苏教版高二数学上学期期末试卷附详细答案

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第一学期期末高二数学测试三一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．曲线32+=x y 在点(1,4)处的切线方程为 。

2. 以点（2，-1）为圆心，以3为半径的圆的标准方程是_____________ ________。

3．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为____ ____。

4.已知方程22-121x y m m =++表示椭圆，则m 的取值范围是_____ ____。

5．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 。

（1）若//l α,//l β,则//αβ ； （2）若l α⊥,l β⊥,则//αβ ；（3）若l α⊥,//l β,则//αβ ； （4）若αβ⊥,//l α,则l β⊥。

6. 圆1C :2(1)x ++2(1)y -=1,圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称,则圆2C 的标准方程为_________ ．7. 已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 ；8．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为___ _____。

9．与双曲线14522-=-y x 有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为___ _____ 。

10．已知圆22:(1)(2)6C x y ++-=，直线:10l mx y m -+-=，直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程为11. 若函数2ln 2a y x x =-在区间2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数，a 的取值范围为12.过抛物线y 2=4x 的焦点，作倾斜角为4π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点， 则∆POQ 的面积为____ ____。

13. 如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，B 是其下顶点，F 是其右焦点，BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于Q P ,两点，若点P 恰好是线段BQ 的中点，则此椭圆的离心率=e ▲ ．14．设0a >，函数x x x g xa x x f ln )(,)(-=+=，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围为 ▲ ．二．解答题（本大题共6小题，共计90分）15、（本题14分）已知圆心()(1,2)0,1C ，且经过点（Ⅰ）写出圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(2,1)P -作圆C 的切线，求切线的方程及切线的长.16、（本题14分）中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且13221 F F ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。

江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等比数列中，，公比，则（ ） {}n a 13a =2q =4a =A ．24 B ．48 C ．54 D ．66【答案】A【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出答案.【详解】．33413224a a q ==⨯=故选：A2．曲线处的切线与直线平行，则实数（ ） y =()1,1y kx =k =A ． B ．C ．D ．12-12-12【答案】C【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】时，，所以． y '=1x =12y ¢=12k =故选：C ．3．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则α()13,0,n λ= β()22,1,6n =αβ⊥λ=（ ）A ．B ．4C ．D ．1921-【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为，则可得，αβ⊥12n n ⊥且，， ()13,0,n λ= ()22,1,6n =则可得，解得 660λ+=1λ=-故选:C4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（ ）340x y m ++=2220x y y +-=mA ．B ．C ．D ．{}1,1-{}9,1-{}1{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到d r =结果.【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，2220x y y +-=()2211x y +-=()0,11则圆心到直线的距离340x y m ++=d 因为直线与圆相切，340x y m ++=2220x y y +-=所以，解得或，d r =11m =9m =-即实数取值的集合为 m {}9,1-故选:B5．已知，则n ＝（ ）22A C 30n n +=A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】利用排列数、组合数公式得到，解方程即得解. ()31302n n -=【详解】解：，整理得， ()()()22131A C 13022n nn n n n n n --+=-+==2200n n --=解得（舍），． n =-45n =故选：C ．6．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是y ()y ()f x f x ==，的导函数y ()f x =A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D ．0x =【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图x 0x 象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单0x x 0x 调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．'()f x ()f x 7．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ()A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：=6，24C 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种． 36363A ⨯=故选D.8．已知数列首项为2，且，则（ ）{}n a 112n n n a a ++-=n a =A ． B ． C ． D ．2n 121n -+22n -122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得，，则当时，有112n n n a a ++-=12a =2n ≥ ，12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==-- 经检验当时也符合该式．∴.1n =122n n a +=-故选：D二、多选题9．下列四个选项中，不正确的是（ ） A ．数列，的一个通项公式是 2345,,,3456⋯1n n a n =+B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列1-1-⋯1-1-⋯D ．数列，，是递增数列11,24⋯12n 【答案】ACD【分析】由可判断A ；由数列的通项公式以及可判断B ；由数列定义可判断C ； 11223a =≠N*n ∈由递减数列定义可判断D ． 【详解】对于A ，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A 错误；1n n a n =+11223a =≠对于B ，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B 正确； N*n ∈对于C ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C 错误；对于D ，数列，，是递减数列，故选项D 错误．11,24⋯12n 故选：ACD ．10．下列结论中正确的有（ ） A ．若，则B ．若，则 sin3y π=0y '=2()3(1)f x x f x =-'(1)3f '=C ．若，则D ．若，则y x =1y ='+sin cos y x x =+cos sin y x x +'=【答案】ABC【解析】根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.【详解】选项A 中，若，故A 正确； sin3y π==0y '=选项B 中，若，则， 2()3(1)f x x f x =-⋅'()6(1)f x x f '-'=令，则，解得，故B 正确； 1x =(1)6(1)f f ''=-(1)3f '=选项C 中，若，则，故C 正确；y x =+1y ='+选项D 中，若，则x ，故D 错误． sin cos y x x =+cos sin y x x '=-故选:ABC【点睛】1.常见的基本初等函数的导数公式 (1) (C 为常数); ()0C '＝(2)； ()1()nn x nx n '∈N －＋＝(3); ； ()sinx cosx '＝()cosx sinx '＝-(4);，且)； ()xx e e '＝()(0x x a a lna a '>＝1a ≠(5)； ，且)． 1(ln )'=x x a a 1 (log )'=log e(a>0x x1a ≠2.常用的导数运算法则法则1： ． ()()()()[]u x v x u x v x ±''±'＝法则2：． ()()()()()()[]u x v x u x v x u x v x '''＝＋法则3： ()()()()()()()()22[](0)u x u x v x u x v x v x v x v x '''≠-＝11．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（ ） 7A ．甲不站两端，共有种排法 1656A A B ．甲、乙必须相邻，共有种排法 5252A A C ．甲、乙不相邻，共有种排法2555A A D ．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法7657652A A A -+【答案】AD【分析】A 选项通过特殊元素法判断；B 选项利用捆绑法判断；C 选项利用插空法判断；D 选项用总情况减去不满足的情况即可.【详解】A 选项：甲不站两端，甲有种，剩余6人全排，共有种排法，正确；15A 1656A A B 选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有种，作为整体和剩余5人全排，共有种排法，错22A 2626A A 误；C 选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有种，再把甲、乙插入6个空中，共有种排法，错55A 5256A A 误；D 选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同时乙在右端的，共有种排法，正确.7657652A A A -+故选：AD.12．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，OABC M OA 2OM MA =N G BC的中点，则用向量，，表示向量中正确的为（ ）MN OA OB OCA ．B ．111344GN OA OB OC =-++111344OG OA OB OC =-+C ． D ．113232GM OA OB OC =++111344GM OA OB OC =--【答案】AD【分析】连接，利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可. ON 【详解】连接，ON因为点，分别是线段，的中点，N G BC MN 所以，111211()222322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 化简可得，故B 错误；111344OG OA OB OC =++所以，故A 正确 1111111()()2344344GN ON OG OB OC OA OB OC OA OB OC =-=+-++=-++ ，故C 错误，D 正确；11121113443344GM GO OM OA OB OC OA OA OB OC =+=---+=--故选：.AD三、填空题13．已知，1，、，2，、，，，若向量与垂直为坐标原(2A 3)(4B -)x (1C x -2)OA OB + OC(O点），则等于__． x 【答案】4【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】，()()()2,1,3,4,2,,1,,2OA OB x OC x ==-=-，∴()2,3,3OA OB x +=-+向量与垂直，OA OB + OC，∴()·23260OA OB OC x x +=--++=．4x ∴=故答案为：4．四、双空题14．已知函数，则函数的单调递增区间是______，值域为______．()()212log 43f x x x =-+-【答案】[2,3)[0,)+∞【解析】令，求得函数的定义域，根据在其定义域内为单调减函2430t x x =-+->()12log f x t =数，求函数的单调递增区间转化为求函数在定义域内的减区间，再利用()()212log 43f x x x =-+-t 二次函数的值域求整个函数的值域.【详解】解：令，可得，故函数的定义域为. 2430t x x =-+->13x <<()1,3因为在其定义域内为单调减函数，()12log f x t =故求在定义域内的减区间，又函数在定义域内的减区间为，243t x x =-+-t [2,3)所以函数的单调递增区间为，()()212log 43f x x x =-+-[2,3)当时，，则，()1,3x ∈243(0,1]t x x =-+-∈()12log [0,)f x t =∈+∞即函数的值域为. ()()212log 43f x x x =-+-[0,)+∞故答案为：；.[2,3)[0,)+∞【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查.五、填空题15．求和：Sn ＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.1(12+11(1)24++1214181111(1)242n -+++⋯+【答案】2n ＋－2 112n -【分析】先化简数列，结合分组求和法即可求解． 1212k ka ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】被求和式的第k 项为：111111121211242212kk k k a -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++==- ⎪⎝⎭-所以Sn ＝2＝22111(1)(1(1)222n -+-+⋯+-231111(2222n n ⎡⎤-+++⋯+⎢⎥⎣⎦ 111111222212212212n n n n n n -⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦故答案为：2n ＋－2． 112n -16．如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能441种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）5【答案】260【分析】先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和.【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()5411380⨯⨯⨯+=当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()54312180⨯⨯⨯+=所以不同的种植方案共有种， 80180260+=故答案为：260【点睛】本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题.六、解答题17．已知等比数列的首项为2，前项和为，且. {}n a n n S 234230S S S -+=(1)求；n a(2)已知数列满足：，求数列的前项和. {}n b n n b na ={}n b n n T 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由可得公比，再由等比数列的通项公式即可得到结234230S S S -+=q 果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a q 因为，所以，234230S S S -+=()234320S S S S -+-=所以，所以，所以.342a a =2q =112n n n a a q -==（2）由（1）得，，所以，……①2nn b n =⨯212222n n T n =⨯+⨯++⨯ 所以，……②()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①-②，得，()()21112122222212212n nn n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.()1122n n T n +=-⋅+18．已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为-.2222:1x y C a b-=()0,0a b >>4()-（1）求双曲线的标准方程;（2）已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，且的方程.1l C A B AB =l 【答案】（1）；（2）22148x y -=1y x =±【分析】（1）由双曲线的实轴长及焦点坐标，再由，，之间的关系求出，进而求出双曲线a b c b 的方程；（2）由题意设直线的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的AB ||AB 值，再由题意可得参数的值，即求出直线的方程．AB【详解】（1）由得，又，24a =2a =c =2228b c a =-=故双曲线的方程为．22148x y -=（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得，l y x m =+22280x mx m ---=设，，，，则，．1(A x 1)y 2(B x 2)y 122x x m +=2128x x m =--因为||AB ==， ==1m =±所以直线的方程为．l 1y x =±19．从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？ 【答案】24【分析】分步完成：第一步选3面旗帜，第二步3面旗帜全排列，由此可得．【详解】从4面不同颜色旗子中，选出3面排成一排能组成种信号．3343C A 24=20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm ）满足关系：，设为C x ()()4011035C x x x =≤≤+()f x 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式；()f x (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． ()f x 【答案】(1) 800()635f x x x =++()110x ≤≤(2)当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式； （2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， 40()35C x x =+6x ．． ()()800206635f x C x x x x ∴=+=++()110x ≤≤（2），令得或（舍． ()()22400'635f x x =-+()0f x '=5x =253x =-)当时，，当时，．∴15x ≤<()0f x '<510x <≤()0f x '>在，上单调递减，在，上单调递增．()f x ∴[15)[510]当时，取得最小值（5）．∴5x =()f x f 70=当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．∴5cm21．三棱柱中，，，线段的中点为，且111ABC A B C -112AB AB AA AC ====120BAC ∠= 11A B M .BC AM⊥(1)求证：平面；AM ⊥ABC (2)点在线段上，且，求二面角的余弦值. P 11B C 11123B P B C =11P B A A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由、根据线面垂直的判定定理可得平面；AB AM ⊥BC AM ⊥AM ⊥ABC （2）以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，求出平面、A 、、AN AC AM x y z 、、11B AA 平面的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.1PB A 【详解】（1）三棱柱中，，111ABC A B C -11//AB A B 在中，，线段的中点为，所以，所以；11AB A △11AB AA =11A B M 11A B AM ⊥AB AM ⊥因为，平面，平面，，平面，所以BC AM ⊥BC ⊂ABC AB ⊂ABC AB BC B ⋂=AB BC ⊂、ABC 平面； AM ⊥ABC （2）做交于点，AN AC ⊥BC N 以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，A 、、AN AC AM x y z 、、则，，， ()0,0,0A )1,0B-112B -，.()0,2,0C (M 所以，，，112AB =-()BC =(AM = 因为，所以，111222,033B P B C BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭32P ⎛ ⎝所以，32AP ⎛= ⎝ 设平面的一个法向量，则， 11B AA ()1111,,n x y z =11111111020n AB y n AM ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩ 解得，令，所以， 10z=1y 11x =()1n = 设平面的一个法向量，则， 1PB A ()2222,,n x y z =222221222302102n AP y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩令，，所以， 2y =23x =21z =-()21n =- 设二面角的平面角为，则11P B A A --()0180θθ≤≤ ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 由图知二面角的平面角为锐角，11P B A A --所以二面角11P B A A --22．已知函数，．()()2e x f x x ax a =--R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x (2)当时，证明：．0a =()2(ln 2)f x x x >+【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出不等式，的解集作()f x ()f x '()0f x '<()0f x ¢>答.（2）将不等式等价变形，再分别证明和即可作答.e 1x x >+ln 1x x ≥+【详解】（1）依题意，，令，则或()()()()222e 2e x x f x x a x a x x a '⎡⎤=+--=+-⎣⎦()0f x '=2x =-.x a =当时，，则函数在上单调递增； 2a =-()()22e 0x f x x '+≥=()f x R 当时，当时，，当时，，2a >-()2,x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∈-∞-∞+ ()0f x ¢>于是得在，上单调递增，在上单调递减；()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，当时，，当时，，2a <-(),2x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∞∞-∈-+ ()0f x ¢>因此函数在、上单调递增，在上单调递减，()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -所以当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；2a >-()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，在上单调递增；2a =-()f x R 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.2a <-()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -（2）当时，，，，0a =()2e x f x x =0x >()222(ln 2)e (ln 2)e ln 2x x f x x x x x x x >+⇔>+⇔>+令，则，函数在上单调递增，()e 1,0x g x x x =-->()e 10x g x '=->()g x (0,)+∞，，即，(0,)∀∈+∞x ()(0)0g x g >=e 1x x >+令，，当时，，当时，， ()ln 1,0h x x x x =-->1()1h x x'=-01x <<()0h x '<1x >()0h x '>即函数在上单调递减，在上单调递增，，，即()h x (0,1)(1,)+∞(0,)∀∈+∞x ()(1)0h x h ≥=，ln 1x x ≥+于是得，而，因此，，e 1ln 2x x x >+≥+20x >22e (ln 2)x x x x >+所以成立.()2(ln 2)f x x x >+【点睛】关键点睛：利用导数探讨含参函数的单调性，求出导数后分类讨论解不等式是解决问题的关键.。

苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2024.1注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3～请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：10x ++=的倾斜角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2214x y -=的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O 的对称点为B ，则AF BF -=（）A ．-B ．C ．4-D ．43．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b-C ．a b + ，a b - ，cD ．a b + ，a b c ++ ，c4．已知{}n a 是等比数列，若243a a a =，458a a =，则1a =（）A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：0mx y m +-=被圆M ：224210x y x y +--+=截得的最短弦的长度为（）A B ．2C ．D ．46．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面{}00P n P P α=⋅= ，其中点()01,2,3P ，法向量()1,1,1n =，则下列各点中不在平面α内的是（）A ．()3,2,1B ．()2,5,4-C ．()3,4,5-D ．()2,4,8-7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过()1,0A -，且与圆C ：()2219x y -+=相切，则圆心P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、1R 为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、2R 为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且1235R R =，3AB CD =，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：221x y m m +=-，则下列说法正确的有（）A ．若1m >，则C 是椭圆B ．若2m >，则C 是椭圆C ．若0m <，则C 是双曲线D ．若1m <，则C 是双曲线10．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a pa q +=+（p ，q ∈R ，*n ∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的有（）A ．若1p =-，3q =，则102a =B ．若1p =-，3q =，则1030S =C ．若2p =，1q =，则101024a =D ．若2p =，1q =，则102036S =11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =，则A ．1A E BD ⊥B ．1A E ⊥平面11BDD BC ．1BD =D ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，T 是C 的准线与x 轴的交点．若124k k =-，则（）A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在1k ，2k ，使得52AB =C ．AOB △面积的最小值为34D ．AF AT BFBT=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知荾形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：______．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2A ，记抛物线C ：24y x =上的动点P 到准线的距离为d ，则d PA -的最大值为______．15．已如圆台的高为2，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆2O 的半径为4，A ，B 两点分别在圆1O 、圆2O 上，若向量1O A 与向量2O B的夹角为60°，则直线AB 与直线12O O 所成角的大小为______．16．函数[]y x =被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如：[]11-=-，[]4.24=．已知数列{}n a 的通项公式为()2log 21n a n =+⎡⎤⎣⎦，设{}n a 的前n 项和为n S ，则使得300n S ≤的最大正整数n 的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程；（2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()4211n n S n a =++（*n ∈N ）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF BE =，11B F C E ⊥．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥1A AEF -的体积最大时，求平面1A EF 与平面11ACC A 夹角的余弦值20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为（1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，11cos πn n a a n +=++（*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 及{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22b =且2121k k b a --=，2223k k b b +=（*k ∈N ），记{}n b 的前n 项和为n S ，试求所有的正整数m ，使得2212m m S S -=成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：222212x y a a -=+的右焦点为()2,0F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以12A A 为直径的圆为圆O ．（1）当l 与圆O 相切时，求DE ；（2）求证：直线AQ 与直线2A P 的交点S 在圆O 内．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 【解析】35πtan 36k αα==-⇒=，选A 2．【答案】D【解析】由双曲线的定义知24AF BF a -==，选D 3．【答案】C【解析】对于A ，()()12b bc b c ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向是b c + ，b ，b c - 共面对于B ，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向量a ，a b + ，a b -共面对于D ，()()c a b c a b =++-+，所以三个向量a b + ，a b c ++ ，c 共面对于C ，若()()c x a b y a b =++- ，不存在实数x ，y 使得等式成立，所以a b + ，a b - ，c不共面选C4．【答案】A【解析】由224333a a a a a =⇒=，所以30a >，则31a =，由233453888a a a q q =⇒=⇒=，所以2q =所以31214a a q ==，选A 5．【答案】C【解析】直线l ：0mx y m +-=过定点()1,0A ，圆M ：()()22214x y -+-=，圆心()2,1M ，半径2R =因为点()1,0A 在圆M 内，由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时，弦长最短为==，选C6．【答案】B【解析】对于B ，若点()2,5,4P -，则()03,3,1P P =-，则033110n P P ⋅=-++=≠ ，所以点()2,5,4-不在平面a 内，选B 7．【答案】B【解析】因为点A 在圆C 内，所以圆P 内切与圆C ，由两圆内切的关系可知，3C P PC r r AP =-=-从而32AP PC AC +=>=，所以点P 轨迹是以AC 为焦点的椭圆8．【答案】A【解析】法1：不妨设13R =，25R =，CD m =，则3AB m =，253MB R AB m =-=-，132OM R MB m =-=-所以21324151MD R OM OC CD m R m m m ==++=-++=+=⇒=所以13a c OC R -===①，212329a AC MA OM OC R m R ==++=+-+=②联立①②解得92a =，32c =，所以椭圆离心率1e 3c a ==选A法2：13R =，25R =，设轨道Ⅱ得长轴和焦距分别为2a 和2c25AM DM R ===，3OB OC ==则()2AB AM MB AM OB OM OM=-=--=+()2CD MD MC MD OC OM OM=-=-+=-3AB CD =，得：1OM =则6OA OM AM a c =+==+，3OC a c==-()2a c a c +=-，得：3a c =，故1e 3=，选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC 10．【答案】AD【解析】若1p =-，3q =，则13n n a a ++=，213n n a a +++=，两式相减可得2n n a a +=，所以{}n a 为周期2的周期数列11a =，22a =，则1022a a ==，A 正确；()101255315S a a =+=⨯=，B 错误若2p =，1q =，则()1121121n n n n a a a a ++=+⇒+=+，因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，则21n n a =-，所以1010211023a =-=，C 错误()10111021210212203612S -=-=-=-，D 正确故选AD11．【答案】ACD【解析】易知11A AB A AD ≌△△，所以11A D A B =，设AC BD O = ，O 为BD 中点，则1AO BD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A ACC ，1A E ⊂平面11A ACC ，所以1A E BD ⊥，A正确；对于B ，因为1123A E AA AB AD =-++，所以211111112221110333223A E AA AA AB AD AA AA AB AA AD AA ⎛⎫⋅=-++⋅-+⋅+⋅=-++=≠ ⎪⎝⎭，所以1A E 与1AA 不垂直，即1A E 与1BB不垂直所以1A E 与平面11BDD B 不垂直，B 错误对于C ，11111BD BA AA A D AB AA AD =++=-++，所以()()()2222211111222BD AB AA AD ABAA ADAB AA AB AD AA AD=-++=++-⋅-⋅+⋅111132222222BD =-⨯-⨯+⨯=⇒=C 正确对于D ，选项A 中已经证明BD ⊥平面11A ACC ，所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角即为直线1BD 与BD 所成角的余角，BD AD AB =-，而1BD = ，()()111BD BD AD AB AB AA AD ⋅=-⋅-++=所以111cos ,2BD BD BD BD BD BD ⋅==⋅，所以直线1BD 与BD 所成角为π4所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4，D 正确故选ACD法2：{}1,,AB AD AA为空间基底来解决问题由题意知：1112AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=1111111233A E AE AA AC CE AA AB AD AA AA AB AD AA =-=+-=++-=+- DB AB AD =-，则：2211122033A E DB AB AD AA AB AA AD ⋅=--⋅+⋅= 2111111121033A E BB A E AA AB AA AD AA AA ⋅=⋅=⋅+⋅-=≠ 故A 正确，B 错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，则：1BD == ，C 正确；显然有BD AC ⊥，且1BD =又()11110BD AA AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅= 故1BD AA ⊥，从而易得：BD是平面11ACC A 的一个法向量()()1111111112222BD BD AD AA AB AD AB ⋅=+-⋅-=--= 设1BD 与平面11ACC A 所成角为θ，则1sin cos ,BD BD θ== ，D 正确；因此，选ACD ．12．【答案】ABD【解析】()11,A x y ，()22,B x y ，则1212121244y y k k x x y y ===-得：2121y y p =-=-，故直线AB 过焦点F ，选项AD 正确22AB p ≥=，故选项B 正确；设直线AB 的倾斜角为θ，则2112sin 2sin 2AOBp S θθ==≥△，选项C 错误；（或注意到当AB 为通径时，213224AOB p S ==<△，故选项C 错误）因此，选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】2214x y +=（答案不唯一）14．【答案】5【解析】由抛物线的定义知，d PF =，所以()()2221205d PA PF PA AF -=-≤=-+-=当点P 位于射线AF 与抛物线交点时，取最大值515．【答案】3π【解析】法1：AB 在12O O 上的投影向量为12O O ，故212124AB O O O O ⋅== ()221122124416216AB AO O O O BO A O B =++=++-⋅=设直线AB 与直线12O O 所成角为θ，则12121cos 2AB O O AB O O θ⋅== ，即3πθ=法2：如图，12O A O C ∥，则260BO C ︒∠=，2BO C △为等边三角形，点A 在圆2O 上的射影为D ，则D 为2O C 中点，所以224223BD =-=，2AD =，在Rt ADB △中tan 3BDBAD AD∠==，则π3BAD ∠=即AB 与12O O 所成角为π3法3：以2O 为原点建系，()10,0,2O ，()0,2,2A ，()23,2,0B 故12121241cos ,242AB O O AB O O AB O O ⋅===⨯，即所成角为π3．16．【答案】59【解析】12k a k -=，()122log 211k k a k +⎡⎤=+=+⎣⎦故122k k n -≤<时，n a k =，共11222k k k ---=项其和为()()1121222k k k k k k --⋅=-⋅--⋅()()()()1021121021212021222121k k k k S k k k --=⋅--⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅--⋅=-⋅+6321321300k S S -==>又3263n ≤<时，6n a =，故60303S =，59297S =因此，所求正整数n 的最大值为59.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）因为E 为BD 中点，()2,0B ，()0,1D ，所以11,2E ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥，由()1,1A --，()2,0B ，得13AB k =，所以13CD AB k k ==．由l CD ⊥知直线l 的斜率为3-，所以直线l 的方程为()1312y x -=--，即所求直线l 的方程为6270x y +-=．（2）因为四边形ABCD 为平行四边形，且()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ，设(),C m n ，由BC AD = 得212,m n -=⎧⎨=⎩解得()3,2C ，又由1BD BC k k ⋅=-得BC BD ⊥，且BC =，所以点C 为圆心，与直线BD 相切的圆的标准方程为()()22325x y -+-=．18．【解析】（1）令1n =得11a =因为()4211n n S n a =++（*n ∈N ），所以()114211n n S n a --=-+（2n ≥，*n ∈N ），两式相减得()()142121n n n a n a n a -=+--（2n ≥，*n ∈N ），即()()12321n n n a n a --=-．所以12123n n a n a n --=-（2n ≥，*n ∈N ），所以3212135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-，即121n a n a =-，所以21n a n =-（2n ≥，*n ∈N ），又11a =，所以21n a n =-（*n ∈N ）．（2）由（1）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111121335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，因为90BAC ∠=︒，所以AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系（如图），设1AA a =（0a >），AF BE λ==（02λ<<）又2AB AC ==，所以可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()10,0,A a ，()12,0,B a ，()10,2,C a ，()2,0,0E λ-，()0,,0F λ，所以()12,,B F a λ=-- ，()12,2,C E a λ=---，因为11B F C E ⊥，所以110B F C E ⋅= ，所以22420a λλ--+=，所以2a =，即该直三棱柱的高为2．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥平面AEF ，又90BAC ∠=︒，由（1）知12AA =，AE BE λ==（02λ<<），所以()111112333A AEF AEF V S AA λλ-=⋅=⋅-≤△，当且仅当1λ=时取“＝”即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥1A AEF -的体积最大．此时()1,0,0E ，()0,1,0F ，()10,0,2A ，所以()11,0,2A E =- ，()10,1,2A F =-，设()1,,n x y z =是平面1A EF 的一个法向量，则11110,0,A E n A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1z =，得()12,2,1n = ，又平面11ACC A 的一个法向量为()21,0,0n =，所以12121222cos ,313n n n n n n ⋅===⨯⋅，因为平面1A EF 与平面11ACC A 的夹角θ为锐角，所以2cos 3θ=．20．【解折】（1）由题意2c =c ==，又因为2a b =，所以4a =，2b =，所以C 的标准方程为221164x y +=．（2）设直线l ：12y x m =+（0m ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，()33,P x y ．将12y x m =+代入C ：221164x y +=中，化简整理得222280x mx m ++-=，于是有2122123240,2,28,m x x m x x m ⎧∆=->⎪+=-⎨⎪=-⎩所以12AB x =-===因为点O 关于l 的对称点为P ，所以333302,0001,222y x y x m -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得334,58.5x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即48,55P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为P 在C 上，所以2248551164m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得22517m =．又因为点O 到直线l的距离d ==，所以由对称性得2OAB OAPB S S AB d ==⋅=四边形△22==第二问法2：设l：12y x m=+，OP：2y x=-，则(),2P x x-，0x≠=，0x≠，解得45mx=-，则48,55m mP⎛⎫- ⎪⎝⎭代入C：221612525m m+=，得：22517m=，则5OP==22222222804160y x mx mx mx y=+⎧⇒++-=⎨+-=⎩A Bx x-==A BAB x=-=故110111217S AB OP=⋅=．21．【解析】（1）将2,3n=代入11cosπn na a n+=++，得21a=，33a=，令2,21n k k=-，得2122k ka a+=+，221k ka a-=，所以21212k ka a+-=+，又11a=，从而()2112121ka k k-=+-=-，所以22121k ka a k-==-，从而,,1,.nn nan n⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）由212121k kb a k--==-，又22b=，2223k kb b+=，所以{}2k b是以2为首项、3为公比的等比数列，所以1223kkb-=⋅，所以()()*1*2,21,23,2,nnn n k kbn k k-⎧=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩NN因为2212m mS S-=，所以221m mb S-=．因为()()21122113212422m m m mS b b b b b b b b b----=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11223112131231mmm mm---+-=+=+--，所以1122331m m m--⋅=+-，即1231m m-=-当1m=时，1231m m-=-无解；当1m >时，因为()22211112230333mm mm m m m -+---++-=<，所以当且仅当2m =时，2113m m --取最大值1，即1231m m -=-的解为2m =．综上所述，满足题意的m 的值为2．第2问法2：（2）212121k k b a k --==-，2223k k b b +=，22b =，则2223k kb b +=故{}2n b 是首项为2，公比为3的等比数列，则1122323n n n b b --=⋅=⋅()()21321242m m m S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()222133113m m m m ⋅-=+=+--2212m m S S -=，即()2222m m m S S b =-，即222m mS b =213143m m m -+-=⋅，即1231m m -=-令()2113n n f n --=，则()()2221212231333nn nn n n n n f n f n -+--+++-=-=1n =时，()()10f n f n +->，即()()12f f <2n ≥时，()()10f n f n +-<，即()()()234f f f >>>⋅⋅⋅()10f =，2n ≥时，()()21f n f <=故满足方程1231m m -=-的正整数m 只有2即使得2212m m S S -=成立的正整数m 为222．【解析】（1）因为()2,0F ，所以()2224a a ++=．所以21a =，所以圆O 的半径1r =．由题意知l 的斜率存在，设l ：()2y k x =-（0k ≠）．当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d r =，1=，解得33k =±由()222,0,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22223440k x k x k --+=，即2210x x +-=，解得1D x =-，12E x =，所以D E DE x =-=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由()222,1,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()222234430k x k x k --++=，此时0k ≠，0∆>，21224303k x x k +=<-，解得203k <<，且21222212224124,3343154,33k x x k k k x x k k ⎧+==+⎪⎪--⎨+⎪==+⎪--⎩所以()1212514x x x x =+-，因为()11,0A -，()21,0A ，所以1AQ ：()2211y y x x =++，2A P ：()1111yy x x =--，联立1AQ ，2A P 方程，消去y 得()()()()()()2121121212121221112221111222x y k x x x x x x x x x y k x x x x x x ++-+--+===------+．所以()()121212121212211221125931223224443531221221444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+----+--===---++---+-++，即131x x +=--，所以12x =．将12x =代入2A P 方程得()1121y y x -=-，即()111,221y S x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭．因为11x <-，所以()()()()()2211121111313132310,214141441x x y x x x x -⎛⎫+⎡⎤-⎛⎫===+∈ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭-⎣⎦⎝⎭所以()221111221y x ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即直线1AQ ，2A P 的交点S 在圆O 内．法2：（1）2224a a ++=，得：21a =，故C ：2213y x -=()2,0F ，圆O 半径为1，设l ：2x my =+1=，得：23m =()22222311212003x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩231D E y y m -=-，则243331D E DE y m =-==-；（2）证：设l ：2x my =+，33,,33m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11,P x y ，()22,Q x y ()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩1221231m y y m -+=-，122931y y m =-，显然有()121234my y y y =-+()1212211212222y y x y x y my y y y ++=++=，21121222x y x y y y -=-()()()2212122112122112121211211311:1221321:11212A P y y y x y x y y y A Q y x x x x y x y y y y y y y A P y x y k x x ⎧⎧-⎪⎪++-=+===⎪⎪+⎪-++-⇒⎨⎨⎪⎪=-=-=-⎪⎪--⎪⎩⎩即211,22A P S k ⎛⎫-⎪⎝⎭，双曲线的渐近线斜率为2A P k <所以1OS =<，因此，点S 在圆O 内。

