中考数学几何图形综合复习
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2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练(附答案)1.如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,直线AE,BD交于点F.(1)如图1,当A,C,D三点在同一直线上时,∠AFB的度数为,线段AE与BD的数量关系为.(2)如图2,当△ECD绕点C顺时针旋转α(0°≤α<360°)时,(1)中的结论是否还成立?若不成立,请说明理由;若成立,请就图2给予证明.(3)若AC=4,CD=3,当△ECD绕点C顺时针旋转一周时,请直接写出BD长的取值范围.2.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E两点分别在AC、BC上,且DE∥AB,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.(1)问题发现:当α=0°时,的值为;(2)拓展探究:当0°≤α<360°时,若△EDC旋转到如图2的情况时,求出的值;(3)问题解决:当△EDC旋转至A、B、E三点共线时,若CE=5,AC=4,直接写出线段AD的长.3.已知:如图1,线段AD=5,点B从点A出发沿射线AD方向运动,以AB为底作等腰△ABC,使得AC=BC=AB.(1)如图2,当AB=10时,求证:CD⊥AB;(2)当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时,求BC的长;(3)当AB>5时,在线段BC上是否存在点E,使得△BDE与△ACD全等,若存在,求出BC的长;若不存在,请说明理由;(4)作点A关于直线CD的对称点A′,连接CA′当CA′∥AB时,CA′=(请直接写出答案).4.如图1,在△ABC中,AE⊥BC于点E,AE=BE,D是AE上的一点,且DE=CE,连接BD,CD.(1)试判断BD与AC的位置关系是:;数量关系是:;(2)如图2,若将△DCE绕点E旋转一定的角度后,试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由;(3)如图3,若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变.①试猜想BD与AC的数量关系为:;②你能求出BD与AC的夹角度数吗?如果能,请直接写出夹角度数;如果不能,请说明理由.5.如图,平面直角坐标系中O为原点,Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上,斜边BC 在x轴上,已知B、C两点关于y轴对称,且C(﹣8,0).(1)请直接写出A、B两点坐标;(2)动点P在线段AB上,横坐标为t,连接OP,请用含t的式子表示△POB的面积;(3)在(2)的条件下,当△POB的面积为24时,延长OP到Q,使得PQ=OP,在第一象限内是否存在点D,使得△OQD是等腰直角三角形,如果存在,求出D点坐标;如果不存在,请说明理由.6.如图1,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,点D在AB边的延长线上,且CD =AB.(Ⅰ)求BD的长度;(Ⅱ)如图2,将△ACD绕点C逆时针旋转α(0°<α<360°)得到△A'CD'.①若α=30°,A'D'与CD相交于点E,求DE的长度;②连接A'D、BD',若旋转过程中A'D=BD'时,求满足条件的α的度数.(Ⅲ)如图3,将△ACD绕点C逆时针旋转α(0°<α<360°)得到△A'CD',若点M 为AC的中点,点N为线段A'D'上任意一点,直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围.7.如图①,将两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(0,+1),点B(+1,0),点C(0,1),点D(1,0).(Ⅰ)求证:AC=BD;(Ⅱ)如图②,现将△OCD绕点O顺时针方向旋转,旋转角为α(0°<α<180°),连接AC,BD,这一过程中AC和BD是否仍然保持相等?说明理由;当旋转角α的度数为时,AC所在直线能够垂直平分BD;(Ⅲ)在(Ⅱ)的情况下,将旋转角α的范围扩大为0°<α<360°,那么在旋转过程中,求△BAD的面积的最大值,并写出此时旋转角α的度数.(直接写出结果即可)8.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,过点A作直线l平行于BC,点D是直线l上一动点,连接CD,射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E.(1)如图1,若α=60°,当点E在线段AB上时,请直接写出线段AC,AD,AE之间的数量关系,不用证明;(2)如图2,若α=60°,当点E在线段BA的延长线上时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请写出正确结论,并证明.(3)如图3,若α=90°,BC=6,AD=,请直接写出AE的长.9.有一根直尺短边长4cm,长边长10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长为16cm,如图甲,将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合,且点D 与点A重合.将直尺沿射线AB方向平移,如图乙,设平移的长度为xcm,且满足0≤x ≤12,直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2.(1)当x=0cm时,S=;当x=12cm时,S=.(2)当0<x<8(如图乙、图丙),请用含x的代数式表示S.(3)是否存在一个位置,使重叠部分面积为28cm2?若存在求出此时x的值.10.如图①,C为线段BD上的一点,BC≠CD,分别以BC,BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE,连接AE,F,G,H分别是BC,AE,CD的中点,连接FG,GH,FH.(1)△FGH的形状是;(2)将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转,其他条件不变,(1)的结论是否成立?结合图②说明理由;(3)若BC=2,CD=4,将△CDE绕点C旋转一周,当A,E,D三点共线时,直接写出△FGH的周长.11.已知,射线AB∥CD,P是直线AC右侧一动点,连接AP,CP,E是射线AB上一动点,过点E的直线分别与AP,CP交于点M,N,与射线CD交于点F,设∠BAP=∠1,∠DCP=∠2.(1)如图1,当点P在AB,CD之间时,求证:∠P=∠1+∠2;(2)如图2,在(1)的条件下,作△PMN关于直线EF对称的△P'MN,求证:∠3+∠4=2(∠1+∠2);(3)如图3,当点P在AB上方时,作△PMN关于直线EF对称的△P'MN,(1)(2)的结论是否仍然成立,若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出∠P,∠1,∠2之间数量关系,以及∠3,∠4与∠1,∠2之间数量关系.12.(1)如图1,平面直角坐标系中A(0,a),B(a,0)(a>0).C为线段AB的中点,CD⊥x轴于D,若△AOB的面积为2,则△CDB的面积为.(2)如图2,△AOB为等腰直角三角形,O为直角顶点,点E为线段OB上一点,且OB=3OE,C与E关于原点对称,线段AB交x轴于点D,连CD,若CD⊥AE,试求的值.(3)如图3,点C、E在x轴上,B在y轴上,OB=OC,△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形,直线CB、ED交于点A,CD交y轴于点F,试探究:是否为定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是,请求出其取值范围.13.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.(1)如图1,点P,Q在线段BC上,AP=AQ,∠BAP=15°,求∠AQB的度数;(2)点P,Q在线段BC上(不与点B,C重合),AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.①依题意将图2补全;②用等式表示线段BP,AP,PC之间的数量关系,并证明.14.【问题背景】如图1,在Rt△ABC中,AB=AC,D是直线BC上的一点,将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE,连接CE,求证:△ABD≌△ACE;【尝试应用】如图2,在图1的条件下,延长DE,AC交于点G,BF⊥AB交DE于点F,求证:FG=AE;【拓展创新】如图3,A是△BDC内一点,∠ABC=∠ADB=45°,∠BAC=90°,BD =,直接写出△BDC的面积为.15.在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点,点C与点A关于y轴对称,点P是x轴正半轴上C点右侧一动点.(1)当2a2+4ab+4b2+2a+1=0时,求A,B的坐标;(2)当a+b=0时,①如图1,若D与P关于y轴对称,PE⊥DB并交DB延长线于E,交AB的延长线于F,求证:PB=PF;②如图2,把射线BP绕点B顺时针旋转45o,交x轴于点Q,当CP=AQ时,求∠APB的大小.16.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上,DE、DF分别与AB相交于点G、H.(1)如图1,当点F与点C重合时,点D恰好在斜边AB上,求△DEF的周长;(2)如图2,在△DEF作平行移动的过程中,图中是否存在与线段CF始终相等的线段?如果存在,请指出这条线段,并加以证明;如果不存在,请说明理由;(3)假设C点与F点的距离为x,△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式,并写出定义域.17.在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=2,点D为边AC的中点(如图),点P、Q 分别是射线BC、BA上的动点,且BQ=BP,联结PQ、QD、DP.(1)求证:PQ⊥AB;(2)如果点P在线段BC上,当△PQD是直角三角形时,求BP的长;(3)将△PQD沿直线QP翻折,点D的对应点为点D',如果点D'位于△ABC内,请直接写出BP的取值范围.18.定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,求BN的长.(2)如图2,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M,N为边AB上两点满足∠MCN=45°,求证:点M,N是线段AB的勾股分割点;阳阳同学在解决第(2)小题时遇到了困难,陈老师对阳阳说:要证明勾股分割点,则需设法构造直角三角形,你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试.请根据陈老师的提示完成第(2)小题的证明过程.19.问题背景如图(1),△ABD,△AEC都是等边三角形,△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到,请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小.尝试应用如图(2),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC,AB为边,作等边△ACD和等边△ABE,连接ED,并延长交BC于点F,连接BD.若BD⊥BC,求的值.拓展创新如图(3),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP,连接PB,直接写出PB的最大值.20.【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题.一块直角三角形木板,它的一条直角边AC长为1.5m,面积为1.5m2.甲乙两人分别按图1、图2把它加工成一个正方形的桌面,请说明哪个正方形的面积较大.【解决问题】(1)记图1、图2中的正方形面积分别为S1,S2,则S1S2.(填“>”、“<”或“=”).【问题变式】若木板形状是锐角三角形A1B1C1.某数学兴趣小组继续思考:按图3、图4、图5三种方式加工,分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5,哪一个正方形的面积最大呢?(2)若木板的面积S仍为1.5m2.小明:记图3中的正方形为“沿B1C1边的内接正方形”,图4中的正方形为“沿A1C1边的内接正方形”,依此类推.以图3为例,求“沿B1C1边的内接正方形DEFG”的面积.设EF =x ,B 1C 1=a ,B 1C 1边上的高A 1H =h ,则S =ah .由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x =;同理可得图4、图5中正方形边长,再比较大小即可.小红:若要内接正方形面积最大,则x 最大即可;小莉:同一块木板,面积相同,即S 为定值,本题中S =1.5,因此,只需要a +h 最小即可.我们可以借鉴以前研究函数的经验,令y =a +h =a +=a +(a >0).下面来探索函数y =a +(a >0)的图象和性质.①根据如表,画出函数的图象:(如图6)a… 1 2 3 4 … y … 12 9 6 4 3 3 4 4…②观察图象,发现该函数有最小值,此时a 的取值 ;A .等于2;B .在1~之间;C .在~之间;D .在~2之间.(3)若在△A 1B 1C 1中(如图7),A 1B 1=5,A 1C 1=,高A 1H =4.①结合你的发现,得到S 3、S 4、S 5的大小关系是 (用“<”连接). ②小明不小心打翻了墨水瓶,已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损,请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1.(保留作图痕迹,不写作法)参考答案1.解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠BAC=∠ACB=60°,∵△ECD是等边三角形,∴CE=CD,∠DCE=60°,∴∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,∠CAE=∠CBD,在△ABF中,∠AFB=180°﹣(∠BAF+∠ABF)=180°﹣(∠BAF+∠CBF+∠ABC)=180°﹣(∠BAC+∠ABC)=180°﹣(60°+60°)=60°,∴∠AFB=60°,故答案为:∠AFB=60°,AE=BD;(2)(1)中结论仍成立,证明:∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠BAC=∠ACB=60°,∵△ECD是等边三角形,∴CE=CD,∠DCE=60°,∴∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,∠CAE=∠CBD,∵∠AFB+∠CBD=∠ACB+∠CAE,∴∠AFB=∠ACB,∵∠ACB=60°,∴∠AFB=60°;(3)在△BCD中,BC+CD>BD,BC﹣CD<BD,∴点D在BC的延长线上时,BD最大,最大为4+3=7,当点D在线段BC上时,BD最小,最小为4﹣3=1,∴1≤BD≤7,即BD长的取值范围为1≤BD≤7.2.解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,∠B=45°,∵DE∥AB,∴∠DEC=∠B=45°,∠CDE=∠A=90°,∴△DEC为等腰直角三角形,∴cos∠C==,∵DE∥AB,∴==,故答案为:;(2)由(1)知,△BAC和△CDE均为等腰直角三角形,∴==,又∠BCE=∠ACD=α,∴△BCE∽△ACD,∴==,即=;(3)①如图3﹣1,当点E在线段BA的延长线上时,∵∠BAC=90°,∴∠CAE=90°,∴AE===3,∴BE=BA+AE=4+3=7;由(2)知,=.故AD=.②如图3﹣2,当点E在线段BA上时,AE===3,∴BE=BA﹣AE=4﹣3=1,由(2)知,=.故AD=.综上所述,AD的长为或,故答案为:或.3.解:(1)如图2中,∵AB=10,AD=5,∴AD=DB,∵CA=CB,AD=DB,∴CD⊥AB.(2)如图1中,当AB<AD时,BC=BD.设AB=10k,则AC=BC=6k,∵AD=5,∴10k+6k=5,∴k=,∴BC=6k=.如图1﹣1中,当AB>AD时,BC=BD,同法可得10k﹣6k=5,解得k=,∴BC=6k=,综上所述,BC的值为或.(3)如图3﹣1中,当△ADC≌△BED时,BD=AC=BC,由(2)可知,BC=.如图3﹣2中,当△ADC≌△BCE时,点E与C重合,此时AB=10k=10,∴k=1,BC=6k=6.综上所述,BC的值为或6.(4)如图3中,当CA′∥AB时,∵CA′∥AB,∴∠ADC=∠A′CD,由翻折可知,∠A′CD=∠ACD,∴∠ACD=∠ADC,∴AC=AD=5,∴CA′=CA=5.故答案为5.4.解:(1)结论:BD=AC,BD⊥AC.理由:延长BD交AC于F.∵AE⊥CB,∴∠AEC=∠BED=90°.在△AEC和△BED中,,∴△AEC≌△BED(SAS),∴AC=BD,∠CAE=∠EBD,∵∠AEC=90°,∴∠ACB+∠CAE=90°,∴∠CBF+∠ACB=90°,∴∠BFC=90°,∴AC⊥BD,故答案为:BD⊥AC,BD=AC.(2)如图2中,不发生变化,设DE与AC交于点O,BD与AC交于点F.理由是:∵∠BEA=∠DEC=90°,∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED,∴∠BED=∠AEC,在△BED和△AEC中,,∴△BED≌△AEC(SAS),∴BD=AC,∠BDE=∠ACE,∵∠DEC=90°,∴∠ACE+∠EOC=90°,∵∠EOC=∠DOF,∴∠BDE+∠DOF=90°,∴∠DFO=180°﹣90°=90°,∴BD⊥AC;(3)①如图3中,结论:BD=AC,理由是:∵△ABE和△DEC是等边三角形,∴AE=BE,DE=EC,∠BEA=∠DEC=60°,∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED,∴∠BED=∠AEC,在△BED和△AEC中,,∴△BED≌△AEC(SAS),∴BD=AC,故答案为:BD=AC.②能;设BD与AC交于点F,由①知,△BED≌△AEC,∴∠BDE=∠ACE,∴∠DFC=180°﹣(∠BDE+∠EDC+∠DCF)=180°﹣(∠ACE+∠EDC+∠DCF)=180°﹣(60°+60°)=60°,即BD与AC的夹角中的锐角的度数为60°.5.解:(1)∵B、C两点关于y轴对称,且C(﹣8,0),∴点B(8,0),BO=CO,又∵AO⊥BC,∴AC=AB,∵∠CAB=90°,AC=AB,CO=BO,∴AO=CO=BO=8,∴点A(0,8);(2)如图1,过点P作PM⊥OB于M,∵点P的横坐标为t,∴OM=t,∴MB=8﹣t,∵∠CAB=90°,AC=AB,∴∠ABO=45°,∴∠BPM=∠ABO=45°,∴PM=MB=8﹣t,∴S△POB=×OB×PM=×8×(8﹣t)=32﹣4t;(3)∵△POB的面积为24,∴32﹣4t=24,∴t=2,∴点P(2,6),如图2,当点Q为直角顶点时,过点Q作HG⊥y轴,过点D作DG⊥HG于点G,∵PQ=OP,点P(2,6),∴点Q(4,12),∵∠OQD=90°=∠OHQ=∠QGD,∴∠OQH+∠DQG=90°=∠OQH+∠HOQ,∴∠HOQ=∠GQD,又∵OQ=QD,∴△OHQ≌△QGD(AAS),∴OH=QG=12,HQ=GD=4,∴HG=16,∴点D(16,8);当点D为直角顶点时,过点Q作HG⊥y轴,过点D作DG⊥HG于点G,过点D作DN ⊥y轴于N,同理可求△QDG≌△ODN,∴ON=QG,DN=DG,∵DN=QG+HQ=4+QG,DG=HN=12﹣ON,∴ON=QG=4,DN=DG=8,∴点D(8,4),综上所述:点D(16,8)或(8,4).6.解:(Ⅰ)如图1,过点C作CH⊥AB于H,∵∠ACB=90°,AC=BC=6,CH⊥AB,∴AB=CD=6,CH=BH=AB=3,∠CAB=∠CBA=45°,∴DH===3,∴BD=DH﹣BH=3﹣3;(Ⅱ)①如图2,过点E作EF⊥CD'于F,∵将△ACD绕点C逆时针旋转α(0°<α<360°)得到△A′CD′,∴CD=CD'=6,∠DCD'=30°=∠CDA=∠CD'A',∴CE=D'E,又∵EF⊥CD',∴CF=D'F=3,EF=,CE=2EF=2,∴DE=DC﹣CE=6﹣2;②如图2﹣1,∵∠ABC=45°,∠ADC=30°,∴∠BCD=15°,∴∠ACD=105°,∵将△ACD绕点C逆时针旋转α(0°<α<360°)得到△A′CD′,∴AC=A'C,CD=CD',∠ACA'=∠DCD'=α,∴CB=CA',又∵A′D=BD′,∴△A'CD≌△BCD'(SSS),∴∠A'CD=∠BCD',∴105°﹣α=15°+α,∴α=45°;如图2﹣2,同理可证:△A'CD≌△BCD',∴∠A'CD=∠BCD',∴α﹣105°=360°﹣α﹣15°,∴α=225°,综上所述:满足条件的α的度数为45°或225°;(Ⅲ)如图3,当A'D'⊥AC时,N是AC与A'D'的交点时,MN的长度最小,∵∠A'=45°,A'D'⊥AC,∴∠A'=∠NCA'=45°,∴CN=A'N=3,∵点M为AC的中点,∴CM=AC=3,∴MN的最小值=NC﹣CM=3﹣3;如图4,当点A,点C,点D'共线,且点N与点D'重合时,MN有最大值,此时MN=CM+CN=6+3,∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3.7.解:(Ⅰ)∵点A(0,+1),点B(+1,0),点C(0,1),点D(1,0),∴OA=+1,OB=+1,OC=1,OD=1,∴AC=OA﹣OC=+1﹣1=,BD=+1﹣1=,∴AC=BD;(Ⅱ)由题意知,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠AOB﹣∠COB=90°﹣∠COB,∠BOD=∠COD﹣∠COB=90°﹣∠COB,∴∠AOC=∠BOD,∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD,∠OAC=∠OBD,如图1(注:点C在x轴上,为了不要出现误解,点C没画在x轴上),延长AC交BD 于D,连接BC,在Rt△AOB中,OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=45°,∴∠CAB+∠ABD=∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD=∠OAB+∠OBA=90°,∴AC⊥BD,∵AC垂直平分BD,∴CD=BC,设点C的坐标为(m,n),∴m2+n2=1①,由旋转知,CD==,∵B(+1,0),[m﹣(+1)]2+n2=2②,联立①②解得,m=1,n=0,∴点C在x轴上,∴旋转角为∠AOC=90°,故答案为:90°;(Ⅲ)如图2,∵OA=OB=+1,∴AB=OA=2+,过点O作OH⊥AB于H,∴S△AOB=OA•OB=AB•OH,∴OH====,过点D作DG⊥AB于G,S△ABD=AB•DG=(2+)DG,要使△ABD的面积最大,则DG最大,由旋转知,点D是以O为圆心,1为半径的圆上,∴点D在HO的延长线上时,DG最大,即DG的最大值为D'H=OD'+OH=1+=,∴S△ABD最大=AB•D'H=(2+)×=,在Rt△AOB中,OA=OB,OH⊥AB,∴∠BOH=45°,∴旋转角∠BOD'=180°﹣45°=135°.8.解:(1)AC=AE+AD.证明:连接CE,∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E,α=60°,∵AB=AC,∠BAC=60°,∴CB=CA=AB,∠ACB=60°,∵AD∥BC,∴∠DAF=∠ACB=60°,∵∠FDC=∠EAF=60°,∠AFE=∠DFC,∴△AFE∽△DFC,∴,∴,∵∠AFD=∠EFC,∴△AFD∽△EFC,∴∠DAF=∠FEC=60°,∴△DEC是等边三角形,∴CD=CE,∠ECD=60°,∴∠BCE=∠ACD,∴△BCE≌△ACD(SAS),∴BE=AD,∴AB=AE+BE=AE+AD,∴AC=AE+AD;(2)不成立,AD=AC+AE.理由如下:在AC的延长线上取点F,使AF=AD,连接DF,当α=60°时,∠BAC=∠EDC=60°,∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC∠BCA=60°,∵l∥BC,∴∠DAC=∠BCA=60°,∠EAD=∠ABC=60°,∵AF=AD,∴∠ADF=∠AFD=60°,AD=FD=AF,∴∠EDC=∠ADF=60°,∴∠EDC﹣∠ADC=∠ADF﹣∠ADC,即∠EDA=∠CDF,∵AD=FD,∠EAD=∠AFD=60°,∴△EAD≌△CFD(ASA),∴AE=CF,∴AD=AF=AC+CF=AC+AE;(3)AE的长为或.当点E在线段AB上,过点D作直线l的垂线,交AC于点F,如图3所示.∵△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,∴∠ACB=∠B=45°.∵直线l∥BC,∴∠DAF=∠ACB=45°.∵FD⊥直线l,∴∠DAF=∠DF A=45°.∴AD=FD.∵∠EDC=∠ADF=90°,∴∠ADE=∠FDC.由(1)可知DC=DE,∴△ADE≌△FDC(SAS),∴AE=CF.∵AD=,∴AF=2,∵BC=6,∴AC=AB=3,∴AE=AC﹣AF=3﹣2.当点E在线段AB的延长线上时,如图4所示.过点D作直线l的垂线,交AB于点M,同理可证得△ADC≌△MDE(SAS),∴AC=EM=3,∵AD=,∴AM=2,∴EM+AM=3+2.综合以上可得AE的长为3+2或3﹣2.9.解:(1)当x=0cm时,S=4×4÷2=8cm2;当x=12cm时,S=4×4÷2=8cm2.故答案为:8cm2;8cm2.(2)①当0<x<4时,∵△CAB为等腰直角三角形,∴∠CAB=45°,∴△ADG和△AEF都是等腰直角三角形,∴AD=DG=x,AE=EF=x+4,∴梯形GDEF的面积=×(GD+EF)×DE=×(x+x+4)×4=4x+8.②如图所示:过点C作CM⊥AB于点M.当4<x<8时,梯形GDMC的面积=(GD+CM)×DM=(x+8)(8﹣x)=﹣x2+32,梯形CMEF的面积=(EF+CM)×ME=[16﹣(x+4)+8][(x+4)﹣8]=(20﹣x)(x﹣4)=﹣x2+12x﹣40,S=梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积=(﹣x2+32)+(﹣x2+12x﹣40)=﹣x2+12x ﹣8.综合以上可得,S=.(3)当0<x<4时s最大值小于24,当x=4时,S=24cm2,所以当S=28cm2时,x必然大于4,即﹣x2+12x﹣8=28,解得x1=x2=6,当x=6cm时,阴影部分面积为28cm2.当8<≤12时,由对称性可知s的最大值也是小于24,不合题意舍去.∴当x=6cm时,阴影部分面积为28cm2.10.解:(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴∠B=∠DCE=60°,AB=BC,CE=CD,∴CE∥AB,∵BC≠CD,∴CE≠AB,∴四边形ABCE是梯形,∵点F,G分别是BC,AE的中点,∴FG是梯形ABCE的中位线,∴FG∥AB,∴∠GFC=60°,同理:∠GHB=60°,∴∠FGH=180°﹣∠GFC﹣∠GHB=60°=∠GFC=∠GHB,∴△FGH是等边三角形,故答案为:等边三角形;(2)成立,理由如下:如图1,取AC的中点P,连接PF,PG,∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴AB=BC,CE=CD,∠BAC=∠ACB=∠ECD=∠B=60°,又F,G,H分别是BC,AE,CD的中点,∴FP=AB,FC=BC,CH=CD,PG=CE,PG∥CE,PF∥AB,∴FP=FC,PG=CH,∠GPC+∠PCE=180°,∠FPC=∠BAC=60°,∠PFC=∠B=60°,∴∠FPG=∠FPC+∠GPC=60°+∠GPC,∠GPC=180°﹣∠PCE,∴∠FCH=360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE=360°﹣60°﹣60°﹣(180°﹣∠GPC)=60°+∠GPC,∴∠FPG=∠FCH,∴△FPG≌△FCH(SAS),∴FG=FH,∠PFG=∠CFH,∴∠GFH=∠GFC+∠CFH=∠GFC+∠PFG=∠PFC=60°,∴△FGH为等边三角形;(3)①当点D在AE上时,如图2,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AC=BC=2,∵△CDE是等边三角形,∴∠CED=∠CDE=60°,CE=CD=DE=4,过点C作CM⊥AE于M,∴DM=EM=DE=2,在Rt△CME中,根据勾股定理得,CM===2,在Rt△AMC中,根据勾股定理得,AM===4,∴AD=AM﹣DM=4﹣2=2,∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB,∴∠ACD=∠BCE,连接BE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴BE=AD=2,∠ADC=∠BEC,∵∠ADC=180°﹣∠CDE=120°,∴∠BEC=120°,∴∠BEA=∠BEC﹣∠CED=60°,过点B作BN⊥AE于N,∴∠BNE=90°,在Rt△BNE中,∠EBN=90°﹣∠BEA=30°,∴EN=BE=1,∴BN=EN=,DN=DE﹣EN=3,连接BD,根据勾股定理得,BD===2,∵点H是CD的中点,点F是BC的中点,∴FH是△BCD的中位线,∴FH=BD=,由(2)知,△FGH是等边三角形,∴△FGH的周长为3FH=3,②当点D在AE的延长线上时,如图3,同①的方法得,FH=,∴△FGH的周长为3FH=3,即满足条件的△FGH的周长为3或3.11.(1)证明:如图1中,过点P作PT∥AB.∵AB∥CD,AB∥PT,∴AB∥PT∥CD,∴∠1=∠APT,∠2=∠CPT,∴∠APC=∠APT+∠CPT=∠1+∠2.(2)证明:如图2中,连接PP′.∵∠3=∠MPP′+∠MP′P,∠4=∠NPP′+∠NP′P,∠APC=∠MP′N,∴∠3+∠4=2∠APC,∵∠APC=∠1+∠2,∴∠3+∠4=2(∠1+∠2).(3)结论不成立.结论是:∠P=∠2﹣∠1,∠4﹣∠3=2(∠2﹣∠1).理由:如图3中,设PC交AB于E,AP交NP′于F.∵AB∥CD,∴∠PEB=∠2,∵∠PEB=∠1+∠P,∴∠2=∠P+∠1,∴∠P=∠2﹣∠1.∵∠4=∠P+∠PFN,∠PFN=∠3+∠P′,∠P=∠P′,∴∠4=∠P+∠3+∠P,∴∠4﹣∠3=2∠P=2(∠2﹣∠1),∴∠4﹣∠3=2(∠2﹣∠1).12.解:(1)∵A(0,a),B(a,0)(a>0),∴OA=a,OB=a,∵△AOB的面积为2,∴S△AOB=×a×a=2,∴a=2(负值舍去),∴A(0,2),B(2,0),∵C为线段AB的中点,∴C(1,1),∴OD=BD=CD=1,∴S△CDB=×1×1=.故答案为:.(2)连AC,过点D作DM⊥BC于M,∵△AOB是等腰直角三角形,∴AO⊥BO,AO=BO,∠B=∠OAB=45°,又CO=EO,∴AO是CE的垂直平分线,∴AE=AC,不妨设AE、CD交于F,AO、CD交于G,∴∠CGA=∠OAE+∠AFC=∠OCD+∠COA,∵∠AFC=∠COA=90°,∴∠OAE=∠OCD=∠OAC,又∵∠CAD=∠CAO+∠OAB=∠OCD+∠B=∠CDA,∴CD=CA=EA,∴△AOE≌△CMD(AAS),∴OE=DM,∴===3,∴=2;(3)=2,理由如下:作点C关于y轴的对称点N,连接BN,作DM∥BC交y轴于M,∵OB=OC=ON,∠BON=90°,∴△BON等腰直角三角形,∴∠BNO=∠BMD=45°,∴∠MBD=∠OBE+∠DBE=∠OBE+∠BOE=∠BEN,又∵BD=BE,∴△BMD≌△ENB(AAS),∴EN=BM,BN=DM=BC,又∵∠BFC=∠DFM,∠BCF=∠FDM,∴△BCF≌△MDF(AAS),∴BF=MF,∴CO﹣EO=NO﹣EO=NE=BM=2BF,即=2.13.解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°,∵∠APQ是△ABC的一个外角,∴∠APQ=∠B+∠BAP,∵∠BAP=15°,∴∠APQ=60°,∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQB=60°.(2)①图形如图2所示.②解:结论:PC2+BP2=2AP2.理由:连接MC.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠BAP=∠CAQ,∴△ABP≌△ACQ(SAS),∴BP=CQ,∵点Q关于直线AC的对称点为M,∴AQ=AM,CQ=CM,∠CAM=∠CAQ,∠ACM=∠ACQ=45°,∴AP=AM,∠B=∠ACM=45°,∠BAP=∠CAM,BP=CM,∴∠BAC=∠P AM=90°,在Rt△APM中,AP=AM,∠P AM=90°,∴PM=,∵∠ACQ=∠ACM=45°,∴∠PCM=90°,在Rt△PCM中,∠PCM=90°,∴PC2+CM2=PM2,∴PC2+BP2=2AP2.14.【问题背景】证明:如图1,∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠DAB=∠EAC,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS).【尝试应用】证明:如图2,过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K.∵DK⊥CD,BF⊥AB,∴∠BDK=∠ABK=90°,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠DBK=∠K=45°,∴DK=DB,∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE=135°,DB=EC=DK,∴∠ECG=45°,∵BF⊥AB,CA⊥AB,∴AG∥BF,∴∠G=∠DFK,在△ECG和△DKF中,,∴△ECG≌△DKF(AAS),∴DF=EG,∵DE=AE,∴DF+EF=AE,∴EG+EF=AE,即FG=AE.【拓展创新】解:如图3中,过点A作AE⊥AD交BD于E,连接CE..∵∠ADB=45°,∠DAE=90°,∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形,同法可证△ABD≌△ACE,∴CE=BD=2,∵∠AEC=∠ADB=45°,∴∠CED=∠CEB=90°,∴S△BDC=•BD•CE=×2×2=6.