2014年中考数学分类汇编

2014年中考数学分类汇编——运动变化类的压轴题一、单动点问题【题1】(2014年江苏徐州第28题)如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E 从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．【题2】（2014•湖州第24题）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【题3】(2014年四川省绵阳市第24题)如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．【题4】(2014年浙江绍兴第25题)如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y 轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y 轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．【题5】（2014•无锡第28题）如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数关系式；②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．【题6】（2014•杭州第22题）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP=x．（1）用含x的代数式分别表示S1，S2；（2）若S1=S2，求x的值．【题7】（2014.福州第21题）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°. 动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动. 设运动时间为t秒.（1）当1t2=时，则OP= ▲ ，ABPS∆=▲ ；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AP BP3⋅=.【题8】（2014•成都第28题）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k ＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与x轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【题9】（2014•黄冈第25题）已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t ＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．二、双动点问题【题1】（2014年山东烟台第25题）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F 的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP 的最小值．【题2】（2014•温州第24题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标．（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形．（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N 分别在一，四象限，在运动过程中▱PCOD的面积为S．①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．【题3】(2014年湖北随州第25题)平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点C 的坐标为（﹣3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax2+bx+c 经过C、O、A三点．（1）直接写出这条抛物线的解析式；（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCD的面积为S2，当S1≤S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；（3）如图2，D（0，﹣）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O﹣A ﹣B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t＜6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．【题4】（2014•武汉第24题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．【题5】（2014•扬州第28题）已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ．①求证：△OCP ∽△PDA ；②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．【题6】（2014昆明第23题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C. （1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使2:5S P B QC B K =△△：S ，求K 点坐标.【题7】（2014年四川巴中第31题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx ﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．。

2014年各地中考数学试卷解析版分类汇编圆（一）点直线与圆的位置关系一、选择题1. （2014山东济南）如图，O ⊙的半径为1，ABC 是O ⊙的内接等边三角形，点D ，E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是A ．2B ．3C ．23 D ．23 2. （2014•山东淄博）如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB ，E ，F 为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF ．若⊙O 的半径为5/2，CD=4，则弦EF 的长为（ ）A ． 4B ．2C ． 5D ． 63．（2014•四川宜宾）已知⊙O 的半径r =3，设圆心O 到一条直线的距离为d ，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m ，给出下列命题：①若d ＞5，则m =0；②若d =5，则m =1；③若1＜d ＜5，则m =3；④若d =1，则m =2；⑤若d ＜1，则m =4．其中正确命题的个数是（ ） A ． 1B ．2 C ．4 D ．5 ABCDE．O第13题图4．（2014•四川内江）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．15.（2014•甘肃白银、临夏）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断二、填空题1. （2014•江苏苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是．2．（2014•四川宜宾）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM= __ ．三、解答题1. （2014•四川巴中）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．2. （2014•山东威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE 的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．3. （2014•山东枣庄）如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．（1）求OD的长；（2）求CD的长．4. （2014•山东潍坊）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．(1)求证：OD∥BE；(2)若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．5.（2014•江西抚州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过x 轴上一点C ，与y 轴分别交于A 、B 两点，连接AP 并延长分别交⊙P 、x 轴于点D 、E ，连接DC 并延长交y 轴于点F ，若点F 的坐标为(0 ,1),点D 的坐标为(6 ,－1).⑴ 求证：DC FC =⑵ 判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由. ⑶ 求直线AD 的解析式.6．（2014山东济南） 如图，AB 与O ⊙相切于C ，B A ∠=∠，O ⊙的半径为6，AB ＝16，求OA 的长.7．（2014•山东聊城）如图，AB ，AC 分别是半⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，过点A 作半⊙O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ．连接PC 并延长与AB 的延长线交于点F ． （1）求证：PC 是半⊙O 的切线；（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF 的长．8. （2014•浙江杭州）在直角坐标系中，设x 轴为直线l ，函数y=﹣x ，y=x 的图象分别是直线l 1，l 2，圆P （以点P 为圆心，1为半径）AB CO第23题（2）图与直线l，l1，l2中的两条相切．例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标．（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．9. (2014年贵州黔东南)已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．（1）求证：△ACB∽△CDB；（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．10.（2014•遵义）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F．（1）求证：CF=DB；（2）当AD=时，试求E点到CF的距离．11.（2014•十堰）如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=3/4，求sin∠E的值．12.（2014•娄底）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．13.(2014年湖北咸宁)如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若点E 为的中点，AD=，AC=8，求AB和CE的长．14.（2014年河南）如图,CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O 的切线P A、PB，切点分别为点A、B.（1）连接AC,若∠APO＝300，试证明△ACP是等腰三角形；（2）( 2014年河南)填空：①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；…………7分AP C O DB②当DP =____cm 时，四边形AOBP 是正方形．…………9分15. （2014•江苏盐城）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D=2∠CAD ． （1）求∠D 的度数；（2）若CD=2，求BD 的长．16. ．(2014•年山东东营)如图，AB 是⊙O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点E ，且交⊙O 于点D ，F 是BA 延长线上一点，若∠CDB=BFD ． （1）求证：FD 是⊙O 的一条切线； （2）若AB=10，AC=8，求DF 的长．17. （2014•山东临沂）如图，已知等腰三角形ABC 的底角为30°，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过D 作DE ⊥AC ，垂足为E ． （1）证明：DE 为⊙O 的切线；（2）连接OE ，若BC=4，求△OEC 的面积．18．（2014•四川遂宁）已知：如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，过点C 的切线与直径AB 的延长线相交于点P ，连结PD ．图2PCOD AB（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）求证：PD2=PB•P A．（3）若PD=4，tan∠CDB=1/2，求直径AB的长．19．（2014•四川凉山州）已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．20．（2014•四川泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．21．（2014•四川宜宾）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D 是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=5，cos∠A=2/5，求BE的长．22．（2014•甘肃白银）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．23．（2014•甘肃兰州）如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．24．（2014•广东梅州）如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若∠AOB=120°，AB=4，求⊙O的面积．（二）圆与圆的位置关系一、选择题1. （2014•山东枣庄）⊙O1和⊙O2的直径分别是6cm和8cm，若圆心距O1O2=2cm，则两圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切2. （2014•娄底）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（）A．外切B．相交C．内切D．外离3．（2014•四川遂宁）若⊙O1的半径为6，⊙O2与⊙O1外切，圆心距O1O2=10，则⊙O2的半径为（）A．4B．16 C．8D．4或164．（2014•四川泸州）如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2=8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外切B．相交C．内含D．内切5．（2014•甘肃兰州）两圆的半径分别为2cm，3cm，圆心距为2cm，则这两个圆的位置关系是（）A．外切B．相交C．内切D．内含6．（2014•广州,第5题3分）已知和的半径分别为2cm和3cm，若，则和的位置关系是（）．（A）外离（B）外切（C）内切（D）相交二、填空题1. 半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径等于．2. （2014•湖南张家界）已知⊙O1与⊙2外切，圆心距为7cm，若⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径是_____cm．3. （2014•江苏徐州）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm，若圆P与这两个圆都相切，则圆P的半径为__cm．第11 页共11 页。

2014年中考数学试卷分类汇编-材料阅读题、新定义D专题：新定义．分析： 如果设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6），先根据新定义运算得出（x 3+x 4）+（y 3+y 4）=（x 4+x 5）+（y 4+y 5）=（x 5+x 6）+（y 5+y 6）=（x 4+x 6）+（y 4+y 6），则x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6，若令x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6=k ，则C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）都在直线y=﹣x+k 上．解答： 解：∵对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），A⊕B=（x 1+x 2）+（y 1+y 2），如果设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6），那么C⊕D=（x 3+x 4）+（y 3+y 4）， D⊕E=（x 4+x 5）+（y 4+y 5）， E⊕F=（x 5+x 6）+（y 5+y 6）， F⊕D=（x 4+x 6）+（y 4+y 6）， 又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴（x 3+x 4）+（y 3+y 4）=（x 4+x 5）+（y 4+y 5）=（x 5+x 6）+（y 5+y 6）=（x 4+x 6）+（y 4+y 6）， ∴x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6，令x 3+y 3=x 4+y 4=x 5+y 5=x 6+y 6=k ，则C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），E （x 5，y 5），F （x 6，y 6）都在直线y=﹣x+k 上， ∴互不重合的四点C ，D ，E ，F 在同一条直线上． 故选A ． 点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．5、（2013达州）已知()()11f x x x =⨯+，则 ()()11111112f ==⨯+⨯ ()()11222123f ==⨯+⨯……已知()()()()1412315f f f f n ++++=，求n 的值。

