2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1. 设()x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()().143-=-⋅+x f x f 又当时70<≤x ，
()()x x f -=9log 2，则()100-f 的值为__________.
2. 若实数y x ,满足1cos 22
=+y x ，则y x cos -的取值范围是___________.
3. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为
110
92
2=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为____________.
4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是__________.
5. 正三棱锥，
，，中21==-AP AB ABC P α的平面过AB 将其面积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.
6. 在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K 丨.在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点之间距离为5的概率为_________.
7. 在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3
π
=∠A ,△ABC 的面积为3，则AN AM ⋅的
最小值为________.
8. 设两个严格递增的正整数数列{}{}2017,1010<=b a b a n n 满足：，对任意整数n,有n n n a a a +=++12，
.______,2111的所有可能值为则b a b b n n +=+
二，解答题：本大题共三小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
9. （本题满分16分）设k,m 为实数，不等式[]b a x m kx x ,12
∈≤--对所有成立。
证明：22≤-a b
10. （本题满分20分）设,,,321x x x 是非负实数，满足1321=++x x x 求
()⎪⎭
⎫
⎝
⎛++++53
53321
321x x x x x x 的最小值和最大值. 11. （本题满分20分）设复数()()()()
2Re Re 0Re ,0Re ,2
22
12121==>>z z z z z z ，且满足（其中()z Re 表
示复数z 的实部）.
（1）()的最小值；求21Re z z
（2）求的最小值212122z z z z --+++
参考答案及解析
一，填空题： 1. 【答案】2
1-
【解析】由条件知，()()
()x f x f x f =+-
=+71
14，
所以()()()()2
14log 15127141001002-=-=-
=-=⨯+--f f f f 2. 【答案】[]
13,1+-，
【解析】由于[]3,1cos 212
-∈-=y x ，故[]
3,3-∈x ，由2
1cos 2
x y -=可知，
()112121cos 2
2-+=--=-x x x y x .因此当1-=x 时，y x cos -有最小值-1（这时2π可以取y ）；当
()π可以取这时有最大值时，y y x x 13cos 3+--.由于
()112
1
2-+x 的值域是[]
131+-，，从而[]
13,1cos +--，的取值范围是y x
3. 【答案】
2
11
3 【解析】：易知()
()10,0,3，F A .设P 的坐标是()
⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0,sin 10,cos 3πθθθ则
()()
ϕθθθπθθ+=+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈⋅⋅=
+=∆∆sin 2113sin cos 102
32,0,sin 10321OFP OAP OAPF S S S
其中2
11310arctan .1010arctan 面积的最大值为时，四边形当OAPF ==θϕ 4. 【答案】75
【解析】考虑平稳数abc
{}个平稳数有则若2,1,0,1,0∈==c a b
{}{}个平稳数有则，若632,2,1,0,2,11=⨯∈∈=c a b
{}个平稳数有，则，若422,98,9=⨯∈=c a b
综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=75
5. 【答案】
10
5
3 【解析】设AB,PC,的中点分别为K,M ，则易证平面ABM 就是平面α，由中线长公式知
()()
2
3241122141212222222=⨯-+=-+=
PC AC AP AM 所以2
521232
2
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=AK AM KM 又易知直线PC 在平面α上的射影是直线MK ，而CM=1，2
3
=
KC ,所以 10535
4314
52cos 2
2
2
=-
+=⋅-+=∠MC KM KC MC KM KMC 故棱PC 与平面α所成角的余弦值为
10
5
3 6. 【答案】
7
4 【解析】易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为
8439=C 种.
将K 中的点按右图标记为O A A A ,821，，
，⋯,其中有8对点之间的距离为5.由对称性，考虑取41A A ，两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有5687=⨯个三点组（不计每组中三点的次序）.对每
个()53,8,2,1++⋯=i i i A A K i A 中恰有，，
两点与之距离为5（这里下标按模8理解），因而恰有{}()8,,2,1,,53⋯=++i A A A i i i 这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56-8=48，进而所求概率为7
4
8448=
7. 【答案】13+
【解析】由条件知，()
AC AB AN AC AB AM 4
1
43,2
1
+=+=,故
