万有引力与航天专题复习

万有引力与航天一、行星的运动1、 开普勒行星运动三大定律①第一定律轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆;太阳处在椭圆的一个焦点上..②第二定律面积定律：对任意一个行星来说;它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积..推论：近日点速度比较快;远日点速度比较慢..③第三定律周期定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等..即： 其中k 是只与中心天体的质量有关;与做圆周运动的天体的质量无关.. 推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星;上式均成立..K 取决于中心天体的质量例1. 据报道;美国计划从2021年开始每年送15 000名游客上太空旅游．如图所示;当航天器围绕地球沿椭圆轨道运行时;在近地点A 的速率 填“大于”“小于”或“等于”在远地点B 的速率..例2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动;如果轨道半径是地球轨道半径的9倍;那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是 A.3年 B.9年 C.27年 D.81年 二、万有引力定律1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G2、万有引力定律①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引;引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比;与它们之间的距离r 的二次方成反比..即： ②适用条件Ⅰ可看成质点的两物体间;r 为两个物体质心间的距离..Ⅱ质量分布均匀的两球体间;r 为两个球体球心间的距离..③运用1万有引力与重力的关系：重力是万有引力的一个分力;一般情况下;可认为重力和万有引力相等..忽略地球自转可得： 例3.设地球的质量为M;赤道半径R;自转周期T;则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为式中G 为万有引力恒量2计算重力加速度 地球表面附近hR 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h 处 方法：在质量为M ’;半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g方法：3计算天体的质量和密度 利用自身表面的重力加速度： 利用环绕天体的公转： 等等 注：结合 得到中心天体的密度 例4.宇航员站在一星球表面上的某高处;以初速度V 0沿水平方向抛出一个小球;经过时间t;球落到星球表面;小球落地时的速度大小为V . 已知该星球的半径为R;引力常量为G ;求该星球的质量M..例5. 2017年1月23日;我国首颗1米分辨率C 频段多极化合成孔径雷达SAS 卫星“高分三号”正式投入使用;某天文爱好者观测卫星绕地球做匀速圆周运动时;发现该卫星每经过时间t 扫过的弧长为L;该弧长对应的圆心角为θ弧度;已知引力常量为G;则下列说法正确的是 A. 卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为 B. 卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度为 32a k T =2Mm F G r =11226.6710/G N m kg -=⨯⋅122m m F G r =2R Mm G mg =2''''''R m M G mg =mg R Mm G =2334R M πρ⋅=2R Mm G mg =C. 地球的质量为D. 卫星的质量为经验总结———“天上”：万有引力提供向心力 2M ma=m m F G r πω⎛⎫= ⎪⎝⎭222v 2一条龙：＝=mr =mr r T “地上”：万有引力近似等于重力 2GM gR 黄金代换：＝4双星：两者质量分别为m 1、m 2;两者相距L特点：距离不变;向心力相等;角速度相等;周期相等..双星轨道半径之比： 双星的线速度之比： 例6经长期观测;人们在宇宙中已经发现了“双星系统”;“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成;每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离;而且双星系统一般远离其他天体.如图所示;两颗星球组成的双星;在相互之间的万有引力作用下;绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L;质量之比为m 1∶m 2=3∶2.则可知A ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2B ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为2∶3C ．m 2做圆周运动的半径为25L D ．m 1做圆周运动的半径为25L 三、宇宙航行 1、人造卫星的运行规律例7. 已知地球半径为R ;质量为M ;自转角速度为 ;地球表面重力加速度为g ;万有引力常量为G ;地球同步卫星与地心间的距离为r ;则以下说法中正确的是A ．地面赤道上物体随地球自转运动的线速度为 RB ．地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度为 RC ．地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度为RGM D ．地球同步卫星的运行速度为gr2、宇宙速度第一宇宙速度：V 1=7.9km/s 第二宇宙速度：V 2=11.2km/s 第三宇宙速度：V 3=16.7km/s注：1宇宙速度均指发射速度2第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度;也是环绕地球运行的最大速度3、地球同步卫星通讯卫星1运动周期与地球自转周期相同;且T=24h ；2运转角速度等于地球自转的角速度;周期等于地球自转的周期；3同步卫星高度不变;运行速率不变因为T 不变；4同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行;在赤道正上方..对同步卫星：运动规律：例8由于同步卫星的运动周期确定为T=24h;故而 其 r 、 v 、ω、T 、a 等均为定值..如图所示;福州位于北纬26°05′;P 是位于福州的物体..一颗地球卫星Q 的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径;下列说法正确的是A. 地球同步卫星可能经过福州上空B. P 的周期比Q 的周期小 122121m m v v R R ==C. P 的线速度比Q 的线速度小D. P 的向心加速度比Q 的向心加速度小课后巩固1．对于万有引力定律的表达式;下列说法中正确的是A. 公式中G 为引力常量;它是由实验测得的;没有单位B. 当r 趋近于零时;万有引力趋近于无穷大C. m 1与m 2受到的引力总是大小相等的;且与m 1、m 2是否相等无关D. m 1与m 2受到的引力总是大小相等、方向相反;是一对平衡力2．已知下面的哪组数据;可以算出地球的质量M 引力常量G 为已知的是A. 月球绕地球运动的周期T 及地球的半径RB. 地球绕太阳运行周期T 及地球到太阳中心的距离rC. 人造卫星在地面附近的运行速度v 和运行周期TD. 地球绕太阳运行速度v 及地球到太阳中心的距离r3．地球半径为R ;地球表面的重力加速度为g ;若高空中某处的重力加速度为;则该处距地面球表面的高度为 A. B. R C. R D. 2R4．下列关于地球同步通信卫星的说法中;正确的是A. 为避免通信卫星在轨道上相撞;应使它们运行在不同的轨道上B. 通信卫星定点在地球上空某处;各个通信卫星的角速度相同;但线速度大小可以不同C. 不同国家发射通信卫星的地点不同;这些卫星轨道不一定在同一平面内D. 通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上4．如图所示为赤道上随地球自转的物体A 、赤道上空的近地卫星B 和地球的同步卫星C 的运动示意图;若它们的运动都可视为匀速圆周运动;则比较三个物体的运动情况;以下判断正确的是A. 三者的周期关系为B. 三者向心加速度大小关系为C. 三者线速度的大小关系为D. 三者角速度的大小关系为 5．一宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面;做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m 的小球;上端固定在O 点;如图甲所示;在最低点给小球某一初速度;使其绕O 点的竖直面内做圆周运动;测得绳的拉力F 大小随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1＝7F 2;设R 、m 、引力常量G 以及F 1为已知量;忽略各种阻力．以下说法正确的是A. 该星球表面的重力加速度为177F mB. 卫星绕该星球的第一宇宙速度为Gm RC. 星球的密度为1328πF GmRD. 小球过最高点的最小速度为0 6．两行星A 和B 是两均匀球体;行星A 的卫星A 沿圆轨道运行的周期为T a ;行星B 的卫星B 沿圆轨道运行的周期为T b.设两卫星均为各自中心星体的近地卫星.而且T a ∶T b =1∶4;行星A 和行星B 的半径之比R A ∶R B =1∶2;则行星A 和行星B 的密度之比ρA ∶ρB =___________;行星表面的重力加速度之比g A ∶g B =___________.7．已知某星球赤道上有一物体质量为m;重力加速度为a;不考虑星球自转带来的影响;随星球自转的周期为T;星球半径为R;引力常量为G;求1该星球的平均密度；2该星球的第一宇宙速度；3该星球的同步卫星离星球表面的高度..。