不等式(组)一、选择题1. （2014•山东威海，第7题3分）已知点P （3﹣m ，m ﹣1）在第二象限，则m 的取值范围． ． ． ．2. （2014•山东潍坊，第7题3分）若不等式组⎩⎨⎧--≥+2210x x a x 无解，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥一1B ．a <－1C ．a ≤1 D.a ≤－1 考点：解一元一次不等式组．分析：先求出②中x 的取值范围，再根据不等式组无解确定a 的取值范围即可． 解答：解①得，x ≥－a ，解②得，x ＜1,由于此不等式组无解，故－a ≥1, a ≤－1． 故选D ．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解法，解答此题的关键是熟知解不等式组解集应遵循的原则“同大取较大，同小去较小，大小小大中间找，大大小小解不了”的原则． 3. 1．（2014•湖南怀化，第6题，3分）不等式组的解集是（ ）解：解：∵由题意可得5. （2014•江苏盐城,第5题3分）不等式组的解集是（）的解集是6．（2014•四川遂宁，第8题，4分）不等式组的解集是（）7．（2014•四川南充，第题6，3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C． D分析：根据不等式的基本性质解不等式得解集为﹣2＜x≤3，所以选D．解：解不等式得：x≤3．解不等式x﹣3＜3x+1得：x＞﹣2所以不等式组的解集为﹣2＜x≤3．故选D．点评：考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．4.5.6.7.8.二、填空题1. （2014•上海，第9题4分）不等式组的解集是3＜x＜4．，2. （2014•山东聊城，第13题，3分）不等式组的解集是﹣＜x≤4．解：3.（2014•十堰13．（3分））不等式组的解集为﹣1＜x≤2．4,（2014•娄底14．（3分））不等式组的解集为2＜x≤5．，由①得，5. (2014年湖北咸宁11．（3分）)不等式组的解集是x≤﹣2．考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＜1，由②得，x≤﹣2．故此不等式组的解集为：x≤﹣2．故答案为：x≤﹣2．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（2014•四川内江，第24题，6分）已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是1≤k＜3．3. 4. 5. 6. 7. 8.三、解答题1. （2014•四川巴中，第22题5分）定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a △b =ab ﹣a ﹣b +1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x 的值大于5而小于9，求x 的取值范围．考点：新定义．分析：首先根据运算的定义化简3△x ，则可以得到关于x 的不等式组，即可求解． 解答：3△x =3x ﹣3﹣x +1=2x ﹣2，根据题意得：，解得：＜x ＜．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键． 2. （2014山东济南，第22题，7分）（2）解不等式组：⎩⎨⎧+≥-<-24413x x x ．【解析】由13<-x 得4<x ；由244+≥-x x 得2≥x ． 所以原不等式组的解为42<≤x ．3. (2014年贵州黔东南19．（10分）)解不等式组，并写出它的非负整数解．考点： 解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，找出符合条件的x 的非负整数解即可．解答： 解：，由①得，x ＞﹣，由②得，x＜，故此不等式组的解集为：﹣＜x＜，它的非负整数解为：0，1，2，3．点评：本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．4. (2014年贵州黔东南)黔东南州23．（12分）某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题；（2）分情况：不大于20件；大于20件；分别列出函数关系式即可；（3）设购进玩具x件（x＞20），分别表示出甲种和乙种玩具消费，建立不等式解决问题．解答：解：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，由题意得，解得，答：件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元；（2）当0＜x≤20时，y=30x；当x＞20时，y=20×30+（x﹣20）×30×0.7=21x+180；（3）设购进玩具x件（x＞20），则乙种玩具消费27x元；当27x=21x+180，则x=30所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可；当27x＞21x+180，则x＞30所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱；当27x＜21x+180，则x＜30所以当购进玩具少于30件，选择购乙种玩具省钱．点评：此题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的运用，理解题意，正确劣势解决问题．5.（2014•遵义20．（8分））解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．6. （2014•江苏苏州,第20题5分）解不等式组：．，7. (2014•年山东东营,第19题7分)（2）解不等式组：把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解；特殊角的三角函数值．菁优网专题：计算题．分析：（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：（2），由①得：x＜1；由②得：x≥﹣，∴不等式组的解集为﹣≤x＜1，，则不等式组的整数解为﹣1，0．点评：此题考查了解不等式组．8. （2014•江苏徐州,第20题5分）（2）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．菁优网分析：（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：（2），由①得，x≥0，由②得，x＜2，故此不等式组的解集为：0≤x＜2．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（2014•四川内江，第27题，12分）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？，10．（2014•四川南充，第23题，8分）今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件．（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w，并写出x的取值范围；（2）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费．分析：（1）表示出从A基地运往乙销售点的水果件数，从B基地运往甲、乙两个销售点的水果件数，然后根据运费=单价×数量列式整理即可得解，再根据运输水果的数量不小于0列出不等式求解得到x的取值范围；（2）根据一次函数的增减性确定出运费最低时的运输方案，然后求解即可．解：（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，则从A基地运往乙销售点的水果（380﹣x）件，从B基地运往甲销售点水果（400﹣x）件，运往乙基地（x﹣80）件，由题意得，W=40x+20（380﹣x）+15（400﹣x）+30（x﹣80），=35x+11000，即W=35x+11000，∵，∴80≤x≤380，即x的取值范围是80≤x≤380；（2）∵A地运往甲销售点的水果不低于200件，∴x≥200，∵35＞0，∴运费W随着x的增大而增大，∴当x=200时，运费最低，为35×200+11000=18000元，此时，从A基地运往甲销售点水果200件，从A基地运往乙销售点的水果180件，从B基地运往甲销售点水果200件，运往乙基地120件．点评：本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确表示出从A、B两个基地运往甲、乙两个销售点的水果的件数是解题的关键．11．（2014•四川宜宾，第20题，8分）在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？，解得：，即12．（2014•甘肃白银,第20题6分）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为=ad﹣bc．如=2×5﹣3×4=﹣2．如果有＞0，求x的解集．解不等式：，并在数轴上表示解集.【考点】不等式解法【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去，再同时加上，再除以，不等号的方向不变.注意在数轴上表示时，此题是小于等于号，应是实心点且方向向左.【答案】解：移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，，在数轴上表示为：6.7.8.。

一元一次方程及其应用一、选择题1. (2014年湖北咸宁2．（3分）)若代数式x+4的值是2，则x等于（）A． 2 B．﹣2 C． 6 D．﹣6考点：解一元一次方程；代数式求值．分析：根据已知条件列出关于x的一元一次方程，通过解一元一次方程来求x的值．解答：解：依题意，得x+4=2移项，得x=﹣2故选：B．点评：题实际考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．二、填空题1. （2014•娄底13．（3分））已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为1．三、解答题1.（2014•江西抚州，第19题，8分）情景：试根据图中的信息，解答下列问题：⑴购买6根跳绳需元，购买12根跳绳需元.⑵小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由.解析：(1)25×6=150, 25×0.8×12=240.(2)有这种可能.设小红买了x根跳绳，则25×0.8·x=25(x－2)-5 ,解得x=11.∴小红买了11根跳绳.2.（2014•山东淄博,第21题8分）为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：档次每户每月用电数（度）执行电价（元/度）第一档小于等于200 0.55第二档大于200小于400 0.6第三档大于等于400 0.85例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85=357（元）．某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各月电多少度？考点：一二元一次方程的应用．菁优网分析：某户居民五、六月份共用电500度，就可以得出每月用电量不可能都在第一档，分情况讨论，当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电（500﹣x）度，当5月份用电量为x 度＞200度，六月份用电量为（500﹣x）度＞x度，分别建立方程求出其解即可．解答：解：当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电（500﹣x）度，由题意，得0.55x+0.6（500﹣x）=290.5，解得：x=190，∴6月份用电500﹣x=310度．当5月份用电量为x度＞200度，六月份用电量为（500﹣x）度，由题意，得0.6x+0.6（500﹣x）=290.5，300=290.5，原方程无解．∴5月份用电量为190度，6月份用电310度．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，分类讨论思想的运用，解答时由总价=单价×数量是关键．。

