8 利用均值不等式求最值
高考要求：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并 会应用求最值•
考查形式：1.以选择题或填空题的形式考查利用基本不等式求最值问题 .
2. 以解答题形式考查求函数最值问题.
一、回归课本
1. _______________________ a>0, b>0时，称 ____________________ 为a , b 的算术平均数；称 ___________________________ 为a , b 的几何平均数.
2. _________________________________________ 定理1如果a 、b R ,那么a 1 2+ b 2 2ab （当且仅当 _________________________________________ 时 取 丄”号）
3. _____________________________________ 定理2如果a 、b R ，那么耳 > （当且仅当a = b 时取 二”号）即两个数的算术 平均数不小于它们的几何平均数.
4. 已知x 、y R ', x + y = P , xy = S.有下列命题：
⑴ 如果S 是定值，那么当且仅当x = y 时，x + y 有最小值 __________________ .（积定和最小） ⑵ 如果P 是定值，那么当且仅当x = y 时，xy 有最大值 _____________________ .（和定积最大）
二、引例：下列问题的解法是否正确，如果错误，请指出错误原因.
1
（1）.求函数y = x •— x = o 的值域.
x 1 ' 1 1
解：；y = x 2 x 2 . y = x
的值域为 2, •::
x V x x
错误原因：不满足各项为正数
1 1
1
正解：当x 0时，幕y = x • — _2、x
2，当且仅当x 即x =1时，等号成立
x V x
x 1
1 1
1
当 x :：: 0时，- x 0, o. （-x ） • （
）_2,. y 二 x ，
2，当且仅当 x 即 x =「1 时，等号
x
x
x
x
成立
3
⑵已知0 ：：： x ，求函数 y 二x （3 -2x ）的最大值.
2 3
x 川‘3~2 x 2
3—x 2
解：0 ■ x <2， •x ・0,3-2x ・0, y=x （3-2x ）iu
） =（
）•函数无最大值
错误原因：不满足和为定值
3
1
1 正解： 0 ：：x 厂 x 0,3—2x 0, y=x(3—2x)
2x(3—2x)_^(
2
3
解：；x 2 4 0，—%2=4 °，厂厂 J V x 2 +4
-函数的最小值为2
1 ,2x 3 — 2X 、2
当且仅当2x =3「2x，即x 时，等号成立，•函数最大值为
4
—2 1
(3).求函数y =x2 4 --------- 的最小值.
Ux2 +4
-2
8
1
正解：利用函数的单调性求解。
小结：使用均值不等式求最值的条件： 一正(各数为正数)二定(和或积为定值)三相等(等 号在允许的取值范围内能取到)
三、例题讲解：《导与练》P 80例2
一 1 1
例2 (2)错解：；x • 0, y • 0. 1 = x • y _ 2.. xy . xy "，当且仅当x = y
时等号成立
又8+2 > 2 ,1^ > 2 J16 ‘4 = 16，当且仅当8 — 2，即x=4,y=」时，等号成立。
x y xy x y 5 5 错解的原因：使用了两次均值不等式，但是等号成立的条件却不能同时满足。
小结：使用均值不等式求函数最值的变形技巧： 添常数、配系数、“ 1”的代换、拆项、分离 变量(分式型) 课堂练习：《导与练》P 80变式训练2-1
4
补充：1、设X 2「1,求y = x 6 的最值。
X +1
解：
x
4 x 1 0 • "X 1 代 5_2 (x D x 41 仁4®9
4
4
当且仅当x 1
，即x =1时，等号成立，所以
y = x • 6
的最小值为9
X +1
X +1
变形1：把条件改为X ::： -1呢？ 解： x :：-1,. x 1 ：：0,-(x 1)
0， I-(X 1)1
—4—
4,. (x 1) —^_-4
IL- (x 1)
(x 1)
4
所以y = x • 6 的最大值为1
x+1
变形2:设X
-1，求y r (X 5)(x 2)的最值。
x+1
错误原因:
解:
2
x 7x 10 x+1
2
(x 1)
5(x 1) 4
x+1
4
=(x 1)
5
x T, x 1 0 5=45=9
5-2
4 x 1
