解二元一次方程组加减消元法

第五章 解二元一次方程组 《加减消元法》教学设计一．教学目标1.会用加减消元法解二元一次方程组.2.进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学中“化未知为已知”的化归思想.3.能根据方程组的特点，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力。

4.通过探求二元一次方程组的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，从而体会消元的思想，以及把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。

二．教学重点会用加减消元法解二元一次方程组 三．教学难点在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 四、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：讲授新知；第三环节：巩固新知；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.第一环节：知识回顾：1、到目前为止，我们学了哪些方法解二元一次方程组？此方法的基本思路是什么？ 代入消元法基本思路：消元；二元 ------ 一元 2、用代入法解方程组的主要步骤是什么？（1）变------用一个未知数的代数式表示另一个未知数 （2）代------把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个元 （3）解------分别求出两个未知数的值 （4）写------写出方程组的解 （5）检验——一般不写检验过程 第二环节：讲授新知： （1）探究引入：做一做：解下面的二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+11522153y x y x（学生在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的新的想法，可以让用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上，完后进行评析，并为加减消元法的出现铺路.）学生可能的解答方案1： 解1：把②变形，得：5112y x-=, ③ ① ②把③代入①，得：51135212y y -⨯+=, 解得3y =. 把3y=代入②，得2x =.所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩.学生可能的解答方案2： 解2：由②得5211yx =+, ③把5y 当做整体将③代入①，得：()321121x x ++=,解得：2x =. 把2x =代入③，得：3y=.所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩.（此种解法体现了整体的思想）学生可能的解答方案3：（观察发现：两个方程中一个含有5y ，而另一个是-5y ，两者互为相反数）解3：根据等式的基本性质方程①+方程②得：5x=10, 解得：2x =, 把2x =代入①，解得：3y=,所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩.通过上面的练习发现，代入消元法核心是代入“消元”，通过“消元”，使“二元”转化为“一元”，从而使问题得以解决，那么（方案3）的解法又如何？它达到“消元”的目的了吗?它是如何达到的？（留些时间给学生观察，注意引导学生观察方程中某一未知数的系数，如x 的系数或y 的系数引导学生发现方程①和②中的5y 和5y -互为相反数，根据相反数的和为零（方案3）将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y ，得到了一个关于x 的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的).这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法. （2）讲授新知： 内容1：（教师板书课题）下面我们就用刚才的方法解下面的二元一次方程组.（学生试着用第三种方法解答，然后教师规范解答过程，）例1 解下列二元一次方程组（若学生先前的环节接受得好，可以让学生独立完成，教师再跟进讲授）(1)257231x y x y -=⎧⎨+=-⎩分析：观察到方程①、②中未知数x 的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x .解：②-①，得：88y=- 解得：1y =-,把1-=y 代入①，得：752=+x , 解得：1=x ,所以方程组的解为⎩⎨⎧-==11y x(解答完本题后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，同时教师需强调以下两点： (1)注意解此题的易错点是②-①时是()()232517x y x y +--=--，方程左边去括号时注意符号.另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x ，不过在①-②得到的方程中，y 的系数是负数，所以在上面的解法中选择②-①；(2)把1y =-代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值.内容2.随堂练习：1.方程组⎩⎨⎧=-=+83732y x y x 的解是2.用加减消元法解方程组：⎩⎨⎧=--=+17561976y x y x 应用（ ）A.①-②消去yB.