整式与因式分解一、选择题））4. （2014•山东枣庄，第9题3分）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）解析：选C . ∵A= －a ，B=x y 3312 ，D=x 12168．（2014山东济南，第3题，3分）下列运算中，结果是5a 的是A ．23a a ⋅B ．210a a ÷C ．32)(aD ．5)(a -【解析】由同底的幂的运算性质，可知A正确．2A．a2•a3=a6B．（a2）3=a6C．（a+b）2=a2+b2D．+=考点：完全平方公式；实数的运算；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方专题：计算题．分析：A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；D、原式不能合并，错误．解答：解：A、原式=a5，错误；B、原式=a6，正确；C、原式=a2+b2+2ab，错误；D、原式不能合并，错误，故选B点评：此题考查了完全平方公式，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．3222﹣==±2=215.（2014•娄底12．（3分））按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为55．16.(2014年湖北咸宁3．（3分）)下列运算正确的是（）A．+=B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．（π﹣2）0=1 D．（2ab3）2=2a2b6考点：完全平方公式；实数的运算；幂的乘方与积的乘方；零指数幂．分析：根据二次根式的加减，积的乘方，等于先把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式，及0次幂，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、和不是同类二次根式，不能加减，故本选项错误；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2故本选项错误；C、（π﹣2）0=1故本选项正确；D（2ab3）2=8a2b6，故本选项错误．故选：C．点评：本题考查了积的乘方的性质，完全平方公式，0次幂以及二次根式的加减，是基础题，熟记各性质与完全平方公式是解题的关键．2n20. （2014•山东淄博,第6题4分）当x=1时，代数式ax﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（）A．7 B． 3 C． 1 D．﹣7考点：代数式求值．菁优网专题：整体思想．分析：把x=1代入代数式求值a、b的关系式，再把x=﹣1代入进行计算即可得解．解答：解：x=1时， ax3﹣3bx+4=a﹣3b+4=7，解得a﹣3b=3，当x=﹣1时， ax3﹣3bx+4=﹣a+3b+4=﹣3+4=1．故选C．点评：本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．22．（2014•四川泸州，第2题，3分）计算x2•x3的结果为（）23．（2014•四川南充，第2题，3分）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a5B．（a2）3=a5C．a3+a3=a6D．（a+b）2=a2+b2分析：根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据合并同类项，可判断C；根据完全平方公式，可判断D．解：A 、底数不变指数相加，故A 正确；B 、底数不变指数相乘，故B 错误；C 、系数相加字母部分不变，故C 错误；D 、和的平方等于平方和加积的二倍，故D 错误； 故选：A ．点评：本题考查了完全平方公式，和的平方等于平方和加积的二倍． 24．（2014•福建福州,第4题4分）下列计算正确的是【 】A ．4416x x x ⋅=B ．()235a a = C ．()326ab ab = D ．a 2a 3a +=25．（2014•广州,第4题3分）下列运算正确的是（ ）． （A ） （B ）（C ）（D ）【考点】整式的加减乘除运算． 【分析】，A 错误；，B 错误；，C 正确；，D 错误．【答案】C二、填空题22. （2014•四川巴中，第13题3分）分解因式：3a 2﹣27= ．考点：因式分解．分析： 应先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解答：3a 2﹣27=3（a 2﹣9）=3（a 2﹣32）=3（a +3）（a ﹣3）．点评：本题考查了提公因式法和平方差公式分解因式，需要进行二次分解因式，分解因式要彻底．3. （2014•山东潍坊，第13题3分）分解因式：2x (x －3)一8= .考点：因式分解－十字相乘法等．分析：先提公因式，再按十字相乘法分解因式．解答：2x (x －3)一8=2x 2－6x －8=2(x 2－3x －4)=2(x －4)(x +1)故答案为：2(x －4)(x +1)点评：本题重点考查了整式的分解因式这个知识点，分解因式要注意有公因式，应先提取公因式，然后再考虑利用其他方法，若是有二项，一般考虑平方差公式，三项则考虑完全平方公式或十字相乘法，本题较简单．4．（2014•湖南怀化，第10题，3分）分解因式：2x 2﹣8= 2（x+2）（x ﹣2） ．5.（2014•江西抚州，第10题，3分）因式分解：a 3－4a =()()a a a ---------------------------+-22.解析：()a a a a -=-3244()()a a a =+-226.（2014山东济南，第17题，3分）分解因式：=++122x x ________．【解析】22)1(12+=++x x x ，应填2)1(+x ．7．（2014•山东聊城，第14题，3分）因式分解：4a 3﹣12a 2+9a= a （2a ﹣3）2．）））﹣）﹣已知多项式，求只需求出,三、解答题1. （2014山东济南，第22题，7分）（1）化简：)4()3)(3(a a a a -+-+． 【解析】9449)4()3)(3(22-=-+-=-+-+a a a a a a a a2. （2014•浙江杭州，第19题，8分）设y=kx ，是否存在实数k ，使得代数式（x 2﹣y 2）（4x 2﹣y 2）+3x 2（4x 2﹣y 2）能化简为x 4？若能，请求出所有满足条件的k 的值；若不能，请说明理由． ±±，±±4．（2014•福建福州,第16题每小题7分，共14分）（10112014⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（2）先化简，再求值：()()2x 2x 2x ++-，其中1x 3=.5．（2014•广州,第19题10分）已知多项式.（1）化简多项式；（2）若，求的值.【考点】（1）整式乘除（2）开方,正负平方根【分析】（1）没有公因式,直接去括号,合并同类型化简（2）由第一问答案,对照第二问条件,只需求出，注意开方后有正负【答案】解:（1）（2）,则。

