经典高考概率分布类型题归纳

从5名男生和3名女生中任选3人参加竞赛，设事件A为“选到男生人数比女生人数多”，则事件A发生的概率为：A. 3/14B. 5/14C. 10/14D. 11/14（正确答案）甲、乙两人按五局三胜制进行乒乓球比赛，已知甲获胜的概率为0.6，则甲打满5局才获胜的概率为：A. 0.216B. 0.288（正确答案）C. 0.432D. 0.648一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个球，将其中白球的个数记为X，则下列概率等于C(16,1)C(4,1)/C(26,2)的是：A. P(0 < X ≤ 2)B. P(X ≤ 1)（正确答案）C. P(X = 1)D. P(X ≥ 1)设随机变量X服从正态分布N(2,σ²)，若P(X < a) = 0.32，则P(a < X < 4 - a)等于：A. 0.68B. 0.36C. 0.32D. 0.34（正确答案）从长度为2, 3, 4, 5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是：A. 1/4B. 3/4（正确答案）C. 1/2D. 2/3甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为1/3和1/4，则两人合作译出密码的概率为：A. 1/12B. 5/12C. 7/12（正确答案）D. 1/2在圆M：(x + 1)² + (y - 3)² = 4内任取一点P，则点P到x轴的距离小于2的概率为：B. 1/4（正确答案）C. 1/6 - √3/πD. √3/π从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有多少对？A. 24B. 18C. 12（正确答案）D. 6设不等式组{ x - 2y + 1 ≥ 0, |x| - y - 1 ≤ 0 } 表示的平面区域为Ω，已知A(1/2,3/2)，B(3,5/2)在Ω内，若在区域Ω内随机取一点Q，则所取点Q满足∠AQB为钝角的概率为：A. 1/6B. 1/8C. 1/9（正确答案）D. 1/12。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 概率（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻地概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．45【结果】C思路：将4个1和2个0随机排成一行,可利用插空法,4个1产生5个空,若2个0相邻,则有155C =种排法,若2个0不相邻,则有2510C =种排法,所以2个0不相邻地概率为1025103=+．故选：C ．2．(2021年高考全国乙卷理科)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74地概率为( )A ．79B ．2332C ．932D ．29【结果】B思路：如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出地数分别为,x y ,则实验地所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<,其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74,则构成地区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭,即图中地阴影部分,其面积为13323124432A S =-⨯⨯=,所以()2332A S P A S Ω==．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中地面积问题,解题关键是准确求出事件,A Ω对应地区域面积,即可顺利解出．3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在一组样本数据中,1,2,3,4出现地频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本地标准差最大地一组是( )A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【结果】B思路：对于A 选项,该组数据地平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=。

经典高考概率分布类型题归纳高考真题一、超几何分布类型二、二项分布类型三、超几何分布与二项分布比照四、古典概型算法五、独立事件概率分布之非二项分布〔主要在于如何分类〕六、综合算法高考真题2021年22、〔本小题总分值10分〕〔相互独立事件〕某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品一等品率为90%，二等品率为10%。

生产1件甲产品，假设是一等品那么获得利润4万元，假设是二等品那么亏损1万元；生产1件乙产品，假设是一等品那么获得利润6万元，假设是二等品那么亏损2万元。

设生产各种产品相互独立。

（1）记X〔单位：万元〕为生产1件甲产品与1件乙产品可获得总利润，求X 分布列；（2）求生产4件甲产品所获得利润不少于10万元概率。

【解析】此题主要考察概率有关知识，考察运算求解能力。

总分值10分。

〔1〕由题设知，X可能取值为10，5，2，-3，且××0.9=0.18，××0.1=0.02。

由此得X分布列为：X1052-3P〔2〕设生产4件甲产品中一等品有件，那么二等品有件。

由题设知，解得，又，得，或。

所求概率为答：生产4件甲产品所获得利润不少于10万元概率为0.8192。

〔2021年〕22．〔本小题总分值10分〕〔古典概型〕设为随机变量，从棱长为1正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，值为两条棱之间距离；当两条棱异面时，．〔1〕求概率；〔2〕求分布列，并求其数学期望．【命题意图】此题主要考察概率分布列、数学期望等根底知识，考察运算求解能力.【解析】〔1〕假设两条棱相交，那么交点必为正方形8个顶点中一个，过任意一个顶点恰有3条棱，∴共有对相交棱，∴==.(2)假设两条棱平行，那么它们距离为1或，其中距离为共有6对，故==,∴随机变量分布列是01P〔2021•江苏〕〔古典概型〕盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球与2个绿球，这些球除颜色外完全一样．〔1〕从盒中一次随机取出2个球，求取出2个球颜色一样概率P；〔2〕从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中最大数，求X概率分布与数学期望E〔X〕．〔2021年〕23．〔本小题总分值10分〕一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部一样．现将口袋中球随机地逐个取出，并放入如下图编号为抽屉内，其中第次取出球放入编号为抽屉．123〔1〕试求编号为2抽屉内放是黑球概率；〔2〕随机变量表示最后一个取出黑球所在抽屉编号倒数，是数学期望，证明：．试题解析：〔1〕编号为2抽屉内放是黑球概率为：．〔2〕随机变量X概率分布为X……P……随机变量X期望为．所以即．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量数学期望一般步骤为：〔1〕“判断取值〞，即判断随机变量所有可能取值，以及取每个值所表示意义；〔2〕“探求概率〞，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件概率与公式、独立事件概率积公式，以及对立事件概率公式等)，求出随机变量取每个值时概率；〔3〕“写分布列〞，即按标准形式写出分布列，并注意用分布列性质检验所求分布列或某事件概率是否正确；〔4〕“求期望值〞，一般利用离散型随机变量数学期望定义求期望值，对于有些实际问题中随机变量，如果能够断定它服从某常见典型分布(如二项分布)，那么此随机变量期望可直接利用这种典型分布期望公式()求得．因此，应熟记常见典型分布期望公式，可加快解题速度．一、超几何分布1.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X 分布列．【提示】 从袋中随机摸4个球情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 可能取值为5,6,7,8.P(X ＝5)＝C14C33C47＝435，P(X ＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X ＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X ＝8)＝C44C03C47＝135.故所求分布列为X 5 6 7 8 P435183512351352.PM2.5 2.5微米颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2021，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2021年全年每天PM2.5监测数据中随机地抽取10天数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]方米) 频数311113〔1〕从这10天PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量到达一级概率；〔2〕从这10天数据中任取3天数据．记X 表示抽到PM2.5监测数据超标天数，求X 分布列．【解析】〔1〕记“从10天PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量到达一级〞为事件A ，那么P (A )＝C13·C27C310＝2140.〔2〕依据条件，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量X 可能取值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝Ck 3·C3－k7C310(k ＝0,1,2,3)，所以P (X ＝0)＝C03C37C310＝724，P (X ＝1)＝C13C27C310＝2140，P (X ＝2)＝C23C17C310＝740，P (X ＝3)＝C33C07C310＝1120，因此X 分布列为X123P72421407401120点评：超几何分布上述模型中，“任取 件〞应理解为“不放回地一次取一件，连续取 件〞. 如果是有放回地抽取，就变成了 重伯努利试验，这时概率分布就是二项分布. 所以两个分布区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样. 假设产品总数很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.3.盒内有大小一样9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出3个球中至少有一个红球概率； (2)求取出3个球得分之与恰为1分概率；(3)设ξ为取出3个球中白色球个数，求ξ分布列． 【解】 (1)P ＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球〞为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球〞为事件C ，那么P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)ξ可能取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， 且P(ξ＝k)＝Ck 3C3－k6C39，k ＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C36C39＝521，P(ξ＝1)＝C13C26C39＝1528，P(ξ＝2)＝C23C16C39＝314，P(ξ＝3)＝C33C39＝184，ξ分布列为ξ 0 1 2 3 P5211528314184二、二项分布1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理〞原那么，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院与一家社区医院作为本人就诊医疗机构.假设甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院选择是相互独立. 〔1〕求甲、乙两人都选择A 社区医院概率；〔2〕求甲、乙两人不选择同一家社区医院概率；〔3〕设4名参加保险人员中选择A 社区医院人数为X ，求X 概率分布与数学期望．2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯概率都是23，出现绿灯概率都是13.记这4盏灯中出现红灯数量为X ，当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求X ＝2时概率； (2)求X 数学期望．解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯概率都是23，故X ＝2时概率P ＝C24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝827.(2)法一 X 所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知P(X ＝k)＝Ck 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫134－k(k ＝0,1,2,3,4)．∴X 概率分布列为X 0 1 2 3 4 P18188188132811681∴数学期望E(X)＝0×18＋1×881＋2×881＋3×3281＋4×1681＝83.3.羽毛球 A 队与B 队进展对抗比赛，在每局比赛中A 队获胜概率都是P.〔1〕假设比赛6局，且P =, 求A队至多获胜4局概率是多少？〔2〕假设比赛6局，求A队恰好获胜 3局概率最大值是多少？(3) 假设采用“五局三胜〞制，求A队获胜时比赛局数分布列与数学期望.解析：〔1〕设“比赛6局，A队至多获胜4局〞为事件A那么==[来源:学。

