实变函数复习提纲

《实变函数》期末复习提要内容包括集合、n R 中的点集、勒贝格测度、勒贝格可测函数、勒贝格积分等方面的知识。

第一章 集合1．考核要求：⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念；⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用；⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理；⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集；⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。

2．练习题单元练习题一、单项选择题1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A ⊂ (B) A B ⊂(C) C A ⊂ (D) A C ⊂2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A = (B) ∅=B(C) B A ⊂ (D) A B ⊂二、填空题1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 3.设]11,0(nA n +=，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n nA n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ． 三、证明题1.设)(x f 是1R 上的实值函数，证明对任意实数a ，有∞=+<≤==1}1)({})({n n a x f a x a x f x 2.设)(x f 是1R 上的实值函数，对任意实数a ，证明：∞=+<∈=≤∈111}1)(,{})(,{n n a x f R x x a x f R x x 第二章 n 维空间中的点集1．考核要求：⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件；⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论；⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论；⑸理解康托集的构造及其性质。

实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页 第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页 第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页 第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页 第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件 第四章第四节 倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。

《实变函数》考试大纲一、课程说明本大纲适用数学专业。

1 本课程的目的和要求实变函数是数学专业重要的分析基础课之一这一部分内容为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，通过本课程的学习，应使出学生较好的掌握测度和积分这个基本工具，特别是极限（或积分）和积分顺序的交换，并且在一定程度上掌握集的分析方法2 本课程的主要内容先介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时介绍实直线上的点集的性质，按着讲L-测度以及L-可测集的概念与性质，在介绍可测函数的概念与性质，接着是勒贝格积分的概念与性质，还有积分极限定理，R-积分与L-积分比较，Fubini定理，囿变函数，绝对连续函数及其中N-L公式，最后介绍Lp空间及其性质3 教学重点与难点本课程的重点是勒贝格测度与勒贝格积分。

实变函数的内容虽是微积分的继续深化，但在思想方法上确有较大的飞越，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象得多，这使得初学者对实变函数往往不太习惯，为使学生能较好地适应这一过度，教师在讲解时尽可能将主要概念的产生背景，以北及概念之间的内在联系加以介绍。

例如，教师应向学生交代，为什么要研究新的积分,为什么要研究可列可加测度等，讲解时既要严格论证又要形象说明，同时要配合典型例题，适当地加强对学生的基础训练，这是一个重要的学习环节，教师应当给学生布置一定数量的习题，使学生通过做习题，加深对课文的理解，也帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思路。

4 本课程的知识范围与相关课程的关系本课是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解析几何中的一些基本知识，故本课程应安排在第四学期或第五学期讲授。

5 教材的选用绍兴文理学院数学系主要选用下面的教材江泽坚、吴智泉编《实变函数论》(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材).该教材论证严谨，重点突出，思路清晰，是一本国优教材。

