第二十四章《圆》小结
一、本章知识结构框图
二、本章知识点概括
（一）圆的有关概念
1、圆（两种定义）、圆心、半径；
2、圆的确定条件：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3、弦、直径；
4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；
5、等圆、等弧，同心圆；
6、圆心角、圆周角；
7、圆内接多边形、多边形的外接圆；
8、割线、切线、切点、切线长；
9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。
（二）圆的基本性质
1、圆的对称性
①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
2、圆的弦、弧、直径的关系
①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
* [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知
二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况）
3、弧、弦、圆心角的关系
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
4、圆周角的性质
①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
（三）与圆有关的位置关系
1、点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，OP=d则：
点P在圆内d
2、直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则：
直线l与⊙O相交d 直线l与⊙O相切d=r 直线和圆只有一个公共点； 直线l与⊙O相离d>r 直线和圆没有公共点。 3、圆与圆的位置关系 ①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离和内含； 如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切； 如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。 ②设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，圆心距为d，则： 两圆外离d＞r2＋r1； 两圆外切d＝r2＋r1； 两圆相交r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）； 两圆内切d＝r2－r1（r2＞r1）； 两圆内含0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。 （四）圆的切线 1、定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 2、性质： ①圆的切线到圆心的距离等于半径。 ②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 ③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3、判定： ①利用切线的定义。 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 ③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。 （五）圆与三角形 1、三角形的外接圆 （1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 （2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相等；③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。 2、三角形的内切圆 （1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都在三角形内。 （六）圆与四边形 1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。 *2、由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。 （七）圆与正多边形 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形与圆的关系 把圆分成n （n ≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形，这时圆叫做正n 边形的外接圆。 3、正多边形的有关计算（11个量） 边数n ，内角和，每个内角度数，外角和，每个外角度数，中心角αn ，边长a n ，半径R n ，边心距r n ，周长l n ，面积S n (S n =1/2l n r n ) 4、正多边形的画法 画正多边形的步骤：首先画出符合要求的圆；然后用量角器或用尺规等分圆；最后顺次连结各等分点。如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。注意减少累积误差。 （八）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式 180n R l π=弧长 2360n R S π扇形＝＝12lR (其中l 为弧长) S rl π圆锥侧＝ (其中l 为母线长) （九）直角三角形的一个判定 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （十）本章常见的辅助线 课 后 反 思