高考概率大题及答案1.某市高中毕业生中有80%选择进入大学，20%选择就业。

已知选择就业的学生中，70%在第一年获得满意的工作，而选择进入大学的学生中，80%在第一年获得满意的工作。

现从该市高中毕业生中任选一人，问他第一年获得满意工作的概率是多少？解答：由全概率公式可知，某毕业生获得满意工作的概率可以分为两种情况：1）选择就业的情况下获得满意工作的概率：0.2 × 0.7 = 0.14 2）选择进入大学的情况下获得满意工作的概率：0.8 × 0.8 = 0.64因此，获得满意工作的总概率为：0.14 + 0.64 = 0.78所以，任选一人的第一年获得满意工作的概率为0.78。

2.一批产品某种型号有20%的不合格品。

现从中任意抽取2个进行检查，问两个都是合格品的概率是多少？解答：抽取两个产品都是合格品的概率可以通过计算来得到。

首先，第一次抽取的产品是合格品的概率为80%（不合格品的概率为20%）。

而第二次抽取的产品也是合格品的概率会受到第一次抽取的影响。

因为第一次抽取合格品后，剩下的产品中合格品的比例会减少。

假设第一次抽取合格品后，剩下的产品中有a个合格品和b个不合格品，则第二次抽取的产品也是合格品的概率为a/(a+b)。

因此，两个都是合格品的概率为：0.8 × (a/(a+b))具体数值需要根据实际情况来计算。

3.某门考试的通过率为60%，现已知通过考试的学生中，有70%是靠自己的努力而没有借助辅导班；而未通过考试的学生中，有30%是通过辅导班的帮助提高的。

现从所有参加考试的学生中任意选取一人，问他通过考试并没有借助辅导班的概率是多少？解答：通过考试并没有借助辅导班的概率可以分为两种情况：1）通过考试的学生中靠自己的努力的概率：0.6 × 0.7 = 0.42 2）通过辅导班帮助提高通过考试的概率：0.4 × 0.3 = 0.12因此，通过考试并没有借助辅导班的总概率为：0.42 + 0.12 = 0.54所以，任选一人通过考试并没有借助辅导班的概率为0.54。

高考真题数学概率题及答案高考真题中的数学概率题常常是考生们的心头之患，因为涉及到概率的计算和推断，考生们往往感到头疼。

在这里，我为大家整理了一些高考真题中常见的数学概率题及答案，希望能帮助大家更好地应对考试。

题目一：某班有30名学生，其中10名喜欢篮球，8名喜欢足球，6名喜欢羽毛球，3名以上三项兼喜的学生只有两名，问至少有多少名学生喜欢至少一项球类运动？
解答：设喜欢至少一项球类运动的学生有x名，根据题意可列出方程：10+8+6-x=30-2，解得x=22，因此至少有22名学生喜欢至少一项球类运动。

题目二：甲、乙、丙三人开车到达目的地的概率分别是0.6、0.7和0.8，求至少有一个人到达目的地的概率。

解答：根据概率的互补性，至少有一个人到达目的地的概率为1-三人都没有到达的概率，即1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=1-0.4*0.3*0.2=0.976，所以至少有一个人到达目的地的概率是0.976。

题目三：已知随机事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.3，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B至少有一个发生的概率。

解答：由事件A与事件B相互独立可知，事件A与事件B至少有一个发生的概率为1-(1-0.4)(1-0.3)=1-0.6*0.7=0.58，所以事件A与事件B至少有一个发生的概率为0.58。

通过以上题目的解答，我们可以看到，数学概率题并不是难到无法解决的问题，只要掌握了基本的概率知识和解题技巧，就能在考试中得心应手。

希望以上内容能对大家有所帮助，祝愿大家在高考中取得优异的成绩。

高考文科数学概率与统计题型归纳与训练高考文科数学概率与统计题型归纳与训练近年来，随着高考评价重点的转变，我国高考数学概率与统计所占的比重越来越大，也极大地影响了学生的试题解答，特别是对文科类学生而言。

因此，归纳与训练概率与统计的题型对提升高考成绩非常有效。

一、高考概率与统计试题类型1、概率题：（1）概率概念题：要求判断某事件的可能性大小、求概率大小、比较概率大小，以及用中文描述概率大小等概念性问题。

（2）条件概率及贝叶斯公式：求两事件同时发生的条件概率，用贝叶斯公式求解概率问题。

（3）随机变量和概率分布：讨论正态分布、泊松分布等随机变量的概率分布。

2、统计学题：（1）数据的勘误析：把调查所得原始数据准确地归类编单，以便找出这些数据中蕴含的结论。

（2）图表分析：分析调查对象之间的关系，从折线图、饼形图、柱形图等图表中获取相应的数据。

二、概率与统计的训练方法1、理论思考训练：多看有关概率、统计的权威论文和教材，把基本概念牢牢掌握，把常见的概率公式及统计公式及推导式脱口而出。

2、示范练习：对常考的知识点补充示范练习，可以通过复现例题和大量习题来熟悉该知识点，从而深入理解，提高解题能力。

3、联系模拟考试：利用模拟考试把学过的知识点和技巧联系起来，在试题中能够驾轻就熟地掌握各试题技巧，大大提升实力。

4、强化记忆：记忆知识点、公式要选择相应的方法，通过反复记忆和熟习，把重点内容融会贯通，熟练记忆几个重点的式子和结论有助于考试的取得好成绩。

总之，学习概率与统计，除了要用心去理解之外，还需要不断的训练，把一些重点的知识点、公式强化记忆，加深理解，才能在考试中取得较好的成绩。

高中概率分布练习题及讲解一、基础概念题1. 某班级有40名学生，其中男生20名，女生20名。

随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。

2. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，每次抽取一个球后放回。

求连续抽取三次，至少出现一次红球的概率。

3. 一个骰子掷出数字1的概率是多少？二、条件概率题1. 已知一个事件A发生的概率为0.3，另一个事件B在A发生的条件下发生的概率为0.5。

求事件A和B同时发生的概率。

2. 一个班级有50名学生，其中20名是男生，30名是女生。

如果从班级中随机抽取一名学生，发现他是男生，那么他是班级中成绩最好的学生的概率是多少？（假设班级中成绩最好的学生是男生的概率为0.4）三、独立事件题1. 一个袋子里有10个球，其中2个是白球，8个是黑球。

