仰角俯角;坡度坡角

仰角俯角坡度
⑴:使学生了解仰角、俯角的概念，
复习：(1)勾股定理：
(2)锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系
仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水
平线下方的角叫做俯角．
、例题
例1热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
例22003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
例3如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
二用三角函数有关知识解决方位角问题
坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。

即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么
关系？
例4同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)。

考点24 解直角三角形一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sin A=cos B=ac，cos A=sin B=bc，tan A=ab；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一 求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k （有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k ．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．典例1 的值为 ABCD ．1【答案】C 【解析】把代入原式得：原式．故选C ． 2sin 451．如图，在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =2，则sin A 的值为A ．BCD考向二利用特殊角的三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.典例2 已知∠A 为锐角，且sin A，那么∠A等于 A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°2．已知α是锐角，sin α=cos60°，则α等于 A ．30° B ．45°C ．60°D ．不能确定考向三 解直角三角形的应用解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.23典例3 某山的山顶B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°，山高BC 为100米，点E 距山脚D 处150米，在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°，则观光塔AB 的高度是A ．50米B ．100米C ．125米D ．150米【答案】A【解析】如图，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥DC 于G ，在Rt △DEG 中，EG =12DE =75， ∴BF =BC -CF =BC -CE =100-75=25，EF，∵∠AEF =60°， ∴∠A =30°，∴AF，∴AB =AF -BF =50（米），故观光塔AB 的高度为50米， 故选A ．3．如图，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45︒方向上，测得树B 在北偏东36︒方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．1.414≈，sin360.588︒≈，cos360.809︒≈，tan360.727︒≈，cot36 1.376︒≈）1．如图，在△ABC 中，若∠C =90°，则A ．sin A =B ．sin A =C ．cos A =D ．cos A =2的值为 A．B ．C．D ．3．在中，，，若，则的长为 A ．B ．C ．D ．4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，，则cos A 等于 a c b c abba1sin45cos602︒-︒(112+(1121434Rt ABC △90C ∠=︒53B ∠=︒BC m =AB cos53m︒cos53m ⋅︒sin 53m ⋅︒tan 53m ⋅︒13AC AB =AB ．C ．D5．菱形ABCD 的对角线AC =10cm ，BD =6cm ，那么tan为 A ．B ．C D6．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A ，B，C 均为格点，则sin ∠BAC 为A B CD7．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =10，sin A =，则斜边上的高等于 A ．5B．4.8C ．4.6D ．48．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC 的值为A ．B ．C D ．19．如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是，堤坝高为，则迎水坡面的是A ．10．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B 处，海轮航行的距离AB 长是132B 5354353534AB 40m 80m B ．C 40m ．D ．A ．2海里B ．海里C ．海里D ．海里11．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB 的坡度为1∶2.4，AB 长为3.9米，钓竿AC 与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC 与钓鱼线CD 的夹角也是60°，则浮漂D 与河堤下端B≈1.732）A．1.732米B ．1.754米C ．1.766米D ．1.823米12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =，则sinB =___________．13．在△ABC 中，AB ，AC ，tan ∠B =，则BC 的长度为__________． 14．已知相邻的两根电线杆与高度相同，且相距．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为、，已知测角仪高，则电线杆的高度约为________．（精确到，参考数据：，，）2sin55︒2cos55︒2tan55︒12512AB CD 50m BC =E 45︒23︒EF 1.5m m 0.1m sin230.39︒≈cos230.92︒≈tan230.43︒≈15．已知：如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，对角线BD =8，tan ∠CBD =．（1）求边AB 的长；（2）求cos ∠BAE 的值．16．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD )靠墙摆放，高AD =80cm ，宽AB =48cm ，小强的身高为166cm ，其中下半身FG =100cm ，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK =80°)，身体前倾成125°角(∠EFG =125°)，脚与洗漱台的距离GC =15cm(点D ，C ，G ，K 在同一直线上)． （1）此时小强的头部点E 与地面DK 的距离是多少？（2）小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方，他应向前或后退多少？ (sin80°≈0.98，cos80°≈0.17≈1.41，结果精确到0.1cm)121．（2019•天津）的值等于 A ．1 B． C ．D ．22．（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sin α=，则∠α= A ．30° B ．45° C．60°D ．90°3．（2019·宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为A ．B ．C ．D ．A ．75 mB ．50 mC ．30 mD ．12 m5．（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是60sin 2231243343545AB CD 1.5m A 30oA ．B ．C ．D．6．（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米7．（2019·杭州）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB =a ，AD =b ，∠BCO =x ，则点A 到OC 的距离等于A ．a sin x +b sin xB ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin x55.5m 54m 19.5m 18m计算这座灯塔的高度CD （结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．11．（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC ，AD =600米，AD ⊥BC ，施工队站在点D 处看向B ，测得仰角为45°，再由D 走到E 处测量，DE ∥AC ，ED =500米，测得仰角为53°，求隧道BC 长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．45354314．（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）15．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB 长为6米，∠OAB =41.3°，若点C 为运行轨道的最高点（C ，O 的连线垂直于AB ），求点C 到弦AB 所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）16．（2019•贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP 为下水管道口直径，OB 为可绕转轴O 自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB =OP =100cm ，OA 为检修时阀门开启的位置，且OA =OB ．