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习题八
8-1 电量都是的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解: 如题8-1图示
(1) 以处点电荷为研究对象，由力平衡知：为负电荷
解得
(2)与三角形边长无关．
题8-1图题8-2图
8-7 一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处点的场强．解: 如8-7图在圆上取
题8-7图
，它在点产生场强大小为
方向沿半径向外
则
积分
∴，方向沿轴正向．
8-11 半径为和( ＞)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-,试求:(1)＜；(2) ＜＜；(3) ＞处各点的场强．
解: 高斯定理
取同轴圆柱形高斯面，侧面积
则
对(1)
(2)
∴沿径向向外
(3)
∴
题8-12图
8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和，试求空间各处场强．
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为与，
两面间，
面外，
面外，
：笔直于两平面由面指为面．
题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在，两点处放有电量分别为+,-的点电荷，间距离为2，现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点，求移动过程中电场力作的功．
解: 如题8-16图示
∴
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于．试求环中心点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，和段电荷在点产生的场强互相抵消，取
则产生点如图，由于对称性，点场强沿轴负方向
题8-17图 ［］
(2) 电荷在点产生电势，以 同理产生 半圆环产生 ∴
8-22 三个平行金属板，和的面积都是2，和相距，与相距．，都接地，如题8-22图所示．如果使板带正电3.0×10，略去边缘效应，问板和板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则板的电势是多少?
解: 如题8-22图示，令板左侧面电荷面密度为，右侧面电荷面密度为
题8-22图
(1)∵ ，即 ∴ ∴ 且 + 得 而
C
10172-⨯-=-=S q B σ
(2) 30
1
103.2d d ⨯==
=AC AC AC A E U εσV 8-23 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算：
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．
解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势
题8-23图
(2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生：
8-27 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．
解: 利用有介质时的高斯定理∑⎰=⋅q S D S
d
(1)介质内)(21R r R <<场强
3
03π4,π4r
r
Q E r r Q D r εε ==内; 介质外)(2R r <场强 (2)介质外)(2R r >电势 介质内)(21R r R <<电势
(3)金属球的电势
8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为
r ε的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度
的比值．
解: 如题8-28图所示，充满电介质部分场强为2E ，真空部分场强为1E
，自
由电荷面密度分别为2σ与1σ 由∑⎰=⋅0d q S D
得
11σ=D ，22σ=D
而 101E D ε=,202E D r εε= ∴
r D D εσσ==1
2
12 题8-28图 题8-29图
8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且l >>2R -1R ，
两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q 和-Q 时，求：
(1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ＝，厚度为dr ，长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；
(2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S
则 rlD S D S π2d )
(=⋅⎰
当)(21R r R <<时，
Q q =∑
∴ rl
Q
D π2=
(1)电场能量密度 2
222
2π82l r Q D w εε== 薄壳中 rl
r
Q rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22
222=== (2)电介质中总电场能量
(3)电容：∵ C
Q W 22
=
