单相正弦交流电路分析

矢量图
交流电本身并不是矢量，而是代数量，它和力、电场强度 等空间矢量有着本质的区别。不过因为它是时间的函数， 才能按一定的法则用时间矢量来表示。 5.4.3 同频率正弦交流电相加的矢量运算 同频率的正弦交流量相加，其和仍为同频率正弦交流量。 例如，两个正弦交流电分别为 i1 = I1m sin( ωt + φ01)，i2 = I2m sin ( ωt + φ02 ) 其两电流之和为 i = i1 + i2 = I1m sin ( ωt + φ01 ) + I2m sin ( ωt + φ02 = Im sin ( ωt +φ) 可见，只要求出合成电流i的最大值Im和初相角φ，则电流i 即可确定，下面用矢量法求解。
1.电压和电流的关系
在纯电容电路中，电流与电压成正比
U I Xc 1 1 Xc c 2fc
Xc——容抗，单位为Ω
容抗Xc不仅跟电容C的大小 有关，还跟电源频率有关
纯电容电路
2.电流电压波形及相量图 在纯电容电路 中电流比电压 超前π/2
a）电路图 c）相量图
b）电压、电流波形图 d）功率曲线
例1 ：
例2 ：
5-4 交流电的矢量表示及同频正弦量的加减运算
5.4.1 正弦交流电的旋转矢量表示法 如下图所示，图的左边为正弦交流电用旋转矢量表示。 在直角坐标系中，取正弦量的最大值Im（也可以用有效值） 作为旋转矢量，它的起始位置与x轴正方向的夹角为正弦 交流电的初相角φ0 ，旋转角速度为正弦交流电的角频率ω， 并以逆时针方向绕坐标原点旋转。在任意时刻，旋转矢量 在y轴的投影，就等于该时刻正弦交流电的瞬时值，与O x 轴的夹角，就等于正弦交流电相位ωt+φ0。 下图的右边为这个正弦交流电的波形图，可见旋转矢量和 波形图有一一对应的关系，即用旋转矢量也可以完全的表 明交流电的三要素。旋转矢量用大写英文字母头上加点表 示，如 、 、 等。 I m U m Em
根据转子磁极表面的磁感应强度相对绕组按正弦规律变化， 即B=Bmsinα 又根据电磁感应公式 ：E＝B l υ， e=υlBmsinα= Em sinα 式中υ ——转子的旋转速度； L ——绕组的A B 有效边长度之和； Em——感应电动势的最大值。 输出电压的表达式为u=Umsinα 当发电机的转子在匀速旋转时，绕组中就输出正弦交流电。 由上式可见，发电机的输出电压是转子旋转角度的函数。
u U m sin t
4．初相角φ0 在下图中，正当计时起点t = 0时，正弦交流电已具有电 角度φ0 ，φ0我们就称为弦交流电的初相角。显然，初相角 的选择与计时起点有关，如果选择正弦交流电从通过零值 向正的方向增加的瞬间作为计算时间的起点，则φ0 = 0。
பைடு நூலகம்
初相角为φ0的正弦电流
5.2.2 正弦交流电的有效值和平均值 1．正弦交流电的有效值
右图中转子具有一对N 、S 磁极，磁极的表面制造的比 较特殊，使磁感应强度相对 绕组按正弦规律分布；A、 B 是绕组的两个有效边，固 定在定子上，两个端点接负 载，图中虚线表示绕组的背 面连在一起。
下面分析转子按逆时针方向匀速转动，绕组切割磁力线产 生感应电动势的情况： 当α =0，转子的中性面扫过绕组的A、B 边，由于此时绕组 的A、B边不切割磁力线，绕组中没有感应电动势。 当α =90o ，扫过绕组的A、B边磁感应强度最大，绕组中的 感应电动势也最大，电流方向为A流出，B 流进。 当α ＞180o，对于绕组而言，磁极已经反向，绕组中的感 应电动势亦反向，即A 为流进，B 为流出。 当α =270o，绕组中的感应电动势达到负的最大值。 当α =360o ，转子转过了一个周期，转子的中性面又经过 绕组，其感应电动势为零。
1．作图法 作图法就是根据矢量的平行四边形法则，用作图的方法 求合矢量。其方法是：将被加电流的最大值（或有效值） 按一定的比例长度及被加电流的初相角在直角座标系中画 出被加电流矢量，根据矢量的平行四边形法则作图，将作 出的合矢量用尺子测量其长度和与x 轴的夹角，测量出的 合矢量长度（乘比例系数）就是合电流的最大（有效）值； 与x 轴的夹角就是合电流的初相角。
