全国卷20102017年高考整理极坐标与参数方程1

2010-2017高考数学全国卷分类汇编(解析几何)2010-2017新课标全国卷分类汇编（解析几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24yx=的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，ABDE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10 【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AFθ⋅+=∴ 同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24yx=，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a=，21b =∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():AAl x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x yB x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k xkbx b +++-=122814kbx x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P AP By y kk x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a =；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN .【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y xy +=│ ，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为 A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =①又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b ==C 的方程为22145x y -=，故选B.9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x ya b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a = A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3 B． CD ．2 【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．()A O DxyBPCE∴BD∵BD切C于点E．∴CE⊥BD．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C．∵P在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴0112xμθ==+，01yλθ==．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+=+=++≤(其中sinϕ=，cosϕ)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程. 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x =+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(432112344224xEDABC【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ，52pD ⎛- ⎝，点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【解析】：⑴圆A 整理为()22116x y ++=，A 坐标()1,0-，如图，BE AC ∥，则C EBD =∠∠，由,AC AD D C ==则∠∠， EBD D ∴=∠∠，则EB ED=，4||AE EB AE ED AD AB ∴+=+==>F4 3 2 112344224xQPNMAB()()2222222363634121||1||13434M Nm m mMN m y y mm m+++=+-=+=++根据椭圆定义为一个椭圆，方程为22143+=，(0y≠)；⑵221:143x yC+=；设:1l x my=+，因为PQ l⊥，设():1PQ y m x=--，联立1l C与椭圆：221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my++-=，则圆心A到PQ距离()22|11||2|11m mdm m---==++，所以2222224434||2||21611m mPQ AQ dm m+=-=-=++，())2222222121114342411||||2412,831223413431MPNQm m mS MN PQm m mm+++⎡∴=⋅=⋅⋅==∈⎣+++++15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-（C）3（D）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=,则E 的离心率为（ ）（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，. 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II）由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =，则||CD =__________________. 【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法． 【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．21.(2015课标全国Ⅰ，理5)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<,则0y 的 取值范围是（A)33(,)33-(B) 33(,)66- (C) 2222(,)33- (D) 2323(,)33- 答案：A解析：由条件知F 1(－，0)，F 2(，0)，＝(－－x 0，－y 0)，＝(－x 0，－y 0)， －3＜0.① 又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y 0＜22.(2015课标全国Ⅰ，理14)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为答案：+y 2＝解析：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a ，0)(a ＞0)，所以＝4－a ，解得a ＝，故圆心为，此时半径r ＝4－，因此该圆的标准方程是+y 2＝23.(2015课标全国Ⅰ，理20)在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交于,M N 两点。

4-4极坐标与参数方程历年高考题（一）一、选择题、1、（北京理3）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是（ ）A 、(1,)2πB 、(1,)2π- C 、(1,0) D 、(1，π)2、(2003全国)圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（ ） (A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ3、(2011年高考安徽卷理科5)在极坐标系中，点 (,)π23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（ ）（A ） （4、(2001年广东、河南)极坐标方程ρ2cos2θ=1所表示的曲线是（ ） (A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 5、(2003北京)极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（ ）(A)圆(B)椭圆(C)抛物线 (D)双曲线6、(2011年高考北京卷理科3)在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（ ）A 、(1,)2π B 、(1,)2π- C 、(1,0) D 、(1,)π7、(2000年京皖春)直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系（ ） (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合8、（2010年高考北京卷理科5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（ ） （A ）两个圆 （B ）两条直线 （C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线9、（安徽理5）在极坐标系中，点θρπcos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为（ ）（A ）2 （B ）942π+（C ）912π+（D ）310、(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(),2π且过极点的圆的方程为（ ） (A) θρcos 22= (B)θρcos 22-= (C)θρsin 22=(D)θρsin 22-=二、填空（每题5分，共20分）11、（2008广东文理数）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2πρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为 ________12、（2010·广东高考理科15）在极坐标系（ρ,θ）（02θπ≤≤）中，曲线ρ=2sin θ与cos 1ρθ=- 的交点的极坐标为 。

