ，计算球的表面积．解法二、把三棱锥补成长方体，长方体的对角线是外接球的直径，由此三棱锥外接球的表面积．本题考查球的表面积计算问题，涉及球与三棱锥和长方体的关系，是基础题．16.【答案】①③【解析】解：对于①，当△MAF 为正三角形时，|AF|=|AM|，故AM 与x 轴平行，∵|AF|=|AM|=4，∴F 到准线的距离等于12|AM|=2，即p =2，故①正确； 对于②，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，而A 在抛物线上，FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故②不正确； 对于③，若MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ，M ，F 三点共线，且|MF|=12，由三角形的相似比可得1216=p4，得p =3，故③正确；对于④，设B(−p,0)，则O ，B 关于准线对称，故|MO|=|MB|，∵|AF|=4，∴A 点横坐标为4−p2，不妨设A 在第一象限，则A 点纵坐标为√8p −p 2， 故|OM|+|MA|的最小值为|AB|=√(4+p2)2+8p −p 2=2√13，解得p =4或p =12，由4−p2≥0，p ≤8，故p =4，故④不正确． 故答案为：①③．根据等边三角形性质判断①，根据A，F不重合判断②，利用相似三角形判断③，根据最短距离列方程计算p，判断④．本题考查抛物线的几何性质，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】①②③【解析】解：若选①：(1)因为ba =√3sinA，由正弦定理可得：√3sinBsinA=sinAcosB+sinA，因为A为三角形内角，sinA≠0，所以√3sinB=cosB+1，可得：2sin(B−π6)=1，即sin(B−π6)=12，因为B∈(0,π)，可得B−π6∈(−π6,5π6)，可得B−π6=π6，所以可得B=π3．(2)因为B=π3，△ABC外接圆的直径为2，即bsinB=bsinπ3=2，所以解得b=√3，又因为a+c=2b=2√3，所以b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−3ac=12−3ac=3，解得：ac=3，所以△ABC的面积S=12acsinB=12×3×√32=3√34．若选②：(1)∵2bsinA=atanB，∴2bsinA=asinBcosB ，由正弦定理可得2sinBsinA=sinA⋅sinBcosB，∵sinA≠0，∴可得cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．(2)因为B=π3，△ABC外接圆的直径为2，即bsinB=bsinπ3=2，所以解得b=√3，又因为a+c=2b=2√3，所以b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−3ac=12−3ac=3，解得：ac=3，所以△ABC 的面积S =12acsinB =12×3×√32=3√34． 若选③：(1)因为(a −c)sinA +csin(A +B)=bsinB ， 所以(a −c)sinA +csinC =bsinB ，由正弦定理可得：(a −c)a +c 2=b 2，整理可得：a 2+c 2−b 2=ac ， 由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=ac 2ac=12，因为B ∈(0,π)， 所以B =π3．(2)因为B =π3，△ABC 外接圆的直径为2，即b sinB =bsin π3=2，所以解得b =√3， 又因为a +c =2b =2√3，所以b 2=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−3ac =12−3ac =3，解得：ac =3， 所以△ABC 的面积S =12acsinB =12×3×√32=3√34． 若选①：(1)由正弦定理，两角差的正弦函数公式化简已知等式，结合sinA ≠0，可得sin(B −π6)=12，可求范围B −π6∈(−π6,5π6)，进而可求B 的值．(2)由题意利用正弦定理可求b 的值，进而根据余弦定理可求ac =3，利用三角形的面积公式即可求解． 若选②：(1)由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合sinA ≠0，可求cosB =12，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值．(2)由题意利用正弦定理可求b 的值，进而根据余弦定理可求ac =3，利用三角形的面积公式即可求解． 若选③：(1)由两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式，整理可得：a 2+c 2−b 2=ac ，由余弦定理可得cosB =12，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值．(2)由题意利用正弦定理可求b 的值，进而根据余弦定理可求ac =3，利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)数列{a n }的前n 项和S n =n 2，①当n =1时，解得a 1=1． 当n ≥2时，S n−1=(n −1)2，②①−②得：a n =S n −S n−1=2n −1(首项符合通项)． 所以a n =2n −1．数列{b n }是等差数列，且a n =b n +b n+1.设公差为d ， 所以{a 1=1=b 1+b 2=2b 1+d a 2=3=b 2+b 3=2b 1+3d ，解得{b 1=0d =1，所以b n =n −1． (2)由于c n =1bn+1⋅b n+2=1n(n+1)=1n −1n+1，故T n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=nn+1． 当nn+1<1519时，解得：n ≤3， 最大整数为3．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； (2)利用裂项相消法的应用求出数列的和及最小的整数值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，甲答对每道题的概率为23，乙答对每道题的概率为12，且各人是否答对每道题互不影响． 用X 表示甲同学答对题目的个数，则X ～B(3,23)，P(X =0)=C 30(13)3=127， P(X =1)=C 31(23)(13)2=29， P(X =2)=C 32(23)2(13)=49，P(X =3)=C 33(23)3=827，∴随机变量X 的分布列为：数学期望E(X)=3×23=2．(2)设A 为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，则A 包含的事件有{乙答对0个甲答对2个，乙答对1个甲答对3个}， P{乙答对0个甲答对2个}=18×49=118， P{乙答对1个甲答对3个}=38×827=19． ∴事件A 发生的概率P(A)=118+19=16．