排列组合集合图形

三角形三边关系是几何学中的一个基本概念，它涉及到三角形三边的长度关系。

根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这个规则是构造三角形的必要条件，也是判断给定三条线段能否构成三角形的依据。

三角形三边关系的排列组合在解决几何问题时十分重要。

在解决三角形相关的问题时，我们常常需要考虑三角形的三边关系，以确保所构造的图形是有效的三角形。

在实际应用中，三角形三边关系的排列组合也有着广泛的应用。

例如，在建筑学中，工程师需要确保所使用的材料能够构成稳定的结构，三角形三边关系的排列组合可以帮助他们判断材料的尺寸是否合适。

在物理学中，当研究力的合成与分解时，三角形三边关系的排列组合可以用来描述力的方向和大小。

在计算机图形学中，三角形三边关系的排列组合被用于生成平滑的表面和形状。

研究三角形三边关系的排列组合，可以帮助我们深入理解三角形的性质和特点。

三角形三边关系的排列组合在数学中也占有重要地位，是几何学中一个经典的概念。

它涉及到图形的构造、尺寸和形状等方面的知识，是解决许多数学问题的基础。

此外，三角形三边关系的排列组合也是数学建模的重要工具。

通过将实际问题转化为数学问题，我们可以利用三角形三边关系的排列组合来建立数学模型，从而更好地解决实际问题。

综上所述，三角形三边关系的排列组合在几何学、数学建模和实际应用中都有着广泛的应用和重要的价值。

深入研究和理解三角形三边关系的排列组合，对于提高我们的逻辑思维、问题解决能力和创新思维都有极大的帮助。

图形的排序与排列图形的排序与排列是数学中一个重要的概念和技巧，它在解决问题、进行分析和理论研究等方面都具有广泛的应用。

本文将介绍图形的排序与排列的基本概念、方法和应用，帮助读者更好地理解和运用这一知识。

一、图形的排序图形的排序是指将给定的一组图形按照某种特定的规则或条件进行排列，使得它们按照一定的顺序呈现出来。

常见的图形排序方法有按照形状、按照大小和按照属性等多种方式。

1. 按照形状排序按照形状进行图形排序是将一组图形按照它们的形状特征进行区分和排列。

例如，对于一组由圆形、正方形和三角形组成的图形，可以按照圆形、正方形和三角形的顺序进行排序。

2. 按照大小排序按照大小进行图形排序是将一组图形按照它们的大小进行区分和排列。

例如，对于一组不同大小的正方形，可以按照它们的边长或面积大小进行排序。

3. 按照属性排序按照属性进行图形排序是将一组图形按照它们的某种属性进行区分和排列。

例如，对于一组由红色、蓝色和绿色三种颜色的正方形组成的图形，可以按照颜色的顺序进行排序。

二、图形的排列图形的排列是指将给定的一组图形按照一定的规则或条件进行布置和组合，使得它们形成一定的顺序和形态。

常见的图形排列方法有排列组合、矩阵排列和旋转排列等多种方式。

1. 排列组合排列组合是一种将图形按照一定的规则进行排列和组合的方法。

例如，对于一组由三个不同的图形组成的序列，可以通过排列组合的方法计算出所有可能的排列方式。

2. 矩阵排列矩阵排列是一种将图形按照行和列的方式进行布置和排列的方法。

例如，对于一组由正方形组成的图形，可以按照一定的行列数目进行矩阵排列。

3. 旋转排列旋转排列是一种将图形按照旋转的方式进行布置和排列的方法。

例如，对于一组由正方形组成的图形，可以通过旋转图形的方法得到不同的排列形态。

三、图形排序与排列的应用图形的排序与排列在数学中具有广泛的应用。

它不仅在解决问题和进行分析时可以发挥重要的作用，还可以用于理论研究和实际应用中。

排列组合一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

高中数学-排列组合21种模型1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.)1()2)(1(+---=m n n n n A m n )!(!m n n -=2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m nm n +---== )!(!!m n m n -=1、特殊元素和特殊位置优先策略：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

（转化思想，转特殊选排为任意，便能用排列数，减少分步次数）例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =2.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.（同样是转化思想）例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

几何图形中的排列组合问题福建省福鼎市民族中学 杜学炼关键词：排列组合 分类、列举法 反面排除法 寻找递推法 排列组合是高中数学的重要内容、是高考必考内容之一，它对培养学生分类讨论的数学思想方法和解决实际问题的能力与技巧有着重要的意义。