如果从袋子中随机抽取一个球，观察颜色后放回，再抽取一次。

求两次都抽到白球的概率。

2. 一个家庭有两个孩子，假设生男生女的概率各为1/2。

求这个家庭有两个男孩的概率。

四、二项分布题1. 一个硬币连续投掷10次，求至少出现5次正面的概率。

2. 一个学生在10次考试中，每次考试通过的概率为0.7。

求这个学生至少通过8次考试的概率。

五、正态分布题1. 一个班级的学生数学成绩服从均值为80分，标准差为10分的正态分布。

求数学成绩在70到90分之间的学生所占的比例。

2. 一个工厂生产的零件长度服从均值为50厘米，标准差为1厘米的正态分布。

求长度在49到51厘米之间的零件所占的比例。

六、泊松分布题1. 一个电话服务中心平均每小时接到4个电话。

求在任意一个小时内接到6个或更多电话的概率。

2. 一个网站平均每分钟有2个访问者。

求在任意一分钟内有5个或更多访问者的概率。

七、综合题1. 一个班级有50名学生，其中30名是男生，20名是女生。

如果随机抽取5名学生，求至少有3名男生的概率。

2. 一个工厂每天生产100个零件，其中每个零件都是合格品的概率为0.95。

求工厂一天中生产的零件中有超过5个不合格品的概率。

高考概率大题专项题型一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：海洋学院医学院经济学院学院机械工程学院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．健步走步数（千卡）16171819480520消耗能量（卡路里）40044（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．概率大题专项题型参考答案一．解答题1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：X012345P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：X012346P∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+6×==3．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；共有+=15种，∴事件A发生概率：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．P（X=0）==P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012P∴EX=0×+1×+2×=1．4．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…（3分）则．…（6分）（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，．…（9分）X01234P…（11分）．…（13分）5．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：X0100200P∴EX=0×+100×+200×=．6．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【解答】解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）==，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣）2=．…（5分）（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320．P（X=160）=，P（X=224）==，P（X=256）==，P（X=320）==，则E（X）=160×+224×+256×+320×=240．∵270＞240，∴第二种方案比较划算．…（12分）7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ=3，4，5所以ξ的分布列为ξ345P数学期望．8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．【解答】解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．【解答】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．元件B为正品的概率约为．（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；P（X=﹣15）==．∴随机变量X的分布列为：EX=．（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n=4或n=5．设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，则P（A）==．10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：X0123P即E（X）=0×=．11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设该小组中有n 个女生，根据题意，得解得n=6，n=4（舍去），∴该小组中有6个女生；（2）由题意，ξ的取值为0，1，2，3；P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=3）=P（ξ=2）=1﹣∴ξ的分布列为：ξ0123P∴Eξ=1×12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学海洋学院医学院经济学院院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，所以ξ的分布列为0123P所以13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．，，，随机变量X的分布列是：X012P．14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解答】解：（1）依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1，P（ξ=1）=，P（ξ=0）=，P（ξ=﹣1）=，∴ξ的分布列为：ξ10﹣1pEξ=﹣=．…（6分）（2）设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的可能取值为2，﹣2，P（η=2）=α，P（η=﹣2）=β，η的分布列为η2﹣2pαβ∴Eη=2α﹣2β=4α﹣2，∵把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，∴4α﹣2≥，解得．…（12分）15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知：=，即=，即x2﹣x﹣6=0，解之得x=3，（x=﹣2舍去）．…（1分）（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．P（x=1）==，P（x=2）==，P（x=3）==，P（x=4）==，P（x=5）==，…（5分）（注：此段（4分）的分配是每错1个扣（1分），错到4个即不得分．）随机变量X的概率分布列为：X12345P所以E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2．…（6分）（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．依题意知：P（A1）==，P（A2）==，P（A3）==，…（9分）（注：此段（3分）的分配是每错1个扣（1分），错到3个即不得分．）所以，甲取到白球的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=…（10分）16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．健步走步数（千卡）16171819480520消耗能量（卡路里）40044（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．【解答】（本小题满分13分）解：（I）小王这8天“健步走”步数的平均数为：（千步）．…..（4分）（II）X的各种取值可能为800，840，880，920．，，，，X的分布列为：X800840880920P…..（13分）17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得；10a=1﹣（++）×10=，解得a=；∴成绩在[80，90）分的学生有36××10=3人，成绩在[90，100）分的学生有36××10=6人，成绩在[100，110）分的学生有36××10=18人，成绩在[110，120）分的学生有36××10=9人；记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件①②的事件”，包括事件A1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在[90，100）分之间”，事件A2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在[90，100）分之间”，且A1、A2是互斥事件；∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=+=；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）==，p（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；∴X的分布列为X0123P数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=2．18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．【解答】解：（1）由题意知：第一次取5件产品中，恰好有k件优质品的概率为：P（k）=，k=0，1，2，3，4，5，∴这批产品通过检验的概率：p==+5×+（）5=．（2）由题意得X的可能取值为1000，1200，1400，P（X=1000）=（）5=，P（X=1200）==，P（X=1400）=++=，X的分布列为：。