【解析】(1)推导出X ～B(3,23)，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望E(X)． (2)设A 为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，则A 包含的事件有{乙答对0个甲答对2个，乙答对1个甲答对3个}，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出事件A 发生的概率P(A)．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查二项分布、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】(1)证明：在直角梯形ABCD 中，BD =√3，cos∠BDC =cos∠DBA =√3，在△BCD 中，由余弦定理得BC =√3，∵PB =√3，PD =2，∴△PCD ，△PCB 是等腰三角形， ∴PC ⊥MD ，PC ⊥MB ，∵BM 、DM ⊂平面BDM ，且BM ∩DM =M ， ∴PC ⊥平面MDB ，∵PC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面BMD ． (2)解：由题意得P 到平面BCD 的距离是PA ， M 到平面BCD 的距离是P 到平面BCD 的距离的12， ∴三棱锥D −BMP 的体积为：V D−BMP =V D−BMC =V M−BCD =13×12×2×√2×12√2=13．【解析】(1)推导出BD =√3，cos∠BDC =cos∠DBA =√3，由余弦定理得BC =√3，从而△PCD ，△PCB 是等腰三角形，PC ⊥MD ，PC ⊥MB ，进而PC ⊥平面MDB ，由此能证明平面PBC ⊥平面BMD ．(2)由题意得P 到平面BCD 的距离是PA ，M 到平面BCD 的距离是P 到平面BCD 的距离的12，三棱锥D −BMP 的体积为V D−BMP =V D−BMC =V M−BCD ，由此能求出三棱锥D −BMP 的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意知12a 2+34b 2=1，b =1，解得a =√2，所以，椭圆E 的方程为x 22+y 2=1．(2)点直线的斜率为0时，P(1,√22)，Q(1,−√22)，直线AP 与AQ 的斜率之和√22+11+−√22+11=2，当直线的斜率存在时，直线P 、Q 的方程为y =k(x −1)+1(k ≠2)，代入x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2−4k(k −1)x +2k(k −2)=0，由已知△>0， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，x 1x 2≠0，则x 1+x 2=4k(k−1)1+2k 2，x 1x 2=2k(k−2)1+2k 2，从而直线AP 与AQ 的斜率之和k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2−kx 1+kx 2+2−kx 2=2k +(2−k)(1x 1+1x 2)=2k +(2−k)x 1+x 2x 1x 2=2k +(2−k)4k(k−1)2k(k−2)=2k −(2k −1)=2．【解析】(1)利用点在椭圆上，结合x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点A(0,−1)求出b ，得到a ，然后求解椭圆方程．(2)通过直线的斜率不存在，求解；当直线的斜率存在时，直线P 、Q 的方程为y =k(x −1)+1(k ≠2)，代入x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2−4k(k −1)x +2k(k −2)=0，由已知△>0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，x 1x 2≠0，利用韦达定理，结合直线的斜率的和，化简求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)g(x)=f(e x )=x −me x ，∴g′(x)=1−me x ，当m ≤0时，g′(x)>0恒成立，即g(x)在(−∞,+∞)上单调递增， 当m >0时，令g′(x)=1−me x =0，解得x =−lnm ， 当x <−lnm 时，g′(x)>0，当x >−lnm 时，g′(x)<0， ∴g(x)在(−∞,−lnm)上单调递增，在(−lnm,+∞)上单调递减；(2)x 1，x 2为方程f(x)+2=0的两个不相等的实数根，不放设0<x 1<x 2， 则lnx 1−mx 1+2=0，lnx 2−mx 2+2=0， 两式相减可得ln x 1x 2=m(x 1−x 2)，即m =lnx 1x 2x 1−x 2，∵0<x 1<x 2，∴x 1−x 2<0，ln x1x 2<0，∴m >0，两式相加可得lnx 1x 2=m(x 1+x 2)−4， 要证明x 1x 2>1e 2，只要证明ln(x 1x 2)>ln 1e 2=−2， 即证m(x 1+x 2)−4>−2， 即证lnx 1x 2x 1−x 2(x 1+x 2)>2，即证ln x 1x 2<2(x 1−x 2)x 1+x 2=2⋅x 1x 2−1x 1x 2+1，设x 1x 2=t ，则0<t <1， 即证lnt <2×t−1t+1=2−4t+1， 即证lnt +4t+1<2，设ℎ(t)=lnt +4t+1，0<t <1， ∴ℎ′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2(t+1)2>0恒成立， ∴ℎ(t)在(0,1)上单调递增， ∴ℎ(t)<ℎ(1)=2， ∴lnt +4t+1<2成立，故：x 1x 2>1e 2．【解析】(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出， (2)根据x 1，x 2为方程f(x)+2=0的两个不相等的实数根，可得m =lnx 1x 2x 1−x 2，lnx 1x 2=m(x 1+x 2)+4，要证要证明x 1x 2>1e 2，转化为只要证ln x 1x 2<−6(x 1−x 2)x 1+x 2=−6⋅x 1x 2−1x 1x 2+1，设x 1x 2=t ，即证lnt −12t+1<−6，构造设ℎ(t)=lnt −12t+1，根据函数单调性就可证明． 本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及最值，考查不等式与函数单调性的应用，考查转化思想，属于难题．。

