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系统的稳态误差

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系统的稳态误差为

系统的稳态误差为

r (t ) t
e ss
1
r (t ) t
e ss
1
2
Kp
0型 I型 II型
Kv
0
Ka
0 0
ess
1
1
2
1 K
K
p
KvKp1来自 1Ka
K
0 0
Kv
K
0
Ka
三、系统稳定误差的计算


综述，系统的稳态误差与输入信号形式有 关，对于一个结构确定的系统，如果给定 输入形式不同，其稳态误差就不同；同时 稳态误差与系统结构也密切相关，如果给 定信号一定，不同结构的系统稳态误差也 不同。 按静态误差系数法计算稳态误差的方法， 是基于拉氏变换的终值定理，只能使用阶 跃、斜坡及加速度或他们的组合，如果输 入是其他任意时间函数，以上结论则不能 成立。
ess
特征方程为D( s) 1 Gk ( s) an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 a1s a0 0
n n 1 2 a s a s ... a s 等式两边同除以 n n 1 2 a1s a0 1 Gk ( s) 0 1 0 则 n n 1 2 an s an 1s ... a2 s 得 a1s a0 Gk ( s) 该系统为Ⅱ型系统 an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 开环增益为 a0 a1s a0 K 2 a2 n2 n 3 s (an s an 1s ... a2 )
ess
1、先求取系统的开环传递函数 Gk ( s)
Gk (s)
C(s)
设开环传递函数为 Gk ( s) M ( s) 即，开环传递函数 N ( s) 与闭环传递函数 M (s) 有相同的零点 Gk ( s ) M (s) N (s) GB ( s ) a s a0 1 Gk ( s ) 1 M ( s ) N ( s ) M ( s ) 得 Gk ( s ) 1 ? N (s)

自动控制原理--控制系统的稳态误差

自动控制原理--控制系统的稳态误差
不能采用拉氏变换终值定理的缘故。因此，利用式(356)来计算稳态误差是普遍成立的，而利用拉氏变换终 值定理的式(3-60)求稳态误差时，应注意使用条件。
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数 对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入 信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的； （2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信 号 n时t，求1t系 统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳 定的。
⑵在r t 信1t号 作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess

3.7 控制系统的稳态误差

3.7 控制系统的稳态误差

一、误差与稳态误差
R(s) E(s)
C(s)
G(s)

： ⑴从输入端定义：
系统偏差：系统的输入r (t) 和主反馈信号b (t)之差。
e(t) r(t) b(t)
⑵从输出端定义： 系统误差：输出量的希望值c’(t)与实际值c(t) 之差。
表示系统稳态误差
二、稳态误差的计算式
系统框图 给定作用下的偏差传递函数
误差的时域计算式：
采用拉氏变换终值定理计算稳态误差 (使用条件：
sE(s)的极点均在左半平面，包括原点)
3．8 稳态误差分析与计算
一、给定输入作用下系统的误差分析 1．系统型别 系统开环传递函数:GK(s)=G(s) H(s) 假设开环传递函数GK(s)的形式如下：
Ci 称为动态误差系数，Ci怎么得到？
⑴对
,在s=0的邻域内展开为泰勒级数。
⑵ 对 ,分子多项式除以分母多项式，商为：
① 0型系统 GK(s)=G(s) H(s)
给定有静差系统
②Ⅰ型系统
③Ⅱ型系统
给定无静差系统
给定无静差系统
⑵ 单位斜坡输人 ① 0型系统
大误差
②Ⅰ型系统
给定有静差
③Ⅱ型系统
给定无静差
⑶ 单位抛物线输人 ① 0型系统
大误差
②Ⅰ型系统
大误差
③Ⅱ型系统
有给定静差
无差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。 有差系统：在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。
式中，K：为系统的开环增益
v可称为系统无差度 ，表示系统的型别 由公式
可看出，稳态误差 ess与输入和开环传递函数型别有关。 v可称为系统无差度
2．静态误差系数 定义:

控制系统的稳态误差分析

控制系统的稳态误差分析

ess
s 右半
s(s +1)(2s +1) 1 1 = lims ess = lim sE (s) = s→ s(s +1)(2s +1) + K(0.5s +1) s2 0 s →0 k
计算结果表明， 计算结果表明，稳态误差 的大小， 的大小，与系统的开环增 有关。 益K有关。系统的开环增 益越大，稳态误差越小。 益越大，稳态误差越小。 由此看出， 由此看出，稳态精度与稳 定性对K的要求是矛盾的。 定性对K的要求是矛盾的。
t→ ∞
t→ ∞
2、有差系统:通常把阶跃输入信号作用下存在误差 有差系统:
的系统称为有差系统。 的系统称为有差系统。
3、无差系统:通常把阶跃输入信号作用下不存在误 无差系统:
差的系统称为无差系统。 差的系统称为无差系统。
注意:这里所讲的误差指 注意: 系统原理上的误差。 系统原理上的误差。
二、稳态误差的计算
第五节 控制系统的稳态误差分析
一、基本概念 1.偏差、 1.偏差、误差和稳态误差 偏差 的定义： 偏差 (t) 的定义：
R(s)
ε(t) = r(t) −b(t)
E(s) = R(s) − B(s)
的定义： 误差 e(t) 的定义：
(3(3-44a)
ε
−
E(s)
G(s)
C(s)
B(s)
H(s)
图3-24 系统结构图
R(s)
−
K(0.5s +1 ) s(s +1 s +1 )(2 )
C(s)
1 R(s) = 2 s
s ( s + 1)(2 s + 1) 1 E (s) = s ( s + 1)(2 s + 1) + K (0.5 s + 1) s 2

线性系统的稳态误差计算

线性系统的稳态误差计算
函数为
G( s) K S ( S 2 bS C )
p 1 p 2 b C 4 2 p 2 C 2 p K 0.5C K 2 b 3
因为 ess 按定义
1 2 Kr
s 0
Kv
K 0.5, K 0.5C C
令r (t ) Rt 2 / 2，R 常量，R(s) R / s3。
sR(s) sR / s3 R R R ess lim lim lim 2 2 lim 2 s 0 1 G( s) H ( s ) s 0 1 G( s ) H ( s ) s 0 s s G ( s ) H (s ) s 0 s G (s ) H (s ) Ka
系统稳态误差计算通式则可表示为
ess
1 lim s R ( s )
s 0
sR( s) ess lim sE ( s) lim s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
K lim s
s 0
系统型别 e ss 与 K 开环增益有关 R ( s ) 输入信号
def
E ( s) 1 R(s) 1 H ( s)G( s)
E ( s ) e ( s ) R( s ) R( s ) 1 H ( s)G( s)
e(t ) L1[e (s)R(s)] ets (t ) ess (t )
瞬态分量
稳态分量
E ( s ) e ( s ) R( s )
要求对于阶跃作用下不存 在稳态误差，则必须选用 Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统
4.斜坡输入作用下的稳态误差和静态速度误差系数
r (t ) Rt，R 常量，R(s) R / s 2。

计算机控制系统的稳态误差

计算机控制系统的稳态误差

计算机控制系统的稳态误差在连续系统中，稳态误差的计算可以通过两种方法进行：一种是建立在拉氏变换终值定理基础上的计算方法，可以求出系统的终值误差；另一种是从系统误差传递函数出发的动态误差系数法，可以求出系统动态误差的稳态分量。

这两种计算稳态误差的方法，在一定条件下可以推广到离散系统。

由于离散系统没有唯一的典型结构形式，所以误差脉冲传递函数也给不出一般的计算公式。

离散系统的稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。

这里仅介绍利用z变换的终值定理方法，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的终值误差。

设单位反馈误差采样系统如图4.12所示。

其中G(s)为连续部分的传递函数，e(t)为系统连续误差信号，e*(t)为系统采样误差信号，其z变换函数为(1)其中(2)为系统误差脉冲传递函数。

图1 单位反馈误差采样离散系统如果Φe(z)的极点(即闭环极点)全部严格位于z平面的单位圆内，即若离散系统是稳定的，则可用z变换的终值定理求出采样瞬时的终值误差(3)上式表明，线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值有关。

除此之外，离散系统的稳态误差与采样周期的选取也有关。

上式只是计算单位反馈误差采样离散系统的基本公式，当开环脉冲传递函数G(z)比较复杂时，计算e(∞)仍有一定的计算量，因此希望把线性定常连续系统中系统型别及静态误差系数的概念推广到线性定常离散系统，以简化稳态误差的计算过程。

前面的分析中我们指出，零阶保持器的引入并不影响开环系统脉冲传递函数的极点。

因此，脉冲传递函数G(z)的极点与相应的连续函数G(s)的极点是一一对应的。

如果G(s)有v个s=0的极点，即v个积分环节，则由z变换算子z=esT关系式可知，与G(s)相应的G(z)必有v个z=1的极点。

在离散系统中，也可以把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数v作为划分离散系统型别的标准，与连续系统类似地把G(z)中v=0,1,2,…的系统，称为0型，Ⅰ型和Ⅰ离散系统等。

