100年以来对数论重大问题的证明都是错误的

数学史上的著名猜想之（一）—―被否定的数学猜想过伯祥数学史上，长时期未能解决的数学猜想特别多！并且很多都是世界级的难题，其中数论方面的问题又占多数.它们表面上是那么的浅显，好像不难解决似的，其实，若无深厚的数学功底，即使想接近它也十分困难。

本章特作较多的介绍，使数学爱好者有一个初步了解.如果你有志要攻克这些猜想，就必须作好长期艰苦跋涉的思想准备.1．被否定的数学猜想（1）试证第五公设的漫长历程几何是从制造器皿、测量容器、丈量土地等实际问题中产生和发展起来的.几何学的发展历程中，有两个重大的历史性转折.其一是,大约从公元前7世纪到公元前3世纪，希腊数学从素材到框架，已经为几何学的理论大厦的建造准备了足够的条件.欧几里得在前人毕达哥拉斯、希波克拉底和欧多克斯等人的工作基础上，一举完成了统治几何学近2000年的极其伟大的经典著作《几何原本》.它使几何学发展成为一门独立的理论学科，是几何学史上的一个里程碑.其二，也正是由于《几何原本》的问世，才带来了一个使无数人困惑和兴奋的著名问题--欧几里得第五公设问题.在《几何原本》的第一卷中，规定了五条公设和五条公理.著名的欧几里得第五公设：“若两条直线被第三条直线所截，如有两个同侧内角之和小于两直角，则将这两直线向该侧适当延长后必定相交.”就是这五条公设中的最后一条.由于它在《几何原本》中引用得很少（直到证明关键性的第29个定理时才用到它）；而且，它的辞句冗长，远不如前四条公设那样简单明了.于是给后人的印象是：似乎欧几里得本人也想尽量避免应用第五公设.于是，一代又一代的数学家猜测:大概不用花费很多力气就能证明欧几里得第五公设.就这样，数学家们开始了试证第五公设的历程.这是个始料未及的漫长历程！真正是前赴后继，几乎每个时代的大数学家都做过这一件工作.然而，满以为非常简单，只不过是举手之劳的一件事，谁料历时两千年仍未解决.第五公设问题几乎成了“几何原理中的家丑”（达朗贝尔）.直至19世纪，人们才逐渐意识到“欧氏第五公设可以证明”是一个错误的猜想,但它却引导数学家们得到了有意义的结果.所以说：错误的猜想有时也是极有意义的！“在我们试图证明某个猜想的时候，如果使尽各种招数仍无进展，就应去查一查这个猜想本身有没有毛病.”（2）引出一个大胆猜想第五公设的一个又一个试证，总是发生“偷用”某个与第五公设等价的“假设”去代替的毛病，这逐渐地使几位思想较开阔而又有远见的数学家高斯、亚诺什•鲍耶、罗巴契夫斯基意识到:“欧几里得第五公设是不能从《几何原本》的其余公设、公理中导出.”也即与其它公设公理不相依赖，并且提出了一个新的大胆猜想：“欧几里得几何不是惟一的几何;任何一组假设如果彼此之间不导致矛盾的话，一定提供一种可能的几何.”罗巴契夫斯基、鲍耶正是在此想法的基础上开展了一系列工作，才发现了非欧几何的.虽然，他们的工作约有30年之久被人们所忽视；非欧几何的相容性问题在其后的40年中仍然悬而未决，然而，从某数学家的头脑中首先形成这大胆的猜想——与第五公设相矛盾的公理，也许仍可建立逻辑上相容的新几何——的那一刻起，就注定了即将发生几何学发展的又一次历史性的大转折：将迎来的是，几何学思想的大解放，几何学大发展的新时代.可以说，在19世纪所有复杂的技术创造中间，最深刻的一个——非欧几何的创造，就是起源于两千年试证第五公设的失败而日渐形成的大胆的猜想，非欧几何是在欧几里得几何领域中，一系列的长期努力所达到的一个新顶点。