2014年各地中考数学试卷解析版分类汇编开放性问题、规律探索1. （2014•四川巴中）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．考点：矩形的判定．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）答：添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．2. （2014•山东威海）猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．考点：四边形综合题分析：猜想：延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明．（1）延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，（2）连接AE，AE和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，解答：猜想：DM=ME证明：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，∴DM=ME，故答案为：DM=ME．（2）如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．点评：本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段．3. （2014•山东枣庄）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定专题：计算题．分析：（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；（2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．解答：（1）证明：∵DF∥BE，∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，∵O为AC的中点，即OA=OC，AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，∴四边形ABCD为矩形．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．4. （2014•山东烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE 与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．考点：全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想.分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC的长，再求CP即可．解答：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．点评：本题主要考查了四边形的综合知识．综合性较强，特别是第（4）题要认真分析．5. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．考点：二次函数综合题分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断．解答：解：①真，将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，﹣=，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最==﹣，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．点评：本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般．规律探索一、选择题1. （2014•山东威海）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依此规律，点A2014的纵坐标为（）A．0B．﹣3×（）2013C．（2）2014D．3×（）2013考点：规律型：点的坐标专题：规律型．分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2=OC2=3×；OA3=OC3=3×（）2；OA4=OC4=3×（）3，于是可得到OA2014=3×（）2013，由于而2014=4×503+2，则可判断点A2014在y轴的正半轴上，所以点A2014的纵坐标为3×（）2013．解答：解：∵∠A2OC2=30°，OA1=OC2=3，∴OA2=OC2=3×；∵OA2=OC3=3×，∴OA3=OC3=3×（）2；∵OA3=OC4=3×（）2，∴OA4=OC4=3×（）3，∴OA2014=3×（）2013，而2014=4×503+2，∴点A2014在y轴的正半轴上，∴点A2014的纵坐标为3×（）2013．故选D．点评：本题考查了规律型：点的坐标：通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．2. （2014•山东潍坊）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD 先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)考点：坐标与图形变化－对称；坐标与图形变化－平移．专题：规律型．分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形ABCD，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∴M的坐标变为(2,2)∴根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第2014次变换后的点M的对应点的为坐标为（2－2014，2），即（－2012，2）故答案为A．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2－n，－2），当n为偶数时为（2－n，2）是解此题的关键．3. （2014•山东烟台）将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）考点：规律探索．分析：根据观察，可得，根据排列方式，可得每行5个，根据有序数对的表示方法，可得答案．解答：3=，3得被开方数是得被开方数的30倍，3在第六行的第五个，即（6，5），故选：D．点评：本题考查了实数，利用了有序数对表示数的位置，发现被开方数之间的关系是解题关键．4.（2014•十堰）根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（）A．B．C．D．考点：规律型：数字的变化类分析：观察不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，用2013除以4，根据商和余数的情况解答即可．解答：解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2013÷4=503…1，∴2013是第504个循环组的第2个数，∴从2013到2014再到2015，箭头的方向是．故选D．点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，发现每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键．5．（2014•四川宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D．n考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：规律型．分析：根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．解答：解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选：B．点评：此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．6．（2014•四川内江）如图，已知A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n．△A1B1P1、△A2B2P2、△A n B n P n的面积依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n为（）A．B．C．D．考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：规律型．分析：根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、B n、B n+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、S n，进而得出答案．解答：解：∵A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，则B1（1，2），同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，则B2（2，4），B3（2，6）…∵A1B1∥A2B2，∴△A1B1P1∽△A2B2P1，∴=，∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为：1：2，∴A1B1边上的高为：，∴=××2==，同理可得出：=，=，∴S n=．故选；D．点评：此题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．二、填空题1. （2014•上海）一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y表示的数为﹣9．考点：规律型：数字的变化类分析：根据“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b”，首先建立方程2×3﹣x=7，求得x，进一步利用此规定求得y即可．解答：解：∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b∴2×3﹣x=7∴x=﹣1则7×2﹣y=23解得y=﹣9．故答案为：﹣9．点评：此题考查数字的变化规律，注意利用定义新运算方法列方程解决问题．2. （2014•四川巴中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=．考点：规律探索．分析：由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1．解答：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．点评：本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．3.（2014•遵义）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是3．考点：专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类．分析：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．解答：解：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，∵2014÷4=503…2，∴滚动第2014次后与第二次相同，∴朝下的点数为3，故答案为：3．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．4.（2014•娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由3n+1个▲组成．考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．解答：解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；故答案为：3n+1．点评：考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．5. (2014年湖北咸宁)观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是﹣3（结果需化简）．考点：算术平方根．专题：规律型．分析：通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：（﹣1）1+1×0，（﹣1）2+1，（﹣1）3+1…（﹣1n+1），可以得到第16个的答案．解答：解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1n+1），∴第16个答案为：．故答案为：．点评：主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．6. （2014•江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n的值为24n﹣5．（用含n的代数式表示，n为正整数）考点：正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．专题：规律型．分析：根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．解答：解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A（8，4），∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n﹣1，由图可知，S1=×1×1+×（1+2）×2﹣×（1+2）×2=，S2=×4×4+×（2+4）×4﹣×（2+4）×4=8，…，S n为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2，S n=•22n﹣2•22n﹣2=24n﹣5．故答案为：24n﹣5．点评：本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影S n所在的正方形和正方形的边长．7. (2014•年山东东营)将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为（45，12）．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2014所在的位置．解答：解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；∵45×45=2025，2014在第45行，向右依次减小，∴2014所在的位置是第45行，第12列，其坐标为（45，12）．故答案为：（45，12）．点评：此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键．8．（2014•四川遂宁）已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推…．若△ABC的周长为1，则△A n B n C n的周长为．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，△A2B2C2∽△ABC的相似比为，依此类推△A n B n C n∽△ABC的相似比为，解答：解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，∴△A2B2C2∽△A1B1C1且相似比为，∴△A2B2C2∽△ABC的相似比为依此类推△A n B n C n∽△ABC的相似比为，∵△ABC的周长为1，∴△A n B n C n的周长为．故答案为．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：9．（2014•四川内江）如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是□．考点：规律型：图形的变化类．分析：去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆6个图形为一组，依次不断循环出现，由此用（2014﹣2）÷6算出余数，余数是几，就与循环的第几个图形相同，由此解决问题．解答：解：由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆6个图形为一组，不断循环出现，（2014﹣2）÷6=335 (2)所以第2014个图形是与循环的第二个图形相同是正方形．故答案为：□．点评：此题考查图形的变化规律，找出图形的循环规律，利用规律解决问题．10．（2014•四川南充）一列数a1，a2，a3，…a n，其中a1=﹣1，a2=，a3=，…，a n=，则a1+a2+a3+…+a2014=．分析：分别求得a1、a2、a3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．解：a1=﹣1，a2==，a3==2，a4==﹣1，…，由此可以看出三个数字一循环，2004÷3=668，则a1+a2+a3+…+a2014=668×（﹣1++2）=1002．故答案为：1002．点评：此题考查了找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键．11．（2014•甘肃白银）观察下列各式：13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102…猜想13+23+33+…+103=．考点：规律型：数字的变化类．专题：压轴题；规律型．分析：13=1213+23=（1+2）2=3213+23+33=（1+2+3）2=6213+23+33+43=（1+2+3+4）2=10213+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．解答：解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2所以13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．点评：本题的规律为：从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2．12．（2014•甘肃兰州）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是．考点：有理数的乘方专题：整体思想．分析：根据等式的性质，可得和的3倍，根据两式相减，可得和的2倍，根据等式的性质，可得答案．解答：解：设M=1+3+32+33+…+32014 ①，①式两边都乘以3，得3M=3+32+33+…+32015 ②．②﹣①得2M=32015﹣1，两边都除以2，得M=，故答案为：．点评：本题考查了有理数的乘方，等式的性质是解题关键．13．（2014•广东梅州）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．考点：规律型：点的坐标．分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．解答：解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）．点评：此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．。

全等三角形一、选择题2．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ 3 ）3．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ A ）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）二、填空题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使1C F B C2..若AB=10，则EF的长是 5 ．2．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．假命题．三、解答题1．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：（1）△ABE≌△AFE；（2）∠FAD=∠CDE．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC 于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．分析：1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可证明△CBF≌△CDF．（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC与△ADC是轴对称图形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因为OC=OA，所以AC与BD互相垂直平分，即可证得四边形ABCD是菱形，然后根据勾股定理全等AB长，进而求得四边形的面积．（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，在△CBF和CADF中，，∴△CBF≌△CDF（SAS），（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴△ABC和△ADC是轴对称图形，∴OB=OD，BD⊥AC，∵OA=OC，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AC=2，BD=2，∴OA=，OB=1，∴AB===2，∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，∵△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BCD．4．如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．5. 在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．6.如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．分析：（1）通过证明△ODF与△OBE全等即可求得．（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2，然后平行线分线段成比例定理即可求得．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ODF=∠OBE，在△ODF与△OBE中∴△ODF≌△OBE（AAS）∴BO=DO；（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∵∠A=45°，∴∠DBA=∠A=45°，∵EF⊥AB，∴∠G=∠A=45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE（AAS）∴OE=OF，∴GF=OF=OE，即2FG=EF，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG==，∵AB∥CD，∴=，即=，∴AD=28.（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE填空：（1）∠AEB的度数为 60 ；（2）线段AD、BE之间的数量关系是AD=BE。

一元一次方程及其应用一、选择题1．（2014·台湾，第19题3分）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？()A．5.4 B．5.7 C．7.2 D．7.5分析：根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出甲杯内水的高度．解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，根据题意得：60×10＋80×10＋100×10＝60×3x＋80×4x＋100×5x，解得：x＝2.4，则甲杯内水的高度变为3×2.4＝7.2(公分)．故选C．点评：此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．2.（2014•滨州，第4题3分）方程2x﹣1=3的解是（）．二、填空题1．（2014•浙江湖州，第11题4分）方程2x﹣1=0的解是x=．分析：此题可有两种方法：（1）观察法：根据方程解的定义，当x=时，方程左右两边相等；（2）根据等式性质计算．即解方程步骤中的移项、系数化为1．解：移项得：2x=1，系数化为1得：x=．点评：此题虽很容易，但也要注意方程解的表示方法：填空时应填x=，不能直接填．2. （2014•湘潭，第15题，3分）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为2x+56=589﹣x．三、解答题1. （2014•益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．（第1题图），，==4×2. （2014•益阳，第19题，10分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．依题意得：，解得：3. （2014•株洲，第20题，6分）家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：（1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；（2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；（3）抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；（4）下山用1个小时；根据上面信息，他作出如下计划：（1）在山顶游览1个小时；（2）中午12：00回到家吃中餐．若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？4. （2014年江苏南京，第25题）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．（1）小明骑车在平路上的速度为km/h；他途中休息了h；（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？（第4题图）考点：一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用分析：（1）由速度=路程÷时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，进而得出途中休息的时间；（2）先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出B的坐标和C的坐标就可以由待定系数法求出解析式；（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，根据距离甲地的距离相等建立方程求出其解即可．解答：（1）小明骑车在平路上的速度为：4.5÷0.3=15，∴小明骑车在上坡路的速度为：15﹣5=10，小明骑车在上坡路的速度为：15+5=20．∴小明返回的时间为：（6.5﹣4.5）÷2+0.3=0.4小时，∴小明骑车到达乙地的时间为：0.3+2÷10=0.5．∴小明途中休息的时间为：1﹣0.5﹣0.4=0.1小时．故答案为：15，0.1（2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时，∴B（0.5，6.5）．小明下坡行驶的时间为：2÷20=0.1，∴C（0.6，4.5）．设直线AB的解析式为y=k1x+b1，由题意，得，解得：，∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；设直线BC的解析式为y=k2+b2，由题意，得，解得：，∴y=﹣20x+16.5（0.5＜x≤0.6）（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意，得10t+1.5=﹣20（t+0.15）+16.5，解得：t=0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5，∴该地点离甲地5.5km．点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．5. （2014•泰州，第20题，8分）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．（1）该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球？（2）在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小亮说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小亮的说法正确吗？请说明理由．=126．（2014·浙江金华，第20题8分）一种长方形餐桌的四周可坐6 从用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接.（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？【答案】（1）18，34；（2）22.【解析】7．（2014•浙江宁波，第24题10分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？，∴盒子的个数为：=308.（2014•滨州，第19题3分）（1）解方程：2﹣=9．（2014•德州，第20题8分）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：（1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？10.（2014•菏泽，第17题7分）（1）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？。