5-3 相位与相位差
5.3.1 相位 电流的初相角为φ0，当这个正弦电流随时间变化时，它 的角度变化为ωt+φ0，ωt+φ0就称为这个交流电流的相位。
从物理意义上讲，相位是反映正弦交流电变化进程的。有 了相位这个物理量以后，就可以比较两个同频率正弦量谁 先到达最大值或谁先到达零。 5.3.2 相位差 相位差是指两个同频率的正弦量的相位之差，用φ表示 ： φ=（ωt+φ01）－（ωt+φ02）= φ01－φ02 从式中可见，两个同频率正弦交流电的相位之差等于它们 的初相之差。图6-10为几个同频率的正弦交流电的波形。 图6-10 a为具有正初相角的两个电流波形，它们的相位差 为φ = φ01－φ02 ，称为ί1超前ί2 φ角，或ί2落后ί1 φ角；图610 b中 ί1波形为正初相角，ί2波形为负初相角，它们的相 位差为φ = φ01 ─（− φ02 ）= φ01 + φ02 ，称为ί1超前ί2 φ角。 图6-10 c为两电流同相；图6-10d为两电流反相；图6-10eί1 超前ί2 ，又称为两者正交。
将一个直流电流和一个交流电流分别通过阻值相等的两个 电阻，如果在同一时间内 （例如一个周期T），两个电流 做的功相等，这个直流电流和这个交流电流就是等效的， 就称这个直流电流是这个交流电流的有效值（等效值）。 通过计算，正弦交流电流的有效值I等于正弦交流电流的最 大值除以 2 ,即 I
I
m
2
也就是说，一个最大值Im为1.414A的正弦交流电流，与一个 1A的直流电流相等效。如果一个交流电流的有效值是1A， 那么它的最大值是1.414A。
旋转矢量表示正弦量
5.4.2 正弦交流电静止矢量表示法 当有两个（或多个）同频率的正弦交流电用旋转矢量表 示时，由于它们的角频率ω相同，它们的相位差不变（也 就是在任意时刻两旋转矢量的相对位置是不变的，类似于 自行车车轮上的辐条，无论走多远，两辐条之间的相对位 置不变），因此，研究这两个同频率的旋转矢量时，就可 以不考虑旋转角频率ω，而只研究它们在初相时的关系， 这样旋转矢量就可以转化为静止矢量来研究。当根据矢量 的计算法则求出合矢量后，再将其合矢量赋以角频率ω。 静止矢量的长度表示正弦交流电的最大值Im （也可表示有 效值），方向角表示正弦交流电的初相角。 将几个同频率的正弦交流电用静止矢量表示时称为矢量图， 下图是两个同频率的正弦交流电流的矢量图。
正弦交流电路
任务二 正弦交流电路
5-1 正弦交流电及正弦交流电的产生
5.1.1 正弦交流电 1.交流电 大小和方向都随时间作周期性变化、并且在一个周期内 其平均值为零（在一个周期内正负半周的面积相等）的电 压或电流，统称为交流电。图5-2是几种交流的波形。
图5-2 几种交流电波形
2.正弦交流电 按正弦规律变化的电压或电流，称为正弦交流电（图62b）。正弦交流电有时也简称交流电。正弦交流电有着广 泛地应用。我国的工业电力网采用的就是50Hz正弦交流电 （又简称工频交流电），因为它有以下优点： （1）可以利用变压器升压或降压，便于电能的远距离输 送； （2）交流电动机结构简单、成本低、电磁噪声小、使用 维护方便； （3）可以通过整流将交流电变为直流电，供直流设备应 用。 由于正弦交流电随着时间作周期性变化，因此交流电路 和直流电路有着很大的区别。在直流电路中各种负载都可 以用一个电阻来等效，然后利用电阻电路的计算方法来计 算电路中的各个电量。在交流电路中，由于电流在交替变 化，除了电阻元件可以通过交流电流之外，电容器也可以 通过交流电。
2．计算法 计算法的原理和作图法相同，它是根据合矢量在y轴的投 影等于和在y 轴的投影之和、在x轴的投影等于和在x轴的 投影之和的特点，用几何的方法进行计算的。参照图所示， 可以写出合成电流的最大值 Im和初相角φ的计算公式，即