简述费马大定理——一个困惑了世界智者358年的谜数学与计算机科学学院数学与应用数学专业105012007160 田国平【摘要】简述著名数论学家费马及其猜想,通过回顾费马大定理获证历程,从中获得有益的启示.【关键词】初等数论；费马猜想；费马大定理；启示初等数论是研究整数性质的数学分支,同其它数学学科相比,它的历史古老且悠久,历史上许多最优秀的数学家都研究过数论,有数学王子之称的德国数学家高斯曾经说过“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇冠”.十七至十八世纪,数论的研究基本上仍然是凭借数学家的才智与技巧独立地解决问题,但是其成果的丰富、内容的深刻、问题的难度、技术的高超,却是难以想象的.一个题意明确、表达简单的问题,证明起来却有着意想不到的困难,仿佛唾手可得,却毕生求索,终归茫然,由此产生出一批号称“世界难题”的猜想,其数量之多是任何其他数学分支所不能比拟的.这一时期对数论贡献最大的,先是费马,然后是欧拉,他在数论方面,堪称为丢番图后第一人.现简述著名数论学家费马及其猜想,通过回顾分析费马大定理获证历程,从中获得有益的启示.1．费马及其猜想费马(Pierre Fennat,1601-1665)是法国数学家,生于法国南部图卢兹附近的波蒙地区.上大学时学的是法律,毕业后以律师为业,从30岁开始迷恋数学,他谦逊文雅,敏于思而慎于言,他发表的成果极少,然而贡献极大,在微积分、解析几何、概率论和数论等领域都有丰富的原始创新,因此他被誉为“业余数学家之王”.费马发表的多数成果在手稿、通信或页边空白处,许多重要思想和成果只写结论,很少写出证明,他的结论后来全靠瑞士数学家欧拉给出证明,其结果好像是费马编了一本高水平的习题集,欧拉则是解题者.由于费马有“研而不作”的习惯,因此,费马去世后,1670年由他的儿子萨缪尔·费马将其遗作整理汇集成书出版.费马在数论中的重要贡献是证明并提出了许多命题.1640年,费马建立了所谓“费马小定理”：“若p 为素数,则(mod )p a p ≡,其中a 为任意整数.”1736年,欧拉给出了费马小定理的证明.同年,费马还提出形如“21k +的费马数”问题.费马发现形如“221()nn F n N =+∈”的 03F =,15F =,217F =,3257F =,465537F =数皆为素数,据此他猜想“221()n n N +∈形的费马数皆为素数”.但1732年,欧拉给出了反例525216416700417F =+=⨯是合数!从而推翻了费马猜想.到目前为此,数学家们只发现了前5个费马素数,反而证明了50个费马合数,因此人们提出了反费马猜想“当5n ≥时n F 均为合数”.费马提出的最著名猜想是费马大定理.在公元三、四世纪之间,古希腊著名代数学家丢番图在他的著作《算术》中有一个不定方程“222x y z +=的整数解问题”,费马对这个不定方程很感兴趣,并在它的启发下提出了如下猜想.1637年前后,费马在丢番图的《算术》(译本)第二卷关于毕达哥拉斯三元组的页边空白处写下了一段结论：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者更一般地说,不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂之和.”接着他又俏皮地写下了一个附加的评注：“我对此命题有一个十分美妙的证明,这里空白太小,写不下.”这就是说费马认为他证明了下面的结论：“当3n ≥时,不定方程 (2)n n n x y z n +=>没有正整数解”.上述的评注是在费马死后五年的1670年发表的.事实上人们遍寻费马的手迹,并没有发现这一“美妙的证明”,而只看到他对于4n =的证明,费马对这一证明颇为得意,自命为“无穷递降法”,或许费马认为用这种方法可以证明任意3n ≥的情形.但事实远不是如此简单,可能费马也未必想到,他的这一猜想竟然成为“引无数英雄竞折腰”的世界难题.后来很多数学家努力寻求这一问题的证明,以至于除了它以外,费尔马提出的所有猜想早已得到解决,所以,此猜想被证明后人们称它为费马大定理.这个困扰世间智者358年的谜团,终于在1994年,由一个英国出生,在普林斯顿大学数学系工作的数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)所证明.2．费尔马大定理获证始末从费马时代起,人们就不断地试证费马猜想.巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金,奖励证明费马猜想的人.布鲁赛尔科学院也悬赏重金,但都无结果.数学家首先对费马猜想进行如下分析：“如果费马猜想对于某一个自然数n 成立,那么对n 的任何正整数倍数()mn m N ∈也成立”.事实上,假设(2)(1)n n n x y z n +=>无正整数解,将(2)mn mn mnx y z +=改写为：()()()n n n m m m x y z +=,如果(2)有正整数解x ,y ,z ,那么m x ,m y ,m z 就是(1)的一个正整数解,这与(1)无正整数解矛盾.又由于任何一个大于2的整数,如果不能被4整除,它就一定能被某一奇素数整除.因此,只要证明4n=及n是任一奇素数时结论成立,费马猜想就获证.这就为后来的证明指出了方向.1770年,欧拉证明n=成立；1825年狄利克雷也3n=了时费马大定理成立.1823年勒让德证明了5证明了5n=成立；1831年靠自学成才的法国妇女索菲娅在假定x,y,z与n互质的前提下,证明了对小于100的奇素数费马大定理成立；1832年狄利克雷证明了14n=成立；1849年,德国数学家库默尔取消n=成立.1839年拉梅证明了7了索菲娅关于x,y,z与n互质的限制,将n的上限推进到100；1987年美国罗瑟教授将n的上限推进到41 000 000.为了研究的方便,数学家们对费马大定理作了相应的简化：“对于素数p,当p不能整除x ,y,z之积时,不定方程(2)p p p+=>无正整数解”,称此为x y z p费马大定理的第一种情形,这种情形的证明相对容易一些.法国数学家热尔曼和勒让德先后证明了对于所有素数100p<,费马大定理的第一种情形成立.1847年至1851年,受费马问题的启发,库默尔引进了一种“理想数”,并发现了把分圆域的理想数分解为理想质数的惟一分解定理,这个定理今天已被推广到任一代数数域,在近代数论中占有非常重要的中心地位.库默尔把素数分为正规素数和非正规素数,首先证明了对于正规素数,费马大定理成立.库默尔验证了100以内的奇素数除37、59、67是非正规素数外,其余全为正规素数.1857年库默尔证明了59,67p=费马大定理成立；1892年米里曼诺夫证明了p=费马大定理成立.电子计算机发明并广泛应用后,对非正规素数的证明37取得了新进展.1978年至1992年,证明了610以内的非正规素数费马大定理成立.1948年至1985年证明了存在无穷多个素数p使第一种情形成立.数学先驱者对费马大定理的证明得到了许多成果,促进了某些数学分支的发展,但是离定理的最终证明还相差很远.于是,一种思维方向是把问题具体化,寻找定理不成立的反例.经过验证发现9310⨯以内的所有素数,费马大定理第一种情形都成立,80年代指数n 的上限已推进至180000010,但是这个时期证明方法没有实质上的新思想,费马大定理的研究没有本质的进展,人们对完全解决费马大定理看不出任何希望.“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”,历史确实在曲折地前进.另一种思维方向是寻找证明猜想的新思想和方案.数学家从命题“(2)(*)n n n x y z n +=>无正整数解”出发,在(*)两边同时除以n z 推出新命题：“曲线“1(2)(**)n n u v n +=>无有理点”,这就把寻找代数方程整数解的问题转化为几何曲线上有理点的问题来解决.1922年英国数学家莫德尔提出猜想：“1(2)n n u v n +=≥的代数曲线上有理点只有有限多个.”1983年德国数学家法尔廷斯证明了这一猜想.1985年英国数学家希斯—— 布朗利用这一结果证明了几乎所有素数p 使费马大定理成立.换言之,如果有使费马大定理不成立的素数,那么这样的素数在整个素数集合中是微不足道的.以上结论已经十分接近费马大定理了,但离定理的证明尚有并非容易跨越的“一步之遥”.费马大定理这“一步之遥”的证明最终由英国数学家怀尔斯完成.2O 世纪5O 年代,一些数学家发现椭圆函数与模函数有联系,并猜测椭圆曲线可由特殊的模函数单值化,这种椭圆曲线称为模曲线.1967年韦依提出了“谷山～ 志村一韦依(简称TSW)”猜想：“所有椭圆曲线都是模曲线”.1984年秋,德国数论学家弗雷(G ．Frey)在演讲中提出一个结论：“如果方程(5,)p p p x y z p p +=≥是素数有一组非零整数解：,,)(,,),x y z a b c abc o =≠（,则椭圆曲线的方程),2()()p p y x x c x b =-+(此曲线后来称为弗雷曲线)不满足椭圆曲线的,TSW 猜想.”这就是说,“如果费马大定理不成立,那么著名的,TSW 猜想也不成立”,即由“ TSW 猜想成立可以推出费马大定理成立!”这无疑给出了证明费马大定理的一个新方案、新思路.1990年,里贝特证明了弗雷提出的这一结论.因此,证明费马大定理的问题转化为证明TSW猜想,甚至只要对弗雷曲线证明,TSW猜想成立即可.但是当时多数数学家认为这是非常困难、非常遥远的事情.为完成这一极其困难的工作,1986年,怀尔斯开始长达7年的面壁生涯,除了教书、指导研究生和参加必要的讨论班外,不参加任何与之无关的学术会议和报告,躲进家中的书房,一心一意地研究,TSW 猜想,写出了一份200多页的论文.1993年6月23日,他在英国剑桥大学报告了他的研究结果.该论文经过严格审查,被发现有漏洞.在此困难的时刻,他没有放弃这项研究工作.之后,他开始与数学家查德·泰勒(R．Taylor)一起合作攻关,但一直到1994年夏天仍然没有新的突破.这年8月,世界数学家大会在苏黎世召开,怀尔斯已经和菲尔兹奖无缘,但大会仍然邀请他在闭幕式上作最后一个大会报告,这给了他极大地慰籍.就在会后不久,他突然产生一个想法,将原来放弃的岩泽理论与科利瓦金——弗莱切方法结合,终于使研究工作有了突破性进展,证明最后归结为一个纯代数问题：“关于Hecke环的完全交性质”,这最后关口的证明是他与泰勒共同完成的.1994年1O月怀尔斯的《模椭圆曲线和费马大定理》论文通过审查,1995年5月在国际权威数学刊物《Annals of Mathematics》正式发表.至此,一个困惑了人间智者358年的谜揭开了,费马大定理正式获证.1996年,怀尔斯获得沃尔夫奖.这个奖通常是授予毕生为世界数学做出突出贡献的长者,怀尔斯是第一位获此殊荣的四十多岁的年青数学家.1998年世界数学家大会授予他一个特别菲尔兹奖(因为他正式证明费马大定理的1994年时已经超过了四十岁). 3.费马大定理获证的启示回顾费马大定理发现、探索、证明的历程,反思我们数学教育的经验与教训,可以启迪今天的数学教育应如何引导学生掌握正确的数学学习方法,激励学生主动发现、探索规律的创新意识,培养学生淡泊名利、实事求是、追求真理、锲而不舍、勇于创新的优秀品质.从费马大定理的证明过程可以看出,它是合情推理与归纳、演绎推理最完美结合的典范,没有当年的费马猜想,没有一代又一代数学家的严谨科学的态度与锲而不舍的归纳探索集成,也就没有今天的费马大定理.因此,猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种思维方式,合情推理与归纳演绎是创新、创造与发现的重要源泉之一.但是,现在的数学教学中,恰恰忽视了合情推理,忽视了数学学习过程中猜测的力量,缺少对数学定理形成历史过程的阐述与剖析,呈现的是一些完美的结论和严谨的推理过程,只讲推理证明不讲猜想,只注重逻辑推理而忽视合情推理,将数学家火热的原创思维轨迹掩盖得一干二净,原本活生生的数学思维过程变成了抽象形式化的、冰冷的数学符号集合.这种教学方式极大地阻碍了学生创造性思维的产生和发展,这将导致学生对数学学习失去主动性与创造性,我们应该清醒地认识到这一点并努力改变这种现状.我们的数学教学应教给学生正确思考问题、提出问题、解决问题的方法,坚持既教证明,又教猜想,既重视演绎推理,也注重合情推理和归纳推理,并将逻辑推理还原为合情推理,将逻辑演绎追溯到归纳演绎,利用猜想、合情推理为学生提供探索发现的机会.费马大定理获证不仅仅是得出了新的结论,更重要的是对数学的发展起了推动作用,创造了新的数学理论和数学方法.在费马大定理证明过程中,受费马猜想问题的启发,德国数学家库默尔引进并研究了理想数的概念,经过其它数学家的研究和推广,这个概念已经渗透到分析、代数、集合等领域,同时他创造了理想质数的惟一分解定理,这个定理已被推广到任意代数数域,在近代数论中占有非常重要的中心地位；英国数学家怀尔斯和泰勒共同证明了关于Hecke环的完全交性质,这些都极大地推动了数学学科的发展.因此,从某种意义上来说,一个著名数学难题的证明,往往伴随着新数学思想和背后数学思想方法的产生,而后者的产生比解决数学难题本身更有价值.费马大定理获证历程说明数学具有统一性,表面上看来不同的对象,有时蕴含着深刻的联系.在费马定理证明过程中的19世纪8O年代,对模椭圆曲线理论中的“弗雷曲线”性质的探索,导致人们将“TSW 猜想”与“费马大定理”紧密地联系在一起,这样就把一类几何问题与正整数问题联系起来,前者描述了空间连续的几何图形,后者是离散的数量关系,这两个南辕北辙的问题,却存在有机的联系,而英国的数学家怀尔斯正是从这个思路出发,最终证明费马大定理的.怀尔斯证明费马大定理,其最后关口的证明是他与泰勒共同完成的,这说明,在独自深入钻研的基础上,学术交流与合作同样至关重要,它常常是创新思维的产生或突破难点的催产素.因此,学科之间的交叉是至关重要,而创造良好的学术交流环境也同样十分重要,值得重视.费马大定理获证体现了数学家追求真理、严谨科学的理性态度,蕴含着数学本身就是一种锲而不舍、勇于创新的探索精神.因此,今天的数学教育,在借鉴数学历史时,应重点放在理性及观念的层面上,从数学的角度逐渐融人数学人文价值观,使数学教育为整个民族承担起提升实事求是科学态度和勇于探索创新意识的重任.2006年6月,国际数学界关注了百年之久的重大世纪难题“庞加莱猜想”被两位华人数学家破解,著名的数学家杨乐指出,“中国数学家虽然参与证明了世界级数学难题,但在中国的数学研究和国际先进水平相比,还存在很大的差距”,杨乐认为,目前国内学术界急功近利的风气,严重制约了数学这样的基础科学的发展,他说：“搞基础研究,一定要耐得住寂寞,绝不能急于求成,争名争利.搞重大基础研究,需要放眼长远,同时要持之以恒.”,同时,杨乐还勉励中国数学家：“华罗庚先生说过,中国人可以在数学研究上做得更好.希望先生的这句话在不远的将来变成美好的现实”.不管是庞加莱猜想的破解、还是费马大定理获证的漫长而又艰辛历程,它都告诫人们,有时候一个数学难题的最终解决,往往是许多数学家、甚至是几代数学家共同努力的结果,科学的道路是崎岖不平的,只有那些在科学研究的道路上实事求是、追求真理、锲而不舍,勇于探索创新的人才有希望达到最光辉的顶点.参考文献[1]王树禾．数学思想史[M]．北京：国防工业出版社,2003．245—247．[2]王云葵．费马伪素数及其奇妙性质[J]．中学数学,2000,(9)：39．[3]闵嗣鹤,严士健．初等数论[M]．第3版．北京：高等教育出版社,2003．37—47．[4]杨慧娟,杜鹏．新课标下重析波利亚的合情推理思想[J]．数学通报,2006.(2)：4-5．[5]张肇炽．关于世纪难题“庞加莱猜想”被破解[J]．高等数学研究,2006,(4)：127—128．[6]易南轩,王芝平.多远视角下的数学文化[M].北京：科学出版社,2007.[7]张奠宙,宋乃庆.数学教育概论.北京：高等教育出版社,2009.英文摘要Brief Fermat's last theorem- a confusion of the worldly wise 358-year mystery Tian Guo-ping 105012007160 Adviser: Chen Qing-huaMajor in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstract】The is article outlines the famous number theory mathematician，Pierre Fermat and Fermat Suppose，and through a review process proved the Fermat’s Last Theorem，gain useful inspiration．【Key words】number theory；Fermat's suppose；Fermat's last theorem；inspiration.。