故答案为:6.15.解:(1)∵2a2+4ab+4b2+2a+1=0,∴(a+2b)2+(a+1)2=0,∵(a+2b)2≥0 (a+1)2≥0,∴a+2b=0,a+1=0,∴a=﹣1,b=,∴A(﹣1,0)B(0,).(2)①证明:如图1中,∵a+b=0,∴a=﹣b,∴OA=OB,又∵∠AOB=90°,∴∠BAO=∠ABO=45°,∵D与P关于y轴对称,∴BD=BP,∴∠BDP=∠BPD,设∠BDP=∠BPD=α,则∠PBF=∠BAP+∠BP A=45°+α,∵PE⊥DB,∴∠BEF=90°,∴∠F=90o﹣∠EBF,又∠EBF=∠ABD=∠BAO﹣∠BDP=45°﹣α,∴∠F=45o+α,∴∠PBF=∠F,∴PB=PF.②解:如图2中,过点Q作QF⊥QB交PB于F,过点F作FH⊥x轴于H.可得等腰直角△BQF,∵∠BOQ=∠BQF=∠FHQ=90°,∴∠BQO+∠FQH=90°,∠FQH+∠QFH=90°,∴∠BQO=∠QFH,∵QB=QF,∴△FQH≌△QBO(AAS),∴HQ=OB=OA,∴HO=AQ=PC,∴PH=OC=OB=QH,∴FQ=FP,又∠BFQ=45°∴∠APB=22.5°.16.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,∴AC=2,∠A=60°,∵△DEF是等边三角形,∴∠DCE=60°,∴∠ACD=30°,∴∠ADC=90°,∴CD=AC=3,∴△DEF的周长=9;(2)解:结论:CF=DG.理由:∵BC=6,EF=DF=DE=3,∴CF+BE=BC﹣EF=6﹣3=3,∵△DEF是等边三角形,∴∠DEF=60°,∵∠DEF=∠B+∠EGB,∴∠B=∠EGB=∠DGE=30°,∴EG=BE,∵EG+DG=CF+BE=3,∴CF=DG;(3)∵S△DEF=×32=,S△DGH=•GH•DH=•x•x=x2,y=S△DFE﹣S△DHG=﹣x2(0≤x≤3).17.解:(1)在Rt△ABC中,AC=2,BC=2,根据勾股定理得,AB===4,∴=,∵BQ=BP,∴=,∴,∵∠QBP=∠CBA,∴△BPQ∽△BAC,∴∠BQP=∠ACB=90°,∴PQ⊥AB;(2)∵点D是AC的中点,∴AD=CD=AC=1,由(1)知,PQ⊥AB,∴∠AQP=90°,∴∠PQD<90°,∵△PQD是直角三角形,∴①当∠DPQ=90°时,如图1,在Rt△ABC中,AC=2,AB=4,∴sin∠ABC==,∴∠ABC=30°,∴∠QPB=90°﹣∠ABC=60°,∴∠DPC=90°﹣∠BPQ=30°,∴CP===,∴BP=BC﹣CP=,②当∠PDQ=90°时,∴∠ADQ+∠PDC=90°,如图2,过Q作QE⊥AC于E,∴∠DEQ=90°=∠ACB,∴∠ADQ+∠DQE=90°,∴∠DQE=∠PDC,∴△EQD∽△CDP,∴,∴,设BP=t,则CP=BC﹣BP=2﹣t,在Rt△BQP中,BQ=BP cos30°=t,∴AQ=AB﹣BQ=4﹣t,在Rt△AEQ中,QE=AQ cos30°=(4﹣t)•=2﹣t,AE=AQ=2﹣t,∴DE=AD﹣AE=t﹣1,∴,∴t=或t=(大于2,舍去)∴BP=;即BP=或;(3);理由:如图3,①当点D'恰好落在边BC上时,由折叠知,PD'=PD,PQ⊥DD',由(1)知,PQ⊥AB,∴DD'∥AB,∴∠DD'C=∠ABC=30°,∴CD'=CD=,设BP=m,则CP=BC﹣BP=2﹣m,∴DP=D'P=CD'﹣CP=m﹣,在Rt△CDP中,根据勾股定理得,DP2=CP2+CD2,∴(m﹣)2=(2﹣m)2+1,∴m=,②当点D'落在D时,即PQ过点D,在Rt△CDP'中,∠P'=90°﹣∠DD'P'=30°,∴CP'===,∴BP'=BC+CP'=,综上:.18.(1)解:当MN最长时,BN===;当BN最长时,BN===,综合以上可得BN的长为或;(2)证明:如图,把△CBN绕点C逆时针旋转90°,得到△CAN',连接MN',∴△AN'C≌△BNC,∴CN'=CN,∠ACN'=∠BCN,∠CBN=∠CAN',∵∠MCN=45°,∴∠N'CA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°,∴∠MCN'=∠BCM,∴△MN'C≌△MNC(SAS),∴MN'=MN,∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠B=∠CAM=45°,∴∠CAN'=45°,∴∠MAN'=∠CAN'+∠CAM=45°+45°=90°,在Rt△MN'A中,AN'2+AM2=N'M2,∴BN2+AM2=MN2,∴点M,N是线段AB的勾股分割点.19.问题背景解:∵△ABD,△AEC都是等边三角形,∴∠BAD=60°,∠CAE=60°,AD=AB,AC=AE,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,∴∠DAC=∠BAE,∴△ACD≌△AEB(SAS),∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到,即旋转中心是点A,旋转方向是顺时针,旋转角是60°;尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形,∴AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE=60°,∴∠CAB=∠DAE,∴△ADE≌△ACB(SAS),∴∠ADE=∠ACB=90°,DE=CB,∵∠ADE=90°,∴∠ADF=90°,∵∠ADC=∠ACD=60°,∴∠DCF=∠CDF=30°,∴CF=DF,∵BD⊥BC,∴∠BDF=30°,∴BF=DF,设BF=x,则CF=DF=2x,DE=3x,∴;拓展创新∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上运动,取AB的中点D,连接CD,∴CD=AB=1,如图,过点A作AE⊥AB,且使AE=AD,连接PE,BE,∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP,∴∠P AC=90°,P A=AC,∵∠EAD=90°,∴∠P AE=∠CAD,∴△CAD≌△P AE(SAS),∴PE=CD=1,∵AB=2,AE=AD=1,∴BE===,∴BP≤BE+PE=+1,当且仅当P、E、B三点共线时取等号,∴BP的最大值为+1.20.解:(1)由AC长为1.5m,△ABC的面积为1.5m2,可得BC=2m,如图①,设加工桌面的边长为xcm,∵DE∥CB,∴△ADE∽△ACB,∴=,即=,解得:x=;如图②,设加工桌面的边长为ym,过点C作CM⊥AB,分别交DE、AB于点N、M,∵AC=1.5m,BC=2m,∴AB===2.5(m),∵△ABC的面积为1.5m2,∴CM=m,∵DE∥AB,∴△CDE∽△CAB,∴=,即=,解得:y=,∴x>y,即S1>S2,故答案为:>.(2)①函数图象如图6所示:②观察图象,发现该函数有最小值,此时a的取值~2之间.故选D.(3)①由(2)可知,S5<S4<S3.故答案为:S5<S4<S3.②如图7,△A1B1C1即为所求作.。
2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练(附答案)1.如图,已知∠DAC=90°,△ABC是等边三角形,点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合),连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,连接QB并延长交直线AD于E.(1)如图1,猜想∠QEP=;(2)如图2,若当∠DAC是锐角时,其他条件不变,猜想∠QEP的度数,并证明;(3)如图3,若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=6,求BQ的长.2.如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,AD为中线,将线段AC绕点A逆时针旋转90°,得到线段AE,连接BE交直线AD于点F,连接CF.(1)若∠BAC=30°,则∠FBC=°;(2)若∠BAC是钝角时,①请在图2中依题意补全图形,并标出对应字母;②探究图2中△BCF的形状,并说明理由;③若AB=5,BC=8,则EF=.3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在射线BC上(不与点B、点C重合),将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE,作射线BA与射线CE,两射线交于点F.(1)若点D在线段BC上,如图1,请直接写出CD与EF的关系.(2)若点D在线段BC的延长线上,如图2,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(3)在(2)的条件下,连接DE,G为DE的中点,连接GF,若tan∠AEC=,AB=,求GF的长.4.已知△ABC中,∠ABC=90°,将△ABC绕点B逆时针旋转90°后,点A的对应点为点D,点C的对应点为点E,直线DE与直线AC交于点F,连接FB.(1)如图1,当∠BAC<45°时,①求证:DF⊥AC;②求∠DFB的度数;(2)如图2,当∠BAC>45°时,①请依意补全图2;②用等式表示线段FC,FB,FE之间的数量关系,并证明.5.实验探究:如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,BD、CE延长线交于点P.【问题发现】(1)把△ABC绕点A旋转到图1,BD、CE的关系是(“相等”或“不相等”),请直接写出答案;【类比探究】(2)若AB=3,AD=5,把△ABC绕点A旋转,当∠EAC=90°时,在图中作出旋转后的图形,并求出此时PD的长;【拓展延伸】(3)在(2)的条件下,请直接写出旋转过程中线段PD的最小值为.6.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(0,3)与点B关于x轴对称,点C(n,0)为x轴的正半轴上一动点.以AC为边作等腰直角三角形ACD,∠ACD=90°,点D在第一象限内.连接BD,交x轴于点F.(1)如果∠OAC=38°,求∠DCF的度数;(2)用含n的式子表示点D的坐标;(3)在点C运动的过程中,判断OF的长是否发生变化?若不变求出其值,若变化请说明理由.7.[问题背景]如图1所示,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D为直线BC上的一个动点(不与B、C重合),连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连接EC.[问题初探]如果点D在线段BC上运动,通过观察、交流,小明形成了以下的解题思路:过点E作EF⊥BC交直线BC于F,如图2所示,通过证明△DEF≌△,可推证△CEF是三角形,从而求得∠DCE=°.[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动,如图3所示,求出∠DCE的度数.[拓展延伸]连接BE,当点D在直线BC上运动时,若AB=,请直接写出BE的最小值.8.如图,在等边△ABC中,点D为BC的中点,点E为AD上一点,连EB、EC,将线段EB绕点E顺时针旋转至EF,使点F落在BA的延长线上.(1)在图1中画出图形:①求∠CEF的度数;②探究线段AB,AE,AF之间的数量关系,并加以证明;(2)如图2,若AB=4,点G为AC的中点,连DG,将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN,直线BM、AN交于点P,连CP,在△CDG旋转一周过程中,请直接写出△BCP 的面积最大值为.9.在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,BM⊥直线a于点M.CN⊥直线a于点N,连接PM,PN.(1)如图1,若点B,P在直线a的异侧,延长MP交CN于点E.求证:PM=PE;(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时,点B,P在直线a的同侧,其它条件不变,此时S△BMP+S△CNP=7,BM=1,CN=3,求MN的长度.(3)若过P点作PG⊥直线a于点G,试探究线段PG、BM和CN的数量关系.10.在Rt△ABC中与Rt△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠BAC=∠DEC=30°,AC=DC=,将Rt△DCE绕点C顺时针旋转,连接BD,AE,点F,G分别是BD,AE的中点,连接CF,CG.(1)观察猜想如图1,当点D与点A重合时,CF与CG的数量关系是,位置关系是;(2)类比探究当点D与点A不重合时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请仅就图2的情形给出证明;如果不成立,请说明理由.(3)问题解决在Rt△DCE旋转过程中,请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值.11.如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,点E是AB边上一点,且点E不与A、B重合,ED ⊥AC于点D.(1)当sin B=时,①求证:BE=2CD;②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时(60°<∠CAD<90°),BE=2CD是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(2)当sin B=时,将△ADE绕点A旋转到∠DEB=90°,若AC=10,AD=2,请直接写出线段CD的长.12.如图,已知点A(0,8),B(16,0),点P是x轴上的一个动点(不与原点O重合),连接AP,把△OAP沿着AP折叠后,点O落在点C处,连接PC,BC,设P(t,0).(1)如图1,当AP∥BC时,试判断△BCP的形状,并说明理由.(2)在点P的运动过程中,当∠PCB=90°时,求t的值.(3)如图2,过点B作BH⊥直线CP,垂足为点H,连接AH,在点P的运动过程中,是否存在AH=BC?若存在,求出t的值:若不存在,请说明理由.13.如图,点B,C,D在同一条直线上,△BCF和△ACD都是等腰直角三角形.连接AB,DF,延长DF交AB于点E.(1)如图1,若AD=BD,DE是△ABD的平分线,BC=1,求CD的长度;(2)如图2,连接CE,求证:DE=CE+AE;(3)如图3,改变△BCF的大小,始终保持点F在线段AC上(点F与点A,C不重合).将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP.取AD的中点O,连接OP.当AC=2时,直接写出OP长度的最大值.14.综合与实践问题情境从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一,类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD为BC边上的中线,E为AD上一点,将△AEC以点C为旋转中心,逆时针旋转90°得到△BFC,AD的延长线交线段BF于点P.探究线段EP,FP,BP之间的数量关系.数学思考(1)请你在图1中证明AP⊥BF;特例探究(2)如图2,当CE垂直于AD时,求证:EP+FP=2BP;类比再探(3)请判断(2)的结论在图1中是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.15.在Rt△ABC中,AB=AC,OB=OC,∠A=90°,∠MON=α,分别交直线AB、AC于点M、N.(1)如图1,当α=90°时,求证:AM=CN;(2)如图2,当α=45°时,求证:BM=AN+MN;(3)当α=45°时,旋转∠MON至图3位置,请你直接写出线段BM、MN、AN之间的数量关系.16.教材呈现:如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2.线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴.如图,直线MN 是线段AB的垂直平分线,P是MN上任一点,连接P A、PB.将线段AB沿直线MN对折,我们发现P A与PB完全重合.由此即有:线段垂直平分线的性质定理线段:垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.已知:如图,MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上的任意一点求证:P A=PB.分析:图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证得P A =PB.(1)请根据教材中的分析,结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程;(2)如图②,在△ABC中,直线l,m,n分别是边AB,BC,AC的垂直平分线.求证:直线l、m、n交于一点;(请将下面的证明过程补充完整)证明:设直线l,m相交于点O.(3)如图③,在△ABC中,AB=BC,边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E,若∠ABC=120°,AC=15,则DE的长为.17.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(x,y)中的横坐标x与纵坐标y 满足+|y﹣8|=0,过点A作x轴的垂线,垂足为点D,点E在x轴的负半轴上,且满足AD﹣OD=OE,线段AE与y轴相交于点F,将线段AD向右平移8个单位长度,得到线段BC.(1)直接写出点A和点E的坐标;(2)在线段BC上有一点G,连接DF,FG,DG,若点G的纵坐标为m,三角形DFG 的面积为S,请用含m的式子表示S(不要求写m的取值范围);(3)在(2)的条件下,当S=26时,动点P从D出发,以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动,动点Q从A出发,以每秒2个单位的速度沿着折线AB→BC向终点C运动,P,Q两点同时出发,当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时,求出P点坐标18.如图1,在Rt△ACB中,AC=BC,过B点作BD⊥CD于D点,AB交CD于E.(1)如图1,若AC=6,tan∠ACD=2,求DE的长;(2)如图2,若CE=2BD,连接AD,在AD上找一点F,使CF=DF,在FD上取一点G,使∠EGF=∠CFG,求证:AF=EG;(3)如图3,D为线段BC上方一点,且∠BDC=90°,AC=6,连接AD,将AD绕A 点逆时针旋转90°,D点对应点为E点,H为DE中点,求当AH有最小值时,直接写出△ACH的面积.19.(1)问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,当△DCE旋转至点A,D,E在同一直线上,连接BE.则:①∠AEB的度数为°;②线段AD、BE之间的数量关系是.(2)拓展研究:如图2,△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,若AD=a,AE=b,AB=c,求a、b、c之间的数量关系.(3)探究发现:图1中的△ACB和△DCE,在△DCE旋转过程中,当点A,D,E不在同一直线上时,设直线AD与BE相交于点O,试在备用图中探索∠AOE的度数,直接写出结果,不必说明理由.20.类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到.小明在数学学习中遇到了这样一个问题:“如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=α,点P在AB边上,过点P作PQ⊥AC于点Q,△APQ绕点A逆时针方向旋转,如图2,连接CQ.O 为BC边的中点,连接PO并延长到点M,使OM=OP,连接CM.探究在△APQ的旋转过程中,线段CM,CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题.特例探究:(1)填空:如图3,当α=30°时,=,直线CQ与CM所夹锐角的度数为;如图4,当α=45°时,=,直线CQ与CM所夹锐角的度数为;一般结论:(2)将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中,线段CQ,CM之间的数量关系如何(用含α的式子表示)?直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少?请仅就图2所示情况说明理由;问题解决(3)如图4,在Rt△ABC中,若AB=4,α=45°,AP=3,将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角(0°<β<180°),当点Q到直线AC的距离为2时,请直接写出线段CM的值.参考答案1.解:(1)∠QEP=60°;证明:如图1,QE与CP的交点记为M,∵PC=CQ,且∠PCQ=60°,∴∠PCQ=∠ACB=60°,∴∠BCQ=∠ACP,则△CQB和△CP A中,,∴△CQB≌△CP A(SAS),∴∠CQB=∠CP A,在△PEM和△CQM中,∠EMP=∠CMQ,∴∠QEP=∠QCP=60°.故答案为:60°;(2)∠QEP=60°.理由如下:如图2,∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠ACB=60°,∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,∴CP=CQ,∠PCQ=6O°,∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ,即∠ACP=∠BCQ,在△ACP和△BCQ中,,∴△ACP≌△BCQ(SAS),∴∠APC=∠Q,∵∠BOP=∠COQ,∴∠QEP=∠PCQ=60°;(3)作CH⊥AD于H,如图3,与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ,∴AP=BQ,∵∠DAC=135°,∠ACP=15°,∴∠APC=30°,∠PCB=45°,∴∠HAC=45°,∴△ACH为等腰直角三角形,∴AH=CH=AC=3,在Rt△PHC中,PH=CH=3,∴P A=PH﹣AH=3﹣3,∴BQ=3﹣3.2.解:(1)如图1中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=(180°﹣30°)=75°,∵AE⊥AC,∴∠EAC=90°,∴∠BAE=30°+90°=120°,∵AB=AE,∴∠ABE=∠E=(180°﹣120°)=30°,∴∠FBC=∠ABC﹣∠ABF=75°﹣30°=45°.故答案为:45.(2)①图形如图2所示.②结论:△BCF是等腰直角三角形理由如下:如图2中,∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴AD是BC的垂直平分线,∴FB=FC,又AB=AC,AF=AF,∴△ABF≌△ACF(SSS),∴∠1=∠2,由旋转可知AE=AC,又AB=AC,∴AB=AE,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.又∠4=∠5,∴∠CFE=∠CAE=90°即∠CFB=90°,又FB=FC,∴△BCF为等腰直角三角形.③如图3中,作EH⊥DF交DF的延长线于H.∵AB=AC=5,BD=CD=4,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴AD===3,∵∠ADC=∠EAC=∠H=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°,∠DAC+∠HAE=90°,∴∠ACD=∠HAE,∵AE=AC,∴△ADC≌△EHA(AAS),∴EH=AD=3,∵△BDF是等腰直角三角形,FD⊥BC,∴∠DFB=∠BFC=45°,∴∠HEF=∠HFE=45°,∵∠H=90°,∴∠EHF=∠HFE=45°,∴EH=FH=3,∴EF=EH=,故答案为:3.3.解:(1)CD=EF,CD⊥EF,理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC∠ACB=45°,∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE,∴AD=AE,∠DAE=90°=∠BAC,∴∠BAD=∠CAE,且AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE,∠ABD=∠ACE=45°,∴∠BCF=∠ACB+∠ACE=90°,∴CD⊥EF,又∵∠ABC=45°,∴∠BFC=∠ABC,∴BC=CF,∴CD=EF;(2)结论仍然成立,理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC∠ACB=45°,∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE,∴AD=AE,∠DAE=90°=∠BAC,∴∠BAD=∠CAE,且AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE,∠ABD=∠ACE=45°,∴∠BCF=∠ACB+∠ACE=90°,∴CD⊥EF,又∵∠ABC=45°,∴∠BFC=∠ABC,∴BC=CF,∴CD=EF;(3)如图,过点A作AN⊥CE于点N,过点G作GH⊥CE于H,∵AB=AC=,∴BC=CF=2,∵AN⊥CE,∠ACF=45°,∴AN=CN=1,∵tan∠AEC==,∴EN=2,∴EC=CN+EN=3,∴EF=EC﹣CF=1=CD,∵GH⊥CE,∠ECD=90°,∴HG∥CD,∴==,且EG=DG,∴HG=,EH=,∴FH=EH﹣EF=∴GF===4.解(1)①由旋转知,∠ABD=∠ABC=90°,∠D=∠A,∴∠D+∠BED=90°,∴∠A+∠BED=90°,∵∠BED=∠AEF,∴∠A+∠AEF=90°,∴∠AFE=90°,∴DF⊥AC;②如图1,过点B作BG⊥BF交DF于G,∴∠FBG=90°,由旋转知,∠D=∠A,BD=AB,∠ABD=90°,∴∠FBG=∠ABD,∴∠DBG=∠ABF,∴△BDG≌△BAF(ASA),∴BG=BF,∵∠FBG=90°,∴∠BFD=45°;(2)①如图2所示,②CF﹣EF=BF.过点B作BG⊥BF交AC于G,∴∠FBG=90°,由旋转知,∠C=∠E,BC=BE,∵∠ABC=90°,∴∠FBG=∠ABC,∴∠CBG=∠EBF,∴△BCG≌△BEF(ASA),∴CG=EF,BG=BF,∵∠FBG=90°,∴∠BFD=45°,∴FG=BF,∵CF=FG+CG,∴FG=CF﹣CG=CF﹣EF=BF,即:CF﹣EF=BF.5.解:(1)BD、CE的关系是相等.理由:∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,∴AB=AC,∠BAD=∠CAE,DA=EA,∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE.故答案为:相等.(2)如图2,3即为旋转后的图形.①如图2,当C在AD上时,由(1)知△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC又∵∠PCD=∠ACE,∴△PCD∽△ACE,∴又∵CE===CD=AD﹣AC=5﹣3=2∴,解得;如图3,当C在AD反向延长线上时,同理△PEB∽△ABD=∵BD=BE=AE﹣AB=5﹣3=2∴=解得PB=∴PD=DB+PB=+=.答:此时PD的长为或.(3)如图4所示,以点A为圆心,AC长为半径画圆,当CE在圆A下方与圆A相切时,PD的值最小.在Rt△ACE中,CE===4在Rt△ADE中,DE===5∵四边形ABPC是正方形,∴PC=AB=3∴PE=PC+CE=3+4=7在Rt△DEP中,PD===1∴线段PD的最小值为1.故答案为:1.6.解:(1)∵∠AOC=90°,∴∠OAC+∠ACO=90°,∵∠ACD=90°,∴∠DCF+∠ACO=90°,∴∠DCF=∠OAC,∵∠OAC=38°,∴∠DCF=38°;(2)如图,过点D作DH⊥x轴于H,∴∠CHD=90°∴∠AOC=∠CHD=90°,∵等腰直角三角形ACD,∠ACD=90°∴AC=CD,由(1)知,∠DCF=∠OAC,∴△AOC≌△CHD(AAS),∴OC=DH=n,AO=CH=3,∴点D的坐标(n+3,n);(3)不会变化,理由:∵点A(0,3)与点B关于x轴对称,∴AO=BO,又∵OC⊥AB,∴x轴是AB垂直平分线,∴AC=BC,∴∠BAC=∠ABC,又∵AC=CD,∴BC=CD,∴∠CBD=∠CDB,∵∠ACD=90°,∴∠ACB+∠DCB=270°,∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB=90°,∴∠ABC+∠CBD=45°,∵∠BOF=90°,∴∠OFB=45°,∴∠OBF=∠OFB=45°,∴OB=OF=3,∴OF的长不会变化.7.解:[问题初探]如图2,过点E作EF⊥BC交直线BC于F,∴∠DFE=90°=∠ABD,∴∠EDF+∠DEF=90°,由旋转知,AD=DE,∠ADE=90°,∴∠ADB+∠EDF=90°,∴∠ADB=∠DEF,∴△ABD≌△DFE(AAS),∴BD=EF,DF=AB,∵AB=BC,∴BC=DF,∴BD=CF,∴EF=CF,∴△CEF是等腰直角三角形,∴∠ECF=45°,∴∠DCE=135°,故答案为:ADB,等腰直角,135;[继续探究]如图3,过点E作EF⊥BC于F,∴∠DFE=90°=∠ABD,∴∠EDF+∠DEF=90°,由旋转知,AD=DE,∠ADE=90°,∴∠ADB+∠EDF=90°,∴∠ADB=∠DEF,∴△ABD≌△DFE(AAS),∴BD=EF,DF=AB,∵AB=BC,∴BC=DF,∴BD=CF,∴EF=CF,∴△CEF是等腰直角三角形,∴∠ECF=45°,∴∠DCE=45°;[拓展延伸]如图4,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,∴∠ACB=45°当点D在射线BC上时,由[问题初探]知,∠BCM=135°,∴∠ACM=∠BCM﹣∠ACB=90°,当点D在线段CB的延长线上时,由[继续探究]知,∠BCE=45°,∴∠ACN=∠ACB+∠BCM=90°,∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点,∴当BE⊥MN时,BE最小,∵∠BCE=45°,∴∠CBE=45°=∠BCE,∴BE=CE,∴BE最小=BC=,即:BE的最小值为.8.解:(1)如图1所示:延长BE,①∵等边△ABC中,点D为BC的中点,∴AD是BC的垂直平分线,∠BAD=∠CAD=30°,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∵将线段EB绕点E顺时针旋转至EF,∴BE=EF,∴∠EBF=∠EFB,∵∠CEF=∠FEH+∠HEC=∠EBF+∠BFE+∠EBC+∠ECB=2∠ABE+2∠EBC,∴∠CEF=2∠ABC=120°;②AB=AF+AE,理由如下:如图1﹣1,在AB上截取BM=AF,连接ME,过点E作EN⊥AB于N,∵BM=AF,∠AFE=∠EBM,BE=EF,∴△BME≌△F AE(SAS),∴AE=EM,又∵EN⊥AB,∴AN=MN=AM,∵∠BAD=30°,∴AE=2NE,AN=NE,∴AN=AE,∴AM=AE,∴AB=BM+AM=AF+AE;(3)如图2,∵△ABC是等边三角形,AB=4,点G为AC的中点,∴AC=BC,∠ACB=60°,CG=CD=2,∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN,∴CM=CN=CG=CD=2,∠MCN=∠ACB=60°,∴∠ACN=∠BCM,∴△BCM≌△ACN(SAS),∴∠CAN=∠CBM,∴点A,点B,点C,点P四点共圆,∴∠BPC=∠BAC=60°,∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN,∴点M在以点C为圆心,CM为半径的圆上,∴当BM与⊙C相切于点M时,△BCP的面积有最大值,如图所示,过点P作PH⊥BC 于H,∵BM是⊙C的切线,∴∠BMC=90°=∠PMC,又∵∠BPC=60°,∴∠PCM=30°,∴CM=PM=2,∴MP=,∵BM===2,∴BP=BM+MP=,∵sin∠PBC=,∴PH==,∴△BCP的面积最大值=×4×=,故答案为.9.(1)证明:如图1中,∵BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,∴∠BMA=∠CNM=90°,∴BM∥CN,∴∠MBP=∠ECP,又∵P为BC边中点,∴BP=CP,又∵∠BPM=∠CPE,∴△BPM≌△CPE(ASA),∴PM=PE(2)解:延长MP与NC的延长线相交于点E.∵BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°,∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP,又∵P为BC中点,∴BP=CP,又∵∠BPM=∠CPE,∴△BPM≌△CPE(ASA),∴PM=PE,S△PBM=S△PCE,∴AE=CN+CE=4,∵S△BMP+S△CNP=7,∴S△PNE=7,∴S△MNE=2S△PNE=14,∴×MN×4=14,∴MN=7.(3)解:如图1﹣1中,当点B,P在直线a的异侧时,∵PG⊥a,CN⊥a,∴PG∥CN,∵PM=PE,∴MG=GN,∴PG=EN=(CN﹣EC),∵EC=BM,∴PG=(CN﹣BM).如图2﹣2中,当点B,P在直线a的同侧时,延长MP交NC的延长线于Q.∵PG⊥a,CN⊥a,∴PG∥CN,∵BM∥CQ,∴∠BMP=∠Q,∵∠BPM=∠CPQ,BP=CP,∴△PMB≌△PQC(AAS),∴PM=PQ,BM=CQ,∴MG=GN,∴PG=AQ=(CN+BM).综上所述,PG=(CN﹣BM)或PG=(CN+BM).10.解:(1)观察猜想∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠BAC=∠DEC=30°,AC =DC=,∴AE=2DC=2,AC=BC=,AB=2BC,∠CDE=60°,∴BC=1,AB=2,∵点F,G分别是BD,AE的中点,∴CG=AE=,CG=AG,CF=AB=1,CF=AF,∴CG=CF,∠GDC=∠GCD=60°,∠ACF=∠F AC=30°,∴∠FCG=90°,∴CF⊥CG,故答案为:CG=CF,CF⊥CG;(2)类比探究仍然成立,理由如下:∵∠ACB=∠DCE=90°,∠BAC=∠DEC=30°,AC=DC=,∴∠BCD=∠ACE,AC=BC,CE=CD,∴=,∴△BCD∽△ACE,∴,∠CAE=∠CBD,∵点F,G分别是BD,AE的中点,∴BF=BD,AG=AE,∴∴△ACG∽△BCF,∴,∠BCF=∠ACG,∴CG=CF,∠ACB=∠FCG=90°,∴CF⊥CG;(3)问题解决如图,延长BC至H,使BC=CH=1,连接DH,∵点F是BD中点,BC=CH=1,∴CF=DH,由(2)可知,CF⊥CG,∴△CFG的面积=×CF×CG=CF2,∴△CFG的面积=DH2,∴当DH取最大值时,△CFG的面积有最大值,当DH取最小值时,△CFG的面积有最小值,∵CD=,∴点D在以点C为圆心,为半径的圆上,∴当点D在射线HC的延长线上时,DH有最大值为+1,∴△CFG的面积最大值=(+1)2=,当点D在射线CH的延长线上时,DH有最小值为﹣1,∴△CFG的面积最小值=(﹣1)2=.11.