【2020年】四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)及答案

2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或23.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√524.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−58.将函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（）A.f(x)=sin(2x+π6) B.f(x)=sin(2x−π3)C.f(x)=sin(8x+π6) D.f(x)=sin(8x−π3)9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.3B.32C.5 D.5210.已知a=212,b=313,c=ln32，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P 1，P 3重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P −ABC ．现有以下结论： ①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________．设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________．已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________．已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．bc．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=4√23 (Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为√2，且√2sinB＝3sinC，求△ABC的周长某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2，其中n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．已知函数f(x)＝(a−1)lnx+x+ax，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<−1时，证明∀x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．已知椭圆C:x 22+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l:x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．(Ⅰ)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i【解答】∵复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝−3+i．2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或2【解答】集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m＝1或2，3.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√52【解答】若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.80【解答】由频率分布直方图得：[50, 70)的频率为：(0.010+0.030)×10＝0.4，[70, 80)的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.(5)5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.275【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n【解答】由m // α，n // β，且α // β，得m // n或m与n异面，故A错误；由m // α，n // β，且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α // β，得m⊥β，又n // β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n // β且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故D错误．7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−5【解答】(x−1x )6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r＝(−1)r∁6r x6−2r，r＝0，1，2， (6)则(x 2+2)(x −1x )6的展开式的常数项须6−2r ＝0或者6−2r ＝−2⇒r ＝3或者r ＝4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40＝−(25)8.将函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（ ） A.f(x)=sin(2x +π6) B.f(x)=sin(2x −π3) C.f(x)=sin(8x +π6) D.f(x)=sin(8x −π3)【解答】函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y ＝sin(2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)＝sin(2x +π6)的图象， 9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（ ） A.3 B.32C.5D.52【解答】由抛物线方程得，准线方程为：x ＝−1， 设M(x, y)，N(x ′, y ′)，由抛物线的性质得，MF +NF ＝x +x ′+p ＝x +x ′+2＝5， 中点的横坐标为32，线段MN 的中点到y 轴的距离为：32， 10.已知a =212,b =313,c =ln 32，则（ ） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a【解答】∵a =√2=√86，b =√33=√96，∴1<a <b ． c ＝ln 32<(1) ∴c <a <b ．故选：C．11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)【解答】②令f′(x)<0，解得x<0(1)③令f′(x)>0，解得0<x≤(2)∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, 2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f(0)＝−(2)且f(1)＝−1；x→−∞，f(x)→(0)又∵函数f(x)在R上满足f(2−x)＝f(2+x)，∴函数f(x)的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f(x)的大致图象如下：关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0可转化为f(x)＝k(x−2)+e−(1)而一次函数y＝k(x−2)+e−1很明显是恒过定点(2, e−1)．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是(1, −1)．此时y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好相切．∴当0<k<e时，有三个交点．同理可得当−e<k<0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：(−e, 0)∪(0, e)．故选：D．12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P−ABC．现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4【解答】当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，PB ＝PC ＝1，BC =√2， 所以PB 2+PC 2＝BC 2，又AP ⊥平面PBC ，所以PA ，PB ，PC 两两垂直，所以三棱锥P −ABC 的外接球与 以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等． 设半径为r ，所以(2r)2＝22+12+12＝6，S ＝4πr 2＝6π．即三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π，②正确（1）因为P 2B ＝P 2C ＝x ，所以PB ＝PC ＝2−x ，而BC =√2x ，故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确（2）因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×√(2−x)2−(√22x)2=12√x 4−8x 3+8x 2 设f(x)＝x 4−8x 3+8x 2，f′(x)＝4x 3−24x 2+16x ＝4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f m ax ＝f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12． V P−ABC ＝V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________． 【解答】作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +2y 得y =−12x +12z ， 平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大． 由{x +y −4=0x −2y +2=0，解得A(2, 2)，代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________． 【解答】依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36 ，解得{a 1=3q =3 ，∴a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1＝3n ，已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________． 【解答】∵平面向量a →，b →满足|a →|＝2，b →=√3，且b →⊥(a →−b →)， ∴b →⋅(a →−b →)=b ¯⋅a →−b →2=0，∴a →⋅b →=b →2． 设向量a →与b →的夹角的大小为θ，则2⋅√3⋅cosθ＝3， 求得cosθ=√32，故θ=π6，已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________． 【解答】设|BF|＝m ，则|AF|＝3|BF|＝3m ， 取双曲线的右焦点F ′，连接AF ′，BF ′， 可得四边形AF ′BF 为平行四边形，可得|AF ′|＝|BF|＝m ，设A 在第一象限，可得3m −m ＝2a ，即m ＝a ， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得(2b)2+(2c)2＝2(a 2+9a 2)， 化为c 2＝3a 2，则e =ca =√3．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−a 2=4√23bc ． (Ⅰ)求sinA 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为√2，且√2sinB ＝3sinC ，求△ABC 的周长 【解答】（1）∵b 2+c 2−a 2=4√23bc ， ∴由余弦定理可得2bccosA =4√23bc ， ∴cosA =2√23， ∴在△ABC 中，sinA =√1−cos 2A =13．（2）∵△ABC 的面积为√2，即12bcsinA =16bc =√2， ∴bc ＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．，其中n＝a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C30C73C03=724，P(X＝1)=C31C72C103=2140，P(X＝2)=C32C71C103=740，P(X＝3)=C33C103=1120，∴X的分布列为：∴E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60∘，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE；（2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB=√3，由(Ⅰ)得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC=√3，EC＝1，所以PE =√2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)， 设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)，由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)， 设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)， 所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．已知函数f(x)＝(a −1)lnx +x +ax ，a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a <−1时，证明∀x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 【解答】 （1）f′(x)=a−1x+1−ax 2=x 2+(a−1)x−ax 2=(x−1)(x+a)x 2，因为x >0，a ∈R ，所以当a ≥0时，x +a >0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a <0时，0<−a <1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a ＝−1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a <−1时，−a >1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；（2）当a <−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a −1)ln(−a)−a −1， 欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln(−a)−a −1，即证明a 2+(a −1)ln(−a)−1>0，因为a <−1，所以只需证明ln(−a)<−a −1， 令ℎ(x)＝lnx −x +1(x ≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0， 因为a <−1，所以−a >1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a +1<0，即当a <−1时，ln(−a)<−a −1成立， 所以当a <−1时，任意x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 已知椭圆C:x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l:x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D ．(Ⅰ)求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； (Ⅱ)证明直线BD 过定点E ．并求出点E 的坐标 【解答】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB 的方程：x ＝my +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，与抛物线联立(m 2+2)y 2+2my −1＝0，因为△＝4m 2+4(m 2+2)>0，y 1+y 2=−2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以|y 1−y 2|=√(y 1−y 2)2−41yy 2=2√2√1+m 22+m 2， 所以四边形OAHB 的面积S =12|OH|⋅|y 1−y 2|＝|y 1−y 2|=2√2⋅√1+m 22+m 2，令t =√1+m 2≥1，S =2√2t1+t =2√2t+1t≤√2，当且仅当t ＝1时，即m ＝0时取等号，所以0<S ≤√2，所以四边形OAHB 的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y2 2−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．【解答】（1）由题意，点Q的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：(x−2)2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sinπ6−cosπ6|=2(√3−1)．又∵M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sinπ3=3√32．∴△MAB的面积S=12|AB|⋅ℎ=9−3√32．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．【解答】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号， 又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号， 故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．。

四川省德阳市2019-2020学年高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．10 C ．15 D ．10 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得10c e a ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题 2．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．2【解析】 【分析】分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【详解】解：∵12a =，111n n a a -=-(2n ≥)， 211122a ∴=-=， 3121a =-=-，41(1)2a =--=，511122a =-=， …，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201836722=⨯+Q ， 2018212a a ∴==， 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.3．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．6 C 3D ．23【答案】A 【解析】首先找出PC 与面PAB 所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值. 【详解】由题知ABC V 是等腰直角三角形且90ACB ∠=︒，ABP △是等边三角形，设AB 中点为O ，连接PO ，CO ，可知6PO =，22CO =，同时易知AB PO ⊥，AB CO ⊥，所以AB ⊥面POC ，故POC ∠即为PC 与面PAB 所成角，有22222cos 2PO CO PC POC PO CO +-∠==⋅， 故1sin 1cos 3POC POC ∠=-∠=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.4．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．203【解析】【分析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为1120 2228111323V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.5．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.A．6500元B．7000元C．7500元D．8000元【答案】D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x ＝2． 故选D ． 【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题． 6．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 【答案】C 【解析】 【分析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】121312z i iz i +--==+. 故选：C 【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.7．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11 C ．7-D ．