2010-2017高考数学全国卷分类汇编(解析几何)2010-2017新课标全国卷分类汇编（解析几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24yx=的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，ABDE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10 【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AFθ⋅+=∴ 同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24yx=，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x y C ab-，（0a >，b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【答案】23【解析】如图，OA a=，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴3AP ，222234OP OA PA a b =-=-∴2232tan 34AP OP a b θ==-又∵tan b aθ=223234b a a b =-，解得223ab =∴22123113b e a ++=3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，331P ⎛- ⎝⎭，，431P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a =；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN .【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y xy +=│ ，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B 【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为 A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -=【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =①又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b ==C 的方程为22145x y -=，故选B.9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221xy ab+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b a c=-，可得()2223aa c=-，即2223c a =∴c e a =A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．C D ．2【解析】由题意，画出右图．设BD与C切于点E，连接CE．以A为原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．∵||1CD=，||2BC=．∴BD∵BD切C于点E．∴CE⊥BD．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C．∵P在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=()A O D xyBPCE∴0112x μθ==+，01y λθ==．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+=+=++≤(其中sin ϕ，cos ϕ) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程. 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++=由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M 10M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的半径为854，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ，52p D ⎛- ⎝，点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， F||M MN y =-焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 于Q P ,两点，求四边形【解析】：⑴圆A BE AC ∥EBD ∴=∠AE EB ∴+=⑵221:43x y C +联立l 与椭圆圆心A 到所以||PQ =()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130xy x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34-（C （D ）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =，则||CD =__________________. 【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．21.(2015课标全国Ⅰ，理5)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<,则0y 的 取值范围是（A)33(,)33-(B) 33(,)66- (C) 2222(,)33- (D) 2323(,)33- 答案：A解析：由条件知F 1(－，0)，F 2(，0)，＝(－－x 0，－y 0)，＝(－x 0，－y 0)， －3＜0.① 又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y 0＜22.(2015课标全国Ⅰ，理14)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为答案：+y 2＝解析：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a ，0)(a ＞0)，所以＝4－a ，解得a ＝，故圆心为，此时半径r ＝4－，因此该圆的标准方程是+y 2＝23.(2015课标全国Ⅰ，理20)在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交于,M N 两点。

2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总1.【2014·全国Ⅱ】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2⑴求C 的参数方程；⑵设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l :y ＝3x ＋2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：⑴C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤.可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t x ≤≤） ⑵设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3t t π==.故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(2。

2.【2014·全国Ⅰ】已知曲线C ：x ²4＋y ²9＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数）⑴写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； ⑵过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值。

【解析】：⑴曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 ⑵在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA …………10分3.【2015·全国Ⅰ】在直角坐标系xOy 中.直线C 1:x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ⑴求C 1，C 2的极坐标方程；⑵若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。

极坐标与参数方程知识点与十年全国卷高考真题一、极坐标系在平而上取一个定点0,由点0出发的一条射线6、一个长度单位及计算 角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系•点O 称为极点，O 工称为 极轴•平而上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度°和从Ox 到OM 的角度0 （弧度制）来刻画（如图16-31和图16-32所示）.这两个实数组成的有序实数对（°,&）称为点M 的极坐标.。

称为极径，&称为极角.二、 极坐标与直角坐标的互化设M 为平而上的一点，英直角坐标为（A -, y ）,极坐标为（p.O ）,由图16-31 和图16-32可知，下而的关系式成立：'x = pcos0八或< y = f sin8 三、 极坐标的几何意义p =）——表示以O 为圆心，7•为半径的圆:0 = % ——表示过原点（极点）倾斜角为％的直线，0 = > 0）为射线:p = 2acosO 表示以（a, 0）为圆心过O 点的圆.（可化直角坐标：p 2= lap cos 0 => x 2+ y 2= 2ax => （x-a ）2+ y 2=a 2.）四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y-y Q =k （x-x 0）t X 中R = tana （<z 为直线的倾斜角），代人点斜式方程:sin a z 、/ 亠兀、nny - y ｛）?QT = JT + ）厂 v（对QVO 也成立）.tan^ = —（x^O ）y-y（）= ----- （x-x0）（a^-）,即——=—^・cos a 2 cos a sin aX = X a+t COS a rr记上式的比值为匚整理后得彳°,« =-也成立，故直线的参y = y0 +1 sin a 2x = x a +tcosa数方程为｛・ a 为参数，&为倾斜角，直线上定点M o （x （p y o ）,动点y = y 0 +1 sin aMgy ） , f 为网両的数量，向上向右为正（如图16-33所示）.x = x 0 + rcos^ y = y 0 + rsi六、椭圆的参数方程七、双曲线的参数方程八、抛物线的参数方程抛物线y 2=2px 的参数方程为\X = 2pr（/为参数，参数/的几何意义是抛 ） = 2pf物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.1. 2020年全国统一髙考数学试卷（新课标I ）X = COS L在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为j ・k （/为参数）•以坐标原点为极y = sin t点，X 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线q 的极坐标方程为4QCOs&-16Qsin& + 3 = 0. （1）当《 = 1时，G 是什么曲线？⑵当R=4时，求G 与G 的公共点的直角坐标.五、圆的参数方程若圆心为点Ma 。

1、（2010年高考北京卷理科5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=0（p ≥0）表示的图形是 （A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 2江西15.（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2-2x =0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________。

3上海10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程为___________.4. （安徽13）在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是5.陕西15.．（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ． 6．（2010年高考广东卷理科15在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______．7、辽宁23. 在直角坐标系xOy 中，圆221:+=4C x y ，圆()222:-2+=4C x y在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示） 8.（2012年江苏省）在极坐标中，已知圆C经过点()4P π，圆心为直线sin 32ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．9.北京9．直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为_____。