解:(1)∵Rt△ABC中,∠C=90°,sin B=,∴∠B=30°,∴∠A=60°,①如图1,过点E作EH⊥BC于点H,∵ED⊥AC∴∠ADE=∠C=90°,∴四边形CDEH是矩形,即EH=CD,∴在Rt△BEH中,∠B=30°,∴BE=2EH∴BE=2CD;②BE=2CD成立,理由:∵△ABC和△ADE都是直角三角形,∴∠BAC=∠EAD=60°,∴∠CAD=∠BAE,又∵,,∴,∴△ACD∽△ABE,∴,又∵Rt△ABC中,=2,∴=2,即BE=2CD;(2)∵sin B=,∴∠ABC=∠BAC=∠DAE=45°,∵ED⊥AD,∴∠AED=∠BAC=45°,∴AD=DE,AC=BC,将△ADE绕点A旋转∠DEB=90°,分两种情况:①如图3所示,过A作AF⊥BE交BE的延长线于F,则∠F=90°,当∠DEB=90°时,∠ADE=∠DEF=90°,又∵AD=DE,∴四边形ADEF是正方形,∴AD=AF=EF=2,∵AC=10=BC,根据勾股定理得,AB=10,在Rt△ABF中,BF==6,∴BE=BF﹣EF=4,又∵△ABC和△ADE都是直角三角形,且∠BAC=∠EAD=45°,∴∠CAD=∠BAE,∵,,∴,∴△ACD∽△ABE,∴=,即=,∴CD=2;②如图4所示,过A作AF⊥BE于F,则∠AFE=∠AFB=90°,当∠DEB=90°时,∠DEB=∠ADE=90°,又∵AD=ED,∴四边形ADEF是正方形,∴AD=EF=AF=2,又∵AC=10=BC,∴AB=10,在Rt△ABF中,BF==6,∴BE=BF+EF=8,又∵△ACD∽△ABE,∴=,即=,∴CD=4,综上所述,线段CD的长为2或4.12.解:(1)等腰直角三角形,理由如下:∵AP∥BC,∴∠APC=∠BCP,∠APO=∠CBP,∵△OAP沿着AP折叠,∴∠APO=∠APC,OP=PC,∴∠PCB=∠PBC,∴PC=PB=OP=8,∴△BCP是等腰三角形,∵OA=OP=8,∴∠OP A=∠APC=45°,∴∠OPC=90°,∴△BCP是等腰直角三角形;(2)当t>0时,如图,∵△OAP沿着AP折叠,∴∠AOP=∠ACP=90°,OP=PC=t,∴∠ACP+∠BCP=180°,∴点A,点C,点B三点共线,∵点A(0,8),B(16,0),∴OA=8,OB=16,∴AB===8,∵tan∠ABO=,∴,∴t=4﹣4;当t<0时,如图,同理可求:t=﹣4﹣4;(3)∵△OAP沿着AP折叠,∴AC=AO=8,∠ACP=∠AOP=90°,∵BH⊥CP,∴∠ACP=∠BHC=90°,∵AH=BC,CH=CH,∴Rt△ACH≌Rt△BHC(HL)∴AC=BH,∴四边形AHBC是平行四边形,如图2,当0≤t≤16时,点H在PC上时,连接AB交CH于G,∵四边形AHBC是平行四边形,∴AG=BG=4,HG=CG,AC=BH=8,∴HG===4,在Rt△PHB中,PB2=BH2+PH2,∴(16﹣t)2=64+(t﹣8)2,∴t=8;如图3,当0≤t≤16时,点H在PC的延长线上时,∵四边形AHBC是平行四边形,∴AG=BG=4,HG=CG,AC=BH=8,∴HG===4,在Rt△PHB中,PB2=BH2+PH2,∴(16﹣t)2=64+(t+8)2,∴t=;如图4,当t<0时,同理可证:四边形ABHC是平行四边形,又∵AH=BC,∴四边形ABHC是矩形,∴AC=BH=8,AB=CH=8,在Rt△PHB中,PB2=BH2+PH2,∴(16﹣t)2=64+(t+8)2,∴t=16﹣8;当t>16时,如图5,∵四边形ABHC是矩形,∴AC=BH=8,AB=CH=8,CP=OP=t,在Rt△PHB中,PB2=BH2+PH2,∴(t﹣16)2=64+(t﹣8)2,∴t=16+8.综上所述:当t=8或或16﹣8或16+8时,存在AH=BC.13.(1)解:∵△BCF和△ACD都是等腰直角三角形,∴AC=CD,FC=BC=1,FB=,∵AD=BD,DE是△ABD的平分线,∴DE垂直平分AB,∴F A=FB=,∴AC=F A+FC=,∴CD=;(2)证明:如图2,过点C作CH⊥CE交ED于点H,∵△BCF和△ACD都是等腰直角三角形,∴AC=DC,FC=BC,∠ACB=∠DCF=90°;∴△ABC≌△DFC(SAS),∴∠BAC=∠CDF,∵∠ECH=90°,∴∠ACE+∠ACH=90°,∵∠ACD=90°,∴∠DCH+∠ACH=90°,∴∠ACE=∠DCH.在△ACE和△DCH中,,∴△ACE≌△DCH(ASA),∴AE=DH,CE=CH,∴EH=CE.∵DE=EH+DH=CE+AE;(3)解:如图3,连接OE,将OE绕点E顺时针旋转90°得到EQ,连接OQ,PQ,则OQ=OE.由(2)知,∠AED=∠ABC+∠CDF=∠ABC+∠BAC=90°,在Rt△AED中,点O是斜边AD的中点,∴OE=OD=AD=AC=,∴OQ=OE=,在△OED和△QEP中,,∴△OED≌△QEP(SAS),∴PQ=OD=.∵OP≤OQ+PQ=,当且仅当O、P、Q三点共线时,取“=”号,∴OP的最大值是.14.证明:(1)如图1,∵将△AEC以点C为旋转中心,逆时针旋转90°得到△BFC,∴△AEC≌△BFC,∴∠CAE=∠CBF,∵∠ACB=90°,∴∠CAE+∠EAB+∠CBA=90°,∴∠CBF+∠EAB+∠CBA=90°,∴∠APB=90°,∴AP⊥BF;(2)如图2,∵CE⊥AD,∴∠AEC=90°=∠CEP,∵将△AEC以点C为旋转中心,逆时针旋转90°得到△BFC,∴△AEC≌△BFC,∠ECF=90°,∴∠AEC=∠BFC=90°,CE=CF,∴四边形CEPF是正方形,∴EP=PF=CE=CF,∠EPF=90°,∵AD为BC边上的中线,∴CD=BD,又∵∠CDE=∠BDP,∠CED=∠BPD=90°,∴△CDE≌△BDP(AAS),∴CE=BP,∴EP=PF=BP,∴EP+FP=2BP;(3)结论仍然成立,理由如下:如图1,过点C作CN⊥AD于N,作CM⊥BF,交BF的延长线于M,∵将△AEC以点C为旋转中心,逆时针旋转90°得到△BFC,∴∠CAE=∠CBF,CE=CF,∵∠ACB=90°,∴∠CAE+∠EAB+∠CBA=90°,∴∠CBF+∠EAB+∠CBA=90°,∴∠APB=90°,又∵CN⊥AD,CM⊥BM,∴四边形CNPM是矩形,∵∠CAE=∠CBF,∠ANC=∠BMC=90°,AC=BC,∴△ACN≌△BCM(AAS),∴CM=CN,∴四边形CNPM是正方形,∴CN=CM=NP=MP,∵AD为BC边上的中线,∴CD=BD,又∵∠CDN=∠BDP,∠CND=∠BPD=90°,∴△CDN≌△BDP(AAS),∴CN=BP,∴CN=BP=NP=MP,∴EP+FP=EN+NP+FP=NP+MF+PF=NP+MP=2BP.15.证明:(1)如图1,连接OA,∵AB=AC,∠BAC=90°,OB=OC,∴AO⊥BC,OA=OB=OC,∠ABO=∠ACO=∠BAO=∠CAO=45°,∴∠MON=∠AOC=90°,∴∠AOM=∠CON,且AO=CO,∠BAO=∠ACO=45°,∴△AOM≌△CON(ASA)∴AM=CN;(2)证明:如图2,在BA上截取BG=AN,连接GO,AO,∵AB=AC,∠BAC=90°,OB=OC,∴AO⊥BC,OA=OB=OC,∠ABO=∠ACO=∠BAO=∠CAO=45°,∵BG=AN,∠ABO=∠NAO=45°,AO=BO,∴△BGO≌△AON(SAS),∴OG=ON,∠BOG=∠AON,∵∠MON=45°=∠AOM+∠AON,∴∠AOM+∠BOG=45°,∵∠AOB=90°,∴∠MOG=∠MON=45°,∵MO=MO,GO=NO,∴△GMO≌△NMO(SAS),∴GM=MN,∴BM=BG+GM=AN+MN;(3)MN=AN+BM,理由如下:如图3,过点O作OG⊥ON,连接AO,∵AB=AC,∠BAC=90°,OB=OC,∴AO⊥BC,OA=OB=OC,∠ABO=∠ACO=∠BAO=∠CAO=45°,∴∠GBO=∠NAO=135°,∵MO⊥GO,∴∠NOG=90°=∠AOB,∴∠BOG=∠AON,且AO=BO,∠NAO=∠GBO,∴△NAO≌△GBO(ASA),∴AN=GB,GO=ON,∵MO=MO,∠MON=∠GOM=45°,GO=NO,∴△MON≌△MOG(SAS),∴MN=MG,∵MG=MB+BG,∴MN=AN+BM.16.证明:(1)如图①中,∵MN⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°.在△P AC和△PBC中,,∴△P AC≌△PBC(SAS),∴P A=PB.(2)如图②中,设直线l、m交于点O,连接AO、BO、CO.∵直线l是边AB的垂直平分线,又∵直线m是边BC的垂直平分线,∴OB=OC,∴OA=OC,∴点O在边AC的垂直平分线n上,∴直线l、m、n交于点O.(3)解:如图③中,连接BD,BE.∵BA=BC,∠ABC=120°,∴∠A=∠C=30°,∵边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E,∴DA=DB,EB=EC,∴∠A=∠DBA=30°,∠C=∠EBC=30°,∴∠BDE=∠A+∠DBA=60°,∠BED=∠C+∠EBC=60°,∴△BDE是等边三角形,∴AD=BD=DE=BE=EC,∵AC=15,∴DE=AC=5.故答案为5.17.解:(1)∵+|y﹣8|=0,又∵≥0,|y﹣8|≥0,∴x=2,y=8,∴A(2,8),∵AD⊥x轴,∴OD=2,AD=8,∵AD﹣OD=OE,∴E(﹣6,0).(2)如图1中,连接OG.由题意G(10,m).∵AD=DE=8,∠ADE=90°,∴∠AED=45°,∴∠OEF=∠OFE=45°,∴OE=OF=6,∴F(0,6),∴S=S△ODG+S△OFG﹣S△OFD=×2×m+×6×10﹣×2×6=m+24(0≤m≤8).(3)如图2中,设FG交AD于J,P(2,t),当点P在DJ上,点Q在AB上时,当S=26时,m=2,∴G(10,2),∴直线FG的解析式为y=﹣x+6,∴J(2,),由题意,•(﹣t)×10=2××2t×6,解得t=,∴P(2,),当点P在AJ上,点Q在BG上时,同法可得,•(t﹣)×10=2××(14﹣2t)×8,解得t=,∴P(2,).综上所述,满足条件的点P的坐标为(2,)或(2,).18.解:(1)如图1中,过点E作EH⊥BC于H.∵BD⊥CD,∴∠D=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠DCB=90°,∠DCB+∠DBC=90°,∴∠ACD=∠DBC,∴tan∠DBC=tan∠ACD=2,∴=2,∵AC=BC=6,∴BD=,CD=,∵EH⊥BC,∠EBH=45°,∴∠EHB=90°,∠EHB=∠HBE=45°,∴EH=BH,设EH=BH=m,则HC=2EH=2m,∴3m=6,∴m=2,∴EH=2,CH=4,∴EC===2,∴DE=CD﹣CE=﹣2=.(2)如图2中,过点A作AT⊥CE于T,在AG上取一点J,使得EJ=EG.∵EJ=EG,∴∠EJG=∠EGJ,∵∠CFG=EGJ,∴∠CFG=∠EJG,∴∠AFC=∠AJE,∵∠ATC=∠CDB=∠ACB=90°,∴∠ACT+∠DCB=90°,∠DCB+∠CBD=90°,∴∠ACT=∠CBD,∵AC=BC,∴△ATC≌△CDB(AAS),∴CT=BD,∵EC=2BD,∴CT=ET,∵AT⊥EC,∴AC=AE,∴∠ACT=∠AEC,∴∠ACF+∠FCD=∠EAJ+∠FDC,∵FC=FD,∴∠FCD=∠FDC,∴∠ACF=∠EAJ,∴△ACF≌△EAJ(AAS),∴AF=EJ=EG.(3)如图3中,取BC的中点T,连接DT,AT.∵AC=BC=6,∠ACT=90°,CT=TB=3,∴AT===3,∵CD⊥BD,∴∠CDB=90°,∴DT=BC=3,∴AD≥AT﹣DT,∴AD≥3﹣3,∴AD的最小值为3﹣3,∵△ADE是等腰直角三角形,AH⊥DE,∴DH=EH,∴AH=DE=AD,∴AH的最小值为﹣,此时,A,D,T共线,如图3﹣1中,过点D作DQ⊥AC于Q,过点E作EP⊥CA交CA 的延长线于P,过点H作HJ⊥AC于J.∵DQ∥CT,∴==,∴==,∴DQ=,AQ=,由△AQD≌△EPQ,可得PE=AQ=,∵EP∥HJ∥DQ,EH=HD,∴PJ=JQ,∴JH=(PE+DQ)=∴△ACH的面积=×6×=.19.解:(1)①如图1,∵△ACB和△DCE均为等边三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS).∴∠ADC=∠BEC.∵△DCE为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°,∵点A,D,E在同一直线上,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°,故答案为:60;②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE,故答案为:AD=BE;(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴BE=AD,∠ADC=∠BEC,∵△DCE为等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°.∵点A,D,E在同一直线上,∴∠ADC=135°.∴∠BEC=135°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°,∴AD2+AE2=AB2,∵AD=a,AE=b,AB=c,∴a2+b2=c2;(3)如图3,由(1)知△ACD≌△BCE,∴∠CAD=∠CBE,∵∠CAB=∠CBA=60°,∴∠OAB+∠OBA=120°,∴∠AOE=180°﹣120°=60°,如图4,同理求得∠AOB=60°,∴∠AOE=120°,∴∠AOE的度数是60°或120°.20.解:(1)如图3中,连接PB,延长BP交CQ的延长线于J,延长QC到R,设AC交BJ于点K.∵∠P AQ=∠BAC,∴∠CAQ=∠BAP,∵==cos30°=,∴△QAC∽△P AB,。
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二(含答案解析)类型一与三角形有关1.(2022·天津)如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x 轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是()A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO,利用勾股定理得到OC=4,即可求解.【详解】解:∵AB⊥x轴,∴∠ACO=∠BCO=90°,∵OA=OB,OC=OC,∴△ACO≌△BCO(HL),∴AC=BC=12AB=3,∵OA=5,∴=4,∴点A的坐标是(4,3),故选:D.【点睛】本题考查了坐标与图形,全等三角形的判定和性质,勾股定理,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.2.(2020·宁夏中考真题)如图,直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ,则点1A的坐标是_____.【答案】(4,125)【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标,A 1的横坐标等于OB ,而纵坐标等于OB-OA ,即可得出答案.【详解】解:在542y x =+中,令x=0得,y=4,令y=0,得5042x =+,解得x=8-5,∴A (8-5,0),B (0,4),由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ,∠ABA 1=90°,∴∠ABO=∠A 1BO 1,∠BO 1A 1=∠AOB=90°,OA=O 1A 1=85,OB=O 1B=4,∴∠OBO 1=90°,∴O 1B ∥x 轴,∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长,即为48-5=125;横坐标为O 1B=OB=4,故点A 1的坐标是(4,125),故答案为:(4,125).【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题,利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键.3.(2021·广西贺州市·中考真题)如图,一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,点P ,C 分别是线段AB ,OB 上的点,且45OPC ∠=︒,PC PO =,则点P 的标为________.【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ,先求出A ,B 的坐标,得∠ABO=∠OAB=45°,再证明△PCB ≌△OPA ,从而求出BD =,OD =,进而即可求解.【详解】如图所示,过P 作PD ⊥OC 于D ,∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,∴A(-4,0),B(0,4),即:OA=OB ,∴∠ABO=∠OAB=45°,∴△BDP 是等腰直角三角形,∵∠PBC=∠CPO=∠OAP=45°,∴∠PCB+∠BPC=135°=∠OPA+∠BPC,∴∠PCB=∠OPA,又∵PC=OP,∴△PCB≌△OPA(AAS),∴AO=BP=4,∴Rt△BDP中,BD=PD=2=2,∴OD=OB−BD=2,∴P(2,2).故答案是:P(2,2).【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质,结合等腰三角形的性质,判定全等三角形是解决问题的关键.4.(2022·湖北黄冈)如图1,在△ABC中,∠B=36°,动点P从点A出发,沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1cm/s,设点P的运动时间为t(s),AP的长度为y(cm),y与t的函数图象如图2所示.当AP恰好平分∠BAC时,t的值为________.【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ,作∠BAC 的平分线AD ,∠B =36°可得∠B =∠DAC =36°,进而得到ADC BAC △△,由相似求出BD 的长即可.【详解】根据函数图像可得AB=4,AB+BC=8,∴BC=AB=4,∵∠B =36°,∴72BCA BAC ∠∠︒==,作∠BAC 的平分线AD ,∴∠BAD =∠DAC =36°=∠B ,∴AD=BD ,72BCA DAC ∠∠︒==,∴AD=BD=CD ,设AD BD CD x ===,∵∠DAC =∠B =36°,∴ADC BAC △△,∴AC DC BC AC =,∴x 4x 4x-=,解得:1225x =-+,225x =--,∴252AD BD CD ===,此时521AB BD t +==(s),故答案为:52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程,关键是证明ADC BAC △△.5.(2020·四川内江?中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点A (-2,0),直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ,以AB 为边作等边1ABA ∆,过点1A 作11//A B x 轴,交直线l 于点1B ,以11A B 为边作等边112A B A ∆,过点2A 作22//A B x 轴,交直线l 于点2B ,以22A B 为边作等边223A B A ∆,以此类推……,则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图,过A 1作A 1C ⊥AB 与C ,过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1,过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2,先根据直线方程与x 轴交于点B (-1,0),且与x 轴夹角为30º,则有AB=1,然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质,分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标,进而得到A n 的纵坐标,据此可得A 2020的纵坐标,即可解答.【详解】如图,过A 1作A 1C ⊥AB 与C ,过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1,过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2,先根据直线方程与x 轴交于点B (-1,0),与y 轴交于点D (0,33),∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得:∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º,∴AB=1,A 1B 1=2A 1B=21,A 2B 2=2A 2B 1=22,A 3B 3=2A 3B 2=23,…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1,A 1纵坐标为32×1=13(21)2-;A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯,A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-;A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-;…由此规律可得:A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -,∴A 2020=20203(21)2-,故答案为:20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究,涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质,数字型规律等知识,解答的关键是认真审题,观察图象,结合基本图形的有关性质,找到坐标变化规律.6.(2022·陕西)如图,ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----,,,,,.将ABC 平移后得到A B C '''V ,且点A 的对应点是(23)A ',,点B 、C 的对应点分别是B C '',.(1)点A 、A '之间的距离是__________;(2)请在图中画出A B C '''V .【答案】(1)4(2)见解析【分析】(1)由(23)A -,,(23)A ',得,A 、A '之间的距离是2-(-2)=4;(2)根据题意找出平移规律,求出103-1B C ''(,),(,),进而画图即可.(1)解:由(23)A -,,(23)A ',得,A 、A '之间的距离是2-(-2)=4.故答案为:4.(2)解:由题意,得103-1B C ''(,),(,),如图,A B C '''V 即为所求.【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图,题目相对较简单,掌握平移规律是解决问题的关键.7.(2021·贵州毕节市·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点()11,1N 在直线:l y x =上,过点1N 作11N M l ⊥,交x 轴于点1M ;过点1M 作12M N x ⊥轴,交直线l 于点2N ;过点2N 作22N M l ⊥,交x 轴于点2M ;过点2M 作23M N x ⊥轴,交直线l 于点3N ;…;按此作法进行下去,则点2021M 的坐标为_____________.【答案】(20212,0).【分析】根据题目所给的解析式,求出对应的1M 坐标,然后根据规律求出n M 的坐标,最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解:如图,过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==,MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为(2,0)同理可以求出2M 的坐标为(4,0)同理可以求出3M 的坐标为(8,0)同理可以求出n M 的坐标为(2n ,0)∴2021M 的坐标为(20212,0)故答案为:(20212,0).【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系,解题的关键在于能够发现规律.8.(2020·湖南湘西?中考真题)在平面直角坐标系中,O 为原点,点(6,0)A ,点B 在y 轴的正半轴上,30ABO ∠=︒.矩形CODE 的顶点D ,E ,C 分别在,,OA AB OB 上,2OD =.将矩形CODE 沿x 轴向右平移,当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时,则矩形CODE 向右平移的距离为___________.【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标(0,3),得到直线AB 的解析式为:33y =+,根据点D 的坐标求出OC 的长度,利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=,再利用一次函数关系式求出OD '=4,即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ,∴OA=6,在Rt △AOB 中,30ABO ∠=︒,∴63tan 30OA OB ==∴B (0,63),∴直线AB 的解析式为:33y =+,当x=2时,y=43∴E (2,3,即DE=3∵四边形CODE 是矩形,∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E '''',D E ''交AB 于点G ,∴D E ''∥OB ,∴△AD G '∽△AOB ,∴∠AGD '=∠AOB=30°,∴∠EGE '=∠AGD '=30°,∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为,∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=,故答案为:2.【点睛】此题考查了锐角三角函数,求一次函数的解析式,矩形的性质,图形平移的性质,是一道综合多个知识点的综合题型,且较为基础的题型.9.(2021·浙江金华市·中考真题)在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(,点B 在直线8:3l y x =上,过点B 作AB 的垂线,过原点O 作直线l 的垂线,两垂线相交于点C .(1)如图,点B ,C 分别在第三、二象限内,BC 与AO 相交于点D .①若BA BO =,求证:CD CO =.②若45CBO ∠=︒,求四边形ABOC 的面积.(2)是否存在点B ,使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似?若存在,求OB 的长;若不存在,请说明理由.【答案】(1)①见解析;②552;(2)存在,44+-4,9,1【分析】(1)①等腰三角形等角对等边,则BAD AOB ∠=∠,根据等角的余角相等和对顶角相等,得到CDO COD ∠=∠,根据等角对等边,即可证明CD CO =;②添加辅助线,过点A 作AH OB ⊥于点H ,根据直线l 的解析式和角的关系,分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长,则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形;(2)分多钟情况进行讨论:①当点C 在第二象限内,ACB CBO ∠=∠时;②当点C 在第二象限内,ACB BCO ∠=∠时;③当点C 在第四象限内,ACB CBO ∠=∠时.【详解】解:(1)①证明:如图1,∵BA BO =,∴12∠=∠.∴BA BC ⊥,∴2590∠+∠=︒.而45∠=∠,∴2490∠+∠=︒.∵OB OC ⊥,∴1390∠+∠=︒.∴34∠=∠,∴CD CO =.②如图1,过点A 作AH OB ⊥于点H .由题意可知3tan 18∠=,在Rt AHO 中,3tan 18AH OH ∠==.设3m AH =,8m OH =.∵222AH OH OA +=,∴()()22238m m +=,解得1m =.∴38AH OH ==,.∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒,,∴45ABH ∠=︒,∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=.∵45OB OC CBO ⊥∠=︒,,∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒,∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ,112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= :∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形.(2)过点A 作AH OB ⊥于点H ,则有38AH OH ==,.①如图2,当点C 在第二象限内,ACB CBO ∠=∠时,设OB t=∵ACB CBO ∠=∠,∴//AC OB .又∵AH OB OC OB ⊥⊥,,∴3AH OC ==.∵AH OB AB BC ⊥⊥,,∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒,,∴13∠=∠,∴AHB BOC ∽,∴AH HB BO OC=,∴383t t -=,整理得2890t t -+=,解得4t =±∴4OB =±②如图3,当点C 在第二象限内,ACB BCO ∠=∠时,延长AB CO ,交于点G ,则ACB GCB ≌,∴AB GB =.又∵AH OB OC OB ⊥⊥,,∴90AHB GOB ∠=∠=︒,而ABH GBO ∠=∠,∴ABH GBO ≌,∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内,ACB CBO ∠=∠时,AC 与OB 相交于点E ,则有BE CE =.(a)如图4,点B 在第三象限内.在Rt ABC 中,1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒,∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==,又∵,AH OB OC OB ⊥⊥,∴90AHE COE ∠=∠=︒,而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌,∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=,∴5BE =,∴9OB BE OE =+=(b)如图5,点B 在第一象限内.在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠,∴AE BE CE ==.又∵,AH OB OC OB ⊥⊥,∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠,∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==,∴5BE =,∴1OB BE OE =-=综上所述,OB 的长为44+4,9,1.【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识,综合性较强.在题中已知两个三角形相似时,要分情况考虑.10.(2020·河南中考真题)小亮在学习中遇到这样一个问题:如图,点D 是弧BC 上一动点,线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点,过点C 作//CF BD ,交DA 的延长线于点F .当DCF ∆为等腰三角形时,求线段BD 的长度.小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题,请将下面的探究过程补充完整:()1根据点D 在弧BC 上的不同位置,画出相应的图形,测量线段,,BD CD FD 的长度,得到下表的几组对应值.操作中发现:①"当点D 为弧BC 的中点时, 5.0BD cm =".则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到".请简要说明理由;()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数,分别记为CD y 和FD y ,并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象,如图所示.请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象;()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当DCF ∆为等腰三角形时,线段BD 长度的近似值.(结果保留一位小数).【答案】(1)①5.0;②见解析;(2)图象见解析;(3)图象见解析;3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ;【解析】【分析】(1)①点D 为弧BC 的中点时,△ABD ≌△ACD ,即可得到CD=BD ;②由题意得△ACF ≌△ABD ,即可得到CF=BD ;(2)根据表格数据运用描点法即可画出函数图象;(3)画出CF y 的图象,当DCF ∆为等腰三角形时,分情况讨论,任意两边分别相等时,即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值.