第99专题训练 归纳推理与类比推理一、基础知识: (一)归纳推理:1、归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理2、处理归纳推理的常见思路:(1)利用已知条件,多列出(或计算出)几个例子,以便于寻找规律(2)在寻找规律的过程中,要注意观察哪些地方是不变的(形成通式的结构),哪些地方是变化的(找到变量),如何变化(变量变化的规律)(3)由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形,看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型: (1)函数的迭代:设f是D D→的函数,对任意x D ∈,记()()()()()()()()()()()()0121,,,n n f x x f x f x f x f f x f x f f x +⎡⎤====⎡⎤⎣⎦⎣⎦,则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代；对于一些特殊的函数解析式,其()()n f x 通常具备某些特征(特征与n )有关。
在处理此类问题时,要注意观察解析式中项的次数,式子结构以及系数的特点,以便于从具体例子中寻找到规律,得到()()n fx 的通式(2)周期性:若寻找的规律呈现周期性,则可利用函数周期性(或数列周期性)的特点求出某项或分组(按周期分组)进行求和。
(3)数列的通项公式(求和公式):从数列所给的条件中,很难利用所学知识进行变形推导,从而可以考虑利用条件先求出几项,然后找到规律,猜出数列的通项公式(求和公式)(4)数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项。
对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。
横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示,其中i 代表行,j 代表列。
例如:34a 表示第3行第4列。
在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前n 行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列。
(二)类比推理:1、类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理(简称类比)2、常见的类比类型及处理方法: (1)运算的类比:通常是运算级数相对应: ① 加法↔乘法,② 数乘(系数与项的乘法)↔指数幂 ③ 减法↔除法(2)运算律的类比:在数学中的其它领域,如果满足加法,乘法的交换律,以及乘法的分配律,则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。
例如 ①在向量数量积的运算中,满足交换律与分配律,则:代数中的平方差公式:()()22a b a b a b -=+-,和差完全平方公式:()2222a b a ab b ±=±+均可推广到向量数量积中:()()22a b a b a b -=+-,()2222a ba ab b ±=±⋅+②在复数的运算中,满足交换律与分配律,则实数中的运算公式可推广到复数中(甚至是二项式定理)(3)等差数列与等比数列的类比:等差数列的性质通常伴随着一,二级运算(加减,数乘),等比数列的性质通常伴随着二,三级运算(乘除,乘方)。
所以在某些性质中体现出运算上的类比。
例如:设{}n a 为等差数列,公差为d ；{}n b 为等比数列,公比为q ,则① 递推公式:11n n n nb a a d q b ++-=↔= ② 通项公式:()1111n n n a a n d b b q-=+-↔=⋅③ 双项性质:m n p q m n p q m n p q a a a a m n p q b b b b +=+⇔+=+↔+=+⇔= ④ 等间隔取项,在数列{}n a ,{}n b 中等间隔的取项: 则12,,,m k k k a a a 成等差数列12,,,m k k k b b b ↔ 成等比数列(4)维度的类比:平面几何(二维)的结论与立体几何(三维)的结论进行类比,当维度升高时,涉及的要素也将维度升高,例如:①位置关系:平面中的线的关系↔空间中的面的关系,线所成的角↔线面角或二面角, ②度量:线段长度↔图形的面积,图形面积↔几何体体积,点到线的距离↔点到平面距离③衍生图形:内切圆↔内切球,外接圆↔外接球,面对角线↔体对角线(5)平面坐标与空间坐标的类比:平面直角坐标系坐标(),x y ↔空间直角坐标系坐标(),,x y z ,在有些坐标运算的问题中,只需加上竖坐标的运算即可完成推广,例如: ① 线段中点坐标公式:平面:设()()1122,,,A x y B x y ,则AB 中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭空间:设()()111222,,,,,A x y z B x y z ,则AB 中点121212,,222x x y y z z M +++⎛⎫ ⎪⎝⎭② 两点间距离公式:平面:设()()1122,,,A x y B x y ,则AB =空间:设()()111222,,,,,A x y z B x y z ,则AB =3、同一个命题,不同的角度类比得到的结论可能不同,通常类比只是提供一个思路与方向,猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。