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB 位置时，在点A 处测得俯角∠CAB =67.5°，若此时点B 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位） =1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）3．【解析】如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，由题意，得45ACH ∠=︒，36BCH ∠=︒，200BC =， 在Rt △BHC 中，sin BH BCH BC ∠=，∴sin36200BH︒=， ∵sin360.588︒≈，∴117.6BH ≈， 又cos HC BCH BC ∠=，∴cos36200HC︒=， ∵cos360.809︒≈，∴161.8HC ≈， 在Rt △AHC 中，tan AHACH HC∠=， ∵45ACH ∠=︒，∴AH HC =，∴161.8AH ≈， 又AB AH BH =+，∴279.4AB ≈，∴279AB ≈（米）． 答：A 、B 之间的距离为279米．2．【答案】D【解析】原式=1–=，故选D ． 3．【答案】A 【解析】如图，∵cos53°=， ∴AB =，故选A ． 4．【答案】B【解析】如图所示：∵，∴cos A =．故选B ．5．【答案】A1122⨯1434BC AB cos53m︒13AC AB =1133ABAC AB AB ==【解析】如图，由题意得，AO ⊥BO ，AO =AC =5cm ，BO =BD =3cm ， 则tan=tan ∠OBA .故选A.6．【答案】D【解析】如图所示：连接BD ，交AC于点E ，由正方形的性质可得：BD ⊥AC ，故BD ，AB则sin ∠BAC =D ． 7．【答案】B【解析】如图所示，CD ⊥AB ，CD 即为斜边上的高，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =， ∴sin A ==，即BC =6， 12122B 53AO BO ==EB AB ==3510BC BC AB =35根据勾股定理得：AC=8，∵S △ABC =AC •BC =CD •AB ， ∴CD ==4．8， 故选B ．8．【答案】B【解析】∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4， 所以，tan ∠ABC =． 故选B ．9．【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1 ∵BC =40m ，∴AC m ，∴AB ，故选A ．10．【答案】C【解析】记灯塔P 的正北方向为射线PC 的方向.根据题意可知∠APC =55°，PC ∥AB ，AP =2海里. ∵PC ∥AB ，∠APC =55°，∴∠PAB =55°. ∵在Rt △ABP 中，AP =2海里，∠PAB =55°， ∴AB =AP ·cos ∠PAB =2cos55°（海里）. 故选C. 11．【答案】C【解析】如图，延长CA 交DB 延长线与点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，12126810AC BC AB ⋅⨯=34BC AC =则∠CED =60°， ∵AB 的坡比为1∶2.4，∴，则设AF =5x ，BF =12x ， ∵AB =3.9米，∴在直角△ABF 中，由勾股定理知，3.92=25x 2+144x2．解得x =．∴AF =5x =，BF =12x =，∴EF =， ∵∠C =∠CED =60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∵AC =4.5米，∴DE =CE =AC +AE则BD =DE ﹣EF ﹣BF≈1.766（米）， 答：浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为1.766米． 故选C ． 12．【答案】【解析】在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =，得，即， ∴AC =5．由勾股定理，得AB ．所以sin B =，故答案为：．13．【答案】5152.412AF BF ==31032185tan 60sin 60AF AFAE =====︒︒185513125125BC AC =12125AC =513AC AB =513【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 交于D ．∵， 设AD =x ，则BD =2x ， ∵AB，∴在△ABD 中，由勾股定理得（2=x2+（2x）2， 解得，x 1=2，x 2=﹣2（不符合，舍去），∴BD =4，同理，在△ACD 中，由勾股定理得，，∴BC =DC +BD =4+1=5， 故答案为：5． 14．【答案】【解析】过点F 作AB 、CD 的垂线，垂足为点G 、H ，如图所示：设AG =x m ，则有DH =x m ， ∵，∴tan23°=，解得x ≈15.0，∴AB =x +1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5 m ．故答案是：16.5． 15．【解析】（1）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO =BD =4， 1tan 2AD B BD ∠==1DC ===16.5tan45tan23AG AG BC +=︒︒50xx-12∵Rt △BOC 中，tan ∠CBD ==，∴OC =2， ∴AB =BC（2）∵AE ⊥BC ，∴S 菱形ABCD =BC ·AE =BD·AC ， ∵AC =2OC =4，∴=×8×4，∴AE ，∴BE∴cos ∠ABE =．16．【解析】（1）如图，过点F 作FN ⊥DK 于N ，过点E 作EM ⊥FN 于M ．∵EF +FG =166，FG =100，∴EF =66， ∵∠FGK =80°，∴FN =100sin80°≈98，∵∠EFG =125°，∴∠EFM =180°–125°–10°=45°， ∴FM =66cos45°=≈46.53，∴MN =FN +FM ≈144.5， ∴此时小强头部E 点与地面DK 相距约为144.5 cm ．（2）如图，过点E 作EP ⊥AB 于点P ，延长OB 交MN 于H ． ∵AB =48，O 为AB 中点，∴AO =BO =24，∵EM =66sin45°≈46.53， ∴PH ≈46.53，∵GN =100cos80°≈17，CG =15，∴OH =24+15+17=56，OP =OH –PH =56–46.53=9.47≈9.5， ∴他应向前9.5cm ．OC OB 121212BE AB 351．【答案】B【解析】锐角三角函数计算，=2×=，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=，∴∠α=30°．故选A ． 3．【答案】D【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC =90°，∴AC ．∴sin ∠BAC ==．故选D ．5．【答案】C【解析】过作交于，中，， ，，故选C ．6．【答案】C【解析】如图，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，︒60sin 223312CD AC 45D DE AB ⊥AB E DE BC ==Rt ADE △tan 30AEDE=o18(m)AE ∴==18 1.519.5(m)AB ∴=+=C7．【答案】D【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cos x+b•sin x，故选D．答：炎帝塑像DE的高度约为51m．13．【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．14．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，16．【解析】（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围为：90°≤∠POB ≤0°；（2）如图，∵∠CAB =67.5°，∴∠BAO =22.5°， ∵OA =OB ，∴∠BAO =∠ABO =22.5°，∴∠BOP =45°， ∵OB =100，∴OE OB ， ∴PE =OP –OE ≈29.5cm ， 答：此时下水道内水的深度约为29.5cm ．。

一、知识概述1、仰角、俯角仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图所示．说明：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角．2、坡角和坡度坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示．则．如图所示说明：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．(2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形．3、象限角象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，北偏西60°，南偏西80°，如：东南方向，指的是南偏东45°角的方向上．如图所示．二、重点难点疑点突破1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了．一般有以下三个步骤：(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；(2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．2、在学习中应注意两个转化(1)把实际问题转化成数学问题这个转化分两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，并赋予字母；二是将已知条件转化成示意图中的边或角．(2)把数学问题转化成解直角三角形问题．如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答案并注明单位．三、典型例题讲解1、测量河宽例1、如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：(1)列出你测量所使用的测量工具；(2)画出测量的示意图，写出测量的步骤；(3)用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离．分析：这是一个实际问题，要求B到CD的距离，可转化为直角三角形，然后在两个直角三角形中，可分别用含有AB的式子表示AC和AD，而AC＋AD=m，可运用解方程的方法求出AB即可．解：(1)测角器、尺子；(2)测量示意图如下图所示；测量步骤：①在公路上取两点C，D，使∠BCD，∠BDC为锐角；②用测角器测出∠BCD=α，∠BDC=β；③用尺子测得CD的长，记为m米；④计算求值．