排列组合与几何图形的整合问题更是常见的题型，在此知识的交汇处命题历来受各类考试命题者的青睐。

面对解决这样的问题，不少同学感到无从下手，本文将通过一些例子的剖析总结几个常用的方法，以期对同学们在学习相应知识时有所帮助。

一、分类、列举法当所研究的问题数量较少时，我们可以通过分类，将它们逐一列举出来，从而得出结果。

但需做到不重不漏。

例1、（05年江苏卷， 理）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0解：如图1，由题意，因仅有4个仓库可存放这8种化工产品， 故一棱放一仓库的情况不符合题意，易知棱AB 只能与棱CD 或DE 放在同一仓库内。

1）若AB 与棱CD 放在同一仓库内：则可放在同一仓库内的还有：AE 与BC 、AD 与BE 、AC 与DE ；2）若AB 与棱DE 放在同一仓库内： 则可放在同一仓库内的还有：AC 与BE 、AD 与BC 、AC 与CD 。

于是安全存放的不同方法种数为：44248A ，故选（B ）。

点评：本题只需仔细观察图形，稍作分类、列举，再应用排列知识即可解决问题。

例2、如图2，在某城市中，M 、N 两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ） （A ）14种 （B ）10种 （C ）8种 （D ）6种解：如图2，从点M 到达N 必须经过H 或I 点，而到达A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 、I 点的路线分别有1种、2种、3种、3种、1种、6种、4种，于是到达N 点的路线共有6+4=10种。