专题六：万有引力与航天一、万有引力定律内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比；公式：2=MmF G r引 G ——引力常量6.67×10-11N ·m 2/kg 2（卡文迪许——利用扭秤测出）M ——中心天体质量，m ——环绕天体质量，r ——M 与m 之间的距离★适用条件：①可看作质点的物体（当两物体间的距离r 远远大于物体自身的大小时）；填补法“等效思想”先填补后运算半径为R的铅球中挖出一个直径为R 的球形空穴，空穴与铅球相切且过铅球的球心。

在未挖出空穴前铅球质量为M ，质量为m 的小球(可视为质点)与铅球球心间的距离为d 。

小球受到的的万有引力大小F 引＝GMm （7d 2－8dR ＋2R 2）2d 2（2d －R ）2球体内的 万有引力质量分布均匀的球半径为R ，质量为M ，沿半径方向挖出一个深度为d 的槽，将质量为m 的小球(可视为质点)放到槽底。

小球受到的的万有引力大小F 引＝★有用推论：①质量分布均匀的球壳对其空腔内任意位置处的万有引力的合力为零（即Σ引①在质量均匀的球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝G 。

二、行星运动规律代表人物 基本观点 局限性 地心说 托勒密 ①地球是宇宙的中心，是静止不动的 ； ①太阳、月亮以及其他行星都绕着地球运动。

把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动 日心说哥白尼①太阳是宇宙的中心，所有行星都绕着太阳做匀速圆周运动 ； ①地球是绕太阳旋转的普通星体，月亮是绕地球旋转的卫星。

行星运动定律开普勒开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；开普勒 第二定律 (面积定律) 对任一行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，即：近日点的速度 ＞ 远日点的速度。

万有引力与航天知识点归纳一、万有引力定律1. 内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量和的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。

2. 公式，其中，称为引力常量。

3. 适用条件适用于两个质点间的相互作用。

当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

对于质量分布均匀的球体，为两球心间的距离。

二、万有引力定律的应用1. 计算天体质量对于中心天体和环绕天体，根据万有引力提供向心力。

若已知环绕天体的线速度和轨道半径，则。

若已知环绕天体的角速度和轨道半径，则。

若已知环绕天体的周期和轨道半径，则。

2. 计算天体密度对于质量为、半径为的天体，若有一颗卫星绕其做匀速圆周运动，轨道半径为。

由，天体的体积。

当卫星绕天体表面运行时，则。

三、人造卫星1. 卫星的动力学方程万有引力提供向心力，即。

2. 卫星的线速度由可得，说明卫星的线速度与轨道半径的平方根成反比，轨道半径越大，线速度越小。

3. 卫星的角速度由可得，轨道半径越大，角速度越小。

4. 卫星的周期由可得，轨道半径越大，周期越大。

5. 地球同步卫星特点：周期，与地球自转周期相同。

轨道平面与赤道平面重合。

高度，线速度。

四、宇宙速度1. 第一宇宙速度定义：卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度。

计算：由（为地球半径），可得。

这是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度。

2. 第二宇宙速度，当卫星的发射速度大于而小于时，卫星绕地球运行；当卫星的发射速度等于或大于时，卫星将脱离地球的引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星。

3. 第三宇宙速度，当卫星的发射速度等于或大于时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。

五、双星系统1. 特点两颗星绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力。

2. 规律对于质量分别为、的两颗星，轨道半径分别为、，两星之间的距离为（）。

高考物理力学知识点之万有引力与航天知识点总复习含解析一、选择题1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律2．由于地球自转和离心运动，地球并不是一个绝对的球形（图中虚线所示），而是赤道部分凸起、两极凹下的椭球形（图中实线所示），A 点为地表上地理纬度为θ的一点，在A 点有一静止在水平地面上的物体m ，设地球对物体的万有引力仍然可看做是质量全部集中于地心O 处的质点对物体的引力，地球质量为M ，地球自转周期为T ，地心O 到A 点距离为R ，关于水平地面对该物体支持力的说法正确的是（ ）A ．支持力的方向沿OA 方向向上B ．支持力的方向垂直于水平地面向上C ．支持力的大小等于2GMmR D ．支持力的大小等于222cos GMm m R R T πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭3．如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火将卫星送入椭圆轨道2，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是( ).A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B ．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度 4．因“光纤之父”高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”。

假设高锟星为均匀的球体，其质量为地球质量的1k倍，半径为地球半径的1q倍，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的（）A．qk倍B．kq倍C．2qk倍D．2kq倍5．2019年春节期间上映的国产科幻电影《流浪地球》，获得了口碑和票房双丰收。