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阅读理解、图表信息一、选择题1. （2014•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD ，顶点A (1，3)、B (1,1)、C (3,1)．规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为( )A ．(—2012,2)B ．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)考点：坐标与图形变化－对称；坐标与图形变化－平移．专题：规律型．分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M 的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形ABCD ，点A (1，3)、B (1,1)、C (3,1)．∴M 的坐标变为(2,2)∴根据题意得：第1次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2）， 第2次变换后的点M 的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第2014次变换后的点M 的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2）故答案为A ．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n 次变换后的点M 的对应点的坐标为：当n 为奇数时为（2－n ，－2），当n 为偶数时为（2－n ，2）是解此题的关键．2.（2014山东济南，第14题，3分）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列0S ，将其中的每个数换成该数在0S 中出现的次数，可得到一个新序列．例如序列0S ：（4，2，3，4，2），通过变换可得到新序列1S ：（2，2，1，2，2）．若0S 可以为任意序列，则下面的序列可以作为1S 的是A ．（1，2，1，2，2）B ．（2，2，2，3，3）C ．（1，1，2，2，3）D ．（1，2，1，1，2）【解析】由于序列0S 含5个数，于是新序列中不能有3个2，所以A ，B 中所给序列不能作为1S ； 又如果1S 中有3，则1S 中应有3个3，所以C 中所给序列也不能作为1S ，故选D ．二、填空题1．（2014•四川宜宾，第16题，3分）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是②③④（写出所有正确的序号）①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny．=××+=三、解答题1. （2014•四川巴中，第22题5分）定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．考点：新定义．分析：首先根据运算的定义化简3△x，则可以得到关于x的不等式组，即可求解．解答：3△x=3x﹣3﹣x+1=2x﹣2，根据题意得：，解得：＜x＜．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键．2.（2014•湖南张家界，第23题，8分）阅读材料：解分式不等式＜0解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①或②解①得：无解，解②得：﹣2＜x＜1所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1请仿照上述方法解下列分式不等式：（1）≤0（2）＞0．或②或②3.（2014•江西抚州，第24题，10分）【试题背景】已知：∥m∥n∥，平行线与m、m与n、n与之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1 =d3 = 1，d2 = 2 . 我们把四个顶点分别在、m、n、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.【探究1】 ⑴ 如图1，正方形ABCD 为“格线四边形”，BE l ⊥于点E ,BE 的反向延长线交直线于点F . 求正方形ABCD 的边长.【探究2】 ⑵ 矩形ABCD 为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形ABCD 的宽为--------------------2. (直接写出结果即可)【探究3】 ⑶ 如图2，菱形ABCD 为“格线四边形”且∠ADC =60°，△AEF 是等边三角形，AE ⊥k 于点E ， ∠AFD =90°，直线DF 分别交直线、于点G 、M . 求证：EC DF =.【拓 展】 ⑷ 如图3，∥，等边三角形ABC 的顶点A 、B 分别落在直线、上，AB ⊥k于点B ，且AB =4 ，∠A C D =90°，直线CD 分别交直线、于点G 、M ，点D 、E 分别是线段GM 、BM 上的动点，且始终保持AD =AE ，DH l ⊥于点H .猜想：DH 在什么范围内，BC ∥DE ？并说明此时BC ∥DE 的理由.解析：(1) 如图1，∵BE ⊥l , l ∥k ,∴∠AEB=∠BFC=90°,又四边形ABCD 是正方形，∴∠1+∠2=90°，AB=BC, ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,∴⊿ABE ≌⊿BCF(AAS),∴AE=BF=1 , ∵BE=d 1+d 2=3 , ∴=,.(2)如图2,3，⊿ABE ∽⊿BCF,∴BF BCAE AB ==21 或BF BC AE AB ==12∵BF=d 3=1 ,∴AE=12 或AE =2∴AB==2 或AB==∴矩形ABCD 的宽为2(注意：要分2种情况讨论）(3)如图4，连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=DC,又∠ADC=60°,∴⊿ADC 是等边三角形，∴AD=AC ，∵AE ⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°，∵⊿AEF 是等边三角形， ∴ AF=AE,∴⊿AFD ≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF.(4)如图5，当2＜DH ＜4时， BC ∥DE .理由如下：连接AM,∵AB ⊥k , ∠ACD=90°,∴∠ABE=∠ACD=90°,∵⊿ABC 是等边三角形，∴AB=AC ,已知AE=AD, ∴⊿ABE ≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD ；在Rt ⊿ABM 和Rt ⊿ACM 中，AB ACAM AM=⎧⎨=⎩ ，∴Rt ⊿ABM ≌Rt ⊿ACM(HL), ∴ BM=CM ；∴ME=MD,∴ME MD MB MC= , ∴ED ∥BC. 4. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x 的函数y=2kx 2﹣（4kx+1）x ﹣k+1（k 是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x ＞1时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．=﹣销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。