科技视界Science&Technology VisionScience&Technology Vision科技视界加强科普工作才能使广大群众不被种种骗术或错误学说(特别是流传百年使世人深信不疑的错误学说)误导而将歪理邪说当成“高深学问”搞乱人们的思想。

敢讲真话不愿人云亦云随大流的朱梧槚是基础数学与逻辑学方面的世界著名专家,其名字和事迹被列入《国际知识界名人录》、《国际上卓越的学术领导人辞典》。

“人品第一,学问第二。

”的大老实人朱梧槚教授、博导证明了课本的“非0自然数集N”“是一个自相矛盾的似是而非的非集[1]”———意味一系列以非集为“无穷集”的“定理”必是一系列错上加错的更重大错误。

下述h定理1让5千年数学一直未能识的正数和无穷大自然数一下子暴露出来。

h定理1:任何非空数集A={x}=B={y}的必要条件之一是|x|=|y|即y=±x,正如若A各元>0则B=A的必要条件之一是B各元>0一样;充要条件:①y=x;②y=-x,当A的元关于0对称时。

这表明y=±x外的一切y=y(x)的定义域必≠值域。

证:如[2]所述A(或B)各元x(或y)到任一固定数例如0的距离是|x|(|y|),显然若A与B是同一集则|x|与|y|必是同一变量。

y=±x中的y=x是恒等变换式,y=-x是变符号变换式,当A的元关于0对称时A各元x变号为-x后必还是原集。

证毕。

所有已知非0自然数组成的N中满足n=1000q(q=1,2,...)≥1000的元n=1000q的全体组成J⊂N。

N各元n变大为y=1000n组成J′~N。

J⊂N各元n≥1000到0的距离ρ1(n)=n≥1000,J′各元y=1000n(n≥1)到0的距离ρ2(n)=1000n(n≥1)≥1000;显然ρ1与ρ2不是同一函数(ρ2的n的变域是N,而ρ1的n的变域是J⊂N),据h定理1J′≠J,中学“J′=J”;...。

欧拉写给哥德巴赫的一封信摘译1742年6月30日欧拉给哥德巴赫的一封信“正如在你给我的来信中所观察到的那样，每个偶数看来是两个素数之和，还蕴藏着每个数如果是两个素数之和，则它可以是任意多个素数之和，个数由你而定。