四川省新津中学2020届高三数学12月月考试题 理第Ⅰ卷一、选择题：(本题共12小题,每小题5分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合}{1<=x x A ,}{)3(<-=x x x B ,则=B A ( )A. ()0,1-B. ()1,0C. ()3,1-D. ()3,12.设复数z 满足()i z i 211-=⋅+（i 为虚数单位）,则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图所示.当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推．例如3266用算筹表示就是,则8771用算筹可表示为（ ）A.B.C.D.4函数f(x)=(x-x1)cos x ( -π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )5．在等比数列{}n a 中,4a 和12a 是方程0132=++x x 的两根,则=8a ( )A ．23-B ．23C ．1-D ．1± 6.下列函数中,在()+∞,0内单调递减的是 ( ) A. xy -=22B. x x y +-=11 C. x y 1log 21= D. a x x y ++-=227.函数()()ϕω+=x A x f sin ()R x A ∈⎪⎭⎫⎝⎛<<->>22,0,0πϕπω的部分图象(如图所示,则=⎪⎭⎫⎝⎛3πf ( ) A. 21B. 23C. 21-D. 23-8.已知0,0>>y x ,且112=+yx ,若m m y x 222+>+恒成立,则实数m 的取值范围( ) A ．4≥m 或2-≤mB ．2≥m 或4-≤mC ．42<<-mD ．24<<-m9.已知边长为2的等边三角形ABC ,D 为BC 的中点,以AD 为折痕,将ABC ∆折成直二面角,则过D C B A ,,,四点的球的表面积为 ( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π510.已知n S 是等差数列*{a }()n n N ∈的前n 项和,且564S S S >>,以下有四个命题：①数列{}n S 中最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③10S >0 ④110S < 其中正确的序号是A. ②③B. ②③④C. ②④D.①③④11.已知O 为坐标原点,抛物线x y C 8:2=上一点A 到焦点F 的距离为6,若点P 为抛物线C 准线上的动点,则AP OP +的最小值为 ( ) A.4 B.34 C.64 D.36 12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-,当[0,]2x π∈时,()f x =则函数()()()1g x x f x π=--在区间3[,3]2ππ-上所有零点之和为 A. π B. 2π C. 3π D. 4πD CBA 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020届广东省佛山市实验中学高三12月月考试题数学（理）一、单选题1．已知集合{|2,0}xA y y x ==>，2{|log (2)}B x y x ==-，则()A B =R I ðA ．[0,1)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[2,)+∞【答案】C【解析】化简集合A ，B ，利用交并补运算得到结果. 【详解】由题意易得：()1A ∞=+，，()2B ∞=+， ∴(],2R B =-∞ð, ∴()(]1,2R A B ⋂=ð, 故选：C 【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力． 2．复数z 满足(1)i z i -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i 【答案】B【解析】分析：由已知等式变形得1iz i=-，再利用复数的四则运算法则求出z 的代数形式，再写出虚部。

详解：由(1)i z i -=有(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，则z 的虚部为12，故选B. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题。

若复数(,)z a bi a b R =+∈，则复数的虚部为b 。

3．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则4a =（ ）【答案】C【解析】利用等差数列前n 项和公式，代入844S S =即可求出112a =，再利用等差数列通项公式就能算出4a . 【详解】∵{}n a 是公差为1的等差数列，844S S =， ∴1187143184422a a ⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⨯+ ⎪⎝⎭解得112a =，则4173122a =+⨯=，故选C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和公式的运用，是基础题。

4．已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m n P ”是“m αP ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】结合线面平行的判定定理和性质定理即可判断命题的真假 【详解】直线,l m ，平面α，且m α⊂，若//l m ，当l α⊂时，//l α，当l α⊂时不能得出结论，故充分性不成立；若//l α，过l 作一个平面β，若m αβ=I 时，则有//l m ，否则//l m 不成立，故必要性也不成立．由上证知“//l m ”是“//l α”的既不充分也不必要条件， 故选D ． 【点睛】本题考查由线面平行的性质定理和判定定理判断命题的真假，属于基础题5．已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,x y x y y x x y L 用最小二乘法求得其线性回归方程为$24y x =-+若123,,,x x x ⋅⋅⋅6x 的平均数为1，则 1236···y y y y ++++=（ ） A ．10 B ．12C ．8D ．9【答案】B1236···y y y y ++++的值。

2020届高三数学上学期12月月考试题（含解析）(满分160分，考试时间120分钟）2019.12.13一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1. 已知集合，0，1，，，则元素的个数为______.答案：1解：集合，0，1，，，则．2．复数是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为．答案：4解：．复数是纯虚数，解得：．故答案为：4．3. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的值为．答案：解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，所以．故答案为：．4．不等式的解集为．答案：解：不等式，即，即，即，故不等式的解集为，故答案为．5. 设曲线在点处的切线方程为，则．答案：3解：的导数，由在点处的切线方程为，得，则．故答案为：3．6.已知点，，则与向量同方向的单位向量的坐标是．答案：解：点，，，可得，因此，与向量同方向的单位向量为：，故答案为：7.已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则的值为．答案：2解：抛物线的准线为：，双曲线的左准线为：，由题意可知，．