《正弦函数的图像与性质》PPT课件

量x的集合.
解： 函数y = 2 - sin2x的最大值为2 -(-1)= 3.
因为使sin z取得最小值的z的集合为
z
z
2
2k, k
Z,
令z 2x, 由2x 2k,得x k.
2
4
所以，使函数y 2 sin 2x取得最大值的x的集合为
x
x
4
k, k Z.
.
22
4.用五点法画出y=sin2x一个周期的简图.
设A=
x
x
π 2
2kπ,k
Z
,B=
x
x
3π 2
2kπ,k
Z
当x∈A时，函数取得最大值1，反之，若函 数取得最大值1时，x∈A.
当x∈B时，函数取得最小值-1，反之，若函
数取得最小值-1时，x∈B.
.
10
3 周期性 由正弦函数图像可以看出，当自变量x的值增加2π 的整数倍时，函数值重复出现，即正弦函数是周期 函数，它的最小正周期是2π.
(3)连线(用光滑的曲线顺次连接五个点).
.
7
思考 “五点法”作图有何优、缺点? 提示: “五点法”就是列表描点法中的一种.它的优点 是抓住关键点、迅速画出图像的主要特征;缺点是图像 的精度不高.
.
8
探究点2 正弦函数y=sinx的性质
观察正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图像.
y
1
y=1
4
(1) 列表. y sin x, x 0,2
x0
6
3
2
2 5
3
6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
(2) 描点.按上表值作图.
y 1-
-
0
2
3 2
2
x
(3) 连线. 1 -
.
4
2 函数 y sin x, x 0,2 图像的几何作法
§5 正弦函数的图像 与性质
.
1
前面我们借助单位圆学习了正弦函数y=sin x的基 本性质，下面画出正弦函数的图像，然后借助正 弦函数的图像，进一步研究它的性质.
.
2
1.理解正弦函数的性质.（难点） 2.掌握正弦函数图像的“五点作图法”. (重点)
.
3
探究点1 正弦函数y=sinx的图像 1.用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的？
正弦函数的图像叫作正. 弦曲线.
6
4.五点作图法 点不在多，五个就行
y 图像的最高点( ,1)
1-
2
3 2
-1 O
( ,0)
2
x
2
-1 -
与x轴的交点
图像的最低点
(0,0) ( ,0) (2 ,0)
(
3 2
,1)
简图作法
(1)列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标).
(2)描点(定出五个关键点).
解：
x 2x
0 0
4
π 2
2
π
3
4 3π 2
2
y=sin 0 1 0 -1 0
2x y
1. .
O
-1
.
2
y=
.
.
π
3π
2
.
2
2
x
.
. y=sinx-1
.
19
从图像观察y=sinx-1的性质并填写下表
函数 定义
域 值域 奇偶
性 周期
性
单调
y=sinx-1
R
[-2,0] 既不是奇函数也不是偶函数
2π
当x
2k
2
, 2k
2
(k
Z)时，函数是增加的；
当x
2k
2
,
2k
3 2
(k
Z)时，函数是减少的.
当x 2k (k Z)时，最大值为0； 2
.
.
.
O -1
π
2
3π 2
2
x
y sinx, x [0,2π]
.
17
例3 利用五点法画出函数y=sinx-1的简图,并根据
图像讨论它的性质. 解：列表：
x0
y=sinx 0 y=sinx-1 -1
π
π
2
1
0
0
-1
3π
2
2
-1
0
-2
-1
.
18
画出简图：
2y 1
O
-1.
-2
ysinxx[,0,2π ]
-sinx,
0
x[0, 2 ]
10
.
O
-1
.2
3 2
2
x
y si. nx,x [0,2π]
15
例2.用五点法画出y=1+sinx在区间[0,2π]上的简图. 解：列表
x
0
π 2
π
3π 2
2
y=sinx 0 1 0 -1 0
1 y=1+sinx 2 1 0 1
.
16
2y . 1.
y 1 s i n x ,x [ 0 , 2 π ]
.
作法:(1)等分.
(2)作正弦线.
(3)平移.
P1
p
/ 1
(4)连线.
6
o1
A M 1
6
3
2 5 236
7 4 3 5 11 2
6 32 36
.
5
3.正弦曲线
因为终边相同的角的三角函数值相同，
所以y=sinx的图像在 4 ,2 , 2 ,0, 2 ,4 , …
与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同.
3
2
O
7 2
5
3
2
2
2
2
-1
2
3
4
3
5
7
x
2
2
2
y=-1
想一想： 1.我们经常研究的函数性质有哪些？ 2.正弦函数的图像有什么特点？ 3.你能从中得到. 正弦函数的哪些性质？ 9
1.定义域
正弦函数 y=sinx的定义域为R
2.值域
从正弦函数的图像可以看出，正弦曲线夹在两条 平行线y=1和y=-1之间，所以值域为[-1,1]
当x 2k 3 (k. Z)时，最小值为 2.
20
2
1.下列函数中，奇函数是( B )
A.y=|sin x| C. y sin( x) 3
2
B.y=-2sin x D.y=1+sin x
2.函数y=sinx+|sinx|的值域是_[_0_，__2_]_．
.
21
3.求函数y 2 sin 2x的最大值及取得最大值时自变
由于正弦函数具有周期性，为了研究问题方便，我 们可以选取任意一个x值，讨论区间[x,x+ 2π]上的 函数的性质，然后延拓到整个定义域上.
.
11
4 单调性 思考1：观察正弦函数y=sinx(x∈R)的图像，能找
出正弦函数的单调区间吗？
选取区间 [ ，3 ] ，可知
22
在区间 [ ，]上增加 ,在区间[ π，3π ]上减少.
y f(x)=sinx
1
4
3
2
O
7 2
5 2
3 2
2
2
-1
2
3 2
3
4
5
7
x
2
2
根据诱导公式sin(-x)=sin x，可知正弦函数是奇函数
.
14
例1.用五点法画出y=-sinx在区间[0,2π]上的简图
.解：列表
x
0
π 2
π
3π 2
2
y=sin x
0
1
0 -1 0
y
1
.
y=sinx百度文库
0
.
-y1=.
22
22
.
12
单调性 在每一个区间_［ _2_k___ 2_,_2k _ _ __ 2］ _(_k_ _Z _)_上是增加 的； 在每一个区间_［ _2_k___ 2_,2_k___32 _］ _(k _ __Z)__上是减少 的.
.
13
5 奇偶性
观察正弦函数的图像，可以看到
图像关于原点对称，奇函数关于原点对称.