如果给定一个偶数n，则它是两个素数之和，对n-2也是如此，则n是三到四个素数之和。

如果n是奇数，则它一定是三个素数之和，因为n-1是两个素数之和。

所以，n是一个任意多个素数之和。

虽然我现在还不能证明，但我肯定每个偶数是两个素数之和。

哥德巴赫和欧拉的命题是什么?哥德巴赫，德国数学家。

1742年6月7日，他在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想：一、任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和：二、任何不小于9的奇数，都是3个奇质数之和。

这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。

同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中，明确表示他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理，但是欧拉当时还无法给出证明。

1900年，20世纪最传大的数学家希尔伯特，在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。

此后20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。

1957年，我国数学家王元证明了“2+3”。

1962年，我国数学家潘承洞证明了“1+5”，同年又和王元合作证明了“1+4”。

1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的和。

这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。

目前，有许多数学家认为，要想证明“1+1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。

哥德巴赫猜想是什么有什么意义吗哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）是数论中存在最久的未解问题之一。

这个猜想最早出现在1742年普鲁士人克里斯蒂安·哥德巴赫与瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中。

100个数论经典例题1. 证明：无理数的十进展开不可能是一个重复的数字序列。

2. 证明：一个正整数为完全平方数的充分必要条件是它的每个质因子的指数都是偶数。

3. 证明：有理数的不循环小数展开是独一无二的。

4. 如果两个整数m和n的最大公约数是1，那么m/n的分数形式是既简单又唯一的。

5. 证明：对于任意自然数n，n²+n+41都是一个质数。

6. 证明：对于任意自然数n，3n²+3n+7都是一个质数。

7. 求1²+2²+3²+...+n²的值，并给出证明。

8. 求1³+2³+3³+...+n³的值，并给出证明。

9. 证明：无穷多个素数是等差数列的形式。

10. 设p是一个素数，证明：x²≡-1(mod p）的解的个数为0或2。

11. 给定一个正整数n，求所有满足φ(x)=n的正整数x，其中φ(x)表示小于x且与x互质的正整数的个数（欧拉函数）。

12. 证明：若p是任意一个素数，则对于任意自然数n，(n+p)!≡n!pⁿ(mod p²)。

13. 证明：若p是任意一个素数，则对于任意自然数n，n!≡-1(mod p)当且仅当p=2或p≡1(mod 4)。

14. 对于任意一个素数p和整数a，证明：x²≡a(mod p）有解的充分必要条件是a^(p-1)/2≡±1(mod p)。

15. 证明：对于任意自然数n，存在无限多个三元组(x,y,z)使得x⁴+y⁴=z³。

16. 证明：对于任意正整数k，存在无限多个素数p，使得p≡1(mod k)。

17. 求2²+4²+6²+...+50²的值，并给出证明。

18. 求1+2+3+...+99+100的值，并给出证明。

19. 给定正整数a、b、n，求aⁿ+bⁿ的最大公因数，并给出证明。

费马大定理的故事彼埃尔.德.费马(1601-1665)是数学史上最伟大的业余数学家,他的名字频繁地与数论联系在一起,可是他在这一领域的工作超越了他所在的时代,所以他的同代人更多地了解他是从他的有关坐标几何(费马独立于笛卡尔发明了坐标几何),无穷小演算(牛顿和莱布尼茨使之硕果累累)和概率论(本质上是费马和帕斯卡共同创立的)的研究中得出的.费马并不是一位专业数学家,他的职业是律师兼土伦地方法院的法官.费马登上法学职位后开始了业余数学研究;虽然他未受过正规的数学训练,但他很快对数学产生了浓厚的兴趣,可惜他未养成发表成果的习惯,事实上在其整个数学生涯中,他未发表过任何东西.另一方面,费马保持了跟同时代的最活跃和最权威的数学家之间的广泛的通信联系.在那个由数学巨人组成的世界里,有笛沙格,笛卡尔,帕斯卡,沃利斯和雅克.贝努里,而这位仅以数学为业余爱好的法国人能和他们中任何一位相媲美.著名的费马大定理的生长道路即漫长又有趣.1453年,新崛起的奥斯曼土耳其帝国进攻东罗马帝国的都城-----君士坦丁堡陷落了.拜占庭的学者纷纷逃向西方,也带去了希腊学者的手稿,其中就有刁番都的<<算术>>.这本书一直流传到今天,但在1621年前几乎无人去读他.这一年,克罗德.巴舍按照希腊原文重新出版了这本书,并附有拉丁译文,注释和评论.这才使欧洲数学家注意到这本书,似乎费马就是读了这本书才对数论开始感兴趣的. 在读<<算术>>时,费马喜欢在页边空白处写一些简要的注记.在卷II刁番都问题8旁边的空白处,原问题是"给定一个平方数,将其写成其他两个平方数之和",费马写道:"另一方面,不可能将一个立方数写成两个立方数之和,或者将一个四次幂写成两个四次幂之和.一般地,对于任何一个数,其幂大于2,就不可能写成同次幂的另外两个数之和.对此命题我得到了一个真正奇妙的证明,可惜空白太小无法写下来."用代数术语表达,刁番都问题是想求出方程:x2+y2=z2的有理数解,这已经由古希腊数学家欧几里德得到:x=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2而费马在页边的注解断言,若n是大于2的自然数,则方程x n+y n=z n不存在有理数解.这就是我们今天称为费马大定理的由来.尽管在普通人的心目中,相信费马真的找到了一个奇妙的证明,但他毕竟是一个动人的故事,17世纪的一位业余数学爱好者证明了一个结果,他使得其后350年间的数学家起来为之奋斗了,然而却劳而无功.他的问题是如此简明,因而这个故事更富有感染力.而且永远存在费马是正确的可能性. 从费马的另一处注解中,数学史家发现了费马唯一具体的对于n=4的情形做的证明,在这个证明中,费马发明了一种"无穷递降法",他利用了整数边直角三角形的面积不可能是平方数的结论,假设方程:x4+y4=z4有一组有理解,令a=x4,b=2x2z2,c=z4+x4,d=y2xz.反复利用熟知的恒等式:(s+t)2=s2+2st+t2 得到:a2+b2=(z4-x4)2+4x4z4=z8-2x4z4+x8+4x4z4=(z4+x4)2=c2.并且有:ab/2=y42x2z2=(y2xz)2=d2于是,a2+b2=c2,并且ab/2=d2.但是这已经证明是不可能的,因此假定n=4时有解是错误的. 对于n=3的情形,后来的欧拉在1753年用了一种有缺陷的方法证明了这个命题.他使用了一种"新数",即形如a+b√-3的数系,这个数系在许多方面与整数有相似之处,两者都构成一个数环.但他并不具备整数的全部性质,欧拉证明中用到的最要紧的性质是唯一因子分解定理,对于a+b√-3数系,这个定理碰巧也成立,所以欧拉的结论是正确的.但是换成别的形式比如a+b√-5,则唯一因子分解定理就不成立了.关于对于什么样的数系唯一因子分解定理成立的理论叫做示性类理论.接着,1825年,20岁的狄利赫莱和70岁的勒让德同时证明了n=5.1832年,法国杰出的女数学家索非.热尔曼证明:若p是奇素数并使得2p+1也是素数,则费马大定理成立.1839年,拉梅证明了n=7.取得突破性进展的是德国数学家E.库莫尔,1847年,他证明了对于小于100的除了37,59和67这三个所谓非正则素数以外,费马大定理成立.在这一证明过程中,库莫尔的最重要贡献不在于费马大定理本身,而是发明了一种全新的概念-----理想数,这是一种特别有用的涉及范围极广的概念,他将引出一个更一般的概念------理想,以及整个新的数学分支-----理想论,后者的基本原理现在已经成为大学一般数学系学生的必修课.1983年,29岁的德国数学家G.法尔廷斯证明了一个结论:对于每一个大于2的指数n,费马方程x n+y n=z n至多有有限多个解.这一证明使他赢得了1986年的菲尔兹奖.他把存在无穷多个解的可能性降低到最多只可能有有限多个解,这确实是一个巨大的成就.