故答案为：2．8. 已知，，则．答案：解：由，得，解得，，，故答案为：．9. 已知四边形为梯形，，为空间一直线，则“垂直于两腰，”是“垂直于两底，”的条件（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）．答案：充分不必要解：先看充分性四边形为梯形，，两腰、所在直线是相交直线．垂直于两腰，平面又，是平面内的直线，垂直于两底，，因此充分性成立；再看必要性作出梯形的高，则垂直于两底，，设所在直线为，垂直于两底，，且是平面内的直线，与梯形的两腰不垂直，因此必要性不成立．故答案为：充分不必要．10. 已知函数，，是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若，则．答案：解：函数，，是奇函数，则，由于的最小正周期为，所以，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若，所以，解得．所以．故答案为：11. 记等比数列的前项积为，已知，且，则的值为．答案：4解：，由等比数列的性质可得，，，，，，．故答案为：4．12．命题：已知椭圆，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一个动点，过作的外角平分线的垂线，垂足为，则的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题：已知双曲线，，是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一个动点，过作的的垂线，垂足为，则的长为定值．答案：内角平分线【解答】解：点关于的外角平分线的对称点在的延长线上，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一个动点，过作的外角平分线的垂线，垂足为（椭圆长轴长），又是△的中位线，故；不妨设点在双曲线右支上，点关于的内角平分线的对称点在的延长线上，当过作的内角平分线的垂线，垂足为时，，又是△的中位线，故；故答案为：内角平分线13. 已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值为．答案：解：在中，，，，所以因为，所以，中，边上的高与边的长相等，所以，即，．的最大值为：．故答案为：．14. 设，，，若对任意的正实数，，都存在以，，为三边长的三角形，则实数的取值范围是．答案：解：，，，三角形任意两边之和大于第三边，，且，解得，故实数的取值范围是，故答案为：．[二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分为14分）中，角，，所对应的边分别为，，，若（1）求角的大小；（2）若，求的最小正周期与单调递增区间．解：（1）由，得，即，由余弦定理，得，又角是的一个内角，．（2），故函数的最小正周期为．由，，可得，，故单调增区间为，，．16．（本小题满分为14分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为的中点．（1）求证：面；（2）求证：平面平面．解：（1）证明：设，连接，因为，分别是，的中点，所以（4分）而面，面，所以面（7分）（2）连接，因为，所以，又四边形是菱形，所以（10分）而面，面，，所以面（13分）又面，所以面面（14分）17.（本小题满分14分）如图，某生态园将一三角形地块的一角开辟为水果园种植桃树，已知角为，，的长度均大于200米，现在边界，处建围墙，在处围竹篱笆．（1）若围墙，总长度为200米，如何围可使得三角形地块的面积最大？（2）已知段围墙高1米，段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设米，米，则（1），的面积，当且仅当时取等号；（2）由题意得，即，要使竹篱笆用料最省，只需最短，所以所以时，有最小值，此时．18.（本小题满分16分）已知长轴在轴上的椭圆的离心率，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若点，为圆上任一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，求证：为坐标原点）．（1）解：由题意，设椭圆方程为，，椭圆过点，，椭圆的方程为；（2）证明：由题意可求得切线方程为①若，则切线为（或，则，，（当时同理可得）；②当时，切线方程为，与椭圆联立并化简得，设，，，，则19.(本小题满分16分)已知函数且（1）求函数在点，处的切线方程；（2）求函数单调区间；（3）若存在，，，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围．解：（1）因为函数，所以，，又因为，所以函数在点，处的切线方程为；（2）由（1），．当时，，在上递增；当时，，在上递增；故当，时，总有在上是增函数，又，所以不等式的解集为，故函数的单调增区间为，递减区间为；（3）因为存在，，，使得成立，而当，时，，所以只要即可．又因为，，的变化情况如下表所示：减函数可得在，上是减函数，在，上是增函数，所以当，时，的最小值，的最大值为和（1）中的最大值．因为，令，因为，所以在、上是增函数．而（1），故当时，（a），即（1）；当时，（a），即（1）．所以，当时，（1），即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．综上可知，所求的取值范围为．20.(本小题满分16分)已知数列满足，，，是数列的前项和．（1）若数列为等差数列．（ⅰ）求数列的通项；（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）（ⅰ）因为，所以，即，又，，所以，又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以；（ⅱ）因为，所以，其前项和，又因为，所以其前项和，所以，当或时，；当或时，；当时，．（2）由，知，两式作差，得，所以，作差得，所以，当时，；当时，；当时，；当时，；因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，，故实数的取值范围为．蒋王中学2020届高三周测数学试题(理科附加)(满分40分，考试时间30分钟）2019.12.1321. 已知为矩阵属于的一个特征向量，求实数，的值及．解：由条件可知，，解得．（5分）因此，所以．（10分）22. 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数），求直线被截得的弦的长度．解：的方程化为，两边同乘以，得由，，，得（5分）其圆心坐标为，半径，又直线的普通方程为，圆心到直线的距离，弦长（10分）23．如图，设动点P在棱长为1的正方形ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上，若AP⊥PC，求P点的位置．解：以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)．所以＝(1,1，－1)．(3分)设＝λ＝(λ，λ，－λ)(0＜λ＜1)．(4分)所以＝＋＝(1－λ，－λ，λ－1)，(5分)＝＋＝(－λ，1－λ，λ－1)．(6分)因为AP⊥PC，所以·＝0，(7分)即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝0，解得λ＝或λ＝1(舍去)，(9分)所以P.(10分)24. 已知是给定的某个正整数，数列满足：，，其中，2，3，，．（Ⅰ）设，求，，；（Ⅱ）求．解：（Ⅰ）由得，，2，3，，即，；，，，；（3分）（Ⅱ）由得：，，2，3，，即，，，，以上各式相乘得（5分），，2，3，，（7分）（10分）2020届高三数学上学期12月月考试题（含解析）(满分160分，考试时间120分钟）2019.12.13一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