3-6线性系统的稳态误差计算

3-6线性系统的稳态误差计算
i=1 n 1 i k =1 n2 k j =1 j l =1 l
m 1
m2
2
+ 2ζ kτk s +1) + 2ζlTs +1) l
∏(T s +1)∏(Ts
=
2
K ⋅ G0 (s) sν
sR(s) 1 essr = lim = = s→0 1+ G (s) 1+ limGk (s) k
s→0
1 1 = K 1+ Kp 1+ lim ν ⋅ G0 (s) s→0 s
三、扰动作用下的稳态误差(3) 扰动作用下的稳态误差(3) [例]系统结构图如图所示。当 r(t) = n(t) = 1(t) 系统结构图如图所示。 时，求系统的稳态误差 ess；若要求稳态误差 为零，如何改变系统结构。 为零，如何改变系统结构。 解：该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。 该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。 所以当给定输入为单位阶跃函数时的稳态误差 essr = 0
3、单位抛物线输入时的稳态误差
R(s) =
1 s3
sR(s) 1 essr = lim = = 2 s→0 1+ G (s) lims ⋅ Gk (s) k
s→0
1 1 = K Ka lim ν −2 ⋅ G0 (s) s→0 s
∞ 1 = K 0
Ka
根据
ν =0,1 ν =2 ν ≥3
m2
=
K ⋅ G0 (s) ν s
K－开环增益
系统型别（即积分环节的个数） ν − 系统型别（即积分环节的个数）
当ν =0，无积分环节，称为0型系统 无积分环节，称为0
当 = ，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统 ν 1 有一个积分环节，称为Ⅰ

稳态误差

稳态误差
2! e(0) r ( t ) 1 Fe(0)( t ) e ss ( t ) Fe(0)r ( t ) F r 2! C 0 r ( t ) C1r ( t ) C 2( t ) r
拉普拉斯反变换，得
注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下 系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加 速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不 是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输 出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。 (2) 如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差） 按比例增加。 (3) 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误 差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差） 之和。
给定稳态误差与扰动稳态误差 一
终值定理： ess tlim e(t ) lim SE(s) s0 与输入有关！ 给定稳态误差终值的计算
1 essr lim SEr (s) lim SR (s)Fr(s) lim S R (s) s 0 s 0 s 0 1 G(s)
消除或减少稳态误差的方法 • 产生稳态误差的原因
给定输入 1(t) 系统型号越高，无差度 t 越高。可以串联积分环 t2/2
输入信号是实际 的需要，不能变
给定稳态误差的终值 0型系统 I型系统 Ⅱ型系统 1/(1+K) 0 0 ∞ 1/K 0 ∞ ∞ 1/K
节提高系统型号。 1. 稳态误差与输入信号有关 传递系数越大，稳态误差越小。 2. 稳态误差与系统型号有关 3. 稳态误差与系统传递系数有关 4. 稳态误差与扰动有关
ess =
esr
+ esn
s 1 / H s
E s X or s X o s s X i s X o s X i s H s X o s / H s

离散系统 的稳态误差

离散系统 的稳态误差

静态速度误差系数为
0.632z
Kv
lim(z
z 1
1)G( z )
lim
z 1
z
0.368
1
静态加速度误差系数为
Ka
lim(z
z 1
1)2 G(z)
lim( z
z 1
1)
0.632z z 0.368
0
所以，不同输入信号作用下的稳态误差如下。
（1）单位阶跃输入信号作用下为
ess
1 1 Kp
0
（2）单位斜坡输入信号作用下为
极点。
从上面分析中可以看出，离散系统采样时刻的稳态误差与输入信号的形式及开环
脉冲传递函数 G(z中) z 的1极点数目有关。在连续系统的误差分析中，曾以开环传 递函数 中G(s) s的极0点数目（即积分环节数目） 来命名系统的型别。由于在z平 面上 中G(z) 的z极点1 数与s平面上 中G(s) 的s 极0点数相等。所以， 中 G(z) 的极z点数1就是离散系统的型别号 ，对于 中 G(z) 的极z 点1数为
的极点。
2．单位斜坡输入信号作用下的稳态误差
由 r(t) t 可得
Tz R(z)
(z 1)2
R(z)
将此式代入
ess
e()
lim( z
z 1
1) E ( z)
lim( z
z 1
1) 1
G(z)，得稳态误差为
1
Tz
Tz
T
ess
lim(z z 1
1)
1 G(z) (z 1)2
lim
z 1
自动控制原理
离散系统的稳态误差
一般来说，离散系统的稳态误差分为采样时刻的稳态误差与采样时刻之间 纹波引起的误差两部分。仅就采样时刻的稳态误差来说，其分析方法与连续系 统类似，同样可用终值定理来求取，其值与系统的型别、参数及外作用的形式 有关。下面仅讨论单位反馈离散系统在典型输入信号作用下的采样时刻的稳态 误差。