但是,费马大定理被彻底征服的途径一定会使涉及到这一领域的所有前人出乎意外,最后的攻坚路线跟费马本人,欧拉和库莫尔等人的完全不同,他是现代数学诸多分支(椭圆曲线论,模形式理论,伽罗华表示理论,等等)综合发挥作用的结果.其中最重要的武器是椭圆曲线和模形式理论.在50年代,日本数学家谷山丰和志村五郎提出一个猜想:有理数域上的每条椭圆曲线都有同构的模形式存在(今天我们一般称之为谷山-志村猜想).所谓椭圆曲线是由椭圆积分衍化而来的,他是如下形式的三次曲线:y2=Ax3+Bx2+Cx+D 而模形式是解析数论中研究的一种函数的运算(模函数是满足某种线性变换的复变函数,而摸形式是处处全纯的摸函数运算,全纯是指函数的摸是有限的).而通过相似的格,可以将椭圆曲线与摸形式联系在一起.从60年代开始,有人将费马方程x n+y n=z n和形如y2=x(x+A)(x+B)(1)的椭圆曲线相联系,最初的着眼点是利用跟费马大定理有关的结论来证明与椭圆曲线有关的结论.1984年秋,G.弗赖在两者的联系方面迈出了关键性的一步,他参加了在德国黑森州奥波沃尔法赫小城举行的一次数学讨论会上演说中提出:假定费马大定理不成立,即存在一组非零整数a,b,c使得a n+b n=c n (n>2),那么用这组解构造出的形如(1)的椭圆曲线(在(1)中令A=a n , B=-b n ,现在称这类椭圆曲线为弗赖曲线),不可能是摸形式.而这与谷山-志村猜想矛盾.如果弗赖的结论和谷山-志村猜想都得到证明是正确的,根据反证法的逻辑可知,"假定费马大定理不成立"是错的,因而导出费马大定理正确.可惜弗赖本人未能证明自己的论断;但是在1986年,K.里贝特按照美国数学家J.P.赛尔的思想证明了弗赖的论断.于是,证明费马大定理的工作归结为去证明谷山-志村猜想.当时的数学家们普遍认为,要证明谷山-志村猜想还是很遥远的事情,但是,年轻的英国数学家安德鲁.怀尔斯对这种看法不以为然,他立即集中全部精力去证明这个猜想.经过7年的艰苦奋斗,怀尔斯于1993年6月在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所举行的数学讨论会上,报告了他对如下结论的证明:对于有理数域上的一大类椭圆曲线(用专业术语称为半稳定的椭圆曲线),谷山-志村猜想成立.由于弗赖曲线恰好属于半稳定的椭圆曲线的范围,因此费马大定理自然地成为怀尔斯的推论.据称怀尔斯的证明长达200页.按照数学界的习惯,他的证明在得到确认之前,必须经过其他有关数学家的详细审查,尽管当时许多人相信怀尔斯的证明是经得起推敲的.好事多磨,事情并未就此了结.有关怀尔斯的证明中存在漏洞的传闻不胫而走.1993年12月4日,怀尔斯给他的同行们发出了一封电子邮件,承认他的证明中确有漏洞.数学家对待证明的态度是十分严肃的,不容半点含糊.1994年10月25日,美国俄亥俄州立大学的教授K.鲁宾以电子邮件的形式向数学界的朋友发出了谨慎而乐观的消息:"今天早上,有两篇论文已经发表,他们是:"椭圆模曲线和费马大定理",作者是安德鲁.怀尔斯;"某些赫克代数的环论性质",作者是R.泰勒和安德鲁.怀尔斯.第一篇是一篇长文,...他宣布了费马大定理的一个证明,而这个证明中关键的一步依赖于第二篇短文...."1995年7月号的"美国数学会通告"上发表了G.法尔廷斯的文章,题为"R.泰勒和A.怀尔斯对费马大定理的证明".他开宗明义,以肯定的语调宣称:"在本文题目中所提到的猜想于1994年9月终于被完整地证明了."至此,人们相信那个搅扰了数学家300多年的著名的猜想真正成为了一条定理!虽然费马大定理已经被证明了,但是也引起我们深入的哲学思考,怀尔斯是用归纳法来证明谷山-志村猜想的,即对于椭圆曲线的E-序列,对应着模形式的M-序列,并且应用了数学中高深的群论思想.那么我们要想,当年费马写在刁番都<<算术>>的空白处的"奇妙的证明"到底存在吗?无独有偶,我国的一位学者蒋春喧在怀尔斯之前就已经用初等数学的方法证明了费马大定理,并且得到了我国数论专家乐茂华和美国科学家桑蒂利的支持,想必不会是没有根据的错误论证.我们假设是正确的,那么这是否就是费马本人想到的那种"奇妙的证明"呢?对于这个问题,我们只能关注事态的发展,拭目以待最后的结果了.我至今还未找到我国学者蒋春喧的有关费马大定理的简单证明.等我找到之后会写完本篇文章,如果那位网友能帮助我找到,我将不胜感激,谢谢.获奖和评论1995-96年度数学沃尔夫(Wolf)奖由怀尔斯和朗兰兹(Robert P. Langlands)分享，于1996年3月24日在耶路撒冷由以色列总统魏兹曼颁发，奖金十万美元.沃尔夫基金会称，怀尔斯得奖是“由于对数论及相关领域的壮观贡献，由于在若干基本猜想上得到的巨大进展，由于解决了费尔马大定理". 美国数学会的报道说, 怀尔斯引入深刻的奇异的方法, 对于数论中一些长期未决的基本问题的解决作出了巨大的贡献.例如, BSD猜想, 伊瓦萨瓦(Iwasawa)理论主猜想, 和谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想. 他的工作的顶峰是对令人称颂的费尔马大定理的证明, 此定理塑造了过去两个世纪大多数论的形态. 朗兰兹是60岁的著名数学家，他的“朗兰兹猜想"影响深远，博大精深.沃尔夫数学奖的历届得主都是极负盛名的数学家，如盖尔丰德，西格尔，韦伊，嘉当，陈省身，小平邦彦等. 该奖是国际上极有影响的大奖，由沃尔夫捐款在1978年设立. 也有化学,医药,农业,和艺术奖.（沃尔夫原居德国，一战前移居古巴，1961年起任古巴驻以色列大使，后留居以色列.与德国专门为费马大定理而设的沃尔夫斯克尔奖无关.）.怀尔斯获美国“国家科学院奖”被宣布是奖励“他对费马大定理的证明，这是他发明了一种美丽的战略，证明了志村五郎-谷山丰猜想的一大部分才完成的;也是奖励他在追求自已的思想实现的过程中所表现出的勇气和技巧力量". 此奖是在1988年为纪念美国数学会一百周年设立的, 奖金五千美元，奖给近十年内发表的杰出数学研究. 以前的得主是朗兰兹(1989)和麦克费尔逊(1993).美国数学会在上述得奖报道中,刊登了怀尔斯过去的导师剑桥大学的蔻茨(J. Coates)的评论文章. 文章说: 怀尔斯在牛津大学毕业后, 于1974-75学年度到剑桥."他的天才很快被斯文哪尔敦--戴尔(Swinnerton-Dyer)注意到. 他因管理剑桥大学太忙, 不能作怀尔斯的研究生导师,对这我很高兴. 结果当怀尔斯1975夏开始科研时,我非常幸运地得以能指导他的数学研究第一步"."我们最后得以证明平行于伊瓦撒瓦的结果",证明了BSD猜想的秩零特殊情况."我很快认识到他具有两个显著的数学禀赋,我相信这在他以后的全部数学生涯中都起了关键的作用.第一,他优先于一切地要去证明困难的具体定理,而不愿去作优美的无所不包的猜想. 第二, 他有惊人的能力去吸收大量的极高深极抽象的机制, 并在脚踏实地的问题中贯彻直到得出巨大的成果".到1980年代中期, 怀尔斯"对于伊瓦撒瓦理论主猜想和关于希尔波特模形式的伽罗华表示的研究贡献, 已经使他成为过去150年以来对代数数论作出渊深贡献的极少数优秀数学家之一. 但是, 正象我们现在所知道的, 他并没有躺在这些桂冠上休息, 而从1986年夏他又一直默默地工作着, 朝向一个更伟大的目标.""过去35年的代数数论和算术代数几何,大多被猜想所统治, 而少有肯定的定理. 这并不是要贬毁期间证明的许多优美的定理, 只是要指出太常有的情况: 面对着那些大叠大排的猜想, 这些肯定的结果显得太拘谨, 而那些猜想的证明要留作代数数论的长期目标(例如, 椭圆曲线的BSD猜想, 或者阿庭关于他的非阿贝尔L-函数的全纯猜想). 安德鲁·怀尔斯的工作是对这种研究模式的绝妙解毒剂,也是我们时代的最响亮的警示: 我们是能够期望最终解开数论中那些最深奥的神谜的."怀尔斯的生平安德鲁.怀尔斯(Andrew Wiles)1953年4月11日生于英国剑桥.(所以他1993年6月宣布证明时,刚过四十岁生日两个多月.) 1971年入牛津大学莫顿(Merton)学院学习, 1974年获该校学士学位. 同年入剑桥大学柯雷尔(Clare)学院学习, 1980年获该校博士学位. 1977至1980年，是柯雷尔学院的“青年研究会员”和哈佛大学的“本杰明·裴尔斯助教授”. 1981年是波恩的“理论数学专门研究院”访问教授，此年稍后，为美国普林斯顿的“高等研究所”研究员. 1982年成为普林斯顿大学教授，该年春是奥赛的巴黎大学访问教授. 作为古根海姆特别研究员，他1985--86年是科学高级研究所(IHES)和高级师范学校(ENS)的访问教授. 1988至90年，是牛津大学皇家学会研究教授. 1994年，他取得现在的普林斯顿大学欧根·黑金斯数学教授职位. 怀尔斯于1989年被选为在伦敦的皇家学会研究员. 1995年获瑞典皇家科学院的数学韶克奖. 同年获费尔马奖，由保罗萨巴提尔大学和马特拉马克尼空间颁发. 1996年获沃尔夫奖，和[美国]国家科学院奖.费马大定理的玩笑很多年以前，一个叫作费马的同志在法院工作，他总是抱这么一本书－－丢番图写的《算术》第三册，正如很多年以后一个叫做Jonny的人总是抱着一本Windows NT 宝典一样。