2020届广东省佛山市实验中学高三12月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|2,0}xA y y x ==>，2{|log (2)}B x y x ==-，则()A B =R I ðA ．[0,1)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[2,)+∞【答案】C【解析】化简集合A ，B ，利用交并补运算得到结果. 【详解】由题意易得：()1A ∞=+，，()2B ∞=+， ∴(],2R B =-∞ð, ∴()(]1,2R A B ⋂=ð, 故选：C 【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力． 2．复数z 满足(1)i z i -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i 【答案】B【解析】分析：由已知等式变形得1iz i=-，再利用复数的四则运算法则求出z 的代数形式，再写出虚部。

详解：由(1)i z i -=有(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，则z 的虚部为12，故选B. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题。

若复数(,)z a bi a b R =+∈，则复数的虚部为b 。

3．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则4a =（ ）【答案】C【解析】利用等差数列前n 项和公式，代入844S S =即可求出112a =，再利用等差数列通项公式就能算出4a . 【详解】∵{}n a 是公差为1的等差数列，844S S =， ∴1187143184422a a ⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⨯+ ⎪⎝⎭解得112a =，则4173122a =+⨯=，故选C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和公式的运用，是基础题。

4．已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m n P ”是“m αP ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】结合线面平行的判定定理和性质定理即可判断命题的真假 【详解】直线,l m ，平面α，且m α⊂，若//l m ，当l α⊂时，//l α，当l α⊂时不能得出结论，故充分性不成立；若//l α，过l 作一个平面β，若m αβ=I 时，则有//l m ，否则//l m 不成立，故必要性也不成立．由上证知“//l m ”是“//l α”的既不充分也不必要条件， 故选D ． 【点睛】本题考查由线面平行的性质定理和判定定理判断命题的真假，属于基础题5．已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,x y x y y x x y L 用最小二乘法求得其线性回归方程为$24y x =-+若123,,,x x x ⋅⋅⋅6x 的平均数为1，则 1236···y y y y ++++=（ ） A ．10 B ．12C ．8D ．9【答案】B1236···y y y y ++++的值。

2020届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题 1．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】【详解】 分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果。

详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。

2．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．3．已知a ，b ，c ，d 是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是 A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】通过取特殊值，依次排除选项，得到结果.【详解】 选项：取，，，则，，可知错误；选项：取，，，则，，可知错误； 选项：取，，，则，，又，可知错误；选项：设，，则则要证，只需证即证：，又，只需即可即证：又，则只需即可即综上所述：，可知正确.本题正确选项： 【点睛】本题考查不等式相关问题，通过取特殊值排除的方法是较简单的方法.证明的难点在于能够将利用平方差公式进行分子有理化，将问题进行转化.4．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ D ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A【解析】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<， ∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ．【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．5．如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n N ++++=≠∈，*1122,,n n n n n n B B B B B B n N ++++=≠∈.（P Q P Q ≠表示点与不重合）若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A【解析】试题分析：n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度的一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，由于1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那么11sin n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(sin )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(sin )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅， 作差后：1111(sin )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．