【详解】解:(1)①点D 为弧BC 的中点时,由圆的性质可得:AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD ≌△ACD ,∴CD=BD=5.0,∴ 5.0a =;②∵//CF BD ,∴BDA CFA ∠=∠,∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACF ≌△ABD ,∴CF=BD ,∴线段CF 的长度无需测量即可得到;(2)函数CD y的图象如图所示:(3)由(1)知=CF BD x =,画出CF y 的图象,如上图所示,当DCF ∆为等腰三角形时,①CF CD =,BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标,即BD=5.0cm ;②CF DF =,BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标,即BD=6.3cm ;③CD DF =,BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标,即BD=3.5cm ;综上:当DCF ∆为等腰三角形时,线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm .【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用,学会用描点法画出函数图象,熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键.11.(2020·河北中考真题)如图1和图2,在ABC ∆中,AB AC =,8BC =,3tan 4C =.点K 在AC 边上,点M ,N 分别在AB ,BC 上,且2AM CN ==.点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC边上随P移动,且始终保持APQ B∠=∠.(1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离;(2)若点P在MB上,且PQ将ABC∆的面积分成上下4:5两部分时,求MP的长;(3)设点P移动的路程为x,当03x≤≤及39x≤≤时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示);(4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角APQ∠扫描APQ∆区域(含边界),扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒.若94AK=,请直接..写出点K被扫描到的总时长.【答案】(1)3;(2)43MP=;(3)当03x≤≤时,24482525d x=+;当39x≤≤时,33355d x=-+;(4)23t s=【解析】【分析】(1)根据当点P在BC上时,PA⊥BC时PA最小,即可求出答案;(2)过A点向BC边作垂线,交BC于点E,证明△APQ∽△ABC,可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,可得23APAB=,求出AB=5,即可解出MP;(3)先讨论当0≤x≤3时,P在BM上运动,P到AC的距离:d=PQ·sinC,求解即可,再讨论当3≤x≤9时,P在BN上运动,BP=x-3,CP=8-(x-3)=11-x,根据d=CP·sinC即可得出答案;(4)先求出移动的速度=936=14,然后先求出从Q 平移到K 耗时,再求出不能被扫描的时间段即可求出时间.【详解】(1)当点P 在BC 上时,PA ⊥BC 时PA 最小,∵AB=AC ,△ABC 为等腰三角形,∴PA min =tanC·2BC =34×4=3;(2)过A 点向BC 边作垂线,交BC 于点E,S 上=S △APQ ,S 下=S 四边形BPQC ,∵APQ B ∠=∠,∴PQ ∥BC ,∴△APQ ∽△ABC ,∴AP AD PQ AB AC BC==,∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,当S S 上下=45时,24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴23AP AB =,AE=2BC ·tan 3C =,根据勾股定理可得AB=5,∴2253AP MP AB +==,解得MP=43;(3)当0≤x≤3时,P 在BM 上运动,P 到AC 的距离:d=PQ·sinC ,由(2)可知sinC=35,∴d=35PQ ,∵AP=x+2,∴25AP x PQ AB BC+==,∴PQ=285x +⨯,∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +,当3≤x≤9时,P 在BN 上运动,BP=x-3,CP=8-(x-3)=11-x ,d=CP·sinC=35(11-x )=-35x+335,综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩;(4)AM=2<AQ=94,移动的速度=936=14,①从Q 平移到K ,耗时:92414-=1秒,②P 在BC 上时,K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114,∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ,APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ,又∵∠B=∠C ,∴△ABP ∽△PCQ ,设BP=y ,CP=8-y ,AB BP PC CQ =,即51184y y =-,整理得y 2-8y=554-,(y-4)2=94,解得y 1=52,y 2=112,52÷14=10秒,112÷14=22秒,∴点K 被扫描到的总时长36-(22-10)-1=23秒.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,一次函数的应用,结合知识点灵活运用是解题关键.12.(2020·湖南衡阳?中考真题)如图1,平面直角坐标系xOy 中,等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上,8BC =,顶点A 在y 的正半轴上,2OA =,一动点E 从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动,到达OB 的中点停止.另一动点F 从点C 出发,以相同的速度沿CB 向左运动,到达点O 停止.已知点E 、F 同时出发,以EF 为边作正方形EFGH ,使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧.设运动的时间为t 秒(0t ≥).(1)当点H 落在AC 边上时,求t 的值;(2)设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ,请问是存在t 值,使得9136S =若存在,求出t 值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,取AC 的中点D ,连结OD ,当点E 、F 开始运动时,点M 从点O 出发,以每秒OD DC CD DO ---运动,到达点O 停止运动.请问在点E 的整个运动过程中,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界)吗?如果可能,求出点M 在正方形EFGH 内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.【答案】(1)t=1;(2)存在,143t =,理由见解析;(3)可能,3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】(1)用待定系数法求出直线AC 的解析式,根据题意用t 表示出点H 的坐标,代入求解即可;(2)根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式,求出点H 落在BC 边上时的t 值,求出此时重叠面积为169﹤9136,进一步求出重叠面积关于t 的表达式,代入解t 的方程即可解得t 值;(3)由已知求得点D (2,1),AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长.【详解】(1)由题意,A(0,2),B(-4,0),C(4,0),设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ,将点A 、C 坐标代入,得:402k b b +=⎧⎨=⎩,解得:122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+,当点H 落在AC 边上时,点E(3-t ,0),点H (3-t ,1),将点H 代入122y x =-+,得:11(3)22t =--+,解得:t=1;(2)存在,143t =,使得9136S =.根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4,设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ,将点A 、B 坐标代入,得:402m n n -+=⎧⎨=⎩,解得:122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴直线AC 的函数解析式为122y x =+,当t ﹥4时,点E (3-t ,0)点H (3-t ,t-3),G(0,t-3),当点H 落在AB 边上时,将点H 代入122y x =+,得:13(3)22t t -=-+,解得:133t =;此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=,∵169﹤9136,∴133﹤t ﹤5,如图1,设GH 交AB 于S ,EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得:1322t x -=+,解得:x=2t-10,∴点S(2t-10,t-3),将x=3-t 代入122y x =+得:11(3)2(7)22y t t =-+=-,∴点T 1(3,(7))2t t --,∴AG=5-t ,SG=10-2t ,BE=7-t ,ET=1(7)2t -,211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-,由2527133424t t -+-=9136得:1143t =,29215t =﹥5(舍去),∴143t =;(3)可能,35≤t≤1或t=4.∵点D 为AC 的中点,且OA=2,OC=4,∴点D (2,1),AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动;当0﹤t ﹤12时,M 在线段OD 上,H 未到达D 点,所以M 与正方形不相遇;当12﹤t ﹤1时,12+12÷(1+4)=35秒,∴t =35时M 与正方形相遇,经过1÷(1+4)=15秒后,M 点不在正方行内部,则3455t ≤≤;当t=1时,由(1)知,点F 运动到原E 点处,M 点到达C 处;当1≤t≤2时,当t=1+1÷(4-1)=43秒时,点M 追上G 点,经过1÷(4-1)=13秒,点M 都在正方形EFGH 内(含边界),4533t ≤≤当t=2时,点M 运动返回到点O 处停止运动,当t=3时,点E 运动返回到点O 处,当t=4时,点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时,点M 都在正方形EFGH 内(含边界),综上,当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界).【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合,涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识,解答的关键是认真审题,提取相关信息,利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.13.(2020·黑龙江哈尔滨?中考真题)已知,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的负半轴交于点B ,OA OB =,过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ,直线OC 的解析式为34y x =,过点C 作CM y ⊥轴,垂足为,9M OM =.(1)如图1,求直线AB 的解析式;(2)如图2,点N 在线段MC 上,连接ON ,点P 在线段ON 上,过P 点作PD x ⊥轴,垂足为D ,交OC 于点E ,若NC OM =,求PE OD的值;(3)如图3,在(2)的条件下,点F 为线段AB 上一点,连接OF ,过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ,连接BQ ,过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ,连接PF 交x 轴于点H ,连接EH ,若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=,求点P 的坐标.【答案】(1)12y x =-;(2)94;(3)1236(,)55P .【解析】【分析】(1)根据题意求出A ,B 的坐标即可求出直线AB 的解析式;(2)求出N (3,9),以及ON 的解析式为y=3x ,设P (a ,3a ),表达出PE 及OD 即可解答;(3)如图,设直线GF 交CA 延长线于点R ,交y 轴于点S ,过点F 作FT ⊥x 轴于点T ,先证明四边形OSRA 为矩形,再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ,得到SF=QR ,进而证明△BSG ≌△QRG ,得到SG=RG=6,设FR=m ,根据GQ FG -=,以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值,得到FS=8,AR=4,证明四边形OSFT 为矩形,得到OT=FS=8,根据∠DHE=∠DPH ,利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=,从而得到DH=32a ,根据∠PHD=∠FHT ,得到HT=2,再根据OT=OD+DH+HT ,列出关于a 的方程即可求出a 的值,从而得到点P 的坐标.【详解】解:(1)∵CM ⊥y 轴,OM=9,∴当y=9时,394x =,解得:x=12,∴C (12,9),∵CA ⊥x 轴,则A (12,0),∴OB=OA=12,则B (0,-12),设直线AB 的解析式为y=kx+b ,∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩,解得:112k b =⎧⎨=-⎩,∴12y x =-;(2)由题意可得,∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°,∴四边形MOAC 为矩形,∴MC=OA=12,∵NC=OM ,∴NC=9,则MN=MC-NC=3,∴N (3,9)设直线ON 的解析式为1y k x =,将N (3,9)代入得:193k =,解得:13k =,∴y=3x ,设P (a ,3a )∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ,交x 轴于点D ,∴3(,)4E a a ,(a,0)D ,∴PE=39344a a a -=,OD=a ,∴9944a PE OD a ==;(3)如图,设直线GF 交CA 延长线于点R ,交y 轴于点S ,过点F 作FT ⊥x 轴于点T ,∵GF ∥x 轴,∴∠OSR=∠MOA=90°,∠CAO=∠R=90°,∠BOA=∠BSG=90°,∠OAB=∠AFR ,∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°,则四边形OSRA为矩形,∴OS=AR,SR=OA=12,∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=45°,∴∠FAR=90°-∠AFR=45°,∴∠FAR=∠AFR,∴FR=AR=OS,∵QF⊥OF,∴∠OFQ=90°,∴∠OFS+∠QFR=90°,∵∠SOF+∠OFS=90°,∴∠SOF=∠QFR,∴△OFS≌△FQR,∴SF=QR,∵∠SFB=∠AFR=45°,∴∠SBF=∠SFB,∴BS=SF=QR,∵∠SGB=∠RGQ,∴△BSG≌△QRG,∴SG=RG=6,设FR=m,则AR=m,∴QR=SF=12-m,∴=,-=,∵GQ FG∴66m m +-=+,∵QG 2=GR 2+QR 2,即222(6)6(12)m m +=+-,解得:m=4,∴FS=8,AR=4,∵∠OAB=∠FAR ,FT ⊥OA ,FR ⊥AR ,∴FT=FR=AR=4,∠OTF=90°,∴四边形OSFT 为矩形,∴OT=FS=8,∵∠DHE=∠DPH ,∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ,∴DE DH DH PD=,由(2)可知,DE=34a ,PD=3a ,∴343a DH DH a=,解得:DH=32a ,∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==,∵∠PHD=∠FHT ,∴tan ∠FHT=2TF HT =,∴HT=2,∵OT=OD+DH+HT ,∴3282a a ++=,∴a=125,∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题,涉及了一次函数解析式的求法,矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点,第(3)问难度较大,解题的关键是正确做出辅助线,熟悉几何的基本知识,综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答.类型二与平行四边形有关14.(2022·山东泰安)如图,四边形ABCD 为平行四边形,则点B 的坐标为________.【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论.【详解】解: 四边形ABCD 为平行四边形,∴DA CB ∥,即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致,将D 点平移到A 的过程是::134x --=-(向左平移4各单位长度);:220y -=(上下无平移);∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --,即()2,1B --,故答案为:()2,1--.【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移,掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键.15.(2022·甘肃武威)如图1,在菱形ABCD 中,60A ∠=︒,动点P 从点A 出发,沿折线AD DC CB →→方向匀速运动,运动到点B 停止.设点P 的运动路程为x ,APB △的面积为y ,y 与x 的函数图象如图2所示,则AB 的长为()AB .C .D .【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形,它的面积为【详解】解:在菱形ABCD 中,∠A=60°,∴△ABD 为等边三角形,设AB=a ,由图2可知,△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得:a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,根据菱形的性质和函数图象,能根据图形得出正确信息是解此题的关键.16.(2020·黑龙江牡丹江?中考真题)如图,已知直线AB 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根,12OB OA =.请解答下列问题:(1)求点A ,B 的坐标;(2)直线EF 交x 轴负半轴于点E ,交y 轴正半轴于点F ,交直线AB 于点C .若C 是EF 的中点,6OE =,反比例函数k y x=图象的一支经过点C ,求k 的值;(3)在(2)的条件下,过点C 作CD OE ⊥,垂足为D ,点M 在直线AB 上,点N 在直线CD 上.坐标平面内是否存在点P ,使以D ,M ,N ,P 为顶点的四边形是正方形?若存在,请写出点P 的个数,并直接写出其中两个点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)A (9,0),B (0,92);(2)-18;(3)存在5个,(9,12)或(9,-12)或(1,0)或(-7,4)或(-15,0).【解析】【分析】(1)解一元二次方程,得到点A 的坐标,再根据12OB OA =可得点B 坐标;(2)利用待定系数法求出直线AB 的表达式,根据点C 是EF 的中点,得到点C 横坐标,代入可得点C 坐标,根据点C 在反比例函数图像上求出k 值;(3)画出图形,可得点P 共有5个位置,分别求解即可.【详解】解:(1)∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根,解得:x=9或-2(舍),而点A 在x 轴正半轴,∴A (9,0),∵12OB OA =,∴B (0,92);(2)∵6OE =,∴E (-6,0),设直线AB 的表达式为y=kx+b ,将A 和B 代入,得:0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩,解得:1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴AB 的表达式为:1922y x =-+,∵点C 是EF 的中点,∴点C 的横坐标为-3,代入AB 中,y=6,则C (-3,6),∵反比例函数k y x=经过点C ,则k=-3×6=-18;(3)存在点P ,使以D ,M ,N ,P 为顶点的四边形是正方形,如图,共有5种情况,在四边形DM 1P 1N 1中,M 1和点A 重合,∴M 1(9,0),此时P 1(9,12);在四边形DP 3BN 3中,点B 和M 重合,可知M 在直线y=x+3上,联立:31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得:14x y =⎧⎨=⎩,∴M (1,4),∴P 3(1,0),同理可得:P 2(9,-12),P 4(-7,4),P 5(-15,0).故存在点P 使以D ,M ,N ,P 为顶点的四边形是正方形,点P 的坐标为P 1(9,12),P 2(9,-12),P 3(1,0),P 4(-7,4),P 5(-15,0).【点睛】本题考查了解一元二次方程,一次函数表达式,正方形的性质,反比例函数表达式,难度较大,解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.(2020·江苏宿迁?中考真题)如图,在平面直角坐标系中,Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点,将Q绕点P(1,0)顺时针旋转90°,得到点Q',连接OQ',则OQ'的最小值为()A.455B C.523D.655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形,求出旋转后Q′的坐标,然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】解:作QM⊥x轴于点M,Q′N⊥x轴于N,设Q(m,122m-+),则PM=1m﹣,QM=122m-+,∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°,∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′,∴∠QPM=∠PQ′N ,在△PQM 和△Q′PN 中,'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PQM ≌△Q′PN(AAS),∴PN=QM=122m -+,Q′N=PM=1m ﹣,∴ON=1+PN=132m -,∴Q′(132m -,1m ﹣),∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5,当m=2时,OQ′2有最小值为5,∴OQ′故选:B .【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,一次函数的性质,三角形全等的判定和性质,坐标与图形的变换-旋转,二次函数的性质,勾股定理,表示出点的坐标是解题的关键18.(2020·湖南永州?中考真题)已知点()00,P x y 和直线y kx b =+,求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1,半径为1,直线l 的表达式为26y x =-+,P 是直线l 上的动点,Q 是C 上的动点,则PQ 的最小值是()A .355B .3515-C .6515-D .2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线,交C 于点Q ,交直线l 于点P ,此时PQ 的值最小,利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线,交C 于点Q ,交直线l 于点P ,此时PQ 的值最小,如图,∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-,C 半径为1,∴PQ 的最小值是3515-,故选:B.【点睛】此题考查公式的运用,垂线段最短的性质,正确理解公式中的各字母的含义,确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-,在x19.(2020·辽宁鞍山?中考真题)如图,在平面直角坐标系中,已知(3,6),(2,2)CD=,线段CD在x轴上平移,当轴上取两点C,D(点C在点D左侧),且始终保持1+的值最小时,点C的坐标为________.AD BC【答案】(-1,0)【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′,将B′向右平移1个单位得到B″,连接AB″,与x轴交于点D,过点B′作AB″的平行线,与x轴交于点C,得到此时AD+BC的值最小,求出直线AB″,得到点D坐标,从而可得点C坐标.【详解】解:如图,作点B关于x轴的对称点B′,将B′向右平移1个单位得到B″,连接AB″,与x轴交于点D,过点B′作AB″的平行线,与x轴交于点C,可知四边形B′B″DC为平行四边形,则B′C=B″D,由对称性质可得:BC=B′C,∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″,则此时AB″最小,即AD+BC最小,∵A(3,6),B(-2,2),∴B′(-2,-2),∴B″(-1,-2),设直线AB″的表达式为:y=kx+b,则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩,解得:2kb=⎧⎨=⎩,∴直线AB″的表达式为:y=2x,令y=0,解得:x=0,即点D坐标为(0,0),∴点C坐标为(-1,0),故答案为:(-1,0).【点睛】本题考查了轴对称的性质,最短路径问题,一次函数表达式,解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.(2020•连云港)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A,点B是⊙O上一动点,点C为弦AB的中点,直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E,则△CDE面积的最小值为.【分析】如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MN⊥DE于N.首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心,1为半径的⊙M,设⊙M交MN于C′.求出MN,当点C与C′重合时,△C′DE的面积最小.【解析】如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MN⊥DE于N.∵AC=CB,AM=OM,∴MC=12OB=1,∴点C的运动轨迹是以M为圆心,1为半径的⊙M,设⊙M交MN于C′.∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E,∴D(4,0),E(0,﹣3),∴OD =4,OE =3,∴DE =32+42=5,∵∠MDN =∠ODE ,∠MND =∠DOE ,∴△DNM ∽△DOE ,∴MN OE=DM DE,∴MN 3=35,∴MN =95,当点C 与C′重合时,△C′DE 的面积最小,最小值=12×5×(95−1)=2,故答案为2.21.(2020·江苏连云港?中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ,点B 是O 上一动点,点C 为弦AB 的中点,直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ,则CDE △面积的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】如图,连接OB ,取OA 的中点M ,连接CM ,过点M 作MN ⊥DE 于N .首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心,1为半径的⊙M ,设⊙M 交MN 于C′.求出MN ,当点C 与C′重合时,△C′DE的面积最小.【详解】解:如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MN⊥DE于N.∵AC=CB,AM=OM,∴MC=12OB=1,∴点C的运动轨迹是以M为圆心,1为半径的⊙M,设⊙M交MN于C′.∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E,∴D(4,0),E(0,-3),∴OD=4,OE=3,∴5 DE===,∵∠MDN=∠ODE,∠MND=∠DOE,∴△DNM∽△DOE,∴MN DM OE DE=,∴3 35 MN=,∴95 MN=,当点C 与C′重合时,△C′DE 的面积最小,△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭,故答案为2.【点睛】本题考查三角形的中位线定理,三角形的面积,一次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造三角形的中位线解决问题,属于中考常考题型.22.(2020·北京中考真题)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1,A ,B 为⊙O 外两点,AB=1.给出如下定义:平移线段AB ,得到⊙O 的弦A B ''(,A B ''分别为点A ,B 的对应点),线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”.(1)如图,平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ,则这两条弦的位置关系是;在点1234,,,P P P P 中,连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”;(2)若点A ,B 都在直线y =+上,记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ,求1d 的最小值;(3)若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ,直接写出2d 的取值范围.【答案】(1)平行,P 3;(2)32;(3)233922d ≤≤。