2022-2023学年苏教版高二上学期期末复习巩固（一）数学试题及参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分.在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑）1．函数()()x x e x f x cos sin +=在0=x 处切线的斜率为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知圆0442221=-+-+y x y x C ：和圆0311********=+--+y x y x C ：，则这两个圆的公切线的条数为（）A ．1或3B ．4C ．0D ．23．南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为1,2,5,10,17,26,37，则该数列的第20项为（）A.324B.325C.362D.3994．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若132+=n nT S n n ，则=nn b a （）A.32B.1312++n n C.1312--n n D.4312+-n n 5．已知直线l 交抛物线x y C 42=：于x 轴异侧两点B A ,，且12=⋅OB OA ，过O 向AB作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程为（）A.()9322=+-y x B.()()09322≠=+-x y x C.()()09322≠=+-y y x D.()()09322≠=+-x y x 或()()09322≠=+-y y x 6．已知F 为双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的左焦点，直线l 过点F 与双曲线交于BA ,两点，且AB 最小值为ab 22，则双曲线离心率取值范围为（）A.()2,1 B.()21， C.(]21，D.(]21，7．已知()x f 是可导函数，且()()x f x x x f '⋅<ln 对于0>∀x 恒成立，则（）A.()()()264382f f f <<B.()()()824326f f f <<C.()()()922643f f f << D.()()()432682f f f <<8．已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,20,ln x e x x xxx f x ，若函数()()a x f x g -=仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（）．A.()∞+，2B.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∞+31,2e ，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-⎥⎦⎤ ⎝⎛31,2,1ee D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31,e 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑）9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知124=a ，014>S ，015<S ，则下列结论正确的是（）A.07<a B.3724-<<-d C.847=S D.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和为n T ，则0>n T 时，n 的最大值为2710．已知圆()()41122=+++y x M ：，直线02=-+y x l ：，P 为直线l 上的动点，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，，则下列说法正确的是（）A ．四边形MAPB 面积的最小值为4B ．线段AB 的最小值为22C ．当直线AB 的方程为0=+y x 时，APB ∠最小D ．若动直线l l ∥1，1l 且交圆M 于C 、D 两点，且弦长⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,22CD ，则直线1l 横截距的取值范围为()()22,40,22---- 11.已知椭圆()0214222>>=+b b y x 的左右焦点分别为21,F F ，直线()22<<-=m m x 与椭圆交于D C ,两点，B A ,分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（）A ．若直线BC 的斜率为1k ，直线AD 的斜率2k ，则2214b k k =B ．若有且仅有两个不同的实数m 使得21F CF ∆为等腰直角三角形，则8282-=bC ．21CF CF ⋅取值范围为[)22,42b b -D ．CD F 1∆周长的最大值为812．已知O 为坐标原点，抛物线x y 42=的焦点为F ，A ，B 为抛物线上的两个动点，M为弦AB 的中点，对A ，B ，M 三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ，D ，N ，则下列说法正确的是（）A ．当AB 过焦点F 时，MCD ∆为等腰三角形B ．若BF AF 2-=，则直线AB 的斜率为3±C ．若︒=∠120AFB ，且AF BF 2=，则1473=ABMN D ．若AOF ∆外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为π49三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分.只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置）13．若点()25-，A 和点()n mB ,关于直线01=+-y x 对称，则=+n m ．14．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且12+=n nT S n n ，则=53b a .15．已知圆()()()01222>=-+-r r b y x C ：，若圆C 与y 轴交于M ，N 两点，且3=MCMN，则=r ．16．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左，右焦点分别为21,F F ，点A 为双曲线右支上一点，线段1AF 交左支于点B ．若22BF AF ⊥，且2131AF BF =，则该双曲线的离心率为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题卡相应位置作答）17.（10分）已知圆044222=-+-+y x y x C ：，圆()()413221=-+-y x C ：及点()13，P .（1）判断圆C 和圆1C 的位置关系；（2）求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.18．（12分）已知直线1++=k kx y l ：．（1）求证：直线l 恒过定点()11，-A ；（2）已知两点()44，-B ，()20，C ，过点A 的直线l 与线段BC 有公共点，求直线l 的倾斜角α的取值范围．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()n n a n S 12+=，11=a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n n a a 的前n 项和为n T ，求证：43<n T .20．（12分）已知函数()x x f -=3．（1）若函数()k x f y --=3在[]1,2-∈x 上有且仅有一个零点，求k 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得函数()()04log 423>---=x xx f m y 在[]b a ,上的值域为[]b a 2,2，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，已知点21,F F 分别是椭圆13422=+y x C ：的左、右焦点，B A ,是椭圆C 上不同的两点，且()021>=λλB F A F ，连接12BF AF ，，且12BF AF ，交于点Q ．（1）当2=λ时，求点B 的横坐标；（2）若ABQ ∆的面积为21，试求λλ1+的值．22．（12分）已知函数()()a x x x f -=ln ，()22--=x x g .（1）()+∞∈∀,0x ，()()x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1=a 时，求()x f 在区间[]()01,>+t t t 的最小值；（3）证明：当()+∞∈,0x 时，xe x x 2111ln --≥-.参考答案一、二选择题123456789101112BBCCBDBCBCABDBCDACD三、填空题13．314．19515．216.565四、解答题17．解：（1）圆C 方程可整理为：()()92122=++-y x ，则圆心()21-，C ，半径3=r ；由圆1C 方程可知：圆心()131，C ，半径21=r ；∵()()131231221=--+-=CC ，1511=-=+r r r r ，，∴111r r CC r r +≤≤-，∴圆C 和圆1C 相交.（2）当过()13，P 的直线斜率不存在，即为3=x 时，其与圆C 不相切，∴可设所求切线方程为：()31-=-x k y ，即013=+--k y kx ，∴圆心C 到切线的距离31232=+-=k k d ，即()222399k k -=+，解得：0=k 或512-=k ，∴切线方程为：1=y 或()35121--=-x y ，即1=y 或041512=-+y x .18．解：（1）证明：由1++=k kx y ，得()11+=-x k y ．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点()11，-A ．（2）解：由题意可知1=AC k ，1-=AB k ，由题意可知直线l 的倾斜角介于直线AB 与AC 的倾斜角之间，又AC 的倾斜角是45°，AB 的倾斜角是135°，A 点横坐标在C B ,两点横坐标之间，因此直线l 可能与x 轴垂直，倾斜角可以是90°，∴α的取值范围是︒≤≤︒13545α．19．解：（1）由已知，2≥n 时，112--=n n na S ，与已知条件作差得：()112--+=n n n na a n a ，∴11-=-n na a n n ，∴()21122321111223211≥=⨯⨯⨯⨯--⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯=---n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n ，当1=n 时也成立.（2）证明：∵()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+==+211212112n n n n a a b n n n ，∴⎪⎭⎫⎝⎛+-++--++-+-+-=21111115131412131121n n n n T n 43232121112321211121121=⨯<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-++=n n n n .得证.20．解：（1）∵函数()k x f y --=3在[]1,2-∈x 上有且仅有一个零点，∴()3-=x f y 的图像与k y =只有一个交点.作出图象如图所示：由图像可得：当2-=x 时，()63=-x f ；当1-=x 时，()03=-x f ；当1=x 时，()383=-x f ；∴要使()3-=x f y 的图像与k y =只有一个交点，只需0=k 或638≤<k ，故实数k 的取值范围{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<6380k k .（2）假设存在实数m ，符合题意.∵()xx f -=3，∴()xx m x x m x x f m y 44444log 4223-+-=-+-=---=.∵x y =和xy 4-=在[]b a ,（其中0>a ）上单调递增，∴在[]b a ,上单调递增.∴函数x x m y 44-+-=在[]b a ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-b b m a a m 44,44，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-b b b m a a a m 244244，∴b a ,是关于x 的方程()0442=+--x m x 两个不等正根，只需：()⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=+>--=∆040401642ab m b a m 解得：0<m .即实数m 的取值范围为()0，∞-.21．解：（1）设()()2211,,y x B y x A ，，依题意，()()010121，，，F F -，由B F A F 212=，得()21212121y y x x =-=+，，即⎩⎨⎧=-=-2121232y y x x ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222121y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+4344413422222121y x y x ，两式相减得3344422212221-=-+-y y x x ，即有()()()()332242221212121-=-++-+y y y y x x x x ，则()324321-=+-x x ，即4221=+x x ，由⎩⎨⎧=+-=-42322121x x x x 得472=x ，∴点B 的横坐标为47．（2）因B F A F 21∥，则121AF F BAF S S ∆∆=，即有21F QF AQB S S ∆∆=，记2102121S S S S S S S QBF QAF F QF AQB ====∆∆∆∆，，，则λ===BF A F QF AQ S S 21201，即01S S λ=．同理021S S λ=，而B F AF S S S S 210212=++，连BO 并延长交椭圆C 于D ，连接21DF DF ，，如图，则四边形21DF BF 为平行四边形，12DF BF ∥，又点D 在直线1AF 上，∴D F AF D F BF 1112λ==，，221ADF B F AF S S ∆=，∴()020000121212S S S S S S ADFλλλλλλ+=⎪⎭⎫⎝⎛++=++=∆，即()2201ADF S S ∆+=λλ，设直线1-=ty x AD ：，点()33,y x D ，有31y y λ-=，即()3131231312123311321y y y y y y y y y y y y y y -+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+λλ，则()3123112y y y y +=--λλ，由⎩⎨⎧=+-=1243122y x ty x 消去x 并整理得：()0964322=--+ty y t ，∴439,436231231+-=+=+t y y t t y y ，4311221223131212++=-=-=∆t t y y y y F F S ADF ，()434122231231+-=+=--t t y y y y λλ，则43810122++=+t t λλ，于是得()21143211122022=+=⋅++=+=∆∆t S S S ADF ADF λλλλ，解得452=t ，∴31824453845101=+⨯+⨯=+λλ．22．解：（1）()+∞∈∀,0x ，()()x g x f ≥恒成立，即为2ln 2--≥-x ax x x ，也就是xx x a 2ln ++≤在()∞+，0上恒成立．令()02ln >++=x x x x x h ，，()()()2222122211x x x x x x x x x h -+=-+=-+='，当()1,0∈x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减，当()+∞∈,1x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增，在1=x 时，()x h 取到极小值也是最小值，()()31min ==h x h ，∴3≤a .（2）当1=a 时，()x x x x f -=ln ，()x xx x x f ln 11ln =-⋅+='.当10<<t 时，[]1,t x ∈时，()0<'x f ，()x f 单调递减，当(]1,1+∈t x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增，∴1=x 时，()x f 取到极小值也是最小值，即()()11min -==f x f ，当1≥t 时，[]1,+∈t t x ，()0≥'x f ，()x f 单调递增，()()t t t t f x f -==ln min .（3）证明：要证当()+∞∈,0x 时，xe x x 211ln 1-≥--．即证当()+∞∈,0x 时，2ln 1-≥--x e xx x x ．由（2）知当1=a 时，函数()x x x x f -=ln 在1=x 处的最小值为1-，令()21-=-x e x x m ．∴()11--='x e xx m ，由()0='x m 得1=x ，∴在()1,0得函数，在()∞+，1，()x m 为减函数，∴()()11max ==m x m ，当()+∞∈,0x 时，2ln 1-≥--x ex x x x ．即当()+∞∈,0x 时，xe x x 211ln 1-≥--.。