【考点】等差数列的定义．【思路点睛】先求出1n n n +A B B 的高，再求出1n n n +A B B 和112n n n A +++B B 的面积n S 和1n S +，进而根据等差数列的定义可得1n n S S +-为定值，即可得{}n S 是等差数列．6．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f xx x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-， 当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题7．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当时，，得；最多一个零点；当时，，，当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如图：且，解得，，．故选：．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.8．梯形ABCD 中，// 4 1260AB CD AB DC AD DAB ︒===∠=，，，，，点E 在直线BD 上，点F 在直线AC 上，且4BE BDCF CA AE DF λμ==⋅=，，，则λμ+的最小值为（ ） A ．1146+ B ．113C ．46D ．1146- 【答案】A【解析】根据平面向量基本定理，将,AB AD 当作两组基底向量，再根据向量线性运算的加法与减法法则，代换出(1),AE AD AB λλ=+-14DF AD AB μμ-=-+，结合4AE DF ⋅=，化简得3380λλμμ-+-=，将μ表示成λ的关系式，再结合基本不等式求解即可 【详解】14AC AD DC AD AB =+=+， 1CF CA AD AB ,4μμ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭BE ()BD AD AB λλ==-(1),AE AB BE AD AB λλ=+=+-11114444DF DC CF AB CF AB AD AB AD AB μμμ-⎛⎫=+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由4AE DF ⋅=，化简得3380λλμμ-+-=，则3338811811,23838338333λλλμλμλλλλ-=+=+=+++=---， 当且仅当388338λλ-=-时取“=”号 故选：A【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，向量的加法与减法的线性运算，基本不等式求最值，运算能力，属于难题9．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]x π∈时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确，由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选：D ． 【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题10．已知20b a >>，则()212b a b a +-的最小值为__________．【答案】【解析】可采用拼凑法，令()()12222a b a a b a =--，再结合基本不等式求解即可【详解】因为()()22222224a b a b a b a +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，所以()()221428,2222a b a b a b a b ≥≥--，()222182b b a b a b +≥+≥=-35442,2b a -==时取到“=”号故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题11．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是_______.【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．12．已知a b ，为正实数，且()()234a b ab -=，则11a b+的最小值为____． 【答案】2.【解析】分析：先通过()()234a b ab -=结合基本不等式求出2()8a b ab+≥，再开方得到11a b+的最小值. 详解：由题得22()()4a b a b ab -=+-，代入已知得23()4)4a b ab ab +=+（，两边除以2()ab得3222224)41()4()48a b ab ab ab ab a b a b ab +=+=+≥⋅=（当且仅当ab=1时取等.所以11a b+≥ 即11a b+的最小值为.故答案为点睛：本题的难点在要考虑到通过变形转化得到23()4)4a b ab ab +=+（，再想到两边除以2()ab 得21()4()8a b ab ab ab+=+≥，重点考查学生的逻辑分析推理转化的能力. 13．正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足*()2n n na nS n N a =+∈.若对于任意的N n *∈，都有n a k >成立，则整数k 的最大值为_________________. 【答案】1 【解析】根据2n n na n S a =+可求得22n S n n =+，进而得到n a 的通项公式；根据通项公式可证得数列{}n a 为递减数列，可求得lim 1n n a →+∞=，由此得到k 的最大值为1. 【详解】 当1n =时，11112a S a =+，解得11a S == 当2n ≥且*n N ∈时 由2n n na n S a =+得：222n n n a S a n =+，即()()21122n n n n n S S S S S n ---=-+ 整理得：2212n n S S n --= 22n S n n ⇒=+，即n S ==1n n n a S S -∴=-===因为1a =n a =n a ∴=1n a +=1n n a a +∴-=-=21212n n-++==21n n -< (222212n n n ∴+=+<+=即1<10n na a +∴-<，即数列{}n a 为递减数列又lim limlim1n n n n a →+∞===1n a ∴>则整数k 的最大值为1 【点睛】本题考查数列综合应用问题，关键是能够利用n S 求得n a 的通项公式，进一步证明得到数列为递减数列，从而通过极限求得结果；难点是对于数列是递减数列的证明上，对计算能力要求较高.14．已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围. 详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 15．