第3课时勾股定理作图与计算
知识点 1 勾股定理与实数
1.小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后,又进一步进行练习:如图,首先画出数轴,设原点为点O,在数轴上距原点2个单位长度的位置确定一点A,然后过点A作AB⊥OA,且AB=3.以点O为圆心,OB长为半径作弧,与数轴右侧的交点记为点P,则点P表示的实数在()
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
2.如图所示,在正方形ODBC中,OC=2,OA=OB,则数轴上点A表示的数是.
知识点 2 勾股定理与网格
3.如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,每个小正方形的边长均为1,则网格上的△ABC的三边中,长度为无理数的边有()
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
4.如图,网格中每个小正方形的边长都为1,则△ABC的周长为()
A.16
B.12+4√2
C.7+7√2
D.5+11√2
5.如图,在6×6的正方形网格(每个小正方形的边长均为1 cm)中,网格线的交点称为格点,△ABC的顶点都在格点
处,则AC边上的高为cm.
6.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.请在图中画出线段AB=√2,CD=√5,EF=√13.
知识点 3 勾股定理与图形折叠
7.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B'处,则BE的长为.
8.如图,折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求CE的长.
9.为了比较√5+1与√10的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,点D在BC上,且BD=AC=1,通过计算可得√5+1√10.(填“>”“<”或“=”)
10.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,4),在y轴上存在一点P,使得△AOP是以OA为底边的等腰三角形,则点P的坐标是.
11.在平面直角坐标系中,分别描出点A(-3,0),B(2,0),C(1,3),再用线段将这三点顺次连接起来,得到△ABC,求△ABC的周长与面积.
12.如图是4张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长都是1,请在方格纸中分别画出符合下列要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合,具体要求如下:
(1)画一个三边长分别为3,√5,√8的三角形;
(2)画一个一条直角边长为4,面积为6的直角三角形;
(3)画一个底边长为4,面积为8的等腰三角形;
(4)画一个面积为5的等腰直角三角形.
13.图①是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图案是由图②中的一连串直角三角形演化而成的,其中
OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A 7A 8=1.
细心观察图形,认真分析下列各式,然后解答问题: (√1)2
+1=2,S 1=√1
2;(√2)2
+1=3,S 2=√2
2;(√3)2
+1=4,S 3=√3
2
,….
(1)请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律,并计算出OA 10的长;
(2)求出S 12+S 22+S 32+…+S 102
的值.
答案
1.C 解析： 由勾股定理得OB=√22+32=√13.∵9<13<16,∴3<√13<4,∴点P 表示的实数在3和4之间.
2.-2√2 解析： ∵四边形ODBC 是正方形,∴BC=OC=2,∠BCO=90°.根据勾股定理,得OB=2√2,∴点A 表示的数是
-2√2.
3.C 解析： 由勾股定理得AC=√32+42=5,是有理数,不是无理数;
BC=√22+32=√13,是无理数; AB=√12+52=√26,是无理数,
即网格上的△ABC 的三边中,长度为无理数的边有2条.故选C .
4.B 解析： 根据勾股定理可知AB=√32+42=5,BC=√42+42=4√2,则△ABC 的周长为
AB+BC+AC=5+4√2+7=12+4√2.
5.2√2 解析： 在Rt △ABC 中,AB=4 cm,BC=4 cm,
由勾股定理知,AC=√AB 2+BC 2=√42+42=4√2(cm). 设AC 边上的高为h cm,则1
2
AB ·BC=1
2
AC ·h ,
∴h=
AB ·BC AC
=4√
2=2√2.
故答案是2√2.
6.解:如图:
7.3
2 解析： BC=√AC 2-AB 2=4.
由折叠的性质,得BE=B'E ,AB=AB'.
设BE=x ,则B'E=x ,CE=4-x ,B'C=AC-AB'=AC-AB=2. 在Rt △B'EC 中,B'E 2
+B'C 2
=CE 2
, 即x 2
+22
=(4-x )2
, 解得x=3
2.
8.解:由题意,知BC=AD=AF=10 cm,DE=EF.
在Rt △ABF 中,BF=√AF 2-AB 2=√102-82=6(cm),
∴CF=BC -BF=4 cm .
设CE=x cm,则DE=EF=(8-x )cm .