实变函数期末复习指导（文本）实变函数题型比例单选题：5题，每题4分，共20分。

填空题：5题，每题4分，共20分。

计算与证明题：4题，每题15分，共60分。

第1章主要内容本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有：一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律．关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ⊂当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ⊂当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一．还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞=∈1 当且仅当x 属于这一列集合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞=∈1 当且仅当x 属于这一列集合中的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习．二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系．对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法．三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质.四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者.第2章主要内容本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.R中的距离和邻域的概念出发，首先定义了相对于某个给定集一、本章我们从nnE⊂的几种不同类型的点：内点、聚点、孤立点、边界点.它们彼此之间的关系可用图R示如下：其中内点和聚点更常用些.关于聚点，我们还给出几个等价条件(定理2.1.1和定理2.1.2)，读者要熟练的掌握和运用.二、开集、闭集和完备集是本章的重要内容.在开集、闭集和完备集的性质和直线上开集构造的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质和构造也就自然得到了.三、康托集是本章给出的一个重要例子.对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数c，第3章中我们还证明了它的测度为零.正是因为它的巧妙构思和奇特性质常常为构造一些重要的反例提供启示.四、本章中介绍的聚点存在定理，即波尔察诺一维尔斯特拉斯定理(定理2.1.5)，有限覆盖定理(定理2.2.5)和距离可达定理(定理2.4.1)，要弄清定理条件并会灵活运用.第3章主要内容R中点集的测度，它是建立勒贝格积分的基础.本章主要讨论n一、外测度和可测集是本章的两个主要概念，关于可测集的定义，主要使用的是定义3.2.3(即卡氏条件)．因为可测集的测度等于其外测度，所以外测度性质(定理 3.1.1)对可测集都适用．因此对外测的性质要熟练掌握．二、可测集的运算性质是本章的重要内容．可测集类在有限次或可列次并、交、补运算之下是封闭的．可测集的可列可加性(定理 3.2.4)和单调可测集列极限的测度(定理3.2.5和定理3.2.6)的结果在后面的学习中会时常用到．三、关于可测集的构造是本章的又一重要内容. 勒贝格可测集是由波雷尔集和测度为零G 的集的全体所构成的可加集族(定理3.3.8). 我们还讨论了勒贝格可测集同开集、闭集、δF型集之间的关系. 这些关系一方面从不同的角度划了勒贝格可测集，另一方面也型集和σ提供了用较简单的集合近似取代勒贝格可测集的途径.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子.同学们只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.第4章主要内容为了建立勒贝格积分理论的需要，本章讨论一类重要的函数——可测函数.它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数.一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容. 可测函数的定义及给出的一些充要条件(如定理4.2.1和定理4.2.2等)是判断函数可测的有力工具，应该熟练地掌握和应用它们.可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的.可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越性和应用中的方便之处.二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一. 几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式.叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系. 通过这个定理，可以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用.勒贝格定理(定理4.3.2)告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立.然而，黎斯定理(定理 4.3.3)指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列.三、可测函数的构造是本章的又一重要内容. 一般常见的函数，如连续函数，单调函数等都是可测函数. 然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的(如迪里克雷函数). 所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多.而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论，从而带来很大的方便.四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的. 如定理4.2.6证明中的构造方法是富有启发性的；叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法以及鲁金定理证明中先考虑简单函数、然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的.第5章主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分−− 勒贝格积分理论．它也是实变函数数论研究的中心内容．一、关于勒贝格积分的建立．本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替．一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的．第一步是建立非负函数的积分．它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的．第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的．二、勒贝格积分的性质．勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即)(x f 在E 上可积当且仅当)(x f 在E 上可积()(x f 在E 上可测)．这是它与黎曼积分重要区别之一．(2)勒贝格积分的绝对连续性．设)(x f 在E 上可积，则对任意0>ε，存在0>δ，使当E e ⊂且 δ<e m 时，恒有ε<⎰ex x f d )( (3)勒贝格积分的唯一性．即0d )(=⎰E x x f 的充要条件是..0)(e a x f =于E ．由此可知，若)(x f 与)(x g 几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同．(4)可积函数可用连续函数积分逼近．设)(x f 是可积函数，对任意0>ε，存在],[b a 上的连续函数)(x ϕ，使εϕ<-⎰],[d )()(b a x x x f此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较．三、关于积分极限定理．积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义．其中勒贝格控制收敛定理(定理5.4.1)，列维渐升函数列积分定理(定理5.4.2)和法都定理(定理5.4.4)在现代数学中都有广泛的应用．同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处．四、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系．我们知道，若],[b a 上的有界函数)(x f 黎曼可积，则必勒贝格可积且二者积分值相等．值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立．实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积．关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分．五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要),(y x f 在q p R R 上可积即可将重积分化为累次积分．特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处．六、本章的最后介绍了勒贝格积分理论中的“原函数”存在定理和牛顿—莱布尼兹公式．在这些关系的研究中，有界变差函数和绝对连续函数的概念起着重要作用．。

课程号：20101340课程名称：实变函数总学时：68学分：4课程教学目的以Lebesgue测度与Lebesgue积分理论为核心内容，为学生提供近代分析的基础知识和基本训练，提高分析论证能力。