万有引力与航天专题1.[2024·安徽卷] 2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空.当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km.后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9900 km,周期约为24 h.则鹊桥二号在捕获轨道运行时()A.周期约为144 hB.近月点的速度大于远月点的速度C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度1.B[解析] 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球,根据开普勒第三定律得T12R13=T22R23,整理得T2=T1√R23R13≈288 h,A错误;根据开普勒第二定律得,鹊桥二号在捕获轨道运行时在近月点的速度大于在远月点的速度,B正确;在近月点从捕获轨道到冻结轨道变轨时,鹊桥二号需要减速进行近月制动,故鹊桥二号在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度,C错误;在两轨道的近月点所受的万有引力相同,根据牛顿第二定律可知,在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D错误.2.[2024·北京卷] 科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型:在宇宙大尺度上,所有的宇宙物质(星体等)在做彼此远离运动,且质量始终均匀分布,在宇宙中所有位置观测的结果都一样.以某一点O为观测点,以质量为m的小星体(记为P)为观测对象.当前P到O点的距离为r0,宇宙的密度为ρ0.(1)求小星体P远离到2r0处时宇宙的密度ρ;(2)以O点为球心,以小星体P到O点的距离为半径建立球面.P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力.已知质量为m1和m2、距离为R的两个质点间的引力势能E p=-G m1m2R,G为引力常量.仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动.①求小星体P从r0处远离到2r0处的过程中动能的变化量ΔE k;②宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律v=Hr,其中r为星体到观测点的距离,H为哈勃系数.H与时间t有关但与r无关,分析说明H随t增大还是减小.2.(1)18ρ0 (2)①-23G πρ0m r 02 ②H 随t 增大而减小[解析] (1)在宇宙中所有位置观测的结果都一样,则小星体P 运动前后距离O 点半径为r 0和2r 0的球内质量相同,即ρ0·43πr 03=ρ·43π(2r 0)3解得小星体P 远离到2r 0处时宇宙的密度ρ=18ρ0(2)①此球内的质量M =ρ0·43πr 03 P 从r 0处远离到2r 0处,由能量守恒定律得 动能的变化量ΔE k =-G Mmr 0-(-GMm 2r 0)=-23G πρ0m r 02 ②由①知星体的速度随r 0增大而减小,星体到观测点距离越大运动时间t 越长,由v =Hr知,H 减小,故H 随t 增大而减小3.[2024·甘肃卷] 小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是 ( ) A .用弹簧测力计测出已知质量的砝码所受的重力 B .测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期 C .从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间D .测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径3.D [解析] 在天宫实验室内,物体处于完全失重状态,重力提供了物体绕地球做匀速圆周运动的向心力,故A 、B 、C 中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度;物体所受的万有引力提供物体绕地球做匀速圆周运动的向心力,有mg =G Mm r 2=m 4π2T 2r ,整理得轨道处的重力加速度为g =4π2T 2r ,故通过测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径可行,D 正确.4.(多选)[2024·广东卷] 如图所示,探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞,在接近某行星表面时以60 m/s 的速度竖直匀速下落.此时启动“背罩分离”,探测器与背罩断开连接,背罩与降落伞保持连接.已知探测器质量为1000 kg,背罩质量为50 kg,该行星的质量和半径分别为地球的110和12.地球表面重力加速度大小g 取10 m/s 2.忽略大气对探测器和背罩的阻力.下列说法正确的有 ( )A .该行星表面的重力加速度大小为4 m/s 2B .该行星的第一宇宙速度为7.9 km/sC .“背罩分离”后瞬间,背罩的加速度大小为80 m/s 2D .“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率为30 kW4.AC [解析] 设地球的质量为M ,半径为R ,行星的质量为M',半径为R',在星球表面可近似认为物体所受重力等于其所受万有引力,有GMm R2=mg ,可得GM =gR 2,同理,在该行星表面有GM'=g'R'2,联立得该星球表面的重力加速度g'=M 'R 2MR '2g =110×22×10 m/s 2=4 m/s 2,A 正确;地球的第一宇宙速度v =√GMR=7.9 km/s,则该行星的第一宇宙速度v'=√GM 'R '=√15×GM R =√15×7.9 km/s,B 错误;探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞,在接近某行星表面时以v =60 m/s 的速度竖直匀速下落,此时背罩受到降落伞的拉力F =(m 探+m 背)g'=4200 N,“背罩分离”后瞬间,由牛顿第二定律有F -m 背g'=m 背a ,解得背罩的加速度大小为a =80 m/s 2,C 正确;“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率为P =m 探g'v =1000×4×60 W=2.4×105 W=240 kW,D 错误.5.[2024·广西卷] 潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同.