3.5 控制系统的稳态误差分析与计算终

3.5 控制系统的稳态误差分析与计算终

2.系统的类型
K 1s 1 2 s 1 Gk s Gs H s v s T1s 1T2 s 1
K为开环增益 τ1、τ2……和T1、T2……为时间常数
n m
1、系统对单位阶跃输入的稳态偏差 K 1s 11 2 s 1 s lim G G sE H s n m s s lim X s k v s ss i s 0 s s0 T1 s G 1 T s 1 1 s2 H s
s s Gk s
K 1s 1 对0型系统 K a lim s 0 s 0 T1s 1 1s 1 2 K 对I型系统 K a lim s 0 s 0 sT1s 1 1s 1 2 K
2
稳态加速度偏差系数 令：K
a
ss s 0 s 0 i s 0 k
2
K 1s 1 对0型系统 K v lim s 0 ss s 0 T1s 1 K 1s 1 1 对I型系统 K v lim s K ss s 0 sT1s 1 K K 1s 1 对II型系统 K v lim s 0 ss 2 s 0 s T1s 1
lim s Gs H s lim s Gk s
2 2 s 0 s 0
ss
ss
1 ss K
对II型系统 K a lim s s 0
s T1s 1
2
K
1t
t
1 ss Kv
Kv 0
K p lim Gk s K v lim sGk s K a lim s 2Gk s s 0 s 0 s 0
2 i
s H s s 1 Gs H s 1 G s T s 1T s1

3.3 反馈控制系统的稳态误差

3.3 反馈控制系统的稳态误差

R ∞ k R Kp=? k lim s· ν K =? s s→0
e(t ) r (t ) b(t )
稳态误差定义为
ess e() lim e(t ) lim [r (t ) b(t )]
t t
对于单位反馈系统，稳态误差可写为
ess e() lim e(t ) lim [r (t ) c(t )]
t t
对于1型系统：N＝1
K (1 T1s)(1 T2 s) K v lim s K s(1 Ta s)(1 Tb s) s 0
开环放大系数
1 ess K
具有单位反馈的1型系统，其输出能跟踪等速度输入，但总有一 定误差；其稳态误差与K成反比。 对于2型系统或2型以上系统：N≥2
3.3.3主扰动输入引起的稳态误差
系统的负载变化往往是系统 的主要扰动，假如主扰动 n(t)的作用点如图所示，现 在分析它对输出或稳态误差 的影响。 1 例 G1 (s) K G2 ( s )
分别计算当r(t)和n(t)为阶跃输入时的系统稳态误差 解： K
Js
H ( s) 1
GK ( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
若扰动为阶跃函数n(t)=1(t)，则
G2 (0) H (0) essn 1 G1 (0)G2 (0) H (0)
当
G1 (0)G2 (0) H (0) 1 G2 (0) H (0) 1 essn 1 G1 (0)G2 (0) H (0) G1 (0)
扰动作用点以前的系统前向通道传递系数G1(0)越大，由一定 扰动引起的稳态误差就越小。 对于无差系统，即N≥1， G1(0) =∞．即应该是G1(s)中包含积 分环节，才保证扰动不影响稳态响应，由此产生的稳态误差为 零。

3-6 控制系统稳态误差的基本概念

3-6 控制系统稳态误差的基本概念
进行拉氏反变换得
.
..
ss (t) 0.909r(t) 0.0273r(t) 0.0073r(t)
.
又已知r(t) 1(t) ， r(t) 0 代入上式得
ss (t) 0.909
已知
KH kc
→
ess
(t)
ss (t) kc
0.909 0.1 0.05
181.8
3.6.5 应用静态误差系数计算给定信号作用 下的稳态误差
……
.
已知 f (t) 1(t) ,则 f (t) 0
.
→
essf (t) [0.2 f (t) 0.016 f (t) ] =0.2
第三步,根据叠加原理,求得系统的总的稳态误差
ess (t) essr (t) essf (t) =0.1+0.2=0.3
例 4 调 速 系 统 的 方 块 图 如 图 3.7-3 所 示 。 图 中 K1=10 ，
系统的误差：被控量的希望值与实际被控量之差，记为 e(t)
e(t) cr (t) c(t)
c(t) ：暂态分量和稳态分量。 e(t) ：暂态分量和稳态分量。
稳态分量反映控制系统跟踪控制信号或干扰信号的能力和精度，即 反映控制系统的稳态性能。
稳态误差：当 t 时，系统误差称为稳态误差，记为ess 表示。
1 s (T 1 )s2 K K K2 1 1 s T s2 1 s T s2 KKKK
) 1 s 1 s2 T s3
K K2
K2
(T K
1 K2
)s2
T K2
s3
……
所以
e (s)
E(s) R(s)
1 K
s
(T K
1 K2

