2
)1(1
)(z z z f -=
展为罗朗级数。
7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。
(1) 3
sin )(z
z
z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11
e )(-=z z z
f .
8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。
9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。
10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换；
（2）求函数)
i 5)(i 3(2
)(ωωω++=
F 的傅里叶逆变换。
11.（5×2）（1）求函数)2(e )(2-=t u t f t 的拉普拉斯变换； （2）求拉普拉斯逆变换L -1
]5
4[
2
++s s s
。
12.（6分）解微积分方程：0)0( ,1d )()('0==+⎰y y t y t
ττ。
答 案
1.（5分）请依次写出z 的代数、几何、三角、指数表达式和z 的3次方根。
(cos sin )i z x iy re r i θθθ=+==+
23
k i
z re
θπ+=
z ：,r Argz
2. （6分）请指出指数函数z e w =、对数函数z w ln =、正切函数
z w tan =的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。
指数函数z e w =、对数函数z w ln =、正切函数z w tan =的解析域 分别为：整个复平面,无界开区域；除去原点及负半实轴，无界开区域，；除去点2
z k π
π=+
，无界开区域。
3.（9分）讨论函数22i )(y x z f +=的可导性，并求出函数)(z f 在可导点的导数。另外，函数)(z f 在可导点解析吗？是或否请说明理由。 解：
2200u v u u
x y x y y y
∂∂∂∂====∂∂∂∂，,u v 可微 所以x y =时函数可导，且()2x y f z x ='=。
因为函数在可到点的任一邻域均不可导，所以可导点处不解析。 4. （6分）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函
数v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。
解：3222
323232323236,33,3()3i(3)(0)00
()3i(3)
u y x y
u v u v xy y x x y y x v x xy c
f z y x y x xy ic
f c f z y x y x xy =-∂∂∂∂=-==-=-∂∂∂∂∴=-+=-+-+=∴==-+-
5.（6×2）计算积分：
（1）⎰+-C
n z z z
1
0)
(d , 其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数；
（2）⎰=+-3||2
d )
2()1(e z z
z z z 。 解 （1）设C 的方程为θi 0e r z z +=)π20(≤≤θ,则
⎰⎰+++=-π20)1i(1i 10d e
e i )(d θθθ
n n C n r r z z z ⎰=π
20i d e
i
θθ
n n r ⎰
-=π
20
d )sin i (cos i
θθθn n r
n
所以 i π2d )(d 0
10=-=-⎰⎰+C C
n z z z
z z z （当0=n 时）
0)(d 1
0=-⎰+C
n z z z
（当0≠n 时）。
（2）⎰=+-3||2d )
2()1(e z z
z z z
⎰⎰=+=-+-++-=21|2|221|1|2d )2()1(e d )2()1(e z z
z z z z z z z z
⎰⎰=+=-+-+-+=2
1|2|221|1|2d 2)1(e d )1(2e z z
z z
z z z z z z
2
2
1)1(e i π2)'2e (i π2-==-⋅
++⋅=z z
z z z z
i π)e e 2(9
2
i πe 92i πe 9422--+=+=
. 6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0<2
)
1(1
)(z z z f -=
展为罗朗级数。 解：（1） ∑∞
==-=-0
2
)'()'11()1(1n n
z z z )1|(| 0
<=∑∞
=z nz n n ,
∴)1|(| )1(11)(1
1
2<=-⋅=∑∞=-z nz z z z f n n . (2) )1|1(| 1)()1(111
10
<---=-+=
∑∞
=z z z z n n n , ∴ ∑∞
=---=-=
2
2)1()
1()1(1
)1(1)(n n n
z z z z z f
)1|1(| )1()1(0
2<---=∑∞
=-z z n n n .
7. （12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。