第一章第一章集合一、基本内容：集合以及集合列的上、下极限，集合的势，p进制表示法，n维空间中的点集，Bolzano —Weirstrass定理。

二、基本要求σ域的概念1、1、了解集合的基本运算及集合列的上、下限集、-2、2、了解势的定义与Bernstein定理、Zermelo选择公理3、3、可数集与连续势以及p进制表示4、4、了解聚点、内点、边界点以及Bolzano－Weirstrass定理5、5、了解开集、闭集以及Borel有限覆盖定理三、三、建议课时安排（15学时）σ域的概念 3学时1、集合的基本运算及集合列的上、下限集、-2、势的定义与Bernstein定理Zermelo选择公理3学时3、可数集与连续势以及p进制表示 3学时4、聚点、内点、边界点以及Bolzano－Weirstrass定理 3学时5、开集、闭集以及Borel有限覆盖定理3学时第二章测度论一、基本内容：外测度与可测集的定义及性质，开集的可测性，Lebesgue可测集的结构二、基本要求1、掌握外测度的定义及性质2、掌握可测集的定义及性质3、了解开集的可测性和L－可测集的结构三、建议课时安排（12学时）1、外测度的定义及性质4学时2、可测集的定义及性质4学时3、开集的可测性和L－可测集的结构4学时第三章可测函数一、一、基本内容：可测函数的定义及性质，可测函数的逼近理论二、二、基本要求：1、了解可测函数的定义及性质2、Egoroff定理、Lusin定理4、了解几乎处处收敛和依测度收敛三、三、建议课时安排：（11学时）1、可测函数及其运算3学时2、Egoroff定理、Lusin定理4学时3、几乎处处收敛与依测度收敛4学时第四章Lebesgue积分一、基本内容：可测函数的积分，Lebesgue积分的极限定理，Lebesgue积分与Riemann积分之间的关系，重积分与累次积分，Fubini定理，微分与积分的关系二、基本要求：1、1、了解非负可测函数的积分，Levi引理和Fatou引理2、2、掌握一般可测函数的积分，积分的绝对连续性以及Lebesgue积分极限定理3、3、了解积分的连续性4、4、弄清Lebesgue积分与Riemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件5、5、弄清重积分与累次积分之间的关系以及Fubini定理6、6、了解微分与积分的关系三、建议课时安排：（20学时）1、非负可测函数的积分，Levi引理和Fatou引理4学时2、一般可测函数的积分，积分的绝对连续性以及Lebesgue控制收敛定理4学时3、积分的连续性2学时4、4、Lebesgue积分与Riemann积分的关系，以及Riemann可积的充要条件3学时5、5、重积分与累次积分之间的关系以及Fubini定理3学时6、6、微分与积分的关系4学时第五章pL空间简介一、一、基本内容：pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式，p L空间中的收敛与完备性、可分性，2L空间中的内积，正交系，广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式二、二、基本要求：1、1、了解pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式2、2、了解pL空间中的收敛与完备性、可分性3、3、了解2L空间中的内积，正交系4、了解广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式三、三、建议课时安排（10学时）1、1、pL空间定义，Holder不等式，Minkowski不等式3学时2、2、pL空间中的收敛与完备性、可分性2学时3、3、2L空间中的内积，正交系2学时4、4、广义Fourier级数，Bessel不等式与Parseval不等式3学时教材及主要参考书1、1、周民强，实变函数论，北京大学出版社，2001年2、2、周性伟，实变函数，科学出版社，1998年3、3、江泽坚、吴智泉编著，实变函数论北京人民出版社1978。

邢台学院数学系《实变函数》复习手册 前言本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。

通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L 积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。