9-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】圆22(1)(1)25x y -+-=的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l 的距离d ，结合弦长公式得=9m =-或11m =，故选A ． 8．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若AB =2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23B ．33C ．323D ．233【答案】B 【解析】 【分析】 首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,223r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 9．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．222B ．5C ．1316D ．113【答案】D 【解析】【分析】可过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，并连接CF ，从而可得出∠CSF （或补角）为异面直线SC 与OE 所成的角，根据条件即可求出3210SC SF CF ===，，这样即可得出tan ∠CSF 的值. 【详解】如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ， 则∠CSF （或补角）即为异面直线SC 与OE 所成的角，∵14SE SB =，∴13SE BE =， 又OB ＝3，∴113OF OB ==，SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，∴32SC =； SO ⊥OF ，SO ＝3，OF ＝1，∴10SF =； OC ⊥OF ，OC ＝3，OF ＝1，∴10CF =，∴等腰△SCF 中，2232(10)()1123322tan CSF ∠-==. 故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.10．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．32π C ．12πD ．24π【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，22PB =Q 211822AO PA x ∴==+ 1222AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即222211822x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.11．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B ．5C 65D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离. 【详解】已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点， 可知抛物线21y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，设抛物线21y x =+的切点为()200,1x x +，则由2y x '=可得022x =，01x ∴=，所以切点为(1,2)，则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，则min ||5PQ ==. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力. 12．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求ϕ的最小值. 【详解】根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣⎦，所以22,44k k Z ππϕπ-=+∈，所以,4k k Z πϕπ=+∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为4π． 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绵阳市高中2021级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCDAC ADBBD CC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．714．15．916．-1三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由a 1，a 2，a 4成等比数列，则4122a a a ⋅=，··································2分∴)6()2(1121+⋅=+a a a ，可解得21=a ，···················································································3分∴数列{a n }的前n 项和n n d n n a n S n +=⋅-⋅+⋅=212)1(；·······························5分（2）n n a n n n b b 2)2(2(21===++①，················································6分当1=n 时，221=+b b ，可得12=b ,························································7分可得1212+++=+n n n b b ②，······································································8分由②式－①式，得n n n n n b b 22212=-=-++，·············································9分∴22442222222)()()(b b b b b b b b n n n n n +-+-+-=--- 122224222+++=-- n n ·······································································11分14(14)114n --=+-413n -=．·························································································12分18．解：（1）∵38πωπ==T ，则83=ω，·······················································1分又2||1)8tan(3(πϕϕππ<=+=，f ，···························································2分∴8πϕ=，························································································4分∴883tan()(π+=x x f ；········································································5分（2）由题意，)88383tan()(πλ++=x x g ，···················································6分∵8tan(8tan )0(ππ-=-=-f ·································································7分∴)8tan(883323tan()0()4(ππλππ-=++-=，得由f g ·····································8分∴∈+-=+k k ，πππλ832783Z ，······························································9分∴0381211>∈+-=λππλ，又，Z k k ，·····················································10分∴λ的最小值为74π．··········································································12分19．解：（1）∵232()(2)(2)=22(2)(2)f x x m x m x m x mx m m =+-+--+--为奇函数，∴2(2)0(2)0m m m --=⎧⎨--=⎩，解得：m =2．···························································5分（2）当m >0时，2x 2+m >0，∴函数2()(2)(2)f x x m x m =+-+不可能有两个零点．································6分当m <0时，由()0f x =，解得：x =m -2，·································7分要使得f (x )仅有两个零点，则2m -=，··········································8分即22780m m -+=，此方程无解．故m =0，即32()24f x x x =+，·······························································9分令32()()3243h x f x x x =-=+-，则2()682(34)h x x x x x '=+=+，()0h x '>，解得：0x >或43x <-，()0h x '<解得：403x -<<，故()h x 在4()3，-∞-，(0)，+∞上递增，在4(0)3，-上递减，···························10分又417(0327h -=-<，故函数()3y f x =-仅有一个零点．·························································12分20．解：（1）∵cos(C -B )sin A=cos(C -A )sin B∴(cos C cos B+sin C sin B )sin A=(cos C cos A+sin C sin A )sin B ·································2分∴cos C cos B sin A=cos C cos A sin B ·······························································3分又∵△ABC 为斜三角形，则cos C ≠0，∴cos B sin A =cos A sin B ，·········································································5分∴sin(A -B )=0，又A ，B 为△ABC 的内角，∴A=B ；···························································································6分（2）由△ABC 的面积S=2a ，∴S=12ab sin C=2a ，则b sin C=1，即1b=sin C ，··········································7分由S=12ac sin B=2a ，则c sin B=1，即1c =sin B ，··········································8分由（1）知A =B 则a=b ，∴2211c a-=sin 2B -sin 2C ，······································································9分又sin C =sin(A+B )=sin2B ，∴2211c a-=sin 2B -sin 22B=sin 2B -4cos 2B sin 2B=sin 2B -4(1-sin 2B )sin 2B ·················10分令sin 2B=t ，令f (t )=t -4(1-t )t=4t 2-3t ，又因为0＜sin 2B<1，即0＜t<1，∴当t=83时，f (t )取最小值，且f (t )min =916-，············································11分综上所述：2211c a -的最小值为916-.·······················································12分21．解：（1）当2a =时，()(ln 22)ln f x x x x =-+，1ln 222(1)(ln 1)()(2)ln x x x x f x x x x x-+--+'=-+=，····································2分令()0f x '>得：11e x <<；令()0f x '<得：10ex <<或1x >，·······················3分∴()f x 的单调递减区间为：1(0e ，和(1+)，∞；单调递增区间为：1(1)e．·····5分（2）2e ()x f x x ax a x-+-≤等价于ln 2e (ln )(ln 1)0≥x x x x a x x ---+--（*）·········6分令()ln t g x x x ==-，则1()x g x x-'=，∴()g x 在(01)，上递减，在(1+)，∞上递增。

四川省德阳市高考数学一模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高二下·黄陵期末) 若集合，则集合A. B.C.D.2.（2 分）(2017 高二下·深圳月考) 若，其中， 是虚数单位，则A. B.C. D. 3. （2 分） 数列 A. B. C. D.的前 n 项的和为（ ）第 1 页 共 14 页（） （）4. （2 分） (2017 高一下·滨海期末) 某单位为了了解办公楼用电量 y（度）与气温 x（℃）之间的关系，随 机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（℃）1714用电量（度）233511﹣23963由表中数据得到线性回归方程 =﹣2x+a，当气温为﹣5℃时，预测用电量约为 （ ） A . 38 度 B . 50 度 C . 70 度 D . 30 度5. （2 分） 设 ， 为偶函数”的（ ）是定义在 R 上的函数，， 则“ ， 均为偶函数”是“A . 充分而不必要的条件B . 必要而不充分的条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要的条件6. （2 分） 右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为 2 的半圆，则 该几何体的表面积等于（ ）A. B . 24π第 2 页 共 14 页C. D . 12π7. （2 分） (2018 高三下·滨海模拟) 实数 小值是（ ）满足不等式组则目标函数的最A.B.C.D.8. （2 分） 程序框图如图所示，该程序运行后输出的 s 的值是（ ）A.B. C.D.9. （2 分） 已知圆 ：， 则下列命题：①圆 上的点到最小值为 ；②圆 上有且只有一点 到点的距离与到直线的距离相等；③已知有且只有一点 ， 使得以 为直径的圆与直线 相切.真命题的个数为A.第 3 页 共 14 页的最短距离的 ， 在圆 上B. C. D.10. （2 分） 设函数 最高点横坐标为 ， 且在区间A.1 B.2(其中 0<w<1, ),且 上的最小值为 ， 则 a=（ ）的图象在 y 轴右侧的第一个C.D.11. （2 分） (2018 高三上·太原期末) 已知直线 与双曲线进线交于 ， 两点，则的值为（ ）相切于点 ， 与双曲线两条渐A.B.C.D . 与 的位置有关12. （2 分） 若函数在区间内是增函数，则实数 的取值范围是A.B. C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)第 4 页 共 14 页13. （1 分） 已知， 则 cos（30°﹣2α）的值为________14. （1 分） 若（x- ）n 的二项展开式中所有项的二项式系数和为 64，则常数项为________ （用数字作 答）15. （1 分） (2016 高三上·连城期中) 已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的一个面 A1B1C1D1 在半径为 底面上，A、B、C、D 四个顶点都在此半球面上，则正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为________．的半球16. （1 分） (2018·吉林模拟) 已知数列 大值为________中，前 项和为 ，且，则的最三、 解答题 (共 7 题；共 55 分)17. （5 分） (2012·全国卷理) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 cos（A﹣C）+cosB=1， a=2c，求 C．18. （10 分） (2020·内江模拟) 某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运 用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高 效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学 生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于 70 分为“成绩优良”.附：（其中）（1） 由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过第 5 页 共 14 页的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？成绩优良 成绩不优良 总计甲班乙班总计（2） 从甲、乙两班 40 个样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的学生中任意选取 2 人，记来自甲班的人 数为 ，求 的分布列与数学期望.19. （10 分） (2017·晋中模拟) 如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，E 是 PC 的中点，底面 ABCD 为矩形，AB=4，AD=2， PA=PD，且平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F，平面 PCD 与平面 PAB 交于直线 l．（1） 求证：l∥EF；（2） 求 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为，求二面角 P﹣AE﹣B 的余弦值．20. （5 分） (2018 高三上·嘉兴期末) 如图， 为半圆的直径，点的两点，，值.．曲线 经过点 ，且曲线 上任意点 满足：是半圆弧上 为定（Ⅰ）求曲线 的方程；（Ⅱ）设过点 的直线 与曲线 交于不同的两点，求第 6 页 共 14 页面积最大时的直线 的方程．21. （10 分） (2019 高二下·上饶月考) 如图，在半径为的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料 ABCD，其中点 A、B 在直径上，点 C、D 在圆周上，将所截得的矩形铁皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为．（1） 按下列要求建立函数关系式：①设，将 表示为 的函数；②设（ ） ，将 表示为 的函数；（2） 请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．22. （10 分） (2018 高三上·酉阳期末) 选修 4 - 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为（1） 求 的普通方程和 的倾斜角；（2） 设点和 交于两点，求( 为参数），在以原点为极点， 轴正半 ..23. （5 分） (2018·佛山模拟) 设函数.(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若函数的图象与直线所围成的四边形面积大于 20,求 的取值范围.第 7 页 共 14 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 14 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 55 分)17-1、18-1、18-2、第 9 页 共 14 页19-1、第 10 页 共 14 页19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

四川省德阳市2019-2020学年高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x xx≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根， 则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线y kx =经过(4,1)时，14k =； 当直线y kx =经过(5,1)时，15k =， 可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点， 即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题3．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为1223F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．2,3⎡⎣ C ．2,4⎤⎦D ．[]1,4【答案】D 【解析】 【分析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得1211PF PF +的取值范围. 【详解】由题设有1,3b c ==，故2a =，故椭圆22:14x C y +=，因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.又()12121212111144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-， 因为12323PF -≤≤+，故()11144PF PF ≤-≤，所以121114PF PF ≤+≤. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.4．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．90【答案】A 【解析】 【分析】利用频率分布直方图得到支出在[20,40)的同学的频率，再结合支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，即得解 【详解】由题意，支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人由频率分布直方图可知，支出在[20,40)的同学的频率为34(0.010.024)100.34,1000.34n +⨯=∴==． 故选：A 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 5．函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

