(完整版)2018考研数学二真题.docx

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1

（ 1）若lim( e x ax2bx) x21,则（）

x 0

(A) a 1

， b1(B) a

1

,b1(C) a

11

, b 1 (D) a,b 1 2222

（ 2）下列函数中，在x 0 处不可导的是（）

(A) f x x sin x(B)f x x sin x (C)f x cos x(D)f x cos x

1,x02ax, x1

（ 3）设函数

f (x)x,1x 0 ,

若

f ( x)g(x)

在上连续，则

（）1,x0, g ( x)R

x b, x0

(A) a 3,b1(B)a3,b2 (C)a3, b1(D)a3,b2

（ 4）设函数f (x)在[0,1]上二阶可导，且

1

0,则（）f ( x)dx

(A) 当f( x)0时 , f (1

0(B)当 f(x)0时 , f (

1

0 ))

22

(C)当 f( x)0时 , f

(

1

0(D)当 f(x)0时 , f (

1

0 ))

22

1x

2

1x

x

dx, K

（ 5）设M22dx, N2 2 1cos x dx, 则（）21x2e2

(A) M N K(B) M K N

(C) K M N(D) K N M

02x2

xy)dy12x2

xy)dy

（ 6）dx(1

0dx(1（）

1x x

5

(B)5

(C)

77

(A)

363(D)

6

110

（ 7）下列矩阵中与矩阵01 1 相似的为（）

001

111101

(A)011(B)011

001001

1 1

1 1 0 1

(C) 0

1 0

(D) 0

1 0

0 0 1 0 0 1

（ 8）设 A, B 为n 阶矩阵，记 r

X 为矩阵 X 的秩， X ,Y 表示分块矩阵，

）

则（

(A) r A, AB r A

(B)

r A, BA

r A

(C)

r A, B

max r A ,r B

(D) r

A, B

r A T B T

二、填空题： 9~14 题，每小题 4 分，共 24 分 .

（ 9） lim x 2 [arctan(x

1) arctanx]

x

（ 10） 曲线 y x 2 2ln x 在其拐点处的切线方程是 （ 11）

1

dx

2

5

x 4x

3

（ 12） 曲线

x

cos 3 t ，在t 对应点处的曲率为

y sin 3 t

4

（ 13） 设函数 z

x, y 由方程 ln z e z 1

xy 确定 ,则

z

x (2, 1 )

2

（ 14） 设 A 为3阶矩阵 ,

1,

2 , 3是线性无关的向量组 , 若 A 1 2 12

则 A 的实特征值为

.

三、解答题： 15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（ 15）（本题满分 10 分）

求不定积分

e 2 x arctan e x 1dx.

（ 16）（本题满分 10 分）

已知连续函数 f ( x)满足

x x 2

f (t) dt

tf ( x t)dt ax

3, A

2 2

2 3

, A

3 2 3 ,

.

（ I ） 求 f ( x)；

（ II ） 若f (x)在区间 [0,1]上的平均值为 1,求

a 的值.

（ 17）（本题满分 10 分）

设平面区域 由曲线

x

t sin t, (0 t 2 ) 与 轴围成 计算二重积分

( x 2y)d .

1 cost

y

D

（ 18）（本题满分10 分）

已知常数 k ln 2 1. 证明：( x1)( x ln 2 x 2k ln x 1)0.

（ 19）（本题满分10 分）

将长为 2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.

（ 20）（本题满分 11分）

已知曲线L : y4x2 ( x 0),点 O 0,0, 点 A 0,1 .设 P是 L上的动点， S是直线 OA与直线 AP及曲线L

9

所围成图形的面积，若 P运动到点3,4 时沿 x轴正向的速度是 4，求此时 S关于时间 t的变化率 .

（ 21）（本题满分11 分）

设数列 x n满足： x1 0, x n e x n 1e x n 1(n 1,2,L ), 证明 x n收敛，并求 lim x n .

n

（ 22）（本题满分 11 分）

设实二次型 f (x1, x2 , x3 ) ( x1 , x2x3 ) 2( x2 x3 ) 2(x1 ax3)2 ,其中 a是参数 .

(I) 求f ( x1, x2, x3)0的解；

(II)求 f (x1, x2 , x3 )的规范形 .

（23）（本题满分 11 分）

12a1a2

已知是常数，且矩阵

A= 130可经初等列变换化为矩阵

B= 01 1 .

a

27a111 (I)求a;

(II)求满足AP B的可逆矩阵 P.