（完整版）经典⾼考概率分布类型题归纳.doc经典⾼考概率类型题总结⼀、超⼏何分布类型⼆、⼆项分布类型三、超⼏何分布与⼆项分布的对⽐四、古典概型算法五、独⽴事件概率分布之⾮⼆项分布（主要在于如何分类）六、综合算法⼀、超⼏何分布1.甲、⼄两⼈参加普法知识竞赛，共设有10 个不同的题⽬，其中选择题 6 个，判断题 4 个 . （1）若甲、⼄⼆⼈依次各抽⼀题，计算：①甲抽到判断题，⼄抽到选择题的概率是多少？②甲、⼄⼆⼈中⾄少有⼀⼈抽到选择题的概率是多少？（2）若甲从中随机抽取 5 个题⽬，其中判断题的个数为X，求 X 的概率分布和数学期望.⼆、⼆项分布1.某市医疗保险实⾏定点医疗制度，按照“就近就医、⽅便管理”的原则，参加保险⼈员可⾃主选择四家医疗保险定点医院和⼀家社区医院作为本⼈就诊的医疗机构.若甲、⼄、丙、丁 4 名参加保险⼈员所在的地区附近有A， B，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独⽴的.（1）求甲、⼄两⼈都选择 A 社区医院的概率；（2）求甲、⼄两⼈不选择同⼀家社区医院的概率；（3）设 4 名参加保险⼈员中选择 A 社区医院的⼈数为X，求 X 的概率分布和数学期望．2. 某⼴场上有 4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红2 1灯的概率都是 3，出现绿灯的概率都是 3.记这 4 盏灯中出现红灯的数量为 X ，当这排装饰灯闪烁⼀次时：(1)求 X ＝ 2 时的概率；(2)求 X 的数学期望．解 (1)依题意知： X ＝ 2 表⽰ 4 盏装饰灯闪烁⼀次时，恰好有2 盏灯出现红2灯，⽽每盏灯出现红灯的概率都是3，故 X ＝2 时的概率 P ＝ C 22 2 1 2＝ 8k 2 k 1 4－kP(X ＝ k)＝C 4 3 3(k ＝0,1,2,3,4)．∴ X 的概率分布列为X 0 1 2 3 4 P1 8 8 32 16 81 81 81 81 811883216 8 ∴数学期望 E(X) ＝0×8＋1×81＋ 2× 81＋3×81＋ 4× 81＝3.三、超⼏何分布与⼆项分布的对⽐有⼀批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地依次任取 3 件，若 X 表⽰取到次品的次数，则 P （ X ）＝.辨析：1.有⼀批产品，其中有12 件正品和 4 件次品，从中不放回地依次任取 3 件，若 X 表⽰取到次品的件数，则P （ X ）＝2. 有⼀批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地依次任取件，第 k 次取到次品的概率，则 P （ X ）＝3.有⼀批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中不放回地依次任取件，第 k 次取到次品的概率，则 P （ X ）＝四、古典概型算法1.⼀个均匀的正四⾯体的四个⾯分别涂有 1，2， 3， 4 四个数字，现随机投掷两次，正四⾯体底⾯上的数字分别为 x 1,x 2，记 X=(x 1-2)2+(x 2-2)2.（ 1）分别求出 X 取得最⼤值和最⼩值的概率；（ 2）求 X 的概率分布及⽅差 .2.（ 2012·江苏⾼考）设ξ为随机变量，从棱长为 1 的正⽅体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ =0；当两条棱平⾏时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异⾯时ξ=1．（ 1）求概率 P （ξ =0）；（ 2）求ξ的分布列，并求其数学期望E （ξ）．3.某市公租房的房源位于 A ， B ， C 三个⽚区，设每位申请⼈只申请其中⼀个⽚区的房源，且申请其中任⼀个⽚区的房源是等可能的，求该市的任 4 位申请⼈中：（1）恰有 2 ⼈申请 A ⽚区房源的概率；（2）申请的房源所在⽚区的个数X 的概率分布与期望 .4.设 S 是不等式 x 2－ x － 6≤ 0 的解集，整数 m ， n ∈ S.(1)记“使得 m ＋n ＝ 0 成⽴的有序数组 (m ，n) ”为事件 A ，试列举 A 包含的基本事件；(2)设ξ＝ m 2，求ξ的概率分布表及其数学期望 E(ξ)．解 (1)由 x 2－ x － 6≤ 0，得－ 2≤ x ≤3，即 S ＝{x| － 2≤ x ≤ 3} ．由于 m ， n ∈ Z ， m ，n ∈ S 且 m ＋n ＝ 0，所以 A 包含的基本事件为 (－2,2) ，(2，－ 2)， (－ 1,1)， (1，－ 1) ，(0,0) ．(2)由于 m 的所有不同取值为－ 2，－ 1,0,1,2,3，所以ξ＝m 2 的所有不同取值为 0,1,4,9，且有 P(ξ＝0) ＝16，21P( ξ＝ 1) ＝＝，2 1P( ξ＝ 4)＝ 6＝3，1P( ξ＝ 9)＝ 6.1 1 1 1 19 所以 E(ξ)＝0× 6＋ 1×3＋ 4× 3＋9×6＝ 6 .5.在⾼中“⾃选模块”考试中，某考场的每位同学都选了⼀道数学题，第⼀⼩组选《数学史与不等式选讲》的有1 ⼈，选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》的有 5 ⼈，第⼆⼩组选《数学史与不等式选讲》的有2 ⼈，选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》的有 4 ⼈，现从第⼀、第⼆两⼩组各任选 2 ⼈分析得分情况 .(1)求选出的 4 ⼈均为选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》的概率；(2)设 X 为选出的 4 个⼈中选《数学史与不等式选讲》的⼈数，求 X 的分布列和数学期望．解 (1)设“从第⼀⼩组选出的 2 ⼈均选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》”为事件 A ，“从第⼆⼩组选出的 2 ⼈均选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》 ” 为事件 B.由于事件 A 、B 相互独⽴，222C 5C 4 2所以 P(A) ＝C 62＝ 3， P(B)＝C 62＝5，所以选出的 4 ⼈均选《矩阵变换和坐标系与参数⽅程》的概率为P(A ·B)＝2 24P(A) · P(B)＝ 3×5＝15.(2)X 可能的取值为 0,1,2,3，则42111222C 5C 2·C 4C 5C 4， P(X ＝1)＝2· 2 ＋ 2·2＝，P(X ＝ 0)＝15C 6 C 6C 6 C 645111P(X ＝ 3)＝ C 52· 2＝ .C 6 C 6 452所以 X 的数学期望 E(X) ＝0× 4 ＋1×22＋2×2＋3× 1 ＝1 (⼈ )．15 45 9 45 6.已知甲盒内有⼤⼩相同的 1 个红球和 3 个⿊球，⼄盒内有⼤⼩相同的2 个红球和 4 个⿊球．现在从甲、⼄两个盒内各任取 2 个球．（ I ）求取出的 4 个球均为⿊⾊球的概率；（II ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；（III ）设ξ为取出的 4 个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．解：（ I）设“从甲盒内取出的 2 个球均⿊球”为事件 A ，“从⼄盒内取出的 2 个球为⿊球”为事件B．∵事件 A ， B 相互独⽴，且．∴取出的 4 个球均为⿊球的概率为P（AB ） =P （ A ）P（ B）=．（ II ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为⿊球；从⼄盒内取出的 2 个球中， 1 个是红红， 1 个是⿊球”为事件 C，“从甲盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球， 1 个是⿊球；从⼄盒内取出的 2 个球均为⿊球”为事件D．∵事件 C， D 互斥，且．∴取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为P（C+D ） =P （C） +P （ D ） =．（III ）解：ξ可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ．由（ I），（ II ）得，⼜，从⽽ P （ξ=2 ） =1P （ξ=0 ） P （ξ=1 ） P （ξ=3 ）= ．ξ的分布列ξ的数学期望．五、独⽴事件概率分布之⾮⼆分布（主要在于如何分）1.开次数的数学期望和⽅差有 n 把看上去⼦相同的匙，其中只有⼀把能把⼤上的打开．⽤它去开上的．抽取匙是相互独⽴且等可能的．每把匙开后不能放回．求开次数的数学期望和⽅差．分析：求 P(k ) ，由知前 k 1次没打开，恰第 k 次打开．不，⼀般我从的地⽅⼊⼿，如1,2,3 ，律后，推⼴到⼀般．解：的可能取1， 2，3，?， n ．P(1)1 ,nP(2) 11n 1 1) (11 ) 1n 1 n 2 11 ;nn 1 n 2n n 1 n 2 nP(k) (1 1) (11 ) (11) (11 ) 1 n 1 n2 n3 n k 111n n 1n 2n k 2 n k 1n n 1 n 2 n k 2 n k 1 n ；所以的分布列：12 ? k ? nP1 1 1 1 nnnnE 112131n 1 n 1 ；nnnn2D(1n 1 2 1n 1 21 n 1 21(k( 3)n )n(nn2nn2221 (12 2232n 2) ( n 1)(1 2 3n) (n 1) 2 nn21 1n(n 1)(2n 1) n( n 1) 2 n( n 1)2 n 2 1n 62 4 122. 射中耗⽤⼦数的分布列、期望及⽅差某射⼿⾏射，每射 5 ⼦算⼀，⼀旦命中就停⽌射，并⼊下⼀的，否⼀直打完 5 ⼦后才能⼊下⼀，若射⼿在某中射命中⼀次，并且已知他射⼀次的命中率0.8，求在⼀中耗⽤⼦数的分布列，并求出的期望 E与⽅差 D（保留两位⼩数）．分析：根据随机量不同的取确定的概率，在利⽤期望和⽅差的定求解．解：耗⽤的⼦数随机量，可以取1， 2， 3， 4， 5．＝ 1，表⽰⼀即中，故概率P ( 1)0.8;＝ 2，表⽰第⼀未中，第⼆命中，故P ( 2) (1 0.8) 0.8 0.2 0.8 0.16;＝ 3，表⽰第⼀、⼆未中，第三命中，故P (3) (1 0.8)2 0.8 0.22 0.8 0.032;＝ 4，表⽰第⼀、⼆、三未中，第四命中，故因此，的分布列为1 2 3 4 5P 0.8 0.16 0.032 0.0064 0.0016E 1 0.8 2 0.16 3 0.032 4 0.0064 5 0.00160.8 0.32 0.096 0.0256 0.008 1.25,D (1 1.25)2 0.8 (2 1.25)2 0.16 (3 1.25 )2 0.032 (4 1.25) 2 0.0064 (5 1.25)2 0.00160.05 0.09 0.098 0.0484 0.0225 0.31.3. 在某校组织的⼀次篮球定点投篮训练中，规定每⼈最多投 3 次；在 A 处每投进⼀球得 3 分，在 B 处每投进⼀球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停⽌投篮，否则投第三次 . 