南通市海安县如东县2022-2023学年度第一学期高二数学期末试卷解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则( ) A ={x |‒2<x ≤1}B ={x |‒1<x ≤2}A ∩B =A. B. C. D. (‒1,1](‒2,2](‒2,1](‒1,2]【答案】A 【解析】【分析】本题考查交集及其运算，是基础题． 直接由交集运算得答案． 【解答】解：集合，， A ={x |‒2<x ≤1}B ={x |‒1<x ≤2}所以．A ∩B =(‒1,1]2. 已知复数，则( ) z =1+i1‒i z 3=A. B. C. D.1‒1i ‒i 【答案】D【解析】 【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用即可求出结果． i 2=‒1【解答】解：， ∵z =1+i 1‒i =(1+i )2(1‒i)(1+i)=i ， ∴z 3=i 3=‒i 故选：．D3. 已知点，，若直线与直线垂直，则( )A (1,0)B (3,1)AB x ‒my +1=0m =A. B. C. D. ‒2‒12122【答案】B【解析】 【分析】本题考查了两直线垂直与斜率的关系，考查了过两点的斜率公式，属于基础题． 求出直线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为即可求的值． AB ‒1m 【解答】解：直线的斜率为， AB 1‒03‒1=12因为直线与直线垂直， AB x ‒my +1=0所以直线的斜率为．x ‒my +1=0‒2所以，解得．1m =‒2m =‒124. 数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，，，，，{a n }: 112358，其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，⋯3a 1=a 2=1a n +2=a n +1+a n 这样的数列称为“斐波那契数列”若，则( ) .a m =2(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+1m =A. B. C. D. 126127128129【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查数列递推关系在解题中的应用，考查阅读能力和分析解决问题的能力，属于中档题．根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法a n =a n +2‒a n +1求得，然后将的系数倍展开即可求解． S n =a n +2‒12(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+12【解答】解：由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，a 1=a 2=1由，得 ，所以，，a n +2=a n +1+a n (n ∈N ∗)a n =a n +2‒a n +1a 1=a 3‒a 2a 2=a 4‒a 3a 3，， ，将这个式子左右两边分别相加可得：=a 5‒a 4…a n =a n +2‒a n +1n ，所以 S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+⋯+a n =a n +2‒1S n +1=a n +2所以2(a 3+a 6+a 9+⋯+a 126)+1=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+⋯a 124+， a 125+a 126+1=S 126+1=a 128故选C ．5. 已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为( )C y y =±2x C A.B. C. D.52235【答案】A【解析】 【分析】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．由焦点在轴上，渐近线方程为可得，从而求得离心率的值． y y =±2x ab =2【解答】解：由题意可得，即，ab =2b =12a 所以． c a =a 2+b 2a 2=a2+a 24a 2=54=526. 已知函数的导函数为，且，则( ) f (x )f '(x )f (x )=2xf '(π6)+cos x f (π6)=A.B.C.D.‒12123‒π63+π6【答案】D【解析】 【分析】本题考查了导数的运算，属于基础题． 求导，代入，可得，从而可求 x =π6f '(π6)=12f (π6).【解答】解：， ∵f (x )=2xf '(π6)+cosx ，∴f '(x )=2f '(π6)‒sinx 令，则，x =π6f '(π6)=2f '(π6)‒sin π6即， f '(π6)=12则，．f (x )=x +cosx 7. 已知等差数列中，记，，则数列的前项和为( ){a n }a 4+a 5=2.b n =a n +1a n‒1n ∈N ∗{b n }8A. B. C. D. 04816【答案】C【解析】 【分析】本题考查了等差数列的性质与分组求和法，属于中档题． 分离常数可得，设，当时，可得，b n =1+2a n ‒1c n =2a n‒1c n +c 9‒n =0故可得数列的前项和． {b n }8【解答】解：，b n =a n +1a n ‒1=a n ‒1+2a n ‒1=1+2a n ‒1设，c n =2a n‒1当时，c n +c 9‒n =2a n ‒1+2a 9‒n ‒1=2·a n +a 9‒n ‒2(a n ‒1)(a 9‒n ‒1)，=2·a 4+a 5‒2(a n ‒1)(a 9‒n ‒1)=0故 b 1+b 2+b 3+⋯+b 8=1+2a 1‒1+1+2a 2‒1+⋯+1+2a 8‒1=8+c 1+c 2+⋯+c 8．=8+(c 1+c 8)+(c 2+c 7)+(c 3+c 6)+(c 4+c 5)=88. 已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，记，f (x )f '(x )R f (x +1)g (x )=f '(x )若是奇函数，则( ) g (x )g (10)=A. B. C. D.20‒1‒2【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．根据 是奇函数，可得 ，两边求导推得，f (x +1)f (‒x +1)=‒f (x +1)g (x )=g (‒x +2)，再结合题意可得是函数的一个周期，且，进而可求解． g (2)=g (0)4g (x )g (0)=0【解答】解：因为 是奇函数，所以 ， f (x +1)f (‒x +1)=‒f (x +1)两边求导得 ， ‒f '(‒x +1)=‒f '(x +1)即， f '(‒x +1)=f '(x +1)又，g (x )=f '(x )所以 ，即， g (‒x +1)=g (x +1)g (x )=g (‒x +2)令 可得 ，x =2g (2)=g (0)因为是定义域为的奇函数，所以， g (x )R g (0)=0即．g (2)=0因为是奇函数，g (x )所以 ，又， g (‒x )=‒g (x )g (x )=g (‒x +2)所以， g (‒x +2)=‒g (‒x )则，g (x +2)=‒g (x )， g (x +4)=‒g (x +2)=g (x )所以是函数的一个周期， 4g (x )所以． g (10)=g (2)=0故选B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

江苏2022年高二上册数学期末考试带答案和解析填空题命题：“若，则”的逆否命题是______．【答案】若，则【解析】根据原命题和其逆否命题的形式，即可得到结果。

否定前提：否定结论：前提和结论都需要否定，然后调换位置本题正确结果：若，则填空题已知复数（是虚数单位），则．【答案】【解析】试题填空题已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是______．【答案】，【解析】通过标准方程确定和，根据的关系，得到焦点。

由题意得：，由得：焦点坐标为本题正确结果：，填空题“”是“”成立的______条件在“充分不必要”，“必要不充分”，”充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写．【答案】充分不必要【解析】通过求解不等式得到，判断其与的关系即可得到结果。

由可得：当时，必有当时，则未必成立（如）本题正确结果：充分不必要填空题函数，的单调递减区间是______．【答案】【解析】对求导，通过得到单调递减区间。

有题意得：令，解得：当时，，此时单调递减本题正确结果：填空题若双曲线C：的离心率为，则的值为______．【答案】3【解析】通过离心率得到的关系，再利用双曲线得到之间的关系。

离心率，即又，所以本题正确结果：填空题直线l过点，且与曲线相切于点，若，则实数a的值是______．【答案】2【解析】利用切线斜率既等于导函数的值，又可以表示为两点连线斜率公式的形式，得到关于的方程，解方程得到结果。

即切线斜率直线过，则本题正确结果：填空题在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用且来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用______来证明．【答案】且【解析】集合之间的是“包含”和“包含于”的关系。

集合相等，说明二者互为子集。

说明集合和集合元素完全相同，既互为子集的关系本题正确结果：且填空题函数的定义域为R，若对任意的，，且，则不等式的解集为______．【答案】【解析】由得到在上单调递增；将不等式中的改写为，利用单调性得到关于的不等式，解不等式得到结果。