图中a 、b 和c 处单位质量的海水受月球引力大小在( )A .a 处最大B .b 处最大C .c 处最大D .a 、c 处相等,b 处最小5.A [解析] 根据万有引力公式F =G Mm R 2,可知图中a 处单位质量的海水受到月球的引力最大,故选A .6.[2024·海南卷] 神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆,在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速,返回舱速度大大减小,在减速过程中()A.返回舱处于超重状态B.返回舱处于失重状态C.主伞的拉力不做功D.重力对返回舱做负功6.A[解析] 返回舱在减速过程中,加速度竖直向上,处于超重状态,故A正确,B错误;主伞的拉力与返回舱运动方向相反,对返回舱做负功,故C错误;返回舱的重力与返回舱运动方向相同,重力对返回舱做正功,故D错误.7.[2024·海南卷] 嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为 ()A.3π(1+k)3GT2k3B.3πGT2C.π(1+k)3GT2k D.3πGT2(1+k)37.D[解析] 设月球半径为R,质量为M,对嫦娥六号,根据万有引力提供向心力得G Mm [(k+1)R]2=m4π2T2·(k+1)R,月球的体积V=43πR3,月球的平均密度ρ=MV,联立可得ρ=3πGT2(1+k)3,故选D.8.(多选)[2024·河北卷] 2024年3月20日,“鹊桥二号”中继星成功发射升空,为“嫦娥六号”在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯.“鹊桥二号”采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图所示),近月点A距月心约为2.0×103 km,远月点B距月心约为1.8×104 km,CD 为椭圆轨道的短轴,下列说法正确的是()A.“鹊桥二号”从C经B到D的运动时间为12 hB.“鹊桥二号”在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1C.“鹊桥二号”在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线D.“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s8.BD[解析] “鹊桥二号”围绕月球沿椭圆轨道运动,根据开普勒第二定律可知,在近地点A处的速度最大,在远地点B处的速度最小,则从C→B→D的平均速率小于从D→A→C 的平均速率,所以从C→B→D的运动时间大于半个周期,即大于12 h,A错误;在A点,根据牛顿第二定律有G Mm(r OA)2=ma A,在B点,根据牛顿第二定律有G Mm(r OB)2=ma B,联立解得“鹊桥二号”在A、B两点的加速度大小之比约为a A∶a B=81∶1,B正确;物体做曲线运动时速度方向沿该点的切线方向,所以“鹊桥二号”在C、D两点的速度方向不垂直于其与月心的连线,C错误;“鹊桥二号”发射后围绕月球沿椭圆轨道运动,并未脱离地球引力束缚,所以“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s,D正确.9.[2024·湖北卷] 太空碎片会对航天器带来危害.设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示.为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨.变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径.则()A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大9.A[解析] 空间站在P点变轨前、后所受到的万有引力不变,根据牛顿第二定律可知F 万=ma加,则空间站变轨前、后在P点的加速度相同,故A正确;空间站的圆轨道运动可以看作特殊的椭圆轨道运动,因为变轨后其轨道半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知a 2T2=k,则空间站变轨后的运动周期比变轨前的大,故B错误;变轨后在P点获得方向沿径向指向地球的反冲速度,与原来做圆周运动的速度合成,合速度大于原来的速度,故C错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大,但变轨后在P点的速度比同一轨道上在近地点的速度小,所以空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小,故D错误.10.(多选)[2024·湖南卷] 2024年5月3日,“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道,正式开启月球之旅.相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”,本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集,并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱,返回舱再通过返回轨道返回地球.设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径.已知月球表面重力加速度约为地球表面的16,月球半径约为地球半径的14.关于返回舱在该绕月轨道上的运动,下列说法正确的是( )A .其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度B .其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度C .其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的√23倍 D .其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的√32倍10.BD [解析] 返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径,则由万有引力提供向心力,有GM 月m r 月2=mv 月2r 月,根据在月球表面万有引力和重力的关系有GM 月m r 月2=mg 月,联立解得v 月=√g 月r 月,由于第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度,同理可得v 地=√g 地r 地,则v 月v 地=√g 月g 地·r 月r 地=√16×14=√612,所以v 月<v 地,故A 错误,B 正确;根据线速度和周期的关系有T =2πv ·r ,则T 月T 地=r 月r 地·v 地v 月=14×√6=√32,故C 错误,D 正确.11.