①-②消去xC. ②- ①消去常数项D. 以上都不对3.用加减法解方程组：⎩⎨⎧=-=+810158.2103y x y x解： 把 ①+②得 18x ＝10.8，解得x ＝0.6把x ＝0.6代入①得3×0.6+10y ＝2.8 解得y ＝0.1 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==1.06.0y x目的：由学生做练习，体会加减消元法的基本特点，熟悉加减消元法的基本步骤，提升学生用加减消元法解二元一次方程组的基本技能，积累解二元一次方程的活动经验.师生一起分析上面的解答过程，归纳出下面的一些规律：① ②①②在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法内容3：例2 解方程组 23123417x y x y +=⎧⎨+=⎩留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明自己观察到方程有什么特点，能不能自己解决此方程组，用什么方法解决？让学生讨论，学生可能得到的结论如下：1.x 、y 的系数既不相同也不是相反数，没有办法用加减消元法.2.是不是可以用等式的基本性质将这个方程组中的x 或y 的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的.(在引导的过程中，肯定学生的好的想法.）其实，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.这时就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.由讨论得出如下过程：解：①×3，得：6936x y +=， ③ ②×2,得：3486=+y x ， ④ ③－④，得：2=y . 将2=y 代入①，得：3=x .所以原方程组的解是⎩⎨⎧==23y x .内容4：议一议：根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题： (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？ (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？ (由学生分组讨论、总结并请学生代表发言)(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：①变形----找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．②加减消元，得到一个一元一次方程. ③解一元一次方程．④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．⑤检验解的正确性①②过手训练：用加减消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+9)3(5)2(46132y x y x 注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.解：将原方程组整理得：⎩⎨⎧=-=+3254123y x y x ①×5得：51015=+y x ③ ②×2得：6410-8=y x ④ ③+④得：6923=x 解得3=x把3=x 代入①得: 1233=+⨯y4-=y所以原方程组的解是：⎩⎨⎧-==43y x第三环节：巩固新知 ， （—）巩固练习：1. 类型之一:用加减法解某一未知数的系数相同或是相反数的二元一次方程组:解方程组：⎩⎨⎧=--=+17561976y x y x2. 类型之二:用加减法解某一未知数的系数成整数倍数关系的二元一次方程组：解方程组：⎩⎨⎧-=-=+41241632y x y x3. 类型之三:用加减法解两个未知数的系数均不成整数倍数关系的方程组解方程组：⎩⎨⎧=+=+17431232y x y x(二）拓展练习1.已知：05)-3y (2x |2-y x |2=+++求x,y 的值 .①② ① ②① ②①②①② 解： 05)-3y (2x |2-y x |2=+++∴⎩⎨⎧=-+=-+053202y x y x①×2，得：0422=-+y x ③ ②－ ③,得：01y =-，即：1y = 把1y =代入①，得：021=-+x ，即：x=1∴ 原方程组的解为：｛11==y x2. 已知：关于x,y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=++=+2233232k y x k y x 的解满足2=+y x ， 求x,y,k 的值目的：通过此题的练习，对于含参数的二元一次方程组的解法的灵活选择，摸索运算技巧，培养能力．第四环节：课堂小结① ②1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法.比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.2. 用加减消元法解方程组的条件：某一未知数的系数的绝对值相等．3. 用加减法解二元一次方程组的步骤：①变：将其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）；②加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；③解：解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程，•求得另一个未知数的值；④写：写出方程组的解；⑤检验：但不必写出检验过程第五环节：布置作业1.课本习题5.32.阅读读一读·你知道计算机是如何解方程组吗.3.预习课本下一节教学反思板书设计：。