10.广东14.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为1:x tC t y =⎧⎪⎨=⎪⎩是参数）和2:(x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数），它们的交点坐标为_______.11 .(2010年高考天津卷理科13)已知圆C 的圆心是直线1t tχγ=⎧⎨=+⎩（t 为参数）与χ轴的交点，且圆C 与直线30χγ++=相切。

劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时；花开堪折直须折《坐标系与参数方程》2017高考试题选编1.（全国卷【）在直角坐标系尤0），中，曲线C的参数方程为■〃（。

为参数），直线/的参y = sin6>数方程为『="+*（［为参数）.（1）若Q = -1,求C与/的交点坐标；（2）若C上的点到/距离的最大值为应，求。

.2.（全国卷II）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C|的极坐标方程为Qcos。

= 4.（1）M为曲线G上的动点，点P在线段上，且满足|OM|・|OP| = 16,求点F的轨迹C?的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2,兰），点B在曲线G上，求△Q4B面积的最大值.3 一x = 2 + /3.（全国卷III）在直角坐标系双处中，直线4的参数方程为（，为参数），直线的参数y = ktX = -2 + 771m为参数）.设4与"勺交点为P,当#变化时，P的轨迹为曲线C.方程为」m（（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系，设4： Q（cosO + sin。

）-扼=0, M为4与C的交点，求M的极径.4.（天津卷理）在极坐标系中，直线4pcos（^--） + l = 0与圆p = 2sin^的公共点个数为—.6工=一8 + 13.（全国卷III ）在直角坐标系X 。

），中，曲线G 的参数方程为《5. （江苏卷）在平面直角坐标系尤Oy 中，己知直线/的参数方程为t（「为参数），曲线Cx = 2s的参数方程为 l （$为参数）.设P 为曲线。

上的动点，求点P 到直线/的距离的最小值. y = 2V256. （北京卷）在极坐标系中，点A 在圆p 2-2pcos^-4psin^ + 4 = 0±,点P 的坐标为（1,0）,则|AP|的最小值为.三、2016高考试题选编X — Cl cos t一 .（，为参数，。

极坐标系与参数方程 知识点整理1.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.2.极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等．3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