德阳市2020届高三一诊数学（理科）试题一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.已知集合M={-2，-1，0，1}，N=(){}02≤-∈x x R x ，则N M =A.{-1，0，1}B.{0，1}C.{-2，-1，0，1}D.{-2，-1，0}2.已知i 为虚数单位，a 、b ∈R ，z ＝a +i ，i bz z=+，则b a = A.1 B.-1 C.21D.2 3.已知向是a =(x +23，1)与向量b =(x 2，2x )共线，则实数x 的值为 A.-3 B.-3或0 C.3 D.3或04.执行如右图的程序框图，若输入的a =6，b =1，则输出的S 的结果是 A.24 B.28 C.34 D.405.已知(x +1)5(ax +1)的展开式中x 5的系数是-4，则实数a 的值为 A-1 B.1 C.54 D.-54 6.为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工人装配第n 件工件所用的时间(单位：分钟) f (n )大致服从的关系为f (n )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<M n Mn Mk n k,,(k 、M 为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M 件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是 A.40分钟 B.35分钟 C.30分钟 D.25分钟7.已知抛物线了y 2＝2px (＞0)的准线过椭圆12222=+p y px 的左焦点F 1，且与椭圆交于P 、Q 两点，则△PQF 2(F 2是椭圆的右焦点)的周长为A.224B.24C.162D.168.在三棱锥P -AB C 中，P A 、PB 、PC 两垂直，P A ＝21PB ＝1，Q 是棱BC 上一个动点，若直线AQ 与平面PBC 所成角的正切的最大值为25，则该三棱锥外接球的表面积为 A.6π B.7π C. 8π D. 9π9.函数y ＝6cos x (0<x <π)与y ＝3tan x 的图象相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则△MON 的面积为A .2π B.π3 C. π3 D.π310.已知H 为△ABC 的垂心，AB ＝4，AC ＝6，M 为边BC 的中点，则BC HM ⋅＝ A.20 B.10 C.-20 D.-1011.已知奇函数f (x )＝0,,222<≥⎪⎩⎪⎨⎧++x x nx mx x x ，满足()()()R n m b a mn b a f b a f ∈≤--+-,,,0则代数式(a -1)2+b 2的取值范围为A.⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡∞+，22 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21 C.[)∞+，4 D.[)∞+，2 12.已知曲线f (x )＝ sin x ω+ m cos x ω，(m ∈R )相邻对称轴之间的距离为2π，且函数f (x )在x ＝x 0处取得最大值，则下列命题正确的个数为①当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈6120ππ，x 时，m 的取值范是⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∈3330，x ；②将f (x )的图象向左平移40x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数y ＝f (x )+()x f 的最小正周期为π；④函数y ＝f (x )+()x f 在区间(x 0，x 0+3π)上有且仅有一个零点.A.1B.2 D.4C.3 二、填空题:共4小题，每小题5分，共20分13.国际青年物理学家竞赛(简称IYPT )是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，某中学物理兴趣小v 10)，通过散点图发现具有较强的线性相关关系，并且利用最小二乘法求得线性回归方程:∧v =1.5u +1，由于数据保存失误导致∑=101i iv丢失，但50101=∑=i iu被保存，通过所学知识可以求得∑=101i iv＝ .14.已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝1，43254=++a a a a ，则=+441a S S .15.已知())0(>=k kx x f ，若正数a ，b 满足f (a )+f (b )=f (a )f (b )，且⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛k b f k a f 4的最小值为1，则实数k 的值为 .16.已知当x ∈R 时，均有不等式(ae x -2)(ae x +x )≥0成立，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题:17.(12分)垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统.为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计测试的平均成绩；(2)将频率视为相应的概率，如果从参加测试的同学中随机选取4名同学，这4名同学中测试成绩在[60，80)的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望.18.(12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和()*∈++=N n b n n S n 2. (1)求实数b 的值及{}n a 的通项公式；(2)若a n =n b 2log ，且()()111--=+n n nn b b b c ，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c ，且b C B c B A a 452sin 2sin 22=+++. (1)求c a b+的；(2)若△ABC 的面积S ＝22，cos B ＝31，求△ABC 的周长.20.(12分)已知函数f (x )＝x 3-3x.(1)求f (x )在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值和最小值；(2)在曲线y ＝x 2上是否存在点P ，使得过点P 可作三条直线与曲线y ＝f (x )相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.21.(12分)已知函数f (x )＝kx 3ln x 的极小值为31-.(1)求实数k 的值；(2)令()e u f v =，当v ＞2e 6时，求证：61log 71<<u v .22(10分)在极点为O 的极坐标系中，直线l ：1cos =θρ上有一动点P ，动点M 在射线OP 上，且满足2=⋅OM OP ，记M 的轨迹为C .(1)求C 的极坐标方程，并说明C 是何种曲线；2)若⎪⎭⎫⎝⎛611πρ，M ，()022，ρM ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-633πρ，M 均在曲线C 上求321M M M ∆的面积.23.(10分)已知函数f (x )＝1-x +1.(1)求证：f (x -1)+f (x )≥3；(2)若实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2＝1，求证f (a +1)+f (2b +1)+f (2c +1)≤6.。

德阳市高中2017级“一诊”考试数 学 试 卷(理工农医类)说明1.本试卷分第1卷和第Ⅱ程，第1卷1一2页，第Ⅱ卷34页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结東后，将答题卡交回 2本试卷满分150分，120分钟完卷第1卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合M={-2，-1，0，1}，N=(){}02≤-∈x x R x ，则N M =A.{-1，0，1}B.{0，1}C.{-2，-1，0，1}D.{-2，-1，0} 2.已知i 为虚数单位，a 、b ∈R ，z ＝a +i ，i bz z =+，则b a= A.1 B.-1 C.21D.2 3.已知向是a =(x +23，1)与向量b =(x 2，2x )共线，则实数x 的值为A.-3B.-3或0C.3D.3或04.执行如右图的程序框图，若输入的a =6，b =1，则输出的S 的结果是 A.24 B.28 C.34 D.405.已知(x +1)5(ax +1)的展开式中x 5的系数是-4，则实数a 的值为A-1 B.1 C.54 D.-546.为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工人装配第n 件工件所用的时间(单位：分钟) f (n )大致服从的关系为f (n )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<M n Mn Mk n k,,(k 、M 为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M 件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是A.40分钟B.35分钟C.30分钟D.25分钟数学一诊(理工农医类)第1页(共4页)7.已知抛物线了y 2＝2px (＞0)的准线过椭圆12222=+p y px 的左焦点F 1，且与椭圆交于P 、Q 两点，则△PQF 2(F 2是椭圆的右焦点)的周长为A.224B.24C.162D.168.在三棱锥P -AB C 中，PA 、PB 、PC 两垂直，PA ＝21PB ＝1，Q 是棱BC 上一个动点，若直线AQ 与平面PBC 所成角的正切的最大值为25，则该三棱锥外接球的表面积为 A.6π B.7π C. 8π D. 9π9.函数y ＝6cos x (0<x <π)与y ＝3tan x 的图象相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则△MON 的面积为 A .2π B.π3 C. π3 D.π310.已知H 为△ABC 的垂心，AB ＝4，AC ＝6，M 为边BC 的中点，则BC HM ⋅＝ A.20 B.10 C.-20 D.-1011.已知奇函数f (x )＝00,,222<≥⎪⎩⎪⎨⎧++x x nx mx x x ，满足()()()R n m b a mn b a f b a f ∈≤--+-,,,0则代数式(a -1)2+b 2的取值范围为A.⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡∞+，22 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21 C.[)∞+，4 D.[)∞+，2 12.已知曲线f (x )＝ sin x ω+ m cos x ω，(m ∈R )相邻对称轴之间的距离为2π，且函数f (x )在x ＝x 0处取得最大值，则下列命题正确的个数为 ①当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈6120ππ，x 时，m 的取值范是⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∈3330，x ； ②将f (x )的图象向左平移40x 个单位后所对应的函数为偶函数； ③函数y ＝f (x )+()x f 的最小正周期为π； ④函数y ＝f (x )+()x f 在区间(x 0，x 0+3π)上有且仅有一个零点. A.1 B.2 D.4 C.3数学一诊(理工农医类)第1页(共4页)第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡上.13.国际青年物理学家竞赛(简称IYPT )是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u 、v 进行测量，得到10组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)……(u 10，v 10)，通过散点图发现具有较强的线性相关关系，并且利用最小二乘法求得线性回归方程:∧v =1.5u +1，由于数据保存失误导致∑=101i iv丢失，但50101=∑=i iu被保存，通过所学知识可以求得∑=101i iv＝ .14.已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝1，43254=++a a a a ，则=+441a S S .15.已知())0(>=k kx x f ，若正数a ，b 满足f (a )+f (b )=f (a )f (b )，且⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛k b f k a f 4的最小值为1，则实数k 的值为 .16.已知当x ∈R 时，均有不等式(ae x-2)(ae x+x )≥0成立，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题:解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17.(本题满分12分)垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统.为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计测试的平均成绩；(2)将频率视为相应的概率，如果从参加测试的同学中随机选取4名同学，这4名同学中测试成绩在[60，80)的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望.18.(本题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和()*∈++=N n b n n S n 2. (1)求实数b 的值及{}n a 的通项公式；(2)若a n =n b 2log，且()()111--=+n n nn b b b c ，求数列{}n c 的前n 项和n T .数学一诊(理工农医类)第3页(共4页)19.(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c ，且b C B c B A a 452sin 2sin 22=+++. (1)求ca b+的； (2)若△ABC 的面积S ＝22，cos B ＝31，求△ABC 的周长. 20.(本题满分12分) 已知函数f (x )＝x 3-3x.(1)求f (x )在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值和最小值；(2)在曲线y ＝x 2上是否存在点P ，使得过点P 可作三条直线与曲线y ＝f (x )相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.21.(本题满分12分)已知函数f (x )＝kx 3ln x 的极小值为31-.(1)求实数k 的值； (2)令()e u f v =，当v ＞2e 6时，求证：61log 71<<u v .请考生在22、23二题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22(本题满分10分)在极点为O 的极坐标系中，直线l ：1cos =θρ上有一动点P ，动点M 在射线OP 上，且满足2=⋅OM OP ，记M 的轨迹为C .(1)求C 的极坐标方程，并说明C 是何种曲线；2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛611πρ，M ，()022，ρM ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-633πρ，M 均在曲线C 上求321M M M ∆的面积. 23.(本题满分10分)已知函数f (x )＝1-x +1. (1)求证：f (x -1)+f (x )≥3；(2)若实数a、b、c满足a2+b2+c2＝1，求证f(a+1)+f(2b+1)+f(2c+1)≤6.数学一诊(理工农医类)第3页(共4页)。

2022年四川省高考理科数学第一次统一检测试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[2，3）D ．（2，3）2．（5分）已知复数z 满足（3+4i ）z ＝2+i ，则z 的虚部为（ ） A ．25B ．225C ．−15D ．﹣13．（5分）某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为（ ）A ．30B ．60C ．70D ．1304．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．经过9个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的（ ） A ．1128B ．1256C ．1512D ．110245．（5分）如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．2√2B ．4C ．2√5D ．2√66．（5分）双曲线mx 2+y 2＝1的焦距是虚轴长的2倍，则m ＝（ ） A ．−13B ．﹣3C ．﹣5D ．−157．（5分）命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．a ≥4B ．a ≥3C ．a ≥2D ．a ≥18．（5分）已知sin(α−π6)+cosα=35，则cos(2α+π3)=（ ） A ．1825B ．725C ．−725D ．−18259．（5分）若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ） A ．45B ．57C ．23D ．3510．（5分）如图，A 处为长江南岸某渡口码头，北岸B 码头与A 码头相距√3km ，江水向正东(AD →)流．已知一渡船从A 码头按AC →方向以10km /h 的速度航行，且∠BAC ＝30°，若航行0.2h 到达北岸的B 码头，则江水速度是（ ）A ．10√2km/ℎB ．5√2km/ℎC ．5km /hD ．1km /h11．（5分）祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异．”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b＞0）中|y |≤m （m ＞0）的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a ，高为m 的圆柱体后，所得几何体与底面半径为am b，高为m 的圆锥均放置于平面β上（几何体底面在β内）．与平面β平行且到平面β距离为h （0≤h ≤m ）的平面与两几何体的截面面积分别为S 圆，S 圆环，可以证明S 圆＝S圆环总成立．依据上述原理，x 2−y 24=1(|y|≤4)的双曲线旋转体的体积为（ ）A ．443π B ．563π C ．283π D ．323π12．（5分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[1﹣ln 22，+∞）B ．[﹣ln 22﹣1，+∞）C ．[﹣ln 22，+∞）D ．[−12ln 22，+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1，则|a →+b →|= ． 14．（5分）给出两个条件：①a ，b ∈R ，f （a +b ）＝f （a ）f （b ）； ②f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增．请写出一个同时满足以上两个条件的一个函数 ．（写出满足条件的一个函数即可） 15．（5分）定义运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ．设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]，将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为 ． 16．（5分）已知点F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点A(0，b2)且垂直于y 轴的直线与椭圆交于B ，C 两点．当△BCF 为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）给出以下条件：①a 2，a 3，a 4+1成等比数列；②S 1+1，S 2，S 3成等比数列；③S n =a n a n+14(n ∈N ∗)．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，_____． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若{bn a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项的和T n ．18．（12分）某县对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了800名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表．