已知函数()3214f x x x x =-+， 则: (1)曲线()y f x =的斜率为1的切线方程为__________;(2)设()()()()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[]2,4-上的最大值为()M a .当()M a 最小时，a 的值为__________． 【答案】y x =与6427y x =--3 【解析】（1）先求导，根据导数几何意义求出切线的斜率，再结合点斜式求出方程即可 （2）令()()[] 2,4g x f x x x =-∈-，，结合导数求得()[]6,0g x ∈-，再令()m g x =，则()()()m m a F a R +-=∈，[]6,0m ∈-，结合绝对值函数的对称性，进一步讨论参数a 与-3的关系即可求解 【详解】(1) 由()3214f x x x x =-+得()23'214f x x x =-+， 令()'1f x =，即232114x x -+=，得0x =或83x =又()8)8027(03f f ==， 所以曲线() y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=- 即y x =与6427y x =-(2)令()()[] 2,4g x f x x x =-∈-，.由()3214g x x x =-得()23' 24g x x x =-， 令()'0g x =得0x =或83x =()()'g x g x ，的情况如表:x2-()2,0-80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭838,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4()g x ' +-+()g x6-6427-所以()g x 的最小值为6-，最大值为0，可令()m g x =，则()()()m m a F a R +-=∈，[]6,0m ∈-，此时根据绝对值函数的对称性进行分类讨论，当3a -=时，即3a =-时，如图：函数()F x 的对称轴为3x =-，此时()()()063M a F F ==-=； 当3a -<时，即3a >-时，如图：()()6666M a a a F a =-=--=+=+，当3a →-时，()min 3M a →；当3a ->时，即3a <-时，如图：()()0a M F a a ==-=-，当3a →-时，()min 3M a →；综上所述，当()M a 最小时，a 的值为-3 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，绝对值函数的对称轴与最值的关系，数形结合思想，学会转化函数，构造函数是解题的关键，属于难题三、解答题16．秉承提升学生核心素养的理念，学校开设以提升学生跨文化素养为核心的多元文化融合课程.选某艺术课程的学生唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且()7010P ξ>=(1)求选该艺术课程的学生人数; (2)写出ξ的概率分布列并计算()E ξ. 【答案】(1) 5人(2) 分布列见解析，()45E ξ=【解析】（1）可设既会唱歌又会跳舞的有x 人，表示出艺术课的总人数和只会一项的人数，先求对立事件的概率，既会唱歌又会跳舞的对立事件为：只会唱歌或跳舞中的一项，再根据古典概型公式即可求解；（2）根据题意求出每一符合条件的概率事件对应的概率值，列出分布列，求值即可； 【详解】(1) 设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则该艺术课程的总人数共有7x -人，那么只会一项的人数是72x -人.因为701()()1010()P P P ξξξ>=≥=-==所以()3010P ξ==，即27227310xx C C --=，解得2x =. 故选该艺术课程的共有5人.(2) 因为1123253) 15(C C P C ξ⋅===， 2225(121)0C P C ξ=== 所以ξ的概率分布列为所以()3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查集合中容斥原理的应用，组合公式的应用，古典概型，分布列和期望的求法，属于中档题17．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13 PFPC=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)3(Ⅲ)见解析.【解析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面AEF的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】(Ⅰ)由于P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，则P A⊥CD，由题意可知AD⊥CD，且P A∩AD=A，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面P AD.(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ，由13PF PC =可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，由12PE PD =可得()0,1,1E ， 设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =，则()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-， 很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =，3cos ,331m n m n m n⋅<>===⨯⨯， 二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P 的余弦值为33. (Ⅲ)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB =可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则422,,333AG ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-，其0m AG ⋅=且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内.18．等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,4a a a ，成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n b 的前n 项和()*12nn n b S n N +=∈，，且11b = (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; .