某同学在 A 处的命中率 q 1为 0. 25，在 B 处的命中率为q 2，该同学选择先在 A 处投⼀球，以后都在 B 处投，⽤表⽰该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（1）求 q 2的值；（2）求随机变量的数学期望E；（ 3）试⽐较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述⽅式投篮得分超过 3 分的概率的⼤⼩．解 :（ 1）设该同学在 A 处投中为事件A，在 B 处投中为事件B，则事件 A，B 相互独⽴，且 P(A)=0. 25，P( A)0.75 ，P(B)= q2，P( B)1q2．根据分布列知：=0时P( ABB )P( A)P( B)P(B)0.75(1 q2 ) 2=0. 03，所以1 q20.2 ，q2=0. 8．（ 2）当=2 时， P1= P( AB B ABB) P(ABB) P( ABB)P( A) P( B)P( B) P( A) P(B) P( B) =0. 75q2(1 q2)×2=1.5q2(1q2)=0. 24．当=3 时， P2= P( ABB )P( A) P( B)P( B)0.25(1 q2 )2=0. 01，当 =4 时， P 3 = P( ABB) P( A) P( B)P( B) 0.75q 2 2 =0. 48，当 =5 时， P 4 = P( ABB AB)P( ABB ) P( AB)P( A) P( B)P( B) P( A) P(B) 0.25q 2 (1 q 2 ) 0.25q 2 =0. 24．所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望 E 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 3.63 ．（ 3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P(BBBBBB BB)P(BBB ) P( BBB ) P(BB )2(1 q 2 )q 22 q 22 0.896 ；该同学选择（ 1）中⽅式投篮得分超过 3 分的概率为 0. 48+0. 24=0. 72．由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过 3 分的概率⼤．4. 某科技公司遇到⼀个技术难题，紧急成⽴甲、⼄两个攻关⼩组，按要求各⾃单独进⾏为期⼀个⽉的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的⼩组给予奖励．已知这2 些技术难题在攻关期满时被甲⼩组攻克的概率为被⼄⼩组攻3克的概率为3.4（1）设 X 为攻关期满时获奖的攻关⼩组数，求 X 的概率分布及V(X)；（2）设 Y 为攻关期满时获奖的攻关⼩组数的 2 倍与没有获奖的攻关⼩组数之差，求 V(Y).5. 某城市有甲、⼄、丙3 个旅游景点，⼀位客⼈游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6 ，且客⼈是否游览哪个景点互不影响，设表⽰客⼈离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（Ⅰ）求的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数 f ( x)x 2 3 x 1在区间 [2,) 上单调递增”为事件 A ，求事件 A的概率 .分析：（ 2）这是⼆次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，解：（ 1）分别记“客⼈游览甲景点”，“客⼈游览⼄景点” ，“客⼈游览丙景点”为事件 A1, A2 , A3．由已知 A1 , A2 , A3 相互独⽴， P( A1 ) 0.4, P( A2 ) 0.5, P( A3 ) 0.6 . 客⼈游览的景点数的可能取值为0，1， 2， 3. 相应的，客⼈没有游览的景点数的可能取值为 3， 2， 1， 0，所以的可能取值为 1， 3．P( 3) P( A1 gA2 gA3 ) P( A1 gA2 gA3 )[P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3) 2 0.4 0.5 0.6 0.24P( 1) 1 0.24 0.761 3所以的分布列为P 0.76 0.24E( ) 1 0.76 3 0.24 1.48（Ⅱ）解法⼀：因为 f ( x) (x 3 )2 19 2 , 所以函数2 4f ( x) x2 3 x 1在区间[ 3, ) 上单调递增，要使 f (x)在 [2, ) 上单调递增，2当且仅当32,即 4 .从⽽ P( A) P( 4 )P( 1) 0.76.2 3 3解法⼆：的可能取值为1， 3.当 1 时，函数 f ( x) x2 3x 1在区间 [2, ) 上单调递增，当 3 时，函数 f (x) x2 9x 1在区间 [2, ) 上不单调递增.所以 P( A) P( 1) 0.76.6.甲、⼄两⼈各进⾏ 3 次射击，甲每次击中⽬标的概率为1，⼄每次击中⽬标22的概率为3.(1)求⼄⾄多击中⽬标 2 次的概率；(2)记甲击中⽬标的次数为 Z ，求 Z 的分布列、数学期望和标准差．解 (1)甲、⼄两⼈射击命中的次数服从⼆项分布，故⼄⾄多击中⽬标2 次的3 2 319概率为 1－C 3 3 ＝27.0 1 3 1 (2)P(Z ＝0)＝C 3 2 ＝8；P(Z ＝1) 1 1 3 3＝C 3 2 ＝ 8； P(Z ＝2) ＝C 32 1 3＝32 8；P(Z ＝3) ＝C 33 1 12 3＝ . 8Z 的分布列如下表：Z 0 1 2 3 P 1 3 3 188881331 3E(Z)＝0× 8＋1×8＋2×8＋3×8＝ 2，D(Z) ＝ 0－ 3 1 3 3 322× ＝，∴ 2 .8 8 88 47.某陶瓷⼚准备烧制甲、⼄、丙三件不同的⼯艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第⼀次烧制合格后⽅可进⼊第⼆次烧制，两次烧制过程相互独⽴．根据该⼚现有的技术⽔平，经过第⼀次烧制后，甲、⼄、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6， 0.4.经过第⼆次烧制后，甲、⼄、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.(1)求第⼀次烧制后恰有⼀件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格⼯艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望与⽅差．解分别记甲、⼄、丙经第⼀次烧制后合格为事件 A 1、A 2、 A 3 .(1)设 E 表⽰第⼀次烧制后恰好有⼀件合格，则P(E)＝ P(A 1 A 2 A 3)＋ P( A 1A 2 A 3) ＋ P( A 1 A 2A 3)＝ 0.5× 0.4× 0.6＋ 0.5× 0.6× 0.6＋0.5× 0.4×0.4＝ 0.38.(2)因为每件⼯艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ＝ 0.3，所以ξ～B(3,0.3) ．故 E(ξ)＝np ＝3× 0.3＝0.9，V( ξ)＝np(1－p)＝ 3× 0.3×0.7＝ 0.63.8.某地最近出台⼀项机动车驾照考试规定；每位考试者⼀年之内最多有 4 次参加考试的机会，如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6， 0.7， 0.8，0.9，求在⼀年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在⼀年内领到驾照的概率 .解：的取值分别为 1， 2， 3，4.1 ，表明李明第⼀次参加驾照考试就通过了，故P （1） =0.6.2 ，表明李明在第⼀次考试未通过，第⼆次通过了，故P(2) (1 0.6) 0.7 0.28.ξ =3，表明李明在第⼀、⼆次考试未通过，第三次通过了，故P(3) (1 0.6) (1 0.7) 0.8 0.096.ξ =4，表明李明第⼀、⼆、三次考试都未通过，故P(4) (1 0.6) (1 0.7) (1 0.8) 0.024.∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为ξ1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.0960.024∴ξ的期望 E ξ=1× 0.6+2 ×0.28+3 ×0.096+4×0.024=1.544. 李明在⼀年内领到驾照的概率为1－ (1－ 0.6)(1－ 0.7)(1 -0.8)(1－ 0.9)=0.9976.9.某先⽣居住在城镇的 A 处 ,准备开车到单位 B 处上班，若该地各路段发⽣堵车事件都是独⽴的，且在同⼀路段发⽣堵车事件最多只有⼀次，发⽣堵车事件的概率，如图． ( 例如：ＡＣＤ算作两个路段：路段Ａ C 发⽣堵车事件的概率为1，路段 CD 发⽣堵车事件的概率为（１）请你为其选择⼀条由Ａ到Ｂ的路线，使得途中发⽣堵车事件的概率最⼩；（２）若记ξ路线ＡＣＦＢ中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Ｅξ．解： (1)记路段 MN 发⽣堵车事件为MN.因为各路段发⽣堵车事件都是独⽴的，且在同⼀路段发⽣堵车事件最多只有⼀次，所以路线ＡＣ D Ｂ中遇到堵车的概率 P 1 为1－Ｐ ( AC ? CD ? DB )=1－Ｐ ( AC ) ? Ｐ ( CD ) ?Ｐ ( DB )＝１－［１－Ｐ (AC)］［１－Ｐ (CD)］［１－ P(DB)］＝１－914 5 ＝ 3 ； 10 15 6 10同理：路线ＡＣＦＢ中遇到堵车的概率 P ２为1－Ｐ ( AC ? CF ? FB )=239（⼩于3）；800 10路线ＡＥＦＢ中遇到堵车的概率 P 为３1－Ｐ ( AE ? EF ? FB )=91 （⼤于 3 ）30010 显然要使得由Ａ到Ｂ的路线途中发⽣堵车事件的概率最⼩，只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线ＡＣＦＢ ,可使得途中发⽣堵车事件的概率最⼩.(2) 路线ＡＣＦＢ中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3．Ｐ (ξ＝０ )＝Ｐ ( AC ? CF ? FB )＝561， 800Ｐ (ξ＝ 1)＝Ｐ (AC ? CF ? FB )＋Ｐ ( AC ? ＣＦ ? FB )＋Ｐ ( AC ? CF ? ＦＢ )＝117 11 ＋ 9 3 11 ＋ 9 17 1 ＝ 637 ，10 20 1210 20 12 10 20 12 2400Ｐ (ξ＝２ )＝Ｐ (AC ? ＣＦ ? FB )＋Ｐ (ＡＣ ? CF ? ＦＢ )＋Ｐ ( AC ? ＣＦ ? ＦＢ )＝13 11 ＋ 1 17 1 ＋ 9 31 ＝ 77 ， 10 20 12 10 20 12 10 20 12 2400Ｐ (ξ＝ 3)＝Ｐ ( ACCF FB )＝637 ＋２× 77＋３× 3 ＝ 1。