(3)解：设B到CD的距离为x米，作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x=CAtanα，点评：运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)．2、仰角、俯角问题例2、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB.在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°（如图）.问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？分析：解决测量问题要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语.要考查距离B点8米远的保护物是否在危险区内，关键的一点是要测算树AB的高度.解：过点C作CE⊥AB，垂足为E.在Rt△CBE中，在Rt△CAE中，故AB=AE＋BE=≈4×1.73=6.92（米）＜8（米）.因此可判断该保护物不在危险区内.3、坡角、坡度(坡比)例3、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？分析：首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角形的问题．点评：(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称．(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形．(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边．4、象限角例4、如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示．船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠CAB=90°－60°=30°，∠ABC=90°＋30°=120°，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题．解：根据题设可知△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=180°-30°-120°=30°,AB=BC=8，作CD⊥AB于D．∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度．在Rt△CBD中，BC=8，∠CBD=60°，点评：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障．5、开放探究题例5、(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°．(1)请问1号救生员的做法是否合理？(2)若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点B？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，)分析：(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断．(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间，再作判断．点评：掌握探究题的探究方法非常重要，本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题，如何准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键．。

:i h l=hlα基础知识2解直角三角形的应用举例1.仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

2.坡度与坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα== 3.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）.【题型1】仰角与俯角如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝15m ，CD ＝20m ，AB 和CD 之间有一观景池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）.（参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）【变式训练】1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处，测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）.2.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）.（参考数据：≈1.414，≈1.732）3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．4.如图，曦曦在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．【题型2】坡度与坡角如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是多少？【变式训练】1.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？2.如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin35°≈ 0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈ 0.70)3.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比).4.如图，曦曦在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ，已知OA=100米，山坡坡度为i=1:2， 且O 、A 、B 在同一条直线上。

锐角三角函数最新模拟押题预测40道(俯角仰角、方向角、坡度、解三角形)类型一、锐角三角函数的应用：俯角仰角问题1.(2023·河南安阳·统考一模)某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊AB的高度．如图，在C处测得字坊顶端B的仰角为37°，然后沿CA方向前进6.3m到达点D处，测得字坊顶端B的仰角为45°，求字坊AB的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，2≈1.41)2.(2023·山东菏泽·一模)某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．(结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80)3.(2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考一模)如图，为了测量校园内旗杆顶端到地面的高度AD，九年级数学应用实践小组了解到国旗的宽度AB=1.6m，小组同学在地面上的C处测旗杆上国旗A、B 两点的仰角，测得∠ACD=48.5°，∠BCD=45.0°，求旗杆顶端到地面高度AD．(结果精确到0.1)参考数据：(sin48.5°=0.75，cos48.5°=0.66，tan48.5°=1.13)4.(2023·黑龙江绥化·校考一模)小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小李登上斜坡CF的D处测得无人机A的仰角为31°．若小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG=3米(点E，G，C，B在同一水平线上)．(1)小王和小李两人之间的距离CD；(2)此时无人机的高度AB．(sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1米)5.(2023·河南新乡·校联考一模)如图是人民英雄纪念碑，它位于北京天安门广场中心，是为了纪念在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄，碑体正面是毛泽东亲笔题词“人民英雄永垂不朽”八个鎏金大字．右图是纪念碑的示意图，小丽在A处测得碑顶D的仰角为30°，沿纪念碑方向前进37.1m后，在B处测得碑顶D的仰角为53°(点A，B，D，E，F在同一平面内，且点A，B，E，F在同一水平线上)求纪念碑的高度．(结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73，sin53°≈45；cos53°≈35，tan53°≈43)6.(2023·陕西宝鸡·统考一模)如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25米，求楼下公园的湖宽BD．(结果精确到1米，参考数据:sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，tan65°≈2.14)7.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，西安市某居民楼南向的窗户用AB表示，其高度为2.5米(A，B，D三点共线)，此地一年冬至正午时刻太阳光与地平面的最小夹角α为32.3°，一年夏至正午时刻太阳光与地平面的最大夹角β为79.2°，并且在冬至的正午时刻阳光刚好全部射入窗户，求遮阳棚中BD的高(结果精确到0.1m，参考数据：cos79.2°≈0.2，tan79.2°≈5.2，cos32.3°≈0.8，tan32.3°≈0.6)．8.(2023·江苏淮安·统考一模)如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度(结果保留整数，参考数据：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710，3≈1.7)．9.(2023·广东深圳·校考模拟预测)消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC(20米≤AC≤30米)是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动张角∠CAE90°≤∠CAE≤150°，转动点A距离地面的高度AE为4米．(1)当起重臂AC的长度为24米，张角∠CAE=120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为米．(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由(参考数据：3≈1.7)(提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度)10.