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F A S S S S E Ad d f fE A M M S S E A~ F a 1 ,a 1 b 1 F B S S S S E Bd d f fE B M M S S E B~ F b 1 ,a 1 b 1
对给定的检验水平 ，
当 F A F a 1 ,a 1 b 1 时，
1 b
a i1
Ti.2
23495
DB
1 a
b
T.2j
j1
42040.67
p T2 31212 ab
SSTRp466
dfT n111
SSAD Ap114.67
dfA a13
SSBD Bp318.5
dfB b12
S S E S S T S S A S S B 3 2 .8 3dfEdfAdfb6
SS A df A
d fB
MSB
SSB dfB
d fE
MSE
SSE dfE
d fT
F值
FA
MSA MSE
FB
MSB MSE
F 值临介值
F ( a 1 , a 1b 1) F ( b 1 , a 1b 1)
注意 d f E d f T d f A f B ,S S E S S T S S A S S B
X.j X
称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。
j1
a b
2
SSE
Xij Xi.X.j X
i1 j1
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
若假设 H01, H02成立，则： Xij ~N,2
可推得：
SST
2
~ 2 ab1
SSA
2
~
2
a1
SSB
2
~
2 b1
SSE
2
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
例2：某厂对生产的高速钢铣刀进行淬火工艺试验，考察回火温度A和淬火温度B两个 因素对强度的影响。今对两个因素各3个水平进行试验，得平均硬度见表：
试验结果 Bj
Ai A1（280’C）
B1（1210‘C）B2（1235’C）B3（1250‘C）
197 232 183
b
T i. X ij j1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
5 5 .0 4 7 .7 4 8 .3 5 3 .0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
R
Xi2j 31678
i1 j1
DA
~2a1b1
将
SST
2
,
SS2A,
SS2B,SS2E
的自由度分别记作
dfT,dfA,dfB,dfE ，则
F A S S S S E Ad d f fE A M M S S E A~ F a 1 ,a 1 b 1
F B S S S S E Bd d f fE B M M S S E B~ F b 1 ,a 1 b 1
1 a
bi1
ij
j
水平Bj对试验结果的效应
ij Xij ij
试验误差
i
1 b
a j1
ij
i
水平Ai对试验结果的效应
j
1 a
bi1
ij
j
水平Bj对试验结果的效应
ij Xij ij
试验误差
a
b
特性： i0; j 0; ij~N0,2
i1
j1
要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著
影响，即为检验如下假设是否成立：
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。
当 F B F b 1 ,a 1 b 1 时，
拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
F 右侧检验
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
因素A S S A 因素B S S B 误差 S S E 总和 S S T
d fA
MSA
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j 1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
机器 B 工人 A
甲 乙 丙 丁
a
T. j X ij i1
ⅠⅡ Ⅲ
50 63 52 47 54 42 47 57 41 53 58 48
双因素方差分析ppt课件
双因素方差分析方法
➢ 无交互作用的双因素试验的方差分析
基本假设（1）X
相互独立；
ij
（2）Xij ~Nij,2 ，（方差齐性）。
线性统计模型 Xij ijij
其中
1
ab
a i1
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
1 b
a j1
ij
i
水平Ai对试验结果的效应
j
F0.05(2,4) F0.01(2,4) 显著性
6.94
18.0
6.94
18.0
*
3
SS T
i1
j3 1Xi2j3 T 2316 .22
SS A1 3i 31Ti.23T 231.56
SS B1 3j3 1T.2 j 3T 2311 .56S S SE S ST S SA S 3 .1 B
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
S S A D A p ,S S B D B p
S S E R D A D B p ,S S T R p
其中：
DA
a
Ti.2
Leabharlann Baidu
b,
i1
p T2 ab,
DB
M SAS SAd fA3 8 .2 2 3 F0.013,69.78
M SBSSBdfB159.25 M SESSEdfE5.47 F AM SAM SE6.98
F0.053,64.76 F0.012,610.92
F BM SBM SE29.10
F 0 .0 53 ,6 F AF 0 .0 13 ,6 FBF0.012,6
64
66
68
A2（300‘C）
66
68
67
A3（320’C） 65
67
68
假设：不同组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。 所需要解决的问题是：所有Xij的均值是否相等。
方差分析表：
方差来源 因素A 因素B 试验误差 总误差
离差平方和 自由度
1.56
2
11.56
2
3.1
4
16.22
8
F值 FA=1.01 FB=7.46
H 01:1230
H 0 2: 12b 0
➢ 总离差平方和的分解定理
仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
a b
2
SST
Xij X
i1 j1
可分解为：SS TSSASSBSSE
a
2
SSA b Xi. X
称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。
i1
b
SSB a
2