(2)设*252123 n n n n n b c a n N b b +++=∈，，求证:113nk k c =<∑ 【答案】(1) ()*12nn a n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，*( )n b n n N =∈ (2) 证明见解析【解析】（1）根据题意，结合5462,4a a a ，成等差数列化简，可得2210q q +-=，解得12q =，再结合2432444a a a a ==，可求得首项，进而求出n a ；采用()12n n n b S S n -=-≥化简即可求得n b ； （2）由（1）化简252123n n n n n b c a b b +++=得()()111212232n n n c n n -=-+⋅+⋅，结合叠加法公式即可求证 【详解】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q ， 依题意，有45622 4a a a =+，所以24442a a q a q =+因为0n a >,所以0q >，且2210q q +-=，解得12q =或1q =-(舍)， 因为2432444a a a a ==所以214a =所以112a =所以数列{}n a 的通项公式为()*12nn a n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭当2n ≥时，11(1)22n n n n n n b nb b S S --+=-=- 整理得()11 n n n n b b --=,即()121n n b bn n n -=≥-所以数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111b =的常数列.所以1nb n=，即*()n b n n N =∈， 所以数列{}n b 的通项公式为*( )n b n n N =∈.(2)由(1)，得()()2521235221212132112232nn n n n n n b n c a b b n n n n +++⎛⎫-⋅ ⎪++==⋅=+++⎝⎭()()111212232n nn n -=-+⋅+⋅所以01121111132525272nk k c =⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑()()111212232n n n n -⎛⎫++- ⎪ ⎪+⋅+⋅⎝⎭()11132323n n =-<+⋅ 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法，n a 与n S 的关系求通项，裂项公式、叠加法的应用，属于中档题19．已知数列{}n a 中，11a =，11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数. （1）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ，并求满足0n S >的所有正整数n . 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析. 【解析】分析：（1）设232n n b a =-，推导出113n nb b +=，由此能证明数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）推导出12311263n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭1123n⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，由()2211213n n a a n -=+-，得()2123321n n a a n -=-- 111156232n n -⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭，1212111233n nn na a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1692693nn n ⎛⎫-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭，从而()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++ 由此能求出满足S n ＞0的所有正整数n 的值．（1）设232n n b a =-， 因为()2122122133213223322n n n nn n a n a b b a a +++++--==-- ()()22136213232n n a n n a -++-=-2211132332n n a a -==-， 所以数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. （2）由（1）得12311263n n n b a -⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭ 1123n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，由()2211213n n a a n -=+-，得()2123321n n a a n -=-- 111156232n n -⎛⎫=-⋅-+⎪⎝⎭， 所以1212111233n n n n a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1692693nn n ⎛⎫-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭， ()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++21112333n⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()6129n n -++⋅⋅⋅++111332113n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⋅- ()1692n n n +-⋅+211363nn n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ()213123nn ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 显然当*n N ∈时，{}2n S 单调递减， 又当1n =时，2703S =>，当2n =时，4809S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2122n n n S S a -=- 231536232nn n ⎛⎫=⋅--+ ⎪⎝⎭， 同理，当且仅当1n =时，210n S ->，综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2.点睛：本题考查等比数列的证明，考查满足数列的前n 项和的正整数的最大值的求法，考查等比数列、分组求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．【答案】（1）见解析（2）16a =- 【解析】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可。