2014中考数学真题试卷题型分类汇编一元二次方程及其应用2014中考数学真题试卷题型分类汇编-一元二次方程及其应用一、选择题1. （2014•广东，第8题3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A ．B．C．D．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m ＞0，然后解不等式即可．解答：解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m ＜．故选B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第9题3分）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的是结论是（ ）A ． m =0时成立B ． m =2时成立C ． m =0或2时成立D ．不存在考点：根与系数的关系． 分析： 先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，求出m =0，再用判别式进行检验即可．分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．解答：解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．故选B．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．4．（2014年云南省，第5题3分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2考点：解一元二次方程－因式分解法．分析：直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根解答：解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x 1=﹣1，x 2=2． 故选：D ．点评： 此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．5．（2014•四川自贡，第5题4分）一元二次方程x 2﹣4x +5=0的根的情况是（ ） A ． 有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根 C ． 只有一个实数根 D ．没有实数根考点：根的判别式． 分析：把a =1，b =﹣4，c =5代入△=b 2﹣4ac 进行计算，根据计算结果判断方程根的情况． 解答： 解：∵a =1，b =﹣4，c =5，∴△=b 2﹣4ac =（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0， 所以原方程没有实数根． 故选：D ．点评： 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6.（2014·云南昆明，第3题3分）已知1x 、2x 是一元二次方程0142=+-x x 的两个根，则21x x ⋅等于（ ） A . 4- B .1- C . 1D . 47.（2014·云南昆明，第6题3分）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A. 100)1(1442=-x B.144)1(1002=-xC. 100)1(1442=+x D.144)1(1002=+x考点：由实际问题抽象出一元二次方程．分析：果园从2011年到2013年水果产量问题，是典型的二次增长问题．解答：解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，由题意有144)1(1002=+x，故选D．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解二次增长是做本题的关键．8．（2014•浙江宁波，第9题4分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）9. （2014•益阳，第5题，4分）一元二次方程x 2﹣2x +m =0总有实数根，则m 应满足的条件是（ ） A ． m ＞1 B ．m =1 C ．m ＜1 D ．m ≤1 考点：根的判别式．分析：根据根的判别式，令△≥0，建立关于m 的不等式，解答即可． 解答： 解：∵方程x 2﹣2x +m =0总有实数根， ∴△≥0， 即4﹣4m ≥0， ∴﹣4m ≥﹣4， ∴m ≤1．故选D ．点评： 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．（2014•呼和浩特，第10题3分）已知函数y =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根x 1，x 2判断正确的是（ ）A ．x 1+x 2＞1，x 1•x 2＞0 B ． x 1+x 2＜0，x 1•x 2＞0 C ．0＜x 1+x 2＜1，x 1•x 2＞0 D ． x 1+x 2与x 1•x 2的符号都不确定考点：根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征．分析根据点A （a ，c ）在第一象限的一支曲线上，得出a ＞0，c ＞0，再点B （b ，c +1）在该函： 数图象的另外一支上，得出b ＜0，c ＜﹣1，再根据x 1•x 2=，x 1+x 2=﹣，即可得出答案． 解答： 解：∵点A （a ，c ）在第一象限的一支曲线上，∴a ＞0，c ＞0，∵点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，∴b ＜0，c +1＜0，∴c ＜﹣1，∴x 1•x 2=＞0，0＜x 1+x 2＜1，故选C ．点评： 本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．11.（2014•菏泽，第6题3分）已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根﹣b ，则a ﹣b 的值为（ ） A． 1 B ． ﹣1 C ． 0 D ．﹣2 考点： 一元二次方程的解．12．（2014年山东泰安，第13题3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15分析：根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）=15，故选A．点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．二.填空题1. （2014•广西贺州，第16题3分）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是0．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据判别式的意义得到△=（1﹣m）2﹣4×＞0，然后解不等式得到m的取值范围，再在此范围内找出最大整数即可．解答：解：根据题意得△=（1﹣m）2﹣4×＞0，解得m＜，所以m的最大整数值为0．故答案为0．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2．（2014•舟山，第11题4分）方程x2﹣3x=0的根为．考解一元二次方程－因式分解法：分析：根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．解答：解：因式分解得，x（x﹣3）=0，解得，x1=0，x2=3．点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．3. （2014•扬州，第17题，3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为23．考点：因式分解的应用；一元二次方程的解；根与系数的关系专题计算题．分析：根据一元二次方程解的定义得到a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5，整理得2a2﹣2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．解答：解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，∴a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5=2a2﹣2a+17=2（a+3）﹣2a+17=2a+6﹣2a+17=23．故答案为23．点评：本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了一元二次方程解的定义．4.（2014•呼和浩特，第15题3分）已知m，n 是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n =8．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m、n是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，且一元二次方程的求根公式是解得：m=﹣1，n=﹣1﹣或者m=﹣1﹣，n=﹣1，将m=﹣1、n=﹣1﹣代入m2﹣mn+3m+n=8；将m=﹣1﹣、n=﹣1代入m2﹣mn+3m+n=8；故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．5.（2014•德州，第16题4分）方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为1．考点：根与系数的关系分析：由x12+x22=x12+2x1•x2+x22﹣2x1•x2=（x1+x2）2﹣2x1•x2=4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．解答：解；x12+x22=4，即x12+x22=x12+2x1•x2+x22﹣2x1•x2=（x1+x2）2﹣2x1•x2=4，又∵x1+x2=﹣2k，x1•x2=k2﹣2k+1，代入上式有4k2﹣4（k2﹣2k+1）=4，解得k=1．故答案为：1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．6．（2014•济宁，第13题3分）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=4．考点：解一元二次方程－直接开平方法．专题：计算题．分析：利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．解答：解：∵x2=（ab＞0），∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2，∴=2，∴=4．故答案为4．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．三.解答题1. （2014•广西玉林市、防城港市，第24题9分）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：（1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确到0.1%）考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）根据题意分别求出今年将报废电动车的数量，进而得出明年报废的电动车数量，进而得出不等式求出即可；（2）分别求出今年年底电动车数量，进而求出今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率．解答：解：（1）设从今年年初起每年新增电动车数量是x万辆，由题意可得出：今年将报废电动车：10×10%=1（万辆），∴[（10﹣1）+x]（1﹣10%）+x≤11.9，解得：x≤2．答：从今年年初起每年新增电动车数量最多是2万辆；（2）∵今年年底电动车拥有量为：（10﹣1）+x=11（万辆），明年年底电动车拥有量为：11.9万辆，∴设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是y，则11（1+y）=11.9，解得：y≈0.082=8.2%．答：今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是8.2%．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，分别表示出今年与明年电动车数量是解题关键．2．（（2014•新疆，第19题10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？考点：一元二次方程的应用．3.2014年广东汕尾，第22题9分）已知关于x 的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．分析：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a ﹣2=0，解得，a=；方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x 1，则1x1=﹣，x1=﹣．（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．4.（2014•毕节地区，第25题12分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y 元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．解得：x1=6，x2=12（舍去）．答：该产品的质量档次为第6档．点评：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．5.（2014•襄阳，第16题3分）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是5．考点：一元二次方程的解分析：把x=a代入方程x2﹣5x+m=0，得a2﹣5a+m=0①，把x=﹣a代入方程方程x2+5x﹣m=0，得a2﹣5a﹣m=0②，再将①+②，即可求出a的值．解答：解：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②，①+②，得2（a2﹣5a）=0，∵a＞0，∴a=5．故答案为5．点评：本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．6. （2014•湘潭，第26题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC 解析式为y=kx+4，（1）求二次函数解析式；（2）若=，求k；（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．（第1题图）考点：二次函数综合题．分析：（1）由对称轴为x=﹣，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式．（2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B，C对x 轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为=．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．（3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC=90°，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k．可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k 值．解答：解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，∴﹣=2，0=0+0+c，∴b=4，c=0，∴y=﹣x2+4x．（2）如图1，连接OB，OC，过点A作AE⊥y 轴于E，过点B作BF⊥y轴于F，∵=，∴=，∴=，∵EB∥FC，∴==．∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C，∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0，∴△=（k﹣4）2﹣4•4=k2﹣8k，∴x=，或x=，∵x B＜x C，∴EB=x B=，FC=x C=，∴4•=，解得k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1．∴k=﹣1．（3）∵∠BOC=90°，∴∠EOB+∠FOC=90°，∵∠EOB+∠EBO=90°，∴∠EBO=∠FOC，∵∠BEO=∠OFC=90°，∴△EBO∽△FOC，∴，∴EB•FC=EO•FO．∵x B=，x C=，且B、C过y=kx+4，∴y B=k•+4，y C=k•+4，∴EO=y B=k•+4，OF=﹣y C=﹣k•﹣4，∴•=（k•+4）•（﹣k•﹣4），整理得16k=﹣20，∴k=﹣．点评：本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识．题目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握．7. （2014•株洲，第21题，6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．考点：一元二次方程的应用．分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c 的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．解答：解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．8. （2014年江苏南京，第22题，8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2万元．（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．考点：列一元二次方程解实际问题的运用%]分析：（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可．解答：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；（2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．点评：本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．9. （2014年江苏南京，第24题）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？考点：二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用分析：（1）求出根的判别式，即可得出答案；（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．（1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解答：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，把函数y=（x﹣m）2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．点评：本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．10. （2014•泰州，第17题，12分）（1）计算：﹣24﹣+|1﹣4sin60°|+（π﹣）0；（2）解方程：2x2﹣4x﹣1=0．考点：实数的运算；零指数幂；解一元二次方程－公式法；特殊角的三角函数值．分析：（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；（2）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．解答解：（1）原式=﹣16﹣2+2﹣1+1=﹣16；（2）这里a=2，b=﹣4，c=﹣1，：∵△=16+8=24，∴x ==．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11. （2014•扬州，第20题，8分）已知关于x 的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x +=0有两个相等的实数根，求k的值．考点：根的判别式；一元二次方程的定义分析：根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x +=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）=0，整理得，k2﹣3k+2=0，即（k﹣1）（k﹣2）=0，解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．∴k=2．点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．。

频数与频率一、选择题1. （2014•安徽省,第5题4分）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x（单位：mm）的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度的数据在8≤x＜32这个范围的频率为（）棉花纤维长度x频数0≤x＜8 18≤x＜16 216≤x＜24 824≤x＜32 632≤x＜40 3A．0.8 B．0.7 C．0.4 D．0.2考点：频数（率）分布表．分析：求得在8≤x＜32这个范围的频数，根据频率的计算公式即可求解．解答：解：在8≤x＜32这个范围的频数是：2+8+6=16，则在8≤x＜32这个范围的频率是：=0.8．故选A．点评：本题考查了频数分布表，用到的知识点是：频率=频数÷总数．2. （2014•山东淄博,第3题4分）如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（）A．8，6 B．8，5 C．52，53 D． 52，52考点：频数（率）分布直方图；中位数；众数．专题：计算题．分析：找出出现次数最多的速度即为众数，将车速按照从小到大顺序排列，求出中位数即可．解答：解：根据题意得：这些车的车速的众数52千米/时，车速分别为50，50，51，51，51，51，51，52，52，52，52，52，52，52，52，53，53，53，53，53，53，54，54，54，54，55，55，中间的为52，即中位数为52千米/时，则这些车的车速的众数、中位数分别是52，52．故选D点评：此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．3.下列说法中，正确的是（）（A）“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件（B）某种彩票中奖概率为10％是指买十张一定有一张中奖（C）神州飞船发射前需要对零部件进行抽样检查（D）了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查答案：D解析：根据统计学知识；（A）“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，（A）错误。