(2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模)大雁塔是古城西安的标志性建筑(如图1)．某学习小组为测量大雁塔的高度，在梯步A处(如图2)测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7:24的斜坡AE前行100米到达平台E处，测得此时楼顶D的仰角为60°，请同学们根据学习小组提供的数据求大雁塔的高度DC(结果保留根号)．类型二：锐角三角函数的应用：方向角问题11.(2023·河南驻马店·统考一模)在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372km，此时，我方军舰沿着AC方向以30km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？(参考数据：3≈1.73，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)12.(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，一条高速公路在城市A的东偏北30°方向直线延伸，县城M在城市A东偏北60°方向上，测绘员从A沿高速公路前行4000米到达C，测得县城M位于C的北偏西60°方向上．现要设计一条从县城M进入高速公路的路线，请在高速公路上寻找连接点N，使修建到县城M的道路最短，试确定N点的位置并求出最短路线长？(结果取整数，3≈1.732)13.(2023·福建厦门·厦门一中校考一模)如图，一艘海轮自西向东航行，在点B处时测得海岛A位于北偏东67°，航行12海里到达C点，又测得小岛A在北偏东45°方向上．已知位于海岛A的周围8海里内有暗礁，如果海轮不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tm67°≈125)14.(2023·山西晋中·统考一模)通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积为S△ABC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ABD中，∵sin B=ADAB∴AD=AB⋅sin B∴S△ABC=12BC⋅AD=12BC⋅AB⋅sin B=12ac sin B同理可得，S△ABC=12bc sin A，S△ABC=12ba sin C即S△ABC=12bc sin A=12ac sin B=12ba sin C⋯⋯⋯⋯⋯①由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．又∵abc≠0∴将等式12bc sin A=12ac sin B=12ba sin C两边同除以12abc，得，sin Aa=sin Bb=sin Cc∴a sin A =bsin B=csin C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．理解应用：如图，甲船以302海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D 处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距102海里．(1)求：△ADC的面积；(2)求：乙船航行的速度(结果保留根号)．15.(2023·安徽滁州·校考一模)在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为O0，0、B(12，0)、C(12，16)，由三个观测点确定的圆形区域是“利剑-2016”中国多军种军事演习区，如图所示．(1)求圆形区域的面积．(2)某时刻海面上出现一艘可疑船A，在观测点O测得A位于北偏东45°方向上，同时在观测点B测得A位于北偏东30°方向上，求观测点B到可疑船A的距离，结果保留根号；(3)当可疑船A由(2)中的位置向正西方向航行时，是否会进入演习区？请通过计算解释．16.(2023·广西河池·校考一模)如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)？(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行206nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发到达事故地点的最短航程BC是多少nmile(结果保留根号)？17.(2023·湖南湘潭·湘潭县云龙中学校考一模)如图，AB是湘江段江北岸滨江路一段，长度为2km，C为南岸一渡口．为了解决两岸交通困难，在渡口C处架桥，CD⊥AB垂足为点D．经测量点C在A点的东偏南45°方向，在B点的西偏南60°方向．问：桥长CD为多少km？(结果精确到0.01，参考数据：2≈1.414，3≈1.732．)18.(2023·浙江嘉兴·校考一模)小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，(点A、B、C、D在同一平面内)(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．(结果保留根号)19.(2023·新疆·统考一模)如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向，求此时货轮与A港口的距离(结果取整数)．(参考数据：sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192,2≈1.414)20.(2023·河南洛阳·统考一模)如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度(精确到个位)；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)类型三：锐角三角函数的应用：坡度坡角问题21.(2023·天津武清·校考模拟预测)如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅AB，小明站在位于建筑物正前方的台阶D点处测得条幅顶端A的仰角为36.5°，朝着条幅的方向走到台阶下的E点处，测得条幅顶端A的仰角为64°，已知台阶DE的坡度为1:2，DC=2米，则条幅AB的长度为多少米．(结果精确到0.1米，参考数据sin36.5°≈0.6，tan36.5°≈0.75，sin64°≈0.9，tan64°≈2.1)22.(2023·山西忻州·统考一模)绵山是中国清明节(寒食节)的发源地，相传春秋时期晋国介子推携母隐居被焚在山上．绵山入口处有一座雄伟高大的介子推铜像，当地某校的综合与实践小组的同学们想要测出这座铜像有多高．他们先制订了测量方案，随后又进行了实地测量．如图，铜像MN建在坡比为1∶2.4的楼梯BM顶端，同学们在A处测得铜像顶点N的仰角为30°，然后沿着AC方向走了12m到达B处，此时在B处测得铜像顶点N的仰角为63.4°，其中点A，B，C，D，M，N均在同一平面内．请根据以上数据求出铜像MN的高度．(结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00)23.(2023·陕西榆林·校考一模)延安宝塔，是革命圣地延安的标志和象征，融历史文物和革命遗址为一脉，集人文景观和自然景观为一体．某数学兴趣小组在确保无安全隐患的情况下，开展了测量延安宝塔的高度的实践活动，具体过程如下：如图，CN是坡度i=3:4的斜坡，CN的长为15米，BC=32米．MN是测角仪，长为2米，从点M测得该塔顶部A处的仰角为37°，已知MN⊥BC，AB⊥BC，求该塔AB的高度．(参考数据：tan37°≈3 4 )24.(2023·陕西西安·校考三模)开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚P处，测得铁塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走35m到达D处，测得铁塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i=3:4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME(结果精确到1m，参考数据：3≈1.7)．25.(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为8米，落在广告牌上的影子CD的长为5米，求铁塔AB的高．(AB、CD均与水平面垂直，结果保留根号)26.(2023·河北衡水·校考二模)如图，有两个长度相同的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．(1)求证：△ABC≅△DEF；(2)若滑梯的长度BC=10米，DE=8米，分别求出滑梯BC与EF的坡度；(3)在(2)的条件下，由于EF太陡，在保持EF长不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之向右移动．①若点E向下移动的距离为1米，求滑梯EF底端F向右移动的距离；②在移动的过程中，直接写出△DEF面积的最大值．27.(2023·江苏宿迁·统考一模)如图，梯形ABCD是某水坝的横截面示意图，其中AB=CD，坝顶BC=2m，坝高CH=5m，迎水坡AB的坡度为i=1:1．(1)求坝底AD的长；(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽0.5m，背水坡坡角改为α=30°．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？(参考数据：π≈3.14,2≈1.41,3≈1.73；结果精确到0.1m3)28.(2023·上海崇明·统考一模)如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i=1:43的斜坡CD，如果高为3米的标尺EF竖立地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．(1)当影子全在水平地面BC上(图1)，求标尺与路灯间的距离；(2)当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上(图2)，求此时标尺与路灯间的距离为多少米？29.(2023·海南儋州·统考一模)如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为i=1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．(1)求坡顶A到地面PQ的距离；(2)计算古塔BC的高度(结果精确到1米)．(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4)30.