一、单选题1．若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） (1,0)A B AB A ． B ． C ． D ．30︒45︒60︒135︒【答案】A【分析】利用两点坐标求出直线的斜率，再求对应的倾斜角即可． AB【详解】由直线经过，， (1,0)A B设直线的倾斜角为，则有， θtan θ=又，所以. 0180θ︒≤<︒30θ=︒故选：A.2．若直线与直线互相平行，则实数（ ） 1:20l x y +=2:10l mx y ++=m =A ． B ．C ．D ．2122-12-【答案】A【分析】判断不合题意，再根据直线的平行列出相应的比例式，即可求得答案. 0m =【详解】当时，直线，直线与不平行， 0m =2:10l y +=1l 2l 当时，，0m ≠12//l l ，解得， ∴21011m =≠2m =故选：A.3．若等差数列的前项和为，且，则的值为（ ） {}n a n n S 21012a a +=11S A ． B ． C ． D ．334466132【答案】C【分析】根据结合即可求解. 110211a a a a +=+1111111()2a a S +=【详解】等差数列的前项和为，且， {}n a n n S 21012a a +=由等差数列的基本性质，得，21101112a a a a +=+=. ∴1111111()11126622a a S +⨯===故选：C.4．若直线与圆交于，两点，且，关于直线对1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=称，则实数的值为（ ）k m -A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【分析】先对圆的方程配方，求出圆心，再根据两直线以及圆之间的关系求解. 【详解】由圆的方程： 得： ， 2240x y kx my +++-=222242244k m k m x y ⎛⎫⎛⎫+++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭圆心坐标为 ，,22k m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线与圆交于，两点，且，关于直线对称， 1y kx =+2240x y kx my +++-=M N M N 20x y +=则直线必定经过圆心，，，20x y +=(2k -2m -20k m --=又根据垂径定理：直线与直线垂直，可得，即，1y kx =+20x y +=1()12k ⋅-=-2k =所以，故； 1m =-213k m -=+=故选：A.5．数列满足，，，则数列的前10项和为（ ）{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数{}n a A ．51 B ．56C ．83D ．88【答案】A【分析】按照已知条件可以发现奇、偶项分别成等差和等比数列，一一列举前10项求和即可.【详解】数列满足，，，{}n a 10a =21a =222,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数不难发现，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2， 所以数列的前10项和为：. {}n a (02468)(124816)51+++++++++=故选：.A 6．已知为双曲线的右焦点，为的左顶点，过点且斜率为的直线F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>A C A 1l与交于另一点，且垂直于轴．则的离心率为（ ） C B BF x C AB ．2C D ．3【答案】B【分析】根据题意先求出，，再根据可得到关于，的关系式，进而即可得到|BF |AF 1BF AF=a c 双曲线的离心率．C【详解】联立，解得，所以， 22222221x cx y a b c b a=⎧⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩2||b BF a =依题可得，，即， 1BFAF=AF c a =+()2221b c a a c a a c a -==++整理得，所以双曲线的离心率为． 2c a =C 2ce a==故选：B ．7．已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确{}n a n n S 670,90,d S a ≠=3a 9a 的是（ ） A ．B ．120a =2d =-C ．当，时，取得最大值 D ．当时，的最大值为2110n =11n S 0n S >n 【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的定义、等差数列的前项进行求解即可. n 【详解】因为是与的等比中项，7a 3a 9a 所以，()()()22739111162810a a a a d a d a d a d =⋅⇒+=++⇒=-由，有，611906659060159022S a d d d d =⇒+⨯⨯=⇒-+=⇒=-120a =，()221121441121224n S na n n d n n n ⎛⎫=+⋅-=-+=--+ ⎪⎝⎭当，时，取得最大值，10n =11n S ，的最大值为，2210021n S n n n =-+>⇒<<n 20故选：D8．已知函数满足：，，则不等式的解集为()f x ()01f =()()'f x f x <()x f x e <A ． B ． C ．D ．()0,∞+(),0∞-()1,+∞(),1∞-【答案】A【详解】是减函数，由得： ()()()0,x xf x f x f x e e ''-⎛⎫=< ⎪⎝⎭()x f x e ()x f x e <0()(0)1,0x f x f x e e <=∴>故选A.点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如()()f x f x '<()()x f x g x e=构造；如构造；如构()()0f x f x '+<()()x g x e f x =()()xf x f x '<()()f xg x x=()()0xf x f x '+<造等.()()g x xf x =二、多选题9．下列求导运算正确的是（ ） A ． 211()1x xx +'=-B ．(cos )sin x x x ⋅'=-C ．222(e )e x xx x x -'=D ．，则 ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-【答案】ACD【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案.【详解】A 选项，，故A 正确；()2111()1x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭''+'=+=-B 选项，，故B 错误；()()(cos )cos cos cos sin x x x x x x x x x ''⋅'=+=-C 选项，，故C 正确； ()()()2222222e e 2e e 2(ee e e xx x x xx xx x x xx x x x ''---'===D 选项，，则，D 正确. ()sin(21)f x x =-)cos ()221(f x x '=-故选：.ACD 10．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（ ）xOy 221412x y -=A ．离心率为2B ．渐近线方程为 y =C ．实轴长为2D ．右焦点到渐近线的距离为【答案】ABD【分析】根据双曲线方程确定的值，即可一一判断各选项，即得答案. ,,a b c 【详解】由双曲线的方程可得，，，，24a =212b =22216c a b =+=所以，，实轴长，离心率，所以A 正确，C 不正确， 2a =b =4c =24a =2ca=所以，渐近线方程为，所以B 正确， by x a=±=因为右焦点为，不妨取渐近线， (4,0)y =0y -=则到渐近线距离为D 正确.(4,0)y =d =故选：ABD.11．设数列的前项和为，且，则（ ） {}n a n n S 2121,log +=-=n n n n S a b a A ．数列是等比数列B ．{}n a 1(2)n n a -=-C ．D ．的前项和为22221232213n n a a a a -++++= {}n n a b +n 2n212n n n T +=-+【答案】ACD【分析】由已知可得数列是，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断A 、B ，{}n a 11a =进而可以求的值判断C ，也易求得的前项和判断D.2222123n a a a a ++++ {}n n a b +n 【详解】由已知，当时，可得21n n S a =-1n =11a =选项A ，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A 正11122,2-----===n n n n n n n S S a a a a a {}n a 11a =确；选项B ，由选项A 可得解得，故B 错误；1121-==，n n a a a 1n 2n a -=选项 C ，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以2{}n a ，故C 正确； 222212321441211433n n n n a a a a ---++++===- 选项D ，因为，故D 正确.212n+1n (12)(1)log ,2211222n n nn n n n n n n b a n a b n T --++==+=+=+=-+-，故选：ACD.12．已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） 3()1f x x ax =-+2x =A ．3a =B ．在上单调递减 ()f x [1,1]-C ．(1)(1)lim0x f x f x∆→+∆-=∆D ．的图象关于原点中心对称 ()f x 【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义求得的值，即可判断A ；根据函数单调性与导数的关系，即可判断aB ；由导数的定义可判断C ；由函数的对称性即可判断D. 【详解】，则， 3()1f x x ax =-+2()3f x x a '=-因为函数的图象在处切线的斜率为9， ()f x 2x =所以，解得，故A 正确；()2129f a ='-=3a =，则，3()31,R f x x x x =-+∈2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+令，可得，所以在上单调递减，故B 正确； ()0f x '≤11x -≤≤[1,1]-由于，故C 正确；20(1)(1)lim(1)3130x f x f f x'∆→+∆-==⨯-=∆函数，则，3()31,R f x x x x =-+∈3()31f x x x -=-++所以，则的图象关于点中心对称，故D 不正确. ()()2f x f x +-=()f x ()0,1故选：ABC.三、填空题13．等比数列中，则__. {}n a 59740,a a a -=7a =【答案】4【分析】利用等比数列性质可得，结合条件即可得答案.2597a a a =【详解】由题可得，， 259774a a a a ==70a ≠所以. 74a =故答案为：4.14．已知，则__.()2()e 0xf x xf '=-()1f '=【答案】22e 1-【分析】根据导数运算求得正确答案.【详解】，则，()2()e 0xf x xf '=-2()2e (0)x f x f ''=-将代入可得，，解得，0x =()()()002e 020f f f '''=-=-()01f '=故，，2()e x f x x =-()22e 1xf x '=-所以.()2122e 12e 11f ⨯=-=-'故答案为：.22e 1-15．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，O ()2:20C y px p =>F P C PF x 为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．Q x PQ OP ⊥4FQ =C 【答案】=1x -【分析】设点，求得点，由已知条件得出，求出正数的值，即,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0PQ OP ⋅= p 可得出抛物线的准线方程.C 【详解】抛物线的焦点，()2:20C y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为上一点，轴，所以，将代入抛物线的方程可得，P C PF x ⊥2P p x =2P px =P y p =±不妨设，因为为轴上一点，且，所以在的右侧．,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭Q x PQ OP ⊥Q F 又，得，即点，所以，， 42Qp FQ x =-= 42Q p x =+4,02p Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()4,PQ p =- 因为，所以，，，PQ OP ⊥2402p PQ OP p ⋅=⨯-= 0p > 2p ∴=所以抛物线的准线方程为． C =1x -故答案为：． =1x -16．函数有两个零点，则的取值范围是 __. ln ()2x kf x x =-k 【答案】20,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，构造函数，利ln ()2x kf x x =-ln 2x k x =ln ()(0)x g x x x=>用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图像，根据图象即可得解. ()g x 【详解】函数有两个零点，方程有两个根， ln ()2x k f x x =-∴ln 02x kx -=即方程有两个根， ln 2x kx =设，则函数与的图像有两个交点， ln ()(0)xg x x x =>()g x 2k y =， 21ln ()xg x x -'=当时，，单调递增； (0,e)x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减，(e,)x ∈+∞()0g x '<()g x 函数在时，取得最大值，∴()g x e x =()1e eg =又当时，；当时，且，0x →()g x →-∞x →+∞()0g x >()0g x →函数的大致图像，如图所示，∴()g x由图像可知，，102ek <<的取值范围是.k ∴20,e⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.20,e ⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题17．已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l 过点． 1C 34100x y +-=(1,2)M (1)求圆的标准方程；1C(2)若直线l 被圆所截得的弦长为l 的方程． 1C 【答案】(1)； 224x y +=(2)或 1x =3450x y -+=【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；（2）先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出1d =1d =直线斜率，即可求解.【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；r 2r ==1C 224x y +=（2）设圆心到直线到的距离为，则；当直线l 斜率不存在时，易得l d =1d =，此时圆心到的距离，符合题意；:1l x =l 1d =当直线l 斜率存在时，设，即，则，解得，即:2(1)l y k x -=-20kx y k -+-=1d 34k =，:3450l x y -+=故直线l 的方程为或.1x =3450x y -+=18．已知等差数列满足. {}n a 13424,2a a a a +=-=(1)求数列的通项公式及前项和； {}n a n n S (2)记数列的前项和为，若,求的最小值. 1{}n S n n T 9950n T >n 【答案】(1) ()1,2n n n n a n S +==(2) 100【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；n （2）利用（1）的结论及裂项相消法求数列的前项和，结合不等式的解法即可求解. n 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 {}n a d 因为，13424,2a a a a +=-=所以，即，解得. ()11112432a a d a d a d ++=⎧⎨+-+=⎩1222a d d +=⎧⎨=⎩111a d =⎧⎨=⎩所以数列的通项公式为， {}n a ()111n a n n =+-⨯=所以数列的通项公式及前项和为.{}n a n ()()1122n S n n n n ++==（2）由（1）知，， ()12n n n S +=所以， ()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列的前项和为 1{}n S n 1231111n nT S S S S =++++ 111111224122223113n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎪⎛⎫- ⎪-++- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭ 111111*********n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭因为， 9950n T >所以，即，于是有，解得， 19921150n ⎛⎫->⎪+⎝⎭19911100n ->+111100n <+99n >因为， *N n ∈所以的最小值为.n 10019．已知：函数. 32()3f x x ax x =--(1)若，求的单调性；(3)0f '=()f x(2)若在上是增函数，求实数的取值范围. ()f x [)1x ∈+∞，a 【答案】(1)答案见解析；(2). (]0-∞，【分析】（1）求出导函数，利用，求出的值，解不等式，即可求出(3)0f '=a ()()''>0<0，f x f x ()f x 的单调性；（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围.a 【详解】（1），，32()3f x x ax x =-- 2()323'∴=--f x x ax ，，.(3)0'= f 27630∴--=a 4a ∴=将代入得，令得或. 4a =()2383'=--f x x x ()0f x '=13x =-3x =x1()3-∞-，13-1(3)3-， 3(3)+∞， ()f x ' +0 -0 +()f x↑↓↑在上单调递减，在上单调递增. ()f x ∴1(3)3∈-，x 1()(3)3∈-∞-+∞，，，x （2）方法1：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，， 31()2a x x∴≤-当时，是增函数，其最小值为，1x ≥31(2x x-3(11)02-=.实数的取值范围是. 0a ∴≤a (]0-∞，方法2：在上是增函数， ()f x [)1x ∈+∞，在上恒成立， 2()3230f x x ax ∴--'=≥[)1+∞，，. (1)2013f a a=-≥⎧⎪⎨≤'⎪⎩0a ∴≤实数的取值范围是. a (]0-∞，20．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．{}n a 2a 3a 44a -(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，设数列的前n 项和，求证：． 21log n n na b a +={}n b n T 13n T ≤<【答案】(1)2n n a =(2)证明见解析【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，2a 3a 44a -32442a a a =+-又因为数列的公比为2，所以，{}n a 2311122242a a a ⨯=+⨯-即，解得，所以．1118284a a a =+-12a =1222n n n a -=⨯=（2）由（1）知，则， 2nn a =221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===所以， ① 2323412222n n n T +=++++L ， ② 231123122222n n n n n T ++=++++ ①②得 -23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---． 11112133122222n n n n n +++++=+--=-所以． 3332n n n T +=-<又因为， 102n nn b +=>所以是递增数列，所以，所以．{}n T 11n T T =≥13n T ≤<21．已知函数，其中. 211()()ln 2=-++f x x a x x a0a >(1)当时，求曲线在点处切线的方程；1a =()y f x =()()1,1f (2)试讨论函数的单调区间.()f x 【答案】(1)； 32y =-(2)答案见解析.【分析】（1）利用导数几何意义结合条件即得；（2）求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利()f x a 用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性.【详解】（1）当时，,则， 1a =21()2ln 2f x x x x =-+1()2f x x x'=-+，又， ()10f '∴=()312f =-在点处切线的方程为； ∴()y f x =()()1,1f 32y =-（2）由题可得， 1()()11()(0)x a x a f x x a x a x x --⎛⎫'=-++=> ⎪⎝⎭令，解得或， ()0f x '=x a =1x a =若，，当变化时，，的变化情况如表： 01a <<1a a <x ()f x '()f x x (0,)a a 1(,)a a 1a ,1(a )∞+ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和,，单调减区间为； ()f x ∴(0,)a 1(a )∞+1(,)a a②若，，当变化时，，的变化情况如表： 1a >1a a <x ()f x '()f x x1(0,)a 1a , 1(a )a a (,)a +∞ ()f x ' +0-0 + ()f x 增函数减函数增函数的单调增区间为和，单调减区间为； ()f x ∴1(0,)a(,)a +∞1(,)a a③若，则，函数的单调增区间为；1a =()0f x '≥()f x ()0,∞+综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，01a <<()f x (0,)a 1(a )∞+1(,a a1a >()f x 的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为1(0,a(,)a +∞1(,)a a 1a =()f x .()0,∞+22．已知椭圆过点，且焦距为2222:1(0)x y C a b a b+=>>(2,1)P --(1)求椭圆的方程；C (2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：l )P C A B PA PB 1-l 过定点.【答案】(1) 22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.,,a b c C （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.AB 1PA PB k k +=-【详解】（1）由题意可得，解得，22222411c aba b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩椭圆的方程：.∴C 22182x y +=（2）当直线的斜率不存在时，设其方程为，AB,x t x =-<<2x ≠-则， ,,A t Bt ⎛⎛⎝⎝所以， 212PA PB k k t +===-+解得（舍去），4t =-所以直线的斜率存在.AB 设直线的方程为，其中，AB y kx m =+21m k ≠-联立方程，消去得：， 22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 22(4)8801k x kmx -+=+设，()()1122,,,A x y B x y 则，， 122841km x x k -+=+21224841m x x k -⋅=+所以 12121122PA PB m kx m k k x k x x +++++=+++ 1212(2)21(2)2122k x m k k x m k x x ++-+++-+=+++ 122121()22m k m k k k x x -+-+=+++++ 12112(21)()22k m k x x =+-++++ 12121242(21)2()4x x k m k x x x x ++=+-++++ 2222841842(21)482()44141k m k m km k k k m k +-+-+=+-+-+++ 222221684412(21)16441641k km k k m k k m kmk -++=+-+⋅+--+ 224212(21)(2)1k km k m k k m -+=+-+⋅--， 24212121k km k k m -+-=+=--+整理得，直线的方程为，4m k =AB ()4y k x =+所以直线恒过定点.l ()4,0-【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”,,a b c .求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中222a b c =+参数的关系，从而求得定点的坐标.。

高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x ﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则z的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；当x＜0时，y=2﹣x2=1，解得x=±1，应取x=﹣1；综上，x的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线mx﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线mx﹣y﹣3m﹣2=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆3x2+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（x0，y0），M（x M，y M），∵，∴=（x0+c，y0）=（x M+c，y M）∴M（x0﹣c，y0），=（x0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（x0，y0）∴（x0﹣c）x0+y02=0即x02+y02=2cx0，联立方程得：，消去y0得：c2x02﹣2a2cx0+a2（a2﹣c2）=0，解得：x0=或x0=，∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，由z+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴z=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0⇒∃x∈[2，16]，有解．又x∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得k∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴k=2；②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（x，y），x2+y2=4，，，因为，所以（x﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（x﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2ax+4y﹣a2﹣8=λ2（2mx+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（x0，y0），M是线段NE的中点，N（2x0﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于x，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8x+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：x2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（x+4），又左准线l：x=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x0，y0），由=λ1，得（x1+2，y1+3）=λ1（x0﹣x1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：x0+y0+2=0，即点Q在定直线x﹣y+2=0上．。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第一学期期末高二数学测试四一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．椭圆221123x y +=的焦距是 .2．以圆x 2 + y 2 = 4上点(1，3)为切点的圆切线方程是 .3.若方程132222=-+-k y k x 表示的图形是双曲线，则k 的取值范围为 ． 4．已知椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离是2，则M 到右准线的距离为 5．曲线33+-=x x y 在点)3,1(P 处的切线方程为 ． 6.函数x xe x f =)(的单调增区间为 ．7．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm ，则圆锥的母线长为 cm ． 8．函数x x x f sin 21)(-=在区间[0，π]上的最小值为 ． 9．已知函数x x mx x f 2ln )(2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 10. 已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)3f =，且()f x 的导数()21f x x '<+，则不等式2(2)421f x x x <++的解集为 .11.圆2221:4440C x y ax a +++-=和圆2222:210C x y b yb +-+-=相内切，若,a b R ∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 _ ________ ． 12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，ABCDD 1A 1B 1C 1M则下列结论正确的是 （填序号） ①线段A 1M 与B 1C 所在直线为异面直线； ②对角线BD 1⊥平面AB 1C ； ③平面AMC ⊥平面AB 1C ； ④直线A 1M//平面AB 1C.13.在直角坐标系中，已知()()1,0,1,0A B -，点M 满足2MAMB=，则直线AM 的斜率的取值范围为 ．14．如图：设椭圆()012222>>=+b a b y a x 的左，右两个焦点分别为21,F F ，短轴的上端点为B ，短轴上的两个三等分点为Q P ,，且Q PF F 21为正方形，若过点B 作此正方形的外接圆的切线在x 轴上的一个截距为423-，则此椭圆方程的方程为 ．二．解答题（本大题共6小题，共计90分）15．如图，在四面体ABCD 中，CD CB =，BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．(1) EF ∥平面ACD(2)求证：平面EFC ⊥平面BCD ；(3)若平面ABD ⊥平面BCD ，且1===BC BD AD ， 求三棱锥ADC B -的体积．16．设函数3()65,f x x x x R =-+∈（1）若关于x 的方程()f x a =有三个不同实根，求实数a 的取值范围； （2）已知当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x k x ≥-恒成立，求实数k 的取值范围。