教学设计 8.2 消元—解二元一次方程组（加减消元法）
教学反思：
“解二元一次方程组”是“二元一次方程组”一章中很重要的知识，占有重要的地位。

通过本节课的教学，使学生会用加减消元法解二元一次方程组，进一步了解“消元”的思想。

加减法解二元一次方程组的基本思想与代入法相同，仍是“消元”化归思想，通过代入法、加减法这些手段，使二元方程转化为一元方程，从而使“消元”化归这一转化思想得以实现。

因此在设计教学过程时，注重化归意识的点拨与渗透，使学生在学习中逐步体会理解这种具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法。

在小组展示中，学生说出自己的思路，展示过程中，我仅用极少的时间进行点拨，引导学生学习重点知识，进行追问。

如：“（1）-（2）的目的什么？”“（1）×3，（2）×5的目的是什么”“解决本道题重要的一步是什么？”“这么好的办法，你是怎么想到的？”
教学后发现，大部分学生能够通过加减消元法解二元一次方程组，教学一开始给出了一个二元一次方程组，先让学生用代入法求解，既复习了旧知识，又引出了新课题，引发学生探究的兴趣。

通过学生的观察、发现，理解加减消元法的原理和方法，使学生明确使用加减法的条件，体会在一定条件下使用加减法的优越性。

之后，通过两个例题来帮助学生规范书写，同时明确用加减法解二元一次方程组的步骤。

接下来，通过一系列的练习来巩固加减消元法的应用，并在练习中摸索运算技巧，培养能力，训练学生思维的灵活性及分析问题、解决问题的综合能力。

有个别同学在运算上比较容易出错，运用的灵活性掌握得不太好，解答起来速度较慢，我想只要多加练习，一定会又快又准确的。

解二元一次方程组（加减消元法）说课稿69团中学王晓燕一、学情分析（一）知识现状学生认识了二元一次方程组，学习了使用“代入消元”解二元一次方程组，对消元思想有了一个初步的认识。

（二）学案教学的基础在前面的几次教学中已经使用过几次学案教学，学生能利用学案结合书本进行自学。

（三）我班的学生对知识接受较慢，学习有困难的学生较多，同时狠毒学生在进行有理数加减运算时符号容易出错。

针对以上情况，设计了本节课的教学。

二、教学目标1.知识与技能（1）会用“加减法”解二元一次方程组的步骤；（2）掌握用加减法解二元一次方程组的步骤；（3）进一步体会解二元一次方程组的“消元”思想。

2.过程与方法利用“学案”导学，学生结合学案，自主学习教材，在独立思考的基础上分组讨论学案上的问题，对问题进行分析、求解、得出结论。

然后，由学生展示讨论、交流的结果。

3.情感态度与价值观（1）学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”的化归思想，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信心。

（2）培养学生合作交流，自主探究的良好习惯及学生分析问题、解决问题的能力。

三、教学重难点教学重点：用加减法解二元一次方程组教学难点：灵活地对方程进行恒等变形使之便于加减消元四、教学方法与学法指导教学方法：学案导学、自主学习学法指导：让学生利用学案，通过结合书本的自主学习，经历观察。

五、教学过程解二元一次方程组（加减消元法）学案一、回顾旧知用代入法解二元一次方程组的步骤： 用代入法解下列方程组1. ⎩⎨⎧-=-=-32)1(354y x y x 2.3.4.二、活动过程（一）同一个未知数的系数相同或互为相反数解下列方程组⎩⎨⎧-=+=-11522153y x y x （分析：观察方程组发现，①式中y 的系数为 , ②式中y 的系数为 ,若用①+① ②②则可以消除 ,得到 ，解得 。

将x 代入①中，可得y= 。

） 解：由①+②可得，解得将 代入 得解得∴方程组的解为试一试：解下列方程组⎩⎨⎧=-=+437835y x y x ⎩⎨⎧-=-=-382532y x y x两个二元一次方程中，同一个未知数的系数_______或______ 时，把这两个方程的两边分别 _______或________ ，就能________这个未知数，得到一个____________方程，这种方法叫做________________，简称_________。

二元一次方程组的解法加减消元法
二元一次方程组是指由两个含有两个未知数的线性方程组成的方程组。

其中，每个方程都可以写成以下形式：ax + by = c。

加减消元法是一种解二元一次方程组的常用方法。

它的基本思想是通过加减方程来消去一个未知数，从而得到一个只含有一个未知数的方程，然后通过解这个方程来求解出另一个未知数。

具体步骤如下：
1. 将方程组写成标准形式。

确保每个方程都按照ax + by = c 的形式排列。

2. 选取合适的方程，通过加减操作消去其中一个未知数。

这通常需要使得其中一个系数相加或相减后为零。

3. 解得一元一次方程，求解出已经消去的未知数的值。

4. 将求得的未知数的值代入消去后的方程中，解得另一个未知数。

5. 检验解的正确性，将求得的未知数代入原方程组中，验证等号两边是否相等。

通过反复使用加减消元法，直到得到最终的解。

需要注意的是，加减消元法在解决二元一次方程组时可能会遇到以下情况：无解、唯一解和无穷解。

无解表示方程组无解；唯一解表示方程组存在且只有一个解；无穷解表示方程组存在且有无限个解。

使用加减消元法可以有效地解决二元一次方程组，但要注意运算的准确性和规范性，以确保得到正确的解答。

二元一次方程加减消元二元一次方程加减消元是初中数学中非常重要的内容，它是解决二元一次方程组的一种有效的方法。

下面本文将从以下几个方面来详细阐述：一、什么是二元一次方程加减消元二元一次方程加减消元，是指将两个二元一次方程通过加法或减法消去其中一个变量，使得方程组的变量数目减少，从而求出另一个变量的值。