(2023·山东济南·一模)在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB的高度，如图，楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1∶3，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为45°，假山坡脚C与楼房水平距离BC=30米，与亭子距离CE=40米．(1)求点E距水平地面BC的高度；(2)求楼房AB的高．(结果精确到整数，参考数据2≈1.414，3≈1.732)类型四、锐角三角函数与解直角三角形31.(2023·福建漳州·统考一模)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，作BF⊥BD交AC延长线于点F．(1)求证：△OBE∽△OFB；(2)求证：OC⋅CF=EC⋅OF．32.(2023·河南安阳·统考一模)如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD是⊙O的直径，E是DA长线上一点，且∠CED=∠CAB．(1)判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若DE=35，tan B=12，求线段CE的长．33.(2023·安徽安庆·统考一模)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14,AD=12,tan∠BAD=34，求cos C的值．34.(2023·浙江舟山·校联考一模)如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上的一动点(点E不与点A，B重合)，连接DE，过点C作CF⊥DE，垂足为F．(1)求证：△ADE∽△FCD；(2)若AD=6,tan∠DCF=13，求AE的长．35.(2023·上海静安·统考一模)如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cos B=513，AB=13,BC=21．(1)求AC的长；(2)求∠BAC的正弦值．36.(2023·广东深圳·统考一模)(1)如图1，纸片▱ABCD中，AD=10，S▱ABCD=60，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为．(从以下选项中选取)A．正方形 B．菱形 C．矩形(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=8，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②连接DF，求sin∠ADF的值．37.(2023·广东梅州·校考模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=3，BC的延长线与AD的延长线交于点E．(1)若∠A=60°，求BC的长；(2)若sin E=35，求AD的长．38.(2023·上海崇明·统考一模)如图，D是△ABC边上的一点，CD=2AD,AE⊥BC，垂足为点E，若AE=9，sin∠CBD=34．(1)求BD的长；(2)若BD=CD，求tan∠BAE的值．39.(2023·上海浦东新·统考一模)如图，在Rt△EAC中，∠EAC=90°，∠E=45°，点B在边EC上，BD⊥AC，垂足为D，点F在BD延长线上，∠FAC=∠EAB，BF=5，tan∠AFB=34．求：(1)AD的长；(2)cot∠DCF的值．40.(2023·浙江湖州·统考一模)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H．(1)当AB<AD时，①求证：BE=CD，②猜想∠BDF的度数，并说明理由．=k时，求tan∠CDF的值(用含k的代数式表示)．(2)若ABAD。

解直角三角形的应用一、仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．（2021黄浦一模13）如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为度．（2021嘉定一模11）如图3，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30︒，那么∠的度数为 °APB图3（2021浦东新区一模10）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是度．（2021普陀一模15）如图5，小明在教学楼AB的楼顶A测得：对面实验大楼CD的顶端C的仰角为α，底部D的俯角为β．如果教学楼AB的高度为m米，那么两栋教学楼的高度差CH为米．12（2021青浦一模14）小明在楼上点A 处看到楼下点B 处的小丽的俯角是32°，那么点B 处的小丽看点A处的小明的仰角是 度．（2021徐汇一模13）已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为︒45，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为︒30，那么甲楼高是____米．（2021杨浦一模3）如果小丽在楼上点A 处看到楼下点B 处小明的俯角是35°，那么点B 处小明看点A 处小丽的仰角是（ ）（A ）35°； （B ）45°； （C ）55°；（D ）65°．二、坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度h 和水平距离l 的比叫坡度(或坡比)，即 tan h i l α==，坡面与水平面的夹角α叫坡角．（2021宝山一模17）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为 米.图5 A BCD H3（2021崇明一模11）如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度1:3i =，那么这段斜坡的铅垂高度为 米． （2021奉贤一模14）已知某斜坡的坡度=i 1:3，当铅垂高度为3米时，水平宽度为 米． （2021嘉定一模12）如果一个斜坡的坡度=1:3i ，那么该斜坡的坡角α的度数为 ° （2021徐汇一模12）在坡度为3:1=i 的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是____________米．（2021虹口一模5）如图1，传送带和地面所成斜坡的坡度1:2.4i =，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（ ）A ．10米；B ．24米；C ．25米；D ．26米．（2021杨浦一模9）如果小明沿着坡度为1︰2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了__________米．（第17题） 图1传送带4（2021长宁一模12）一辆汽车沿着坡度i =50米，那么它距离地面的垂直高度下降了_______米．三、方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90︒的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60︒方向的一个角．（2021闵行一模14）在港口A 的南偏东52︒方向有一座小岛B ，那么从小岛B 观察港口A 的方向是__________．（2021徐汇一模4）已知海面上一艘货轮A 在灯塔B 的北偏东︒30方向，海监船C 在灯塔B 的正东方向5海里处，此时海监船C 发现货轮A 在它的正北方向，那么海监船C 与货轮A 的距离是（ ）（A ）10海里； （B ）35海里； （C ）5海里； （D ）335海里． （2021松江一模5）如图，一艘船从A 处向北偏东30°的方向行驶10千米到B 处，再从B 处向正西方向行驶20千米到C 处，这时这艘船与A 的距离（ ）（A ）15千米； （B ）10千米； （C） （D）5西 东 北A （第5题图）C B。

仰角 视线水平线视线俯角铅垂线解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．1、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．解直角三角形的应用内容分析知识结构模块一：仰角与俯角知识精讲例题解析ABCD【例1】如图，90C DEB∠=∠=︒，FB// AC，从A看D的仰角是______；从B看D 的俯角是______；从A看B的______角是______；从D看B的______角是______．【例2】升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示）【例3】如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为α，测得点D的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（）A．a米B．（tana α）米C．tanaα米D．(tan tan)aαβ-米【例4】如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号）ABC D ABCDE 北北偏东30°北偏西70°30°70° 45° 50°【例5】 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m ，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ）【例6】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距8米的A 、B两处测得点D 和点C 的仰角为45°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE = 15米，求这块广告牌的高度．（取3 1.73 ，计算结果保留整数）1、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．模块二：方向角知识精讲步同级年九4 / 13ABC 东 南西 北【例7】 如果由点A 测得点B 在北偏东15°的方向，则由B 测点A 的方向为（）A ．北偏东15°B ．北偏西75°C ．南偏西15°D ．南偏东75°【例8】 如图，小明从A 地沿北偏东30°方向走1003米到B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地，此时小明离A 地_____米．【例9】 如图，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（）A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里【例10】 在位于O 处某海防哨所的北偏东60°相距6方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B 处，则A 、B 间的距离是______海里．