为以后学习其它课程打下良好的基础。

第一章 集合本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。

为以后引入L 积分打下了基础。

§1 集合的概念理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。

§2 集合的运算深刻理解并集或和集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。

§3 对等与基数1 掌握有限集、无限集、一一映照、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。

2 了解基数概念，会比较两个集的基数大小。

§4 可数集合与自然数集合N 对等的集合称为可数集合。

1 任何无限集包含一个可数子集。

2 若A 是一个可数集合，B 是一个有限集合，则A ∪B 是可数集合。

3 有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。

4 有理数全体是一个可数集，代数数全体是一个可数集。

§5 不可数集合1 实数集全体R 不是可数集。

其基数记为c ，称与R 对等的集合具有连续基数。

2 任何区间具有连续基数，可数个c 集的并是c 集，实数列全体E ∞的基数是c 。

3 不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。

练习题 一、选择题1、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体自然数B 、0，1之间的实数全体C 、[0，1]上的实数全体D 全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、全体小个子D 、{x ：x>1} 3、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体胖子 4、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体瘦子 5、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体小孩子B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体实数 6、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体大人C 、{x ：x>1}D 、全体整数 7、设{}:1A x x ααα=-<≤，I 为全体实数，则IA αα∈= （）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、(),-∞+∞D 、()1,+∞8、设11:11i A x x i i ⎧⎫=-+≤≤-⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、[]0,1D 、[]1,1-9、设1:01i A x x i ⎧⎫=≤<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、（0，1）B 、[]0,1C 、[)0,1D 、()0,+∞10、设11:12i A x x i i ⎧⎫=-<<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、[1，2]B 、（1，2）C 、（0，3）D 、(]1,211、设3:2i A x i x i ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}12、设11:i A x x i i ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}13、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,114、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,1 15、设(0,)n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、∅B 、[]0,nC 、RD 、()0,+∞ 16、设1(0,)n A n=，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、（0，1）B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、{0}D 、∅ 17、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 18、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 19、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(A-B)=（） A 、B B 、A C 、A ∩B D 、A ∪B20、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∪C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C 21、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∩C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C22、设A 、B 、S 是三个集合，且,A S B S ⊂⊂，则()s C A B -=（） A 、s s C A C B ⋃ B 、s s C A C B ⋂ C 、s C A B ⋃ D 、s C A B ⋂ 23、设A 、B 、S 是三个集合，()s C A B ⋃=（）A 、s s C A CB ⋃ B 、s sC A C B ⋂ C 、s C A B ⋃D 、s A C B ⋃ 24、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B-C)=()A 、A ∪C-B B 、A-B-C C 、(A-B)∪(A ∩C)D 、C-(B-A) 二、填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A n =，则B =（）2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集，则B =（）3、若A c =，B c =，则A B ⋃=（）4、若A c =，B 是一可数集，则A B ⋃=（）5、若A c =，B n =，则A B ⋃=（）6、若{}n A 是一集合列，且n A c =，则1nn A∞= =（）7、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 8、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 9、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 10、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 11、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）12、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）三、判断题1、{0,1}={1,0}。