极坐标与参数方程知识点与十年全国卷高考真题一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .八、抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）. 1．2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44. 【分析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin tt t==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线 2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解. 【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t=⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin tt t==为参数）， 两式相加得曲线1C1=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=， 曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=， 联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=或136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为 11(,)44.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.2．2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）()1:404C x y x +=≤≤；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 【分析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：()404x y x +=≤≤；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.3．2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 【答案】（1）2）3cos sin 120ρθρθ-+= 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=. 【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.4．2019年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:2110l x +=；（2【分析】（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】（1）由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()2222161t y t =+ ()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈-又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x ++=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d ==当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d = 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.5．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）4cos ()42ππρθθ=≤≤【分析】（1）先由题意，将0=3θπ代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围. 【详解】（1）因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin 3πρθ===即)3M π，所以tan3OM k π==因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，所以直线l 的直角坐标方程为4)y x =-，即40x +-=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ+=，即l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）设(,)P x y ，则OP y k x =， 4AP y k x =-， 由题意，OP AP ⊥，所以1OP AP k k =-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=， 因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,02x y ≤≤≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ()42ππρθθ=≤≤.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.6．2019年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ） 如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =求P 的极坐标.【答案】(1)2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([,])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2) (3,)6π,(3,)3π,2(3,)3π,5(3,)6π.【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.(2)根据条件3ρ=P 点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,])4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos 3([0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为(3,)6π解方程32sin 3([,])44ππθθ=∈得3πθ=或23πθ=，此时P 的极坐标为(3,)3π或2(3,)3π解方程32cos 3([,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5(3,)6π故P的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π.【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题. 7．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程. 【答案】(1) 22(1)4x y ++=. (2) 423y x =-+. 【解析】分析：(1)就根据cos x ρθ=，sin y ρθ=以及222x y ρ=+，将方程22cos 30ρρθ+-=中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线2C 是圆心为()1,0A -，半径为2的圆，1C 是过点()0,2B 且关于y 轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k 所满足的关系式，从而求得结果. 详解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为()2214x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为()1,0A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点()0,2B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+． 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果. 8．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为24x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率．【答案】（1）221416x y +=，当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =；（2）2- 【分析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cos 0α≠ 与cos 0α=两种情况.(2)将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数几何意义得sin ,cos αα之间关系，求得tan α，即得l 的斜率．【详解】详解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程()()2213cos 4280tcos sin t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点()1,2在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得()1224213cos cos sin t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．9．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 【答案】（1）3(,)44ππ（2）2,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，344ππα<<) 【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离d r <可得． （2）联立方程，由根与系数的关系求解 详解：（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2πα=时，l 与O 交于两点．当2πα≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =-l 与O交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．综上，α的取值范围是3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）l 的参数方程为,(2x tcos t y tsin αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，344ππα<< )． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t 满足222sin 10t t α-+=．于是22sin A B t t α+=，2sin P t α=．又点P 的坐标(),x y 满足,2.P P x t cos y t sin αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 所以点P 的轨迹的参数方程是22,222222x sin y cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，344ππα<< )． 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．10．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17，求a ． 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-． 【解析】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点(3cos ,sin )θθ，由点到直线距离公式求参数．试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0，2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点()3cos ,sin θθ到l 的距离为d =.当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-. 综上，8a =或16a =-.点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．11．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值． 【答案】（1）()22x 2y 40x -+=≠（）；（2）2+【详解】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB面积的最大值为2.试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知|OP|=ρ，OM =14cos θρ=. 由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞） 因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）. （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积1S AOB 4cos α|sin(α)|2|sin(2α)2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=-≤+当α12π=-时， S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 12．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷） 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【答案】（1）()2240x y y -=≠（2【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+. 设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 20ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==. 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M 的极径为5.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.13．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 【答案】（Ⅰ）圆，（Ⅱ）1【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）把化为普通方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）通过解方程组可以求得.试题解析：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.是以为圆心，为半径的圆.将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.14．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.于是，..由得，.所以的斜率为或.15．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时. 【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．16．【2016-2017学年河北省辛集中学高二下学期第一次月考数学（文）试卷在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN∆的面积．【答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12． 【解析】试题分析：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=得1222,2ρρ== 所以2MN =12. 试题解析：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ== ，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得23240ρρ-+=得1222,2ρρ== ， 所以2MN =因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为1121sin 4522⨯⨯⨯= 考点：坐标系与参数方程.17．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ） 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.【答案】（Ⅰ）()330,0,,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,{230,x y y x y x +-=+-=解得0,{0,x y ==或3,{3,2x y ==所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)2． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以2sin 23AB αα=-4()3sin πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．18．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．【答案】（I ）2cos ,{3sin ,x y θθ==260x y +-=；（II . 【解析】试题分析：（I ）由椭圆的标准方程设cos ,sin 22x yθθ==，得椭圆的参数方程为2cos ,{3sin ,x y θθ==，消去参数t 即得直线的普通方程为260x y +-=；（II ）关键是处理好PA 与角30︒的关系．过点P 作与l 垂直的直线，垂足为H ，则在PHA ∆中，12PH d PA ==，故将PA 的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点(2cos P θ，3sin )θ到定直线260x y +-=的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I ）曲线C 的参数方程为2cos ,{3sin ,x y θθ==（θ为参数）．直线l 的普通方程为260x y +-=．（II ）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为3sin 6d θθ=+-．则0)6sin 30d PA θα==+-．其中α为锐角，且4tan 3α=．当sin()1θα+=-时，PA ．当sin()1θα+=时，PA ． 【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．19．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【答案】（1）[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数；（2）3(2【分析】（1）先求出半圆C 的直角坐标方程，由此能求出半圆C 的参数方程；（2）设点D 对应的参数为α，则点D 的坐标为()1+cos ,sin αα，且[]0,απ∈ ，半圆C 的圆心是()1,0C 因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直，故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等，由此能求出点D 的坐标.【详解】（1）由ρ2cos θ=，得[]2220,01x y x y +-=∈， ，所以C 的参数方程为[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数（2）[]sin 0πtan 0,,,1+cos 12332D αααπαα⎛-=⇒=∈∴= -⎝⎭【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.20．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷）已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】试题分析：（1）由已知条件，先求Q 点的坐标，再由54QF PQ =及抛物线的焦半径公式列方程可求得p 的值，从而可得抛物线C 的方程；（2）由已知条件可知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的点参式方程：()10x my m =+≠，代入24y x =消元得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理及弦长公式表示AB 的中点D的坐标及AB 长，同理可得MN 的中点E 的坐标及MN 的长．由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，由此列方程可求得m 的值，进而可得直线l 的方程．试题解析：（1）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p =∴==+=+．由题设得85824p p p+=⨯，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（2）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l的方程为()10x my m =+≠，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y y m +=-=+．又l '的斜率为,m l -∴'的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN 的中点为(223422412223,,m E m MN y mm m +⎛⎫++-=-= ⎪⎝⎭． 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．考点：1．抛物线的几何性质；2．抛物线方程的求法；3．直线与抛物线的位置关系．21．2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ.【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y －5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====试题解析： （1）∵C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t=+=+∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25， 即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， 把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25， 化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ.考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程22．2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围. 【答案】见解析【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ点,,,A B C D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)----（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数 2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++25620sin [56,76]ϕ=+∈23．2011年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2OP OM =. （1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线12,C C 交于不同于原点的点,A B 求AB .【答案】（1）4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩ ()α为参数；（2）23【分析】(1)先设出点P 的坐标,然后根据点P 满足的条件代入曲线1C 的方程即可求出曲线2C 的方程;（2）根据(1)将求出曲线1C 的极坐标方程,分别求出射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为1ρ,以及射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为2ρ,最后根据21||AB ρρ=-求出所求. 【详解】。