《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算

《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算

伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算

第9讲-控制系统的稳态误差

第9讲-控制系统的稳态误差
sE(s)的极点不全部分布在[S]平面的左半部
终值定理
六、动态误差系数方法
前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳 态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误 差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解 输出响应在进入稳态（t>ts)后变化的规律如何。这些问题用 前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围 更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。
它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典
型输入信号作用下的稳态误差。
1、单位阶跃输入时的稳态误差
对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,系统的稳态误差为
令
称 Kp为稳态位置误差系数。
稳态误差可表示为
因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于 系统的位置误差系数。
（1）对于0型系统， （2）对于1型系统（或高于1型的系统）
一
从系统输出端定义的稳态误差，概念清晰，物
理意义明确，也符合基本定义，但在实际系统中
无法测量，因而，一般只有数学意义。而从系统
输入端定义的稳态误差，它在系统中是可以测量
的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求
输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规
律一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望
当 差又是多少?
时,上例的稳态误
因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差 为无穷大,根据叠加原理,ess=∞
稳态误差小结： 1.公式小结
（1）基本公式
（1）
（2）
给
定
输
（3） 入
单
独
作
（4）
用 时
（5）
扰动单独作用时

自动控制原理：3-3 控制系统的稳态误差

自动控制原理：3-3 控制系统的稳态误差

ans=
2.0000
-2.0000
-0.0000+1.0000i
-0.0000-1.0000i -0.5000+0.8660i -0.5000-0.8660i
由于有1个正实部根的特征根， 所以，系统不稳定。
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 14
3.4.2 MATLAB求控制系统的单位阶跃响应
有差系统 无差系统
准确跟踪 系统
§3-3 控制系统的稳态误差
2.单位斜坡输入 xr (t) t
Xr
(s)
1 s2
e lim s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s
lim
s0
1
s WK
s
1 s2
1
lim
s0
sWK
s
若令
Kv
lim
s0
sWK
s
则 e 1
Kv
速度 误差系数
0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型以上系统
当输入r(t) 为单位加速度信号时，为使系统的 静态误差为零，试确定前馈环节的参数a 和b 。
lim
s0
sN1X r s
sN K
稳态误差取决于Kk与N，而N越高稳态精度（准 确性）越高，稳定性越差。
二、典型输入情况下系统的给定稳态误差及误差系数
1.单位阶跃输入
xr
t
1 0
t0 t0
1 X r (s) s
§3-3 控制系统的稳态误差
e
lim
s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s

自动控制系统稳态误差分析

自动控制系统稳态误差分析
12
3.6 稳态误差分析
单位阶跃函数输入时的稳态误差
当输入为 R(s) 1 时（单位阶跃函数） s
式中：Kp e lsss irm 0 Glsik m (0 s1 )G s 称k(为s) 位1 s置 误1 差lsi 系m 0 1 数G k；(s)1 1 K p
当 0 时 ， K p l s i 0 K m 0 ( s ) G K , e s s1 r 1 K
由稳定的条件知：
e ss
1不能满足 6
es的s 要0求.1
9
3.6 稳态误差分析
给定输入时的稳态误差
三、给定输入作用下系统的误差分析
这时，不考虑扰动的影响。可
R(s)
E(s)
以写出系统的误差 ：
-
E(s) 1 R(s) 1 R(s) 1G 1G 2H 1G k
H G2 G1
es s rtl i m e(t)ls i0m s(E s)ls i0m 1 sG (R k s()s)
这里 R(s)H(s)C 0(s) 是基于控制系统在理想工作情况下
E(s)0 得到的。
C0 (s)
(s)
N (s)
R(s) 1 R1(s) H (s) C0
E1(s)
-
E(s) H (s)
G1 ( s)
+
G2 (s)
C(s)
我们将用偏差 E(s)代替误差进行研究。除非特别说明，以后所说的误差
就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。
j1开环传递函数 l1 可见给定作用下的稳态误差与外作
K
去掉积分和比 例环节；
用有关；与时间常数形式的开环增
益有关；与积分环节的个数有关。
G0 (s)

