平均数问题
一、知识要点
平均数在我们的生活中经常被用到，比如我们经常用各科成绩的平均分数来比较同学之间、班级之间成绩的好坏。求各科成绩的平均分数就是求平均数。平均数问题不仅用在求平均分数上，还应用在很多方面。比如由同年龄不同地区儿童的平均身高、平均体重来分析儿童生长发育的情况等。
在求平均数时，必须知道两个条件：
（1）被均分事物的总数量；
（2）要均分的总份数。
它们之间的关系是：
总数量=平均数×总份数
我们看到，对于平均数、总数量、总份数这三个量，只要知道其中的任意两个量就可以求出第三个量。
二、例题
例1、乐乐参加数学考试，前两次的平均分数是85分，后三次的平均分数是90分，问乐乐前后几次考试的平均分数是多少？
分析：利用前两次考试的平均分数可以求出前两次考试的总分数，同理，也可以求出后三次考试的总分数，然后用前后几次考试的总分数除以总次数就是所求的平均分数。
解：（85×2+90×3）÷（2+3）
=440÷5
=88（分）
答：乐乐前后几次考试的平均分数是88分。
练一练：萍姐姐去爬山，上山时的速度是每小时2千米，下山时的速度是每小时6千米，那么，她在上下山全过程中的平均速度是每小时多少千米？
分析：平均速度=总路程÷总时间。显然，萍姐姐上下山的平均速度，等于萍姐姐上下山的总路程除以上下山所用时间的总和。而题目中没有给出爬山的路程，也无法求出爬山路程。为此，我们可以假设山路为12千米，则上下山的路程为2×12千米。
解：2×12÷（12÷2+12÷6）
=24÷（6+2）
=24÷8
=3（千米/时）
答：萍姐姐上下山的平均速度是每小时3千米。
问：萍姐姐上下山的平均速度，像下面这样计算可以吗？为什么？
（2+6）÷2=4（千米/时）
（变式练习）：小明从甲地到乙地一半时间骑自行车，一半时间步行。步行速度为每小时8千米；骑车速度为每小时24千米。求此人从甲地到乙地的平均速度。
分析：题目中没有给出总共行了多少时间，也没有给出甲地到乙地的距离。不妨假设总共行了2小时，那么所行路程就可以简单地计算出，相应的平均速度也可以求出来了。要是设共行4
小时，6小时等，也同样方便地算得同一结果。
解：（8×1+24×1）÷（1+1）=16（千米/时）
答：此人从甲地到乙地的平均速度为16千米/时.
问：此题的平均速度可以像下面这样计算吗？为什么？
（8+24）÷2=16（千米/时）
例2、已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。
分析：八个连续奇数的特点就是第一个和第八个的和、第二个和第七个的和、第三个和第六个的和、第四个和第五个的和都是相等的，也就是说，144是4个相同数的和。
解：每组数的和是：144÷4=36
中间两个数是：（36－2）÷2=17
17+2=19
因此，这八个连续奇数分别是：11、13、15、17、19、21、23、25.
答：这八个连续奇数分别是：11、13、15、17、19、21、23、25.
练一练：5个数的平均数是102，如果把这5个数从小到大排列，那么前3个数的平均数是70，后3个数的和是390。问：中间的那个数是多少？
解：前3个数与后3个数的总和是：70×3+390=600；
5个数的和是：102×5=510；
中间那个数是：600－510=90
答：中间那个数是90.
（变式练习）把自然数1，2，3，4，……，998，999分成三组，如果每一组数的平均数恰好相等，那么这三个平均数的和是多少？
分析：1，2，3，4，……，998，999是连续的自然数。从1开始的连续自然数的平均数是什么特点呢？我们把上述问题先化小到“把1，2，3，4，……，9这九个自然数分成三组，如果每一组的数平均数恰好相等，那么每一组的平均数是多少？”因为每一组的平均数都相等，所以这个平均数应该和总平均数相等。
这九个数的总平均数是：（1+2+3+4+…+9）÷9=45÷9=5，正好是这列数中间的一个数，可以用（1+9）÷2=5得到。由此可以推断：从1开始的连续个自然数的平均数可以用（第一个数+最后一个数）÷2得到。如果是连续奇数个自然数，那么平均数就是这列数中间的那个数。
解：因为每一组的数平均数恰好相等，所以这个平均数应该和总平均数相等，并且这个平均数应该是：（1+999）÷2=500
三个平均数的和是500×3=1500
答：三个平均数的和是500×3=1500.
例3、有六个数排成一列，它们的平均数是27，前四个数的平均数是23，后三个数是34，求第四个数是多少？
分析：前四个数与后三个数中，第四个数重复计算，所以这七个数的总和比六个数的和多的数就是第四个数。
解：23×4+34×3－27×6
=92＋102－162
=32
答：第四个数是32.
练一练：阿呆、乐乐和丫丫3人，阿呆、乐乐的年龄之和是24岁，阿呆、丫丫的年龄和是20岁，乐乐、丫丫的年龄和是16岁。问：阿呆、乐乐和丫丫3人的平均年龄是多少岁？
解：由题目可知，24+20+16得到的数是2个阿呆、2个乐乐和2个丫丫的年龄之和，因此将该数除以2就得到阿呆、乐乐和丫丫三人的年龄之和。
（24+20+16）÷2÷3=10（岁）
答：阿呆、乐乐和丫丫3人的平均年龄是10岁。
（变式练习）丫丫期末考试语文、数学、常识平均成绩是85分，外语成绩公布后，她的平均成绩提高了2分。问：丫丫外语考了多少分？
分析：要求出外语考了多少分，必须先分别求出3门功课和4门功课的总分数。由三门功课平均分数85分，可以求出三门功课的总分数85×3=225（分），又由外语成绩公布后，他的平均分提高了2分，可得他四门功课的总分数是：（82+2）×4=348（分），因此，总分之差就是外语成绩了。
解：（82+2）×4－85×3
=348－255
=93（分）
答：丫丫外语考了93分。
例4、为了支援西部，1班班长小明和2班班长小红带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完。小明要了26本书，小红要了18本书。回校后，小明补给小红28元。问：小明、小红各带了多少元？每本书的价格是多少？
分析：因为两人带了同样多的钱，刚好买了同一种书44本，因此，每人的钱恰好能买这种书的数目是：44÷2=22（本）。小明补为小红的28元钱，是小明多买的书的价钱，也就是4本书的价钱。
解：每本书的价格为：28÷（26－44÷2）=7（元）
小明、小红各带的钱数：44×7÷2=154（元）
答：小明、小红各带了154元，每本书的价格为7元。
练一练：一个旅游团租车出游，平均每人应付车费40元。后来又增加了8人，这样每人应付的车费是35，问：租车费是多少元？
解：后来增加的8人所付的总费用为：35×8=280（元）
增加8人后，每人应付的车费减少了：40－35=5（元）
后来增加的8人所付的总费用应与原人数所少付的总费用相等，因此：
原有人数为：280÷5=56（人）
租车费为：40×56=2240（元）
答：租车费为2240元。
（变式练习）今年前5个月，小明共存钱21元，从6月起，他每月储蓄6元钱，那么从哪个月起小明的平均储蓄超过5元？