良好以下 良好及以上合计 男 400 550 女 50 合计600800（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全县高一所有学生中，采取随机抽样的方法次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）． 附表及公式： P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828其中K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱AA 1垂直于底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，点D 在线段A 1B 上且A 1D ＝2DB ，点E 是线段B 1C 1的动点． （1）当点E 在什么位置时，直线DE ∥平面ACC 1A 1？（2）当直线DE ∥平面ACC 1A 1时，求二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值．20．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆M ：（x ﹣4）2+y 2＝12相交于A ，B，C ，D 四点．（1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f(x)=−√x +alnx(a ≠0)，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线为l ．（1）求l 的方程；（2）是否存在实数a ，使得l 与函数f （x ）的图象有2个不同公共点？若存在，求a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，将射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点．当△AOB 的面积最大时，求α的值，并求△AOB 面积的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|2x ﹣3|，M 为不等式f （x ）≤4的解集． （1）求M ；（2）若a ，b ∈R ，且a 2+b 2∈M ，证明：0≤a 2﹣ab +b 2≤3．2022年四川省高考理科数学第一次统一检测试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．[2，3）D ．（2，3）【解答】解：由A ＝{x |x 2+x ﹣6≤0}＝{x |﹣3≤x ≤2}， B ＝{x |﹣1＜x ＜3}， 得A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤2}． 故选：B ．2．（5分）已知复数z 满足（3+4i ）z ＝2+i ，则z 的虚部为（ ） A ．25B ．225C ．−15D ．﹣1【解答】解：∵（3+4i ）z ＝2+i ， ∴z =2+i 3+4i =(2+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=25−15i ， ∴z 的虚部为−15． 故选：C ．3．（5分）某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为（ ）A ．30B ．60C ．70D ．130【解答】解：根据频率分布直方图，标准分不低于70分的企业的频率为： （0.01+0.02+0.04）×5＝0.35，∴标准分不低于70分的企业数为0.35×200＝70（家）． 故选：C ．4．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．经过9个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的（ ） A ．1128B ．1256C ．1512D ．11024【解答】解：设生物组织死亡前碳14的含量为1，经过1个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余量为P =12，经过n 个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余为P ＝（12）n ，当n ＝9时，P =129=1512． 故选：C ．5．（5分）如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．2√2B ．4C ．2√5D ．2√6【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A ﹣BCD ； 如图所示：由于AE ＝DE ＝BC ＝2，EB ＝DC ＝4，所以AC =√22+22+42=2√6，AB ＝BD =√22+42=2√5，AD =√22+22=2√2， 故选：D ．6．（5分）双曲线mx 2+y 2＝1的焦距是虚轴长的2倍，则m ＝（ ） A ．−13B ．﹣3C ．﹣5D ．−15【解答】解：双曲线mx 2+y 2＝1的标准方程：y 2−x 2−1m=1，双曲线的焦距是虚轴长的2倍， 可得2√1−1m =4√−1m， 解得m ＝﹣3， 故选：B ．7．（5分）命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．a ≥4B ．a ≥3C ．a ≥2D ．a ≥1【解答】解：∵命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题，∴∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ≤a ，则当x ∈[﹣1，2]时，x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1≤3， ∴命题“∀x ∈[﹣1，3]，x 2﹣2x ﹣a ≤0”为真命题时，a ≥3， 经验证，A 选项符合题意． 故选：A ．8．（5分）已知sin(α−π6)+cosα=35，则cos(2α+π3)=（ ） A ．1825B ．725C ．−725D ．−1825【解答】解：∵sin(α−π6)+cosα=√32sin α+12cos α＝sin （α+π6）=35， ∴cos(2α+π3)=1﹣2sin 2(α+π6)=1﹣2×925=725， 故选：B ．9．（5分）若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是（ ） A ．45B ．57C ．23D ．35【解答】解：组成无重复数字的三位数无0的选法C 21×C 22×A 33=12，有0的选法有C 21C 21×2×A 22=16，组成无重复数字的三位数共有28种， 组成的三位数为偶数，若三位数的个位为0，则有2×2×A 22＝8个； 若十位为0，则有C 21•C 21＝4个；若这个三位数没有0，则有C 21•C 21A 22＝8个． 综上，要求的三位偶数的个数为 8+8+4＝20个， 则组成的三位数为偶数的概率是2028=57．故选：B ．10．（5分）如图，A 处为长江南岸某渡口码头，北岸B 码头与A 码头相距√3km ，江水向正东(AD →)流．已知一渡船从A 码头按AC →方向以10km /h 的速度航行，且∠BAC ＝30°，若航行0.2h 到达北岸的B 码头，则江水速度是（ ）A ．10√2km/ℎB ．5√2km/ℎC ．5km /hD ．1km /h【解答】解：如图，∵北岸B 码头与A 码头相距√3km ，且航行时间为0.2h ， ∴合速度为√30.2=5√3，在△AEC 中，AE =5√3，AC ＝10，∠CAE ＝30°， ∴EC ＝5．即江水速度是5km /h ． 故选：C ．11．（5分）祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异．”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b＞0）中|y |≤m （m ＞0）的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a ，高为m 的圆柱体后，所得几何体与底面半径为am b，高为m 的圆锥均放置于平面β上（几何体底面在β内）．与平面β平行且到平面β距离为h （0≤h ≤m ）的平面与两几何体的截面面积分别为S 圆，S 圆环，可以证明S 圆＝S圆环总成立．依据上述原理，x 2−y 24=1(|y|≤4)的双曲线旋转体的体积为（ ）A ．443π B ．563π C ．283πD ．323π【解答】解：依题意，m ＝4，a ＝1，b ＝2，圆锥底面半径am b=2，即圆锥的底面面积为4π，由祖暅原理可知，V ＝2（V 圆柱+V 圆锥）=2(π×12+13×π×22×4)=56π3． 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[1﹣ln 22，+∞）B ．[﹣ln 22﹣1，+∞）C ．[﹣ln 22，+∞）D ．[−12ln 22，+∞)【解答】解：因为函数f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m 在（0，+∞）上有零点， 所以方程f （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ﹣m ＝0在（0，+∞）上有解， 即m ＝xe x ﹣x 2﹣2x 在（0，+∞）上有解，令g （x ）＝xe x ﹣x 2﹣2x ，则g ′（x ）＝（x +1）（e x ﹣2）， 令g ′（x ）＞0，可得x ＞ln 2，令g ′（x ）＜0，可得0＜x ＜ln 2， 所以g （x ）在（0，ln 2）上单调递减，在（ln 2，+∞）上单调递增， 所以g （x ）min ＝g （ln 2）＝﹣ln 22，所以m ≥﹣ln 22，即m 的取值范围是[﹣ln 22，+∞）． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1，则|a →+b →|= √3 ． 【解答】解：根据题意，a →，b →是单位向量，且|a →−b →|=1， 则（a →−b →）2=a →2+b →2﹣2a →•b →=1，变形可得a →•b →=12， 则（a →+b →）2=a →2+b →2+2a →•b →=3，即|a →+b →|=√3； 故答案为：√3． 14．（5分）给出两个条件：①a ，b ∈R ，f （a +b ）＝f （a ）f （b ）； ②f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增．请写出一个同时满足以上两个条件的一个函数 f （x ）＝2x （答案不唯一） ．（写出满足条件的一个函数即可）【解答】解：由条件①可知函数f （x ）为指数函数， 由条件②可知，指数函数的底数a ＞1，则同时满足以上两个条件的一个函数可以为f （x ）＝2x ，f （x ）＝4x 等． 故答案为：f （x ）＝2x （答案不唯一）．15．（5分）定义运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ．设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]，将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为π4．【解答】解：∵运算“⊕”：a ⊕b ＝sin a ⋅cos b ，设函数f （x ）＝[（2x ）⊕φ]+[φ⊕（2x ）]＝sin2x cos φ+sin φcos2x ＝sin （2x +φ）， 将f （x ）的图象向右平移π8个单位长度得到函数g （x ）＝sin （2x −π4+φ）的图象，且g （x ）的图象关于y 轴对称， ∴−π4+φ＝±π2+k π，k ∈Z ，则|φ|的最小值为π4，故答案为：π4．16．（5分）已知点F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点A(0，b2)且垂直于y 轴的直线与椭圆交于B ，C 两点．当△BCF 为锐角三角形时，椭圆的离心率的取值范围为 (√63，√32) ．【解答】解：如图，易得B(−√32a ，b 2)，C(√32a ，b2)，F(c ，0)．所以CB →=(−√3a ，0)，CF →=(c −√32a ，−b 2)，FB →=(−√3a 2−c ，b2)，FC →=(√32a −c ，b 2)． 根据椭圆对称性，有BF ＞CF ，因此，若△BCF 为锐角三角形， 只需∠BCF 和∠BFC 均为锐角，即{CB →⋅CF →＞0FB →⋅FC →＞0，所以{−√3a(c −√3a2)＞0，(−√3a 2−c)(√3a 2−c)+b24＞0． 由此可得√63＜c a ＜√32， 故椭圆离心率的取值范围是(√63，√32)，故答案为：(√63，√32)．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）给出以下条件：①a 2，a 3，a 4+1成等比数列；②S 1+1，S 2，S 3成等比数列；③S n=a n a n+14(n∈N∗)．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，_____．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b na n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，则d＞0，选择条件①：因为a2，a3，a4+1成等比数列，所以a32=a2•（a4+1），所以（2+2d）2＝（2+d）•（2+3d+1），化简得d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1（舍负），所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．选择条件②：因为S1+1，S2，S3成等比数列，所以S22=（S1+1）•S3，所以（2×2+d）2＝（2+1）•（3×2+3d），化简得d2﹣d﹣2＝0，解得d＝2或﹣1（舍负），所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．选择条件③：因为S n=a n a n+14(n∈N∗)，所以当n≥2时，S n﹣1=a n−1a n4，两式相减得，a n=14a n（a n+1﹣a n﹣1），因为a n≠0，所以a n+1﹣a n﹣1＝4，即2d＝4，所以d＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．（2）因为{b na n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以b na n=2•2n﹣1＝2n，所以b n＝2n•2n，所以T n＝2•21+4•22+6•23+…+2n•2n，2T n＝2•22+4•23+6•24+…+（2n﹣2）•2n+2n•2n+1，两式相减得，﹣T n＝2•21+2•22+2•23+2•24+…+2•2n﹣2n•2n+1＝2×2(1−2n)1−2−2n•2n+1＝（1﹣n）2n+2﹣4，所以T n ＝（n ﹣1）2n +2+4．18．（12分）某县对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了800名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表．良好以下 良好及以上合计 男 400 550 女 50 合计600800（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全县高一所有学生中，采取随机抽样的方法次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）． 附表及公式： P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828其中K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【解答】解：（1）补充列出二联表如下：良好以下 良好及以上合计 男 400 150 550 女 200 50 250 合计600200800∴k 2=800(400×50−200×150)2600×200×550×250≈4.848＞3.841．∴有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．（2）由（1）表格可得：“良好及以上”的频率即概率P =200800=14， 由题意可知ξ～B （4，14），P （ξ＝k ）=C 4k(14)k (34)4−k ，k ＝0，1，2，3，4．ξ 0 1234P8125610825654256122561256∴E （ξ）＝4×14=1．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱AA 1垂直于底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，AA 1＝3，点D 在线段A 1B 上且A 1D ＝2DB ，点E 是线段B 1C 1的动点． （1）当点E 在什么位置时，直线DE ∥平面ACC 1A 1？（2）当直线DE ∥平面ACC 1A 1时，求二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值．【解答】解：（1）当点E 是线段B 1C 1上靠近B 1的三等分点时，DE ∥平面ACC 1A 1． 过点D 作DF ∥AA 1交A 1B 1于点F ，过点F 作FE ∥A 1C 1于点E ，连接DE ， ∵EF ∥A 1C 1，EF ⊄平面AA 1C 1C ，∴EF ∥平面AA 1C 1C ， ∵DF ∥AA 1，FD ⊄平面AA 1C 1C ，∴FD ∥平面AA 1C 1C ， ∵EF ∩FD ＝F ，∴平面EFD ∥平面AA 1C 1C ， ∵DE ⊂平面EFD ，∴DE ∥平面AA 1C 1C ， 而B 1E EC 1=B 1F FA 1=BD DA 1=12，∴当点E 是线段B 1C 1上靠近B 1的三等分点时，DE ∥平面ACC 1A 1． （2）以BC 的中点O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系O ﹣xyz ，则B （0，1，0），C （0，﹣1，0），E （0，13，3），A 1（√3，0，3），由BD →=13BA 1→，得D （√33，23，1），∴ED →=（√33，13，﹣2），EB →=（0，23，﹣3），设平面DEB 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），由{m →⋅ED →=0m →⋅EB →=0，得{√33x +13y −2z =023y −3z =0，令z ＝2，得y ＝9，x =√3，即m →=（√3，9，2）， 设二面角D ﹣EB ﹣C 的平面角为θ， 而面EBC 的一个法向量为n →=（1，0，0），则|cos θ|＝|n →⋅m→|n →|×|m →||=√32√22=√6644，故二面角D ﹣EB ﹣C 的余弦值为√6644． 20．（12分）如图，已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆M ：（x ﹣4）2+y 2＝12相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）根据已知圆及抛物线的对称性，可设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），B （x 1，﹣y 1），C （x 2，﹣y 2），由{y 2=2px (x −4)2+y 2=12消去y ，可得x 2+（2p ﹣8）x +4＝0， 则Δ＝（2p ﹣8）2﹣16＞0，得0＜p ＜2或P ＞6，x 1+x 2＝8﹣2p ，x 1x 2＝4，且y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝16p 2，显然y 1＞0，y 2＞0，故y 1y 2＝4p ， 由以AD 为直径的圆经过点M ，知MA →•MD →=0，∴（x 1﹣4）（x 2﹣4）+y 1y 2＝0，∴x 1x 2﹣4（x 1+x 2）+16+4p ＝0，∴﹣4（8﹣2p ）+4p +20＝0，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ； （2）由题意，直线AC 的斜率存在，且为k AC =−y 2−y 1x 2−x 1=−y 2−y 1y 222p −y 122p=2py 1−y 2，∴直线AC 的方程为y ﹣y 1=2p y 1−y 2（x ﹣x 1），即y =2p y 1−y 2x +y 1−2py 1−y 2×y 122p =2py 1−y 2x +y 12−y 1y 2−y 12y 1−y 2， ∴y =2p y 1−y 2x −4p y 1−y 2=2py 1−y 2（x ﹣2），于是直线AC 过定点（2，0）， 由抛物线和圆的对称性，易知ABCD 的两条对角线交点必在x 轴上， 故四边形ABCD 两条对角线的交点为E 是定点（2，0）．21．（12分）已知函数f(x)=−√x +alnx(a ≠0)，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线为l ．（1）求l 的方程；（2）是否存在实数a ，使得l 与函数f （x ）的图象有2个不同公共点？若存在，求a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：f′(x)=2√x ax， 将x ＝1代入得：f′(1)=a −12， 将x ＝1代入f （x ）得：f （1）＝﹣1， 则切线方程为：y +1=(a −12)(x −1)， 化简可得；y =(a −12)x −a −12；（2）联立切线与f （x ）可得：alnx −(a −12)x −√x +a +12=0，观察可得x＝1为该方程的根，故仅需探究方程在（0，+∞）是否存在另一解即可，令√x=t（t≥0），则原方程转为：2alnt−(a−12)t2−t+a+12=0，令g(t)=2alnt−(a−12)t2−t+a+12(t≥0)，g′(t)=[(1−2a)t−2a](t−1)t，①当1﹣2a≤0时，即a≥12时，令g′（t）＞0，解得：0＜t＜1，故g（t）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故g（t）＜g（1）＝0，则不存在第二个实数解，不满足题意，②当1﹣2a＞0时，g′(t)=1−2at (t−2a1−a)(t−1)，（Ⅰ）若2a1−2a≤0，即a≤0时，则0＜t＜1时，g′（t）＜0，则g（t）单调递减，若t＞1，g′（t）＞0，则g（t）单调递增，故g（t）＞g（1）＝0，则原方程仅有一个解为t＝1，不满足题意，（Ⅱ）若2a1−a=1，即a=14，此时g′（t）＞0，g（t）单调递增，则原方程仅有一个解为t＝1，不满足题意，（Ⅲ）若0＜2a1−a＜1，即0＜a＜14，则0＜t＜2a1−a，g（t）单调递增，2a1−a＜t＜1，g（t）单调递减，t＞1，g（t）单调递增，又g（1）＝0，可知g(2a1−a)＞0，且t→0，g（t）→﹣∞，故存在t 0∈(0，2a1−a)使得g （t 0）＝0， 此时，方程存在两个实数解，满足题意， （Ⅳ）若2a 1−a＞1，即14＜a ＜12，则0＜t ＜1，g （t ）单调递增，1＜t ＜2a1−a g （t ）单调递减，t ＞2a1−a ，g （t ）单调递增， 又g （1）＝0，可知g(2a1−a )＜0， 且t →+∞，g （t ）→+∞， 故存在t 0∈(2a1−a，+∞)，使得g （t 0）＝0， 此时，方程存在两个实数解，满足题意， 综上所述：方程存在两个实数解时， 其取值范围为：(0，14)∪(14，12)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，将射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点．