2021-2022学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角为( )A. 0B.C.D. 2.已知平面的一个法向量为，则所在直线l 与平面的位置关系为( )A. B.C. l 与相交但不垂直D.3.若数列是等差数列，，则( )A.B.C.D.4.已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，M 是抛物线上一点，过点M 作于若是边长为2的正三角形，则 ( )A.B.C. 1D. 25.在平行六面体中，M 为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )A. B. C. D.6.椭圆上的点P 到直线的最短距离为( )A.B.C.D.7.若数列满足，则称数列为“半差递增”数列．已知“半差递增”数列的前n项和满足，则实数t的取值范围是( )A. B. C. D.8.已知线段AB的端点B在直线l：上，端点A在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线，若曲线与圆有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线l与双曲线右支交于点若，且有一个内角为，则双曲线的离心率可能是( )A. B. 2 C. D.10.如图，已知正方体的棱长为1，，则下列说法正确的有A.B. ，都有C. ，使得D. 若平面，则直线CD与平面所成的角大于11.如图1，曲线为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜宿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用．如图2，苜宿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜宿叶的形状．给出下列结论正确的是A. 曲线C只有两条对称轴B. 曲线C仅经过1个整点即横纵坐标均为整数的点C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2D. 过曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为212.已知数列满足，，其中，下列说法正确的是( )A. 当时，数列是等比数列B. 当时，数列是等差数列C. 当时，数列是常数列D. 数列总存在最大项三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若，则与向量同方向的单位向量的坐标为__________.14.小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支．如图，P为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，，，，双曲线的焦点位于直线PC上，则该双曲线的焦距为__________15.已知数列满足，且，则的值为__________.16.已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于两点，以F为圆心的圆交线段AB于两点从上到下依次为，若，则该圆的半径r的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

一、单选题1．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则α()13,0,n λ= β()22,1,6n =αβ⊥λ=（ ）A ．B ．4C ．D ．1921-【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为，则可得，αβ⊥12n n ⊥且，， ()13,0,n λ= ()22,1,6n =则可得，解得 660λ+=1λ=-故选:C2．若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（ ） A ．B ．3C ．5D ．52152【答案】C【分析】根据题意，设中间的边为，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到的值，从而得a a 到结果.【详解】由题意设中间的边为，则三边依次为 a 2,,2-+a a a 由勾股定理可得，解得或（舍） ()()22222a a a +=-+8a =0a =即斜边为，所以外接圆的半径为 210a +=1052=故选:C3．已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（ ）P 22:133x y C -=22y x =P A ．3 B ．2CD ．1-【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意，，则由解得220x y =≥22223y x x y ⎧=⎨-=⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以点的横坐标为3. P 故选：A4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（ ） 340x y m ++=2220x y y +-=m A ． B ． C ． D ．{}1,1-{}9,1-{}1{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到d r =结果.【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，2220x y y +-=()2211x y +-=()0,11则圆心到直线的距离340x y m ++=d 因为直线与圆相切，340x y m ++=2220x y y +-=所以，解得或，d r =11m =9m =-即实数取值的集合为 m {}9,1-故选:B5．已知数列首项为2，且，则（ ）{}n a 112n n n a a ++-=n a =A ． B ． C ． D ．2n 121n -+22n -122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得，，则当时，有112n n n a a ++-=12a =2n ≥ ，12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==-- 经检验当时也符合该式．∴.1n =122n n a +=-故选：D6．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结111ABC A B C -CA CB =P 1A B Q 1CC 论不正确的是（ ）A ．B ．//平面 1PQ A B ⊥AC 1A BQ C ．D ．//平面1PQ CC ⊥PQ ABC 【答案】B【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系，B 选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C 选项先通过类似A 选项的证明得到线线垂直，结合AC 的结论得到线面垂直后判断，D 选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为，.2h AC CB x ==B 选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移11A C AC 11A C ⋂11A BQ A =AC 1A BQ 直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B 选项错误；AC 1A BQA 选项，计算可得，为的中点，故（三线合一），A 选项1QA QB ==P 1A B 1PQ A B ⊥正确；C 选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，11,,QB QA AB 1AB P 1QA QB =为的中点，故（三线合一），结合A 选项，，，P 1AB 1PQ AB ⊥1PQ A B ⊥11AB A B P = 11,AB A B ⊂平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，11ABB A PQ ⊥11ABB A 1AA ⊂11ABB A PQ ⊥1AA 1AA 1CC 故，C 选项正确；1PQ CC ⊥D 选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//AB E ,PE CE P 1A B PE 1ABA △PE ，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由1AA 112PE AA =PE CQ PE CQ =PECQ PQ CE 平面，平面，故//平面，D 选项正确.PQ ⊄ABC CE ⊂ABC PQ ABC 故选：B7．在数列中，若存在不小于2的正整数使得且，则称数列为“数列”.{}n a k 1k k a a -<1k k a a +<{}n a k -下列数列中为“数列”的是（ ） k -A ． B ．n b n =2nn b =C ． D ． 9n b n n=+123n b n =-【答案】C【分析】利用“数列”定义逐项判断可得答案.k -【详解】对于A ，，，，数列是单调递增数列， n b n =11n b n +=+1110+=+-=>-n n b b n n {}n b 所以数列不是“数列”，故A 错误；{}n b k -对于B ， ，，，数列是单调递增数列，2n n b =112++=n n b 112220++-=-=>n n nn n b b {}n b 所以数列不是“数列”，故B 错误；{}n b k -对于C ，对于函数，令，， ()()90f x x x x=+>123x x >>()()()121212129--=-x x f x f x x x x x 因为，所以，，所以， 123x x >>12120,9->>x x x x ()12121290-->x x x x x x ()()12f x f x >在上为单调递增函数， ()f x ()3,x ∈+∞令，， 2103<<<x x ()()()121212129--=-x x f x f x x x x x 因为，所以，，所以，在2103<<<x x 12120,09-><<x x x x ()12121290x x x x x x --<()()12f x f x <()f x 上为单调递减函数， ()0,3x ∈所以对于，当时，有，当时，有，存在使得数列9n b n n=+23n ≤≤1n n b b -<3n ≥1n n b b +<3k ={}n b 是“数列”，故C 正确；k -对于D ，，时，因为的单调递增数列，是单调递减数列，所以不存在11b =-2n ≥{}23n -123⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n不小于2的正整数使得且，所以数列不是“数列”，故D 错误. k 1k k a a -<1k k a a +<{}n b k -故选：C.8．已知为坐标原点，点坐标为，是抛物线在第一象限内图象上一点，O A ()2,0P 21:2C y x =M 是线段的中点，则斜率的取值范围是（ ） AP OM A ．B ． 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦[)2,+∞C ．D ． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦⎛ ⎝【答案】A【分析】设，可得，再利用基本不等式可得答案.()()22,0>P y y y ()221=+OM y k y 【详解】设，所以，()()22,0>P y y y 21,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭y M y 所以，()22112141212===≤+⎛⎫++ ⎪⎝⎭OMyy k y y y y 当且仅当即时等号成立， 1y y=1y =则斜率的取值范围是.OM 10,4⎛⎤⎥⎝⎦故选：A.二、多选题9．已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（ ） A．0 B ．C ．2D 12【答案】AB【分析】由，排除C 、D ；取，求出[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈- ,a AD b BC ==；取，求出.即可判断A 、B.0a b ⋅=,a AD b AC == 12a b ⋅= 【详解】在正四面体中，棱长均为1.ABCD任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1.任取两个向量，则.,a b1a b == 所以.故C 、D 错误； []cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈- 取.设中点为,连接. ,a AD b BC ==BC E ,AE DE 因为为正四面体，所以. ABCD ,AE BC DE BC ⊥⊥因为,面，面， AE DE E = AE ⊂ADE DE ⊂ADE 所以面.BC ⊥ADE 因为面，所以，所以. AD ⊂ADE BC AD ⊥,90a b =︒ 所以.故A 正确； cos ,cos900a b a b ⋅==︒=取，则.,a AD b AC ==,60a b =︒ 所以.故B 正确. 1cos ,cos 602a b a b ⋅==︒= 故选：AB10．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点()2222:10x y C a b a b+=>>121F 2F P （异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（ ） 12PF F △A ．椭圆的焦距为1B ．椭圆的短轴长为C C C ．D ．椭圆上存在点，使得12PF F △C P 1290F PF ∠=【答案】BC 【分析】根据，解得可判断AB ；设，由知当12e =226a c +=,,a b c ()00,P x y 1212012PF F S F F y =V P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆上存在点，设C P，求出、，可看作方程，求出判别式可判断D.12,PF m PF n ==m n +mn ,m n 2460x x -+=∆【详解】由已知得，，解得，， 12c e a ==226a c +=2,1a c ==2223b a c =-=对于A ，椭圆的焦距为，故A 错误； C 22c =对于B ，椭圆的短轴长为B 正确； C 2b =对于C ，设，，当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，()00,P x y 12120012==A PF F S F F y c y P此时C 正确；0==y b 12PF F △对于D ，假设椭圆上存在点，使得，设，C P 1290F PF ∠=12,PF m PF n ==所以，，，24m n a +==22216244m n mn c +=-==6mn =所以是方程，其判别式，所以方程无解，故假设不成立，故D 错,m n 2460x x -+=16240∆=-<误. 故选：BC.11．在棱长为的正方体中，下列结论正确的是（ ） 21111ABCD A B C D -A ．异面直线与所成角的为 1AB CD 45 B ．异面直线与所成角的为 11A B 1AC 45C ．直线与平面 1AC 11ABB AD ．二面角的大小为 1C AD B --45 【答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断AB 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项. 【详解】如下图所示：对于A 选项，，则与所成的角为，A 对；//CD AB 1AB CD 145BAB ∠=对于B 选项，，所以，与所成角为或其补角，11//AB A B 1AC 11A B 1BAC ∠因为，，，2AB=1BC ==1AC ==22211AB BC AC ∴+=则，所以，，B 错； 1AB BC ⊥11tan BC BAC AB∠==145BAC ∠≠ 对于C 选项，平面，故直线与平面所成角为，11B C ⊥ 11AA B B 1AC 11ABB A 11B AC ∠平面，则，所以，1AB ⊂ 11AA B B 111B C AB ⊥11111sin B CB AC AC ∠==因此，直线与平面C 对； 1AC 11ABB A 对于D 选项，平面，、平面，则，， AD ⊥ 11CC D D CD 1C D ⊂11CC D D AD CD ⊥1AD C D ⊥所以，二面角的平面角为，D 对. 1C AD B --145CDC ∠=o故选：ACD.12．已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和{}n a n 2n S n ={}n b {}n a 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则下列结论正确的是（ ）{}n b {}n c A ． B ．数列中与之间共有项 1216c ={}n c n b 1n b +12n -C ． D ．22n n b a =121n n n b c -+-=【答案】AB【分析】根据题意可得：数列是以为首项，为公差的等差数列，则，，然{}n a 1221n a n =-2nn b =后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列的前项和，当时，；{}n a n 2n S n =1n =111a S ==当时，；经检验，当时也满足，所以；2n ≥121n n n a S S n -=-=-1n =21n a n =-又因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以.{}n b 2nn b =则数列为：， {}n c 1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23, 所以，故选项正确；1216c =A 数列是由连续奇数组成的数列，都是偶数，所以与之间包含的奇数个数为{}n a 1,n n b b +n b 1n b +，故选项正确； 112222n nn +--=B 因为，则为偶数，但为奇数，所以，故选项错误；2n n b =222nn b =1222121n n n a +=⨯-=-22n n b a ≠C 因为，前面相邻的一个奇数为，令，解得：，2n n b =21n -2121nk a k =-=-12n k -=所以数列从1到共有，也即，故选项错误，{}n c 2n 12n n -+122n nn n c b -+==D 故选：AB三、填空题13．已知等差数列前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为______. {}n a 【答案】78【分析】先求得等差数列的首项和公差，然后求得前项和. {}n a 12【详解】设等差数列的公差为，d 则，解得，1133661521a d a d +=⎧⎨+=⎩11a d ==所以前项的和为. 121126678a d +=故答案为：7814．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C 的共轭双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为______. 3C【分析】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，根据双曲线的离心率公式可得C 2a 2b 2c出，进而可求得双曲线的共轭双曲线的离心率.b =C 【详解】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则，可得C 2a 2b 2c 3c a==，b =所以，双曲线的共轭双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，C 2b 2a 2c =因此，双曲线的共轭双曲线的离心率为.C c b===15．已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______. 【答案】## 9320.28125【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案. 【详解】画出轴截面如下图所示， 圆锥的轴截面为正三角形，ABC 设球心为，圆锥底面圆心为，球的半径为，O 1O R 则圆锥的高为，1322R R R +=. 932=故答案为：932四、双空题16．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆的方程为，半径为1的动圆内P O ()2220x y R R +=>M 切于定圆作无滑动的滚动，切点的初始位置为.若，则的最小值为______；若O P (),0R 4R =PO ，且已知线段的中点的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为______.2R =MP N 【答案】 2 2219144x y +=【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案. 【详解】当时，的最小值为.4R =PO 21422R -⨯=-=当时，初始位置为， 2R =N 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭圆的四分之一弧长为， O 12π2π4⨯⨯=圆的半周长为， M 12π1π2⨯⨯=所以的轨迹过点， N 10,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭所以，椭圆焦点在轴上， 31,22a b ==x 所以椭圆方程为. 2219144x y +=故答案为：； 22219144x y +=五、解答题17．如图，是三棱锥的高，线段的中点为，且，.PA -P ABC BC M AB AC ⊥2ABAC PA ===(1)证明：平面；BC ⊥PAM (2)求到平面的距离.A PBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据已知条件证明，，由直线与平面垂直的判定定理即可证明. BC AM ⊥PA BC ⊥（2）法一：在平面中，过点作，证明平面，再求值即可；法二：PAM A AH PM ⊥AH ⊥PBC A 到平面的距离，是三棱锥的高，利用等体积法求解.PBC A PBC -【详解】（1）因为，线段的中点为，所以.AB AC =BC M BC AM ⊥因为是三棱锥的高，所以平面，PA -P ABC PA ⊥ABC 因为平面，所以.BC ⊂ABC PA BC ⊥因为平面，平面，，所以平面PA ⊂PAM AM ⊂PAM PA AM A = BC ⊥PAM （2）法一：（综合法）在平面中，过点作，如图所示，PAM A AH PM ⊥因为平面，平面，所以.BC ⊥PAM AH ⊂PAM BC AH ⊥因为，平面，平面，，所以平面. AH PM ⊥BC ⊂PBC PM ⊂PBC PM BC M = AH ⊥PBC在中，Rt BAC A 1122AM BC ====所以在中，Rt PAM A PM ===所以到平面PA AM AH PM ⨯===A PBC 法二：（等体积法）设到平面的距离为，则在中，A PBC d Rt BAC A 1122AM BC ====在中，Rt PAM A PM ===因为是三棱锥的高，所以， PA -P ABC 11142223323P ABC ABC V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得， 11143323P ABC PB PBC C A V V S d d --==⨯=⨯⨯=△d =所以到平面A PBC 18．已知等比数列的首项为2，前项和为，且.{}n a n n S 234230S S S -+=(1)求；n a(2)已知数列满足：，求数列的前项和.{}n b n n b na ={}n b n n T 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由可得公比，再由等比数列的通项公式即可得到结234230S S S -+=q 果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a q 因为，所以，234230S S S -+=()234320S S S S -+-=所以，所以，所以.342a a =2q =112n n n a a q -==（2）由（1）得，，所以，……①2n n b n =⨯212222n n T n =⨯+⨯++⨯ 所以，……②()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①-②，得， ()()21112122222212212n n n n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.()1122n n T n +=-⋅+19．已知双曲线的实轴长为2，右焦点到的距离为. ()2222:10,0x y C a b a b-=>>F 32x =12(1)求双曲线的方程；C (2)若直线与双曲线交于，两点，求的面积.1y x =-C M N MNF A 【答案】(1) 2213y x -=(2) 32【分析】（1）由双曲线实轴长为2可得，再利用右焦点到的距离为可得，即可1a =F 32x =122c =求得双曲线的方程；C （2）联立直线和双曲线方程容易解出，两点坐标即可求得的面积.M N MNF A 【详解】（1）设双曲线的焦距为，C ()20c c >因为双曲线的实轴长为2，所以，解得. C 22a =1a =因为右焦点到的距离为，所以，解得或. F 32x =123122c -=1c =2c =因为，所以.可得，c a >2c =222413b c a =-=-=所以双曲线的方程为. C 2213y x -=（2）设，，()11,M x y ()22,N x y 联立直线和双曲线可得， 22113y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩()223130x x ---=即，或220x x +-=1x =2x =-不妨设，，所以.11x =22x =-2130,y y ==-所以. 2121113132222MNF S MF y c x y =⨯=-⨯=⨯⨯=△即的面积为MNF A 3220．已知数列的首项为1，前项和为，且满足______.{}n a n n S ①，；②；③.22a =22n n a a +-=()21n n S n a =+()12n n nS n S +=+从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求；n a (2)求数列的前项和. 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)n a n =(2) 13112212n T n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【分析】（1）当选①时，分为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据与n n S na 的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到是常数数列，从而得到结果； ()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）选① 因为，所以当为奇数时，； 22n n a a +-=n 1122n n a a n -=+⨯=同理，当为偶数时，. n 2222n n a a n -=+⨯=所以.n a n =选②因为，（*）所以当时，，（**） ()21n n S n a =+2n ≥112n n S na --=（*）-（**），得，即， ()11n n n a na --=11n n a a n n -=-所以数列是首项为1的常数列， n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以.n a n =选③因为，所以，所以数列是首项为的常数列， ()12n n nS n S +=+()()()1211n n S S n n n n +=+++()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭12所以，所以当时，. ()12n n n S +=2n ≥()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=当时，也符合上式.所以. 1n =n a n =（2）由（1）得，， ()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以 111111111311123243522212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 21．三棱柱中，，，线段的中点为，且111ABC A B C -112AB AB AA AC ====120BAC ∠= 11A B M .BC AM ⊥(1)求证：平面；AM ⊥ABC (2)点在线段上，且，求二面角的余弦值. P 11B C 11123B P BC =11P B A A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由、根据线面垂直的判定定理可得平面； AB AM ⊥BC AM ⊥AM ⊥ABC（2）以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，求出平面、A 、、AN AC AM x y z 、、11B AA 平面的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.1PB A 【详解】（1）三棱柱中，，111ABC A B C -11//AB A B 在中，，线段的中点为，所以，所以； 11AB A △11AB AA =11A B M 11A B AM ⊥AB AM ⊥因为，平面，平面，，平面，所以BC AM ⊥BC ⊂ABC AB ⊂ABC AB BC B ⋂=AB BC ⊂、ABC 平面；AM ⊥ABC （2）做交于点，AN AC ⊥BC N 以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系， A 、、AN AC AM x y z 、、则，，， ()0,0,0A )1,0B-112B -，.()0,2,0C (M 所以，，，112AB =-()BC =(AM = 因为，所以，111222,033B P B C BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭32P ⎛ ⎝所以，32AP ⎛= ⎝ 设平面的一个法向量，则， 11B AA ()1111,,n x y z =11111111020n AB y n AM ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩ 解得，令，所以， 10z=1y =11x =()1n = 设平面的一个法向量，则， 1PB A ()2222,,n x y z =222221222302102n AP y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩令，，所以， 2y =23x =21z =-()21n =- 设二面角的平面角为，则11P B A A --()0180θθ≤≤ ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 由图知二面角的平面角为锐角，11P B A A --所以二面角11P B A A --22．已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为P ⎛ ⎝()2222:10x y E a b a b +=>>A B C ，且.225a b +=(1)求椭圆的方程；E (2)点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线P E AC BP Q CP y R 过定点.RQ 【答案】(1) 2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. 22,a b E （2）设出直线的方程，求得点的坐标，联立直线的方程和椭圆的方程，求得点坐BP Q BP E P 标，进而求得直线的方程，从而求得点的坐标，由此求得直线的方程并确定定点坐标. PC R RQ【详解】（1）因为为椭圆上一点，所以. P ⎛ ⎝()2222:10x y E a b a b +=>>221314a b +=因为，所以，整理得，解得或. 225a b +=2213154b b +=-42419150b b -+=21b =2154b =当时，，与矛盾.所以，. 2154b =254a =a b >21b =24a =椭圆的方程为. E 2214x y +=（2）设直线的斜率为，则.BP k :1BP l y kx =-因为， 1:12AC l y x =-+由解得，. 1112y kx y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩421Q x k =+2121Q k y k -=+因为，所以，整理得， 22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()224140x kx +--=()221480k x kx +-=所以，. 2841P k x k =+224141P k y k -=+所以，所以. 2222241412141888242241PC k k k k k k k k k k --++===--+---+()21:242PC k l y x k +=---令，得. 0x =2121R k y k +=-所以， ()()222221212121822121414144421212121RQ k k k k k k k k k k k k k k k +--+---+--====-----+++所以. 221:2121RQ k k l y x k k +=-+--所以. ()242:12212121RQ k k k l y x x k k k +=-+=-----所以直线过定点. RQ ()2,1-。