（精确到0.1海里，2 1.414≈，3 1.732≈）例题解析北 北 ABC【例11】 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，请问，此时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？（精确到0.01海里，cos250.91︒≈，sin340.559︒≈）【例12】 如图，A 、B 为湖滨的两个景点，C 为湖心一个景点．景点B 在景点C 的正东方向，从景点A 看，景点B 在北偏东75°方向，景点C 在北偏东30°方向．一游客自景点A 驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C ，之后又以同样的速度驶向景点B ，该游客从景点C 到景点B 需用多长时间？（tan75 3.732︒≈，精确到1分）【例13】 如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B 是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．东南西北ABP步同级年九6/ 13ABCD EF环城路和平路文化路中山路【例14】如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A、B、C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB = 2千米，15DAC∠=︒．（1）求B、D之间的距离；（2）求C、D之间的距离．模块三：坡度（坡比）知识精讲αhlABCDA BC 1、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi lα==．【例15】 某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高______米．【例16】 某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______．【例17】 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2米，则两树间的坡面距离AB 为（） A ．4米B ．3米C ．433米 D ．43米【例18】 如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，B ∠的正切值为43，则它的里口宽BC = ______．【例19】 河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD 的坡度为1 : 3，斜坡例题解析A BCDAB CDABCDCB 的坡角为45°，则河堤横断面的面积为______平方米．【例20】 如图，一个大坝的横断面是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB = 3米，经测量背水坡AD = 20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i = 1 : 0.6，求迎水坡BC 的坡角C ∠的余切值和坝底宽CD ．【例21】 如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？【例22】 如图，小杰发现垂直地面的旗杆AB 的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC 和CD ，经测量得BC =10米，CD =10米，斜坡CD 的坡度为1:3i =，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米，求旗杆AB 的长度．（答案3.2≈）【例23】 如图，斜坡AP 的坡度为1:2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求： （1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度．（结果精确到1米）（参考数据：sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈）A B CDE【习题1】某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米．【习题2】一船在海上点B处沿南偏东10°方向航行到点C处，这时在小岛A测得点C在南偏西80°方向，则=ACB∠______．【习题3】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度为______．【习题4】如图，已知楼房AB高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD = 50米，塔高DC为1505033+米，下列结论中，正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°随堂检测DABCNM A BCD【习题5】A 港在B 地的正南千米处，一艘轮船由A 港开出向西航行，某人第一次在B 处望见该船在南偏西30°，半小时后，有望见该船在南偏西60°，则该船速度为______．【习题6】如图，一架飞机在高度为5千米的点A 时，测得前方的山顶D 的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B 时，又测得山顶D 的俯角为45°，求这座山的高度DN ．（结果可保留根号）【习题7】【习题8】小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东15°方向，求小岛B 离深水港口A 的距离．(精确到0.1千米)1.412.45≈，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【习题9】 如图，以水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB 的坡度1:3AB i =，斜坡CD 的坡度1:2.5CD i =． （1）求斜坡AB 和坝底AD 的长度；（2）若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB 的坡度AB i 由原来的1 : 3变为1 : 5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米．ABM 北东【作业1】身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300米，250米，200米，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高【作业2】小明在东西方向是沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为______米．【作业3】某人从地面沿着坡度1:3i 的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．【作业4】如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°的方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°的方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（）A ．14海里B ．142海里C ．7海里D ．72海里课后作业ABCDEAB CDNMAB CDNME FABCD【作业5】如图，在同一地面上有甲、乙两幢楼AB、CD，甲楼AB高10米，从甲楼AB的楼顶测得乙楼CD的楼顶C的仰角为30°，从乙楼CD的楼顶C拉下的节日庆典条幅CE与地面所成的角为60°，这时条幅与地面的固定点E到甲楼B 的距离为24米，求条幅CE的长度．【作业6】如图，水坝的横截面是梯形ABCD，上底AD=4米，坝高3AM DN==米，斜坡AB的坡比1i=，斜坡DC的坡比21:1i=．（1）求坝底BC的长；（结果保留根号）（2）为了增加水坝的抗洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底2EF=米，求水坝增加的高度．（精确到0.11.73≈）【作业7】如图，某人在建筑物AB的顶部测得一烟囱CD的顶端C的仰角为45°，测得点C在湖中的倒影C1的俯角为60°，已知AB = 20米，求烟囱CD的高．ABC D E FGH【作业8】如图，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD 和BC 的坡度为1：0.6，现在测得放水前的水面宽EF 为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米，求放水后水面上升的高度．。

专题1.10 利用三角函数测高【学习目标】1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题．【要点梳理】解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键．解这类问题的一般过程是：（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型．（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．（3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形．（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解．拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：（1）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示．坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成＝∶的形式．（2）仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图．（3）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图∶中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°．（4）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图∶中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°．特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°．特别说明：1.解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图．2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解．3.解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解．