向量应用举例
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.
（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.
2.过程与方法
通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.
二.教学重、难点
重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.
难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.
三.学法与教学用具
学法：(1)自主性学习法+探究式学习法
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【探究新知】
[展示投影]
同学们阅读教材的相关内容思考：
1.直线的向量方程是怎么来的？
2.什么是直线的法向量？
【巩固深化，发展思维】
教材P100练习1、2、3题
[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）
例1．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。 证：设BE 、CF 交于一点H ，
−→
−AB = a , −→−AC = b , −→
−AH = h ,
则−→
−BH = h - a , −→
−CH = h - b , −→
−BC = b - a ∵−→
−BH ⊥−→−AC , −→−CH ⊥−→
−AB ∴
0)()()(0)(0)(=-∙⇒∙-=∙-⇒⎭
⎬⎫
=∙-=∙-a b h a b h b a h a a h b a h
∴−→
−AH ⊥−→
−BC
又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识：
1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使−→−P P 1=λ−→
−2PP ，λ叫做点P 分−→
−21P P 所成的比， 有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 注意几个问题：
①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在
②始点终点很重要，如P 分−→
−21P P 的定比λ=2
1 则P 分−→−12P P 的定比λ=2
2．线段定比分点坐标公式的获得：
设−→
−P P 1=λ−→
−2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算
−→−P P 1=(x-x 1,y-y 1) −→
−2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1)
A
B
C
D
E
F
H
P 1 P 1
P 1
P 2
P 2
P 2
P
P P
O
P 1
P
P 2
∵−→−P P 1=λ−→
−2PP 即(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1)
∴⎩⎨⎧-=--=-)()
(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩
⎪⎨⎧
++=
++=⇒λ
λλλ11212
1y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点坐标公式：若P 是−→
−21P P 中点时，λ=1 2
22
1
21y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。
[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）
例2.已知点).4,2().5,1
().1,(21P P x P --①的值及的比分求点x P P P 121λ−→
− ②求点的值。的比分221λ−→
−P P P 解：①由2145111111211=++-=++=
λλλλλ解得得y y y 1112
11=++=∴λλx x x
②由2
3
12112222221-=++=-++=
λλλλλ解得得x x y
例3.CD G AB D y x C y x B y x A ABC 是的中点，是边（的三个顶点分别为),,()..().,1∆ 上的一点，且
2=GD
CG
求点G 的坐标。 解：由D 是AB 的中点，所以D 的坐标为GD CG y y x x 2),2
,2(
2
121=++又 32122321213x x x x x x x ++=++⨯
+=
∴3
2122321
21
3y y y y y y y ++=++⨯+=∴ 即G 的坐标为)3
,3(
3
21321y y y x x x ++++ ————.重心坐标公式
例4.过点P 1(2, 3), P 2(6, -1)的直线上有一点P ，使| P 1P|:| PP 2|=3, 求P 点坐标 解：当P 内分−→
−21P P 时 3=λ
当P 外分−→
−21P P 时3-=λ当3=λ得P(5,0) 当3-=λ得P(8,-3)
例5.如图，在平面内任取一点O ，设
O
P 1
P P 2 •
•
•
• P’
P
P 2