高考数学复习：概率与分布列题型1.已知随机变量且1211211P X P X P X μμμμ-<+-≥++≤<+=，则（）A．1-B．0C．1D．22.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()(2)f x P x x ξ=≤≤+是偶函数，则实数μ=（）A．0B．12C．1D．23.随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，且()()322P a P a ξξ-≥=≤，则=a （）A．12B．1C．43D．34.设X~N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)=0.0228，那么向正方形OABC 中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）[附:随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544]A．12076B．13174C．14056D．7539题型二：二项分布型求参二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p ()01p <<，则在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ=()1n kk k n C p p --()0,1,2,,k n =⋯，称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ~(),B n p ，E ξ=npi =D npq .1.在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p =．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n的最小值为（）A．6B．18C．36D．372.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()9E X =，9()4D X =，则n =（）A．3B．6C．9D．123.设随机变量ξ服从二项分布(),B n p ，若() 1.2E ξ=，()0.96D ξ=，则实数n 的值为__________.题型三：二项分布与正态分布综合离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列ξ1ξ2ξ3ξ…n ξP1p 2p 3p np ①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++ ，反映随机变量ξ取值的波动性。

【经典例题】【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．1-B ．-C ．D ． 2π12 1π 2π 1π【答案】A【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=()2-××=．在扇形OAD 中为扇π2 12 12 12 12π-28S12形面积减去三角形OAC 面积和，=π×12--=，S 1+S 2=，扇形OAB 面积S22 S12 18 18 S22 π-216 π-24S=，选A ． π4【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )A. B.C.D. 1261256516812575【答案】B【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝，P(X ＝1)＝，P(X ＝2)＝，P(X ＝3)＝，故E(X)＝0×2712554125361258125＋1×＋2×＋3×＝，选B.271255412536125812565【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.B.C.D. 14123478【答案】C【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意满足条件{0≤x ≤4，0≤y ≤4，)的关系式为－2≤x－y≤2.根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为＝.121634【例4】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【答案】0.2【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2【例5】（2013江苏）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．【答案】2063【解析】基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9.所以m ，n 都取到奇数共有20种，故所求概率为.2063【例6】（2013山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________．【答案】13【解析】当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x －2|≥1的解集为.在[1，＋∞)上使不等式有解的区间为，由几何概型的概率公式得P ＝＝.[－3，3][1，3]3－13－（－3）13【例7】（2013北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【答案】；；3月5日2131213【解析】设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1，2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝ (i≠j)．113（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.213（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且P(X ＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，413P(X ＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，413P(X ＝0)＝1－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝.513所以X 的分布列为X 012P513413413故X 的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.5134134131213（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可23以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖25中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】；方案甲．1115【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这22325人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”，因为P(X ＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝，23254151115即这两人的累计得分X≤3的概率为.1115（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X1～B，X2～B ，(2，23)(2，25)所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，23432545从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.83125因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．2325记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X ＝0)＝×＝，P(X ＝2)＝×＝，P(X ＝3)＝×＝，(1－23)(1－25)1523(1－25)25(1－23)25215所以P(A)＝P(X ＝0)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝，1115即这两人的累计得分X≤3的概率为.1115（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：X1024P194949所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，19494983E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.9251225425125因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【例9】（2013浙江）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（1）当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；（2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求5359a ∶b ∶c.【答案】3∶2∶1【解析】（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.P(ξ＝2)＝＝，3×36×614P(ξ＝3)＝＝，2×3×26×613P(ξ＝4)＝＝.2×3×1＋2×26×6518P(ξ＝5)＝＝，2×2×16×619P(ξ＝6)＝＝，1×16×6136所以ξ的分布列为X2036P9251225425ξ23456P141351819136（2）由题意知η的分布列为η123Pa a ＋b ＋c ba ＋b ＋cc a ＋b ＋c所以Eη＝＋＋＝，a a ＋b ＋c 2b a ＋b ＋c 3c a ＋b ＋c 53Dη＝1－2·＋2－2·＋3－2·＝，53a a ＋b ＋c 53b a ＋b ＋c 53c a ＋b ＋c 59化简得解得a ＝3c ，b ＝2c ，{2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，)故a∶b∶c＝3∶2∶1.【例10】（2009北京理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.【答案】；42738【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为()11141133327P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），∴()()441220,1,2,3,433kkk P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴即ξ的分布列是ξ2468P16813281827881181h bg o∴ξ的期望是163288180246881812781813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【课堂练习】1.（2013广东）已知离散型随机变量X 的分布列为X 123P35310110则X 的数学期望E(X)＝( )A. B ．2 C. D ．332522.（2013陕西）如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－B ．－1 B ．2－ D ．π4π2π2π43．在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为( )A ．B ．C ．D ．4737273144．（2009安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于A ．175B ．275 C ．375 D ．4755.（2009江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ）A ．3181B ．3381C ．4881D ．5081. 6.（2009辽宁文）ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为A ．4π　B ．14π-C ．8π　D ．18π-∙A∙∙∙∙∙B CDE F7.（2009上海理）若事件E 与F 相互独立，且()()14P E P F ==，则()P E F I 的值等于A ．0 B ．116C ．14　D ．128．（2013广州）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程＋＝1表示焦点在x 轴上且离心率小x2a2y2b2于的椭圆的概率为( )32A ． B ． C ． D ．121532173231329．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1＋n －1(n≥2，n ∈N )，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a ，b ，c ，则满足集合{a ，b ，c}＝{a 1，a 2，a 3}(1≤a i ≤6，i ＝1，2，3)的概率是( )A ．B ．C ．D ．17213612411210.（2009湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。

概率高考试题选编1.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( D )()A 49()B 13()C 29()D 192.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（A ） A ．21π- B ．112π- C ．2πD ．1π3．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 2/3 （结果用最简分数表示）.4．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ A ）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小与4321x x x x 、、、取值有关 5．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为(C) A ．16 B ．13 C ．23 D ．456．右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ D ）A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000M P =7.甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到 6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（D ）A ．136 B ．19 C ．536 D ．16 8.（全国新课标理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ） 13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34 9.从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）=(B)（A ）18 （B ）14 （C ）25 （D ）1210.已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝©Ａ．0．6B ．0．4C ．0．3D ．0．211.如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。

概率与分布列归类目录【题型一】 超几何分布型分布列【题型二】二项分布型分布列【题型三】正态分布型【题型四】分布列均值与方差【题型五】竞技比赛型分布列【题型六】多人比赛竞技型分布列【题型七】递推数列型【题型八】三人传球递推数列型【题型九】导数计算型分布列最值【题型十】机器人跳棋模式求分布列【题型一】超几何分布型分布列总数为N的两类物品，其中一类为M件，从N中取n件恰含M中的m件，m=0,1,2⋯,k，其中k为M与n的较小者，Pξ=m=C m M C n-mN-MC n N，称ξ服从参数为N,M,n的超几何分布，记作ξ~H N,M,n，此时有公式Eξ=nM N。