[2024·江西卷] “嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道,后续经调整环月轨道高度和倾角,实施月球背面软着陆.当探测器的轨道半径从r 1调整到r 2时(两轨道均可视为圆形轨道),其动能和周期从E k1、T 1分别变为E k2、T 2.下列选项正确的是 ( )A .E k1E k2=r 2r 1,T 1T 2=√r 13√r 2B .E k1E k2=r 1r 2,T 1T 2=√r 13√r 2C .E k1E k2=r 2r 1,T 1T 2=√r 23√r 1D .E k1E k2=r 1r 2,T 1T 2=√r 23√r 1311.A [解析] 探测器环月运行,由万有引力提供向心力有G Mmr 2=m v 2r ,得v 2=GMr,其中M 为月球质量,m 为“嫦娥六号”质量,动能E k =12mv 2,则E k1E k2=r2r 1,B 、D错误;同理,由G Mm r 2=m 4π2T2r得T =√4π2r 3GM ,则T 1T 2=√r 13r 23,A 正确,C 错误.12.[2024·辽宁卷] 如图甲所示,将一弹簧振子竖直悬挂,以小球的平衡位置为坐标原点O ,竖直向上为正方向,建立x 轴.若将小球从弹簧原长处由静止释放,其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图乙所示(不考虑自转影响).设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2,地球半径是该天体半径的n 倍,ρ1ρ2的值为 ( )A .2nB .n 2C .2n D .12n12.C [解析] 设地球表面的重力加速度为g ,球状天体表面的重力加速度为g',弹簧的劲度系数为k ,根据简谐运动的对称性有k ·4A -mg =mg ,k ·2A -mg'=mg',解得gg '=2,设球状天体的半径为R ,则地球的半径为nR ,在地球表面有G ρ1·43π(nR )3·m(nR )2=mg ,在球状天体表面有G ρ2·43πR 3·mR 2=mg',联立解得ρ1ρ2=2n,故C 正确.13.[2024·全国甲卷] 2024年5月,“嫦娥六号”探测器发射成功,开启了人类首次从月球背面采样返回之旅.将采得的样品带回地球,飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程.月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的16.下列说法正确的是 ( )A .在环月飞行时,样品所受合力为零B .若将样品放置在月球正面,它对月球表面压力等于零C .样品在不同过程中受到的引力不同,所以质量也不同D .样品放置在月球背面时对月球的压力比放置在地球表面时对地球的压力小13.D [解析] 在环月飞行时,样品所受合力提供所需的向心力,不为零,故A 错误;若将样品放置在月球正面,则它处于平衡状态,它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小,由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的16,则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力,所以样品放置在月球背面时对月球的压力比放置在地球表面时对地球的压力小,故B 错误,D 正确;样品在不同过程中受到的引力不同,但样品的质量不变,故C 错误.14.[2024·山东卷] “鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a.已知地球同步卫星的轨道半径为r ,则月球与地球质量之比可表示为 ( )A .√r 3a 3 B .√a 3r3C .r 3a3 D .a 3r314.D [解析] “鹊桥二号”中继星环绕月球运动的24小时椭圆轨道的半长轴为a ,则其24小时圆轨道的半径也为a ,由万有引力提供向心力得G M 月m 中a 2=m 中(2πT )2a ,对地球同步卫星,由万有引力提供向心力得GM 地m 同r 2=m 同(2πT )2r ,联立解得M 月M 地=a 3r 3,D 正确.15.[2024·新课标卷] 天文学家发现,在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行,其中行星GJ1002c 的轨道近似为圆,轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,则这颗红矮星的质量约为太阳质量的 ( ) A .0.001倍 B .0.1倍 C .10倍 D .1000倍15.B [解析] 设红矮星的质量为M 1,行星GJ1002c 的质量为m 1,轨道半径为r 1,运动周期为T 1;太阳的质量为M 2,地球的质量为m 2,日地距离为r 2,地球运动的周期为T 2;根据万有引力定律提供向心力有GM 1m 1r 12=m 14π2T 12r 1,G M 2m 2r 22=m 24π2T 22r 2,联立可得M 1M 2=(r 1r 2)3·(T 2T 1)2,由于行星GJ1002c 的轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,可得M 1M 2≈0.0730.062≈0.1,选B 正确.16.[2024·浙江6月选考] 与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示,假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内,地球的公转半径为R ,小行星甲的远日点到太阳的距离为R 1,小行星乙的近日点到太阳的距离为 R 2,则 ( )A .小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度B .小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度C .小行星甲与乙的运行周期之比T1T 2=√R 13R 23D .甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比t 1t 2=√(R 1+R)3(R 2+R)316.D [解析] 由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度,A 错误;小行星乙在远日点到太阳的距离与地球到太阳的距离相等,由G Mmr 2=ma 可知,小行星乙在远日点的加速度和地球公转加速度大小相等,B 错误;根据开普勒第三定律有(R 1+R 2)3T 12=(R 2+R 2)3T 22,解得T 1T 2=√(R 1+R)3(R 2+R)3,C错误;甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比t 1t 2=T 12T 22=√(R 1+R)3(R 2+R)3,D 正确.。