极坐标与参数方程题型一：交点问题
1.已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲
线
C 的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线C 的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线C 交点的极坐标.
4
x＝4＋5cost，
2、已知曲线C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x
y＝5＋5sint
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
（1）把C1 的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1 与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ<2π．）
π2
3、在极坐标系下，已知圆O2：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin(θ－4)＝ 2 (1)求圆O
和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π时)，求直线l与圆O公共点的极坐标．
4、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2 的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos θ－4π＝2 2.
(1)求C1 与C2 的直角坐标方程
(2)求过C1与C2 交点的直线的极坐标方程
(3) 求C1 与C2交点的极坐标；。

2010年高考真题分类汇编（新课标）考点32 极坐标与参数方程1．（2010·北京高考理科·Ｔ5）极坐标方程（ρ-1）（θπ-）=0（ρ≥0）表示的图形是（ ）（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线【命题立意】考查极坐标知识。

【思路点拨】利用极坐标的意义即可求解。

【规范解答】选C 。

由（ρ-1）（θπ-）=0（ρ≥0）得，ρ=1或θπ=。

其中ρ=1表示以极点为圆心半径为1的圆，θπ=表示以极点为起点与Ox 反向的射线。

2.（2010·安徽高考理科·Ｔ7）设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 710的点的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4【命题立意】本题主要考查圆与直线的位置关系，考查考生的数形结合、化归转化能力．【思路点拨】首先把曲线C 的参数方程化为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，进而得出结论.【规范解答】选B.由题意，曲线C 可变形为：23cos 13sin x y θθ-=⎧⎨+=⎩，即22(2)(1)9x y -++=，∴曲线C 是以点M （2，-1）为圆心，3为半径的圆， 又圆心M （2，-1）到直线:320l x y -+=的距离22710(,)13d M l ==+且1010321010r <=<⨯，所以曲线C 上到直线l 距离为1010的点的个数为2，故B 正确. 3.（2010·湖南高考理科·Ｔ3）极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是( )A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线 【命题立意】以极坐标方程和参数方程为依托，考查等价转化的能力.【思路点拨】首先把极坐标方程和参数方程转化为普通方程，再考查曲线之间的问题.【规范解答】选A.∵cos ρθ=，∴x 2+y 2=x ，∴表示一个圆。