2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴解答题》专题训练(附答案)1.如图,△ABC为等边三角形,点P是线段AC上一动点(点P不与A,C重合),连接BP,过点A作直线BP的垂线段,垂足为点D,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接DE,CE.(1)求证:BD=CE;(2)延长ED交BC于点F,求证:F为BC的中点;(3)在(2)的条件下,若△ABC的边长为1,直接写出EF的最大值.2.如图1,已知AB⊥CD,C是AB上一动点,AB=CD(1)在图1中,将BD绕点B逆时针方向旋转90°到BE,若连接DE,则△DBE为等腰直角三角形;若连接AE,试判断AE与BC的数量和位置关系并证明;(2)如图2,F是CD延长线上一点,且DF=BC,直线AF,BD相交于点G,∠AGB 的度数是一个固定值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.3.如图(1),已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B.C 在A.E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)试说明:BD=DE+CE.(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时,其余条件不变,请直接写出BD与DE.CE 的数量关系?不需说明理由(3)如图(3)若将图(2)中的AB=AC改为∠ABD=∠ABC其余条件不变,问AD与AE的数量关系如何?并说明理由.4.如图,已知正方形ABCD的边长为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点,点E 在AB边上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,设它们的面积和为S1.(1)求证:∠APE=∠CFP;(2)设四边形CMPF的面积为S2,CF=x,y=.①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值;②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值.5.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,以点D为顶点的等边△DGH,边DG和DH分别与AB,AC所在的直线交于点E、F;(1)如图1,求证:DE=DF;(2)在(1)的结论下,过点D作AC的垂线交AC于点M,试探究AM,AF,AE的数量关系,并给予证明;(3)如图2,把△DGH绕点D顺时针旋转,当DG与BA的延长线相交时,请问以上(1)(2)小题中的结论是否成立,若不成立,请写出你的猜想,不用证明.6.如图,直线PQ∥MN,一副三角板(∠ABC=∠CDE=90°,∠ACB=30°,∠BAC=60°,∠DCE=∠DEC=45°)按如图①放置,其中点E在直线PQ上,点B,C均在直线MN上,且CE平分∠ACN.(1)求∠DEQ的度数.(2)如图②,若将三角形ABC绕B点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F,G).设旋转时间为t秒(0≤t≤60).①在旋转过程中,若边BG∥CD,求t的值;②若在三角形ABC绕B点旋转的同时,三角形CDE绕E点以每秒2°的速度按顺时针方向旋转(C,D的对应点分别为H,K).请直接写出当边BG∥HK时t的值.7.如图1,点A(a,0)、B(b,0),其中a、b满足(3a+b)2+=0,将点A、B 分别向上平移2个单位,再向石平移1个单位至C、D,连接AC、BD.(1)直接写出点D的坐标;(2)连接AD交OC于一点F,求的值;(3)如图2,点M从O点出发,以每秒1个单位的速度向上平移运动,同时点N从B 点出发,以每秒2个单位的速度向左平移运动,设射线DN交y轴于F.问S△FMD﹣S△OFN的值是否为定值?如果是定值,请求出它的值;如果不是定值,请说明理由.8.(1)如图1,△ABC和△CDE均为等边三角形,直线AD和直线BE交于点F.①求证:AD=BE;②求∠AFB的度数.(2)如图2,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,∠ABC=∠DEC=90°,直线AD 和直线BE交于点F.①求证:AD=BE;②若AB=BC=3,DE=EC=,将△CDE绕着点C在平面内旋转,当点D落在线段BC上时,在图3中画出图形,并求BF的长度.9.综合与实践在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC =6,BC=8,点D为BC边上的任意一点,将∠C沿过点D的直线折叠,使点C落在斜边AB上的点E处,问是否存在△BDE是直角三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出此时CD的长度.探究展示:勤奋小组很快找到了点D、E的位置如图2,作∠CAB的角平分线交BC于点D,此时∠C沿AD所在的直线折叠,点E恰好在AB上,且∠BED=90°,所以△BDE是直角三角形问题解决:(1)按勤奋小组的这种折叠方式,CD的长度为;(2)创新小组看完勤奋小组的折叠方法后,发现还有另一种折叠方法,请在图3中画出来;(3)在(2)的条件下,求出CD的长.10.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=14.点D,E分别在边AB,BC上,将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF.(1)如图1,若AD=BD,点E与点C重合,AF与DC相交于点O,请直接写出BD与DO的数量关系.(2)已知点G为AF的中点.①如图2,若AD=BD,CE=2,求DG的长.②如图3,若DG∥BC,EC=2,求的值.11.平面直角坐标系中,已知:A(a,0),B(0,b),且a、b满足a2﹣4a+8=4b﹣b2(1)求出A、B两点的坐标;(2)如图,P、N为x轴上两动点,且始终满足AP=ON,过O作NB的垂线交AB的延长线于M,连接MP,求证:NB+OM=MP;(3)如图,点C在y轴的正半轴上,点A关于y轴的对称点为点D,点Q,G分别是边DC和AC上的动点,且满足DQ+AG=AD,连接QG,QG的垂直平分线交x轴于点H,连接QH、HG,试判断∠QHG和∠DCA之间的关系,并给出证明.12.阅读理解题(1)阅读理解:如图①,等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求∠APB的大小.思路点拨:考虑到P A,PB,PC不在一个三角形中,采用转化与化归的数学思想,可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处,此时△ACP'≌△ABP,这样,就可以利用全等三角形知识,结合已知条件,将三条线段的长度转化到一个三角形中,从而求出∠APB的度数.请你写出完整的解题过程.(2)变式拓展:请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,BE=5,CF=4,求EF的大小.(3)能力提升:如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O 为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,请直接写出OA+OB+OC的值,即OA+OB+OC=.13.(1)问题发现如图1,在△OAB中,OA=OB,∠AOB=50°,D是OB上一点,将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C,则AC与BD的数量关系是.(2)类比探究如图2,将∠COD绕点O在平面内旋转,(1)中的结论是否成立,并就图2的情形说明理由.(3)拓展延伸∠COD绕点O在平面内旋转,当旋转到OD∥AB时,请直接写出∠BOD度数.14.如图1,点A,点B的坐标分别(a,0),(0,b),且b=++4,将线段BA 绕点B逆时针旋转90°得到线段BC.(1)直接写出a=,b=,点C的坐标为;(2)如图2,作CD⊥x轴于点D,点M是BD的中点,点N在△OBD内部,ON⊥DN,求证:MN+ON=DN.(3)如图3,点P是第二象限内的一个动点,若∠OPB=90°,求线段CP的最大值.15.如图1,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,D为OB边上一点,过D点作DC ⊥AB交AB于C,连接AD,E为AD的中点,连接OE、CE.观察猜想(1)①OE与CE的数量关系是;②∠OEC与∠OAB的数量关系是;类比探究(2)将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°,如图2所示,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;拓展迁移(3)将△BCD绕点B旋转任意角度,若BD=,OB=3,请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长.16.如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:(1)①∠ACE的度数是;②线段AC,CD,CE之间的数量关系是.(2)如图②,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B,C 重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请判断线段AC,CD,CE之间的数量关系,并说明理由;(3)如图②,AC与DE交于点F,在(2)条件下,若AC=8,求AF的最小值.17.【问题情境】如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB中点,连接CD,点E为CB上一点,过点D且垂直于DE的直线交AC于点F.易知:BE=CF.(不需要证明)【探索发现】如图②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB中点,连接CD,点E为CB的延长线上一点,过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F.【问题情境】中的结论还成立吗?请说明理由.【类比迁移】如图③,在等边△ABC中,AB=4,点D是AB中点,点E是射线AC上一点(不与点A、C重合),将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F.当CF=2CE时,CE=.18.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D,E分别在边AC,BC上,CD=CE,连接AE,点F,H,G分别为DE,AE,AB的中点连接FH,HG(1)观察猜想图1中,线段FH与GH的数量关系是,位置关系是(2)探究证明:把△CDE绕点C顺时针方向旋转到图2的位置,连接AD,AE,BE判断△FHG的形状,并说明理由(3)拓展延伸:把△CDE绕点C在平面内自由旋转,若CD=4,AC=8,请直接写出△FHG面积的最大值19.在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,将线段BC绕点B顺时针旋转一定的角度得到线段BD.连接AD,交BC于点E,过点C作线段AD的垂线,垂足为F,交BD于点G.(1)如图1,若∠CBD=45°.①求∠BCG的度数;②连接EG,求证:AE﹣FG=EG+DF;(2)如图2,若∠CBD=60°,当AC﹣DE=6时,请直接写出DG2的值.20.在△ABC中,AB=AC,点D、E分别是BC、AC的中点,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转一定的角度,连接BD、AE.观察猜想(1)如图①,当∠BAC=60°时,填空:①=;②直线BD、AE所夹锐角为;类比探究(2)如图②,当∠BAC=90°时,试判断的值及直线BD、AE所夹锐角的度数,并说明理由;拓展应用(3)在(2)的条件下,若DE=,将△CDE绕着点C在平面内旋转,当点D落在射线AC上时,请直接写出AE2的值.参考答案1.证明:(1)∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,∴AD=AE,∠DAE=60°∴△ADE是等边三角形∵△ABC为等边三角形∴AB=AC,∠BAC=∠DAE=60°∴∠DAB=∠CAE,且AB=AC,AD=AE∴△ADB≌△AEC(SAS)∴BD=CE(2)如图,过点C作CG∥BP,交EF的延长线于点G,∵∠ADB=90°,∠ADE=60°∴∠BDG=30°∵CG∥BP∴∠G=∠BDG=30°,∵△ADB≌△AEC∴BD=CE,∠ADB=∠AEC=90°∴∠GEC=∠AEC﹣∠AED=30°∴∠G=∠GEC=30°∴GC=CE,∴CG=BD,且∠BDG=∠G,∠BFD=∠GFC∴△BFD≌△CFG(AAS)∴BF=FC∴点F是BC中点(3)如图,连接AF,∵△ABC是等边三角形,BF=FC∴AF⊥BC∴∠AFC=90°∴∠AFC=∠AEC=90°∴点A,点F,点C,点E四点在以AC为直径的圆上,∴EF最大为直径,即最大值为12.解:(1)结论:AE=BC,AE⊥BC.理由:如图1中,∵AB⊥CD,∴∠BCD=∠EBD=90°,∴∠ABE+∠DBC=90°,∠DBC+∠BDC=90°,∴∠ABE=∠BDC,∵BA=DC,BE=BD,∴△ABE≌△CDB(SAS),∴AE=BC,∠BAE=∠BCD=90°,∴AE⊥BC.(2)结论:∠AGB=45°.理由:如图2中,作AE⊥AB于A,使AE=BC,连接DE,BE.∵AE⊥AB,∠BCD=90°,∴∠BAE=∠BCD,∵AE=CB,AB=CD,∴△BAE≌△DCB(SAS),∴BE=BD,∠ABE=∠BDC,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠ABE+∠DBC=90°,∴∠EBD=90°∴△BED是等腰三角形,∴∠EDB=45°∵AE∥DF,且AE=DF,∴四边形AFDE是平行四边形,∴AF∥DE∴∠AGB=∠EDB=45°.3.解:(1)如图1中,∵∠BAC=90°,BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠BDA=∠AEC=90°,∵∠ABD+∠BAE=90°,∠CAE+∠BAE=90°∴∠ABD=∠CAE,∵AB=AC,在△ABD和△CAE中,∵,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,AD=CE,∵AE=AD+DE,∴BD=DE+CE;(2)结论:BD=DE﹣CE.理由:如图2中,∵∠BAC=90°,BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠BDA=∠AEC=90°,∵∠ABD+∠BAD=90°,∠CAE+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE,∵AB=AC,在△ABD和△CAE中,∵,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,AD=CE,∵DE=AD+AE,∴BD=DE﹣CE;(3)作AF⊥BC于点F,在△BAD和△BAF中,∵∠ABD=∠ABC,∠D=∠AFB,AB=AB,∴△BAD≌△BAF(AAS),∴AD=AF,∠BAD=∠BAF.∵∠CAE+∠BAD=90°,∠CAF+∠BAF=90°,∴∠CAE=∠CAF.在△CAE和△CAF中,∵∠CAE=∠CAF,∠E=∠AFC,AC=AC,∴△CAE≌△CAF(AAS),∴AE=AF,∴AD=AE.4.(1)证明:∵∠EPF=45°,∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°;而在△PFC中,由于PC为正方形ABCD的对角线,则∠PCF=45°,则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°,∴∠APE=∠CFP.(2)解:①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠P AE=45°,∴△APE∽△CFP,则=,而在正方形ABCD中,AC为对角线,则AC=AB=4,又∵P为对称中心,则AP=CP=2,∴AE===.如图,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,P为AC中点,则PH∥BC,且PH=BC=2,同理PG=2.S△APE=PH•AE=×2×=,∵阴影部分关于直线AC轴对称,∴△APE与△APN也关于直线AC对称,则S四边形AEPN=2S△APE=;而S2=2S△PFC=2×=2x,∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x,∴y===﹣+﹣1.∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°,∴2≤x≤4.令=a,则y=﹣8a2+8a﹣1,当a=﹣=,即x=2时,y取得最大值.而x=2在x的取值范围内,代入x=2,则y最大=4﹣2﹣1=1.∴y关于x的函数解析式为:y=﹣+﹣1(2≤x≤4),y的最大值为1.②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,而此两块图形也关于直线AC成轴对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称,则EB=BF,即AE=FC,∴=x,解得x=2,把x=2代入y=﹣+﹣1得y=2﹣2.5.(1)证明:如图1,在AC上截取AP=AE,连接DP,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,∴∠DAB=∠DAC=∠BAC=60°,∵AD=AD,∴△ADE≌△ADP(SAS),∴∠AED=∠APD,DE=DP,∵△DHG是等边三角形,∴∠HDG=60°,∵∠BAC=120°,∴∠AED+∠AFD=360°﹣∠BAC﹣∠PDH=180°,∵∠DFP+∠AFD=180°,∴∠AED=∠DFP,∴∠APD=∠DFP,∴DF=DP,∴DE=DF;(2)解:如图2,2AM=AF+AE.理由:过点D作DN⊥AB于点N,由(1)知,∠BAD=∠CAD,∵DM⊥AC,∴DN=DM,在Rt△AND和Rt△AMD中,,∴Rt△AND≌Rt△AMD(HL),∴AM=AN,在Rt△DNE和Rt△DMF中,,∴Rt△DMF≌Rt△DNE(HL),∴MF=NE,∴AM=AN=AE﹣NE=AE﹣MF=AE﹣(AM﹣AF)=AE﹣AM+AF,∴2AM=AF+AE;(3)解:如图3,第(1)小题中的结论DE=DF仍然成立;第(2)小题的结论不再成立,新的结论是2AM=AF﹣AE,理由:在AC上截取AP=AD,由(1)知,∠CAD=60°,∴△ADP是等边三角形,∴AD=DP,∠APD=∠ADP=60°,∴∠DPF=120°,∵∠DAE=180°﹣∠BAD=120°,∴∠DAE=∠DPF,∵∠HDG=60°,∴∠ADE=PDF,∴△ADE≌△PDF(ASA),∴DE=DF,AE=PF,同(1)的方法得,Rt△AND≌Rt△PMD(HL),∴AN=PM,由(1)知,AM=AN,∴AM=AF﹣PM﹣PF=AF﹣AN﹣AE=AF﹣AM﹣AE,∴2AM=AF﹣AE.6.解:(1)如图①中,∵∠ACB=30°,∴∠ACN=180°﹣∠ACB=150°,∵CE平分∠ACN,∴∠ECN=∠ACN=75°,∵PQ∥MN,∴∠QEC+∠ECN=180°,∴∠QEC=180°﹣75°=105°,∴∠DEQ=∠QEC﹣∠CED=105°﹣45°=60°.(2)①如图②中,∵BG∥CD,∴∠GBC=∠DCN,∵∠DCN=∠ECN﹣∠ECD=75°﹣45°=30°,∴∠GBC=30°,∴3t=30,∴t=10s.∴在旋转过程中,若边BG∥CD,t的值为10s.②如图③中,当BG∥HK时,延长KH交MN于R.∵BG∥KR,∴∠GBN=∠KRN,∵∠QEK=60°+2t,∠K=∠QEK+∠KRN,∴∠KRN=90°﹣(60°+2t)=30°﹣2t,∴3t=30°﹣2t,∴t=6s.如图③﹣1中,当BG∥HK时,延长HK交MN于R.∵BG∥KR,∴∠GBN+∠KRM=180°,∵∠QEK=60°+2t,∠EKR=∠PEK+∠KRM,∴∠KRM=90°﹣(180°﹣60°﹣2t)=2t﹣30°∴3t+2t﹣30°=180°,∴t=42s.综上所述,满足条件的t的值为6s或42s.7.解:(1)∵(3a+b)2+=0,又∵(3a+b)2≥0,b﹣a﹣4≥0,∴,解得,∴A(﹣1,0),B(3,0),∴AB=CD=4,∵OC=2,CD∥AB,∴D(4,2),故答案为(4,2).(2)如图1中,连接OD.∵==,设===k,∴S△ACF=kS△AOF.S△CFD=kS△OFD,∴==k=,∵S△ACD=×4×2=4,S△AOD=×1×2=1,∴==4.(3)结论:S△FMD﹣S△OFN的值是定值.理由:如图2﹣1中,当点N在线段OB上时,连接OD.由题意:OM=t,BN=2t,∴S△OMD=×t×4=2t,S△DBN=×2t×2=2t,∴S△OMD=S△BND,∴S四边形DMON=S△OBD=×3×2=3,∵S△FMD﹣S△OFN=S四边形DMON=3=定值.如图2﹣2中,当点N在BO的延长线上时,连接OD.∵S△FMD﹣S△OFN=S△ODM﹣S△ODN=S△DBN﹣S△ODN=S△OBD=3=定值,综上所述,S△FMD﹣S△OFN的值是定值,定值为3.8.解(1)①∵△ABC和△CDE均为等边三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.∴∠ACD=∠BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS).∴AD=BE,∠CAD=∠CBF.②如图1,设BC交AF于点G.∵∠AGC=∠BGF,∠CAD=∠CBF,∴∠BFG=∠ACG=60°.即∠AFB=60°.(2)①∵∠ABC=∠DEC=90°,AB=BC,DE=EC,∴∠ACB=∠DCE=45°,==.∴∠ACD=∠BCE.∴△ACD∽△BCE.∴==.∴AD=BE.②当点D落在线段BC上时,如图2,则CD=CE=2,BD=BC﹣CD=3﹣2=1.过点E作EH⊥BC于点H,则CH=EH=DH=1,BH=BC﹣CH=3﹣1=2∴BE==.∵∠ACD=∠BCE=45°,==.∴△ACD∽△BCE.∴∠CAD=∠CBE.又∵∠ADC=∠BDF,∴∠BFD=∠ACD=45°.∴∠BFD=∠BCE=45°.又∵∠DBF=∠EBC,∴△BDF∽△BEC.∴=.∴=.∴BF=.9.解:(1)∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB===10,由折叠的性质可得:△ACD≌△AED,∴AC=AE=6,CD=DE,∠C=∠BED=90°,∴BE=10﹣6=4,∵BD2=DE2+BE2,∴(8﹣CD)2=CD2+16,∴CD=3,故答案为:3;(2)如图3,当DE∥AC,△BDE是直角三角形,(3)∵DE∥AC,∴∠ACB=∠BDE=90°,由折叠的性质可得:△CDF≌△EDF,∴CF=EF,CD=DE,∠C=∠FED=90°,∠CDF=∠EDF=45°,∴EF=DE,∴DE=CD=CF=EF,∵DE∥AC,∴△DEB∽△CAB,∴,∴∴DE=,∴CD=10.证明:(1)如图1中,∵CA=CB,∠ACB=90°,BD=AD,∴CD⊥AB,CD=AD=BD,∵CD=CF,∴AD=CF,∵∠ADC=∠DCF=90°,∴AD∥CF,∴四边形ADFC是平行四边形,∴OD=OC,∵BD=2OD.(2)①解:如图2中,作DT⊥BC于点T,FH⊥BC于H.由题意:BD=AD=CD=7,BC=BD=14,∵DT⊥BC,∴BT=TC=7,∵EC=2,∴TE=5,∵∠DTE=∠EHF=∠DEF=90°,∴∠DET+∠TDE=90°,∠DET+∠FEH=90°,∴∠TDE=∠FEH,∵ED=EF,∴△DTE≌△EHF(AAS),∴FH=ET=5,∵∠DBE=∠DFE=45°,∴B,D,E,F四点共圆,∴∠DBF+∠DEF=90°,∴∠DBF=90°,∵∠DBE=45°,∴∠FBH=45°,∵∠BHF=90°,∴∠HBF=∠HFB=45°,∴BH=FH=5,∴BF=5,∵∠ADC=∠ABF=90°,∴DG∥BF,∵AD=DB,∴AG=GF,∴DG=BF=;(3)如图3,取AB中点O,连接OG,OC,BF,GE,∵∠DBE=∠DFE=45°,∴点D,点B,点F,点E四点共圆,∴∠DEF+∠DBF=180°,∠DEB=∠DFB,∴∠DBF=90°,∵点O是AB中点,点G是AF中点,∴OG∥BF,BF=2OG,∴∠AOG=90°,且AO=BO,∴点G是AB垂直平分线上一点,∵AC=BC,∴点C是AB垂直平分线上一点,∴点O,点G,点C共线,∴∠ACO=∠BCO=45°,∵DG∥BC,∴∠ODG=∠OBC=45°,∠OCB=∠OGD=45°,∠GDE=∠BED,∴∠OGD=∠ODG=45°,∠GDE=∠BFD,∴OD=OG,∴DG=OG,∴=,,∴,且∠GDE=∠BFD,∴△DGE∽△FBD,∴∠DGE=∠DBF=90°,,∵DG∥BC,∴∠DGE=∠GEC=90°,且∠OCB=45°,∴∠EGC=∠GCE=45°,∴GE=EC=2,∴BD=2,∴AD=AB﹣BD=12,∴11.解:(1)∵a2﹣4a+8=4b﹣b2∴(a﹣2)2+(b﹣2)2=0∴a﹣5=0,b﹣5=0,解得,a=2,b=2,则点A的坐标为(2,0)、点B的坐标为(0,2);(2)如图1,过点A作AE⊥x轴交MO的延长线于点E,∵OM⊥BN,∠BON=90°,∴∠NBO=∠NOM,∵∠AOE=∠NOM,∴∠NBO=∠AOE,在△BON和△OAE中,,∴△BON≌△OAE(ASA),∴OE=BN,ON=AE,∴AE=AP,在△MAE和△MAP中,,∴△MAE≌△MAP(SAS),∴MP=ME=OE+OM=NB+OM;(3)在AD上截取AT=AG,则TD=DQ,过点H分别作HM⊥GT,HN⊥QT,垂足分别为M、N点.∵点A关于y轴的对称点为点D,∴CD=CA,∴∠CDA=∠CAD,∵AG=AT,DQ=DT,∴∠DTQ=∠ATG,∵∠MTH=∠ATG,∴∠DTQ=∠MTH,又HM⊥GT,HN⊥QT,∴HM=HN,在Rt△QNH和Rt△GMH中,,∴Rt△QNH≌Rt△GMH(HL),∴∠QHN=∠GHM,∴∠QHG=∠MHN,∵∠MHN+∠MTN=180°,∠QTG+∠MTN=180°,∴∠QHG=∠QTG,∵∠CDA=∠CAD,∵∠DTQ+∠ATG=(180°﹣∠CDA)+(180°﹣∠CAD)=180°﹣(∠CAD+∠CDA)=180°﹣(180°﹣∠DCA)=90°+∠DCA,∴∠QRG=180°﹣(∠DTQ+∠ATG)=90°﹣∠DCA,即∠QHG=90°﹣∠DCA.12.解:(1)∵△ACP′≌△ABP,∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB,由题意知旋转角∠P A P′=60°,∴△AP P′为等边三角形,P P′=AP=3,∠A P′P=60°,易证△P P′C为直角三角形,且∠P P′C=90°,∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°;(2)如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′,由旋转的性质得,AE′=AE,CE′=BE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,∵∠EAF=45°,∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°,∴∠EAF=∠E′AF,在△EAF和△E′AF中,,∴△EAF≌△E′AF(SAS),∴E′F=EF,∵∠CAB=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠E′CF=45°+45°=90°,由勾股定理得,E′F2=CE′2+FC2,即EF2=BE2+FC2,∵BE=5,CF=4,∴EF==.(3)如图3,将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处,连接OO′,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2,∴BC===,∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,∴△A′O′B如图所示;∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,∵∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2AC=2,∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B,∴A′B=AB=2,BO=BO′,A′O′=AO,∴△BOO′是等边三角形,∴BO=OO′,∠BOO′=∠BO′O=60°,∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°,∴C、O、A′、O′四点共线,在Rt△A′BC中,A′C===,∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=.故答案为.13.解:问题发现(1)∵将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C,∴OC=OD,且OA=OB,∴AC=BD,故答案为:AC=BD;(2)结论仍然成立,理由如下:∵将∠COD绕点O在平面内旋转,∴∠COD=∠AOB,∴∠BOD=∠AOC,且AO=BO,CO=DO,∴△AOC≌△BOD(SAS)∴AC=BD;(3)∵OA=OB,∠AOB=50°,∴∠OAB=∠OBA=65°,当点D在点O左侧,∵OD∥AB,∴∠BOD+∠OBA=180°,∴∠BOD=115°,当点D在点O右侧,∵OD∥AB,∴∠BOD=∠OBA=65°.14.解:(1)∵b=++4,∴a+1≥0,﹣1﹣a≥0,∴a=﹣1,∴b=4,∴点A(﹣1,0),点B(0,4),如图,过点C作CE⊥BO于E,∵将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BC.∴BA=BC,∠ABC=90°,∴∠ABO+∠CBE=90°,且∠ABO+∠BAO=90°,∴∠BAO=∠CBE,且AB=BC,∠AOB=∠CEB=90°,∴△ABO≌△BCE(AAS)∴BE=AO=1,BO=CE=4,∴OE=3,∴点C(4,3)故答案为:﹣1,4,(4,3)(2)连接OM,作MF⊥MN交DN于F,∵CD⊥x轴,∴OD=4=BO,∴∠MDO=45°,∵点M是BD的中点,∴OM=MD,∠OMD=90°=∠OND,∴∠NOM=∠MDN,∵∠NMF=∠OMD=90°,∴∠NMO=∠DMF,且∠NOM=∠MDN,OM=MD,∴△OMN≌△DMF(ASA)∴MN=MF,ON=FD,∴NF=MN,∴MN+ON=DN;(3)如图3,取BO中点H,连接PH,CH,∵BO=4,点H是BO中点,∠BPO=90°,∴PH=2,∵点C(4,3),点H(0,2),∴CH==,∵PH+CH≥PC,∴当点H在PC上时,PC有最大值为=2+.15.解:(1)①如图1中,∵CD⊥AB,∴∠ACD=90°,∵∠AOD=90°,AE=DE,∴OE=AD,EC=AD,∴OE=EC.②∵EO=EA,EC=EA,∴∠EAO=∠EOA,∠EAC=∠ECA,∵∠OED=∠EAO+∠EOA=2∠EAO,∠DEC=∠EAC+∠ECA=2∠EAC,∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠OAB=45°,∴∠OEC=2(∠OAE+∠EAC)=90°,∴∠OEC=2∠OAB,故答案为OE=EC,∠OEC=2∠OAB.(2)结论成立.理由:如图2中,延长OE到H,使得EH=OE,连接DH,CH,OC.由题意△AOB,△BCD都是等腰直角三角形,∴∠A=∠ABO=∠DBC=∠CDB=45°,∵AE=ED,∠AEO=∠DEH,OE=EH,∴△AEO≌△DEH(SAS),∴AO=DH,∠A=∠EDH=45°,∴∠CDH=∠OBC=90°,∵OA=OB,BC=CD,∴DH=OB,∴△HDC≌△OBC(SAS),∴CH=OC,∠HCD=∠OCB,∴∠HCO=∠DCB=90°,∴∠COE=∠CHE=45°,∵OE=EH,∴CE⊥OE,∴∠OEC=90°,∴∠OEC=2∠OAB,OE=EC.解法二:过O做OM⊥AB交AB于点M,过C做CN⊥AB,交AB于点N,可得OM=AM=AB,DN=BN=DB,又AE=DE,所以得EN=AB=OM=AM,可得EM=DN=NC,又∠OME=∠ENC=90°,所以△OEM≌△ECN,所以得OE=EC,OE⊥EC.(3)①如图3﹣1中,当点C落在OB上时,连接EC.由(1)(2)可知△OEC是等腰直角三角形,∵BC=BD=1,OB=3,∴OC=OB﹣BC=3﹣1=2,∴OE=OC=.②如图3﹣2中,当点C落在OB的延长线上时,连接EC.同法可得OE=OC=(3+1)=2,综上所述,OE的长为或2.16.解:(1)①∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠B=∠BAC=60°,由旋转知,AD=AE,∠DAE=60°=∠BAC,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ACE=∠B=60°,故答案为60°;②由(1)知,△ABD≌△ACE,∴BD=CE,∴BC=BD+CD=CE+CD,∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∴AC=CE+CD,故答案为AC=CE+CD;(2)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∴BC=AC,由旋转知,AD=AE,∠DAE=90°=∠BAC,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE,∴BC=BD+CD=CE+CD,∴AC=CE+CD;(3)方法1、由(2)知,△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠ABD,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABD=∠ACB=45°,∴∠ACE=45°,∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,∵∠DAE=90°,∴∠BCE+∠DAE=180°,∴点A,D,C,E在以DE为直径的圆上,∵AC与DE交于点F,∴AF是直径DE上的一点到点A的距离,即:当AF⊥DE时,AF最小,∴∠CFD=90°,∴∠CDF=90°﹣∠ACB=45°,∵∠ADE=45°,∴∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形,∴AF最小=AC=4.方法2、∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∴∠B=∠ADE=45°,∴∠BAD+∠ADB=∠FDC+∠ADB=135°,∴∠BAD=∠FDC,∴△ABD∽△DCF,∴,∵AC=AB=8,∴BC=8,设BD=x(0<x<8),则DC=8﹣x,∴,∴FC=,∴AF=AC﹣FC=x2﹣x+8,∴当x=4时,AF的最小值为4.17.解:【问题情境】证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB中点,∴CD⊥AB,CD=BD=AD=AB,∠BCD=∠B=45°,∴∠BDC=90°,∵∠EDF=90°,∴∠CDF=∠BDE,在△BDE与△CDF中,,∴△BDE≌△CDF(ASA),∴BE=CF;【探索发现】成立,理由:∵在Rt△ABC中,D为AB中点,∴CD=BD,又∵AC=BC,∴DC⊥AB,∴∠DBC=∠DCB=45°,∵DE⊥DF,∴∠EDF=90°,∴∠EDB+∠BDF=∠CDF+∠BDF=90°,∴∠CDF=∠BDE,∴∠ADF=∠CDE,∴AF=CE,∴CF=BE;【类比迁移】∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=60°,∵∠FDE=60°,∴∠BDF=120°﹣∠ADE,∠AED=120°﹣∠ADE,∴∠BDF=∠AED,∴△ADE∽△BDF,∴,∵点D为AB中点,AB=4,∴AD=BD=2,AC=BC=4,∵CF=2CE,∴设CE=x,则CF=2x,当点E在线段AC上时,∴AE=4﹣x,BF=4﹣2x,∴=,解得:x=3﹣,x=3+(不合题意,舍去),∴CE=3﹣,如图④,当点E在AC的延长线上时,∵AE=4+x,BF=4﹣2x,∴=,解得:x=﹣1+,(负值舍去),∴CE=﹣1+.综上所述,CE=3﹣或﹣1+,故答案为:3﹣或﹣1+.18.解:(1)∵AC=BC,CD=CE,∴AD=BE,∵点F是DE的中点,点H是AE的中点,∴FH=AD,∵点G是AB的中点,点H是AE的中点,∴GH=BE,∴FH=GH,∵点F是DE的中点,点H是AE的中点,∴FH∥AD,∴∠FHE=∠CAE∵点G是AB的中点,点H是AE的中点,∴GH∥BE,∴∠AGH=∠B,∵∠C=90°,AC=BC,∴∠BAC=∠B=45°,∵∠EGH=∠B+∠BAE,∴∠FHG=∠FHE+∠EHG=∠CAE+∠B+∠BAE=∠B+∠BAC=90°,∴FH⊥HG,故答案为FH=GH,FH⊥HG;(2)△FGP是等腰直角三角形理由:由旋转知,∠ACD=∠BCE,∵AC=BC,CD=CE,∴△CAD≌△CBE(SAS),∴∠CAD=∠CBE,AD=BE,由三角形的中位线得,HG=BE,HF=AD,∴HG=HF,∴△FGH是等腰三角形,由三角形的中位线得,HG∥BE,∴∠AGH=∠ABE,由三角形的中位线得,HF∥AD,∴∠FHE=∠DAE,∵∠EHG=∠BAE+∠AGH=∠BAE+∠ABE,∴∠GHF=∠FHE+∠EHG=∠DAE+∠BAE+∠ABE=∠BAD+∠ABE=∠BAC+∠CAD+∠ABC﹣∠CBE=∠CBA+∠CAB,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CBA=∠CAB=45°,∴∠GHF=90°,∴△FGH是等腰直角三角形;(3)由(2)知,△FGH是等腰直角三角形,HG=HF=AD,∵S△HGF=HG2,∴HG最大时,△FGH面积最大,∴点D在AC的延长线上,∵CD=4,AC=8∴AD=AC+CD=12,∴HG=×12=6.∴S△PGF最大=HG2=18.19.(1)①解:∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠ACB=∠CAB=45°,∵∠CBD=45°,∴∠ACB=∠CBD,∴AC∥BD,∴∠CAD=∠D,∵BD=BC=BA,∴∠D=∠BAD,∴∠CAD=∠BAD=22.5°,∵CG⊥AD,∴∠CFD=90°,∴∠ACF=90°﹣22.5°=67.5°,∴∠BCG=∠ACF﹣∠ACB=22.5°.②证明:延长CG交AB的延长线于T.∵∠ABE=∠CBT=90°.AB=BC,∠BAE=∠BCT=22.5°,∴△ABE≌△CBT(ASA),∴AE=CT.BE=BG,∵∠EBG=∠TBG=45°,BG=BG,∴△BGE≌△BGT(SAS),∴EG=GT,∠T=∠BEG=67.5°,∴∠BGE=∠BEG=∠T=∠BGT=67.5°,∴BE=BG=BT,∵BC=BD,∴EC=DG,∵∠D=∠BAD=∠FCE=22.5°,∠CFE=∠DFG,∴△CFE≌△DFG(AAS),∴CF=DF,∴AE﹣FG=CT﹣FG=CF+GT=EG+DF.(2)解:如图2中,连接CD,过点D作DH⊥BC于H,在DH上取一点J,使得EJ =DJ,设CF=a.∵CB=BD,∠CBD=60°,∴△BCD是等边三角形,∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ABD=90°+60°=150°,∠BAC=∠ACB=45°,∴∠BAD=∠BDA=15°,∴∠CAF=30°,∵CG⊥AD,∴∠CF A=90°,∴AC=2CF=2a,∵∠CDB=60°,∠CFD=90°,∴∠FDC=∠FCD=45°,∴FC=DF=a,DC=BC=BD=a,∵DH⊥BC,∴CH=BH=a,DH=CH=a,设EH=x,∵JE=JD,∴∠JED=∠JDE=15°,∴∠EJH=∠JED+∠JDE=30°,∴EJ=2EH=DJ=2x,HJ=x,DE==()x,∴x+2x=a,∴x=(﹣)a,∴DE=(3﹣)a,∵AC﹣DE=6,∴2a﹣(3﹣)a=6,∴a=3(+1),∴EC=CH+EH=(﹣)a=6,∵∠CFE=∠DFG=90°,CF=DF,∠FCE=∠FDG=15°,∴△CFE≌△DFG(ASA),∴DG=EC=6,∴DG2=72.20.解:(1)如图①中,延长BD交AE的延长线于T,BT交AC于O.∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ACB是等边三角形,∴CA=CB,∠ACB=60°,∵CD=BC,CE=AC,∠ECD=∠ACB=60°,∴CD=CE,∠BCD=∠ACE,∴△BCD≌△ACE(SAS),∴BD=AE,∠CBD=∠CAE,∴=1,∵∠BOC=∠AOT,∴∠ATB=∠ACB=60°,∴直线BD、AE所夹锐角为60°,故答案为1,60°.(2)如图②中,设AC交BD于O,AE交BD于T.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴△ACB是等腰直角三角形,∴CB=AC,∠ACB=45°,∵CD=BC,CE=AC,∠ECD=∠ACB=45°,∴CD=CE,∠BCD=∠ACE,∴==,∴△BCD∽△ACE,∴==,∠CBD=∠CAE,∵∠BOC=∠AOT,∴∠ATB=∠ACB=45°,∴直线BD、AE所夹锐角为45°.(3)①如图③﹣1中,当点D落在线段AC上时,作EH⊥AC于H.由题意,DE=EC=,CD=DE=2,∵EH⊥CD,∠CED=90°,∴EH=DH=HC=CD=1,AC=2EC=2,∴AH=AC﹣CH=2﹣1,在Rt△AEH中,AE2=AH2+EH2=(2﹣1)2+12=10﹣4②如图③﹣2中,当点D在AC的延长线上时,同法可得AE2=(2+1)2+12=10+4,综上所述,满足条件的AE2的值为10±4.。