当△AOB 的面积最大时，求α的值，并求△AOB 面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ，（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ＝4cos θ；（2）曲线C 2的方程为x 2+（y ﹣3）2＝9，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ＝6sin θ，已知射线l 1：θ=α(0＜α＜π2)与曲线C 1交于O ，A 两点，所以{ρ=4cosθθ=α，整理得ρA ＝4cos α；射线l 1绕极点逆时针方向旋转π3得到射线l 2，射线l 2与曲线C 2交于O ，B 两点． 所以{ρ=6sinθθ=α+π3，所以ρB =6sin(α+π3)；所以S △AOB =12⋅ρA ⋅ρB =12×4cosα⋅6sin(α+π3)⋅sin π3=3√3sin(2α+π3)+92； 由于0＜α＜π2， 故π3＜2α+π3＜4π3；当2α+π3=π2时，即α=π12时，S △AOB 的最大值为92+3√3． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|2x ﹣3|，M 为不等式f （x ）≤4的解集． （1）求M ；（2）若a ，b ∈R ，且a 2+b 2∈M ，证明：0≤a 2﹣ab +b 2≤3． 【解答】解：（1）由已知可得，f （x ）={−3x +2，x ≤−1−x +4，−1＜x ≤323x −2，x ＞32，当x ≤﹣1时，由﹣3x +2≤4，解得x ≥−23（舍去）， 当﹣1＜x ≤32时，由﹣x +4≤4，解得x ≥0，故0≤x ≤32，当x ＞32时，由3x ﹣2≤4，解得x ≤2，故32＜x ≤2，综上所述，f （x ）≤4的解集M ＝[0，2]． （2）∵a 2+b 2∈M ，即0≤a 2+b 2≤2，令a ＝r cos α，b ＝r sin α，0≤r ≤√2，α∈[0，2π]， ∴a 2﹣ab +b 2＝r 2﹣r 2sin αcos α=r 2(1−12sin2α)， ∵α∈[0，2π]， ∴12≤1−12sin2α≤32，即12r 2≤r 2(1−12sin2α)≤32r 2，∵0≤r ≤√2，第 21 页 共 21 页∴12r 2≥0，32r 2≤3， ∴0≤a 2﹣ab +b 2≤3，即得证．。

四川省德阳市2020届高三三诊考试数学理试题数学试卷（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|60,B |0A x x x x x =+-<=<，则R A C B =I （ ）A ．{}|02x x ≤<B ．{}|32x x -<<C ．{}|60x x -<<D ．{}|0x x ≥ 2.已知,a b R ∈，且()120,a b i i -++=为虚数单位，则复数()2a bi +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则2sin sin cos 2a A B b A a +=是2b a =的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.在 5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数等于5，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为（ ）A ．20B ．-10C ．-10，10D ．105.已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ．若OP d =，则函数()d f θ=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6.一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．403 B ．203C ．40D ．20 7.若函数()()3sin 3cos f x x x x R ωω=-∈的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则正数ω的最小值为（ ） A ．32 B ．23 C ．43D ．138.若ABC ∆5O 的内接三角形，3450OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ，则OC AB u u u v u u u vg 为（ ）A ．1B ．-1C ．6D ．-6 9.设抛物线22y x =的焦点为F ，过点)3,0M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ） A ．32 B ．43 C ．45 D ．2310.已知函数()2f x x x a x =-+，若存在[]3,3α∈-，使关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，则t 的取值范围为（ ） A ．95,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．251,24⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分，将答案填在答题纸上11.对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如图所示，则2211log83-⎛⎫⎛⎫⊗=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．12.已知双曲线()22122:10,0x yC a ba b-=>>的焦距是实轴长的2倍，若抛物线()22:20C x py p=>的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为___________．13.我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”，事件A发生的概率为__________．（结果用数值表示）14.若,x y满足约束条件1122x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y=+仅在点()1,0处取得最小值，则实数a的取值范围是__________．15.已知有限集{}()123,,,,2nA a a a a n=≥L，如果A中元素()1,2,3,,ia i n=L满足1212n na a a a a a=+++L L，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合1515⎧-+--⎪⎨⎪⎪⎩⎭，是“复活集”；②若12,a a R∈，且{}12,a a是“复活集”，则124a a>；③若*12a a N∈，则{}12,a a不可能是“复活集”；④若*ia N∈，则“复合集”A有且只有一个，且3n=．其中正确的结论是___________．（填上你认为正确的所有结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题满分12分）已知数列{}n a的前n项和是n S，且()*22n nS a n N+=∈．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设()()*31log1n nb S n N+=-∈，求12231111n nb b b b b b++++L．17.（本题满分12分）某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（2）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，假设参赛者甲答对每一个题的概率都是23，求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望．18.（本题满分12分）已知向量)33sin,1,sin,2m x x n x⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，函数()f x n m=g．（1）求函数()f x的最小正周期T及单调递增区间；（2）已知,,a b c分别为ABC∆内角,,A B C的对边，23,4a c==，且()f A是函数()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC∆的面积S．19.（本题满分12分）如图，已知边长为6的菱形0,120,ABCD ABC AC ∠=与BD 相交于O ，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使32BD =．（1）若M 是BC 的中点，求证：在三棱锥D ABC -中，直线OM 与平面ABD 平行； （2）求二面角A BD O --的余弦值；（3）在三棱锥D ABC -中，设点N 是BD 上的一个动点，试确定N 点的位置，使得42CN =20.（本题满分13分）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点到直线220x y -+=的距离为3，且过点61,⎛- ⎝⎭． （1）求E 的方程；（2）设椭圆E 的左顶点是A ，直线:0l x my t --=与椭圆E 相交于不同的两点,(,M N M N 均与A 不重合），且以MN 为直径的圆过点A ，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标． 21.（本题满分14分） 已知函数()22xxa f x e x e =-． （1）求()f x 在[)0,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）求证：当1a ≥时()1f x x ≤+；（3）对于在()0,1中的任一个实数a ，试探究是否存在0x >，使得()1f x x >+成立？如果存在，请求出符合条件的一个x ；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题二、填空题11. -3 12. 216x y = 13. 11214. 42a -<< 15. ①③④ 三、解答题16.解：（1）当1n =时，11a S = ，由1122S a += 得：123a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分故()1*2112333n nn a n N -⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭g g ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由11123nn n S a ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，得()13131log 1log 13n n n b S n ++⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭故()()111111212n n b b n n n n +==-++++， 因此122311111111111123341222n n b b b b b b n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ．．．．．．．．．．．．．．12分17.解：（1）设平均成绩的估计值为X ，则：()200.001400.004600.009800.0201000.0131200.0021400.0012080X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记甲在初赛中的答题个数为随机变量ξ，则ξ的可能值为3，4，5()()332221332213133322222210411133333327P P C C ξξ⎛⎫⎛⎫==+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222222442222228511133333327P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（或()11085132727P ξ==--=）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分则ξ的分布列为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以ξ的数学期望11081073453272727E ξ=⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）()23sin cos 2f x n m x x x ==++g 1cos 2322212cos 2222sin 226x x x x x π-=+=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 因为2ω=，所以22T ππ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得：()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故所求单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，()sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52666x πππ-≤-≤， 当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值3，由()3f A =得：3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-， 可得：211216242b b =+-⨯⨯，∴2b =， 从而11sin 24sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O是AC的中点，又点M是棱BC的中点，所以OM是ABC∆的中位线，//OM AB，因为OM⊄平面,ABD AB⊂平面ABD，所以//OM平面ABD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）解：由题意可知，3OB OD==，因为32BD=，所以090,BOD OB OD∠=⊥，又因为菱形ABCD，所以,OB AC OD AC⊥⊥，建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示，则()()()33,0,0,0,3,0,0,0,3A D B，所以()()33,0,3,33,3,0AB AD=-=-u u u v u u u v．设平面ABD的法向量为(),,n x y z=，则有AB nAD n⎧=⎨=⎩u u u vgu u u vg，即33303330x zx y⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x=，则3,3y z==(3,3n=．因为,AC OB AC OD⊥⊥，所以AC⊥平面BOD，平面BOD的法向量与AC平行，所以平面BOD的一个法向量为()1,0,0n=，7cos17n nn nn n===⨯gg因为二面角A BD O--的平面角是锐角所以二面角A BD O --的余弦值为7．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）解：设()111,,N x y z ，因为N 是线段BD 上的一个动点，设BN BD λ=u u u v u u u v，即()()111,,30,3,3x y z λ-=-， 所以1110,3,33x y z λλ===-，则()()0,3,33,,33N CN λλλλ-=-u u u v，由CN ==，即29920λλ-+=，解得：1233λλ==或 所以N 点的坐标为()()0,1,20,2,1或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）设右焦点为(),0c3=，∴c =222a b =+，将点1,2⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得：2222232b a a b +=， ∴222,4b a ==，故椭圆E 的方程为22142x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由0x my t --=，得：x my t =+，把它代入椭圆E 的方程得：()2222240m y mty t +++-=，()()22224424m t m t ∆=-+-，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122224,22mt t y y y y m m -+=-=++，故()12122422tx x m y y t m +=++=+，()()()2222121212122242t m x x my t my t m y y tm y y t m -=++=+++=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM AN ⊥，所以()()11222,2,AM AN x y x y =++u u u u v u u u v g g()()()12121222222222224244424222384223202x x x x y y t m t t m m m t t m t t m =++++--=+⨯+++++++=+++==+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又因为,M N 均与A 不重合，所以2t ≠-，所以23t =-， 故直线l 的方程是203x my -+=，直线l 过定点2,03T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于点T 在椭圆内部， 所以满足判别式大于0，所以直线l 过定点2,03T ⎛⎫- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 21．解：（1）∵[)0,x ∈+∞，∴()212x a f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴()212x a f x e x ax ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭， 由题意()0f x '≥在[)0,+∞上恒成立，当0a =时，()0xf x e '=>恒成立，即满足条件 ， 当0a ≠时，要使()0f x '≥，而0x e >恒成立， 故只需2102a x ax --+≥在[)0,+∞上恒成立，即20200102a a a ⎧->⎪⎪⎨⎪--+≥⎪⎩g g ， 解得：0a <，综上，a 的取值范围为0a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）当0x ≥时，要证明212x x a e x e x -≤+成立，只需证212x x a e x e x ≤++，即证2112x a x x e+≤+，① 令()212x a x g x x e +=+，得()()()211x x x x e x e x g x ax ax e e -+'=+=-g ， 整理得：()1x g x x a e ⎛⎫'=-⎪⎝⎭， ∵0x ≥时，11x e≤，结合1a ≥，得()0g x '≥， ∴()g x 在[)0,+∞上是增函数，故()()01g x g ≥=，从而①式得证，在0x ≤时，要使212x xa e x e x -≤+成立， 只需证212x x a e x e x -≤++，即证()22112x x a x e x e --≤++，② 令()()2212x x ax m x e x e --=++，得()21x x m xe e a x -'⎡⎤=-+-⎣⎦， 而()()1xx e a x ϕ=+-在0x ≤时为增函数， 故()()010x a ϕϕ≤=-≤，从而()0m x '≤，∴()m x 在0x ≤时为减函数，则()()01m x m ≥=，从而②式得证， 综上所述，原不等式212x x a e x e x -≤+，即()1f x x ≤+在1a ≥时恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （3）要使()1f x x >+成立，即212x xa e x e x ->+，③ 要找一个0x >使③式成立，只需找到函数()2112x ax x t x e+=+-的最小值，满足()min 0t x <即可．∵()1xt x x a e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， 令()0t x '=得：1x e a=，则ln x a =-， 在0ln x a <<-时，()0t x '<，在ln x a >-时，()0t x '>即()t x 在()0,ln a -上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数，∴当ln x a =-时，()t x 取得最小值()()()2ln ln ln 112a t a a a a -=+-+-， 下面只需证明：()2ln ln 102a a a a a -+-<在01a <<时恒成立即可． 令()()2ln ln 12a p a a a a a =-+- 则()()21ln 02p a a '=≥，从而()p a 在()0,1上是增函数， 则()()10p a p <=，从而()2ln ln 102a a a a a -+-<，得证， 于是()t x 的最小值()ln 0t a -<，因此可找到一个实数()ln 01x a a =-<<，使得③式成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。