通常情况下，我们会选择将两个方程加减消元，使得求解过程更加简单。

二、二元一次方程加减消元的具体步骤二元一次方程加减消元有一定的技巧和步骤，以下是具体的步骤：1、将两个方程的变量都排列在一起，将系数用字母表示，如a,b,c,d,e,f。

2、观察这两个方程组，考虑如何将其中一个变量消去。

通常我们会选择系数相等或相反的方程相加或相减，使得某一个变量系数消失。

3、将选择的方程相加或相减，消去其中一个变量。

这时就变成了只含一个变量的一元一次方程，可以直接求解出其值。

4、把解出来的一个变量值带入任意一个原方程中，求解另一个未知数。

5、检验方程组的解是否正确，是否满足原方程中的条件。

三、二元一次方程加减消元的应用范围二元一次方程加减消元的应用范围非常广，常见的应用有以下几种：1、消除平移：当二元一次方程中存在平移时，我们可以通过加减消元法将平移部分消去，从而简化公式的表达。

2、简化方程：当二元一次方程较为复杂时，采用加减消元法可以大大简化计算的步骤，提高计算效率。

3、经济问题求解：在经济问题中，常常需要求出两个或多个变量的值，此时可以应用二元一次方程加减消元的方法，快速求解出变量的值，从而解决实际问题。

四、总结二元一次方程加减消元是初中数学中的重要内容，它可以帮助我们快速求解二元一次方程，从而解决实际问题。

掌握二元一次方程加减消元的方法，需要多做题，多总结经验，这样才能对其进行深入理解，掌握其本质。

二元一次方程组的加减消元法加减消元法是指当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或者相等时，把这两个方程的的两边分别进行相加或相减运算，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。

加减消元法解二元一次方程组的解题步骤：
一、变形：根据绝对值较小的未知数（相同未知数）的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数，使两个方程的某一个未知数的系数相等或互为相反数，然后通过加减法消去这个未知数。

特别提醒：选择消元对象时最好选择未知数的系数互为相反数、相等、倍数关系或者是互为质数的未知数作为消元对象。

二、加减：两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程直接相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。

特别注意：两个方程相加减时，一定要把两个方程等号两边分别相加减，且要注意各项符号的变化。

三、求解：解消元后的一元一次方程，求出另外一个未知数的值。

四、回代：把求得未知数的值，回代到方程组中较简单的一个方程，从而求出另外一个未知数的值。

五、写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。

二元一次加减消元法一、二元一次方程组加减消元法的概念1. 定义- 对于二元一次方程组cases(a_1x + b_1y=c_1a_2x + b_2y=c_2)，加减消元法是通过将两个方程相加或者相减，消去其中一个未知数（元），从而将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解的方法。

2. 原理- 当两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程相加或相减，就可以消去这个未知数。

例如，对于方程组cases(2x + 3y = 82x - 5y=-2)，因为两个方程中x的系数都是2，所以将两个方程相减，就可以消去x，得到(2x + 3y)-(2x - 5y)=8 - (-2)，即8y = 10。

二、用加减消元法解二元一次方程组的步骤1. 步骤一：观察系数- 观察方程组中两个方程中x和y的系数，看是否有某个未知数的系数相等或互为相反数。

- 例如，对于方程组cases(3x+2y = 115x - 2y=13)，可以发现y的系数分别是2和-2，互为相反数。

2. 步骤二：选择消元- 如果有系数相等或互为相反数的未知数，就选择消去这个未知数。

- 在上述方程组cases(3x+2y = 115x - 2y=13)中，我们选择消去y，将两个方程相加，得到(3x+2y)+(5x - 2y)=11 + 13，即8x=24。

3. 步骤三：求解一元一次方程- 解得到的一元一次方程。

- 对于8x = 24，解得x = 3。

4. 步骤四：代入求解另一个未知数- 将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。

- 把x = 3代入3x+2y = 11，得到3×3+2y = 11，即9 + 2y=11，2y=2，解得y = 1。

5. 步骤五：检验答案- 把求出的x和y的值代入原方程组的两个方程中，看等式是否成立。

- 对于方程组cases(3x+2y = 115x - 2y=13)，当x = 3，y = 1时，3×3+2×1=9 + 2=11，5×3-2×1 = 15-2=13，等式成立。