专题12 新定义型几何图形综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一 与三角形有关的新定义型问题】..................................................................................................... 1 【考向二 与四角形有关的新定义型问题】..................................................................................................... 5 【考向三 三角形与圆综合的新定义型问题】 ................................................................................................. 8 【考向四 四角形与圆综合的新定义型问题】 .. (10)【直击中考】【考向一 与三角形有关的新定义型问题】例题:(2022·江西抚州·统考一模)定义:从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果其中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”.例如:如图1,AD 把△ABC 分成△ABD 和△ADC ,若△ABD 是等腰三角形,且△ADC ∽△BAC ,那么AD 就是△ABC 的“华丽分割线”. 【定义感知】(1)如图1,在ABC 中,40B ∠=︒,110BAC ∠=︒,AB=BD .求证:AD 是ABC 的“华丽分割线”. 【问题解决】(2)①如图2,在ABC 中,46B ∠=︒,AD 是ABC 的“华丽分割线”,且ABD △是等腰三角形,则C ∠的度数是________;②如图3,在ABC 中,AB =2,AC =3,AD 是ABC 的“华丽分割线”,且ABD △是以AD 为底边的等腰三角形,求华丽分割线AD 的长.【变式训练】1.(2022·山东济宁·三模)我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad ).如图,在ABC 中,AB =AC ,顶角A 的正对记作sad A ,这时sad BCA AB==底边腰,容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题:(1)sad60︒=___________,sad90︒=___________;(2)如图,已知3sin 5A =,其中A ∠为锐角,试求sad A 的值.2.(2022春·福建龙岩·九年级校考期中)在一个三角形中,如果有两个内角α与β满足290αβ+=︒,那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”.根据这个定义,显然90αβ+<︒,则这个三角形的第三个角为()18090αβ︒-+>︒,这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形.(1)【尝试运用】:若某三角形是“亚直角三角形”,且一个内角为100︒,请求出它的两个锐角的度数; (2)【尝试运用】:如图1,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,4AC =,8BC =,点D 在边BC 上,连接AD ,且AD 不平分BAC ∠.若ABD △是“亚直角三角形”,求线段AD 的长;(3)【素养提升】:如图2,在钝角ABC 中,90ABC ∠>︒,5AB =,35BC =,ABC 的面积为15,求证:ABC 是“亚直角三角形”.3.(2022秋·江苏常州·九年级校考期中)【理解概念】定义:如果三角形有两个内角的差为90︒,那么这样的三角形叫做“准直角三角形”. (1)已知△ABC 是“准直角三角形”,且90C ∠>︒. ①若60A ∠=︒,则B ∠=______︒; ②若40A ∠=︒,则B ∠=______︒; 【巩固新知】(2)如图①,在Rt ABC △中,9062ACB AB BC ∠=︒==,,,点D 在AC 边上,若ABD △是“准直角三角形”,求CD 的长;【解决问题】(3)如图②,在四边形ABCD 中,58CD CB ABD BCD AB BD =∠=∠==,,,,且ABC 是“准直角三角形”,求BCD △的面积.4.(2022·山东青岛·统考中考真题)【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.例如:如图①.在ABC 和A B C '''中,,AD A D ''分别是BC 和B C ''边上的高线,且AD A D ''=,则ABC 和A B C '''是等高三角形.【性质探究】 如图①,用ABCS ,A B C S'''分别表示ABC 和A B C '''的面积.则11,22ABC A B C S BC AD S B C A D '''=⋅=''⋅''△△, ∽AD A D ''=∽::ABC A B C S S BC B C ''=''△△. 【性质应用】(1)如图②,D 是ABC 的边BC 上的一点.若3,4BD DC ==,则:ABD ADC S S =△△__________;(2)如图③,在ABC 中,D ,E 分别是BC 和AB 边上的点.若:1:2BE AB =,:1:3CD BC =,1ABC S =△,则BEC S =△__________,CDE S =△_________;(3)如图③,在ABC 中,D ,E 分别是BC 和AB 边上的点,若:1:BE AB m =,:1:CD BC n =,ABCS a =,则CDE S =△__________.【考向二 与四角形有关的新定义型问题】例题:(2022·陕西西安·校考三模)定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.(1)问题发现:如图1,筝形ABCD 中,AD CD =,AB CB =,若12AC BD +=,求筝形ABCD 的面积的最大值;(2)问题解决:如图2是一块矩形铁片ABCD ,其中60AB =厘米,90BC厘米,李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH ,要求点E 是AB 边的中点,点F 、G 、H 分别在BC 、CD 、AD 上(含端点),是否存在一种裁剪方案,使得筝形EFGH 的面积最大?若存在,求出筝形EFGH 的面积最大值,若不存在,请说明理由.【变式训练】1.(2022·吉林长春·校考模拟预测)定义:如果一个四边形的一组对角互余,我们称这个四边形为对角互余四边形.(1)问题1.利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形( )①两个等腰三角形;②两个等边三角形;③两个直角三角形;④两个全等三角形.(2)如图①,在对角互余四边形ABCD 中,30D ∠=︒,且AC BC ⊥,AC AD ⊥.若1BC =,求四边形ABCD 的面积和周长.(3)问题2.如图②,在对角互余四边形ABCD 中,AB BC =,13BD =,90ABC ADC ∠+∠=︒,8AD =,6CD =,求四边形ABCD 的面积和周长.(4)问题3.如图③,在对角互余四边形ABCD 中,2BC AB =,3sin 5ABC ∠=,90ABC ADC ∠+∠=︒,10BD =,求ACD 面积的最大值.2.(2023春·江西抚州·九年级金溪一中校考阶段练习)【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.【问题探究】(1)如图①,已知矩形ABCD 是“等邻边四边形”,则矩形ABCD ___________(填“一定”或“不一定”)是正方形;(2)如图②,在菱形ABCD 中,120ABC ∠=︒,4AB =,动点M 、N 分别在AD 、CD 上(不含端点),若60MBN ∠=︒,试判断四边形BMDN 是否为“等邻边四边形”?如果是“等邻边四边形”,请证明;如果不是,请说明理由;此时,四边形BMDN 的周长的最小值为___________; 【尝试应用】(3)现有一个平行四边形材料ABCD ,如图③,在ABCD 中,17AB =,6BC =,tan 4B =,点E 在BC 上,且4BE =,在ABCD 边AD 上有一点P ,使四边形ABEP 为“等邻边四边形”,请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________.3.(2022·江西赣州·统考二模)我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.例如:如图①,B C ∠=∠,则四边形ABCD 为“等邻角四边形”.(1)定义理解:以下平面图形中,是等邻角四边形的是___________. ①平行四边形;②矩形;③菱形;④等腰梯形. (2)深入探究:①已知四边形ABCD 为“等邻角四边形”,且120100A B ∠=︒∠=︒,,则D ∠=________.②如图②,在五边形ABCDE 中, DE BC ∥,对角线BD 平分ABC ∠,求证:四边形ABDE 为等邻角四边形.(3)拓展应用:如图③,在等邻角四边形ABCD 中,B C ∠=∠,点P 为边BC 上的一动点,过点P 作PM AB PN CD ⊥⊥,,垂足分别为M ,N .在点P 的运动过程中,PM PN +的值是否会发生变化?请说明理由.【考向三 三角形与圆综合的新定义型问题】例题:(2022·江西上饶·统考一模)定义:如果一个三角形有一个内角的平分线与这个角的对边的夹角是60︒,那么称该三角形为“特异角平分三角形”,这条角平分线称为“特异角平分线”.(1)如图1,ABC 是一个“特异角平分三角形”,AD 是一条“特异角平分线” ①当90C ∠=︒时,试求:AD BD 的值.②在ABC 中,过点D 作DE AB ⊥于点E ,延长至点H ,HE DE =,若:3:3DE AE =,证明:AHE ADC ≌. (2)如图2.BD 是O 的直径,AC 是O 的切线,点C 为切点,AB AC ⊥于点A 且交O 于点H ,连接DH 交BC 于点E ,4BD =,3AB =.试证明DBH △是一个“特异角平分三角形”.【变式训练】1.(2022春·九年级课时练习)定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”.(1)如图1,∽E 是ABC 中∽A 的“好角”,若A α∠=,则E ∠=______;(用含α的代数式表示)(2)如图2,四边形ABCD 内接于O ,点D 是优弧ACB 的中点,直径BF ⊥弦AC ,BF 、CD 的延长线于点G ,延长BC 到点E .求证:∽BGC 是ABC 中∽BAC 的“好角”.(3)如图3,ABC 内接于O ,∽BGC 是ABC 中∽A 的“好角”,BG 过圆心O 交O 于点F ,O 的直径为8,45A ∠=︒,求FG .2.(2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模)我们不妨定义:有两边之比为1:3的三角形叫敬“勤业三角形”.(1)下列各三角形中,一定是“勤业三角形”的是________;(填序号)①等边三角形;②等腰直角三角形;③含30︒角的直角三角形;④含120︒角的等腰三角形.(2)如图1,∽ABC 是∽O 的内接三角形,AC 为直径,D 为AB 上一点,且2BD AD =,作DE OA ⊥,交线段OA 于点F ,交∽O 于点E ,连接BE 交AC 于点G .试判断∽AED 和∽ABE 是否是“勤业三角形”?如果是,请给出证明,并求出EDBE的值;如果不是,请说明理由; (3)如图2,在(2)的条件下,当AF :FG =2:3时,求BED ∠的余弦值.【考向四 四角形与圆综合的新定义型问题】例题:(2022秋·九年级课时练习)定义:有一个角为45°的平行四边形称为半矩形.(1)如图1,若∽ABCD 的一组邻边AB =4,AD =7,且它的面积为142.求证:∽ABCD 为半矩形. (2)如图2,半矩形ABCD 中,∽ABD 的外心O (外心O 在∽ABD 内)到AB 的距离为1,∽O 的半径=5,求AD 的长.(3)如图3,半矩形ABCD 中,∽A =45° ①求证:CD 是∽ABD 外接圆的切线; ②求出图中阴影部分的面积.【变式训练】1.(2022·浙江宁波·校考模拟预测)定义:如果一个四边形的一组对角互余,那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”.(1)如图1,在“对角互余四边形” ABCD 中, 6.5AD CD BD ==,,9043ABC ADC AB CB ∠+∠=︒==,,,求四边形ABCD 的面积.(2)如图2,在四边形ABCD 中,连接AC ,90BAC ∠=︒,点O 是ACD 外接圆的圆心,连接OA ,OAC ABC ∠∠=.求证:四边形ABCD 是“对角互余四边形”;(3)在(2)的条件下,如图3,已知3AD a DC b AB AC ===,,,连接BD ,求2BD 的值.(结果用带有a ,b 的代数式表示)2.(2022·江苏淮安·统考一模)定义:若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直,则称这个四边形为圆美四边形.(1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形,该四边形的名称是 ;(2)如图1,在等腰Rt ∽ABC 中,∽BAC =90°,经过点A 、B 的∽O 交AC 边于点D ,交BC 于点E ,连接DE ,若四边形ABED 为圆美四边形,则AB DE的值是 (3)如图2,在∽ABC 中,经过点A 、B 的∽O 交AC 边于点D ,交BC 于点E ,连接AE 、BD 交于点F ,若在四边形ABED 的内部存在一点P ,使得∽PBC =∽ADP =α,连接PE 交BD 于点G ,连接P A ,若P A ∽PD ,PB ∽PE . ①试说明:四边形ABED 为圆美四边形;②若2tan 3α=,8PA PE +=,33CD BC =,求DE 的最小值.。
中考总复习---几何综合几何综合题常研究以下几个方面的问题:1.证明线段、角的数量关系(包括相等、和差、倍、分关系以及比例关系);2.证明图形的位置关系(如点与线、线与线、线与圆等);3.面积计算问题;4.动态几何问题在解几何综合问题时,常要分解基本图形,挖掘隐含的数量关系,另外,也需要注意使用数形结合、方程、分类讨论等数学思想方法来解决问题。
借助变换的观点也能帮助我们找到更有效的解决问题的思路。
解几何综合题,要充分利用综合与分析的思维方法。
当思维受阻时要及时改变方向;要熟悉常用的辅助线添法;强化变换的意识;从特殊或极端位置探究结论。
第一课时:基本证明与计算:例1.直线CF垂直且平分AD于点E,四边形ABCD是菱形,BA的延长线交CF于点F,连接AC。
(1)写出图中两对全等三角形。
(2)求证:ΔABC是正三角形。
例2、在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G. (1)求证:ΔADE≌ΔCBF(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论。
例3、如图1,在四边形ABCD 中,已知AB=BC =CD ,∠BAD 和∠CDA 均为锐角,点P 是对角线BD 上的一点,PQ ∥BA 交AD 于点Q ,PS ∥BC 交DC 于点S ,四边形PQRS 是平行四边形。
(1)当点P 与点B 重合时,图1变为图2,若∠ABD =90°,求证:△ABR ≌△CRD ;(2)对于图1,若四边形PRDS 也是平行四边形,此时,你能推出四边形ABCD 还应满足什么条件? 练习:1.在梯形ABCD 中,AB CD ∥,90ABC ∠=°,5AB =,10BC =,tan 2ADC ∠=. (1)求DC 的长;(2)E 为梯形内一点,F 为梯形外一点,若BF DE =,FBC CDE ∠=∠,试判断ECF △的形状,并说明理由.(3)在(2)的条件下,若BE EC ⊥,:4:3BE EC =,求DE 的长.图2图1R DCBASRPQDCBAE A D2.如图,四边形ABCD 为一梯形纸片,AB//CD ,AD=BC .翻折纸片ABCD , 使点A 与点C 重合,折痕为EF .已知CE ⊥AB . (1)求证:EF//BD ;(2)若AB=7,CD=3,求线段EF 的长.3.已知:在ABC △中,D 为AB 边上一点,36A ∠= ,AC BC =,AD AB AC ⋅=2(1)试说明:ADC △和BDC △都是等腰三角形; (2)若1AB =,求AC 的值;(3)请你构造一个等腰梯形,使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形.(标明各角的度数)4.如图,AB ⊥BC ,DC ⊥BC ,垂足分别为B 、C 。
几何图形动点与函数图像综合考向一判断函数图像(1)面积问题:①函数类型:与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数,如果有两个变化的量为二次函数;②节点、自变量取值范围及函数值;③函数的增减性等(2)线段长度问题:①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式;②节点、自变量取值范围及函数值;③函数的增减性等1.如图,在Rt △ABC中,△C=900,AC=1cm,BC=2cm,点P从A出发,以1cm/s的速沿折线AC→ CB→ BA运动,最终回到A点。
设点P的运动时间为x(s),线段AP的长度为y(cm),则能反映y与x之间函数关系的图像大致是()2.如图,点E、F、G、H是正方形ABCD四条边(不含端点)上的点,DE=AF=BG=CH。
设线段DE的长为x cm,四边形EFGH的面积为y(cm2),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是()3.如图,菱形ABCD的边长为5cm,sinA=,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动,到达点D停止;点Q同时从点A出发,以1cm/s的速度沿AD运动,到达点D停止.设点P运动x(s)时,△APQ的面积为y(cm2),则能够反映y与x之间函数关系的图象是()A B C D4.如图,在菱形ABCD中,△B=60°,AB=2.动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C,同时动点Q从点A出发,以相同速度沿折线AC→CD运动到点D,当一个点停止运动时,另一点也随之停止.设△APQ的面积为y,运动时间为x 秒.则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是()A B C D5.如图,在等边三角形ABC中,BC=4,在Rt△DEF中,△EDF=90°,△F=30°,DE=4,点B,C,D,E在一条直线上,点C,D重合,△ABC沿射线DE方向运动,当点B与点E 重合时停止运动.设△ABC运动的路程为x,△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S,则能反映S与x之间函数关系的图象是()6.如图,在四边形ABCD中,AD△BC,△A=45°,△C=90°,AD=4cm,CD=3cm.动点M,N同时从点A出发,点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动,点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动.设点N的运动时间为ts,△AMN的面积为Scm2,则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是()A.B.C.D.7.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E是射线AB上的动点(点E不与点A,点B重合),点F在线段DA的延长线上,且AF=AE,连接ED,将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG,连接EF,FB,BG.设AE=x,四边形EFBG的面积为y,下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是()A.B.C.D.8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D.设运动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是()9.如图,O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心,M是BC的中点,动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动,到M时停止运动,速度为1 cm/s,设P点的运动时间为t(s),点P的运动路径与OA,OP所围成的图形面积为S(cm2),则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是()10.如图,在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发,沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B),则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为()11.如图,AD、BC是△O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动,设△APB=y(单位:度),那么y与P运动的时间x(单位:秒)的关系图是()12.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示,通道由在同一平面内的AB,BC,CA,OA,OB,OC组成。
2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练(附答案)1.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为线段AB上一点,线段CD绕点C 逆时针旋转90°能与线段CE重合,点F为AC与BE的交点.(1)若BC=5,CE=4,求线段BD的长;(2)猜想BD与AF的数量关系,并证明你猜想的结论;(3)设CA=3DA=6,点M在线段CD上运动,点N在线段CA上运动,运动过程中,DN+MN的值是否有最小值,如果有,请直接写出这个最小值;如果没有,请说明理由.2.阅读下列材料,并完成相应的学习任务:图形旋转的应用图形的旋转是全等变换(平移、轴对称、旋转)中重要的变换之一,利用图形旋转中的对应线段的长度、对应角的大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质,可以将一般图形转化成特殊图形,从而达到解决问题的目的.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE平分∠ACB,且AC=4,BC=3.过点E作互相垂直的两条直线,即EF⊥ED,EF交AC于点F,ED交BC于点D,求四边形EFCD 的面积.分析:将∠FED以点E为旋转中心顺时针旋转,使得旋转后EF的对应线段所在直线垂直于AC,并且交AC于点M,旋转后ED的对应线段所在直线交BC于点N.则容易证明四边形MENC为正方形.因为∠EMF=∠END=90°,ME=NE,∠MEF=∠NED,所以△MEF≌△NED,所以S四边形EFCD=S正方形MENC.学习任务:(1)四边形EFCD的面积等于;(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,①作出△ABC的外接圆O;②作∠ACB的平分线,与⊙O交于点D.要求:尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹.(3)在(2)的基础上,若BC+AC=14,则四边形ACBD的面积等于.3.△ABC为等边三角形,AB=4,AD⊥BC于点D,点E为AD的中点.(1)如图1,将AE绕点A顺时针旋转60°至AF,连接EF交AB于点G,求证:G为EF中点.(2)如图2,在(1)的条件下,将△AEF绕点A顺时针旋转,旋转角为α,连接BE,H为BE的中点,连接DH,GH.当30°<α<120°时,猜想∠DHG的大小是否为定值,并证明你的结论.(3)在△AEF绕点A顺时针旋转过程中,H为BE的中点,连接CH,问线段CH何时取得最大值,请说明理由,并直接写出此时△ADH的面积.4.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,CD是边AB上的高线,E是AC上一点,连接BE,交CD于点F.(1)如图1,若∠ABE=15°,BC=+1,求DF的长;(2)如图2,若BF=AC,过点D作DG⊥BE于点G,求证:BE=CE+2DG;(3)如图3,若R为射线BA上的一个动点,以BR为斜边向外作等腰直角△BRH,M 为RH的中点.在(2)的条件下,将△CEF绕点C旋转,得到△CE'F',E,F的对应点分别为E',F',直线MF'与直线AB交于点P,tan∠ACD=,直接写出当MF'取最小值时的值.5.如图1,已知△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α得到△A1BC1.(1)若α=90°,则AA1的长为.(2)如图2,若0°<α<90°,直线A1C1分别交AB,AC于点G,H,当△AGH为等腰三角形时,求CH的长.(3)如图3,若0°<α<360°,M为边A1C1的中点,N为AM的中点,请直接写出CN的最大值.6.问题发现:(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,点D为AB上一点,且AD=2DB,过点D作DE∥BC,填空:=,=;类比探究:(2)如图2,在(1)的条件下将△ADE绕点A逆时针旋转得到△AMN,连接DM,BM,EN,CN,请求出,的值;拓展延伸:(3)如图3,△ABC和△DEF同为等边三角形,且AB=3EF=6,连接AD,BE,将△DEF绕AC(DF)的中点O逆时针自由旋转,请直接写出在旋转过程中BE﹣AD的最大值.7.【问题提出】如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,P A=3,PB=4,PC=5.求∠APB的度数.【数学思考】当图形中有一组邻边相等时,通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题.【尝试解决】(1)将△APC绕点A逆时针旋转60°,得到△AP'B,连接PP',则△APP'为等边三角形.∵P'P=P A=3,PB=4,P'B=PC=5,∴P'P2+PB2=P'B2,△BPP'为三角形,∴∠APB的度数为.(2)如图2,在等边三角形ABC外部有一点P,若∠BP A=30°,求证:P A2+PB2【类比探究】=PC2.【联想拓展】(3)如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.点P在直线BC上方且∠APB=45°,PC=BC=2,求P A的长.8.如图(1),已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC;AE是过A的一条直线,且B,C 在AE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)求证:BD=DE+CE;(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的数量关系如何?请给予证明.(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的数量关系如何?请直接写出结果,不需证明;(4)根据以上的讨论,请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE,CE的数量关系.9.(1)如图1,等腰直角△ABC,∠B=90°,点D为AC的中点,点E为边AB上的一点,作DE垂直DF交BC于点F,求证:DE=DF.(2)如图2,等腰直角△ABC,∠B=90°,点D为AC的中点,点E为边AB上的一点,线段DE绕着点D逆时针旋转90°得到线段DF,求证:点F在线段BC上;(3)如图3,直角△ABC,点D为AC的中点,点E为边AB上的一点,线段DE绕着点D逆时针旋转90°得到线段DF,若AB=6,BC=8,①直接写出线段EF=时,BE的长;②直接写出△ACF是等腰三角形时,BE的长;③直接写出△BEF面积的最大值.10.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣4,0),点B(0,3),△ABO绕点B顺时针旋转,得△A'BO',点A、O旋转后的对应点为A'、O',记旋转角为α.(1)如图①,α=90°,边OA上的一点M旋转后的对应点为N,当OM=1时,点N 的坐标为;(2)在(1)的条件下,当O'M+BN取得最小值时,在图②中画出点M的位置,并求出点N的坐标.(3)如图③,P为AB上一点,且P A:PB=2:1,连接PO'、P A',在△ABO绕点B顺时针旋转一周的过程中,△PO'A'的面积是否存在最大值和最小值,若存在,请求出;若不存在,请说明理由.11.如图①,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D在AB边上,过点D作DE⊥AC于点E,取BC边的中点F,连接DF并延长到点G,使FG=DF,连接CG.(如需作图或作辅助线,请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答.)问题发现:(1)填空:CE与CG的数量关系是,直线CE与CG所夹的锐角的度数为.探究证明:(2)将△ADE绕点A逆时针旋转,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请仅就图②所示情况给出证明,若不成立,请说明理由;问题解决:(3)若AB=4,AD=3,将△ADE由图①位置绕点A逆时针旋转α(0°<α<180°),当△ACE是直角三角形时,请直接写出CG的值.12.如图,两直角三角形ABC和DEF有一条边BC与EF在同一直线上,且∠DFE=∠ACB =60°,BC=1,EF=2.