控制系统稳态误差

控制系统稳态误差

控制系统稳态误差控制系统是现代工业中的重要组成部分，其主要目的是使被控对象按照预定要求进行运动或保持特定状态。

然而，实际控制过程中常常会存在稳态误差的问题。

稳态误差是指系统在稳定运行后无法达到预期输出的差异量。

稳态误差的存在会影响系统的性能和准确性，因此需要采取相应措施进行控制和修正。

一、稳态误差的定义和分类稳态误差可以通过系统输出与输入之间的差异进行量化和描述。

一般来说，系统的稳态误差可以分为以下几类：1. 零稳态误差：当输入信号为一阶单位阶跃函数时，系统输出在稳定后能够达到一个常数值，此时的误差被称为零稳态误差。

2. 常数稳态误差：当输入信号为常数信号时，系统的输出也会趋向于一个常数值。

此时的差异量即为常数稳态误差。

3. 平方和稳态误差：当输入信号为二阶单位阶跃函数时，系统输出的平方和稳态误差是指系统输出平方作为误差的衡量指标。

二、稳态误差的产生原因稳态误差的产生主要源于控制系统中的各种不完善因素，包括但不限于：1. 模型误差：系统的模型与实际物理模型存在差异，在控制过程中产生误差。

2. 传感器误差：由于传感器自身的精度限制或者环境因素，传感器所测量的信号存在一定的误差。

3. 操作限制：控制系统中的操作限制，例如执行器的响应速度、运动范围等，会对系统的性能产生影响。

4. 外部扰动：外部干扰、环境变化等因素会对控制系统的输出产生干扰，导致误差的产生。

三、降低稳态误差的方法针对不同类型的稳态误差，可以采用不同的方法进行修正和控制。

1. Proportional-Integral-Derivative（PID）控制器PID控制器是目前应用广泛的一种控制方法，通过调节比例、积分、微分三个参数，可以实现对系统的稳态误差进行校正。

2. 前馈控制前馈控制是在实际控制过程中，将预测的扰动信号提前引入到系统中，通过预先补偿的方式减小稳态误差。

3. 系统参数调整调整系统参数也是降低稳态误差的一种常用方法。

通过修改控制器参数、传感器灵敏度等，使系统的输出更加接近预期。

第六章 系统稳态误差及稳定性分析(1)

第六章 系统稳态误差及稳定性分析(1)

K为系统的开环总增益 A1(s) 和 B1(s) 分别为常数项为1的s的多项式
g 为开环传递函数所含积分环节 1/ 的个数 1/s
的值来划分系统的型号。 根据 g 的值来划分系统的型号。 ① 当g=0时，开环传递函数不含积分环节，系统称为 时 开环传递函数不含积分环节， 0型系统 ② 当g=1时，开环传递函数系统含有一个积分环节， 时 开环传递函数系统含有一个积分环节， 对应的闭环系统称为I型系统 对应的闭环系统称为 型系统 G(s)H(s) = KA1 ( s)
sB1 ( s )
③ 当g=2时，开环传递函数系统含有二个积分环节， 时 开环传递函数系统含有二个积分环节， 系统称为II型系统 系统称为 型系统 G(s)H(s) = KA1 ( s ) 2
其余依此类推
s B1 ( s )
一般来说，系统的型号愈高，系统愈不容易稳定，实际中一般 只用到Ⅱ型。
例1 二阶振荡系统的框图如下图所示。判别该系统 二阶振荡系统的框图如下图所示。 的阶次和型号

= lim
10 0.5s 10 1 1 − = lim = 5°C ° s →0 s 0.5s + 1 s→0 s 0.5s + 1
例6 系统如下图所示，其反馈通道传递函数为一积分环节。
试求其在单位恒速信号作用下的稳态误差，并分析这种 积分环节的设置是否合理。 Xi(s) + -
εss= lim ε (t ) = lim sε ( s)
t →∞
s →0
Xi(s) +
-
ε(s) G(s) H(s)
Xo(s)
ε ( s) = X i ( s) − F ( s)
= X i ( s ) − G ( s ) H ( s )ε ( s )

系统的稳态误差分析

系统的稳态误差分析

2^-1T rjn?fer FenT rjn?fer FenMux ScopeScope实验三系统的稳态误差分析一.实验目的:1.了解系统开环增益和系统型别对稳态误差的影响。

2.了解输入信号的形式和幅值对系统稳态误差的影响。

3.分析扰动作用下对系统稳态误差的影响。

4.研究减小或消除稳态误差的措施。

二.实验内容:1 •分别观测输入信号为阶跃信号、斜坡信号、加速度信号时，不同系统型别稳态误差的变化情况。

2.对有差系统，增大或减小系统的开环增益，观察系统稳态误差的变化。

3•改变输入信号的幅值，观察系统稳态误差的变化。

4.观测有扰动作用时，系统稳态误差的变化。

5.采取一种措施消除阶跃扰动对系统的影响。

二实验原理:阶跃输入信号作用于0型系统，如图（3-1 ）所示：图（3-1 ）Step斜坡输入信号作用于I型系统，如图（3-2 ）所示:图（3-2）加速度输入信号作用于U 型系统，如图（3-3）所示:图（3-3） 图（3-4）四.实验步骤：利用MATLAB 中的Simulink 仿真软件。