全等三角形(包括命题)一、选择题1. (2014•年山东东营,第4题3分)下列命题中是真命题的是（）A．如果a2=b2，那么a=bB．对角线互相垂直的四边形是菱形C．旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等考点：命题与定理．分析：利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到正确的选项．解答：解：A、错误，如3与﹣3；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题；D、正确，是真命题，故选D．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质．2．（2014•四川遂宁，第9题，4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB 于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．3．（2014•四川南充，第5题，3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选A．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．4. （2014•益阳，第7题，4分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是（）（第1题图）A．A E=CF B．B E=FD C．B F=DE D．∠1=∠2 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析：利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．解答：解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选：A．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．5. （2014年江苏南京，第6题，2分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）（第2题图）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。

点、线、面、角一、选择题1. （2014•广西贺州，第3题3分）如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．60°考点：余角和补角分析：根据两个角的和为90°，可得两角互余，可得答案．解答：解：∵OA⊥OB，若∠1=55°，∴∠AO∠=90°，即∠2+∠1=90°，∴∠2=35°，故选：A．点评：本题考查了余角和补角，两个角的和为90°，这两个角互余．2.（2014•襄阳，第5题3分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（）3.（2014•襄阳，第7题3分）下列命题错误的是（）4．（2014·浙江金华，第2题4分）如图，经过刨平的木析上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线. 能解释这一实际问题的数学知识是【】A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直5.（2014•滨州，第5题3分）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）∠×60°=30°，6.（2014•济宁，第3题3分）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（）7．（2014年山东泰安，第5题3分）如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是（）A．∠1+∠6＞180°B．∠2+∠5＜180°C．∠3+∠4＜180°D．∠3+∠7＞180°分析：根据平行线的性质推出∠3+∠4=180°，∠2=∠7，根据三角形的内角和定理得出∠2+∠3=180°+∠A，推出结果后判断各个选项即可．解：A、∵DG∥EF，∴∠3+∠4=180°，∵∠6=∠4，∠3＞∠1，∴∠6+∠1＜180°，故本选项错误；B、∵DG∥EF，∴∠5=∠3，∴∠2+∠5=∠2+∠3=（180°﹣∠1）+（180°﹣∠ALH）=360°﹣（∠1+∠ALH）=360°﹣（180°﹣∠A）=180°+∠A＞180°，故本选项错误；C、∵DG∥EF，∴∠3+∠4=180°，故本选项错误；D、∵DG∥EF，∴∠2=∠7，∵∠3+∠2=180°+∠A＞180°，∴∠3+∠7＞180°，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．二.填空题1. （2014•福建泉州，第9题4分）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=50°，则∠BOC= 50 °．2. （2014•福建泉州，第13题4分）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b都相交，∠1=65°，则∠2=65 °．3. （2014•福建泉州，第15题4分）如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD= 110 °．4.（2014•邵阳，第11题3分）已知∠α=13°，则∠α的余角大小是77° ．5．（2014•浙江湖州，第13题4分）计算：50°﹣15°30′=．分析：根据度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根据同单位的相减，可得答案．解：原式=49°60′﹣15°30′=34°30′，故答案为：34°30′．点评：此类题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．。

