空间几何体的表面积与体积
考情考向分析本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式主要以填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想．1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱圆锥圆台侧面展开图
侧面积公式S圆柱侧＝S圆锥侧＝S圆台侧＝
3.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积体积
几何体
柱体(棱柱和圆
S表面积＝S侧＋2S底 V＝
柱)
锥体(棱锥和圆
S表面积＝ V＝
锥)
台体(棱台和圆
S表面积＝V＝
台)
球 S＝ V＝
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
2．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2题型一求空间几何体的表面积
1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为________．
3.各棱长均为2的正三棱锥的表面积是________．
4.正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm，高是1cm，则它的侧面积为________cm2.
5.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.
题型二求空间几何体的体积
1. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积为________．
2. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是________．
3. 已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为________．
4. 已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，求该圆柱的体积．
题型三简单的等积变换
1. 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1
的体积为________．
高考汇编
1.(2013·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.
2.(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面
积相等，且S 1S 2＝94，则V 1
V 2
的值是________．
3.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
4. (2017.6)如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．
记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则
1
2
V V 的值是______． ．
5. (2018.10)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积
为 ．
6.(2016·江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥
P —A 1B 1C 1D 1
，下部分的形状是正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1
是正四棱锥的高PO 1的4倍．
(1)若AB ＝6m ，PO 1＝2m ，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)V ＝13×62×2＋62×2×4＝312(m 3
)．
(2)设PO 1＝x ，
则O 1B 1＝62
－x 2
，B 1C 1＝2·62
－x 2
， ∴1111A B C D S ＝2(62
－x 2
)，
又由题意可得下面正四棱柱的高为4x .
O
O 1
O 2
（第4题）
则仓库容积V ＝13x ·2(62－x 2)＋2(62－x 2)·4x ＝263
x (36－x 2
)．
由V′＝0得x＝23或x＝－23(舍去)．
由实际意义知V在x＝23(m)时取到最大值，故当PO1＝23(m)时，仓库容积最大．
. .