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2rhr r 2h 2rhr h(r )2 (r )2 h
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当r与h很小，时，圆柱体体积的改变量V 可近似表示为
V 2rhr r 2h
其余部分是 (r)2 (h)2的高阶无穷小，所以
V 2rhr r 2h o( (r)2 (h)2 )
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，
定理 3（充分条件）
如果函数 z f ( x, y) 在点 ( x, y)可导，且 该函数的偏导数在点 ( x, y) 连续，且函数在该点
是可微的。
证 z f ( x x, y y) f ( x, y)
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)]
lim f ( x x, y) f ( x, y) A z ,
x0
x
x
同理可得 B z . y
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我们知道：
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
那么，多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
则
x y (x)2 (y)2
x x (x)2 (x)2
1, 2
说明它不能随着 0而趋于 0, 当 0时，
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
函数在点(0,0) 处不可微.
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线性主部
无穷小量 2
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二. 全微分的定义 1 全增量的概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的某邻域内 有定义，并设P( x x, y y)为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y)
证 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)可微分,
P( x x, y y) P 的某个邻域
z Ax By o( ) 总成立, 当y 0时，上式仍成立，此时 | x |,
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
作
业
习 题 8-3（P24） 1、2
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例4、设 z ln(x2 y2 ) ，则 dz ( A )
( A)
x2
2
y2(xdx
ydy)
2
（C）x2 y2 ( ydx xdy)
1
（B） x2 y2 ( xdx ydy)
(D）
x2
1
y2(
ydx
xdy)
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例 2 计算函数 z e xy x2 在点1 , 2 处的全微
分.
解 z ye xy 2x, z xe xy ,
x
y
z 2e2 2, x (1,2)
z e2 , y (1,2)
所求全微分 dz (1,2) (2e2 2)dx e2dy.
x2 y2 0
在 点 (0 ,0 ) 处 f x (0 ,0 ) f y (0 ,0 ) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y , (x)2 (y)2
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如果考虑点P(x, y)沿着直线y x 趋近于(0,0) ，
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
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四 小结 １ 多元函数全微分的概念； ２ 多元函数全微分的求法； ３ 多元函数连续、可导、可微的关系．
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精品课件！
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一 问题的提出
在许多实际问题中，我们需要研究函数形如
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 的全增量
例如，设一圆柱体的底半径为r，高为h,当底半径和高 各自获得增量r与h时，圆柱体体积的改变为
V (r r )2 (h h) r 2h
du u dx u dy u dz. x y z 13
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例1.
函数 z
f (x, y)
在点 (x0 , y0 ) 处
f
' x
(
x0
,
y0
)
,
f
' y
(
x0来自百度文库
,
y0
)
存在，则
f
(x,
y)
在该点
（C）
A. 连续 B.不连续 C.不一定连续 D.可微
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同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时， 2 0, z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
1x 2y
定理1 如果函数z f ( x, y) 在点( x, y)可微分,
则函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0, 0
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
x0
0
y0
f (x, y)
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例 3 计算函数u x sin y e yz 的全微分. 2
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分，Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点( x, y)的全微分，记为 dz ，即 dz = Ax By .
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这 函数在 D 内可微分.
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三 可微的条件
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2 全微分的定义
如果函数z f ( x, y) 在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中A, B 不依赖于 x, y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，则
1
2
0 0,
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处可微.
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记全微分为 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处连续.
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定理 2（必要条件）
如果函数 z f ( x, y) 在点 ( x, y)可微分， 则该函数在点 ( x, y) 的偏导数必存在，且函数在
该点的全微分为
dz z dx z dy. x y
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[ f ( x, y y) f ( x, y)], 10
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在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x x, y y) f ( x, y y)
fx ( x 1x, y y)x (0 1 1) fx ( x, y)x 1x （依偏导数的连续性） 其中1为x, y的函数, 且当x 0, y 0时，1 0.