设EC=m(0≤m≤4),点M在线段AD上,且∠MEB=60°.(1)如图1,当点C和点F重合时,=;(2)如图2,将图1中的△ABC绕点C逆时针旋转,当点A落在DF边上时,求的值;(3)当点C在线段EF上时,△ABC绕点C逆时针旋转α度(0<α<90°),原题中其他条件不变,则=.13.在△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,连接DE,将△AED 沿直线AE翻折得到△AEF(点D与点F为对应点),连接DF,过点D作DG⊥DE交BE于点G.(1)如图1,求证:四边形DFEG为平行四边形;(2)如图2,连接CF,若tan∠ABE=,在不添加任何辅助线与字母的情况下,请直接写出图2中所有正切值等于2的角.14.在△ABC中,∠BAC=90°,点E为AC上一点,AB=AE,AG⊥BE,交BE于点H,交BC于点G,点M是BC边上的点.(1)如图1,若点M与点G重合,AH=2,BC=,求CE的长;(2)如图2,若AB=BM,连接MH,∠HMG=∠MAH,求证:AM=2HM;(3)如图3,若点M为BC的中点,作点B关于AM的对称点N,连接AN、MN、EN,请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系.15.(1)如图1.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,CA=8,BC=6,点D、E分别在边CA,CB上,且CD=3,CE=4,连接AE,BD,F为AE的中点,连接CF交BD于点G,则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是.(提示:延长CF到点M,使FM=CF,连接AM)(2)将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转,在旋转过程中,当B,D,E三点在同一条直线上时,CF的长为.16.在△ABC和△AEF中,∠AFE=∠ABC=90°,∠AEF=∠ACB=30°,AE=AC,连接EC,点G是EC中点,将△AEF绕点A顺时针旋转.(1)如图1,若E恰好在线段AC上,AB=2,连接FG,求FG的长度;(2)如图2,若点F恰好落在射线CE上,连接BG,证明:GB=AB+GC;(3)如图3,若AB=3,在△AEF旋转过程中,当GB﹣GC最大时,直接写出直线AB,AC,BG所围成三角形的面积.17.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,BC上运动,将线段DE绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF.(1)如图1,若D为AB中点,点E与点C重合,AF与DC相交于点O,求证:OE=OD;(2)如图2,若点E不与C,B重合,点D为AB中点,点G为AF的中点,连接DG,连接BF,判断线段BF,CE,AD的数量关系并说明理由;(3)如图3,若AB=4,AD=3BD,点G为AF的中点,连接CG,∠GDE=90°,请直接写出CE的长.18.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(x,y)中的横坐标x与纵坐标y 满足+|y﹣8|=0,过点A作x轴的垂线,垂足为点D,点E在x轴的负半轴上,且满足AD﹣OD=OE,线段AE与y轴相交于点F,将线段AD向右平移8个单位长度,得到线段BC.(1)直接写出点A和点E的坐标;(2)在线段BC上有一点G,连接DF,FG,DG,若点G的纵坐标为m,三角形DFG 的面积为S,请用含m的式子表示S(不要求写m的取值范围);(3)在(2)的条件下,当S=26时,动点P从D出发,以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动,动点Q从A出发,以每秒2个单位的速度沿着折线AB→BC向终点C运动,P,Q两点同时出发,当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时,求出P点坐标19.如图:直线l1:y=﹣x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB沿直线l1翻折后,设点O的对应点为点C,已知双曲线y=(x>0)经过点C.(1)求点A,B的坐标.(2)求k的值.(3)将直线l1绕着点A逆时针旋转得到直线l2.直线l2与y轴交于点B′,将△AOB′沿直线l2翻折得到△AB′C',当四边形OAC′B′为正方形时停止转动,求转动过程中点C运动到点C′的路径长.20.图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一.小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究.如图(1),已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,点D,E分别在线段AB,AC上,且∠C=∠AED=90°.(1)观察猜想小华将△ADE绕点A逆时针旋转,连接BD,CE,如图(2),当BD的延长线恰好经过点E时,①的值为;②∠BEC的度数为度;(2)类比探究如图(3),小芳在小华的基础上,继续旋转△ADE,连接BD,CE,设BD的延长线交CE于点F,请求出的值及∠BFC的度数,并说明理由.(3)拓展延伸若AE=DE=,AC=BC=,当CE所在的直线垂直于AD时,请你直接写出BD 的长.参考答案1.解:(1)在Rt△ABC中,AB=AC,BC=5,∴AB=AC=BC=5,由旋转知,CD=CE=4,在Rt△ADC中,AD===,∴BD=AB﹣AD=5﹣;(2)猜想:BD=2AF,理由:如图1,延长BA至G,使AG=AB,连接EG,则CG=CB,∴∠ABC=∠AGC,在Rt△ABC中,AB=AC,∴∠ABC=45°,∴∠AGC=45°,∴∠BCG=90°,由旋转知,CD=CE,∠DCE=90°=∠BCG,∴∠BCD=∠GCE,∴△BCD≌△GCE(SAS),∴BD=GE,∠CBD=∠CGE=45°,∴∠BGE=∠CGB+∠CGE=90°=∠BAC,∴AC∥GE,∴,∴=,∴EG=2AF,∴BD=2AF;(3)存在,如图2,延长DA至P,使AP=AD,∵∠BAC=90°,∴点P,点D关于AC对称,∴MN+DN=MH+PN,过点P作PH⊥CD于H,要使MN+DN最小,则点P,N,M在同一条线上,且PM⊥CD,即MN+DN的最小值为PH,∵CA=3DA=6,∴AD=2,∴DP=2AD=4,CD===2,连接CP,∴S△CDP=DP•AC=CD•PH,∴PH===,即DN+MN的最小值为.2.解:(1)如图1中,∵EC平分∠ACB,EM⊥AC,EN⊥BC,∴EM=EN,∵∠EMC=∠DNC=∠MCN=90°,∴四边形EMCN是矩形,∵EM=EN,∴四边形EMCN是正方形,设正方形的边长为m,则×AC×BC=×AC×m+×BC×m,解得m=,∵EF⊥ED∴∠MEN=∠FED=90°,∴∠MEF=∠NDF,∵∠EMF=∠END=90°,∴△EMF≌△END(AAS),∴S四边形EFCD=S正方形EMCN=,故答案为:;(2)①如图2中,⊙O即为所求作.②如图2中,射线CD即为所求作.(3)如图2中,过点D作DM⊥CB交CB的延长线于M,DN⊥AC于N.∵∠DMC=∠DNC=∠MCN=90°,∴四边形DMCN是矩形,∵DC平分∠ACB,DM⊥CB,DN⊥AC,∴DM=DN,∴四边形DMCN是正方形,∴CM=CN,∵∠ACD=∠BCD,∴=,∴DB=DA,∵DM=DN,∠DMB=∠DNA=90°,∴Rt△DMB≌Rt△DNA(HL),∴BM=AN,S四边形ACBD=S正方形DMCN,∴AC+BC=CM﹣BM+CN﹣AN=2CM=14,∴CM=7,∴S四边形ACBD=49.故答案为:49.3.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°,∵∠EAF=60°,∴∠GAE=∠GAF=30°,∵AE=AF,∴FG=EG.(2)解:结论:∠EHD=120°,是定值.理由:如图2中,连接BF,CE.∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∵BH=EH,∴DH∥EC,∴∠HDB=∠ECB,∵FG=GE,EH=HB,∴GH∥BF,∴∠EHG=∠EBF,∵∠EAF=∠BAC=60°,∴∠BAF=∠CAE,∵AF=AE,AB=AC,∴△BAF≌△CAE(SAS),∴∠ACE=∠ABF,∵∠EHD=∠HDB+∠HBD,∴∠DHG=∠EHG+∠EHD=∠EBF+∠HDB+∠HBD=∠ABF﹣∠ABE+∠ECB+∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ECB+∠ABD=∠ACB+∠ABC=120°.(3)解:如图3中,取AB的中点N,连接AH,HN,CH,CH交AD于M,过点H作HT⊥AD于T.∵EH=BH,AN=BN,∴NH为△ABE的中位线,∴HN=AE=,∴点H在以N为圆心,为半径的圆上,当C,N,H共线时,CH的值最大,∵△ABC是等边三角形,∴CN⊥AB,∴∠ACM=∠MCB=30°,∵AD=2,∴CN=AD=2,在Rt△CMD中,CD=2,∠MCD=30°,∴CM==,∴MN=CN﹣CM=,∴HM=HN+MN=+=,∴HT=HM•sin60°=,∴S△ADH=•AD•HT=.4.(1)解:如图1中,过点F作FH⊥BC于H.∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∵∠DBC=45°,∴∠DCB=90°﹣45°=45°,∵FH⊥CH,∴∠FHC=90°,∴∠HFC=∠HCF=45°,∴CH=FH,设FH=CH=m,∵∠ABE=15°,∴∠FBC=45°﹣15°=30°,∴BH=HF=m,∴m+m=+1,∴m=1,∴CF=CH=,∵CD=BC=,∴DF=CD﹣CF=﹣=.(2)证明:如图2中,连接DE,过点D作DH⊥DE交BE于H.∵∠ADC=∠FDB=90°,DB=DC,BF=AC,∴Rt△BDF≌Rt△CDA(HL),∴∠DBF=∠ACD,∵∠BFD=∠CFE,∴△BFD∽△CFE,∴=,∴=,∵∠DFE=∠BFC,∴△DFE∽△BFC,∴∠DEF=∠BCF=45°,∵DH⊥DE,∴∠HDE=90°,∴∠DHE=∠DEH=45°,∴DH=DE,∵∠BDC=∠EDH=90°,∴∠BDH=∠CDE,∵DB=DC,DH=DE,∴△BDH≌△CDE(SAS),∴BH=EC,∵DH=DE,DG⊥EH,∴GH=EG,∴DG=EH,∴BE=BH+HE=EC+2DG.(3)解:如图3中,过点M作MJ⊥BC于J,过点P作PK⊥BC于K.∵△BHR,△DBC都是等腰直角三角形,∴∠DBC=∠HBR=45°,∴∠HBC=90°,∵∠H=∠HBJ=∠MJB=90°,∴四边形BHMJ是矩形,∴BH=MJ,HM=BJ,∵BH=HR,HM=MR,∴MJ=2BJ,∴tan∠MBJ==2,∴点M的在射线BM上运动,∴当C,F′,M共线,且CM⊥BM时,F′M的值最小.设AD=m,∵tan∠ACD==,∴CD=BD=3m,DF=AD=m,CF=CF′=2m,BC=3m,∵∠CMB=90°,tan∠CBM==2,∴BM=m,CM=m,∴BJ=HM=m,JM﹣BH=HR=m,∴MR=m,设BK=PK=n,CK=2n,∴n=m,∴BK=PK=m,CK=2m,PC=m,∴PF′=PC﹣CF′=m﹣2m,∴==.5.解:(1)∵∠C=90°,AC=4,CB=3,∴AB===5,∵α=90°,∴△ABA1是等腰直角三角形,AA1=AB=5.故答案为:5.(2)如图2﹣1中,当AG=AH时,∵AG=AH,∴∠AHG=∠AGH,∵∠A=∠A1,∠AGH=∠A1GB,∴∠AHG=∠A1BG,∴∠A1GB=∠A1BG,∴AB=AG=5,∴GC1=A1G﹣C1G=1,∵∠BC1G=90°,∴BG===,∴AH=AG=AB﹣BG=5﹣,∴CH=AC﹣AH=4﹣(5﹣)=﹣1.如图2﹣2中,当GA=GH时,过点G作GM⊥AH于M.同法可证,GB=GA1,设GB=GA1=x,则有x2=32+(4﹣x)2,解得x=,∴BG=,AG=5﹣=,∵GM∥BC,∴=,∴=,∴AM=,∵GA=GH,GM⊥AH,∴AM=HM,∴AH=3,∴CH=AC﹣AM=1.综上所述,满足条件的CH的值为﹣1或1.(3)如图3中,取AB的中点J,连接BM,CJ,JN.∵AJ=BJ,∠ACB=90°,∴CJ=AB=,∵BC1=BC=3,MC1=MA1=2,∠BC1M=90°,∴BM===,∵AJ=BJ,AN=NM,∴JN=BM=,∵CN≤CJ+JN,∴CN≤,∴CN的最大值为.6.解:(1)如图1中,在Rt△ABC中,,∵AD=2DB,∴AB=AD+DB=3DB,∵DE∥BC,∴,∵,∴,即,∴,故答案为:,.(2)由旋转性质可知:AD=AM,AE=AN,∠BAM=∠CAN,∵,∠BAM=∠CAN,∴△ABM∽△ACN,∴,∠ABM=∠ACN,∵,∠ABM=∠ACN,∴△DBM∽△ECN,∴.(3)如图3中,连接OB,OE,由三线合一性质可知∠BOC=∠DOE=90°,∴∠BOD=∠COE,∴∠AOB+∠BOD=∠BOC+∠COE,即∠AOD=∠BOE,∵,∠AOD=∠BOE,∴△AOD∽△BOE,∴,∵AB=3EF=6,∴,,在△BOE中,由三边关系可得,BE<BO+OE,当B、O、E三点共线时,BE存在最大值为,∵,∴当BE存在最大值时,BE﹣AD的最大值=.7.(1)解:如图1,将△APC绕点A逆时针旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,则△APP′为等边三角形.∵PP′=P A=3,PB=4,P′B=PC=5,∴P′P2+PB2=P′B2.∴△BPP′为直角三角形.∴∠APB的度数为90°+60°=150°.故答案为:直角;150°.(2)证明:如图2中,将△P AB绕点B逆时针旋转60°得到△TCB,连接PT.∵BP=BT,∠PBT=60°,∴△PBT是等边三角形,∴PT=PB,∠PTB=60°,由旋转的性质可知:△P AB≌△TCB,∴∠APB=∠CTB=30°,P A=CT,∴∠PTC=∠PTB+∠CTB=60°+30°=90°,∴PC2=PT2+CT2,∵PB=PT,P A=CT,∴P A2+PB2=PC2.(3)解:过点C作CT⊥PB于T,连接AT,设CT交AB于O.∵PC=BC=2,CT⊥PB,∴PT=BT,∵∠CAO=∠BTO=90°,∠AOC=∠BOT,∴∠ACT=∠ABP,∠ATC=∠ABC=45°,∵∠CTB=90°,∴∠ATP=∠CTA=∠APT=45°∵AC=AB,∴△CAT≌△BAP(AAS),∴CT=PB=2PT,∵PC2=PT2+CT2,∴(2)2=m2+(2m)2,解得m=2或﹣2(舍弃),∴PT=2,∴P A=PT=.8.解:(1)∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠ADB=∠CEA=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,又∵∠BAC=90°,∴∠EAC+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(AAS),∴BD=AE,AD=EC,∴BD=DE+CE.(2)∵BD⊥AE,CE⊥AE,∴∠ADB=∠CEA=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,又∵∠BAC=90°,∴∠EAC+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(AAS),∴BD=DE﹣CE.(3)同(2)的方法得出,BD=DE﹣CE.(4)归纳:由(1)(2)(3)可知:当B,C在AE的同侧时,BD=DE﹣CE.当B,C在AE的异侧时,BD=DE+CE.9.(1)证明:如图1中,连接BD.∵△ABC是等腰直角三角形,AD=DC,∴BD⊥AC,BD=DA=DC,∴BD⊥AC,∵ED⊥DF,∴∠EDF=∠BDC=90°,∴∠EDB=∠FDC,∵∠DBE=∠C=45°,∴△EDB≌△FDC(ASA),∴DE=DF.(2)证明:如图2中,连接DB,CF.∵∠BDC=∠EDF=90°,∴∠BDE=∠CDF,∵DB=DC,DE=DF,∴△EDB≌△FDC(SAS),∴∠DBE=∠DCF=45°,∴点F在线段BC上.(3)①如图3﹣1中,过点D作DT⊥AB于T.∵∠ATD=∠ABC=90°,∴DT∥CB,∵AD=DC,∴AT=TB=3,∴DT=BC=4,∵△DEF是等腰直角三角形,EF=,∴DE=DF=,∴ET===1,∴BE=TB+ET=3+1=4,当点E在点T的下方时,BE=3﹣1=2,综上所述,满足条件的BE的值为4或2.②如图3﹣2中,∵△ACF是等腰三角形,又∵AD=DC=DF,∴∠AFC=90°,∴△AFC是等腰直角三角形,∴点E与A重合,∴BE=6.③如图3﹣3中,过点D作DT⊥AB于T,过点F作FR⊥DT于R.∵∠DTE=∠FRD=90°,∠EDT=∠DFR,DE=DF,∴△DTE≌△FRD(AAS),∴ET=DR,DT=FR=4,设ET=DR=m,则RT=4﹣m,∴S△EFB=(3+m)(4﹣m)=(﹣m2+m+12)=﹣(m﹣)2+,∵﹣<0,∴△BEF的面积有最大值,最大值为.10.解:(1)∵点A(﹣4,0),点B(0,3),∴OA=4,OB=3,由旋转的性质可知,BO=BO′=3,OM=O′N=1,∠OBO′=90°,∴N(﹣3,4).故答案为:(﹣3,4).(2)如图②中,∵BM=BN,∴O′M+BN=O′M+BM,作点B关于OA的对称点B′,连接O′B′交OA于M,连接BM,O′M+BM的值最小.∵O′(﹣3,3),B′(0,﹣3),∴直线O′B′的解析式为y=﹣2x﹣3,∴M(﹣,0),∴O′N=OM=,∴N(﹣3,).(3)存在.理由:如图③﹣1中,当点O′落在AB的延长线上时,△PO′A′的面积最大.由题意,OA=4,OB=3,∴AB===5,∴P A:PB=2:1,∴PB=,∴PO′=PB+PO′=,∴△PO′A′的面积的最大值=×4×=.如图③﹣2中,当点O′落在AB上时,△PO′A′的面积最小,最小值为×4×(3﹣)=.11.解:(1)如图①中,过点D作DT⊥BC于T.∵DE⊥AC,∴∠DEC=∠ECT=∠DTC=90°,∴四边形ECTD是矩形,∴DT=EC,DT∥AC,∴∠TDB=∠A=30°,∴DT=BD,∵FC=FB,∠CFG=∠BFD,FG=FD,∴△CFG≌△BFD(SAS),∴CG=BD,∠FCG=∠B=60°,∴EC=CG,∴∠ACG=90°+60°=150°,∴直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°,故答案为:EC=CG,30°.(2)成立.理由如下:连接CD,BG,延长BD交CE的延长线于H,设BH交AC于点O.在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE=30°,∴cos∠BAC==,cos∠EAD==,∠EAC=∠DAB,∴==,∴△ACE∽△ABD,∴==,∠ACE=∠ABD,∵∠HOC=∠AOB,∴∠H=∠OAB=30°,∵CF=FB,DF=FG,∴四边形DCGB是平行四边形,∴CG=BD,CG∥BH,∴∠1=∠H=30°,∴EC=CG,直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°.(3)如图③﹣1中,当∠AEC=90°时,由题意AC=AB=2,AE=AD=,∴EC===,∴CG=EC=,如图③﹣2中,当∠EAC=90°时,可得EC==,∴CG=EC=5.综上所述,CG的值为或5.12.解:(1)由题意得,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,BC=1,∴AC=2,BC=,在Rt△DEC中,∠DEC=90°,∠DCE=60°,EF=2,∴DC=4,DE=2,∴∠DCA=180°﹣∠DCE﹣∠ACB=60°,∴AC=EF,∠DCE=∠DCA,DC=DC,∴△DEF≌△DAC(SAS),∴AD=DE=2,∠EDC=∠CDA=30°,∵∠MEC=60°,∴∠DEM=30°,∴∠DME=180°﹣∠DEM﹣∠EDM=180°﹣∠DEM﹣2∠EDC=90°,∴DM=DE=,∴AM=AD﹣DM=,∴=1,故答案为:1;(2)如图2,连接AE,∵AC=EF=2,∠ACE=60°,∴△AEC是等边三角形,∴AE=2,∠EAC=∠AEC=60°,∴∠AEB+∠BEC=∠AEC=60°,∵∠MEB=60°,∴∠AEB+∠MEA=60°,∴∠BEC=∠MEA,∵∠DAE=∠ECB=120°,AE=EC,∴△AME≌△CBE(ASA),∴AM=BC=1,∵AD=DC﹣AC=2,∴DM=AD﹣AM=1,∴=1;(3)如图3,过点B作BG⊥BE交EM延长线于点G,连接AG,BG,∵∠CBA=∠EBG=90°,∴∠EBC=∠GBA,∵∠MEB=∠ACB=60°,∴,∴△ECB∽△GAB,∴,∠AGB=∠CEB,∴AG=m,∵∠CEB+∠DEG=30°,∠AGB+∠EGA=30°,∴∠AGM=∠DEM,∴AG∥DE,∴△AGM∽△DEM,∴,∵DE=EF=2,∴==.故答案为:.13.(1)证明:如图1中,∵∠ABC=45°,AD⊥BC于点D,∴∠BAD=90°﹣∠ABC=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD,∵BE⊥AC,∴∠GBD+∠C=90°,∵∠EAD+∠C=90°,∴∠GBD=∠EAD,∵∠ADB=∠EDG=90°,∴∠ADB﹣∠ADG=∠EDG﹣∠ADG,即∠BDG=∠ADE,∴△BDG≌△ADE(ASA),∴BG=AE,DG=DE,∵∠EDG=90°,∴△EDG为等腰直角三角形,∴∠AED=∠AEB+∠DEG=90°+45°=135°,∵△AED沿直线AE翻折得△AEF,∴△AED≌△AEF,∴∠AED=∠AEF=135°,ED=EF,∴∠DEF=360°﹣∠AED﹣∠AEF=90°,∴△DEF为等腰直角三角形,∴∠GDE=∠DEF=90°,DG=DE=EF,∴DG∥EF,∴四边形DFEG是平行四边形.(2)解:如图2中,设AD交BE于P,过点P作PT⊥AB于T.∵tan∠ABE==,∴可以假设PT=a,BT=3a,∵△ABD是等腰直角三角形,∴∠P AT=45°,∵PT⊥AB,∴∠ATP=90°,∴∠P AT=∠APT=45°,∴AT=PT=a,∴P A=a,AB=4a,AD=BD=2a,∴P A=PD=a,∴tan∠BPD==2,∵BE⊥AC,∴∠ADC=∠PEC=90°,∴∠EPD+∠ACD=180°,∵∠EPD+∠BPD=180°,∴∠BPD=∠ACD,根据对称性可知,∠ACD=∠ACF,∠ADF=∠AFD,AC⊥DF,∴∠ACD=∠ACF=∠BPD,∵∠ADF+∠CDF=90°,∠CDF+∠ACD=90°,∴∠ADF=∠ACD,∴∠ACD=∠ACF=∠ADF=∠AFD=∠BPD,∴正切值等于2的角有:∠ACD,∠ACF,∠ADF,∠AFD.14.解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AE,∴△BAE为等腰直角三角形,∵AG⊥BE,∴AH是△BAE的中线,∴BE=2AH=4,∵∠BEA=45°,∴∠BEC=135°,在△BCE中,过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D,如图1,∵∠DEC=45°,∴△DEC是等腰直角三角形,设ED=x,则DC=x,CE=x,在Rt△BCD中,BC2=BD2+DC2,即,∴x1=1或x2=﹣5(舍去),∴CE=;(2)如图2,过H作HD⊥HM交AM于点D,连接BD,∵AB=AE,∠BAC=90°,∴△ABE是等腰直角三角形,∵AG⊥BE,∴△ABH为等腰直角三角形,∴BH=AH,∠BAN=45°,∠BHA=90°,∵AB=BM,∴∠BAM=∠BMA,∵∠HMG=∠MAH,∴∠BAM﹣∠MAH=∠BMA﹣∠HMG,即∠BAH=∠AMH=45°,∵HD⊥HM,∴△DHM为等腰直角三角形,∴DH=HM,∠DHM=90°,∵∠BHD=∠BHA+∠AHD,∠AHM=∠DHM+∠AHD,∴∠BHD=∠AHM,在△BHD与△AHM中,,∴△BHD≌△AHM(SAS),∴∠DBH=∠MAH,BD=AM,∴∠BHA=∠BDA=90°,∵BA=BM,∴D是AM的中点,∴AM=2DM=2HM,即AM=2HM;(3)∵H是BE的中点,M是BC的中点,∴MH是△BCE的中位线,∴MH∥CE,∴∠AMH=∠MAC,∵∠BAC=90°,∴AM=BM,∴∠MAB=∠ABM,∵点B与点N关于线段AM对称,∴∠ABM=∠ANM,AB=AN,∴AE=AN,∴∠AEN=∠ANE,在△AEN中,∠NAE+2∠ANE=180°①,∵∠ANE=∠ANM+∠MNE,∠ABM=∠ANM=∠MAB=90°﹣∠MAC,∴∠ANE=90°﹣∠MAC+∠MNE,∴∠ANE=90°﹣∠AMH+∠MNE②,将②代入①,得:∠NAE+2×(90°﹣∠AMH+∠MNE)=180°,∴∠NAE+180°﹣2∠AMH+2∠MNE=180°,∴∠NAE+2∠MNE=2∠AMH.15.解:(1)结论:CG⊥BD.理由:延长CF到点M,使得FM=CF,连接AM.∵F A=FE,∠AFM=∠EFC,FM=FC,∴△AMF≌△ECF(SAS),∴AM=CE=4,∠AMF=∠ECF,∴AM∥CE,∴∠MAC=∠DCB=90°,∵==,∴△MAC∽△DCB,∴∠DBC=∠ACM,∵∠ACM+∠GCB=90°,∴∠DBC+∠GCB=90°,∴∠CGB=90°,∴CG⊥BD.故答案为:CG⊥BD.(2)结论仍然成立.理由:延长CF到点M,使得FM=CF,连接AM.∵F A=FE,∠AFM=∠EFC,FM=FC,∴△AMF≌△ECF(SAS),∴AM=CE=4,∠AMF=∠ECF,∴AM∥CE,∴∠MAC+∠ACE=180°,∴∠MAC=180°﹣∠ACE,∵∠DCB=∠DCE+∠ACB﹣∠ACE=90°+90°﹣∠ACE=180°﹣∠ACE,∴∠MAC=∠DCB,∵==,∴△MAC∽△DCB,∴∠DBC=∠ACM,∵∠ACM+∠GCB=90°,∴∠DBC+∠GCB=90°,∴∠CGB=90°,∴CG⊥BD.(3)如图3中,当点E在线段BD上时,∵△AMC∽△CDB,∴==,在Rt△DCE中,CD=3,CE=4,∴DE===5,∵CG⊥DE,∴CG==,在Rt△CGB中,CB=6,CG=中,∴BG===,在Rt△DCG中,DG===,∴BD=BG+DG=,∴CM=BD=,∴CF=CM=如图4中,当点E在线段BD的延长线上时,同法可得CF=CM=.综上所述,满足条件的CF的值为或.16.(1)解:如图1中,过点F作FH⊥AE于H.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,∠C=30°,∴AC=2AB=4,BC=AB=2,∵AE=EC=AC=2,EG=GC,∴EG=CG=1,∵∠AFE=90°,∠AEF=30°,∴EF=AE•cos30°=,∴FH=EF=,HE=FH=,∴GH=HE+EG=,∴FG===.(2)证明:如图2中,取AC的中点M,连接BM,GM,BF.∵AM=MC,∠ABC=90°,∴BM=AM=CM,∵AC=2AB,∴AB=AM=BM,∴∠BAM=∠AMB=∠ABM=60°,∴∠BMC=120°,∵AE=2AF,∠EAF=60°,∴∠BAF=120°+∠EAC,∵AM=MC,EG=GC,∴GM=AE=AF,GM∥AE,∴∠CMG=∠EAC,∴∠BMG=120°+∠CMG=120°+∠EAC=∠BAF,∴△BAF≌△BMG(SAS),∴∠ABF=∠MBG,BF=BG,∴∠FBG=∠ABM=60°,∴△BFG是等边三角形,∴BG=FG,∴BG=EF+EG=AE+CG=AB+CG.(3)解:如图3中,取AC的中点M,连接BM,GM,BF.在MC上取一点D,使得MD=MG,连接DG,BD.同法可证:△BAF≌△BMG(SAS),∴∠ABF=∠MBG,BF=BG,∴∠FBG=∠ABM=60°,∴△BFG是等边三角形,∴BG=FG,∵AM=CM,EG=CG,∴MG=AE,∵AB=3,∠ABC=90°,∠ACB=30°,∴AC=2AB=6,AM=CM=3,∵AE=AC=3,MG=,∴MD=MG=,∵==,∠DMG=∠GMC,∴△MDG∽△MGC,∴==,∴DG=CG,∴GB﹣CG=GB﹣DG≤BD,∴当B,D,G共线时,BG﹣CG的值最大,最大值为BD的长,∴直线AB,AC,BG围成的三角形为△ABD,∵AD=AM+DM=3+=,∴S△ABD=××=,∴当GB﹣GC最大时,直线AB,AC,BG所围成三角形的面积为.17.(1)证明:如图1中,∵CA=CB,∠ACB=90°,AD=DB,∴CD⊥AB,CD=AD=DB,∵∠DEF=∠ADC=90°,DE=EF,∴AD=EF,∵∠AOD=∠EOF,∴△AOD≌△FOE(AAS),∴OE=OD.(2)解:结论:AD﹣BF=CE.理由:如图2中,过点E作ET⊥BC交AB于T,过点T作TR⊥AC于R.则四边形ECRT 是矩形,△ART,△EBT都是等腰直角三角形,可得EC=RT,AT=RT=EC.∵∠TEB=∠DEF=90°,∴∠TED=∠BEF,∵ET=EB,ED=EF,∴△TED≌△BEF(SAS),∴DT=BF,∵AD﹣DT=AT,∴AD﹣BF=CE.(3)解:如图3中,取AB的中点R,连接GR,BF,过点E作EM⊥AB于M.设GR =x,EM=BM=y.由(2)可知,△TED≌△BEF(SAS),∴∠ETD=∠EBF=45°,∴∠ABC=45°,∴∠FBA=90°,∵AG=GF,AR=RB=2,∴GR∥BF,BF=2GR=2x,∴∠GRA=∠FBA=90°,∵GR⊥AB,∵AB=4,AD=3BD,∴AD=3,BD=,∴DR=AD﹣AR=3﹣2=,∵∠GRD=∠EMD=∠EDG=90°,∴∠GDR+∠DGR=90°,∠GDR+∠EDM=90°,∴∠DGR=∠EDM,∴△DRG∽△EMD,∴=,∴=①又∵AD﹣BF=CE,∴3﹣2x=(4﹣y)②,由①②可得y=(不合题意的解已经舍弃).∴EC=4﹣()=.18.解:(1)∵+|y﹣8|=0,又∵≥0,|y﹣8|≥0,∴x=2,y=8,∴A(2,8),∵AD⊥x轴,∴OD=2,AD=8,∵AD﹣OD=OE,∴OE=6,∴E(﹣6,0).(2)如图1中,连接OG.由题意G(10,m).∵AD=DE=8,∠ADE=90°,∴∠AED=45°,∴∠OEF=∠OFE=45°,∴OE=OF=6,∴F(0,6),∴S=S△ODG+S△OFG﹣S△OFD=×2×m+×6×10﹣×2×6=m+24(0≤m≤8).(3)如图2中,设FG交AD于J,P(2,t),当点P在DJ上,点Q在AB上时,当S=26时,m=2,∴G(10,2),∵F(0,6),∴直线FG的解析式为y=﹣x+6,∴J(2,),由题意,•(﹣t)×10=2××2t×6,解得t=,∴P(2,),当点P在AJ上,点Q在BG上时,同法可得,•(t﹣)×10=2××(14﹣2t)×8,解得t=,∴P(2,).综上所述,满足条件的点P的坐标为(2,)或(2,).19.解:(1)当x=0时,y=6,∴B(0,6),当y=0时,﹣x+6=0,∴x=6,∴A(6,0);(2)如图1,过点C作CM⊥x轴于M,Rt△ABO中,OA=6,OB=6,∴AB==12,∴∠ABO=30°,由翻折得:∠ABC=∠ABO=30°,∠AOB=∠ACB=90°,AC=OA=6,∴∠CAM=60°,∴∠ACM=90°﹣60°=30°,∴AM=AC=3,CM=3,∴C(9,3),∴k=9×3=27;(3)分两种情况:①如图2,当点B'在y轴的负半轴上时,。
中考数学总复习几何部分教案一、教学目标1. 知识与技能:使学生掌握初中数学几何部分的基本概念、性质、定理和公式,提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 过程与方法:通过复习,使学生能够熟练运用几何知识解决实际问题,培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观:激发学生学习几何的兴趣,培养学生勇于探索、积极思考的科学精神,提高学生对数学美的鉴赏能力。
二、教学内容1. 第一章:平面几何基本概念1.1 点、线、面的位置关系1.2 平行线、相交线1.3 三角形、四边形、五边形等基本图形的性质2. 第二章:三角形2.1 三角形的性质2.2 三角形的判定2.3 三角形的证明方法3. 第三章:四边形3.1 四边形的性质3.2 特殊四边形的性质及判定3.3 四边形的不等式4. 第四章:圆4.1 圆的定义及性质4.2 圆的方程4.3 圆与直线、圆与圆的位置关系5. 第五章:几何变换5.1 平移、旋转的性质5.2 相似三角形的性质及判定5.3 位似与坐标变换三、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论等多种教学方法,引导学生主动参与、积极思考。
2. 利用多媒体教学手段,直观展示几何图形的性质和变换过程,提高学生的空间想象能力。
3. 注重个体差异,针对不同学生进行分层教学,使每位学生都能在复习过程中得到提高。
四、教学评价1. 定期进行课堂检测,了解学生掌握几何知识的情况。
2. 组织中考模拟试题训练,检验学生的应用能力和解题水平。
3. 关注学生在复习过程中的学习态度、方法及合作精神,进行全面评价。
五、教学计划1. 课时安排:每个章节安排4课时,共20课时。
2. 教学进度:按照章节顺序进行复习,每个章节安排一周时间。
3. 复习方法:先梳理每个章节的基本概念、性质、定理和公式,进行典型例题分析,进行课堂练习和总结。
4. 课外作业:每章节安排2-3道课后习题,巩固所学知识。
5. 课后辅导:针对学生疑难问题进行解答,提供个性化的学习指导。