数论经典考题难题导言数论是数学中的一个分支，研究整数的性质与结构。

在数论的研究过程中，经常会遇到一些经典的考题难题。

本文将介绍数论中的一些经典考题难题，并给出相关的解答思路和方法。

1. 费马大定理（Fermat's Last Theorem）费马大定理是数论中一个历史悠久且备受关注的难题，又被称为费马猜想。

该定理的内容是：对于大于2的任意整数n，不存在满足$a^n+b^n=c^n$的正整数解a、b、c。

直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出了一种证明方法，这也被认为是20世纪最重要的数学定理之一。

2. 百万美元难题（Millennium Prize Problems）百万美元难题是由克雷数学研究所提出的七个数论和几何学领域的难题。

每个难题的解决者将获得一百万美元的奖金。

其中数论领域的两个难题是：- 黎曼猜想（Riemann Hypothesis）- 序列数学家猜想（The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）3. 素数分布问题（Prime Number Distribution）素数分布问题是数论中的一个重要难题。

该问题主要研究素数在整数序列中的分布情况。

由于素数分布的规律性一直以来都备受关注和研究，目前已有许多关于素数分布问题的猜想和定理。

4. 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）的性质斐波那契数列是数论中一个经典的序列，其定义是：第一个和第二个数是1，从第三个数开始，每个数都等于前两个数之和。

斐波那契数列常常出现在许多数论难题中，其性质也备受关注和研究。

5. 超越数问题（Transcendental Numbers）超越数问题是数论中的一个重要研究方向。

超越数指无法通过代数方程来表示的实数。

著名的超越数问题包括：黄金比例、自然对数的底数e等。

超越数问题长期以来都是数论中一个困难的问题，目前的研究仍在进行之中。

张益唐和陈景润结论都是错误的王晓明第一部分，张益唐的错误一，2013年5月，有人宣称，张益唐在孪生素数猜想研究取得突破。

人们发现张益唐证明结论使用的是一个集合概念。

并且，张益唐的结论是以特称判断论述的，就不具备基本的可信度。

张益唐公式：不等式左边表明一种性质，下确界是针对一组数据，极限针对函数和序列，而右边70000000是说左边的素数对，好了，破绽就在这里。

小于70000000的素数对是一个“集合概念”。

集合概念反映的是集合体，集合体有什么不对吗？概念的种类：1，单独概念和普遍概念a，单独概念反映独一无二的概念，例如，上海，孙中山，，，。

它们反映的概念都是独一无二的。

数学中的单独概念有“e”“Π”。

b，普遍概念，普遍概念反映的是一个对象以上的概念，反映的是一个“类”，这个词项的内涵由为了包含在词项外延所必须具有的事物的性质组成。

例如：工人，无论“石油工人”，“钢铁工人”，还是“中国工人”，“德国工人”，它们必然地具有“工人”的基本属性。

数学中的普遍概念有例如“素数”，“合数”，等2，集合概念和非集合概念。

a，集合概念反映的是集合体，这个词项的外延由词项所应用的事物集合组成，例如“中国工人阶级”，集合体的每一个个体不是必然具备集合体的基本属性，例如某一个“中国工人”，不是必然具有“中国工人阶级”的基本属性。

b，非集合概念（省略）。

大家明白了吗？张益唐如果要说不超过70000000的素数对具有无穷性质，必须对所有小于70000000的素数对逐一证明，就是要使用完全归纳法：1）相差2的素数对（这是一个类）无穷。