【高考解读】2017年高考全国卷(坐标系与参数方程)分析与启示2017年高考全国卷（坐标系与参数方程）分析与启示一、特色解读2017年高考新课标卷对《坐标系与参数方程》的考查，题型没有变、第23题位置没有变，文理同题没有变，分值10分没有变，命题本源为选修内容没有变，命题延续了以往对主干知识的考查，以直线、椭圆参数方程为背景，求曲线的交点坐标和最值问题，注重基本运算及知识的应用，中规中矩，基本符合预期.近6年的全国课标卷在本专题考查的知识点如下：【例题一】（2016课标Ⅱ） 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(6)25x y ++=.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．【解析】（Ⅰ）C的极坐标方程为2+12cos 110ρρα+=.（Ⅱ）【解法一】直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈∈；联立圆C 的极坐标方程；由 2+12cos 110θαρρθ=⎧⎨+=⎩ 得2+12cos 110ρρα+=,22121212()4144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-. 【解法二】直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C的普通方程22(6)25x y ++=， 得2+12cos 110t t α+=,22121212()4144cos 44AB t t t t t t α=-=+-=-.【解法三】直线l 的普通方程为tan y kx α==, 由22(6)25y kx x y =⎧⎨++=⎩ 得22(1)12110k xx +++=,12AB x =-==.知识：圆的普通方程化为极坐标方程，直线参数方程参数和极坐标极角，极径的应用.方法：求过原点的直线与曲线相交距离问题.（1）把直线的极坐标方程()R θαρ=∈∈与曲线的极坐标方程联立，两个交点距离为12ρρ-=.（2）把直线的参数方程与曲线的普通方程联立，两个交点距离为12t t-=（3）把直线与曲线全部化为普通方程，两个交点距离为12x -=【例题二】（2017全国课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）设点P 的极坐标为(,)ρθ，点M 的极坐标为1(,)ρθ，OP ρ=14cos OM ρθ==，||||16OM OP ⋅=，1.16ρρ=，点P 的轨迹2C 的极坐标方4cos ρθ=，从而2C 的普通方程；22(2)4x y -+=（Ⅱ）点B 在曲线2C 上，点B 的极坐标为2(,)ρθ，24cos ρθ=，OAB ∆面积213.sin 4cos sin()2sin(2)2332S OA AOB ππρααα=∠=-=-.知识：极坐标方程化普通方程，轨迹问题，极坐标极角，极经的几何意义及其应用应用.方法：某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理.【例题三】（2017全国课标III ）在直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方为2,,x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)写出C 的普通方程；(Ⅱ)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:(cos sin )20l ρθθ+-=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】(Ⅰ)直线1l 的普通方程为(2)y k x =-，直线2l 的普通方程为1(2)y x k=+，由(2)1(x 2)y k x y k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去k 得224(0)x y y -=≠.(Ⅱ) 【解法一】直线3l 的普通方程为20x y +=，曲线C 的普通方程为224xy -=，两曲线的交点M 求得M 的极径.【解法二】直线3l的参数方程为y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C的普通方程224x y -=，得1t =-，M 求得M 的极径.【解法二】曲线C的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=（02,θπθπ<<≠）直线3l 的极坐标方程为(cos sin )0ρθθ+，联立2222cos sin 4(cos sin )0ρθρθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，ρ=知识：直线参数方程化为普通方程，轨迹问题，极坐标方程和参数方程的应用，方法：求直线与曲线的交点坐标问题. （1）把直线与曲线分别化为普通方程，联立求交点坐标.（2）把直线与曲线分别化为参数方程和普通方程，联立求参数，得交点坐标.（3）把直线与曲线分别化为极坐标方程，求交点极坐标，获得极径，【例题四】（2017江苏高考）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tt y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=.因为点P在曲线C 上，设2(2,22)P s s ，点P 到直线l 的的距离2222|2428|2(2)45(1)(2)s s s d -+-+==-+-，知识：直线的参数方程化为普通方程，参数的应用.方法：抛物线的普通方程为22ypx=，参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数），抛物线上的点可以设为2(2,2)P pt pt ，转化为数形结合思想.三、佳题欣赏【例题一】（2017年厦门市第二次检测） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 1t y t x （t 为参数），其中πα<≤0.在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C ：θρcos 4=.直线l 与曲线1C 相切.（Ⅰ）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值；（Ⅱ）已知点)02(，Q ，直线l 与2C ：1322=+y x 交于BA ，两点，求ABQ ∆面积.【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为422=-+x y x ，将直线l 参数方程代入曲线得0)cos 2sin 32(2=-+t tαα，0∆=6πα=∴（Ⅱ）将直线l 的参数方程为31132x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线得063852=++t t21221214)(t t t t t t AB -+=-=.考查知识：把圆的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相切，直线与曲线相交的距离.【例题二】（2017年福州市第一次检测） 在平面直角坐标系xOy 中，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线[]214cos 30,02:,C ρρθθπ-+=∈，曲线[]23,0,24sin()6:C ρθππθ=∈-．（Ⅰ）求1C 的一个参数方程；（Ⅱ）若曲线1C 和曲线2C 相交于A 、B 两点,求AB 值．【解析】（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：22(2)1x y -+=，从而1C 的一个参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）（Ⅱ）【解法一】曲线2C 的普通方程为22330x --=因为直线2C ：2330x y --=与曲线1C ：22(2)1x y -+=相交于A 、B 两点，所以圆心到直线的距离为14d =，222AB r d =- . 【解法二】直线2C 过点3(,0)2，倾斜角为6π，曲线2C 的参数方程为33212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入1C ：22(2)1x y -+=，得242330tt --=，2121212()4t t t t t AB t -==+-.考查知识：将圆的极坐标化为普通方程，再把圆的普通方程转化为参数方程，直线与圆的位置关系，由于直线2C 没有过原点，因此使用极坐标方程方法比较困难.【例题三】（2017年三明市第二次检测） 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以X 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，若直线的极坐标方程为2cos()204πρθ--=，曲线C 极坐标2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线为参数）1C .（Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求PA PB +的值．【解析】（Ⅰ）1C 的直角坐标方程为222y x =-. （Ⅱ）直线l 的普通方程20x y +-=，(2,0)P 在l 上，l参数方程为22222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数）代入曲线1C 方程得22240tt +-=,120,0t t ><，212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-考查知识：把直线方程化为参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数的几何意义.212121212()4PA PB tt t t t t t t +=+=-=+-四、复习启示1. 重视基础知识的复习①写出点的极坐标，与直角坐标的互化； ②写出圆、椭圆、抛物线或相关轨迹的参数方程；③极坐标方程、参数方程、普通方程的互化；不断强化，提高准确率，减少失误.2. 重视化归与转化思想方法较多关注参数方程和极坐标方程的应用，如：①极坐标ρ的几何意义； ②直线标准参数t 的几何意义； ③圆、椭圆的三角参数；提高应用意识. 3. 重视知识的交汇联系①解析几何中直线与圆、椭圆、抛物线的交点、距离等问题；②三角恒等变换（辅助角公式）等知识；以横向联系和纵向联系为主线，对模块内容加以整合，优化认知结构，构建良序的知识网络.教学反思：对于极坐标和参数方程的题目，关键在于画图，利用数形结合，采用三种不同的方法，某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理.。