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=C k M C n-kN-MC n N，k=m，m+1，m+2，⋯，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=min{n,M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布_.E(X)=np.1(2023·湖北·模拟预测)某区域中的物种P 拥有两个亚种(分别记为A 种和B 种).为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个物种P ，统计其中A 种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i 次试验中A 种的数目为随机变量X i (i =1,2,⋯,20).设该区域中A 种的数目为M ，B 种的数目为N ，每一次试验均相互独立.(1)求X 1的分布列；(2)记随机变量X =12020i =1X i.已知E (X i +X j )=E (X i )+E (X j )，D (X i +X j )=D (X i )+D (X j )；(ⅰ)证明：E (X )=E (X 1)，D (X )=120D (X 1)；(ⅱ)该小组完成所有试验后，得到X i 的实际取值分别为x i (i =1,2,⋯,20).数据x i (i =1,2,⋯,20)的平均值x=40，方差s 2=1.176.采用x和s 2分别代替E (X )和D (X )，给出M ，N 的估计值.【答案】(1)分布列见解析(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)M =1980，N =2971【分析】(1)根据条件，判断X i 服从超几何分布，再利用超几何分布的分布列即可求出结果；(2)(ⅰ)直接利用均值和方差的性质即可证明结果；(ⅱ)先利用第(ⅰ)中的结论，求出E (X )=100M M +N ，D (X )=5MN (M +N -100)(M +N )2(M +N -1)，再结合条件建立方程组，从而求出结果.【详解】(1)依题意，X i (i =1,2,⋯,20)均服从完全相同的超几何分布，故X 1的分布列为P (X 1=k )=C k M C 100-kN C 100M +Nk ∈N ∗,max 0,100-N ≤k ≤min 100,M .(2)(ⅰ)由题可知E (X)=E12020i =1X i =120E 20i =1X i=12020i =1E (X i ) =120×20E (X 1)=E (X 1)，D (X )=D 12020i =1X i=1202D 20i =1X i=120220i =1D (X i ) =1202×20D (X 1)=120D (X 1)，故E (X )=E (X 1)，D (X )=120D (X 1)(ⅱ)由(ⅰ)可知X 的均值E (X )=E (X 1)=100MM +N ．先计算X 1的方差D (X 1)=kk 2P (X 1=k ) -E 2(X 1)=k k (k -1)C k M C 100-k N C 100M +N +k k C k M C 100-k N C 100M +N -E 2(X 1)=M (M -1)k C k -2M -2C 100-k N C 100M +N +M kC k -1M -1C 100-kN C 100M +N -E 2(X 1)=M (M -1)C 100M +N C 100-2M +N -2+M C 100M +NC 100-1M +N -1-E 2(X 1)=100MN (M +N -100)(M +N )2(M +N -1)，所以D (X )=5MN (M +N -100)(M +N )2(M +N -1)．依题意有100MM +N=40，5MN M +N -100M +N 2M +N -1=1.176，解得M =1980.4，N =2970.6．所以可以估计M =1980，N =2971．2(23·24高三上·江苏南通·阶段练习)某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.【答案】(1)1556(2)分布列见解析，数学期望为98【分析】(1)由题意分析可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，进而结合组合数运算求解；(2)由题意可知X的可能取值为：0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望.【详解】(1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，所以P A=C23C11+C14C13C11C38=1556.(2)由题意可知X的可能取值为：0，1，2，3，则有：P X=0=C35C03C38=528,P X=1=C25C13C38=1528，P X=2=C15C23C38=1556,P X=3=C05C33C38=156，可得X的分布列为X0123P 52815281556156所以E X=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98.3(2024·广东广州·二模)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据x i,y i(i=1,2,⋯,20)，其中x i，和y i，分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量(单位：只)，并计算得∑20i=1x i-x2=80,∑20i=1y i-y2=9000,∑20i=1x i-xy i-y=800.(1)求样本x i,y i(i=1,2,⋯,20)的相关系数(精确到0.01)，并推断这种野生动物的数量y(单位：只)和植物覆盖面积x(单位：公顷)的相关程度；(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.附：相关系数r=∑ni=1x i-xy i-y∑ni=1x i-x2∑ni=1y i-y2,2≈1.414【答案】(1)0.94，相关性较强．(2)见解析【分析】(1)根据相关系数的计算公式即可代入求解，(2)根据超几何概率的概率公式求解概率，即可得分布列.【详解】(1)样本(x i，y i)(i=1，2，⋯，20)的相关系数为r=∑20i=1x i-xy i-y∑20i=1x i-x2∑20i=1y i-y2=80080×9000=223≈0.94．由于相关系数|r|∈[0.75,1]，则相关性很强，|r|的值越大，相关性越强．故r=0.94∈0.75,1，故相关性越强．(2)由题意得：X的可能取值为0，1，2，20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，所以P(X=0)=C212C220=66190=3395，P(X=1)=C18C112C220=96190=4895，P(X=2)=C28C220=28190=1495，所以X的分布列为：X012P 339548951495【题型二】二项分布型分布列若在一次实验中事件发生的概率为p0<p<1，则在n次独立重复实验中恰好发生k次概率pξ=k=C k n p k1-pn-k k=0,1,2,⋯,n，称ξ服从参数为n,p的二项分布，记作ξ~B n,p，Eξ=np，D i= npq.1(2024·云南昆明·一模)聊天机器人(chatterbot)是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X，事件X=k(k=0,1,⋯,8)的概率为P(X=k)，求当P(X=k)最大时k的值.【答案】(1)0.75(2)6【分析】(1)根据全概率公式即可求解，(2)根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.【详解】(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A ，“一次应答被采纳”为事件B ，由题意P (A )=0.1，P B A =0.8，P B A=0.3，则P (A )=1-P (A)=0.9，P B =P AB +P A B =P A P B A +P A P B A=0.9×0.8+0.1×0.3=0.75.(2)依题意，X ∼B 8,34，P (X =k )=C k 834 k148-k，当P (X =k )最大时，有P X =k ≥P X =k +1 ,P X =k ≥P X =k -1 ,即C k834 k148-k≥C k +1834k +114 7-k ,C k 834 k 14 8-k ≥C k -1834 k -1149-k ,解得：234≤k ≤274，k ∈N ，故当P (X =k )最大时，k =6.2(2024·全国·模拟预测)某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A ，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B ，求P B A ，P B ；(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区(可以重复)，分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1)P (B ∣A )=49，P (B )=25(2)分布列见解析；期望为85【分析】(1)利用条件概率的公式P (B ∣A )=P (AB )P (A )及全概率公式求解即可；(2)随机变量X 符合二项分布的两个特点“独立性”和“重复性”，故可建立二项分布模型，按二项分布求解即可.【详解】(1)由古典概型的计算公式可得，P (A )=610=35，P (AB )=6×410×9=415，由条件概率的计算公式得：P (B ∣A )=P (AB )P (A )=41535=49，同理P (A B )=4×310×9=215，则P (B )=P (AB )+P (A B )=415+215=25．(2)由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X ∼B 4,25，P(X=0)=C0435425 0=81625；P(X=1)=C1435 325 1=216625；P(X=2)=C2435225 2=216625；P(X=3)=C3435 125 3=96625；P(X=4)=C4435025 4=16625．所以X的分布列为X01234P 816252166252166259662516625X的数学期望E(X)=4×25=85．3(2023·广东肇庆·二模)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.(1)当n=6时，求P X≤2(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望E Y 和方差D Y 均存在，则对任意正实数a，有P Y-E Y<a≥1-D Ya2.根据该不等式可以对事件“Y-E Y<a”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值.【答案】(1)1132(2)1250【分析】(1)根据二项分布公式计算；(2)运用二项分布公式算出E X 和D X ，再根据题意求出X-E X<a中a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解.【详解】(1)由已知X∼B6,1 2，所以P X≤2=P X=0+P X=1+P X=2=C06126+C1612⋅12 5+C2612 2⋅12 4=164+664+1564=1132；(2)由已知X∼B n,12，所以E X =0.5n,D X =0.25n，若0.4≤Xn≤0.6，则0.4n≤X≤0.6n，即-0.1n≤X-0.5n≤0.1n，即X-0.5n≤0.1n.由切比雪夫不等式P X-0.5n≤0.1n≥1-0.25n (0.1n)2，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则1-0.25n(0.1n)2≥0.98，解得n≥1250，所以估计信号发射次数n的最小值为1250；综上，P X≤2=1132，估计信号发射次数n的最小值为1250.【题型三】正态分布型(1)若X 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为f x =12π⋅σe -x -μ22σ2，x ∈R (其中μ,σ是参数，且σ>0，-∞<μ<+∞)。

概率统计概率统计是是高考数学的热点之一，概率统计大题是新高考卷及多省市高考数学的必考内容。

回顾近几年的高考试题，主要考查古典概型、相互独立事件、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容，多与社会实际紧密结合，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用。

重点考察考生读取数据、分析数据和处理数据的能力。

题型一：离散型随机变量及其分布列题型二：超几何分布与二项分布题型三：均值与方差的实际应用题型四：正态分布与标准正态分布题型五：线性回归与非线性回归题型六：独立性检验及应用题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯公式题型八：概率与统计图表的综合应用题型九：概率与其他知识的交汇应用题型十：利用概率解决决策类问题题型一：离散型随机变量及其分布列1(2023·广东肇庆·高三广东肇庆中学校考阶段练习)为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：奖项组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值；(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；(3)根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望(在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。

)1(2024·四川成都·成都七中模拟预测)甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制．已知甲每局比赛获胜的概率为23，输掉的概率为13，每局的比赛结果互不影响．(1)求甲最终获胜的概率；(2)记总共的比赛局数为X，求X的分布列与数学期望．2(2024·云南德宏·高三统考期末)设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.题型二：超几何分布与二项分布2(2024·广东广州·广州市培正中学校考二模)某校高二(1)班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有“奖”字.(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数X的分布列、数学期望及方差；(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.1、独立重复试验与二项分布(1)定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1-p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．(2)定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．(3)列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．(4)求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．相关公式：已知X~B(n，p)，则P(X=k)=C k n p k(1-p)n-k(k=0,1,2，⋯，n)，E(X)=np，D(X)=np(1-p)．2、超几何分布的适用范围及本质(1)适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。

高中概率分布函数经典习题及答案一、二项分布1.某电视综艺节目每期设三道竞猜题，每题有两个选项，已知某观众对其中一题的正确率为60%，现在有一位观众对三道题均参与竞猜，求他正确全部竞猜的概率。

解：设他每道题的正确率为p，则每道题的错误率为1-p，他全部竞猜正确的概率为P(X=3)=[C(3,3)]*0.6^3*0.4^0=21.6% 所以，他全部竞猜正确的概率为21.6%。

2.在某加工厂中，总体不合格率为p，从全体产品中任意抽10件产品，以不合格件数X为随机变量，试求不合格件数X的概率分布、期望值及方差。

解：因为是抽10件产品，所以是一个10次伯努利试验，每一次试验中，产品合格的概率为1-p，不合格概率为p，所以该实验的概率分布可以用二项分布表示。

则不合格件数X的概率分布为P(X=k)=C(10,k)*p^k*(1-p)^(10-k)，其中k取值为0,1,2, (10)其期望值为E(X)=np=10p，方差为D(X)=np(1-p)=10p(1-p)。

二、泊松分布1.某货场在单位时间内平均有6辆货车到达，求：（1）在一个时间段内恰有3辆货车到达的概率。

（2）在一个时间段内不超过4辆货车到达的概率。

解：（1）设单位时间内X辆货车到达的概率服从泊松分布，则X~Poisson(6)，则恰有3辆货车到达的概率为P(X=3)=e^(-6)*6^3/3!=0.0504。

（2）P(X<=4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=e^(-6)*[6^0/0!+6^1/1!+6^2/2!+6^3/3!+6^4/4!]=0.8153。

