第八章 向量与解析几何
向量代数
定义 定义与运算的几何表达
在直角坐标系下的表示
向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=
,,x x y y z z a Prj a a Prj a a Prj a ===
模
向量a 的模记作a
a 222x y z a a a =++
和差
c a b =+ c a b =－
=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b
单位向量
0a ≠，则a a
e a
=
a e 2
2
2
(,,)=
++x y z x y z a a a a a a
方向余弦
设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos
cos y x z a a a a
a
a
αβγ==
=
，cos ，cos
cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）
θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹
角
z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a
叉乘（向量积）
b a
c ⨯=
θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直
z
y
x
z y x
b b b a a a k j i
b a =⨯ 定理与公式
垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=
平行
//0a b a b ⇔⨯=
//y z
x x y z
a a a a
b b b b ⇔==
交角余弦
两向量夹角余弦b
a b
a ⋅=θcos
222222
cos x x y y z z
x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=
++⋅++
投影
向量a 在非零向量b 上的投影
b a b
Prj a a a b b
∧⋅==cos() x x y y z z
b x y z
a b a b a b Prj a b b b ++=
++2
2
2
第九章 多元函数微分法及其应用
x x y y z x
==∂∂00
=相当于一元函数求导数，对某一自变量求偏导，把其余变量均视为常数即可同一元函数求高阶导数
可微一定可导（偏导存在）可导不一定可微＋dv z ∂
法向量
000((((x y z n F x F x F x =(((x y n f f x =--或
00(((,x y n f x f x =
,
第十章 重积分
积分类型
计算方法
二重积分
()σ
d ,⎰⎰=D
y x f I
平面薄片的质量
质量=面密度
⨯面积
（1） 利用直角坐标系
X —型 ⎰⎰
⎰⎰
=D
b
a
x x dy y x f dx dxdy y x f )
()
(21),(),(φφ
Y —型
⎰⎰
⎰⎰
=d
c
y y D
dx y x f dy dxdy y x f )
()
(21),(),(ϕϕ
（2）利用极坐标系 使用原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α
+, α为实数 )
21()()
(cos ,sin )(cos ,sin )D
f d d d f d β
ϕθα
ϕθρθρθρρθ
θρθρθρρ
=⎰⎰⎰⎰
02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤
（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）
110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdy
f x y x f x y f x y D D ⎧
⎪⎪-=-⎪⎪
=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩
⎰⎰对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分
计算步骤及注意事项
1． 画出积分区域
2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数
关于坐标变量易分离
3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性
(1) 利用直角坐标⎩⎨⎧截面法
投影法
投影
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
=Ω
b a
y x z y x z x y x y z z y x f y x V z y x f )
,()
,()
()
(2121d ),,(d d d ),,(