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编坐标系与参数方程一、解答题【 2021 ，22】在直角坐标系 x 3cos , 为参数〕，直线 l 的参数方程为xOy 中，曲线 C 的参数方程为 sin 〔 y , x a 4t ,y 1 〔 t 为参数〕．t ,〔1〕假设a 1 ，求 C 与 l 的交点坐标； 〔 2〕假设 C 上的点到 l 的距离的最大值为17，求 a ．xOy 中，曲线 C 1 x a cost, 【 2021，23】在直角坐标系 的参数方程为 1 (t 为参数， a 0) ．在以坐标y asin t , 原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 : 4 cos ．〔Ⅰ〕说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程； 〔Ⅱ〕直线 C 3 的极坐标方程为，其中 0 满足 tan 0 2，假设曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上，求 a ．【 2021 ， 23】在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x =2 22，圆 C2： x 1 y 21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .〔 I〕求 C1， C2的极坐标方程；〔 II 〕假设直线 C3的极坐标方程为R ，设C2与C3的交点为 M ,N ，求C2MN 的面积 .4【 2021， 23】曲线 C ：x2y21，直线 l ：x 2 t 〔 t 为参数〕 .4 9 y 2 2t(Ⅰ )写出曲线 C 的参数方程，直线l 的普通方程；〔Ⅱ〕过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30o的直线，交 l 于点 A ，求 | PA |的最大值与最小值.【 2021， 23】曲线 C1的参数方程为x 4 5cost,x 轴的正半轴为y 5(t 为参数 )，以坐标原点为极点，5sin t极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝ 2sin θ.(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标 (ρ≥0,0 θ≤＜2π)．【 2021， 23】曲线 C1x 2cos的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，y 3sin极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2 。

2017高考二轮专题复习：极坐标与参数方程1．极坐标的基本概念极坐标(ρ，θ)的含义：设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的（极角相差2π的正数倍）． 2．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内任意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρtan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值，一般取[0,2)θπ∈. 3．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B 2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 4．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制．高考热点突破 （掌握极坐标方程与直角坐标方程；参数方程与普通方程；极坐标方程与参数方程之间的互化是前提）例：在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数，πα<<0），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 1-=p（0>p ），写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程.突破点1：求交点坐标(2013全国1卷)已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.相关练习：1.在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）, 以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

2012-2017高考全国卷选做——极坐标【2012年全国】(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是12cos ,3sin ,x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π。

（Ⅰ）求点,,,A B C D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++|的取值范围。

【2013年全国】（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4+5cost y =5+5sint （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）【2014年全国】23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2015年全国】（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程；（II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积【2016年全国】（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==ta y t a x sin 1cos （t 为参数，a ＞0）。

2017年全国卷高考数学复习专题——坐标系与参数方程考点一坐标系与极坐标1.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是x=t+1,y=t-3(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为( )A.14B.214C.2D.22答案 D2.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l与曲线C:x=2+cosα,y=1+sinα(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是. 答案2ρcos θ+π4=13.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为.答案(1,1)4.(2014天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为.答案 35.(2014重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为x=2+t,y=3+t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= .答案56.(2014陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点2,π6到直线ρsin θ-π6=1的距离是.答案 17.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得x=x1, y=2y1,由x12+y12=1得x2+y22=1,即曲线C的方程为x2+y24=1.故C的参数方程为x=cos t,y=2sin t(t为参数).(2)由x2+y24=1,2x+y-2=0解得x=1,y=0或x=0,y=2.不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为12,1,所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12 x-12,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=34sinθ-2cosθ.考点二参数方程8.(2014北京,3,5分)曲线x=-1+cosθ,y=2+sinθ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上答案 B9.(2014江西,11(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )A.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π2B.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π4C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π2 D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π4答案 A10.(2014湖北,16,5分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是x=t,y=3t3(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.答案(3,1)11.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:x 24+y 29=1,直线l:x =2+t ,y =2-2t(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析 (1)曲线C 的参数方程为 x =2cos θ,y =3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 d= 55|4cos θ+3sin θ-6|. 则|PA|=dsin 30°=2 55|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为22 55.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为2 55.12.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈ 0,π2 . (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l:y= 3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.解析 (1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y≤1).可得C 的参数方程为 x =1+cos t ,y =sin t(t 为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan t= 3,t=π3. 故D 的直角坐标为 1+cosπ 3,sin π3 ,即 32,32. 13.(2014江苏,21C,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为x =1- 22t ,y =2+22t (t 为参数),直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A,B 两点,求线段AB 的长.解析将直线l的参数方程x=1-22t,y=2+22t代入抛物线方程y2=4x,得2+2 2t2=41-22t,解得t1=0,t2=-82.所以AB=|t1-t2|=82.14.(2014福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x=a-2t,y=-4t(t为参数),圆C的参数方程为x=4cosθ,y=4sinθ(θ为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.解析(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=5≤4,解得-25≤a≤25.。

全国卷2010----2017数学高考真题-------极坐标与参数方程选讲1、（2017新课标3）22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.2、（2017新课标2）22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．3、（2017新课标1）22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a .4、（2016新课标3）（23）（本小题满分10分）选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,()sin ,x y ααα⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25.（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，∣AB ∣求l 的斜率.6、（2016新课标1）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．8、（2015新课标1）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MNV 的面积.在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.10、（2014新课标1）（23）（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．11、（2013新课标2）（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为β=α与α=2π（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点. （Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.12、（2013新课标1）（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =4+5cost y =5+5sint （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

