概率论与数理统计习题及答案
习题 一
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点
. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，
A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”
B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.
” B =“至少有一次出现正面.
” C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；
{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,
(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),
(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),
(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),
C =正正正反反
2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，
C
（1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生，
C （3） A ，B ，C 都发生； （4） A ，B ，
C （5） A ，B ，C 都不发生； （6） A ，B ，
C
（7） A ，B ，C 至多有2个发生； （8） A ，B ，C 至少有2个发生. 【解】（1） A BC （2） AB C （3） ABC
（4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC
(5) ABC=A B C (6) ABC
(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C
(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC
3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由:
(1) A∪B=(AB)∪B；
(2) A B=A∪B；
A∩C=AB C；
(3) B
(4) (AB)( AB)= ∅；
(5) 若A⊂B，则A=AB；
(6) 若AB=∅，且C⊂A，则BC=∅；
(7) 若A⊂B，则B⊃A；
(8) 若B⊂A,则A∪B=A.
【解】(1)不成立.特例：若Α∩B=φ，则ΑB∪B=B.
所以，事件Α发生，事件B必不发生，即Α∪B发生，ΑB∪B不发生.
故不成立.
(2)不成立.若事件Α发生，则A不发生，Α∪B发生，
所以A B不发生，从而不成立.
A，AB画文氏图如下:
(3)不成立.B
所以,若Α-B发生,则AB发生, A B不发生,
故不成立.
(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.
(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生.
若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生.
故成立.
(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生,
故BC=φ.
⊂.
(7)不成立.画文氏图,可知B A
(8)成立.若事件Α发生,由()A A
B ⊂,则事件Α∪B 发生.
若事件Α∪B 发生,则事件Α,事件B 发生. 若事件Α发生,则成立.
若事件B 发生,由B A ⊂,则事件Α发生.
4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1
P （AB ）=1[P (A )
P (A
B )]
=1[0.70.3]=0.6
5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB
（2） 在什么条件下P （AB
【解】（1） 当AB =A 时，P （AB ）取到最大值为0.6.
（2） 当A ∪B =Ω时，P （AB ）取到最小值为0.3.
6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0
P
（AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.
【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )P (AB )P (BC )P (AC )+P (ABC )
=
14+14+13112=34
7.
52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？
【解】 p =5332
131313131352C C C C /C
8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75
，有利事件仅1个，故 P （A 1）=
517=（17
）5
（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65
，故
P （A 2）=5567
=(67)5
(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}
P （A 3）=1P (A 1)=1(
17
)5
9. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.