2022-2023学年江苏省苏州市高二上册期末数学质量检测试题一、填空题1．半径为1cm 的球的体积是___________3cm .【正确答案】4π3【分析】根据球体积公式计算．【详解】由题意球体积为()3344π1πcm 33V =⨯=．故4π3．2．设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.【分析】设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，可知O 为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．【详解】如图，设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，四面体为正四面体，∴O 为底面正三角形的中心，连接CO 并延长交BD 于G ，则G 为BD 中点，底面边长为1，23CO CG ∴==AO ∴∴该正四面体的高为3．故3．3．两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.【正确答案】35##0.6【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为：35=.故答案为.354．若直线l 的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.【正确答案】0x =【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.【详解】若直线l 的一个法向量为(-，可设直线方程为0x c -++=，由直线过原点，∴0c =，故所求直线方程为0x -=，即0x -=.故0x -=5．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.【分析】根据直观图和平面图的关系可求出O A ''，进而利用面积公式可得三角形A B C '''的面积【详解】由已知可得122O A ''=⨯则122A B C S '''=⨯故答案为6．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．【正确答案】2π【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积12222S ππ=⨯⨯=．故2π.7．一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.【正确答案】2根据已知可知：2a b =，再代入离心率公式e =即可.【详解】由题知：222a b =⨯，即2a b =.2c e a=====.本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.8．已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.【正确答案】π3π[0,][,π)44⋃【分析】由题意可得直线l 的斜率cos [1,1]k θ=-∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]β∈-，[0,π)β∈，再根据正切函数的性质即可求得答案.【详解】解：因为直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，所以直线l 的斜率cos k θ=-，所以[1,1]k ∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]k β=∈-，又因为[0,π)β∈，所以π3π[0,][,π)44β∈⋃.故π3π[0,][,π)44⋃9．已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为111sin 602⨯⨯⨯︒122sin 602⨯⨯⨯︒=三棱台的体积为1713412⎛⨯⨯= ⎝.故1210．已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.【正确答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(1,1)--，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线()():20l a b x b a y a -+--=化为(21)()0a x y b x y --+-+=，210101x y x x y y --==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩，恒过定点(1,1)--，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(1,1)--=圆心到直线()():20l a b x b a y a -+--=，此时直线弦长为最小值=故答案为.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.【正确答案】8π【分析】由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．【详解】如图，取PQ 中点K ，11A D AD H = ，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，1B K =，1KP =，设外接球半径为R ，则1OK =在直角三角形OPK 中，222(11R =+，解得R =．所以球表面积为248S R ππ==．故8π．关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．12．如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ 的取值范围为______.【正确答案】22⎡⎣【分析】由题意求得点Q 轨迹，根据轨迹判断计算AQ 的取值范围.【详解】F '为椭圆右焦点，连接PF '，如图所示：,O N 分别为,FF FP '的中点，12ON PF '=，PF 为直径，12NQ PF =，()1112222OQ ON NQ PF PF PF PF ''=+=+=+=，所以点Q 轨迹是以O 为圆心2为半径的圆，(0,3A -在圆内，所以AQ 的最小值为23，最大值为23，即AQ 的取值范围为23,23⎡⎤+⎣⎦.故23,23⎡⎣二、单选题13．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【正确答案】A【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上,但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;14．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP⋅ 的最小值为A ．22-B ．12C ．22+D ．1【正确答案】B【详解】试题分析：设点，所以，由此可得(,)(1,)OP FP x y x y ⋅=⋅-，[2,2]x ∈，所以OP FP ⋅ 的最小值为12.向量数量积以及二次函数最值．15．已知曲线C ：()3222216x y x y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C 上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A ．p 、q 都是真命题B ．p 是真命题，q 是假命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．p 、q 都是假命题【正确答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22x y =时，等号成立，以及224x y +≤，从而可判断命题q 的真假性，检验点()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------是否在曲线上即可判断命题p 的真假性.【详解】因为()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22x y =时，等号成立，所以224x y +≤，因此曲线C 所围成的区域的在圆224x y +=2£，故曲线C 上的点到原点的最大距离是2，因此命题q 为真命题，圆224x y +=上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------，其中点()0,0显然在曲线C 上，但是()()()()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------不在曲线上，故曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p 为真命题，故选：A.16．四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A ．1,22⎤⎢⎣⎦B ．12⎤⎥⎣⎦C ．142⎤⎥⎣⎦D ．4⎣⎦【正确答案】D【分析】设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，分别讨论11C D 、在11A B 两侧、11C D 、其中一点在11A B 上、11C D 、在11A B 同侧时的投影图形，其中11C D 、在11A B 同侧时，CD α⊥时面积最小、平面ABD α 时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积.【详解】四面体ABCD 的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知AB CD ⊥,正四面体的侧面上的高为2h ¢=，正四面体的高3h ==.∵棱AB 平面α，设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，则111A B AB ==，i.当11C D 、在11A B 两侧时，构成的图形即为四边形1111A C B D ，此时1111A B C D ^，11h C D CD <£，即111C D <£，则所求面积即1111111111,262A B C D S A B C D ç=鬃ç棼；ii.当11C D 、在11A B 同侧或其中一点在11A B 上时，构成的图形即为111A B C △，1D 在111A B C △的高1C E 上（或1C 在111A B D 的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中①当平面ABD α^时，1C E h ==②当平面ABD α 时，1C E h ¢==；③当CD α⊥时，1C E 为CD 到面α的距离，即12C E ==.故122C E＃，则所求面积即11111112A B C S A B C E =鬃臌.综上，四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是,44⎥⎣⎦.故选：D 三、解答题17．已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【正确答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或【详解】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为=1x -；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试题解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=，解方程组260{2x y y x-+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径r AC ==C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，所以有=解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.18．如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.(1)求证：直线//EF 平面ABD ；(2)若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.【正确答案】(1)证明见解析；(2)45【分析】（1）根据//EF BD 即可证明；（2）证明AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，进而结合已知条件证明ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠= ，再根据二面角的概念求解即可.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.所以，在BCD △中，//EF BD ，因为EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以，直线EF P 平面ABD（2）解：因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，AD ⊂平面ACD AD AC ⊥,所以AD ⊥平面ABC ，所以，DCA ∠是直线CD 与平面ABC 所成的角，因为直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，所以，45DCA ∠= ，所以AD AC=因为AD ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，AD AB ⊥，因为AB BC ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，所以，BDC ∠是直线CD 与平面ABD 所成角，因为直线CD 与平面ABD 所成角为30°，所以30BDC ∠=o ，所以1,2BC CD BD ==，不妨设1BC =，则2,1CD BD AD AC AB =====，所以，ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠=因为AD AB ⊥，AD AC ⊥，所以BAC ∠是二面角B AD C --的平面角，所以二面角B AD C --的大小为4519．如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.(1)求码头Q 点的坐标；(2)海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.【正确答案】(1)()42Q ，(2)(1,5)C 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON 方程，再求解Q 点坐标.（2）由直线AQ 的方程求解B 点坐标，进而求解AB 的直线方程.由（1）知C 为垂足，可联立直线AB 与PC 方程，即可求解C 点坐标.【详解】（1）由已知得，(6,0)A ，直线ON 方程：3y x=-设00(,2)(0)Q x x >5=及图，得04x =，()42Q ∴，.（2）直线AQ 的方程为(6)y x =--即60x y +-=由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得39x y =-⎧⎨=⎩，即(3,9)B -则直线AB 方程60x y +-=，点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C ，因为PQ OM ⊥，且6km PQ =，()42Q ，，(4,8)P ∴，则直线PC 方程为40x y -+=联立6040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标为(1,5).20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.(1)证明：11B C D E ⊥；(2)设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CF CC 的值，若不存在，说明理由；(3)求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.【正确答案】(1)证明详见解析(2)存在，且112CF CC =(3)1arcsin 3⎡⎢⎣⎦【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11B C D E ⊥.（2）根据向量法列方程，从而求得1CF CC .（3）利用向量法求得直线AB 与平面1DEC 所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()()()1110,0,1,1,2,1,0,2,0,1,0,1D B C B C =-- ，设()1,,0,02E t t ≤≤，则()11,,1D E t =- ，111010D E B C ⋅=-++= ，所以11B C D E ⊥.（2）若E 是AB 的中点，则()1,1,0E ，()10,2,1C ，设平面1DEC 的法向量为()111,,x n y z = ，则11111020n DE x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，故可设()1,1,2n =-- ，设()0,2,,01F λλ≤≤，()()1,2,0,1,0,B BF λ=- ，若//BF 平面1DEC ，BF ⊄平面1DEC ，则1120,2n BF λλ⋅=-== ，所以F 是1CC 的中点，所以112CF CC =.（3）()0,2,0AB = ，设()1,,0,02E t t ≤≤，设平面1DEC 的法向量为()222,,m x y z = ，则22122020m DE x ty m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可设(),1,2m t =-- ，设直线AB 与平面1DEC 所成角为π,02θθ≤≤，则2221sin 255m AB m AB t t θ⋅===⋅⨯++ ，由于22202,04,559,553t t t t ≤≤≤≤≤+≤≤+≤，所以2115sin ,355t θ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，所以15arcsin ,arcsin 35θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.21．已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y (1)若点N 的坐标为()2,0-，求PNQ V 的周长；(2)设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；(3)求直线AB 倾斜角的最小值.【正确答案】(1)8(2)证明见解析(3)直线AB倾斜角的最小值为arctan 2【分析】（1）利用椭圆C 的标准方程和点N 的坐标，结合题中条件可得PNQ V 为焦点三角形，周长为4a ；（2）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，求出直线PM 的斜率，QM 的斜率，推出k k'为定值．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．直线PA 的方程为y kx m =+直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB 坐标，然后求解AB 的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB 倾斜角的最小值．【详解】（1）椭圆22:142x y C +=，由方程可知，椭圆两焦点坐标为()，若点N的坐标为()，点N 为左焦点，点()0,M m 是线段PN 的中点，故点P的坐标为)m ，PQ 垂直于x 轴，则PQ 与x 轴交点为椭圆右焦点，可得PNQ V 的周长为点P 到两焦点距离之和加上点Q 到两焦点距离之和，,P Q 都在椭圆上，所以PNQ V 的周长为8.（2）证明：设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，所以直线PM 的斜率002m m m k x x -==，QM 的斜率0023m m m k x x '--==-，所以0033mk x m k x -'==-，所以k k'为定值．（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(21)4240k x mkx m +++-=，根据根与系数可得20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=+，同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++，所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----==++++，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m k m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111644ABy y kk kx x k k-+⎛⎫===+⎪-⎝⎭．由0m>，00x>，可得0k>，所以16kk+≥16kk=，即6k=时，取得等号，=m=所以直线AB斜率的最小值为2AB倾斜角的最小值为arctan2．。