在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论 二、典型例题:例1:已知()x x f x e=,定义()()()()()()'''1211,,,n n f x f x f x f x f x f x +===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ,经计算()()()123123,,,,x x x x x xf x f x f x e e e---=== 照此规律,则()20151f =( )A. 2015-B. 2015C. 2014eD.2014e-思路:由定义可知:()n f x 即为()1n f x -的导函数,通过所给例子的结果可以推断出()()1nn x x n f x e -=-,从而()20152015x x f x e -=,所以()201520141f e= 答案:C例2:蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,第六幅图的蜂巢总数为( ) A.61 B.90 C.91 D.127思路:从所给图中可发现第n 个图可以视为在前一个图的基础上,外面围上一个正六边形,且这个正六边形的每条边有n 个小正方形,设第n 个图的蜂巢总数为()f n ,则可知()f n 比()1f n -多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。
即66n - (每条边n 个,其中顶点被计算了两次,所以要减6),所以有()()()161f n f n n --=-,联想到数列中用到的累加法,从而由()()()()21612133f n f n n n n -=⨯-+-++=-⎡⎤⎣⎦,且()11f = 则()2331f n n n =-+。
代入6n =可得()263636191f =⋅-⨯+=答案:C例3:将正整数排成数阵(如图所示),则数表中的数字2014出现在( )A.第44行第78列B.第45行第78列C.第44行第77列D.第45行第77列思路:从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数,即第k 行最后一个数为2k ,所以考虑离2014较近的完全平方数:22441936,452025==,所以2014位于第45行,因为1936是第44行的最后一个数,所以2014为第45行中第()2014193678-=个数,即位于第45行第78列 答案:B例4:已知结论:“在ABC 中,各边和它所对角的正弦比相等,即sin sin sin a b cA B C==”,若把该结论推广到空间,则结论为:“在三棱锥A BCD -中,侧棱AB 与平面ACD ,平面BCD 所成的角为,αβ,则有( )A.sin sin BC AD αβ= B.sin sin AD BCαβ=C.sin sin BCD ACD S S αβ=D.sin sin ACD BCD S Sαβ= 思路:本题为维度推广题,平面中的线段所成的夹角推广为线面角,所以可将正弦定理的边长(一维度量)类比推广为面积(二维度量),正弦定理中为角所对的边长,则在三棱锥中推广为线面角所对的侧面面积,即α所对的侧面为平面BCD ,β所对的侧面为平面ACD ,所以猜测sin sin BCD ACDS S αβ=,再考虑证明其正确性。
证明过程如下: 证明:分别过,B A 作平面ACD ,平面BCD 的垂线,垂足分别为,E F由线面角的定义可知:,BAE ABF αβ∠=∠=11sin 33B ACD ACDACD V SBE S AB α-∴=⋅⋅=⋅⋅⋅ 同理:11sin 33A BCD BCD BCD V S AE S AB β-∴=⋅⋅=⋅⋅⋅11sin sin sin sin 33ACD BCD ACD BCDS AB S AB S S αβαβ∴⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⇒⋅=⋅sin sin BCD ACDS S αβ∴=得证 答案:C例5:三角形的面积()12S a b c r =++⋅,其中,,a b c 为其边长,r 为内切圆半径,利用类比法可以得出四面体的体积为( ) A.()123412V S S S S r =+++⋅(其中1234S S S S +++分别为四个面的面积,r 为内切球的半径)B. 13V S h =⋅(S 为底面面积,h 为四面体的高) C. ()123413V S S S S r =+++⋅(其中1234S S S S +++分别为四个面的面积,r 为内切球的半径) D. ()13V ab bc ac h =++⋅(,,a b c 为底面边长,h 为四面体的高) 思路:本题为维度题,在三角形中,面积依靠内切圆半径与边长求解。
则在四面体中,内切圆类比成内切球,边长类比为面积。
所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关,即在A,C 中挑选。
考虑在三角形中,可通过连接内心与各顶点,将三角形分割为三个小三角形,底边为各边边长,高均为半径r ,所以面积()12S a b c r =++⋅,其中系数12来源于三角形面积公式。
进而类比到四面体中,可通过连接内切球的球心与各顶点,将四面体分割为4个小四面体,以各面为底面,内切球半径为高。
从而()123413V S S S S r =+++⋅。