2020年德阳市高考数学模拟试卷(理科)(三)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x+2=0}，B={1}，则下列关系正确的是()A. 1∉(A∪B)B. 1∉(A∩B)C. 2∈(A∪B)D. 2⊈(A∩B)2.已知向量a⃗=(−1,4)，b⃗ =(x,2)，若a⃗//b⃗ ，则x=()A. −8B. −12C. 12D. 83.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，P(ξ≤4)=0.74，则P(0≤ξ≤2)=()A. 0.26B. 0.24C. 0.48D. 0.524.已知a，b∈R，则“b≥0”是“(a+1)2+b≥0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知α,β为两个不同的平面，l为直线，则以下说法正确的是()A. 若l//α，α//β，则l//βB. 若l//α，α⊥β，则l⊥βC. 若l⊥α，l//β，则α⊥βD. 若l⊥β，α⊥β，则l//α6.已知正实数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则5−8xyz的最小值是()A. 6B. 5C. 4D. 37.设复数x=2i1−i (i是虚数单位)，则C20191x+C20192x2+C20193x3+⋯+C20192019x2019=()A. iB. −iC. −1+iD. −1−i8.函数f(x)=3sinx+cosx的最大值为()A. 2√2B. 2C. √10D. 49.有黑、白、红三种颜色的小球各5个，都分别标有数字1，2，3，4，5，现取出5个，要求这5个球数字不相同但三种颜色齐备，则不同的取法种数有()A. 120种B. 150种C. 240种D. 260种10.在△ABC中，A=π2，AB=2，AC=1.D是BC边上的动点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是()A. [−4,1]B. [1,4]C. [−1,4]D. [−4,−1]11.定义在(0,π2)上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f′(x)⋅tanx>f(x)成立，则()A. √3f (π6)<f (π3) B. √3f (π6)>2cos1⋅f (1) C. √6f (π6)>2f (π4)D. √2f (π4)>f (π3)12. 已知F 1,F 2是双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1的直线与圆x 2+y 2=a 2相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F1T ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. √13C.√132D. √3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若实数x ，y 满足约束条件{x −2y ≥0,x −y −1≤0,y ≥0,则目标函数z =2x +y 的最大值为________． 14. 设函数f(x)={e −x ,x ≤0,lnx,x >0,则f (f (13))=________．15. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10,S 5≤15，则a 4的最大值为_______．16. 在三棱锥A −BCD 中，∠BAC =∠BDC =60∘，二面角A −BC −D 的余弦值为−13，当三棱锥A −BCD 的体积的最大值为√64时，其外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，BC =√7．(1)求角A 的大小； (2)求cos(B −C)的值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，AB=3CD=3，AD=2，E为AD的中点，△PCE为等边三角形，且平面PCE⊥平面ABCD．(1)求证：PE⊥BC．(2)求BE与平面PCD所成角的正弦值．x2−(a+1)x+alnx+1(a∈R)．19.已知函数f(x)=12(1)若函数f(x)在x=2处取得极值，求f(x)的极大值；(2)若f(x)≥1对∀x∈(0,+∞)成立，求实数a的取值范围．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线√7x −√5y +12=0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A(−4,0)，过点R(3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x =163于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为k 1、k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21. 关于x 与y 有如下数据：有一个线性模型：y =7x +17。

2020-2021学年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高三（上）一诊数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|24}x A x =<，{|(4)(1)0}B x x x =--<，则()(U A B = )A ．{|12}x x <<B ．{|24}x x <<C ．{|24}x x <D ．{|2x x <或4}x2．若22(,)1a i b a b R i+=∈-，则复数a bi +在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若sin 2sin()2πθθ=+，则2cos (θ= ) A ．15 B ．13 C ．35 D ．454．已知直线l 是圆2225x y +=在点(3,4)-处的切线，则直线l 的方程为( )A ．34250x y +-=B ．3470x y ++=C ．3470x y +-=D ．34250x y -+= 5．如图，在ABC ∆中，D 为线段BC 上异于，C 的任意一点，E 为AD 的中点，若AE AB AC λμ=+，则(λμ+= )A ．23B ．12C ．13D ．166．居民消费价格指数(Consumer Price Index ，简称)CPI 是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月2020-年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）增长和环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是( )A ．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B ．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C ．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D ．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势7．2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作．若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则不同的派遣方法种数共有( )A ．120B ．96C ．48D ．248．函数||2()||x f x e x x =--的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线2222:1(0)6x y C a a a-=>+的离心率为5，则双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为( ) A ．42 B ．22 C ．2 D ．210．将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为( ) A ．32 B ．2 C ．3 D ．7211．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+，则(2021)(f = )A ．3-或4B ．4-或3C ．3D ．412．如图，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面APB ，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =，则三棱锥P ABC -体积最大值为( )A ．23B 22C ．43D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若x ，y 满足约束条件2210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则12z x y =+的最大值为 ．14．2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是110，则这次比赛乙队不输的概率是 ． 15．给出下列命题：①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行；②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直； ③设α，β，γ为平面，若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥；④设α，β，γ为平面，若//αβ，//βγ，则//αγ．其中所有正确命题的序号为 ．16．设函数2()2f x lnx mx x =-+，若存在唯一的整数0x ．使得0()0f x >，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17．（12分）在数列{}n a 中，11a =，*121(2,)n n a a n n N -=+∈．（1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面22⨯列0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．[50，60)和[90，100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，60)的顾客获得纪念品数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．附表及公式：22()n ad bc K -=． 02.07219．（12分）如图，在平面五边形ABCDE 中，12AE =，43CE =，33CD =，60ABC ∠=︒，120AED ∠=︒，2sin 3CDE ∠=． （1）求AC 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值．20．（12分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，AM ⊥平面ABCD ，2AB AM AD ===．（1）证明：BDM ∆是正三角形；（2）若//CD 平面ABM ，2CD AB =，求二面角C BM D --的余弦值．21．（12分）已知函数()()2222()x f x x e a lnx ln a R =--+-∈．（1）当2a =时，若()f x 的一条切线垂直于y 轴，证明：该切线为x 轴．（2）若()0f x ，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为2(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标为2cos()4πρθ+=． （1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，证明：直线PA ，PB 关于x 轴对称．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数()|22||1|f x x x =-++．（1）解不等式()4f x ；（2）令()f x 的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：11194a b b c c a +++++．2020-2021学年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高三（上）一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|24}x A x =<，{|(4)(1)0}B x x x =--<，则()(U A B = ) A ．{|12}x x <<B ．{|24}x x <<C ．{|24}x x <D ．{|2x x <或4}x 【思路分析】可求出集合A ，B ，然后进行交集和补集的运算即可． 【解析】：{|2}A x x =<，{|14}B x x =<<， {|2}U A x x ∴=，(){|24}U A B x x =<． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．若22(,)1a i b a b R i+=∈-，则复数a bi +在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【思路分析】直接由已知的复数进行化简，然后根据复数相等条件求出a ，b ，得到其在复平面内对应点的坐标得答案．【解析】：若22(,)1a i b a b R i+=∈-， 则22(1)22a i b i b bi +=-=-，根据复数相等的条件得，2a b =，22b -=，所以1b =-，2a =-，复数2a bi i +=--在复平面内所对应的点(2,1)--位于第三象限．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，还考查了复数相等条件，是基础题．3．若sin 2sin()2πθθ=+，则2cos (θ= ) A ．15 B ．13 C ．35D ．45 【思路分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解析】：因为sin 2sin()2πθθ=+， 可得sin 2cos θθ=，可得tan 2θ=， 则222222111cos 1215cos sin cos tan θθθθθ====+++． 故选：A ．【归纳与总结】本题考查诱导公式，同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．4．已知直线l 是圆2225x y +=在点(3,4)-处的切线，则直线l 的方程为( )A ．34250x y +-=B ．3470x y ++=C ．3470x y +-=D ．34250x y -+=【思路分析】设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解．．【解析】：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =-，圆2225x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为5，圆心到直线l 的距离为35<，此时直线l 与圆相交，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为4(3)y x -=+，即340x y -++=， 圆2225x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为5，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即251=+， 解得34=， 所以直线l 的方程为3334044x y -+⨯+=，即34250x y -+=． 故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．5．如图，在ABC ∆中，D 为线段BC 上异于B ，C 的任意一点，E 为AD 的中点，若AE AB AC λμ=+，则(λμ+= )A ．23B ．12C ．13D ．16【思路分析】由题意得，222AD AE AB AC λμ==+，结合B ，D ，C 三点共线及向量共线定理柯桥区．【解析】：因为E 为AD 中点，且AE AB AC λμ=+，则222AD AE AB AC λμ==+，由题意得，B ，D ，C 三点共线，所以221λμ+=即12λμ+=． 故选：B ．【归纳与总结】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量共线定理的应用，属于基础题．6．居民消费价格指数(Consumer Price Index ，简称)CPI 是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月2020-年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）增长和环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是()A ．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B ．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C ．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D ．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势 【思路分析】根据全国居民消费价格指数增长率折线图，逐一判断各选项即可．【解析】：由消费价格增长率折线图知，2020年1月到3月是降低，3月到7月升高，7月到9月降低，所以不是逐月增大，选项A 错误；2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数先增大后减小，所以B 错误；2019年1月到5月的居民消费价格指数高于2020年1月到5月居民消费价格指数，所以C 错误；2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势，所以D 正确．故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查了统计图表等基本知识，也考查了数据处理能力和应用意识，属基础题．7．2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作．若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则不同的派遣方法种数共有( )A ．120B ．96C ．48D ．24【思路分析】先安排甲，再安排其他4人，根据分步计数原理可得．【解析】：甲担任冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪中的一项工作，其他4人任意安排，故有144496A A =种， 故选：B ．【归纳与总结】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8．函数||2()||x f x e x x =--的大致图象是( )A ．B ．C ．D ． 【思路分析】判断函数的奇偶性，结合对称性，函数单调性和导数之间的关系进行判断排除即可． 【解析】：函数是偶函数，函数关于y 轴对称，排除A ，B ，当0x >时，2()x f x e x x =--，()21x f x e x '=--，f '（1）30e =-<，f '（2）250e =->， 则存在0(1,2)x ∈，使得()0f x '=，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查函数图象和性质等基本知识，考查逻辑推理能力及其应用，考查数形结合，化归与转化等思想．9．已知双曲线2222:1(0)6x y C a a a -=>+5，则双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为( )A ．42B ．2C 2D ．2 【思路分析】利用双曲线的离心率求解a ，然后求解双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离． 【解析】：双曲线2222:1(0)6x y C a a a -=>+5， 2265a +=2a = 所以22128x y -=， 所以双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为：22b =故选：B ．【归纳与总结】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．10．将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为( ) A ．32 B ．2 C ．3 D ．72【思路分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值．【解析】：将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4π个单位长度后， 得到函数()sin()44g x x ωππω=-+的图象， ()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，()4442πωπππωπ∴⨯--+=+，Z ∈，即122ω=--， 令1=-，可得ω的最小值为32， 故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+，则(2021)(f = )A ．3-或4B ．4-或3C ．3D ．4【思路分析】根据题意，利用特殊值分析可得f （1）12(1)f =+，解可得f （1）的值，结合函数的奇偶性可得12()12()f x f x +-=+，则有(2)(2)f x f x +=-，变形可得(4)()f x f x +=，即可得函数的周期性，则有(2021)(12020)f f f =+=（1），即可得答案． 