三、指数分布1.规定20个装配工人在生产线上流水作业，平均每人处理一个产品需要10分钟，且加工时间服从指数分布，求：（1）生产线上平均每分钟加工的产品数量。

（2）任意一个人处理时间小于2分钟的概率。

（3）有3个人处理时间小于2分钟的概率。

解：（1）因为20个装配工人同时流水作业，所以生产线每分钟平均加工的产品数量为20/10=2件。

01 概率高考常考题型总结一．【学习目标】1．了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布．2．会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差，并能解决一些实际问题．3．理解超几何分布、二项分布的试验模型，会将某些特殊离散型随机变量的分布列、期望与方差转化化归为二项分布求解．二、【知识要点】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个表示，数字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取到的值，可以按一定____一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，而每一个值的概率为P(X＝x i)＝____(i＝1，2，…，n)．则称表为随机变量X的概率分布列．(4)分布列的两个性质：①____≤p i≤1，i＝1，2，…，n. ②p1＋p2＋…＋p n＝____．2．两点分布如果随机变量X的分布列为(其中0<p<1)，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k )＝C M k C N －M n －kC N n ，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称此分布列：X 01 … m PnNn MN M C C C 0--0 C M 1C N －M n －1C N n…C M m C N －M n－mC N n为超几何分布列．4．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量ξ的分布列为：ξ x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)均值：称Eξ＝ 为随机变量ξ的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差：称Dξ＝∑ni ＝1(x i －Eξ)2p i 为随机变量ξ的方差，它刻画了随机变量ξ与其均值Eξ的平均 ，其 为随机变量ξ的标准差．5．均值与方差的性质(1)E (aξ＋b )＝ ． (2)D (aξ＋b )＝ ．6．基本性质若ξ服从两点分布，则Eξ＝____，Dξ＝ ，若X 服从二项分布，即ξ～B (n ，p )，则Eξ＝____，Dξ＝ . 三．【题型汇总】 四．【题型方法规律总结】 （一）信息处理能力例1．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【解析】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=， 从而可以求得ABC ∆的面积为112S bc =， 黑色部分的面积为22221()()[()]2222c b a S bc πππ=⋅+⋅-⋅-2221()4442c b a bc π=+-+22211422c b a bc bc π+-=⋅+=，其余部分的面积为22311()2242a a S bc bc ππ=⋅-=-，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A.练习1．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．练习2．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解析】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确； 故选A.（二）离散型随机变量例2. 有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.【答案】（Ⅰ）0.9.（Ⅱ）分布列见解析；数学期望3.3；（Ⅲ）0.838【解析】（Ⅰ）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A ，B ， 则()0.5P A =，()0.2P B =，1()()P P A P AB =+10.50.5(10.2)0.9=-+⨯-=. 即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.（Ⅱ）该该学生参加考试的次数X 的可能取值为2，3，4(2)()()0.50.20.1P X P A P B ===⨯=；(3)()10.50.5P X P A ===-=；(4)()()0.50.80.4P X P A P B ===⨯=.所以X 的分布列为X2 3 4 P0.10.50.4()20.130.540.4 3.3E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为C ，D .()0.1P AB =，()0.90.60.90.486P C =⨯⨯=，()0.90.40.70.252P D =⨯⨯=，所以该学生被该校录取的概率为2()()()0.838P P AB P C P D =++=.练习1．PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物．我国PM2．5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2．5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的PM2．5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)(1)求中位数．(2)从这15天的数据中任取两天数据，记ξ表示抽到PM2．5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及数学期望．(3)以这15天的PM2．5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．【答案】(1) 45(2) 见解析(3) 240天 【解析】（1）由茎叶图可得中位数是45；（2）依据条件，ξ服从超几何分布：其中15N =，5M =，3n =，0的可能值为2、1、0，由2510215()k k C C P k C ξ-⋅==，得()1151021510121C C P C ξ⋅===，205102152(2)21C C P C ξ⋅===，所以ξ的分布列为：ξ 21η372212213102012721213E ξ∴=⨯+⨯+⨯=;（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为102153P ==， 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则2~360,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，23602403E η∴=⨯=，所以，一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级.练习2．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm ）：男生成绩在175cm 以上（包括175cm ）定义为“合格”，成绩在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“不合格”．女生成绩在165cm 以上（包括165cm ）定义为“合格”，成绩在165cm 以下（不包括165cm ）定义为“不合格”．(1)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；(2)在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；(3)若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X 表示其中男生的人数，写出X 的分布列，并求X 的数学期望． 【答案】(1)166.5cm (2) 4255P =(3)见解析 【解析】(1)由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为165168166.5cm 2+= (2)设“仅有两人的成绩合格”为事件A ，“有三人的成绩合格”为事件B ， 至少有两人的成绩是合格的概率：()()P P A P B +＝，又男生共12人，其中有8人合格，从而1248312()P A C ⋅=C C ，38312()P B C C =，所以4255P =．(3)因为合格的人共有18人，其中有女生有10人合格，男生有8人合格，依题意，X 的取值为0，1，2，则028102185(0)17C C P X C === ， 118102182081021880(1)15328(2)153C C P X C C C P X C ======，，因此，X 的分布列如下：580()012171531531539E X ∴=⨯+⨯+⨯==（人）． 或是，因为X 服从超几何分布，所以88()2189E X =⨯=（人）． 练习3．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件A 为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A 发生的概率；（2）用X 表示抽取的4人中文科女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）421；（2）见解析 【解析】（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以()11241541040421021C C C P A C ⋅==⋅=. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，()4073410106C C P X C ⋅===，()3173410112C C P X C ⋅===， ()22734103210C C P X C ⋅===，()13734101330C C P X C ⋅===，X 的分布列为1101236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（三）条件概率例3．某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.9，连续两天为优良的概率是0.75，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为（ ） A ．56B ．81100C ．23D ．13【答案】A【解析】设“某天的空气质量为优良”是事件A ，“随后一天的空气质量为优良”是事件B ， 由题意可得()0.9=P A ，()0.75=P AB ，所以某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为()0.755()()0.96P AB P B A P A ===.故选A练习1．2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。

t i me an dAl l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a re go od fo rs o m＝，ξtnisgnihtllAdnhe i rb ei n ga re go od fo rse队至多获胜4局的概率的最大值是多少？制，求的分布列和数学期望ξ1）设队至多获胜则=6局的概率是e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m 2.某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去三,,A B C 个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员．（1）求甲、乙同时去班听课的概率；A （2）设随机变量为这五名评估员去班听课的人数，求的分布列和数学期望．ξC ξan d的取值为=，=4××=，=4××=，e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re gP （ξ=4）=2××=，P （ξ=5）=4××=，P （ξ=8）=，∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+4×+5×+8×=3。

4.某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（1）恰有2人申请A 片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数X 的概率分布与期望.5.设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n∈S.(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n)”为事件A ，试列举A 包含的基本事件；(2)设ξ＝m 2，求ξ的概率分布表及其数学期望E(ξ)．解　(1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x≤3，1)＝＝sgnihtllAdnaemitaan dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m 8.袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程次后，袋中白球的个数记为．n n X （1）求随机变量的概率分布及数学期望；2X ()2E X （2）求随机变量的数学期望关于的表达式．n X )(n x E ne an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）1.开锁次数的数学期望和方差有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差．分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般．解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ．Al l t h i ng 的值；)agniee an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 5.（三项分布） 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为，解法二：10.76dsgnihtllAosrofdoogeragniebe an dAl l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a re go od fo rs o2.国家公务员考试，某单位已录用公务员5人，已安排到A,B,C三个科室工作，但甲必须安排在A科室，其余4人可以随机安排.（1）求每个科室安排至少1人至多2人的概率；（2）设安排在A科室的人数为随机变量X，求X的概率分布及数学期望和方差.tnisgnihtllAdnaee an dAl l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a re go od fo rs o m。

高考概率经典解答题及答案下面是一些经典的高考概率题目及其答案：1. 问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？答案：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

2. 问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？答案：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

因此，抽到一黑一白的概率为(5/12) * (7/11) + (7/12) * (5/11) = 35/66。

3. 问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？答案：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

其中，和为7的组合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)这6种组合。

因此，两次投掷的点数之和为7的概率为6/36，即1/6。

以上是一些经典的高考概率题目及其答案，希望对您有帮助。

高中数学概率大题(经典)高考大题概率训练1、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1，2，……6)。

求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率：(Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。

2、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。

首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫：若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。

再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。

令ξ表示走出迷宫所需的时间。

(1)求ξ的分布列:(2)求ξ的数学期望。

3、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球。

某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球(拿后放回)，记下标号。

若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分。

(1)求拿4次至少得2分的概率：(2)求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望。

4、质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。

将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。

(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率：(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望Eξ。

5、在2006年多哈娅运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决.已知比赛中，第一局日本女排先赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为35胜一局，在这个条件下，(1)求中国女排取胜的概率：(Ⅱ)设决赛中比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列及Eξ。

(两问均用分数作答)6、甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。

规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球：若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。

现甲进行第一次摸球。

(1)在前三次模球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况，(Ⅱ)在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。