综合性问题一、选择题1. （2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4D．5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．2. （2014•福建泉州，第7题3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y =（m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．分析：先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．解答：解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，由函数y =的图象可知m＞0，故本选项正确；B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，由函数y =的图象可知m＞0，相矛盾，故本选项错误；C、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小，则m＜0，而该直线与y轴交于正半轴，则m＞0，相矛盾，故本选项错误；D、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大，则m＞0，而该直线与y轴交于负半轴，则m＜0，相矛盾，故本选项错误；故选：A．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．3. （2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx +与反比例函数y =在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限．故选B．点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．4.（2014•襄阳，第12题3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质分析：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．解答：解：∵AE=AB，∴BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正确；∵BE=PE，∴EF=2PE，∵EF＞PF，∴PF＞2PE，故②错误；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③错误；由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°，∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5．（2014•呼和浩特，第16题3分）以下四个命题：①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形．②当m＞0时，y=﹣mx+1与y=两个函数都是y随着x的增大而减小．③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1，，则D点坐标为（1，．④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为．其中正确的命题有①（只需填正确命题的序号）考点：命题与定理．分析：利用菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识分别判断后即可确定答案．解答：解：①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形，正确．②当m＞0时，y=﹣mx+1与y=两个函数都是y随着x的增大而减小，错误．③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1，，则D点坐标为（1，，错误．④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为，错误，故答案为：①．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识，难度一般．6．（3分）（2014•德州，第10题3分）下列命题中，真命题是（）A．若a＞b，则c﹣a＜c﹣bB．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖C．点M（x，y1），点N（x2，y2）都在反比例函数y=的图象上，若x1＜x2，则y1＞y21D．甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们射击成绩的方差分别为S=4，S=9，这过程中乙发挥比甲更稳定考点：命题与定理专题：常规题型．分析：根据不等式的性质对A进行判断；根据概率的意义对B进行判断；根据反比例函数的性质对C进行判断；根据方差的意义对D进行判断．解答：解：A、当a＞b，则﹣a＜﹣b，所以c﹣a＜c﹣b，所以A选项正确；B、某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，所以B选项错误；C、点M（x1，y1），点N（x2，y2）都在反比例函数y=的图象上，若0＜x1＜x2，则y1＞y2，所以C选项错误；D、甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们射击成绩的方差分别为S=4，S=9，这过程中甲发挥比乙更稳定，所以D选项错误．故选A．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二.填空题三.解答题1. （2014•安徽省,第23题14分）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．（1）①∠MPN=60°；②求证：PM+PN=3a；（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．考点：四边形综合题．分析：（1）①运用∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC求解，②作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN 求解，（2）连接OE，由△OMA≌△ONE证明，（3）连接OE，由△OMA≌△ONE，再证出△GOE≌△NOD，由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形．，解答：解：（1）①∵四边形ABCDEF是正六边形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°又∴PM∥AB，PN∥CD，∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，故答案为；60°．②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，∴GM=AM，HL=BP，PL=PM，NK=ND，∵AM=BP，PC=DN，∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3A．（2）如图2，连接OE，∵四边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，∴AM=BP=EN，又∵∠MAO=∠NOE=60°，OA=OE，在△ONE和△OMA中，∴△OMA≌△ONE（SAS）∴OM=ON．（3）如图3，连接OE，由（2）得，△OMA≌△ONE∴∠MOA=∠EON，∵EF∥AO，AF∥OE，∴四边形AOEF是平行四边形，∴∠AFE=∠AOE=120°，∴∠MON=120°，∴∠GON=60°，∵∠GON=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，∴∠GOE=∠DON，∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，在△GOE和∠DON中，∴△GOE≌△NOD（ASA），∴ON=OG，又∵∠GON=60°，∴△ONG是等边三角形，∴ON=NG，又∵OM=ON，∠MOG=60°，∴△MOG是等边三角形，∴MG=GO=MO，∴MO=ON=NG=MG，∴四边形MONG是菱形．点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是恰当的作出辅助线，根据三角形全等找出相等的线段．2. （2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．3. （2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥B C．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．考点：四边形综合题分析：（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．解答：解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB=45°，AC=24cm∴AG==12，设DF=EC=x，平行四边形的高为h，则AH=12h，∵DF∥BC，∴=，∵BC=20cm，即：=∴x=×20，∵S=xh=x•×20=20h﹣h2．∴﹣=﹣=6，∵AH=12，∴AF=FC，∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．4. （2014•珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．考点：二次函数综合题分析：（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为x轴上的点，所以纵坐标为0．（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求三角形为两三角形的差．得关系式再代入，求解不等式即可．另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．解答：解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°•GO==，IO=cos30°•GO==3，JO=cos30°•OE==，JE=sin30°•OE==1，∴G（﹣，3），E（，1），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵经过G、O、E三点，∴，解得，∴y=x2﹣x．（2）∵四边形OHMN为平行四边形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN为△OGF的中位线，∴x D=x N=•x G=﹣，∴D（﹣，0）．（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q在抛物线y=x2﹣x上，∴设Q的坐标为（x，x2﹣x），∵Q在R、E两点之间运动，∴﹣＜x＜．①当﹣＜x＜0时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P），S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q），∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P）+•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q）=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x P）=•[﹣x+2﹣（x2﹣x）]•[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②当0≤x＜时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P）﹣•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x H）=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x P）=﹣x2+．综上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，∴＜﹣x2+≤，解得﹣＜x＜，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．点评：本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点．注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用．5. 2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM 平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，14x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，14）代入y=ax2得：a=14，∴二次函数的解析式为y=14x2；（2）证明：∵点P在抛物线y=14x2上，∴可设点P的坐标为（x，14x2），过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=14x2﹣1，PB=x，∴Rt△BPF中，PF==14x2+1，∵PM⊥直线y=﹣1，∴PM=14x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥x轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴14x2+1=4，解得：x=±2，∴14x2=14×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．6. （2014•广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a 的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r 与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．考点：二次函数综合题．分析：（1）直线与抛物线的交点B与A关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，这很使用于韦达定理．由其中有涉及顶点，考虑顶点式易得a值．（2）①直线l：y=kx向上平移k2+1，得直线r：y=kx+k2+1．根据无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C：y=ax2+bx+1都只有一个交点，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0中△==0．这虽然是个方程，但无法求解．这里可以考虑一个数学技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最简单的1，2肯定是成立的，所以可以代入试验，进而可求得关于a，b的方程组，则a，b可能的值易得．但要注意答案中，可能有的只能满足k=1，2时，并不满足任意实数k，所以可以再代回△=中，若不能使其结果为0，则应舍去．②求证OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图．发现图中几何条件较少，所以考虑用坐标转化求出OP，PQ的值，再进行比较．这里也有数学技巧，讨论动点P在抛物线y=﹣x2+1上，则可设其坐标为（x，﹣x2+1），进而易求OP，PQ．解答：（1）解：∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点，∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0．∵B与A关于原点对称，∴0=x A+x B=，∴k=1．∵y=ax2+x+1=a（x+）2+1﹣，∴顶点（﹣，1﹣）在y=x上，∴﹣=1﹣，解得a=﹣．（2）①解：∵无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点，∴k=1时，k=2时，直线r与抛物线C都只有一个交点．当k=1时，r：y=x+2，∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣1）x﹣1=0，∵△==0，∴（b﹣1）2+4a=0，当k=2时，r：y=2x+5，∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣2）x﹣4=0，∵△==0，∴（b﹣2）2+16a=0，∴联立得关于a，b的方程组，解得或．∵r：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0，∴△=．当时，△===0，故无论k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．当时，△==，显然虽k值的变化，△不恒为0，所以不合题意舍去．∴C：y=﹣x2+1．②证明：根据题意，画出图象如图1，由P在抛物线y=﹣x2+1上，设P坐标为（x，﹣x2+1），连接OP，过P作PQ⊥直线y=2于Q，作PD⊥x轴于D，∵PD=|﹣x2+1|，OD=|x|，∴OP====，PQ=2﹣y P=2﹣（﹣x2+1）=，∴OP=PQ．点评：本题考查了二次函数、一次函数及图象，图象平移解析式变化，韦达定理及勾股定理等知识，另涉及一些数学技巧，学生解答有一定难度，需要好好理解掌握．7.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1与D 点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=4时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四边形ABCP1为梯形；②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．8.（2014•毕节地区，第27题16分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线Ac的解析式及B点坐标；（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题分析：（1）利用顶点式将（﹣1，﹣1）代入求出函数解析式即可；（2）首先根据题意得出C点坐标，进而利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而联立二次函数解析式，即可得出B点坐标；（3）首先求出直线EF的解析式，进而得出BP的解析式，进而将y=﹣2x﹣7和y=x+联立求出P点坐标即可．解答：解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x+1）2﹣1，将（1，0）代入得：0=a（1+1）2﹣1，解得；a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2﹣1；（2）∵A（﹣1，﹣1），∴∠COA=45°，∵∠CAO=90°，∴△CAO是等腰直角三角形，∴AC=AO，∴C（﹣2，0），设直线AC的解析式为：y=kx+b，将A，C点代入得出：，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2，将y=（x+1）2﹣1和y=﹣x﹣2联立得：，解得：，，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2，B点坐标为：（﹣5，3）；（3）过点B作BP⊥EF于点P，由题意可得出：E（﹣5，﹣2），设直线EF的解析式为：y=dx+c，则，解得：，∴直线EF的解析式为：y=x+，∵直线BP⊥EF，∴设直线BP的解析式为：y=﹣2x+e，将B（﹣5，3）代入得出：3=﹣2×（﹣5）+e，解得：e=﹣7，∴直线BP的解析式为：y=﹣2x﹣7，∴将y=﹣2x﹣7和y=x+联立得：，解得：，∴P（﹣3，﹣1），故存在P点使得BP⊥EF，此时P（﹣3，﹣1）．点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及顶点式求二次函数解析式以及垂直的两函数系数关系等知识，求出C点坐标是解题关键．9.（2014•武汉，第25题12分）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点．（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．考点：二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质专题：压轴题．分析：（1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适x，使得y的值与k无关即可．（2）只需联立两函数的解析式，就可求出点A、B的坐标．设出点P的横坐标为a，运用割补法用a的代数式表示△APB的面积，然后根据条件建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标．（3）设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，从条件∠ADB=90°出发，可构造k型相似，从而得到m、n、t的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点D的坐标．由于直线AB上有一个定点C，容易得到DC长就是点D到AB的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．解答：解：（1）∵当x=﹣2时，y=（﹣2）k+2k+4=4．∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（﹣2，4）．∴点C的坐标为（﹣2，4）．（2）∵k=﹣，∴直线的解析式为y=﹣x+3．联立，解得：或．∴点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（2，2）．过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，过点A作AM⊥PQ，垂足为M，过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为A．∴y P=a2，y Q=﹣a+3．∵点P在直线AB下方，∴PQ=y Q﹣y P=﹣a+3﹣a2∵AM+NB=a﹣（﹣3）+2﹣a=5．∴S△APB=S△APQ+S△BPQ=PQ•AM+PQ•BN=PQ•（AM+BN）=（﹣a+3﹣a2）•5=5．整理得：a2+a﹣2=0．解得：a1=﹣2，a2=1．当a=﹣2时，y P=×（﹣2）2=2．此时点P的坐标为（﹣2，2）．当a=1时，y P=×12=．此时点P的坐标为（1，）．∴符合要求的点P的坐标为（﹣2，2）或（1，）．（3）过点D作x轴的平行线EF，作AE⊥EF，垂足为E，作BF⊥EF，垂足为F，如图2．∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°．∵∠ADB=90°，∴∠ADE=90°﹣∠BDF=∠DBF．∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，∴△AED∽△DF B．∴．设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，则点A、B、D的纵坐标分别为m2、n2、t2．AE=y A﹣y E=m2﹣t2．BF=y B﹣y F=n2﹣t2．ED=x D﹣x E=t﹣m，DF=x F﹣x D=n﹣t．∵，[来源:学科网]∴=．化简得：mn+（m+n）t+t2+4=0．∵点A、B是直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交点，∴m、n是方程kx+2k+4=x2即x2﹣2kx﹣4k﹣8=0两根．∴m+n=2k，mn=﹣4k﹣8．∴﹣4k﹣8+2kt+t2+4=0，即t2+2kt﹣4k﹣4=0．即（t﹣2）（t+2k+2）=0．∴t1=2，t2=﹣2k﹣2（舍）．∴定点D的坐标为（2，2）．过点D作x轴的平行线DG，过点C作CG⊥DG，垂足为G，如图3所示．∵点C（﹣2，4），点D（2，2），∴CG=4﹣2=2，DG=2﹣（﹣2）=4．∵CG⊥DG，∴DC====2．过点D作DH⊥AB，垂足为H，如图3所示，∴DH≤D C．∴DH≤2．∴当DH与DC重合即DC⊥AB时，点D到直线AB的距离最大，最大值为2．∴点D到直线AB的最大距离为2．点评：本题考查了解方程组、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识，考查了通过解方程组求两函数交点坐标、用割补法表示三角形的面积等方法，综合性比较强．构造K型相似以及运用根与系数的关系是求出点D的坐标的关键，点C是定点又是求点D到直线AB的最大距离的突破口．10.（2014•襄阳，第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，A C．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为（1，4）；抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4．（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P 做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？考点：二次函数综合题分析：（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC=90°时；当∠PQC=90°时；讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值；（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ=﹣（t﹣2）2+1，依此即可求解．解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，解得a=﹣1．故抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）依题意有：OC=3，OE=4，∴CE===5，当∠QPC=90°时，∵cos∠QPC==，∴=，解得t=；当∠PQC=90°时，∵cos∠QCP==，∴=，解得t=．∴当t=或t=时，△PCQ为直角三角形；（3）∵A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得．故直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵P（1，4﹣t），将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，∴Q点的横坐标为1+，将x=1+代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣．∴Q点的纵坐标为4﹣，∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQ•AG+FQ•DG。