【解析】：根据题意，偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+，则()0f x ， 若1x =-，则f （1）12(1)12(1)f f =+-=+，解可得f （1）4=或3-， 又由()0f x ，则()4f x =，()f x 为偶函数，则12()12()f x f x +-=+，则有(2)(2)f x f x +=-，变形可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，则(2021)(12020)f f f =+=（1）4=， 故选：D ．【归纳与总结】本题考查抽象函数的求值，注意分析函数的周期性，属于中档题．12．如图，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面APB ，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =，则三棱锥P ABC -体积最大值为( )A ．23B 22C ．43D ．2 【思路分析】推导出BC AB ⊥，BC ⊥平面ABP ，AP BC ⊥，AP BG ⊥，从而AP ⊥平面PBC ，BP AP ⊥，进而111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，令PA m =，PB n =，则224m n +=，进而221123323P ABC m n V mn -+=⨯=，由此能求出三棱锥P ABC -体积最大值． 【解析】：四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，BC AB ∴⊥， 平面ABCD ⊥平面APB ，平面ABCD ⋂平面APB AB =，BC ∴⊥平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，AP BC ∴⊥， G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，AP ⊂平面ABP ，AP BG ∴⊥， BC BG B =，BC ⊂平面PBC ，BG ⊂平面PBC ，AP ∴⊥平面PBC ，BP ⊂平面PBC ，BP AP ∴⊥，111323P ABC C APB V V PA PBBC PA PB --∴==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，令PA m =，PB n =，则224m n +=， ∴221123323P ABC m n V mn -+=⨯=，当且仅当2m n ==时，取“=”，∴三棱锥P ABC -体积最大值为23．故选：A ．【归纳与总结】本题考查线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件2210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则12z x y =+的最大值为 32 ．【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得12z x y =+的最大值．【解析】：由约束条件2210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩作出可行域，联立212x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(1,1)A ，化目标函数12z x y =+为12y x z =-+，由图可知，当直线12y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为32．故答案为：32．【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题． 14．2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是110，则这次比赛乙队不输的概率是 35 ．【思路分析】设事件A 为“这次比赛乙队不输”，则事件A 为“这次比赛甲队获胜”，利用对立事件概率公式能求出这次比赛乙队不输的概率．【解析】：设事件A 为“这次比赛乙队不输”，则事件A 为“这次比赛甲队获胜”，甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是110，2()5P A ∴=，∴这次比赛乙队不输的概率是：P （A ）231()155P A =-=-=．故答案为：35．【归纳与总结】本题考查互斥事件概率等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想． 15．给出下列命题：①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行；②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直； ③设α，β，γ为平面，若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥； ④设α，β，γ为平面，若//αβ，//βγ，则//αγ． 其中所有正确命题的序号为 ①②④ ．【思路分析】直接利用面面垂直和面面平行的判定和性质判定①②③④的结论．【解析】：对于①：根据线面垂直的性质：同时垂直于一条直线的两个平面互相平行，故①正确；对于②：由线面平行的性质和线面垂直的性质：一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，故②正确；③设α，β，γ为平面，若αβ⊥，βγ⊥，由面面垂直的判定和性质，αγ⊥不一定成立，故③错误；④设α，β，γ为平面，若//αβ，//βγ，根据面面平行的传递性，则//αγ，故④正确． 故答案为：①②④．【归纳与总结】本题考查的知识要点：面面垂直和面面平行的判定和性质，主要考查学生的理解能力，属于基础题．16．设函数2()2f x lnx mx x =-+，若存在唯一的整数0x ．使得0()0f x >，则实数m 的取值范围是 2[14ln +，2) ．【思路分析】讨论0m 时，不符合题意；当0m >时，利用导数，求得函数lnxy x=的单调性与最值，作出函数函数lnxy x=和2y mx =-的大致图象，结合图象即可求得m 的取值范围．【解析】：当0m 时，1()220f x mx x'=-+>，()f x 单调递增，存在无数个整数0x ，使得0()0f x >，不符合题意；当0m >时，由于0x >，所以2lnxmx x>-， lnx y x =，21lnxy x-'=，当0x e <<时，0y '>，当x e >时，0y '<， 所以函数lnxy x =在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以lnx y x =的极大值也是最大值为1e，且0x →时，y →-∞，x →+∞时，0y →，所以作出函数lnxy x=和2y mx =-的大致图象，如图，过点(0,2)-的直线2y mx =-介于(1,0)，2(2,)2ln 之间时满足条件，直线2y mx =-过点(1,0)时，m 的值为2，直线2y mx =-过点(2，f （2）)时，m 的值为214ln +， 由图可知，m 的取值范围是2[14ln +，2)．故答案为：2[14ln +，2)．【归纳与总结】本题主要考查函数图象和性质、导数的应用，考查化归与转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答. 17．（12分）在数列{}n a 中，11a =，*121(2,)n n a a n n N -=+∈． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【思路分析】（Ⅰ）直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式； （Ⅱ）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【解答】证明：（1）因为*121(2,)n n a a n n N -=+∈，所以112(1)n n a a ++=+， 又1n a =，所以120n a +=≠，所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以11222n n n a -+=⋅=，所以数列{}n a 的通项公式21n n a =-．解：（2）由（1）得(1)2n n n b n a n =+=⋅， 所以231222322n n S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅，①，23412122232(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+⋅，② 由①-②得231122222n n n S n +-=⨯+++⋯+-⋅，即1112(12)222212n n n n n S n n +++--=-⋅=--⋅-，所以1(1)22n n S n +=-⋅+．【归纳与总结】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18．（12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面22⨯列0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．良 优 合计 男 40 女 40 合计[50，60)和[90，100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，60)的顾客获得纪念品数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望． 附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 02.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828【思路分析】（1）根据频率分布直方图，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）由题意知随机变量X 可能的取值有0，1，2，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望．良 优 合计 男202040女 20 4060 合计4060100由题得，2220)252.78 2.706406060409K ==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．（2）由已知得体验度评分为[50，60)和[90，100]的顾客分别有10人，20人， 则在随机抽取的6人中评分为[50，60)有2人，评分为[90，100]有4人． 则X 可能的取值有0，1，2，44461(0)15C P X C ===，1324468(1)15C C P X C ⋅===， 2224466(2)15C C P X C ⋅===，X 0 1 2P115 815 615 所以0121515153EX =⨯+⨯+⨯=．【归纳与总结】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了独立性检验以及离散型随机变量及其分布列，期望计算问题，是中档题．19．（12分）如图，在平面五边形ABCDE 中，12AE =，43CE =，33CD =，60ABC ∠=︒，120AED ∠=︒，2sin 3CDE ∠=．（1）求AC 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值．【思路分析】（1）在CDE ∆中，由正弦定理可得sin CED ∠的值，利用大边对大角可得CED ∠为锐角，进而可得CED ∠，利用三角形内角和定理可求AEC ∠的值，根据勾股定理可求AC 的值．（2）在ABC ∆中，由余弦定理，基本不等式可求192AB BC ⋅，进而根据三角形的面积公式即可求解ABC ∆面积的最大值．【解析】：（1）在CDE ∆中，由正弦定理可得sin sin CE CDCDE CED=∠∠，所以233sin13sin243CDCDECEDCE⨯∠∠===，因为CD CE<，所以CED∠为锐角，所以30CED∠=︒，所以1203090AEC AED CED∠=∠-∠=︒-︒=︒，所以222212(43)83AC AE CE=+=+=．（2）在ABC∆中，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC=+-⋅⋅︒，即221922AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC=+-⋅⋅-⋅=⋅，当且仅当83AB BC==时等号成立，所以192AB BC⋅，所以113sin6019248322ABCS AB BC∆=⋅⋅︒⨯⨯=，ABC∆面积的最大值是83．【归纳与总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角形的面积公式等基础知识的应用，考查了运算求解能力，推理论证能力与应用意识，考查了化归与转化思想，属于中档题．20．（12分）如图，在四棱锥M ABCD-中，AB AD⊥，AM⊥平面ABCD，2AB AM AD===．（1）证明：BDM∆是正三角形；（2）若//CD平面ABM，2CD AB=，求二面角C BM D--的余弦值．【思路分析】（1）通过求解2228BD AB AD=+=，2228BM AB AM=+=，2228DM AD AM=+=，即可证明BDM∆是正三角形．（2）以A为原点，直线AB，AD，AM分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．求出平面BDM的一个法向量，平面CBM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．【解答】（1）证明：由已知，AM⊥平面ABCD，所以，AM AB⊥，AM AD⊥．又2AB AM AD===，AB AD⊥，所以，2228BD AB AD=+=，2228BM AB AM=+=，2228DM AD AM=+=，则BD BM DM==，所以BDM∆是正三角形．（2）解：因为AB AD⊥，AM⊥平面ABCD，以A为原点，直线AB，AD，AM分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由//CD 平面ABM ，易知//CD AB ，又2CD AB =，则(2B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0M ，0，2)．所以(2,2,0)BD =-，(2,0,2)BM =-． 设平面BDM 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则220,220,m BD x y m BM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取1x =，得(1,1,1)m =．同理可求平面CBM 的一个法向量为(2,1,2)n =． 所以，||53cos ,||||33m n m n m n ⋅<>===⋅即二面角C BM D --53． 【归纳与总结】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，勾股定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力． 21．（12分）已知函数()()2222()x f x x e a lnx ln a R =--+-∈．（1）当2a =时，若()f x 的一条切线垂直于y 轴，证明：该切线为x 轴． （2）若()0f x ，求a 的取值范围．【思路分析】（1）求导，设切点为0(x ，0())f x ，由题意可知0()0f x '=，可得002lnx ln x =-，计算0()0f x =即可得证；（2）将不等式转化为2222x lnx ln a e x -+-对于0x >恒成立，令2222()x lnx ln h x e x-+=-，利用导数求得()h x 的最小值，即可求得a 的取值范围．【解答】（1）证明：由题可知()(2)2222(0)x f x x e lnx ln x =--+->，则22()2(1)()x x x f x e xe x e x x'=-+-=+-，设切点为0(x ，0())f x ，则由0()0f x '=得002x e x =，0()f x则002x lnx =，即002lnx ln x =-， 则有00002()(2)2(2)2220f x x ln x ln x =---+-=， 所以所求切线为0y =，即为x 轴．（2）解：因为()()22220x f x x e a lnx ln =--+-，其中0x >，则2222x lnx ln a e x-+-对于0x >恒成立，令2222()x lnx ln h x e x -+=-，则222(2222)222()x xlnx ln lnx ln h x e e x x --+-+'=-=-， 即22222()x x e lnx ln h x x +-'=，令2()222x u x x e lnx ln =+-，则22()(2)0x u x x x e x'=++>，其中0x >，则2()222x u x x e lnx ln =+-为(0,)+∞的增函数，又因为u （1）220e ln =->，1()4202u ln <，所以存在01(,1)2x ∈，使得02000()2220x u x x e lnx ln =+-=，即020022x x e ln x =，而0022200000022222ln x x x x e ln x e ln ln e x x x x =⇔==，又由于()x v x xe =为(0,)+∞的增函数， 故002x ln x =，即002x e x =，又00x x <<，()0h x '<，()h x 为减函数；0x x >，()0h x '>，()h x 为增函数，所以00000000002222222222()()2x x min x ln lnx ln x h x h x e e x x x x +-+-+==-=-=-=，故a 的取值范围是(-∞，2]．【归纳与总结】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标为cos()4πρθ+=． （1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，证明：直线PA ，PB 关于x 轴对称．【思路分析】（1）直接把曲线C 的参数方程中的参数消去，可得曲线C 的普通方程，把直线l 的极坐标方程展开两角和的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；（2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，求得A ，B 的坐标，由PA 与PB 的斜率和为0，即可证明直线PA ，PB 关于x 轴对称．【解析】：（1）由曲线C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数α，可得曲线C 的普通方程为2212x y +=．直线l的极坐标为cos()4πρθ+=cos sin θθ=， 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线l 的直角坐标方程为10x y --=；证明：（2）由221012x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2340x x -=． 可得A ，B 的坐标分别为(0,1)-，4(3，1)3，直线PA ，PB 的斜率分别为111022-==-，210134223-==--， ∴1211()022+=+-=，于是，直线PA ，PB 关于x 轴对称．【归纳与总结】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数()|22||1|f x x x =-++． （1）解不等式()4f x ；（2）令()f x 的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：11194a b b c c a +++++． 【思路分析】（1）通过当1x -时，当11x -<时，当1x >时，去掉绝对值符号，求解不等式即可．（2）求出函数的最小值2M =．然后转化利用基本不等式，求解即可． 【解答】（1）解：当1x -时，()221314f x x x x =-+--=-+，得1x -； 当11x -<时，()22134f x x x x =-+++=-+，此时无解；当1x >时，()221314f x x x x =-++=-，得53x ．所以，不等式的解集为5(,1][,)3-∞-+∞．（2）证明：由（1），当1x -时，()314f x x =-+； 当11x -<时，()32f x x =-+；当1x >时，()312f x x =->，则1x =时，()f x 的最小值为2，即2M =． 于是a ，b ，c 满足2a b c ++=，11111111111119()()[()()()]()[3()][324444b c a b b c c a c a a b a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a b c a b c a ++++++++=++++=+++++++=+++++++=+++++++++++++++当且仅当b c a b a b b c ++=++且b c c a c a b c ++=++且c a a ba b c a++=++即a b c ==时取“=”． 【归纳与总结】本题考查函数的最值的求法，不等式的证明，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。