专题：万有引力与航天（课前案）1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与成正比，与它们之间成反比．2．公式：F＝，其中G＝N·m2/kg2，叫引力常量．3．适用条件：公式适用于间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到间的距离．【例1】(2009·浙江高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（）A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异宇宙速度数值(km/s)意义第一宇宙速度7.9卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）．若7.9 km/s≤v<11.2 km/s，物体绕运行(环绕速度)gRRGMv==1第二宇宙速度11.2物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s≤v<16.7 km/s，物体绕运行(脱离速度) gRRGMvv22212===第三宇宙速度16.7物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v≥16.7 km/s，物体将脱离在宇宙空间运行(逃逸速度)【例2】某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的12，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？1．轨道平面一定：轨道平面与 共面． 2．周期一定：与 周期相同，即T ＝24 h. 3．角速度一定：与 的角速度相同．4．高度一定：由G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )得同步卫星离地面的高度h ＝ 3GMT 24π2－R . ≈3.56×107m5．速率一定：v ＝GMR ＋h 6. 向心加速度大小一定()h R T v a n +⎪⎭⎫⎝⎛==22πω 【例3】据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（ ） A ．运行速度大于7.9 km/s B ．离地面高度一定，相对地面静止C ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等专题： 万有引力与航天（课中案）万有引力定律应用的基本方法：（1）把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供．“万能”连等式：G Mm r 2＝ma n =m v 2r ＝mω2r ＝m (2πT)2r ＝m (2πf )2r（2）不考虑中心天体的自转。