2）相差4的素数对（类）无穷。

3）相差6的素数对（类）无穷。

.......35000000）相差7000000的素数对（类）无穷。

张益唐没有确定相差不超过70000000的素数对都是无穷的。

张益唐等于什么也没有说。

顺便说一句，集合概念只是总结归纳，是不需要证明的。

二，什么是判断？判断就是对思维对象有所断定的形式。

数论概论参考答案数论概论参考答案数论是数学的一个分支，研究整数的性质和关系。

它是数学中最古老的分支之一，也是最基础的分支之一。

数论的研究对象是整数，而整数是数学中最简单的数，因此数论的内容也相对较容易理解。

然而，数论中的问题却常常具有很高的难度，需要深入的思考和研究才能得出解答。

本文将就数论的一些基本概念和常见问题进行探讨。

首先，我们来介绍一些数论中常见的概念。

在数论中，我们经常会遇到质数和因子的概念。

质数是指只能被1和自身整除的整数，例如2、3、5等。

而因子是指能够整除某个数的整数，例如12的因子有1、2、3、4、6和12。

在数论中，我们还会遇到最大公约数和最小公倍数的概念。

最大公约数是指能够同时整除两个数的最大整数，例如12和18的最大公约数是6。

最小公倍数是指能够同时被两个数整除的最小整数，例如12和18的最小公倍数是36。

接下来，我们来探讨一些数论中的常见问题。

一个经典的问题是质因数分解。

质因数分解是将一个数分解为若干个质数的乘积。

例如，24可以分解为2^3 * 3，其中2和3都是质数。

质因数分解在密码学和计算机科学中有着重要的应用，例如RSA加密算法就是基于质因数分解的难解性来保证信息的安全性。

另一个常见的问题是同余关系。

在数论中，同余关系是指两个数除以某个数所得的余数相等。

例如，对于任意整数a和b，如果它们除以3所得的余数相等，我们就说a和b是模3同余的。

同余关系在密码学和编码理论中有着广泛的应用，例如校验码的生成和错误检测。

数论中还有一个重要的概念是欧拉函数。

欧拉函数是指小于等于某个正整数n且与n互质的正整数的个数。

例如，欧拉函数φ(8)的值为4，因为小于等于8且与8互质的正整数有1、3、5和7。

欧拉函数在数论中有着广泛的应用，例如RSA加密算法的关键之一就是利用欧拉函数的性质来计算加密密钥。

最后，我们来讨论一些数论中的开放问题。

数论中有一些问题至今尚未得到解答，例如哥德巴赫猜想和费马大定理。

世界最大数学难题——黎曼猜想被证伪世界最大数学难题——黎曼猜想被证伪——梅晓春发现黎曼1859年的原始论文中存在四个基本错误福州原创物理研究所2019年8月20日，美国科学出版集团旗下的《数学快报》（Mathematics Letters）发表福州原创物理研究研究所所长梅晓春的文章《黎曼Zeta函数方程的不一致性问题》。

梅晓春发现黎曼1859年的原始论文中存在四个基本错误，黎曼猜想被证伪。

当今世界最大的数学难题，“黎曼猜想”问题被彻底解决。

黎曼猜想是数论中的一个著名问题，由德国数学家黎曼在1859年提出。

黎曼猜想被看成是近代数论的基石，它断言黎曼Zeta函数的所有零点都落在复平面a=1/2的点上。

黎曼猜想的证明非常困难，一百六十年以来，世界上有数不清的数学家前赴后继，试图证明或证伪黎曼猜想，但都没有成功。

梅晓春的文章证明黎曼的原始论文中存在四个基本错误，因此黎曼猜想不可能成立，实际上是没有意义的。

由此可以解释为什么黎曼猜想的证明是如此的困难，因为这个猜想的数学函数方程的本身就是错误的。

1900年在巴黎召开的世界数学大会上，被称为“数学界无冕之王”的德国数学家希尔伯特提出23个著名的数学难题，为二十世纪的数学研究定下基调，黎曼猜想问题位列其中。

到了二十世纪末，这些问题的大部分都被解决，只剩下少数几个进入二十一世纪，黎曼猜想就是其中的一个。

为了推进二十一世纪的数学发展，美国克莱因数学研究所在2000年又提出七个数学难题，并为每个问题的解决悬赏一百万美元，称为千禧年数学问题。

黎曼猜想是其中的一个，而且是希尔伯特遗留问题中唯一入选的一个。

黎曼猜想问题是如此的著名，可以用以下例子来说明。

有人曾问希尔伯特：如果你死去千年后复活，最想知道的是什么。

希尔伯特回答说：我想知道黎曼猜想被证明还是被证伪了。

美国数学家蒙哥马利则表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，大多数数学家想要的将会是黎曼猜想的证明。

世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。

欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。

但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。

欧拉一直到死也没有对此作出证明。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。

200年过去了，没有人证明它。

哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。

1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。

这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。

1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。

随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。

至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。

陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。

求素数公式公式之比较李君池内容提要“李君池求素数公式”的诞生，完美地解决了“找出好的求素数公式”这一“世界难题”。

虽然从古至今，在数论领域人们创造了若干个“求素数公式”，但没有一个“好的”“求素数公式”能让数论工作者用起来得心应手。

为了让读者朋友深刻感受“李君池求素数公式”的出色与完美，文章列举了“埃拉托斯特尼筛法”、“素数定理”、“素数生成公式”以及“素数计算公式”等几个著名的“求素数公式”与之相比较。

对于这几个人人敬仰的公式，本文没有作过多的点评，只是以展示为主，主要目的是让读者朋友们来评价“李君池求素数公式”与这几个著名公式相比较时的孰优孰劣。

关键词李君池求素数公式埃拉托斯特尼筛法素数定理素数生成公式素数计算公式2000多年前{HYPERLINK "/wiki/欧几里德"|欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求普遍公式的伏笔，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。

2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。

曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。

也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决。

在1900年的上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。

实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。

一、李君池求素数公式自“世界上第一个求素数公式”一文成稿之后，我查阅了很多数论中有关“求素数公式”方面的著作及相关文章，特别是在互联网上，我搜索查寻了大量的关于“求素数公式”的内容，发现：至今还没有一个“好的”“求素数公式”的出现。

“李君池求素数公式”确实无愧于当今“世界上第一个求素数公式”这一称号。

她的诞生能否会给整个数论领域带来变化和变革，对此，我充满了期待和自信；人们能否深刻理会、理解“李君池求素数公式”中所蕴含的、丰富的内涵，人们在数论研究中是否会逐步推广、采用、利用“李君池求素数公式”来解决相关的数论问题，对此，我拭目以待。

10大仍未解开的数学难题几个世纪以来，一些数学问题一直在困扰着我们，尽管近来超级计算机的出现让其中的一些难题取得了一些新进展，例如“三方求和”问题，但数学界仍然存在10大悬而未解的难题。

1.科拉兹猜想科拉兹猜想科拉兹猜想又称为奇偶归一猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。

澳大利亚数学家陶哲轩本月初，澳大利亚数学家陶哲轩对科拉兹猜想有了一个接近解决方案，但这个猜想仍未完全解决。

科拉兹猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤后，最终都会得到1，可能所有自然数都是如此。

目前已知数目少于1万的，计算最高的数是6171，共有261个步骤；数目少于10万的，步骤中最高的数是77031，共有350个步骤；数目少于100万的，步骤中最高的数是837799，共有524个步骤；数目少于1亿的，步骤中最高的数是63728127，共有949个步骤；数目少于10亿的，步骤中最高的数是670617279，共有986个步骤。

但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。

2.哥德巴赫猜想将一个偶数用两个素数之和表示的方法，等于同一横线上，蓝线和红线的交点数。

哥德巴赫猜想是数学界中存在最久的未解问题之一。

它可以表述为：任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。

例如，4 = 2 + 2；12 = 5 + 7；14 = 3 + 11 = 7 + 7。

也就是说，每个大于等于4的偶数都是哥德巴赫数，可表示成两个素数之和的数。

中国数学家陈景润哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。

目前最好的结果是中国数学家陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。

他用筛法证明了任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数的和或者一个素数及一个半素数（2次殆素数）的和。

1.1 数学三大危机1【单选题】根据美国克雷数学研究所制定的规则,任何一个千禧年猜想的解答,只要发表在数学期刊上,并经过()年的验证期,解决者就会被颁发一百万美元。

答案：2•A、3•B、2•C、4•D、12【单选题】计算机科学领域内最大的奖项是()。

答案：图灵奖•A、图灵奖•B、诺贝尔奖•C、菲尔兹奖•D、中国计算机学会创新奖3【单选题】在世界数学史上,共发生了()次数学危机? 答案：3•A、1•B、2•C、3•D、44【单选题】集合论的创始人是()。

答案：C•A、柯西•B、牛顿•C、康托尔•D、图灵5【单选题】下面哪个悖论产生第三次数学危机。

( ) 答案：罗素悖论•A、大旅馆悖论•B、贝克莱悖论•C、基诺悖论•D、罗素悖论6【单选题】1936年,英国图灵提出了一种理想的计算机器的数学模型,被称为()。

