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例4. 求解齐次线性方程组
x1 2 x 2 2 x 3 x 4 0 2 x1 x 2 2 x 3 2 x 4 0 x1 x 2 4 x 3 3 x 4 0
A 施行初等行变换：
.
解： 对系数矩阵
1 A 2 1 2 1 1 2 2 4
13
由此即得
5 x 2 x3 x4 , 1 3 4 x2 2 x3 x4 , 3
( x 3 , x 4 可任意取值
).
令 x 3 c 1 , x 4 c 2，把它写成通常的参数
形式
5 x 2c2 c2 , 1 3 4 x2 2c2 c2 , 3 x 3 c1 , x4 c2 ,
(1)
或用矩阵方程,方程组(1)表示为: Ax b 非齐次线性方程组 Axb 有解的判断与求解步骤： (1)对于非齐次线性方程组 把它的增广矩阵B=(A, b) 化成行阶梯形 从B的行阶梯形可同时看出R(A)和 R(B) 若R(A)R(B) 则方程组无解
2
(2)若R(A)R(B) 则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行 最简形 (3)设R(A)R(B) r 把行最简形中 r 个非零 行的首非零元所对应的未知数取作非自由未 知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并 令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B 的行最简形 即可写出含nr个参数的通解
1 1 r2 2 r1 2 0 r3 r1 3 0
2 3 3
2 6 6
Βιβλιοθήκη Baidu
1 4 4
12
1 0 0
2 3 3
2 6 6
1 4 4
1 r3 r2 0 r2 ( 3 ) 0
2 1 4
5 2 8
1 － 2 1
2 时 方 程 组 有 解 。
8
1 B ~ 0 0
2 1 0
5 2 0
1 1 0
1 0 0
0 1 0
1 2 0
－1 1 0
x1 1 x 3 x2 1 2 x3
3
例1. 求解非齐次线性方程组
解 对增广矩阵B进行初等行变换，
故方程组无解．
4
例2 求解非齐次方程组的通解
解 对增广矩阵B进行初等变换
5
故方程组有解，且有
6
所以方程组的通解为
7
x 1－ 2 x 2 5 x 3 1 例 3. 为 何 值 时 ， 线 性 方 程 组 3 x1 x 2 5 x 3 2 有 解 ， 2x 2x 1 3
解：
并求一般解。
2 1 0 5 5 2 1 2
1 B 3 2
1 0 0
1 0 0
2 5 4
2 1 0
5 10 8
5 2 0
5 － 2 1
1 2 1
1 0 0
第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组
第六讲 线性方程组的通解
一、非齐次线性方程组的通解 二、齐次线性方程组的通解
1
一、非齐次线性方程组的通解 对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
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5 x1 2 3 x2 2 4 . c1 c2 x 1 3 3 0 0 x4 1
14
小结:
1.齐次线形方程组的通解的求法. 2.非齐次线形方程组的通解的求法.
所以方程组的通解为
x1 1 1 x2 c 2 1 1 0 x 3
( c为 任 意 实 数 ）
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二、齐次线性方程组的通解 对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a x a x a x 0 m1 1 m2 2 mn n
2 1 0
2 2 0
1 4 3 0
即得与原方程组同解的方程组
5 x 2 x3 x4 0, 1 3 4 x2 2 x3 x4 0, 3
1 r1 2 r2 0 0
0 1 0
2 2 0
5 3 4 3 0
(2)
或用矩阵方程方程组(1)表示为: A x 0 齐次线性方程组 Ax0 有非零解的判断与求解步骤： (1)对于齐次线性方程组 把它的系数矩阵A 化成行阶 梯形 从A的行阶梯形可同时看出R(A) 若R(A)n , 则齐次线性方程组只有零解
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(2)若R(A) n 则进一步把A化成行最简形 (3)设R(A) r 把行最简形中 r 个非零行的首 非零元所对应的未知数取作非自由未知数 其 余nr个未知数取作自由未知数 并令自由未 知数分别等于c1 c2 cnr 由A的行最简 形 即可写出含nr个参数的通解