2024成都中考数学一轮复习专题几何综合压轴问题1.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,M ,N 分别是斜边DE ,AB 的中点,2,4DE AB ==.(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周,请直接写出点M ,N 距离的最大值和最小值;(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒(如图2),求MN 的长.2.(2023·山东烟台·统考中考真题)如图,点C 为线段AB 上一点,分别以,AC BC 为等腰三角形的底边,在AB 的同侧作等腰ACD 和等腰BCE ,且A CBE ∠=∠.在线段EC 上取一点F ,使EF AD =,连接,BF DE .(1)如图1,求证:DE BF =;(2)如图2,若2AD BF =,的延长线恰好经过DE 的中点G ,求BE 的长.(1)如图1,求AB边上的高CH的长.''.(2)P是边AB上的一动点,点,C D同时绕点P按逆时针方向旋转90︒得点,C D①如图2,当点C'落在射线CA上时,求BP的长.△是直角三角形时,求BP的长.②当AC D''(2)知识应用:如图2,在Y是菱形;①求证:ABCD②延长BC至点E,连接OE交CD于点由60PC P C PCP ''=∠=︒,,可知PCP '△为①三角形,故PP PC '=,又PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥,由②可知,当B ,P ,P ',A 在同一条直线上时,PA PB PC ++取最小值,如图的P 点为该三角形的“费马点”,且有APC BPC APB ∠=∠=∠=③;(3)如图5,设村庄A ,B ,C 的连线构成一个三角形,且已知4km AC BC =,建一中转站P 沿直线向A ,B ,C 三个村庄铺设电缆,已知由中转站P 到村庄元/km ,a 元/km ,2a 元/km ,选取合适的P 的位置,可以使总的铺设成本最低为用含a 的式子表示)上的中线.如图2,将ABC 的两个顶点B ,C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合,折痕分别交,,AB AC BC 于点E ,G ,F ,H .猜想证明:(1)如图2,试判断四边形AEDG 的形状,并说明理由.问题解决;(2)如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后,重新沿MN 折叠,使得顶点B 与点H 重合,折痕分别交,AB BC 于点M ,N ,BM 的对应线段交DG 于点K ,求四边形MKGA 的面积.8.(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1,在正方形ABCD 中,对角线AC BD 、相交于点O .在线段AO 上任取一点P (端点除外),连接PD PB 、.①求证:PD PB =;②将线段DP 绕点P 逆时针旋转,使点D 落在BA 的延长线上的点Q 处.当点P 在线段AO 上的位置发生变化时,DPQ ∠的大小是否发生变化?请说明理由;③探究AQ 与OP 的数量关系,并说明理由.(2)[迁移探究]如图2,将正方形ABCD 换成菱形ABCD ,且60ABC ∠=︒,其他条件不变.试探究AQ 与CP 的数量关系,并说明理由.9.(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1,在ABC 中,AB AC =,点,M N 分别为边,AB BC 的中点,连接MN .(1)求BCF ∠的度数;(2)求CD 的长.深入探究:(3)若90BAC ∠<︒,将BMN 绕点B 顺时针旋转α,得到BEF △,连接AE ,CF 满足0360α︒<<︒,点,,C E F 在同一直线上时,利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系,并说明理由.(1)如图1,当1m =时,直接写出AD ,BE 的位置关系:____________;(2)如图2,当1m ≠时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.【拓展应用】(3)当3,47,4m AB DE ===时,将CDE 绕点C 旋转,使,,A D E 三点恰好在同一直线上,求(1)若点P 在AB 上,求证:A P AP '=;(2)如图2.连接BD .①求CBD ∠的度数,并直接写出当180n =时,x 的值;②若点P 到BD 的距离为2,求tan A MP '∠的值;(2)如图②,在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ,将四边形ABED 沿DE 翻折,使点B '处,若24,6BC CE AB ⋅==,求BE 的值;(3)如图③,在ABC 中,45,BAC AD BC ∠=︒⊥,垂足为点,10,D AD AE ==于点F ,连接DF ,且满足2DFE DAC ∠=∠,直接写出53BD EF +的值.13.(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知ABC 是等边三角形,点D 是射线(1)如图1,当点D 在线段AB 上时,猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由;(2)如图2,当点D 在线段AB 的延长线上时,①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立?请说明理由;②如图3,连接AE .设4AB =,若AEB DEB ∠=∠,求四边形BDFC 的面积.(1)若正方形ABCD 的边长为2,E 是AD 的中点.①如图1,当90FEC ∠=︒时,求证:AEF DCE ∽△△;②如图2,当2tan 3FCE ∠=时,求AF 的长;(2)如图3,延长CF ,DA 交于点G ,当1,sin 3GE DE FCE =∠=时,求证:问题探究:(1)先将问题特殊化,如图(2),当90α=︒时,直接写出GCF ∠的大小;(2)再探究一般情形,如图(1),求GCF ∠与α的数量关系.问题拓展:(3)将图(1)特殊化,如图(3),当120α=︒时,若12DG CG =,求BE CE 的值.(1)数学思考:谈你解答老师提出的问题;(2)深入探究:老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转,问题.①“善思小组”提出问题:如图3,当ABE BAC ∠=∠时,过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N .试猜想线段AM 和BE 的数量关系,并加以证明.请你解答此问题;②“智慧小组”提出问题:如图4,当CBE BAC ∠=∠时,过点A 作AH DE ⊥于点H ,若9,12BC AC ==,求AH 的长.请你思考此问题,直接写出结果.17.(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形ABCD 的顶点D 作直线DP ,点C 关于直线DP 的对称点为点E ,连接AE ,直线AE 交直线DP 于点F .(1)如图1,若25CDP ∠=︒,则DAF ∠=___________︒;(2)如图1,请探究线段CD ,EF ,AF 之间的数量关系,并证明你的结论;(3)在DP 绕点D 转动的过程中,设AF a =,EF b =请直接用含,a b 的式子表示DF 的长.18.(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践问题情境:数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.已知,90AB AC A =∠>︒,点E 为AC 上一动点,将ABE 以BE 为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探究:独立思考:小明:“当点D 落在BC 上时,2EDC ACB ∠=∠.”小红:“若点E 为AC 中点,给出AC 与DC 的长,就可求出BE 的长.”实践探究:奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:问题1:在等腰ABC 中,,90,AB AC A BDE =∠>︒△由ABE 翻折得到.(1)如图1,当点D 落在BC 上时,求证:2EDC ACB ∠=∠;(2)如图2,若点E 为AC 中点,43AC CD ==,,求BE 的长.问题解决:小明经过探究发现:若将问题1中的等腰三角形换成90A ∠<︒的等腰三角形,可以将问题进一步拓展.问题2:如图3,在等腰ABC 中,90,4,2A AB AC BD D ABD ∠<===∠=∠︒.若1CD =,则求BC 的长.19.(2023·山东·统考中考真题)(1)如图1,在矩形ABCD 中,点E ,F 分别在边DC ,BC 上,AE DF ⊥,垂足为点G .求证:ADE DCF △∽△.【问题解决】(2)如图2,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边DC ,BC 上,AE DF =,延长BC 到点H ,使CH DE =,连接DH .求证:ADF H ∠=∠.【类比迁移】(3)如图3,在菱形ABCD 中,点E ,F 分别在边DC ,BC 上,11AE DF ==,8DE =,60AED ∠=︒,求CF 的长.20.(2023·福建·统考中考真题)如图1,在ABC 中,90,,BAC AB AC D ∠=︒=是AB 边上不与,A B 重合的一个定点.AO BC ⊥于点O ,交CD 于点E .DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的,,FD CA 的延长线相交于点M .(1)求证:ADE FMC △∽△;(2)求ABF ∠的度数;(3)若N 是AF 的中点,如图2.求证:ND NO =.21.(2023·四川·统考中考真题)如图1,已知线段AB ,AC ,线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转,连接BC ,(1)若=90BDC ∠︒,以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △,且90AEB ∠=示线段AC 与DE 的数量关系是;(2)如图2,在(1)的条件下,若DE AB ⊥,4AB =,2AC =,求BC (3)如图3,若90BCD ∠=︒,4AB =,2AC =,当AD 的值最大时,求此时请完成:(1)观察图1中1∠,2∠和3∠,试猜想这三个角的大小关系(2)证明(1)中的猜想;【类比操作】如图2,N 为矩形纸片请完成:(3)证明BB '是NBC ∠的一条三等分线.(1)如图1,若9AC =,3BD =,求线段AD 的长.(2)如图2,以CD 为边在CD 上方作等边CDE ,点F 是DE 的中点,连接BF 并延长,交G .若G BCE ∠=∠,求证:GF BF BE =+.(3)在CD 取得最小值的条件下,以CD 为边在CD 右侧作等边CDE .点M 为CD 所在直线上一点,(1)证明:在点P 的运动过程中,总有120PEQ ∠=(2)当AP DP为何值时,AQF 是直角三角形?26.(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践(1)发现问题:如图1,在ABC 和AEF △中,AB AC =,AE AF =,30BAC EAF ∠=∠=︒,连接BE ,CF ,延长BE 交CF 于点D .则BE 与CF 的数量关系:______,BDC ∠=______︒;(2)类比探究:如图2,在ABC 和AEF △中,AB AC =,AE AF =,120BAC EAF ∠=∠=︒,连接BE ,CF ,延长BE ,FC 交于点D .请猜想BE 与CF 的数量关系及BDC ∠的度数,并说明理由;(3)拓展延伸:如图3,ABC 和AEF △均为等腰直角三角形,90BAC EAF ∠=∠=︒,连接BE ,CF ,且点B ,E ,F 在一条直线上,过点A 作AM BF ⊥,垂足为点M .则BF ,CF ,AM 之间的数量关系:______;(4)实践应用:正方形ABCD 中,2AB =,若平面内存在点P 满足90BPD ∠=︒,1PD =,则ABP S =△______.27.(2023·广东深圳·统考中考真题)(1)如图,在矩形ABCD 中,E 为AD 边上一点,连接BE ,①若BE BC =,过C 作CF BE ⊥交BE 于点F ,求证:ABE FCB ≌△△;②若20ABCD S =矩形时,则BE CF ⋅=______.(2)如图,在菱形ABCD 点F ,若24ABCD S =菱形(3)如图,在平行四边形ABCD 一点,连接EF ,过E 作EG ⊥长.(1)如图1,连接QA .当QA QP =时,试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上,并说明理由;(2)如图2,若90APB ∠=︒,且BAP ADB ∠=∠,①求证:2AE EP =;②当OQ OE =时,设EP a =,求PQ 的长(用含a 的代数式表示).【探究一】如图②,把CDM V 绕点C 逆时针旋转90︒得到CBH ,同时得到点H 在直线AB CNM CNH ∠=∠;【探究二】在图②中,连接BD ,分别交CM ,CN 于点E ,F .求证:CEF CNM △∽△;【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置,直线BD 与三角尺45︒角两边CM ,CN 分别交于点接AC 交BD 于点O ,求EF NM的值.PMN PNM ∠=∠.(2)用数学的思维思考.如图,延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ,延长线段BC 交MN 的延长线于点F ,求证:AEM F ∠=∠.(3)用数学的语言表达.如图,在ABC 中,AC AB <,点D 在AC 上,AD BC =,M 是AB 的中点,N 是DC 的中点,连接MN 并延长,与BC 的延长线交于点G ,连接GD ,若60ANM ∠=︒,试判断CGD △的形状,并进行证明.31.(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在矩形ABCD 中,E 是边AB 上一点,DF CE ⊥于点F ,GD DF ⊥,AG DG ⊥,AG CF =.试猜想四边形ABCD 的形状,并说明理由;【实践探究】(2)小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图2,在正方形ABCD 中,E 是边AB 上一点,DF CE ⊥于点F ,AH CE ⊥于点H ,GD DF ⊥交AH 于点G ,可以用等式表示线段FH ,AH ,CF 的数量关系,请你思考并解答这个问题;【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形ABCD 中,E 是边AB 上一点,AH CE ⊥于点H ,点M 在CH 上,且AH HM =,连接AM ,BH ,可以用等式表示线段CM ,BH 的数量关系,请你思考并解答这个问题.32.(2023·贵州·统考中考真题)如图①,小红在学习了三角形相关知识后,对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形ABC 中,,90CA CB C =∠=︒,过点B 作射线BD AB ⊥,垂足为B ,点P 在CB 上.(1)【动手操作】如图②,若点P 在线段CB 上,画出射线PA ,并将射线PA 绕点P 逆时针旋转90︒与BD 交于点在图中画出图形,图中PBE ∠的度数为_______度;(2)【问题探究】(1)如图,当点D 与点O 重合时,请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系;(2)如图,当点D 在线段AB 上时,求证:2CG BD BC +=;(3)连接DE ,CDE 的面积记为1S ,ABC 的面积记为2S ,当:EF BC 34.(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究.在Rt ABC △中,90,C AC BC ∠=︒=,D 是AB 边上一点,且1AD BD n=(【初步感知】(1)如图1,当1n =时,兴趣小组探究得出结论:22AE BF AB +=,请写出证明过程.【深入探究】(2)①如图2,当2n =,且点F 在线段BC 上时,试探究线段AE BF AB ,,之间的数量关系,请写出结论并=;(1)求证:ED EC(2)将BE绕点E逆时针旋转,使点与B,C重合),判断(3)在(2)的条件下,已知37.(2023·安徽·统考中考真题)在点D在直线AB外,连接(1)如图1,求ADB ∠的大小;(2)已知点D 和边AC 上的点E 满足,ME AD DE AB ⊥∥.(ⅰ)如图2,连接CD ,求证:BD CD =;(ⅱ)如图3,连接BE ,若8,6AC BC ==,求tan ABE ∠的值.38.(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义:有两个相邻的内角是直角,并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形,相等两邻边的夹角称为邻等角.(1)如图1,在四边形ABCD 中,,90AD BC A ∠=︒∥,对角线BD 平分ADC ∠.求证:四边形ABCD 为邻等四边形.(2)如图2,在6×5的方格纸中,A ,B ,C 三点均在格点上,若四边形ABCD 是邻等四边形,请画出所有符合条件的格点D .(3)如图3,四边形ABCD 是邻等四边形,90DAB ABC ∠=∠=︒,BCD ∠为邻等角,连接AC ,过B 作BE AC ∥交DA 的延长线于点E .若8,10AC DE ==,求四边形EBCD 的周长.39.(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上,李老师让同桌两位同学用相同的两块含30︒的三角板开展数学探究活动,两块三角板分别记作ADB 和,90,30A D C ADB A D C B C ∠=∠=︒∠''''=∠=︒△,设2AB =.(1)当60α=︒时,BC =________;当22BC =时,α=________︒;(2)当90α=︒时,画出图形,并求两块三角板重叠部分图形的面积;(3)如图2,取BC 的中点F ,将A D C '' 绕着点A 旋转一周,点F 的运动路径长为刘老师进一步谈到:图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中,即形旋转的关键;故数学就是一门哲学.【问题解决】(1)上述问题情境中“(2)如图,小王将一个半径为4cm,圆心角为60︒的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90︒到达扇形纸板'''的位置.A B C①请在图中作出点O;BB',则在旋转过程中,点B经过的路径长为__________;②如果=6cm【问题拓展】小李突发奇想,将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠,一个固定在墙上,使得一边位于水平位置,另一个在弧的中点处固定,然后放开纸板,使其摆动到竖直位置时静止,此时,两个纸板重叠部分的面积是多少呢?如图所示,请你帮助小李解决这个问题.参考答案(2)解:如图所示,过点N 作NP MC ⊥,交MC 的延长线于点∵CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒,∴120BCE ∠=︒,∵45BCN ECM ∠=∠=︒,∴120MCN BCM ECM BCE ∠=∠-∠=∠=︒,∴60NCP ∠=︒,∴30CNP ∠=︒,∵点G 是DE 的中点,∴GH 是FCD 的中位线,∴11122GH CD AD ===,设BE a =,则CH EH ==∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'.由旋转知PC PC '=,设C D ''与射线BA 的交点为作CH AB ⊥于点H .∵PC PC ⊥',∴90CPH TPC ∠'+∠=︒,∵C D AT ''⊥,∴90PC T TPC ∠'+∠='︒,②AD DF BD =+.理由如下:∵DF 和DC 关于AD 对称,∴DF DC =.∵AE CD =,∴AE DF =.∴AD AE DE DF BD =+=+∵DF 和DC 关于AD 对称,∴DF DC =,ADF ADC ∠=∠.∵CD BD ⊥,∴45ADF ADC ∠=∠=︒,∴45EBD ∠=︒.∴2DE BD =.∵AB AC AF ==,∴()11222HF BF BD DF ==-=,222262210BC BD CD =+=+=∴2221022AF AC BC ===⨯=25HF∴1BG BO GC OD==,∴115222CG BC AD ===,∴552OF GC .【详解】(1)解:∵60PC P C PCP ''=∠=︒,,∴PCP '△为等边三角形;∴PP PC '=,60P PC PP C ''∠=∠=︒,又P A PA ''=,故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥,由两点之间线段最短可知,当B ,P ,P ',A 在同一条直线上时,PA PB PC ++取最小值,最小值为A B ',此时的P 点为该三角形的“费马点”,∴180BPC P PC '∠+∠=︒,180A P C PP C ∠+∠='''︒,∴120BPC ∠=︒,120A P C ''∠=︒,又∵A P C APC ≅'' ,∴120APC AP C '∠=∠=︒,∴360120APB APC BPC ∠=︒-∠-∠=︒,∴120APC BPC APB ∠=∠=∠=︒;∵120BAC ∠≥︒,∴BC AC >,BC AB >,∴BC AB AC AB +>+,BC AC AB AC +>+,∴三个顶点中,顶点A 到另外两个顶点的距离和最小.又∵已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时,“费马点”为该三角形的某个顶点.∴该三角形的“费马点”为点A ,故答案为:①等边;②两点之间线段最短;③120︒;④A .(2)将APC △绕,点C 顺时针旋转60︒得到A P C '' ,连接PP ',由(1)可知当B ,P ,P ',A 在同一条直线上时,PA PB PC ++取最小值,最小值为A B ',∵ACP A CP ''∠=∠,∴30ACP BCP A CP BCP ACB ∠+∠=∠+∠=∠=''︒,又∵60PCP '∠=︒过点A '作A H BC '⊥,垂足为H ,∵60ACB ∠=︒,90ACA '∠=︒,∴30A CH '∠=︒,1∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=,∵四边形ABCD 是正方形,∴45DAC BAC ∠=∠=︒,∴四边形AMPN 是矩形,∴90MPN ∠=︒,∵四边形ABCD 是正方形,∴45BAC ∠=︒,90AOB ∠=∴45AEP ∠=︒,四边形OPEF ∴45,PAE PEA EF ∠=∠=︒=作PM AB⊥于点M,则QM MB=,∴QA BE=.∴AQ CP∵MN 是BAC 的中位线,∴MN AC ∥,∴90BMN BAC ∠=∠=︒∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α∴,BE BM BF BN ==;BEF ∠=∵点,,A E F 在同一直线上时,∵,ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠∴ADN BDE ∽,∴2222DN AN DE BE ===,设DE x =,则2DN x =,在Rt ABE △中,2,2BE AE ==在Rt ADN △中,22AD DN AN =+(3)如图所示,当点,,C E F 在同一直线上时,且点E 在FC 上时,∵AB AC =,∴A ABC CB =∠∠,设ABC ACB θ∠=∠=,则1802BAC θ∠=︒-,∵MN 是ABC 的中位线,∴MN AC∥∴MNB MBN θ∠=∠=,∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α,得到BEF △,∴EBF MBN ≌,MBE NBF α∠=∠=,∴EBF EFB θ∠=∠=∴1802BEF θ∠=︒-,∵点,,C E F 在同一直线上,∴2BEC θ∠=∴180BEC BAC ∠+∠=︒,∴,,,A B E C 在同一个圆上,∵,BEF BAC BC BC∠=∠=∴,,,A B E C 在同一个圆上,设ABC ACB θ∠=∠=,则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-,将BMN 绕点B 顺时针旋转α,得到BEF △,设NBF β∠=,则EBM β∠=,则360αβ+=︒,∴ABF θβ∠=-,(2)解:成立;理由如下:∵90DCE ACB ∠=∠=︒,∴DCA ACE ACE ∠+∠=∠+(3)解:当点E 在线段AD 设AE x =,则AD AE DE =+根据解析(2)可知,DCA ∽△∴3BE BC m AD AC===,()334BE AD x ==+=设AD y =,则AE AD DE =+根据解析(2)可知,DCA △∴3BE BC m AD AC===,∵PM 平分A MA'∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBA V V ∽。
第四章图形的认识本章思维导图第一节图形初步考点精要解析考点一、平面展开图和三视图1.平面展开图:将立体图形的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.2.正方体的常见展开图(1)“1-4-1”型,如图4-1-1所示.(2)“2-3-1”型,如图4-1-2所示.(3)“3-3”型,如图4-1-3所示(4)“2-2-2”型,如图4-1-4所示3.三视图(1)主视图:从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状.(2)俯视图:从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状.(3)左视图:从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状.注:画三视图时应注意一视图的位置要准确,看得见的部分的轮廓线通常画成实线,看不见的轮廓线通常画成虚线,主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等.即主视图和俯视图的长要相等;主视图和左视图的高相等;左视图和俯视图的宽要相等.考点二:线与角1.直线、射线与线段(1)两个重要公理:①经过两点有且只有一条直线,也称为“两点确定一条直线”.②两点之间的连线中,线段最短,简称“两点之间,线段最短”.(2)两点之间的距离:连接两点的线段的长度.(3)线段的中点:把一条线段分成两条相等的线段的点叫作这条线段的中点.2.角(1)由公共端点的两条射线组成的图形叫作角.(2)角的分类①锐角——小于直角的角(0o<α<90o)②直角——等于90o的角(α=90o).③钝角——大于直角而小于平角的角(90o<α<180o).(3)角的换算:1度=60分(1o=60'),1分=60秒(1'60").(4)角平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线叫作这个角的平分线.(5)余角和补角①如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角,简称“互补”.②如果两个角的和是一个直角,那么这两个角互为余角,简称“互余”.③补角、余角的性质:同角或等角的余(补)角相等.考点三:相交线与平行线1.两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:(1)相交;(2)平行.2.相交线(1)对顶角与邻补角①对顶角:两条直线相交所成的四个角中,一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线,这两个角叫作对顶角.对顶角相等.②邻补角:两条直线相交所成的四个角中,两个角有一条公共边,另一边互为反向延长线,这两个角叫作邻补角.邻补角互补.(2)垂线①定义:两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直.②垂线的性质性质1:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简称:垂线段最短.③点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离.3.平行线(1)定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线.(2)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.(3)平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.即“平行于同一条直线的两条直线平行”.4.两直线平行的判定方法(1)平行公理的推论.(2)同位角相等,两直线平行.(3)内错角相等,两直线平行.(4)同旁内角互补,两直线平行.5.平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.6.两条平行线间的距离:在平面内,同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫作这两条平行线间的距离.平行线间的距离处处相等.考点四:平移1.平移的定义:在平面内,将一个图形沿某一方向移动一定的距离,这样的图形变换称为平移.2.平移的性质(1)经过平移后,对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等.(2)经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。
高频考点过关考点一:平面展开图和三视图例题1.(南京中考)如图4-1-5所示,一个几何体上半部为正四棱椎,下半部为立方体,且有一个面涂有颜色,则该几何体的表面展开图是()答案B例2.图4-1-6是由8个相同的小立方块搭成的几何体,它的三个视图都是2×2的正方形,若拿掉若干个小立方块后(几何体不倒掉),其三个视图仍都为2×2的正方形,则最多能拿掉小立方块的个数为().A.1 B.2 C.3 D.4答案B提示:要几何体不倒掉,下面的不能拿棹,所以要使其三个视图仍都为2×2的正方形,则最多能拿掉对角的2个小方块.考点二:线与角例题3.已知点O在直线AB上,且线段OA的长度为6cm,线段OB的长度为8cm,点E,F分别为OA,OB的中点,则线段EF的长度为.答案:7cm或1cm提示:由题意可得,点A,B的位置有两种情况:(1)点O在线段AB上,EF=7cm;(2)点O在线段BA的延长线上,EF=1cm.α=,则α的余角的补角为.例题4.已知03427'答案:α的余角的补角为180o-(90o-α)=90o+α=012427'.考点三:相交线与平行线例题5.如图4-1-7所示,l1∥l2,∠1=120o,∠2=100o,则∠3=().A.20o B.40o C.50o D.60o答案:B例题6.如图4-1-8所示,已知∠1=∠2,∠C=∠D,求证:∠A=∠F.证明:∵∠1=∠2,∠2=∠AGC,∴∠1=∠AGC.∴DB∥EC.∴∠D=∠FEC.∵∠D=∠C,∴∠C=∠FEC.∴DF∥AC.∴∠F=∠A.考点四:平移例题7.如图4-1-9所示,将周长为8个单位的ΔABC沿BC方向平移1个单位得到ΔDEF,则四边形ABFD的周长为()A.6 B.8 C.10 D.12答案:C提示:根据题意,将周长为8个单位的ΔABC沿BC方向平移1个单位得到ΔDEF,∴AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC;又∵AB+BC+AC=8,∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10.中考真题链接真题1.(1)(温州中考)下列选项中,经过折叠能围成一个正方体的是()(2)(绵阳中考)把图4-1-10中的三棱柱展开,所得到的展开图是()(3)(宁波中考)下列四张正方形硬纸片,剪去阴影部分后,如果沿虚线折叠,可以围成一个封闭的长方形包装盒的是()真题2.(自贡中考)如图4-1-11所示,将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成一个底面是正三角形的棱柱,这个棱柱的侧面积为().A.933-B.9 C.539-D.339-真题3.(1)(孝感中考)图4-1-12是由8个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图,则这个几何体的左视图是().(2)(益阳中考)一个物体由多个完全相同的小正方体组成,它的三视图如图4-1-13所示,那么组成这个物体的小正方形的个数为()A.2 B.3 C.5 D.10真题4.(乐山中考)一个立体图形的三视图如图4-1-14所示,根据图中数据求得这个立体图形的表面积为().A.2πB.6πC.7πD.8π真题5.(北京中考)如图4-1-15所示,直线a,b被直线c所截,a∥b,∠1=∠2,若∠3=40o,则∠4等于().A.40o B.50o C.70o D.80o 真题6.(广东中考)如图4-1-16所示,AC∥DF,AB∥EF,点D,E分别在AB,AC上,若∠2=50o,则∠1的大小是().A.30o B.40o C.50o D.60o真题7.(黄冈中考)如图4-1-17所示,AB∥CD∥EF,AC∥DF,若∠BAC=120o,则∠CDF=().A.60o B.120o C.150o D.180o真题8.(六盘水中考)直尺与三角尺按图4-1-18所示的方式叠放在一起,在图中所标记的角中,与∠1互余的角有几个?()A.2 B.3 C.4 D.6真题9.(1)(重庆中考)如图4-1-19所示,直线a、b、c、d,已知c⊥a,直线b、c d交于一点,若∠l=50°,则∠2等于()A.60°B.50°C.40°D.30°(2)(孝感中考)如图4-1-20所示,∠1=∠2,∠3=40°,则∠4等于()A.120°B.130°C.140°D.40°真题10.(深圳中考)下列命题是真命题的有( )个.①对顶角相等;②两直线平行,内错角相等;③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;④有三个角是直角的四边形是矩形;⑤平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧A .1B .2C .3D .4真题11.(济宁中考)三棱柱的三视图如图4-1-21所示,在△EFG 中,EF =8cm ,EG =12cm ,∠EGF =30°,则AB 的长为________cm .真题12.(湖州中考)把15°30′化成度的形式,则15°30′=________.真题13.(长沙中考)已知∠A =67°,则∠A 的余角等于________度.真题14.(南昌中考)图4-1-22所示△ABC 中,∠A =90°,点D 在AC 边上,DE ∥BC ,若∠1=155°,则∠B 的度数为________.真题15.(新疆中考)如图4-1-23所示,AB ∥CD ,BC ∥DE ,若∠B =50°,则∠D 的度数是________.真题16.(株洲中考)如图4-1-24所示,直线1l ∥2l ∥3l ,点A 、B 、C 分别在直线1l 、2l 、3l 上,若∠l =70°,∠2=50°,则∠ABC =________.真题17.(邵阳中考)将一副三角板拼成图4-1-25所示的图形,过点C 作CF 平分∠DCE交于点F.求证:CF//AB.创新思维训练创新1.图4-1-26是一个正方体的展开图,则原正方体中与“思”字所在的面相对的面上标的字是()A.学B.而C.思D.人创新2.如图4-1-27所示,在4×4的网格中,α、β、γ的大小关系是()A.α>β>γB.α=β>γC.α<β=γD.α=β=γ创新3.图4-1-28是一个由小正方体木块堆积成的立体图形的主视图与俯视图,则该图形最少有________个小正方体,最多有________个小正方体.创新4.如图4-1-29所示,将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC上,不与B、C重合),使点C落在长方形内部点E处,若FH平分∠BEF,则GFH的度数为________,若把∠B沿着FH折叠,使点B落在长方形内部点M处,则图中与∠MHF互余的角为________.培优辅导——中考数学系列总复习创新5.已知线段AB=4cm,在直线AB上截取线段BC=6cm,点D是线段AC的中点,求BD长.。