1. 参照实验一的步骤，建立如图（3-1）所示的实验方块图进行仿真；2. 单击工具栏中的 卜图标，开始仿真，观测在阶跃输入信号作用下，0 型系统的输出曲线和误差曲线，记录此时的稳态误差值，并与理论计算值 相比较；3. 有误差时，调整“ Gain ”模块的增益，观察稳态误差的变化，分析系统开 环增益对稳态性能的影响；4. 有误差时，调整输入信号的幅值，观察稳态误差的变化，分析输入信号的 大小对稳态误差的影响；5•将对象分别更换为I 型和U 型系统，观察在阶跃输入信号作用下，I型和U 型系统的输出曲线和误差曲线，记录此时的稳态误差值。

6. 更换输入信号的形式为斜坡信号，参考图（3-2）所示的实验方块图，重复步 骤2~4,分别观测0型、I 型和U 型系统的稳态误差。

扰动信号作用下的系统，如图（3-4）所示:7.再将输入信号的形式更换为加速度信号，参考图（3-3）所示的实验方块图，重复步骤2~4,分别观测0型、I型和U型系统的稳态误差。

第三章(4)系统的稳态误差

第三章(4)系统的稳态误差

K2 H G2H s K 2H s NE ( S ) 1 K 1K 2 1 G1G 2 H s K 1K 2 H 1 1 H s
干扰作用下的稳态误差
K 2 e ssn lim s NE ( s) N ( s) lim s N (s) s 0 s 0 s G K 1 2 s K 2 H lim s 1 N ( s) s 0 s K 1K 2 H
1
ess () ess lim e(t ) lim sE ( s)
t s 0
N (S )
R(S )
E (S )
G1（S）
G2(S）
C (S )
H（S）
3、系统的稳态误差：
1）设N（S）=0， 以R为输入，E为输出
1 RE ( S ) 1 G1G 2 H
2）设R（S）=0，以N为输入，E为输出
系统稳态误差计算通式则可表示为：
ess
lim[ S 1 R( s)]
s 0
K lim S
s 0