类型一 与天体有关的估算问题例1：利用万有引力定律、小孔成像原理和生活常识，就可以估算出太阳的平均密度。

用长L=80cm 的不透光圆筒，在其一端封上厚纸，纸的中间用针扎一个直径0.5mm 左右的小孔，筒的另一端封上一张白纸，把有小孔的一端对准太阳，在另一端可看到太阳的像。

如图1所示，若测得太阳的像的直径为mm d 4.7=，试估算太阳的平均密度（保留二位有效数字）。

图1解：设太阳半径为R ，地日距离为r ，OA 距离为D ，由相似三角形可得：LdD R 2=又r D ≈，故Ldr R 2=设太阳、地球质量分别为M 、m ，地球绕日周期为T 万有引力提供向心力：22)2(T mr r Mm Gπ=又334R M πρ=，所以32324d GT L πρ=代入数据：33/104.1m kg ⨯=ρ例2：某同学根据当地的重力加速度值2/8.9s m ，地球半径6370km ，估算出地球质量，试问他是怎样估算的（万有引力恒量为2211/1067.6kg m N ⋅⨯-，保留二位有效数字）？解：该同学是根据地球表面重力近似等于万有引力来估算的。

由mg R MmG=2得 kg kg G g R M 2411262100.61067.68.9)1037.6(⨯=⨯⨯⨯==- 2、已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，若高空中某处的重力加速度为21g ，则该处距地面球表面的高度为（ ） A ．（2—1）RB ．RC ．2R D ．2 R21.(08·全国Ⅰ·17)已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390,月球绕地球旋转的周期约为27天,利用上述数据以及日常的天文知识,可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为 ( )A.0.2B.2C.20D.200 答案 B解析 估算太阳对月球的万有引力时,地、月间距忽略不计,认为月球处于地球公转的轨道上.设太阳、地球、月球的质量分别为M 、m 地、m 月,日、地间距为r 1,地、月间距为r 2,地球、月球做匀速圆周运动的周期分别为T 1、T 2,根据万有引力定律、牛顿第二定律得:对于月球:F 地月=m 月22222π2,T r =ωω其中 ①对于地球:1121121π2,T r m r GMm ==ωω其中地地 ② 由②式得212121π4T r r GM = 所以F 日月=212121π4T r m r GMm 月月= ③由①、③两式得:F 日月: F 地月=1.2)36527(3902212221=⨯=T r T r22.(08·北京理综·17)据媒体报道,“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运行周期127分钟.若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 （ ） A.月球表面的重力加速度 B.月球对卫星的吸引力 C.卫星绕月运行的速度 D.卫星绕月运行的加速度 答案 B 解析 设月球质量为M,平均半径为R,月球表面的重力加速度为g,卫星的质量为m,周期为T,离月球表面的高度为h,月球对卫星的吸引力完全提供向心力,由万有引力定律知222)(π4)(T h R m h R Mm G +⋅=+=①mg R MmG=2②由①②可得2232)(π4R T h R g +=,故选项A 不正确;因卫星的质量未知,故不能求出月球对卫星的吸引力,故选项B 正确;卫星绕月运行的速度T h R )(π2+=v ,故选项C 错误;卫星绕月运行的加速度h R a +=2v ,故选项D 错误.类型二 天体运动问题例4：某球形行星“一昼夜”时间为T=6h ，在该行星上用弹簧秤称同一物体的质量，发现其“赤道”上的读数比其在“南极”处读数小9%，若设想该行星的自转速度加快，在其“赤道”上的物体会自动“漂浮”起来，这时该行星的自转周期T '多大？解：由万有引力定律，可得在南极：mg R MmG=2在赤道：2)2(%9TmR mg π=⨯ 又22)2(T mR RMm G'=π，代入数据h T 8.1=' 例3：某中子星的质量大约与太阳的质量相等为kg 30102⨯。