四川省德阳市三校联考高考数学模拟试卷(理科)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的).1. (5 分)已知集合 A={x|x 2— x — 2V 0} , B={y| y=3x , x < 0}，贝U A H B=( ) A . (— 1, 2) B. (-2, 1)C •(- 1,1]D . (0，1] 2. (5 分)若 G+2i)i=y 丄(x , y € R ),则 x+y=() 1 A. — 1 B. 1 C. 3 D .— 33. (5分)在等差数列{a n }中，a 3+a 7— a 10= — 1, an — a 4=21，贝U 为=() A. 7 B. 10 C. 20 D . 304. (5分)已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )5. (5分)将函数f (x ) =sin2x 的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来 的寺，再向右平移 芈个单位长度后得到g (x ),则g (x )的解析式为() ) C . g(x)二警 )D 匚:--：-■： -.' 6 6. (5分)执行如图所示的程序框图，若输入 m=1, n=3，输出的x=1.75,贝U 空A. 正视團 侧视團C. 3n +12 D . 12A . |m -n| v 1 B. | m - n| v 0.5 C . |m -n| v 0.2 D . |m -n| v 0.1 7. (5分)从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛， 其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A . 48 B. 72 C. 90 D . 96 8. (5分)下列命题中错误的命题是( ) A. 对于命题 p : ? xo € R,使得，.-..，则「p : ? x € R,都有 x 2 - 1> 0 B. 若随机变量X 〜N (2，2),则P (X >2) =0.5 C. 设函数f (x ) =x - sinx (x € R)，贝U 函数f (x )有三个不同的零点 D. 设等比数列｛ch ｝的前n 项和为S n ，贝U “a>0”是“S>S2”的充分必要条件 9. (5分)在厶ABC 中，AB=AC=5 BC=6 I 是厶ABC 的内心，若匸i =mF-■■二立(m ， n € R )，贝四=( ) n A . B.空 C. 2 D . 3 5 2 10. (5分)已知函数f (x ) =x 3+2ax 2+3bx+c 的两个极值点分别在(-1,0)与(0, 1)内，贝U 2a - b 的取值范围是( ) A . -「B. 1 C.「 11. (5 分)已知函数 _■.；：' ___ 二-]则函数h (t ，的值域为( )12. (5分)已知奇函数f(x )是定义在R 上的连续可导函数，其导函数是f (x ), 当x >0时，f (x )v 2f (x )恒成立，则下列不等关系一定正确的是( ) A . e 2f (1)>-f (2) B. e 2f (- 1)>-f (2) C . e 2f (- 1)v- f (2)D. f (- 2)v- e 2f (- 1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. (5 分)已知(1 - 2x ) 7=aj+a 1x+a 2f +・・+a 7X 7，贝U a 1= ____14. (5 分)I ‘ .■:-- i ，l.= ------------------- .记函数f(x )在区间: 上的最大值为M t ，最小值为m t ,设函数h (t ) =M t -m t ，若—.■ ! ' _ , A .壬入伍]B. 「 C. [1，2] D. [1, 2近]2 215. （5分）已知点P是椭圆-：..y 上的一点，R, F2分别为椭圆的a1 2 b2左、右焦点，已知/ RP丘=120°且|PR|=3|PE|，则椭圆的离心率为 ___________ . 16. （5分）已知点A在线段BC上（不含端点），0是直线BC外一点，且■- 2a I. -I，贝U :的最小值是a+2b 1-Fb ----------三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （12分）已知等比数列｛a n｝满足a i a e=32a2a io，｛a n｝的前3项和. —-J4（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）记数列■. -■ .,z ，求数列｛b n｝的前n项和T n .n J18 . （12分）在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,且acosB= （3c -b）cosA（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，A .“丄=2J；，|廿|=3二，求△ ABC的面积.19 . （12分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下:1 若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6 元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？2 现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值.20. (12分)已知函数_ , f.(1)当b= - 1时，求函数f (x)的单调区间；(2)求函数f (x)在［-1，0］上的最大值.21. (12 分)已知函数f (x) =ln (x+1).(1)当x€ (- 1，0)时，求证：f (x)v x v- f (-x);(2)设函数g (x) =e x- f (x)- a (a€ R)，且g (x)有两个不同的零点x〔，X2 (为v X2)，①求实数a的取值范围；②求证：*+X2>0.请考生在22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4-4:坐标系与参数方程］半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为22. (10分)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴正伍eg。

德阳市高中2020级第一次诊断考试数学试卷(理工农医类)说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.2.本试卷满分150分,120分钟完卷.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P={x ∈ N |x ²≤9},Q={1,3},则P∩Q=（ ） A.QB.{-3,-2,-1,0,1,3}C.PD.{-3,-2,-1,2}2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（ ） A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9 B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高D.调查影院中观众观后感时，从15排(每排入数相同)每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法 3.复数5i−2的共轭复数为（ ） A.2+i B.-2+ i C.-2-i D.2-i 4.已知等比数列{a n }的前n 项和为Sₙ，且S₅=5,S₁₀=30, 则 S₁₅=（ ） A.90B.125C.155D.1805.已知x 、y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y +1≥0x −y ≤0 则 yx+2的最小值为（ ）A.1B.17C.−13D.−156.已知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 点M 关于A 的对称点为S ，点S 关于B 的对称点为N ，那么MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.2a-2bB.2a+2bC.-2a-2bD.-2a+2b7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料(如图1)截去8个一样的四面体得到的(如图2)，则下列对石凳的两条边AB 与CD 所在直线的描述中正确的是（ ） ①直线AB.与CD 是异面直线 ②直线AB 与CD 是相交直线 ③直线AB 与CD.成60°角 ④直线AB 与CD 垂直A.①③B.①④C.②③D.②④8.已知某曲线方程为x2m+3−y22m−1=1,则下列描述中不正确的是（）A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则m∈(12,+∞)B.若该曲线为圆，则m=4C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则m∈(-∞，-3)9.函数f(x)=[ln(π-x)+lnx]cosx的大致图象为A. B.C. D.10.·如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1.米的悬柱上放置：一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面(视为相切)形成的曲线称为悬链线(又称最速降线).建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是y=12(e x+e−x+t),那么两悬柱间的距离大致为(可能会用到的数据e1.25≈3.49,e1.35≈3.86)（）A.2.5米B.2.6米C.-2.8米D.2.9米11.已知函数f(x)=1+x−x22+x33−x44+⋯+x2n2023,x∈R,则f(x)在R上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.202312.已知a、b、c是正实数,且e²ᵃ−2eᵃ⁺ᵇ+eᵇ⁺ᶜ=0,则a、b、c的大小关系不可能为（）A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答，二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.已知二项式(√x√x )n(n∈N∗)的展开式中最后三项的二项式系数和为79，则n =______.14.已知a,b是单位向量,且a·b=0,若c=λa+(1-λ)b,那么当c⊥(a-b)时,λ=______.15.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω⟩0,||<π2)的部分图象如图所示,则f(x)=______.16.如图,矩形ABCD中,AC是对角线,设∠BAC=α,已知正方形Sₙ正方形S的周长.和正方形Sₙ分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC,则正方形S1的周长正方形S2的周长的取值范围为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)已知等差数列{a n}的首项为1，公差d≠0，前n项和为Sn,且S nS2n为常数.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若bₙ=2ⁿ⁻¹⋅an,求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.18.(本题满分12分)在△ABC中,边a、b、c对应角分别为A、B、C,且ba =√3sinA.(1)求角B的大小;(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高.条件①：cosA=√33,b=1;条件②：b=2,c=2√3;条件③：a=3,c=2.注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分.19.(本题满分12分)买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：(1)求出月利润y(千元).关于月销售量x(百个)的回归方程(精确到0.01)； 数学一诊(理工农医类) 第3页 共高页签字号(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：回归方程 y ̂=â+b̂x ⋅中斜率和截距最小二乘估计公式分别为： b̂=∑i=1n(x i −x̅)(y i −y ̅)∑i=1n (x i−x̅)2=∑i=1nx i y i −nx̅y ̅∑i=1n x i2−nx̅2,â=y ̅−b̂x̅. 参考数据： ∑i=18x i2=580,∑i=18x i y i =459.5.20.(本题满分12分)已知函数 f (x )=13x 3+12(a −1)x 2−ax (a ⟩0).(1)求函数f(x)的极值;(2)当a>1时,记f(x)在区间[-1,2]的最大值为M,最小值为m.已知M+m ∈ (13,23). 设f(x)的三个零点为xₙ,xₙ,xₙ,求 f( xₙxₙ+xₙxₙ+xₙxₙ)的取值范围. 21.(本题满分12分)已知函数f (x )=eˣ,g (x )=tsinx +1,设 b(x) =f(x)-g(x).(1)若h(x)在 (−π2,π2) 上单调递增，求实数t 的取值范围；(2)求证：∃t ∈(0,+∞);对∀x ∈R,∃a ∈[0,+∞),使得xh(x)=a 总成立.请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，曲线Cₙ的方程为(x −1)2+(y −√3)2=1,曲线Cₙ的参数方程为 {x =3t 2y =√3t(t 为参数)，直线l 过原点O 且与曲线Cₙ交于A 、B 两点，点P 在曲线Cₙ上且·OP ⊥AB.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线Cₙ的极坐标方程并证明|OA|·|OB|为常数； (2)若直线l 平分曲线Cₙ,求△PAB 的面积. 23.(本题满分10分) 已知函数f(x)=|x|.(1)画出y=f(x-1)-f(x+5)的图象,并根据图象写出不等式f(x--1)-f(x+5)≤-4的解集; (2)若f(x-1)-f(x+5)+kf(x+2)≥0恒成立，求实数k 的取值范围.德阳市高中2020级第一次诊断考试数学参考答案与评分标准(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．12 14．12 15．sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 16．3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题17．解：（1）由题意知：()()211222n n n dn d nS na d -+-=+=． 所以()224222n dn d nS +-=．所以()()22222422442n n dn d n S dn dS dn d n dn d+-+-==+-+-为常数． 因为0d ≠，故只要2442d dd d-=-，解得2d =，此时21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，()112212n n n n b a n --=-⋅=．所以()111232212n n T n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯得()()22121232232212n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯两式相减得：()011122222212n n n T n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯()()12121221212n n n --=+⨯--⨯-()3223n n =-⨯-所以()2323nn T n =-⨯+．18．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理及b a =， sin sin cos sin A B A B A ⋅=⋅+因为sin 0A ≠cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得：66B ππ-=或56π，解得3B π=． （2）若选条件①：cos A =，1b =．易知符合条件的ABC △存在且唯一，AC 边上的高为sin c A ⋅．由cos A =得：sin A =所以()sin 3sin sin sin 326A AC A B A ππ⎛⎫=--=+==⎪⎝⎭．故sin sin b Cc B===AC边上的高为sin c A ⋅=．若选条②：2b =，c =sin 32c B ⋅=>，所以符合条件的ABC △不存在． 若选条件③：3a =，2c =，由余弦定理得：294232cos 73b π=+-⨯⨯⨯=．所以b =由正弦定理sin sin C Bc b =得：2sin sin 7c B C b ⎛ ===． 所以AC边上的高为sin 7a C ⋅=． 19．解：（1）由题意得：8x =， 6.5y =，所以818221ˆ8459.588 6.50.645808618i ii i i x y xybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑6.50.64ˆ8 1.38.a y bx=-=-⨯= 故月利润y （千元）关于月销售量x （百个）的回归方程为：0.64 1.38y x =+． （2）ξ的所有市能取值为0，1，2、3，则()34384056C P C ξ===，()24433824156C C P C ξ⨯===， ()12443824256C C P C ξ⨯===，()34384356C P C ξ===． 故ξ的分布列为：ξ的数学期望0123565656562E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．20．解（1）因为()()()()211f x x a x a x a x =+--=+-' 令()0f x '=解得：1x =或x a =-因为0a >，可知()f x 在(),a -∞-上单增，(),1a -上单减，()1,+∞上单增． 所以()()321162f x f a a a =-=+极大值，()()1126a f x f ==--极小值． （2）由（1）知()f x 在(),a -∞-上单增，(),1a -上单减，()1,+∞上单增． 当1a >时，()f x 在[]1,1-上单减，在[]1,2上单增． 所双()f x 在区间[]1,2-的最小值()11.26a m f ==-- 最大值M 为()35126a f -=-与()223f =的较大者。

2020年四川省德阳市齐福中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（）A． B. C. D.参考答案：C2. 设函数是定义在上的奇函数，且，．当时，，则的值为（）（A）（B）0 （C）（D）1参考答案：D3. 已知数列{a n}的前n项和S n=3n﹣1则其通项公式a n=（）A．3?2n﹣1 B．2×3n﹣1 C．2n D．3n参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1及，a1=s1=可求数列的通项公式【解答】解：由于S n=3n﹣1∴n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=3n﹣1﹣（3n﹣1﹣1）=2?3n﹣1当n=1时，a1=s1=2适合上式∴故选B4. 已知直线l在平面α内，则“l⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面垂直和面面垂直的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可的结论．【解答】解：根据面面垂直的判定定理可得，若l?α，l⊥β，则α⊥β成立，即充分性成立，若α⊥β，则l⊥β不一定成立，即必要性不成立．故“l⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用线面垂直和面面垂直的关系是解决本题的关键．5. 已知函数（[x]表示不超过实数x的最大整数），若函数的零点为，则（）A. B.－2C. D.参考答案：B【分析】先对函数求导，判断函数单调性，再根据函数零点存在性定理，确定的大致范围，求出，进而可得出结果.【详解】因为，所以在上恒成立，即函数在上单调递增；又，所以在上必然存在零点，即，因此，所以.故选B【点睛】本题主要考查导数的应用，以及函数的零点，熟记导数的方法研究函数单调性，以及零点的存在性定理即可，属于常考题型.6. 设z∈R，则x=l是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略7. 若集合，则集合可以是（）A B C D参考答案：D略8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A．B．C．D．参考答案：B9. 函数的定义域为,对定义域中的任意的，都有,且当时,,那么当时, 的递减区间是A． B． C．D．参考答案：C10. 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ 的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ等于（）A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算极限：= ．参考答案：2略12. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ；参考答案：13. 如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．参考答案：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题．【分析】连接AC 交BD 于O ，根据此长方体的结构特征，得出AO 为A 到面B 1D 1D 的垂线段．△B 1D 1D 为直角三角形，面积易求．所以利用体积公式计算即可． 【解答】解：长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中的底面ABCD 是正方形． 连接AC 交BD 于O ， 则AC⊥BD，又D 1D⊥BD，所以AC⊥面B 1D 1D ，AO 为A 到面B 1D 1D 的垂线段，且AO=．又S△B 1D 1D=所以所求的体积V=cm 3．故答案为：3【点评】本题考查锥体体积计算，对于三棱锥体积计算，要选择好底面，便于求解．14. ．设等比数列{}的公比q ＝2，前n 项的和为，则的值为_____________．参考答案：略15. 将正整数排成下表： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …… ……其中第i 行，第j 列的那个数记为，则数表中的2015应记为．参考答案：试题分析：前1行共有：1个数 前2行共有：1+3=4个数 前3行共有：1+3+5=9个数 前4行共有：1+3+5+7=16个数 …由此猜想：前N 行共有个数，∵=1936＜2015，=2025＞2015，故2015应出现在第45行，又由第45行的第一个数为1937，故2015应为第79个数考点：归纳推理16. 若直线被圆所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①② ③④与直线一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）参考答案：① ③略17. 各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。