(3 64)
稳态误差与哪些因素有关？
系统型别 e ss 与 K 开环增益有关 R ( s ) 输入信号
1、阶跃信号输入 令
R0 r (t ) R0 , R0 常量。R(s) . S
二、稳态误差的计算
e(t ), lim sE ( s ) 存在，可利用终值定理 如果 lim t s 0 输入形 求稳态误差。
式
sR( s) ess () ess lim sE ( s) lim s 0 s 0 1 H ( s )G ( s )
结构形式
公式条件： sE (s) 的极点均位于S左半平面.
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06-7-20
控制工程基础
6
6.2 输入引起的稳态误差
一 误差传递函数与稳态误差
Xi (s)
E(s) G(s)
X o (s)
1 单位反馈系统的误差传递函数 与稳态误差
由图6-2可得单位反馈系统 误差传递函数及误差信号
E(s) 1
e (s)
X i (s)
1 G(s)
E
(s)
e
(s)
X
i
(s)
1
1 G(s)
0
ess (t)：误差信号的稳态分量，即为控制系统的稳态误差。
ess
ess ()
lim
t
ess
(t
)
如果有理函数 sE(s) 除在原点处有唯一的极点外，在S右半
平面及虚轴上解析，即 sE(s)的极点均位于S平面左半平面
（包括坐标原点），则可根据拉氏变换的终值定理，方便
地求出系统的稳态误差：
ess
lim
s0
lim
s0
s
1
1 G(s)H(s)
Xi (s)
(6-9)
1
1
ess
lim s
s0
H (s)
1 G(s)H(s)
Xi (s)
(6-10)
06-7-20
控制工程基础
9
例1 某反馈系统如图所示，当 xi (t) 1(t) 时，求系统的稳态误差。
Xi (s)
E(s) 10
s
X o (s)
10
解：（1）首先判断系统的稳定性 G(s) 10
E(s) 1 G(s) Xi (s) s2 1.6s 4 • s -0.3
-0.4
ess lims • E(s) 0.4
s0
-0.5
-0.6
Xi (s)
(s)
1 H (s)
Xi (s)
X o (s)
(6-4)
06-7-20
控制工程基础
5
比较（6-3）和（6-4）可得误差信号和偏差信号之间的关系为：
E(s) 1 (s)
H (s)
或 (s) H(s)E(s)
(6-5)
实际系统中，H (s)往往是一个常数，因此误差信号和 偏差信号之间存在一个比例关系，特别是对单位反 馈系统，H (s) 1可直接用偏差信号表示误差信号。 求了稳态偏差，就得到了稳态误差。
稳态误差：系统控制准确度的一种度量，过渡过程完成后的
误差称为系统稳态误差，通常也称为系统的稳态性能。
稳态误差的不可避免性 ：
控制系统的结构 输入作用的类型（控制量或扰动量）
输入作用的形式（阶跃输入、斜坡输入或加速度输入）
机电控制系统中元件的不完善，如静摩擦、间隙及放大器 的零点偏移、元件老化或变质等。
控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计 的任务之一，就是尽量减小稳态误差。
06-7-20
控制工程基础
1
显然，只有系统稳定，研究稳态误差才有意义。对于不稳定 的系统，不存在研究稳态误差的可能性。
原理性稳态误差：由于系统不能很好跟踪输入信号，或者
由于扰动作用而引起的稳态误差。
无差系统： 在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。
E(s) X o (s)
06-7-20
控制工程基础
3
注意误差和偏差的区别：
误差：希望的输出量和实际的输出量之差，记作e(t)
误差信号的稳态分量，称为稳态误差，记作 ess
偏差：输入信号和反馈信号之差，记作 (t)
偏差信号的稳态分量，称为稳态偏差，记作 ss
06-7-20
控制工程基础
4
误差信号 E(s) (s)Xi (s) Xo (s)
ess lims • E(s) 0
s0
Xi (s)
ωn2
_
S(S+2ξωn)
-0.4 -0.6
Xo (s) -0.8
-1 0
100
200
300
400
500
600
图6-4 标准形式的二阶系统方块图
06-7-20
控制工程基础
11
0
例3二阶系统在单位斜坡输入
作用下的响应的误差曲线
-0.1
-0.2
1
s 1.6 1
(6-1)
偏差信号 (s) Xi (s) Y (s)
(6-2)
Xoi (s) (s)Xi (s) (s)Y (s) (s)H (s) Xo (s)
Xoi (s) 和 Xo (s) 相等，则 (s) 1
H (s)
误差信号
ห้องสมุดไป่ตู้E(s)
1 H (s)
Xi (s)
X o (s)
(6-3)
偏差信号
1 H (s)
s0
s 0 s 10
误差为零，即系统能够很好地跟踪阶跃输入，稳态精度很高。
06-7-20
控制工程基础
10
例2 二阶系统在单位阶跃输入作用下的响应的误差曲线
4
4
(s)
G(s)
s2 1.6s 4
s(s 1.6) 0.4
0.4 n 2
0.2
0
1
s 1.6
E(s) 1 G(s) Xi (s) s2 1.6s 4 -0.2
X
i
(
s)
(6-6)
图6-2 单位反馈系统框图
e(t) L1[E(s)] L1[e (s) Xi (s)] e(t) ets (t) ess (t)
06-7-20
控制工程基础
7
e(t) ets (t) ess (t)
ets
(t
)：误差信号的瞬态分量，由于系统稳定，必有
lim
t
ets
(t)
有差系统： 在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。
本章主要讨论
由于系统结构、输入作用形式和类型 产生的误差 。
干扰引起的误差。
06-7-20
控制工程基础
2
6.1 稳态误差的基本概念
Xi (s)
(s)
Xoi (s)
(s)
G1(s)
N(s) G2 (s)
Y (s) H (s)
图6-1 误差和偏差的概念
t
ess
(t
)
lim sE(s)
s0
1 lim s s0 1 G(s)
Xi (s)
(6-7)
注意：上式稳态误差是误差信号的稳态分量 ess (t)在t 时的数值，它不能反映 ess (t) 随时间 t 的变化规律。
06-7-20
控制工程基础
8
2 非单位反馈系统的误差（偏差） 传递函数与稳态误差（偏差）
Xi (s)
(s)
G(s)
X o (s)
由图6-3可得非单位反馈系统偏差传
递函数及偏差信号
e (s)
(s)
Xi (s)
1 1 G(s)H(s)
H (s)
图6-3 非单位反馈系统框图
(s)
e
(s)
X
i
(s)
1
1 G(s)H
(s)
X
i
(s)
(6-8)
同（6-7）式：
ss
lim
t
ss
(t
)
lim s (s)
一阶系统，因此系统稳定的。
s
Xo (s) s 10 Xi (s) 1 10 s 10
s
（2）求误差传递函数
E(s)
e
(s)
X
i
(s)
s
s 10
e (s) •1
s
1 1 G(s)
1 1 10
s
s
s 10
lim lim lim X
i
(s)
1 s
ess
s0
s • E(s)
s• s •1 s0 s 10 s