【典型例题】类型一、直接求三角形的高1．数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB ＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53， cos28°≈0.88，sin28°≈0.47）举一反三：【变式1】2．如图，为测量建筑物CD 的高度，在点A 测得建筑物顶部D 点的仰角是22︒，再向建筑物CD 前进30米到达B 点，测得建筑物顶部D 点的仰角为58︒（A ，B ，C 在同一直线上），求建筑物CD 的高度．（结果保留整数.参考数据：sin 220.37cos 220.93tan 220.40sin580.85cos580.53tan58 1.60︒︒︒︒︒︒≈≈≈≈≈≈，，，，，）【变式2】3．如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB ）的高度：将一根5米高的标杆（CD ）竖在某一位置，有一名同学站在一处与标杆、旗杆成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学离标杆3米，离旗杆30米．如果站立的同学的眼睛距地面（EF ）1.6米，求旗杆的高度AB ．【变式3】4．“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A 点测得顶端D 的仰角∶DAC=30°，向前走了46米到达B 点后，在B 点测得顶端D 的仰角∶DBC=45°．求永定楼的高度CD ．（结果保留根号）类型二、由两个直角三角形求高5．在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪（AE和BD）测得大树顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离()AB为20m，已知点A，E，F，C，B，D在同一竖直平面内，且FC AB⊥，求大树的高度CF．（结果保留根号）举一反三：【变式1】6．如图∶，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图∶中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∶MBC＝37°．从水平地面点D处看点C的仰角∶ADC＝45°，从点E处看点B的仰角∶AEB＝53°，且DE＝2.4米．（1）求点C到墙壁AM的距离；（2）求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【变式2】7．数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米，求旗杆AB的高度．【变式3】8．如图，在坡角为20°的山坡上有一铁塔AB、其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD＝10米，落在广告牌上的影子CD＝5米，已知AB，CD均与水平面垂直，请根据相关测量信息，求铁塔AB的高．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）类型三、由多个直角三角形求高9．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面旋转的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度为多少米？举一反三：【变式1】10．如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1．求楼房AB高度．（结果保留根式）【变式2】11．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度AB=10米，AE=21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，cos53°≈0.60）【变式3】12．如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75≈3.16）（1）观景台的高度CE为米（结果保留准确值）；（2）求瀑布的落差AB （结果保留整数）．13．2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A 点出发（AB=1000米），沿俯角为30︒的方向直线飞行1400米到达D 点，然后打开降落伞沿俯角为60︒的方向降落到地面上的C 点，求该选手飞行的水平距离BC .举一反三：【变式1】 14．如图，从点A 看一山坡上的电线杆PQ ，观测杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6 m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ 的高度(精确到0.1 m )．【变式2】15．图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜500吨，铁2000吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在B 处测得圣像顶A 的仰角为52.8，在点E 处测得圣像顶A 的仰角为63.4︒．已知AC BC ⊥于点,C EG BC ⊥于点,//,30G EF BC BG =米，19FC =米，求圣像的高度AF ． (结果保留整数．参考数据：52.80.80,52.80.60sin cos ≈︒≈，52.8 1.32,63.40.89tan sin ︒≈︒≈，63.40.45,63.4 2.00cos tan ≈︒≈)【变式3】i=的山坡CF，点C与16．如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度1:2点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45︒，然后沿坡面CF上行了（即CD=︒≈，到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为26.7︒．（参考数据：sin26.70.45︒≈）︒≈，tan26.70.50cos26.70.89（1）求点C到点D的水平距离CE的长；（2）求楼AB的高度．参考答案：1．55米【分析】延长BE 交CD 于点G ，交CF 于点H ，设CH ＝xm ，利用锐角三角函数的含义分别表示,GH BH ，再列方程求解即可．【详解】解：延长BE 交CD 于点G ，交CF 于点H ，在Rt DEG △中，∶EDG ＝45°，∶EG ＝DE ＝10m ．∶EGD ＝45°设CH ＝xm ，在Rt CGH 中，CGH ∠=∶EGD ＝45°，∶GH ＝xm在Rt CBH 中，∶CBH ＝28°，∶tan∶CBH ＝CH BH ， 即：3010x x++＝tan28° 解这个方程得：x≈45.1，经检验：x≈45.1符合题意．∶灯塔的高CF ＝55.1≈55（m ）答：灯塔的高为55米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题的关键．2．CD 的高度是16米．【分析】设建筑物CD 的高度为xm ，在Rt∶CBD 中，由于∶CBD=58°，用含x 的代数式表示BC ，在Rt∶ACD 中，利用22°的锐角三角函数求出x ，即可得到答案．【详解】解：设建筑物CD 的高度为xm ； 由tan 58,DC BC︒=,1.60x BC ∴= 由tan 22,DC AC︒= 0.40,DC AC ∴=0.40(30)1.60x x ∴=+ 解得：16.x =答：CD 的高度是16米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的含义及应用是解题的关键．3．35.6【分析】过点E 作CG∶AH 于点H ，交CD 于点G 得出△EGC∶∶EHA ，进而求出AH 的长，进而求出AB 的长．【详解】过点E 作EH∶AB 于点H ，交CD 于点G ．由题意可得 四边形EFDG 、GDHB 都是矩形，AB∶CD∶EF ．∶∶AECG∶∶EAH ． ∶AH EH CG EG＝． 由题意可得EG=FD=3，GH=BD=30，CG=CD -GD=CD -EF=5-1.6=3.4． ∶303.43AH ＝． ∶AH=34米．∶AH=AH+HB=34+1.6=35.6米．答：旗杆高ED 为35.6米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定得出△ECG∶∶EAH 是解题关键．4．23【分析】根据题意得出DC=BC ，进而利用tan30°=DC AC求出答案． 【详解】试题分析：解：由题意可得：AB=46m ，∶DBC=45°，则DC=BC ，故tan30°=46==+DC DC AC DC解得：DC=23答：永定楼的高度CD 为23m ．5．17m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】连接ED ，交FC 于点G ，在Rt △CDG 和Rt △CEG 中，求出公共边CG 的长度，然后可求得CF ＝CG +GF ．【详解】解：如答图，连接ED ，交FC 于点G ，由题可知四边形AEGF ，四边形BDGF ，四边形ABDG 是矩形，20m ED AB ∴==， 1.5m GF AE ==．在Rt CDG 中，45CDG ∠=︒，tan 45CG DG CG ∴==︒， 在Rt CEG △中，30CEG ∠=︒，tan 30CG EG ∴==︒， EG DG ED +=，20CG ∴=．解，得10CG =．()1710 1.5m 2CF CG GF ∴=+=+=⎛⎫ ⎪⎝⎭．答：大树CF 的高度为17m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．6．（1）点C 到墙壁AM 的距离为35米；（2）匾额悬挂的高度是4米． 【分析】（1）过C 作CF∶AM 于F ， 由1,37,BC MBC =∠=︒结合sin sin 37,CF MBC BC∠=︒= 从而可得答案；（2）过C 作CH∶AD 于H ，又,,CF AM MA AD ⊥⊥ 则四边形AHCF 是矩形，所以AF=CH ，CF=AH ． 在Rt∶BCF 中，先求解4,5BF = 再在Rt∶BAE 中，∶BEA=53°，求解3,4AE AB = 再表示34,55AD AH DH AB =+=++ 或3 2.4,4AD AE DE AB =+=+列方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）过C 作CF∶AM 于F ，在Rt∶BCF 中，1,37,BC MBC =∠=︒ 由sin sin 37,CF MBC BC∠=︒= 31sin 37,5CF ∴=⨯︒= 所以：点C 到墙壁AM 的距离为35米． （2）过C 作CH∶AD 于H ，又,,CF AM MA AD ⊥⊥则四边形AHCF 是矩形，所以AF=CH ，CF=AH ．