第一章整式的乘除
1.逆用幂的运算法则解题
(1)逆用同底数幂相乘的法则解题:同底数幂相乘的法则是a m×a n=a m+n(m,n都是正整数),反过来是
a m+n=a m×a n.逆用同底数幂相乘的法则解题,能使运算简便.
【例】已知a m=2,a n=3,求a m+n的值.
【标准解答】因为a m+n=a m·a n,
把a m=2,a n=3代入a m+n,
得a m+n=2×3=6.
(2)逆用幂的乘方的法则解题:幂的乘方法则是(a m)n=a mn(m,n都是正整数),反过来是a mn=(a m)n.逆用幂的乘方的法则解题,能使运算简便.
【例】已知a m=2,求a2m的值.
【标准解答】因为a2m=(a m)2,把a m=2代入a2m,得a2m=22=4.
(3)逆用积的乘方的法则解题:积的乘方的法则是(a×b)n=a n×b n(n是正整数).反过来是a n×b n=(a×b)n.逆用积的乘方的法则解题,能使运算简便.
【例】计算:×22016.
【标准解答】×22016
=×2=12015×2
=2.
(4)逆用同底数幂相除的法则解题:同底数幂相除的法则是a m÷a n=a m-n(m、n都是正整数),反过来是
a m-n=a m÷a n.逆用同底数幂相除的法则解题,能使运算简便.
【例】已知a m=2,a n=3,求a m-n的值.
【标准解答】因为a m-n=a m÷a n,
把a m=2,a n=3代入a m-n,
得a m-n=2÷3=.
1.已知a m=2,a n=3,求a3m+2n的值.
2.当4x=9时,计算21-2x的值是多少?
3.求(-8)2015×(0.125)2016的值.
2.用图形面积表示整式的乘法法则(公式)
(1)用图形面积表示平方差公式:
数形结合是重要的数学思想方法之一,通过两个图形的面积变化来直观的反映平方差公式.
【例】将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是.
【标准解答】图甲的面积可以表示为(a-b)·
(a+b),图乙可以看作一个边长为a的正方形去掉一个边长为b的正方形,其面积等于a2-b2,因此有(a+b)(a-b)=a2-b2.
答案:(a+b)(a-b)=a2-b2
(2)用图形面积表示多项式乘以多项式的法则:
数形结合是重要的数学思想方法之一,通过数和形两个方面可说明多项式乘以多项式的法则.
【例】新知识一般有两类:第一类是不依赖于其他知识的新知识,如“数”“字母表示数”这样的初始性的知识;第二类是在某些旧知识的基础上进行联系、推广等方式产生的知识,大多数知识是这样的知识.
(1)多项式乘以多项式的法则,是第几类知识?
(2)在多项式乘以多项式之前,你已拥有的有关知识是哪些?(写出三条即可)
(3)请你用已拥有的有关知识,通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则是如何获得的?(用(a+b)(c+d)来说明)
【标准解答】(1)是第二类知识.
(2)单项式乘以多项式(分配律),字母表示数,数可以表示线段的长或图形的面积等.
(3)用数来说明:(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd.
用形来说明:如图,边长为a+b和c+d的矩形,分割前后的面积相等,即(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd.
(3)用杨辉三角表示完全平方公式的系数:
杨辉三角反映了两数和的n次方,即展开式各项的系数的规律,直观形象,简单易记. 【例】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(n为正整数)的展开式
(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应=a2+2ab+b2展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等.
(1)根据上面的规律,写出的展开式.
(2)利用上面的规律计算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1.
【标准解答】(1)=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
(2)原式=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3+5×2×(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1.
1.如图,矩形ABCD的面积为(用含x的代数式表示).
2.先阅读后作答:我们已经知道,根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式,实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明.例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图①的面积关系来说明.
(1)根据图②写出一个等式.
(2)已知等式:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,请你画出一个相应的几何图形加以说明.
3.有足够多的长方形和正方形的卡片,如图:
(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张,可拼成一个长方形(不重叠无缝隙).请画出这个长方形的草图,并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.
.
这个长方形的代数意义是.
(2)小明想用类似的方法解释多项式乘法(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2,那么需用2号卡片张,3号卡片张.
4.如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均匀分成四块形状大小完全一样的小长方形,然后按图b形状拼成一个大正方形.
(1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少?
(2)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?代数式:(m+n)2,(m-n)2,mn.
(3)已知m+n=9,mn=14,求(m-n)2的值.