实变函数复习提纲第一章、集与点集1.基本概念:映射;集合(族)的基本运算(并、交、差);两个集合的对称差;集合的对等;有限集;无限集;可列(数)集;至多可数(列)集;不可数(列)集;开集;闭集;聚点;闭包;导集;完全集;稀疏集与稠密集;Cantor三分集;Cantor函数;集合的势(基数)(可列集的势记为ℵ0,连续统的势记为ℵ);两个集合的势相等;实数的p(>1)进制表示等.2.基本定理:(1).R中非空开集可表示成至多可列个互不相交的开区间的并.(2).R2中的非空开集可表示成可列个互不相交的半开正方体的并.(3).伯恩斯坦(Bernstein)定理:设λ,µ为两个势.若λ≤µ,µ≤λ同时成立,则有λ=µ.(4)∗.策梅洛选择公理:设A是一个非空集组成的非空集类,则存在映射f:A→A∈A A,满足对每个A∈A有f(A)∈A.第二章、勒贝格(Lebesgue)测度1.基本概念:外测度;内测度;Lebesgue测度;可测集;不可测集;测度的完全可加性;外测度的次(半)可加性;Gδ集;Fσ集;Lebesgue测度的平移不变性等.2.基本性质与定理:(1).开集,闭集是可测集;零测集是可测集;可测集的可数并(交),可测集的差集是可测集;Carath´e odory条件:对于R的任意子集A,有m∗(A)= m∗(A∩E)+m∗(A∩E c);外测度与内测度的“单调性”.(2).设E是R的一个子集,则下述命题等价:(i).E是可测的;(ii).∀ε>0存在包含E的开集G使得m∗(G−E)<ε;(iii).∀ε>0存在包含于E中的闭集F使得m∗(E−F)<ε.(3).设E是R的一个子集,则下述命题等价:(i).E是可测的;(ii).∀ε>0存在可测集F和G,使得F⊂E⊂G,并且m∗(G−F)<ε;(iii).存在包含E的Gδ集G使得m∗(G−E)=0;(iv).存在包含于E中的Fσ集F使得m∗(E−F)=0.这个结论事实上是在说可测集的结构:即可测集与Gδ集或Fσ集只相差一个零测集.(4).不可测集是存在的.第三章、可测函数1.基本概念:可测函数;简单函数;特征函数;几乎处处;集合序列的上(极)限集和下(极)限集;近一致收敛;依测度收敛等.2.基本性质与定理:(1).可测集上的连续函数是可测的;若{f n}n∈N+是可测函数列,则supn∈N+f n,infn∈N+f n也是可测的;可测函数列的上下极限函数也是可测的;两个可测函数的和、差、商、积(若运算几乎处处有定义)也是可测的.(2).可测函数可以用简单函数来逼近.(书本第98页定理1.3)(3).叶果洛夫(Egoroff)定理.它解释了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系.(4).里斯(Riesz)定理.它解释了可测函数列几乎处处收敛与依测度收敛之间的关系.(5).鲁津(Lusin)定理.它解释了可测函数与连续函数之间的关系.第四章、勒贝格(Lebesgue)积分1.基本概念:非负简单函数的勒贝格积分;非负可测函数的勒贝格积分;一般可测函数的勒贝格积分;有积分;可积;积分的绝对连续性;依维它利意义覆盖;有界变差函数;绝对连续函数等.2.基本性质与定理:(1).积分具有线性性、σ可加性(课本第126页定理2.3);唯一性定理(课本第133页定理2.7).(2).勒维(Levi)定理.它解释了非负单调可测函数列的积分的极限与极限函数的积分之间的关系.(3).法杜(Fatou)定理.它解释了非负可测函数列的积分的下极限与下极限函数的积分之间的关系.(4).勒贝格(Lebesgue)控制收敛定理.(5).R积分与L积分的比较定理:设f是有界闭区间[a,b]上的有界函数,则f在[a,b]上R可积当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.更进一步,当f在[a,b]上R可积时,f在[a,b]上一定L可积,而且两个积分值相等.第五章、函数空间L p.L p(E),1≤p≤+∞空间以及傅立叶(Fourier)变换的定义.注:请关注习题课(习题讲解)的内容!考试以上课讲解的内容为准!。