万有引力与航天重点知识归纳考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

（2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。

（3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式：k Ta =23。

其中k 值与太阳有关，与行星无关。

中学阶段对天体运动的处理办法：①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k TR =23，R ——轨道半径。

2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2成反比。

（2） 公式：221rm m G F =，G 叫万有引力常量，2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-。

（3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。

（4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。

3. 万有引力与重力的关系(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。

①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22ω-=；②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2；故纬度越大，重力加速度越大。

由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。

(2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。

在地面上，22R GM g mg R Mm G =⇒=；在地球表面高度为h 处：22)()(h R GM g mg h R Mm Gh h +=⇒=+，所以g h R R g h 22)(+=，随高度的增加，重力加速度减小。

考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度1．T 、r 法：232224)2(GTr M T mr r Mm G ππ=⇒=，再根据32333,34R GT r V M R Vπρρπ=⇒==，当r=R 时，23GT πρ=2．g 、R 法：GgR Mmg RMm G 22=⇒=，再根据GRg VM R V πρρπ43,343=⇒==3．v 、r 法：Grv M r v m r Mm G 222=⇒=4．v 、T 法：G T v M T mr r Mm G r v m r Mm G ππ2)2(,32222=⇒==考点三、星体表面及某高度处的重力加速度1、 星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则22R GM g mg R Mm G =⇒=。

专题五万有引力与航天基础篇考点一开普勒三定律1.(2022河北唐山期末,2)如图所示,八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转,下列说法中正确的是()A.太阳处在椭圆的中心B.火星绕太阳运行过程中,速率不变C.土星比地球的公转周期大D.地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等答案 C2.(2022广东,2,4分)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。

假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一,且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。

火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。

下列关于火星、地球公转的说法正确的是()A.火星公转的线速度比地球的大B.火星公转的角速度比地球的大C.火星公转的半径比地球的小D.火星公转的加速度比地球的小答案 D3.(2022江苏模拟预测,5)2020年7月,我国用长征运载火箭将“天问一号”探测器发射升空,探测器在星箭分离后,进入地火转移轨道,如图所示,2021年5月在火星乌托邦平原着陆。

则探测器()A.与火箭分离时的速度小于第一宇宙速度B.每次经过P点时的速度相等C.绕火星运行时在捕获轨道上的周期最大D.绕火星运行时在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等答案 C4.(2022浙江宁波期末,3)北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳全球,如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气,下列说法正确的是()A.夏至时地球的运行速度最大B.从冬至到春分的运行时间为公转周期的14C.若用a代表椭圆轨道的半长轴,T代表公转周期,则a3=k,地球和火星对应的k值是不同的T2D.太阳既在地球公转轨道的焦点上,也在火星公转轨道的焦点上答案 D考点二万有引力定律1.(2022全国乙,14,6分)2022年3月,中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线,为同学们上了一堂精彩的科学课。

通过直播画面可以看到,在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中,航天员可以自由地漂浮,这表明他们()A.所受地球引力的大小近似为零B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小答案 C2.(2021山东,5,3分)从“玉兔”登月到“祝融”探火,我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。