Im OX
2
OY
2

(OX 1 OX 2 ) 2 (0Y1 0Y2 ) 2
电容器在交流电路中由于不断地充电和放电，相当于电流 在电容器中流动；电感线圈在直流电路中相当于短路，但 在交流电路中，由于电流的变化使电感线圈产生自感电动 势，这个自感电动势阻碍电流的流动，因此，电感线圈在 交流电路中的作用与在直流电路中的作用有着本质的区别。
在交流电路中工作的各种电器以及电路器件（电路负载）， 根据其工作性质不同，可以用电阻、电容、电感来等效。 电阻、电容、电感又称为交流电路的三大元件。 5.1.2 正弦交流电的产生 右图所示是发电机的正面示意图。
例1．正弦交流电压 u 311sin(314t 30 ) V，求电压的有效 值U、频率f 和最大值Um。 Um 311 解： U V 220
2 314 100 f 50 Hz 2 2 2 2
Um＝311V 2．已知交流电压为220V，在电路中接有一只40W的白炽 灯，请计算白炽灯的电阻和通过白炽灯的电流。 P 40 解： I A 0.182
正弦函数总是与一定的角度相对应，正弦交流电也是如此， 当其变化一个周期时，电角度也变化了2π弧度（弧度是角 度单位，2π弧度=360o）。因此，正弦交流电变化的快慢 除了用频率表示外，还可以用角频率ω来表示，角频率是 交流电每秒所变化的电角度。角频率ω的单位是rad/s（弧 度/秒）或s-1（1/ 秒）。角频率和周期、频率的关系为 2 ω=2πf 交流电的表达式可为 T
=
( I 1 m cos 01 I 2 m cos 02 ) 2 ( I 1 m sin 01 I 2 m sin 02 ) 2
I1 m sin 01 I 2 m sin 02 OY arctan arctan OX I1 m cos01 I 2 m cos02
最后根据实际求出的Im和φ值，写出合成电流的瞬式表达 式。
用矢量法求合矢量
例：
纯电阻电路
应用案例——电炉电路
当开关置于低档时，500W电热丝接入电路； 当开关置于中档时，1000W电热丝接入电路； 当开关置于高档时，500W和1000W电热丝同时并联接 入电路，此时功率最大。
纯电容电路
纯电容电路
3.功 率
p ui U m I m sin t sin(t 90) UI sin 2t
P0
QC UI X C I 2
QC ——无功功率，单位为var
瞬时功率 有功功率 无功功率
例题：将一个2μF的电容器接在220V、50Hz的正弦交流电源上， 试求通过电容器的电流I、有功功率P和无功功率QC为多少？ （提示：先计算出容抗XC的值，然后分别套用I、P和Q的公式求解）
U 220 U 220 R 1209 I 0.182
2．正弦交流电的平均值 正弦交流电是对称于横轴的，在一个周期内其平均值为 零。因此，一般所说的平均值是指半个周期内的平均值。 根据计算分析，正弦交流电在半个周期内的平均值为： Eav＝0.637Em ，Uav＝0.637Um ，Iav＝0.637Im 正弦交流电的平均值是在交流电的半个周期内取的平均值， 和有效值的定义有本质的区别，在数值上也不相等。平均 值只能作为电路分析时的辅助量，不能用于功率等的计算。
5-2 正弦交流电的基本物理量
5.2.1 正弦交流电的三要素 1．周期T 正弦交流电是按周期性变化的，完成一次周期性变化所用 时间称为一个周期，用T表示。周期的单位是s（秒），如 图所示
2．最大值Im 正弦交流电变化过程中所达到的极值称为最大值，又称为 交流电的振幅，用Im、Um、Em表示。图6-7中Im是电流的最 大值。 3．频率f和角频率ω 正弦交流电在单位时间内完成周期性变化的次数，称为频 率，用f表示，单位是Hz（赫兹）。对于比较高的频率用 kHz（千赫兹）或MHz（兆赫兹）表示，其换算关系为： 1 kHz =103 Hz 1 MHz =103 kHZ =106 Hz 频率和周期互为倒数关系，即 f=1/T