专题16坐标系与参数方程解答题2011综合测试题2011年新课标1理科23解答题2010综合测试题2010年新课标1理科23历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11＝0．（1)求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【解答】解:（1）由（t为参数），得，两式平方相加，得（x≠﹣1），∴C的直角坐标方程为(x≠﹣1)，由2ρcosθρsinθ+11＝0，得．即直线l的直角坐标方程为得；（2）设与直线平行的直线方程为，联立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．由△＝16m2﹣64(m2﹣12）＝0,得m＝±4．∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．2．【2018年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．(1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解:（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3＝0，转换为标准式为：（x+1）2+y2＝4．（2）由于曲线C1的方程为y＝k|x｜+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y＝kx+2的距离等于半径2．故:，或解得：k或0，当k＝0时，不符合条件,故舍去，同理解得：k或0经检验,直线与曲线C2没有公共点．故C1的方程为：．3．【2017年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，(t为参数）．（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标;（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：(1）曲线C的参数方程为（θ为参数)，化为标准方程是：y2＝1；a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y﹣3＝0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π)，所以点P到直线l的距离d为：d，φ满足tanφ，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤｜﹣5﹣a﹣4|＝｜5+a+4｜＝17解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤｜5﹣a﹣4|＝｜5﹣a﹣4｜＝17，解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．4．【2016年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【解答】解：（Ⅰ）由，得,两式平方相加得,x2+(y﹣1）2＝a2．∴C1为以(0,1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2＝0．①由x2+y2＝ρ2，y＝ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0；（Ⅱ）C2：ρ＝4cosθ,两边同时乘ρ得ρ2＝4ρcosθ，∴x2+y2＝4x，②即（x﹣2)2+y2＝4．由C3：θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，得y＝2x,∵曲线C1与C2的公共点都在C3上,∴y＝2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2＝0，即为C3 ,∴1﹣a2＝0，∴a＝1（a＞0）．5．【2015年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2，圆C2:（x﹣1)2+（y ﹣2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ(ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【解答】解：（Ⅰ）由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：x＝﹣2 的极坐标方程为ρcosθ＝﹣2，故C2：(x﹣1）2+(y﹣2）2＝1的极坐标方程为：(ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1,化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ（ρ∈R)代入圆C2：（x﹣1）2+(y﹣2)2＝1,可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0，求得ρ1＝2，ρ2，∴|MN|＝|ρ1﹣ρ2｜，由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N•1•1．6．【2014年新课标1理科23】已知曲线C：1，直线l：（t为参数)（Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．(Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求｜PA｜的最大值与最小值．【解答】解:（Ⅰ)对于曲线C:1，可令x＝2cosθ、y＝3sinθ,故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l:，由①得：t＝x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6＝0；(Ⅱ）设曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin(θ+α）＝﹣1时，｜PA｜取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为．7．【2013年新课标1理科23】已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π）．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程(x﹣4）2+（y﹣5）2＝25，即C1:x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0，联立，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为()和（2，）．8．【2012年新课标1理科23】已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上,且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)．(1）求点A,B，C,D的直角坐标；(2）设P为C1上任意一点,求｜PA|2+|PB｜2+|PC｜2+｜PD｜2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C,D的极坐标为点A,B,C，D的直角坐标为(2）设P（x0，y0），则为参数）t＝|PA｜2+|PB|2+|PC|2+｜PD|2＝4x2+4y2+16＝32+20sin2φ∵sin2φ∈［0，1］∴t∈［32，52］9．【2011年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足2,P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（I）设P（x,y）,则由条件知M（，)．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin,射线θ与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以|AB｜＝|ρ2﹣ρ1|．10．【2010年新课标1理科23】已知直线C1（t为参数)，C2（θ为参数),（Ⅰ）当α时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解答】解：(Ⅰ)当α时，C1的普通方程为,C2的普通方程为x2+y2＝1．联立方程组,解得C1与C2的交点为（1,0）．（Ⅱ）C1的普通方程为x sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①．则OA的方程为x cosα+y sinα＝0②,联立①②可得x＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：,P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．本专题考查的知识点为:极坐标方程与直角坐标方程的转化，极坐标几何意义的应用，参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用。

2010-2017年高考数学全国卷试题汇编（极坐标与参数方程部分）1、【2010年新课标】已知直线1:C x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线2:C x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （2）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.2、【2011年新课标】在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C . （1）求2C 的方程； （2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .3、【2012年新课标】曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π. （1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.4、【2013年新课标1】已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程；(2)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<).5、【2013年新课标2】已知动点,P Q 都在曲线C ：2sin y t ⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t α=与2t α=()02απ<<，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．6、【2014年新课标1】已知曲线C ：22149x y +=，直线:l ⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．7、【2014年新课标2】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程； （2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.8、【2015年新课标1】在坐标系xOy 中,直线1:2C x =-,圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积。