在Rt∶BCF 中，1,37,BC MBC =∠=︒ 由cos cos37,BF MBC BC∠=︒= 441,55BF ∴=⨯= 在Rt∶BAE 中，∶BEA=53°，905337,ABE ∴∠=︒-︒=︒ 由3tan tan 37,4AE ABE AB ∠=︒== 3,4AE AB ∴= 在Rt∶CDH 中，∶CDH=45°， ∶4,5CH DH FA AB ===+ ∶347,555AD AH DH AB AB =+=++=+ ∶3 2.4,4AD AE DE AB =+=+ ∶73 2.4,54AB AB +=+ 4.AB ∴=答：匾额悬挂的高度是4米．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．7．(5+米【分析】此题根据题意作PE AB ⊥，利用tan AP EP α=⨯∠和 tan 60PB EP =⨯∠︒分别求出PB ，AP 即可求出AB 的长．【详解】解：过点E 作PE AB ⊥于点P ，在Rt APE 中，90APE ∠=︒，tan AP EPα∠=，45α∠=︒，5PE BF ==， tan 5tan 455AP EP α∴=⨯∠=⨯︒=在Rt PEB △中，60β∠=︒，tan PB EPβ∠=，tan 605PB EP ∴=⨯∠︒== (5AB AP BP ∴=+=+米． 【点睛】此题考查解直角三角形应用中利用锐角三角函数求高，利用图示找出相关量根据题意列式求解是关键．8．铁塔AB 的高约为11米．【分析】过点C 作CE ∶AB 于E ，过点B 作BN ∶CD 于N ，在Rt∶BND 中，分别求出DN 、BN 的长度，在Rt∶ACE 中，求出AE 、CE 的长度，继而可求得AB 的长度．【详解】过点C 作CE ∶AB 于E ，过点B 作BN ∶CD 于N ，在Rt∶BND 中，∶∶DBN =20°，BD =10，∶DN =BD ⋅sin∶DBN ≈10×0.34=3.4，BN =BD ⋅cos∶DBN ≈10×0.94=9.4，∶AB ∶CD ，CE ∶AB ，BN ∶CD ，∶四边形BNCE为矩形，∶BN=CE=9.4，CN=BE=CD﹣DN=1.6，在Rt∶ACE中，∶ACE=45°，∶AE=CE=9.4，∶AB=9.4+1.6=11（米）．答：铁塔AB的高约为11米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．9．树高为米【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．【详解】解：延长AC交BF延长线于D点，则∶CFE=30°，作CE∶BD于E，如下图所示：在Rt∶CFE中，∶CFE=30°，CF=4m，∶CE=2m，3EF m，4cos304232在Rt∶CED中，∶同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∶CE:ED=1:2，且CE=2m，∶DE=4m，∶82341223BD BF EF DF米，再由同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米可知，1AB BD米，(63)2故答案为：树高米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作出辅助线即可得到AB的影长．10．（【分析】)过点D 作DF∶BC ，垂足为F ，设AB=x ，AG=x -5，则3tan 603AB BE ==， 3(x-5)tan 30AG DG ==，根据DG ＝FC+CE+BE ，列出方程，即可求解. 【详解】解：过D 作DF ∶BC ，垂足为F ，∶i ＝1∶DF ：FC ＝1CD ＝10， ∶DF ＝5，CF ＝过点D 作DG ∶AB ，垂足为G ，设AB ＝x ，则AG ＝x ﹣5，在Rt∶ABE 中， 3tan 603AB BE == ， 在Rt∶ADG 中，3(x-5)tan 30AG DG ==， 由DG ＝FC+CE+BE 得，x ﹣5）＝， 解得，x ＝答：AB 的高度为（【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，根据特殊角的三角函数的定义，列出方程是解题的关键．11．2【分析】过B 作DE 的垂线，设垂足为G ，BH∶AE ．在∶ADE 解直角三角形求出DE 的长，进而可求出EH 即BG 的长，在Rt∶CBG 中，∶CBG=45°，则CG=BG ，由此可求出CG 的长然后根据CD=CG+GE -DE 即可求出宣传牌的高度．【详解】解：过B 作BG ∶DE 于G ，BH ∶AE ，Rt∶ABH 中，i =tan∶BAH∶∶BAH =30°，∶BH=12AB=5米；∶AH∶BG=HE=AH+AE=（）米，Rt∶BGC中，∶CBG=45°，∶CG=BG=（）米．Rt∶ADE中，∶DAE=53°，AE=21米，∶DE=43AE=28米，∶CD=CG+GE﹣DE28=（2）m.答：宣传牌CD高为（2）米．【点睛】本题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．12．（1）；（2）瀑布的落差约为411米．【分析】（1）通过解直角△CDE得到：CE＝CD•sin37°．（2）作CF∶AB于F，构造矩形CEBF．由矩形的性质和解直角△ADB得到DE的长度，最后通过解直角△ACF求得答案．【详解】（1）∶tan∶CDE＝13 CE CD=∶CD＝3CE．又CD＝100米，∶100=∶CE＝．故答案是：．（2）作CF ∶AB 于F ，则四边形CEBF 是矩形．∶CE ＝BF ＝CF ＝BE ．在直角△ADB 中，∶DB ＝45°．设AB ＝BD ＝x 米． ∶CE CD ＝13 ，∶DE ＝．在直角△ACF 中，∶ACF ＝37°，tan∶ACF 0.75AF CF ==≈ 解得x ≈411．答：瀑布的落差约为411米．【点睛】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．13．【详解】分析：如图，作DE∶AB 于E ，DF∶BC 于F ，根据题意得到∶ADE=30°，∶CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=12AD=700，则BE=300，所以DF=300，Rt △CDF 中计算出CF ，然后计算BF 和CF 的和即可． 详解：如图，作DE∶AB 于E ，DF∶BC 于F ，∶ADE=30°，∶CDF=30°，在Rt△ADE中，AE=12AD=12×1400=700，∶BE=AB-AE=1000-700=300，∶DF=300，在Rt△CDF中，答：选手飞行的水平距离BC为．点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．14．电线杆PQ的高约是9.5 米.【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角∶APE和直角∶BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角∶BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．在直角∶APE中，∶A=45°，则AE=PE=x米；∶∶PBE=60°∶∶BPE=30°在直角∶BPE中，BE米，∶AB=AE-BE=6米，则x=6，解得：x则BE =（）米．在直角∶BEQ 中，QE）=（∶PQ =PE -QE（9.5≈（米）．答：电线杆PQ 的高度是9.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，掌握解直角三角形是解题的关键． 15．圣像的高度AF 约为61米【分析】设圣像的高度AF 约为x 米，根据已知Rt AEF ∆中tan AEF ∠的值用x 表示EF 的长，根据EF GC =进而可求出BC 的长，从而利用Rt ACB ∆中tan ABC ∠列出关于x 的方程，解得x 的值，即为圣象的高度．【详解】解：设AF x =米，∶,,//AC BC EG BC EF BC ⊥⊥，∶四边形FCGE 为矩形，∶EF GC =，在Rt AEF ∆中，AF tan AEF EF ∠=， ∶63.42AF x x EF tan AEF tan ==≈∠︒， ∶2x GC =， ∶30BG =米， ∶302()x BC =+米， 在Rt ACB ∆中，AC tan ABC BC∠=， 1952.8302x tan x +︒=+， ∶19 1.32302x x +≈+， 解得61x ≈，答：圣像的高度AF 约为61米．【点睛】本题主要考查三角函数．解题的关键在于在直角三角形中，根据三角函数的定义，结合已知条件，列出关于x 的方程，求解方程即可得解．16．（1）40米；（2）楼AB 的高度为80米．【分析】（1）由CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥可得1,2DE CE = 设,DE x = 则2,CE x = 由勾股定理可得,CD = = 解方程可得答案；（2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H 先证明四边形DEBH 是矩形，可得2040,BH DE DH BE CE BC BC ====+=+， 设,AB m = 证明,BC AB m == 可得20,40,AH m DH m =-=+ 由26.7,ADH ∠=︒ 建立方程，再解方程检验即可得到答案．【详解】解：（1） CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥1,2DE CE ∴= 设,DE x = 则2,CE x =,CD ∴==20,x ∴=240.CE x ∴==（2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H,,DE BE AB BE ⊥⊥∴ 四边形DEBH 是矩形，2040,BH DE DH BE CE BC BC ∴====+=+，设,AB m =45,ACB AB BE ∠=︒⊥，45,ACB BAC ∴∠=∠=︒,BC AB m ∴==20,40,AH m DH m ∴=-=+由26.7,ADH ∠=︒tan 26.7,AH DH ∴︒=200.5,40m m -∴=+ 解得：80.m =m 符合题意，经检验：80所以：建筑物AB的高为：80米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．。

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。

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]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________． 【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二 ：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ． 在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ． 答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。