高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“∃x＞0，”的否定为∀x＞0，．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，，故答案为：∀x＞0，【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为15．【考点】伪代码．【分析】分析程序的运行过程可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4+5的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5的值；∵S=1+2+3+4+5=15，故输出的S值为15．故答案为：15．【点评】本题考查了伪代码的应用问题，根据已知分析出循环的变量初始、终止值及步长，是解题的关键．3．如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=5×4=20个小方格，小豆子恰好落在阴影部分内包含怕小方格的个数m=4，由此能求出小豆子恰好落在阴影部分内的概率．【解答】解：由四边形ABCD是一个5×4的方格纸，知基本事件总数n=5×4=20个小方格，小豆子恰好落在阴影部分内包含怕小方格的个数m=4，∴小豆子恰好落在阴影部分内的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4．抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线的定义，求解即可．【解答】解：物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为，就是这点到抛物线的准线的距离．抛物线的准线方程为：x=﹣1，所以抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为=3﹣（﹣1）=4．故答案为：4【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力．5．将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为0.028．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率和为1列出方程，即可求出a的值．【解答】解：根据频率和为1，得（0.006+0.01+a+0.034+0.022）×10=1，解得a=0.028．故答案为：0.028．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．6．函数的图象在x=1处的切线方程为y=x+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，计算f（1），f′（1）的值，从而求出切线方程即可．【解答】解：f′（x）=2x﹣，f（1）=2，f′（1）=1，故切线方程是：y﹣2=x﹣1，即：y=x+1，故答案为：y=x+1．【点评】本题考查了求切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．7．若双曲线的一条渐近线方程为，则m=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件即可得到所求m的值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±，由一条渐近线方程为，可得m=，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．8．“a=3”是“直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行”的充分不必要条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合直线的平行关系判断即可．【解答】解：a=3时，2x+3y+1=0和2x+3y﹣2=0平行，是充分条件，若直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行，则=≠﹣，解得：a=3或a=﹣2，不是必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的平行关系以及集合的包含关系，是一道基础题．9．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则m的取值范围是（﹣，0）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得f（x）=m有3个不同实数根．画出函数f（x）的图象，通过图象即可得到所求m的范围．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，即为f（x）=m有3个不同实数根．当x≥0时，f（x）=﹣2x≤0；当x＜0时，f（x）=xe x，导数f′（x）=（1+x）e x，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得f（x）在x＜0时由最小值，且为﹣．画出f（x）的图象，可得当﹣＜m＜0，函数f（x）和直线y=m有3个交点，函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点．故答案为：（﹣，0）．【点评】不同考查函数零点个数问题的解法，注意运用转化思想，考查数形结合思想方法，属于中档题．10．圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P（0，1）的圆C的标准方程为（x ﹣2）2+y2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】设出圆的标准方程，由已知条件结合直线垂直的性质和点在圆上求出圆心和半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∵圆心在x轴上，∴b=0，（1）∵与直线l：y=2x+1切于点P（0，1），∴=﹣，（2），由（1）、（2），得a=2，b=0，又∵P点在圆上，代入圆的方程得r2=5，∴所求圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=5．故答案为（x﹣2）2+y2=5．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．11．函数f（x）的定义域为R，且f（﹣3）=1，f'（x）＞2，则不等式f（x）＜2x+7的解集为（﹣∞，﹣3）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设F（x）=f（x）﹣（2x+7），则F′（x）=f′（x）﹣2，由对任意x∈R总有f′（x）＞2，知F′（x）=f′（x）﹣2＞0，所以F（x）=f（x）﹣2x﹣7在R上是增函数，由此能够求出结果．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+7）=f（x）﹣2x﹣7，则F′（x）=f′（x）﹣2，∵f′（x）＞2，∴F′（x）=f′（x）﹣2＞0，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣7在R上递增，∵f（﹣3）=1，∴F（﹣3）=f（﹣3）﹣2×（﹣3）﹣7=0，∵f（x）＜2x+7，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣7＜0，∴x＜﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．12．若直线与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是[0，）∪（，π）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线与圆x2+y2=1没有公共点，可得圆心到直线的距离大于半径，即可得出结论．【解答】解：∵直线与圆x2+y2=1没有公共点，∴＞1，∴k∈（﹣1，1），∴α∈[0，）∪（，π）．故答案为：[0，）∪（，π）．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题13．已知函数（a＞0）．若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则a的最小值为12．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则函数（a＞0）的最大值大于等于0，进而求得答案．【解答】解：若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则函数（a＞0）的最大值大于等于0，当x=时，函数f（x）取最大值a﹣6，故a﹣6≥0，解得：a≥12，故答案为：12【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的最值，函数的极值，函数的零点，函数的奇偶性等知识点，难度中档．14．如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF=AB，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形FAF′C为平行四边形，进一步得到三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′=AB=x，求出x，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）2+（AF）2=（2c）2，即可求出e2，则答案可求．【解答】解：作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形FAF′C为平行四边形，∴AF′=CF=AB，且AF′⊥AB，则三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′=AB=x，则，即，∴，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）2+（AF）2=（2c）2，∴．则e=．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的简单性质，考查了勾股定理在解题中的应用，是中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2016秋•扬州期末）已知命题p：∀x∈R，x2+1≥m；命题q：方程表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题．【分析】（1）若命题p为真命题，则（x2+1）min≥m，进而得到实数m的取值范围；（2）若命题“p ∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题，则p ，q 一个为真命题，一个为假命题，进而得到答案．【解答】解：（1）对于任意x ∈R ，x 2+1≥1，若命题p 为真命题，则（x 2+1）min ≥m ，所以m ≤1；…（2）若命题q 为真命题，则（m ﹣2）（m +2）＜0，所以﹣2＜m ＜2，…（8分） 因为命题“p ∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，所以p ，q 一个为真命题，一个为假命题．…（10分）当命题p 为真命题，命题q为假命题时，，则m ≤﹣2， 当命题p 为假命题，命题q为真命题时，，则1＜m ＜2，综上，m ≤﹣2或1＜m ＜2．…（14分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数恒成立问题，复合命题，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．16．（14分）（2016秋•扬州期末）某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会．此学校各年级人数情况如表：（1）若按年级用分层抽样的方法抽取n 个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n 个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为，求x 、y 的值． （2）若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（1）依题意得：，求出n=66，从而得到高一年级被抽取的人数为24．由此能求出x ，y ．（2）若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，设抽取男生的人数为m，则，解得m=2，从而应抽取男生2人，女生3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3，利用列举法能求出至少有1人是男生的概率．【解答】解：（1）依题意得：，解得n=66．…（2分）所以高一年级被抽取的人数为66﹣22﹣20=24．所以，解得x=680，y=490．…（2）若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，设抽取男生的人数为m，则，解得m=2，所以应抽取男生2人，女生3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3．…（8分）记“从中任取2人，至少有1人是男生”为事件A．从中任取2人的所有基本事件共10个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．其中至少有1人为男生的基本事件有7个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）．所以从中从中任取2人，至少有1人是男生的概率为．…（13分）∴至少有1人是男生的概率．…（14分）【点评】本题考查实数值的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．17．（14分）（2016秋•扬州期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左顶点为A，上、下顶点分别为B，C．（1）若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；（2）若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得A，B，C的坐标，写出直线BF的方程，再由AC的中点在直线BF上求得a，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由直线BF的斜率可得b，求出a，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆方程求得D的坐标，则点D到椭圆E右准线的距离可求．【解答】解：（1）由题意，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b），又F（﹣1，0），∴c=1，直线BF：y=bx+b．∵M为AC的中点，∴，代入直线BF：y=bx+b，得a=3，由a2=b2+c2=b2+1，得b2=8，∴椭圆E的标准方程是；（2）∵直线BF的斜率为1，则，∴椭圆，又直线BF：y=x+1，联立，解得x=0（舍），或，∵右准线的方程为x=2，∴点D到右准线的距离为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础的计算题．18．（16分）（2016秋•扬州期末）某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，AB为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．（1）设∠COD=x（单位：弧度），将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取（2）当x 为何值时，总费用最低？并求出最低费用．【考点】扇形面积公式．【分析】（1）根据扇形面积公式和三角形面积公式写出函数y 的解析式； （2）利用导数判断函数的单调性，求出函数y 的最小值以及对应x 的值． 【解答】解：（1）因为扇形AOC 的半径为10 m ，∠AOC=π﹣x （rad ）， 所以扇形AOC 的面积为，；…（3分）在Rt △COD 中，OC=10，CD=10tanx ， 所以△COD 的面积为S △COD =•OC•CD=50tanx ；…所以y=100S △COD +200S 扇形AOC =5000（tanx +2π﹣2x ），；…（8分）（注：没有x 的范围，扣1分）（2）设，则，，令f'（x ）=0，解得，…（11分）从而当时，f'（x ）＜0；当，f′（x ）＞0；因此f （x ）在区间上单调递减；在区间上单调递增；当时，f （x ）取得最小值，且；…（14分）所以y的最小值为（5000+7500π）元；…（15分）答：当时，改造景观的费用最低，最低费用为（5000+7500π）元．…（16分）【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了利用导数求函数的单调性与最值问题，是综合性题目．19．（16分）（2016秋•扬州期末）若圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的半径为r，圆心C 到直线l的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的取值范围；（2）求d2﹣r2的值；（3）是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请写出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件，结合题意求出F的取值范围；（2）根据题意求出r和d，计算d2﹣r2的值即可；（3）存在定圆M：x2+y2=1满足题意，证明圆M与直线l相切，并且圆M与圆C 相离即可．【解答】解：（1）方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则D2+E2＞4F，又D2+E2=F2，且F＞0，所以中F2＞4F，且F＞0，解得F＞4；…（3分）（2）圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为C（﹣，﹣），半径r==，圆心C到直线l的距离为d==||，所以d2﹣r2=﹣=1；…（8分）（3）存在定圆M：x2+y2=1满足题意，下证之：…（10分）1°因为M（0，0）到直线l的距离为=1=R，所以圆M与直线l相切；2°因为CM==，且R+1=+1，而＞+1，即＞，即4＞0，故CM＞R+1，所以圆M与圆C相离；由1°、2°得，存在定圆M：x2+y2=1满足题意．…（16分）【点评】本题考查了直线与圆的方程与应用问题，也考查了点到直线的距离问题的应用，是综合性问题．20．（16分）（2016秋•扬州期末）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的值域；（3）若a＞0，过原点分别作曲线y=f（x）、y=g（x）的切线l1、l2，且两切线的斜率互为倒数，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的最值，得到函数在闭区间的值域即可；（3）求出切线方程，联立方程组得到，根据函数的单调性求出m（x）的范围，从而证明结论．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），．令f'（x）＞0，得增区间为（0，1）；令f'（x）＜0，得减区间为（1，+∞）．…（2分）（2）．当时，f'（x）≥0，f（x）在[1，e]上为增函数，故f（1）≤f（x）≤f（e），从而f（x）的值域为[0，1+a﹣ae]；当a≥1时，f'（x）≤0，f（x）在[1，e]上为减函数，故f（e）≤f（x）≤f（1），从而f（x）的值域为[1+a﹣ae，0]；当时，时f'（x）＞0，f（x）递增；时f'（x）＜0，f（x）递减故f（x）的最大值为；最小值为f（1）与f（e）中更小的一个，当时f（e）≥f（1），最小值为f（1）=0；当时，f（e）＜f（1），最小值为f（e）=1+a﹣ae．综上所述，当时，值域为[0，1+a﹣ae]；当时，值域为[0，﹣lna﹣1+a]；当时，值域为[1+a﹣ae，﹣lna﹣1+a]；当a≥1时，值域为[1+a﹣ae，0]．…（8分）（3）设切线l2对应切点为，切线方程为，将（0，0）代入，解得x0=1，，从而．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，lnx1﹣a（x1﹣1）），，得①切线l1方程为，将（0，0）代入，得②将①代入②，得．令，则，m（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），由，，则．而在上单调递减，故；若x1∈（1，+∞），因m（x）在区间（1，+∞）上单调增，且m（e）=0，所以，与题设a＞0矛盾，故不可能．综上所述，．…（16分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．。