排列组合23种模型大全1．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一种个大元素参与排列．例1．,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种2．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例2．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种例3．已知集合{1,2,3,,19,20}A =，集合1234{,,,}B a a a a =，且B A ⊂，若||1(,1,2,3,4)i j a a i j -≠=，则满足条件的集合B 有多少个？3．定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法． 例4．（1）A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种（2）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种4．标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例5．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种5．有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法． 例6．（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种6．全员分配问题分组法： 例7．（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种7．名额分配问题隔板法：例8．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？例9．马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？8．方程的正整数解的个数问题隔板法 例10．方程12n x x x k +++=（,*k n N ∈，k n ≥）的正整数解有多少个？有多少非负整数解个？例11．将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中． （1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ （2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？9．限制条件的分配问题分类法：例12．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A．152 B．126 C．90 D．5410．多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加．例13（1）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？11．交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n A B n A n B n A B⋃=+-⋂()()()()例15．从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？12．定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素．例16．现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？13．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．例17（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？14．“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：例18．从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种15．选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法．例19（1）四个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要从中选4人进行混合双打训练，有多少种不同的选法？16．可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置约m种方法．束，可逐一安排元素位置，一般地，n个不同元素排在m个不同位置的排列数有n例20．把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？17．元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：例21．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（）18．复杂的排列组合问题也可用分解与合成法：例23．30030能被多少个不同偶数整除？19．配对（配凑）问题：例24．5双相异的鞋共10只，现随机地取出6只，恰好能配成2双鞋的取法是多少？例25．50名选手参加乒乓球淘汰赛比赛，需要打多少场才能产生冠军? 淘汰赛比赛规则是：要淘汰1名选手必须进行1场比赛；反之，每进行1场比赛则淘汰1名选手．例26．有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通．现从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？20．利用对应思想转化法：对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理．例27（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？21．全错位排列问题公式法：全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸．把错装的总数为记作f(n)．假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n－2)种错装法．（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）n－1个信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n－1)种．总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n－2)＋f(n－1)种．a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n－2)＋f(n－1)种错装法，因此得到一个递推公式：f(n)＝(n－1) ⋅[f(n－1)＋f(n－2)]，分别带入n＝2、3、4等可推得结果．也可用迭代法推导出一般公式：1111 ()![1(1)]1!2!3!!nf n nn =⋅-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-例28．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？22．几何问题：例30（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70种B、64种C、58种D、52种（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A、150种B、147种C、144种D、141种23．染色问题：例32．在如图所示的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻空格不同色，请问一共有多少种涂法？例33．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？123456排列组合经典题型及方法的综合应用1．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列． 例1．,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D ．2．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例2．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B ．例3．已知集合{1,2,3,,19,20}A =，集合1234{,,,}B a a a a =，且B A ⊂，若||1(,1,2,3,4)i j a a i j -≠=，则满足条件的集合B 有多少个？解析：易知1234,,,a a a a 互不相等且不相邻，则有4172380C =．3．定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法． 例4．（1）A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种（2）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种 解析：（1）B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B ． （2）由题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个，选B （65651()3002A A -=种） 4．标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例5．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9种填法，选B ．5．有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法． 例6．（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A 、4441284C C C种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 解析：（1）先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C ．（2）答案：A ．6．全员分配问题分组法： 例7．（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 解析：（1）234336C A =（2）2454240C A =，答案：B ．7．名额分配问题隔板法：例8．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种．例9．马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法，所以满足条件的关灯方案有10种．说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决．8．方程的正整数解的个数问题隔板法 例10．方程12n x x x k +++=（,*k n N ∈，k n ≥）的正整数解有多少个？有多少非负整数解个？29．解析：11n k C --；11n k n C -+-例11．将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中． （1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ （2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？解析：（1）4193876C =；（2）424C ；（3）先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，则49126C =．9．限制条件的分配问题分类法：例12．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A ． 152B ． 126C ． 90D ． 5410．多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加．例13（1）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：（1）解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I ，能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素，不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种．（2）解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有2112252525251225C C C C ++=种．11．交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例15．从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A ＝｛甲跑第一棒的排列｝，B ＝｛乙跑第四棒的排列｝，则参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种．12．定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素．例16．现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有143472A A =种．13．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．例17（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C ．（2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法．14．“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：例18．从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有（ ） A 、140种 B 、80种 C 、70种 D 、35种 解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570C C C --=种，选．C解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有2112545470C C C C +=台，选C ．15．选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法．例19（1）四个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要从中选4人进行混合双打训练，有多少种不同的选法？解析：（1）先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种．（2）先取男女运动员各2名，有2254C C 种，这四名运动员混和双打练习有22A 中排法，故共有222542120C C A =种．16．可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置约束，可逐一安排元素位置，一般地，n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有n m 种方法． 例20．把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案．17．元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：例21．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（ ）A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种解析：C ．设购买软件x 片、磁盘y 盒，则3,26070500,x y x y x y N ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩，所以3,2,3,4x y ==；4x =，2,3,4y =；5,2x y ==．故共7种．18．复杂的排列组合问题也可用分解与合成法：例23．30030能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030分解成质因数的形式：30030＝2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为01234555555532C C C C C C +++++=个（或51232⋅=）．19．配对（配凑）问题：例24．5双相异的鞋共10只，现随机地取出6只，恰好能配成2双鞋的取法是多少？解析：222532120C C ⋅⋅=例25．50名选手参加乒乓球淘汰赛比赛，需要打多少场才能产生冠军? 淘汰赛比赛规则是：要淘汰1名选手必须进行1场比赛；反之，每进行1场比赛则淘汰1名选手． 解析：49．例26．有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通．现从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？解析：44314224474264253512030185C C C C C C C C ++=++=．20．利用对应思想转化法：对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理．例27（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？解析：（1）因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有410C 个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有410210C =个．（2）解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A 到B 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有4735C =种．21．全错位排列问题公式法：全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可 瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A 、B 、C ……表示写着n 位友人名字的信封，a 、b 、c ……表示n 份相应的写好的信纸．把错装的总数为记作f (n )．假设把a 错装进B 里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：（1）b 装入A 里，这时每种错装的其余部分都与A 、B 、a 、b 无关，应有f (n －2)种错装法．（2）b 装入A 、B 之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a 之外的）n －1个信纸b 、c ……装入（除B 以外的）n －1个信封A 、C ……，显然这时装错的方法有f (n －1)种．总之在a 装入B 的错误之下，共有错装法f (n －2)＋f (n －1)种．a 装入C ，装入D ……的n －2种错误之下，同样都有f (n －2)＋f (n －1)种错装法，因此得到一个递推公式： f (n )＝(n －1) ⋅[f (n －1)＋f (n －2)]，分别带入n ＝2、3、4等可推得结果．也可用迭代法推导出一般公式：1111()![1(1)]1!2!3!!n f n n n =⋅-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- 例28．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：从5个球中取出2个与盒子对号有25C 种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为25220C =种．22．几何问题：例30（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A 、70种B 、64种C 、58种D 、52种（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A 、150种B 、147种C 、144种D 、141种解析：（1）正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C -=个．（2）解析：10个点中任取4个点共有410C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C ，四个面共有464C 个；①过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；①过棱上三点与对棱中点的三角形共6个．所以四点不共面的情况的种数是44106436141C C ---=种．23．染色问题：例32．在如图所示的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻空格不同色，请问一共有多少种涂法？解析：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，分为两类：第一类可按一下步骤进行：第1步：涂第一格，有3种方法；第2步：涂第二格，有2种方法；第3步：用与第一格不同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步：第四格可以涂与第三格颜色不同的，有2种方法．第5步：用不同的两色涂剩下的两格，有2种方法；所以有3×2×1×2×2＝24种第二类可按一下步骤进行：第1步：涂第一格，有3种方法；第2步：涂第二格，有2种方法；第3步：用与第一格相同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步：第四格只能用没有用过的颜色涂，有种方法．第5步：第五格只能用涂第二格的颜色，第六格只能用涂第四格的颜色，有1种方法；所以有3×2×1×1×1＝6种所以，共有24＋6＝30种涂法．例33．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？解析：注意4种颜色的花都有种上．34(1112)120A+++=。