实变函数知识点实变函数这门课啊，那可真是充满了挑战和趣味。

咱们先来说说啥是实变函数。

就拿咱们日常生活中的例子来说吧，比如说你去超市买苹果，苹果的价格会随着季节、产地、品质等因素变化。

如果把这些影响价格的因素看作变量，价格看作因变量，那这就有点像实变函数的概念啦。

实变函数中的集合论是个基础。

集合这东西，咱们生活中也到处都是。

比如说，你把你的玩具车分成跑车、卡车、轿车这几个集合。

集合之间的运算就像是不同玩具车集合的组合和拆分。

测度论是实变函数里挺重要的一块。

想象一下，你有一块不规则的蛋糕，要怎么去衡量它的大小呢？这时候测度就派上用场啦。

比如说，咱们可以把蛋糕切成很多小块，然后通过计算这些小块的某种特征来估计整个蛋糕的大小。

可测函数呢，就像是一个调皮的小精灵，总是让人捉摸不透。

但其实啊，它也有自己的规律。

比如说，你每天的心情可以看作是一个关于时间的可测函数，有时候高兴，有时候低落，但总体还是有一定的规律可循的。

说到这里，我想起之前给学生讲实变函数的时候，有个学生一直搞不明白测度的概念。

我就跟他说：“你就把测度想象成你去量一个池塘里水的多少，但是这个池塘的形状不规则，你得想办法找到一种合理的测量方式。

”后来他好像突然就开窍了。

再说说积分论。

实变函数里的积分和咱们之前学的数学分析里的积分不太一样。

它更强大，能处理更多复杂的函数。

就像你有一堆形状各异的积木，传统的积分方法可能不好处理，但实变函数的积分就能巧妙地把它们的“体积”算出来。

总之啊，实变函数虽然有点难，但只要咱们用心去琢磨，多联系生活中的例子，还是能把它拿下的。

就像解决一道复杂的谜题，每找到一个关键的线索，都会让你充满成就感。

希望大家都能在实变函数的世界里畅游，发现其中的奥秘和乐趣！。

（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。

即或为有限集或为可数集。

（3）可数个可数集的并集是可数集。

（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。

3、常见的可数集：有理数及其无限子集。

三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。

2、掌握集之间的并、交、差、余运算。

3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。

4、理解集列的收敛、单调集列的概念。

5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。

6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。

7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。

四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。

五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。

即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。

我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。

第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。

二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。

2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。

3、开集、闭集具有对偶性。

4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。

实变函数论主要知识点第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A BC --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+；2、 对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1)； ②证明(0,1)[0,1]；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。

具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。

内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。

3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①P =，P'=，P=；②111,,,,2n'⎧⎫⎨⎬⎩⎭= ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ=，mP=；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章 积 分 论1、非负简单函数L 积分的定义；练习： ①Direchlet 函数在1上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积⇔f 在E 上可测；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

2011实变函数复习要点第一章 集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。

2. 对等和基数及其性质。

3. 可数集合的概念及其性质。

4. 不可数集合的概念及例子。

（二）考核要求1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。

2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。

De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=c c A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。

例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。

例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A 3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。

（2）综合应用：集合的对等的证明例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。

4. 可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。

（2）综合应用：可数集合的性质。

5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。

第二章 点集（一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。

2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。

3. 开集、闭集及其性质。

4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。

（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。

2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。

如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→ 如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→ 3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。

考研实变函数知识点梳理实变函数是数学分析中的重要内容，考研数学中也是一个必考的知识点。

掌握实变函数的理论和应用对于考研数学的学习至关重要。

本文将对考研实变函数的主要知识点进行梳理，以便考生系统学习和复习。

一、实变函数的定义和基本性质实变函数是指定义域为实数集，值域也为实数集的函数。

在考研数学中，我们通常会遇到实变函数的定义和基本性质的考查。

1. 实变函数的定义：实变函数f是一个以实数集为定义域、实数集为值域的映射，即f: R→R。

2. 实变函数的有界性：若存在常数M>0，对于定义域上的任意一个x，都有|f(x)| ≤ M，则称实变函数f在定义域上有界。

3. 实变函数的单调性：若对于定义域上的任意两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≤ f(x2)，则称实变函数f在定义域上是递增的；若f(x1) ≥ f(x2)，则称实变函数f在定义域上是递减的。

4. 实变函数的奇偶性：若对于定义域上的任意一个x，有f(-x) = -f(x)，则称实变函数f在定义域上是奇函数；若f(-x) = f(x)，则称实变函数f在定义域上是偶函数。

二、实变函数的极限和连续性实变函数的极限与连续性是实变函数理论的核心，也是考研数学中的重点内容。

在考研数学中，经常会考查实变函数的极限和连续性的相关概念和定理。

1. 实变函数的极限：对于实变函数f，若存在常数L，对任意给定的ε>0，存在着常数δ>0，当0 < |x - x0| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，则称实变函数在x0处的极限为L，记作lim┬(x→x0)⁡〖f(x)=L〗。

2. 实变函数的连续性：若对于实变函数f在定义域上的任意一点x0，都有lim┬(x→x0)⁡〖f(x)=f(x0)〗成立，则称实变函数f在定义域上连续。

三、实变函数的导数实变函数的导数是实变函数理论中的重要内容，也是高等数学中的重点内容。