答案：图灵机•A、电脑•B、计算器•C、计算机•D、图灵机7【单选题】截止2017年9月,世界最权威的超级计算机排名第一名是()。

答案：神威太湖之光•A、神威太湖之光•B、天河一号•C、天河二号•D、瑞士卢加诺国家超算中心8【单选题】无理数产生于第()次数学危机? 答案：1•A、1•B、2•C、3•D、49【判断题】哥德尔不完备定理说明在任何一个数学系统肯定能找到一个命题,即无办法证明它,也无办法推翻。

( ) 答案：×10【判断题】2019年9月,根据世界最权威的TOP500超级计算机排名,第一名是美国的Summit超级计算机。

( ) 答案：√11【判断题】罗素悖论产生第3次数学危机。

() 答案：正确12【判断题】无理数产生于第3次数学危机。

() 答案：错误1.2算法的作用（上）1【单选题】在数据科学中, AI是()的英文简称答案：人工智能•A、机器学习•B、人工智能•C、大数据挖掘•D、智能计算2【单选题】AlphaGoZero最核心的技术有()。

答案：启发式搜索和深度残差网络•A、启发式搜索和深度残差网络•B、建立模型和启发式搜索•C、大数据挖掘和云计算•D、深度残差网络3【判断题】算法为了求解可计算问题,是任何定义好的计算过程。

费马大定理最后的证明自费马大定理提出后的350年以来，许多优秀的数学家采用种种方法试图补证这个定理，但始终都未获得成功。

英国的数学家怀尔斯十年磨一剑，终于于1995年彻底解决了这一问题。

十七世纪法国数学家费尔马（Fermat）在刁番都（Diophantine）著作的一页边上写了一个猜测“X n+Y n=Z n当ｎ>2时没有正整数解。

”后人称此猜想为费尔马大定理。

费尔马接着写道：“对此，我已发现了一个巧妙的证明，可惜这里页边的空白太小，写不下。

”费尔马去世之后，他的儿子把费尔马的著述、书信以及费尔马校订刁番都的著作都一起发表了，但没有发现费尔马大定理的证明，费尔马是否真正能够证明这个猜想，至今仍然是个谜。

三百多年以来，许多优秀的数学家采用种种方法试图补证这个定理，但始终都未获得成功，直至最近才有英国的怀尔斯（Andrew Wiles）解决。

历史性的转变发生在1993年6月21日至23日这三天，当时在普林斯顿数学系任教的40岁的怀尔斯正在英国剑桥大学举行一次约有40至60人出席的数学会议上，每天做一段演讲，题目是“模形式，椭圆曲线和伽罗华表示”。

从题目上看不出他要讲的是费尔马大定理，但是他演讲的最后一句话是：“这表明费尔马大定理成立，证毕。

”怀尔斯的证明引起了数学界的很大关注，他的初稿虽然有少许瑕疵，但是稍后被怀尔斯自己修正过来。

纽约时报曾在1993年6月29日以“安德鲁·怀尔斯放出数学卫星，350年的古老问题已被攻克”为题发表有关报道。

费马大定理最后的证明为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。

1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用130页长的篇幅证明了费马大定理。

怀尔斯成为整个数学界的英雄。

大问题在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不解。

E·T·贝尔（Eric Temple Bell）在他的《大问题》（The Last Problem）一书中写到，文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。

华罗庚及国外的数学家们给出的证明是错误的参考文献：哈尔滨工业大学出版社出版的王元《谈谈素数》第41页上面的证明是错误的。

众所周知：每个大于等于6的偶数N中的奇数对个数：N=2n+4中共有n个不相同的奇数，共有n个不相同的奇数对。

奇数对分类与N相关的有四种：[1]（奇素数，奇素数），简称：1+1，令有r2(N)个[2]（奇合数，奇合数），简称：C+C,令有C(N)个[3]（奇素数，奇合数），简称：1+C,令有M(N)个[4]（奇合数，奇素数），简称：C+1,令有W(N)个设N=2n+4中共有π(N-3)-1个不相同的奇素数，则：r2(N)+C(N)+W(N)+M(N)=n (1)M(N)=π(N-3)-1- r2(N) (2)W(N)=π(N-3)-1- r2(N) (3)N=2n+4 (4)有<1>,<2>,<3>,<4>式可得：r2(N)=C(N)+2π(N-3)-N/2r2(N)/N=C(N)/N+2π(N-3)/N-1/2当N趋向于无穷大时，上式取极限运算：limr2(N)/N=limC(N)/N+lim2π(N-3)/N-1/2N→+∞ N→+∞ N→+∞根据素数出现的概率为0有：limπ(N)/N=0，N→+∞而r2(N)＜π(N-3)＜π(N),所以：limr2(N)/N=0，N→+∞lim2π(N-3)/N=2limπ(N-3)/N =0N→+∞ N→+∞即：limC(N)/N+lim2π(N-3)/N-1/2N→+∞ N→+∞=limC(N)/N+0-1/2N→+∞=limC(N)/N-1/2=0N→+∞即：limC(N)/N=1/2N→+∞很清楚，华罗庚及国外的数学家们所描述的M(x)=C(N)+2W(N)=N/2+r2(N)，他们的x=N,那么：limM(x)/x=lim(C(N)+2W(N))/NN→+∞ N→+∞=lim(N/2+r2(N))/N=1/2N→+∞limM(x)/x=1/2N→+∞换句话说，就是使命题（A）成立的偶数的“出现概率”等于1/2，而不是1。

【关键词】标准及非标准无穷大数假自然数集推翻百年自然数公理和集论极限论级数论变量的变域【摘要】可数集的各元都必可有自然数―配偶‖这一特点使自识正整数5千年来一直―深埋地下‖的最大自然数及无穷多无穷大自然数一下子―破土而出‖推翻百年―标准实数完备‖论，显示已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球！从而揭示中、小学课本有一系列重大错误：搞错变量的变域而将部分误为全部（继而推出病态的―部分可=全部‖）；误以为―有首项的无穷数列必无末项‖使级数论有常识性与概念性错误而使小学课本违反起码数学常识地断定0.99...=1；...。

一、极限论极难学的真因：常人拒绝思想混乱的理论―数学是研究无穷的学科。

‖标准分析之前2千多年的数学一直使用无穷数进行推理计算并取得了一系列伟大成就，只不过对这类举足轻重的―更无理‖数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了；本文表明实现此飞跃破解由―错误的无穷数概念‖竟能推出许多正确结果这一―神秘‖之谜竟须历时2千多年！太伟大的实践往往远远超前理论2千多年。

故―数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而非由那些长于做出严格证明的人们[1]。

‖当理论无法解释伟大实践时恰恰表明理论有重大缺陷，不能反而由理论来否定无穷数和行之极有效的无穷小数分析法（以下简称w法）。

若无穷数不存在，w法就不堪一击而绝不可2千多年不倒。

―‗真人不露相‘，数学大厦有‗不露相‘的骨干数。

没有包在墙内的钢筋铁骨的大厦，越建得高就越不堪一击[2]。

‖本文表明否定这类数是百年重大冤案。

有超常直觉的莱布尼茨运用<任何有穷正数的无穷小正数，建立了微积分。

但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的，须以极限法来取代w法。

然而[2]指出极限论有百年糊涂话。

最关键要弄清j式0＜ρ=1/n＜任意给定的正数ε中的ε是在哪一范围内任意给定的数？能否在所有正数中任意给定？不能说清此一不通则百不通的最关键问题，就表明极限论是含混不清的——这是其诲涩难懂、极难学难教严重拖了学生学习物理等相关学科后腿的真正原因——因正常人都有天生拒绝接受思想混乱的―高深‖学说的本能。